点的存在性

合集下载

专题10 函数中点的存在性问题(解析版)

专题10 函数中点的存在性问题(解析版)

决战2020年中考典型压轴题大突破模块三中考压轴题函数综合题专题考向导航函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。

近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现。

解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意,探求解题思路,正确解答三个步骤。

解数学综合题必须要有科学分析问题的方法。

数学思想是解数学综合题的灵魂,要善于总结数学综合题中所隐含的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等,更要结合实际问题加以领会与掌握,这是学习解综合题的关键。

函数是初中数学的重点,也是难点,更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面地反映学生的综合能力,因此是各地中考的热点题型,并且长盛不衰,年年有新花样。

专题10 函数“存在性”问题方法点拨这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断. 由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征。

在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识、基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知识能力的一次全面的考验。

精典例题(2019·白银)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式;(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN 有最大值,最大值是多少?【点睛】(1)由二次函数交点式表达式,即可求解;(2)分AC =AQ 、AC =CQ 、CQ =AQ 三种情况,分别求解即可; (3)由PN =PQ sin ∠PQN =√22(−13m 2+13m +4+m ﹣4)即可求解. 【详解】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y =a (x +3)(x ﹣4)=a (x 2﹣x ﹣12)=ax 2﹣ax ﹣12a , 即:﹣12a =4,解得:a =−13,则抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4;(2)存在,理由:点A 、B 、C 的坐标分别为(﹣3,0)、(4,0)、(0,4), 则AC =5,AB =7,BC =4√2,∠OBC =∠OCB =45°,将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b 并解得:y =﹣x +4…①, 同理可得直线AC 的表达式为:y =43x +4,设直线AC 的中点为K (−32,2),过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为−34, 同理可得过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为:y =−34x +78⋯②, ①当AC =AQ 时,如图1,则AC =AQ =5,设:QM =MB =n ,则AM =7﹣n ,由勾股定理得:(7﹣n )2+n 2=25,解得:n =3或4(舍去4), 故点Q (1,3);②当AC =CQ 时,如图1,CQ =5,则BQ =BC ﹣CQ =4√2−5, 则QM =MB =8−5√22, 故点Q (5√22,8−5√22); ③当CQ =AQ 时, 联立①②并解得:x =252(舍去);故点Q 的坐标为:Q (1,3)或(5√22,8−5√22); (3)设点P (m ,−13m 2+13m +4),则点Q (m ,﹣m +4), ∵OB =OC ,∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN , PN =PQ sin ∠PQN =√22(−13m 2+13m +4+m ﹣4)=−√26(m ﹣2)2+2√23, ∵−√26<0,∴PN 有最大值,当m =2时,PN 的最大值为:2√23.巩固突破1.(2020·青白江区模拟)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A (3,0)、B 两点,与y 轴交于点C (0,3),点B 在x 轴的负半轴上,且OA =3OB .(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点,求△ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标; (3)在线段OC 上是否存在一点M ,使BM +√22CM 的值最小?若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)OA=3OB=3,则点B(﹣1,0),抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(2)△ACP的面积=12PH×OA=12×3×(x2﹣2x+3+x﹣3)=32(﹣x2+3x),即可求解;(3)故当B、M、N三点共线时,BM+√22CM=BN最小,即可求解.【详解】解:(1)OA=3OB=3,则点B(﹣1,0),抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即﹣3a=3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)过点P作y轴的平行线交CA于点H,由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×(x2﹣2x+3+x﹣3)=32(﹣x2+3x),当x=32时,△ACP的面积的最大,最大值为:278,此时点P(32,154);(3)过点M作MN⊥AC,则MN=√22CM,故当B、M、N三点共线时,BM+√22CM=BN最小,直线CA的倾斜角为45°,BN⊥AC,则∠NBA=45°,即BN=√22AB=2√2=AN,则点N(1,2),由点B、N的坐标得,直线BN的表达式为:y=x+1,故点M(0,1).2.(2019·青海)如图1(注:与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)P是抛物线对称轴上的一点,求满足P A+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索);(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形?若存在,请求出点E坐标,若不存在请说明理由(请在图2中探索)【点睛】(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得:y=a(x﹣1)(x﹣5)=a(x2﹣6x+5),即可求解;(2)连接B、C交对称轴于点P,此时P A+PC的值为最小,即可求解;(3)S四边形OEBF=OB×y E=5×y E=12,则y E=125,将该坐标代入二次函数表达式即可求解.【详解】解:(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得:y=a(x﹣1)(x﹣5)=a(x2﹣6x+5),则5a=4,解得:a=4 5,抛物线的表达式为:y=45(x2﹣6x+5)=45x2−245x+4,函数的对称轴为:x=3,顶点坐标为(3,−165); (2)连接B 、C 交对称轴于点P ,此时P A +PC 的值为最小,将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b 得:{0=5k +bb =4,解得:{k =−45b =4,直线BC 的表达式为:y =−45x +4, 当x =3时,y =85, 故点P (3,85);(3)存在,理由:四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形, 则S 四边形OEBF =OB ×|y E |=5×|y E |=12, 点E 在第四象限,故:则y E =−125, 将该坐标代入二次函数表达式得: y =45(x 2﹣6x +5)=−125, 解得:x =2或4, 故点E 的坐标为(2,−125)或(4,−125). 3.(2020·锦江区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (4,0),B 两点,与y 轴交于点C (0,2),对称轴x =32与x 轴交于点H .(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y =kx +1(k ≠0)与y 轴交于点E ,与抛物线交于点 P ,Q (点P 在y 轴左侧,点Q 在y 轴右侧),连接CP ,CQ ,若△CPQ 的面积为√172,求点P ,Q 的坐标; (3)在(2)的条件下,连接AC 交PQ 于G ,在对称轴上是否存在一点K ,连接GK ,将线段GK 绕点G 逆时针旋转90°,使点K 恰好落在抛物线上,若存在,请直接写出点K 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)对称轴x =32,则点B (﹣1,0),则抛物线的表达式为:y =a (x +1)(x ﹣4)=a (x 2﹣3x ﹣4),即可求解; (2)△CPQ 的面积=12×CE ×(n ﹣m )=√172,即n ﹣m =√17, 联立抛物线于直线PQ 的表达式并整理得:−12x 2+(32−k )x +1=0…①,m +n =3﹣2k ,mn =﹣2,n ﹣m =√17=√(m +n)2−4mn =√(3−2k)2+8,即可求解; (3)证明△GNK ≌△K ′MG (AAS ),NK =32−27=1714=MG ,NG =137−m ,则点K ′(157−m ,4314),将该坐标代入抛物线表达式,即可求解.【详解】解:(1)对称轴x =32,则点B (﹣1,0),则抛物线的表达式为:y =a (x +1)(x ﹣4)=a (x 2﹣3x ﹣4), 即﹣4a =2,解得:a =−12,故抛物线的表达式为:y =−12x 2+32x +2;(2)设直线PQ 交y 轴于点E (0,1),点P 、Q 横坐标分别为m ,n ,△CPQ 的面积=12×CE ×(n ﹣m )=√172, 即n ﹣m =√17,联立抛物线于直线PQ 的表达式并整理得:−12x 2+(32−k )x +1=0…①,m +n =3﹣2k ,mn =﹣2,n ﹣m =√17=√(m +n)2−4mn =√(2k −3)2+9 解得:k =0(舍去)或3; 故y =3x +1,则−12x 2+32x +2=3x +1,解得:x =−3±√172, 故点P 、Q 的坐标分别为:(−3−√172,−7−3√172)、(−3+√172,−7+3√172);(3)设点K (32,m ),联立PQ 和AC 的表达式并解得:x =27,故点G (27,137),过点G 作y 轴的平行线交过点K ′与x 轴的平行线于点M ,交过点K 与x 轴的平行线于点N ,则△GNK ≌△K ′MG (AAS ), NK =32−27=1714=MG ,NG =137−m ,则点K ′(157−m ,4314)将该坐标代入抛物线表达式并解得:m =9±√2114, 故点K (32,9+√2114)或(32,9−√2114).4.(2020·下陆区模拟)如图,在矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为(0,8),点C 的坐标为(6,0).抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ,与AB 交于点D . (1)求抛物线的函数解析式;(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合),点Q 为线段AC 上一个动点,AQ =CP ,连接PQ ,设CP =m ,△CPQ 的面积为S . ①求S 关于m 的函数表达式;②当S 最大时,在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上,若存在点F ,使△DFQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)将A 、C 两点坐标代入抛物线y =−49x 2+bx +c ,即可求得抛物线的解析式; (2)①先用m 表示出QE 的长度,进而求出三角形的面积S 关于m 的函数; ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可,注意不要漏写. 【详解】解:(1)将A 、C 两点坐标代入抛物线,得 {c =8−49×36+6b +c =0, 解得:{b =43c =8,∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8; (2)①∵OA =8,OC =6, ∴AC =√OA 2+OC 2=10,过点Q 作QE ⊥BC 与E 点,则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35, ∴QE 10−m=35,∴QE =35(10﹣m ),∴S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m ;②∵S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m =−310(m ﹣5)2+152, ∴当m =5时,S 取最大值;在抛物线对称轴l 上存在点F ,使△FDQ 为直角三角形, ∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32, D 的坐标为(3,8),Q (3,4), 当∠FDQ =90°时,F 1(32,8),当∠FQD =90°时,则F 2(32,4),当∠DFQ =90°时,设F (32,n ),则FD 2+FQ 2=DQ 2,即94+(8﹣n )2+94+(n ﹣4)2=16,解得:n =6±√72, ∴F 3(32,6+√72),F 4(32,6−√72),满足条件的点F 共有四个,坐标分别为 F 1(32,8),F 2(32,4),F 3(32,6+√72),F 4(32,6−√72).5.(2019·临朐二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +1交y 轴于点A ,交x 轴正半轴于点B(4,0),与过A 点的直线相交于另一点D (3,52),过点D 作DC ⊥x 轴,垂足为C .(1)求抛物线的表达式;(2)点P 在线段OC 上(不与点O ,C 重合),过P 作PN ⊥x 轴,交直线AD 于M ,交抛物线于点N ,NE ⊥AD 于点E ,求NE 的最大值;(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点,设OP 的长为t .是否存在t ,使以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)将点B 、D 的坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)利用NE =MN cos ∠ENP =2√55(−34m 2+114m +1−12m ﹣1),即可求解; (3)设:OP =t ,则点M (t ,12t +1)、N (t ,−34t 2+114t +1),由|MN |=CD ,即可求解. 【详解】解:(1)将点B 、D 的坐标代入二次函数表达式得:{16a +4b +1=09a +3b +1=52,解得:{a =−34b =114, 则函数的表达式为:y =−34x 2+114x +1;(2)将点A (0,1)、D 的坐标代入一次函数表达式:y =mx +n 并解得: 直线AD 的表达式为:y =12x +1,即直线AD 的倾斜角的正切值为12,则tan ∠ENP =12,则cos ∠ENP =2√55,设点N (m ,−34m 2+114m +1)、点M (12m +1),则NE =MN cos ∠ENP =2√55(−34m 2+114m +1−12m ﹣1)=−3√510(m −32)2+27√540, 故当m =32时,则NE 的最大值为27√540;(3)设:OP =t ,则点M (t ,12t +1)、N (t ,−34t 2+114t +1),点M 可能在CD 得左侧也可能在CD 得右侧,由题意得:|MN |=CD , ±52=−34t 2+114t +1−12t ﹣1, 解得:t =9±√2016(舍去负值), 故t =9+√2016时,以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形. 6.(2019·恩施州)如图,抛物线y =ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C (0,﹣2),顶点D 的坐标为(1,−83),与x 轴交于A 、B 两点. (1)求抛物线的解析式.(2)连接AC ,E 为直线AC 上一点,当△AOC ∽△AEB 时,求点E 的坐标和AEAB 的值.(3)点F (0,y )是y 轴上一动点,当y 为何值时,√55FC +BF 的值最小.并求出这个最小值. (4)点C 关于x 轴的对称点为H ,当√55FC +BF 取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△QHF 是直角三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)将点C 、D 的坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)当△AOC ∽△AEB 时,S △AOC S △AEB=(AC AB )2=(√54)2=516,求出y E =−85,由△AOC ∽△AEB 得:AO AC=AE AB=√5,即可求解;(3)如图2,连接BF ,过点F 作FG ⊥AC 于G ,当折线段BFG 与BE 重合时,取得最小值,即可求解; (4)①当点Q 为直角顶点时,由Rt △QHM ∽Rt △FQM 得:QM 2=HM •FM ;②当点H 为直角顶点时,点H (0,2),则点Q (1,2);③当点F 为直角顶点时,同理可得:点Q (1,−32).【详解】解:(1)由题可列方程组:{c =−2a −2a +c =−83,解得:{a =23c =−2∴抛物线解析式为:y =23x 2−43x ﹣2;(2)如图1,∠AOC =90°,AC =√5,AB =4,设直线AC 的解析式为:y =kx +b ,则{−k +b =0b =−2,解得:{k =−2b =−2,∴直线AC 的解析式为:y =﹣2x ﹣2; 当△AOC ∽△AEB 时S △AOC S △AEB=(AC AB)2=(√54)2=516,∵S △AOC =1,∴S △AEB =165, ∴12AB ×|y E |=165,AB =4,则y E =−85, 则点E (−15,−85); 由△AOC ∽△AEB 得:AO AC=AE AB=√5∴AE AB=√55; (3)如图2,连接BF ,过点F 作FG ⊥AC 于G ,则FG =CF sin ∠FCG =√55CF ,∴√55CF +BF =GF +BF ≥BE , 当折线段BFG 与BE 重合时,取得最小值, 由(2)可知∠ABE =∠ACO∴BE =AB cos ∠ABE =AB cos ∠ACO =45=8√55,|y |=OB tan ∠ABE =OB tan ∠ACO =3×12=32,∴当y =−32时,即点F (0,−32),√55CF +BF 有最小值为8√55;(4)①当点Q 为直角顶点时(如图3): 由(3)易得F (0,−32),∵C (0,﹣2)∴H (0,2)设Q (1,m ),过点Q 作QM ⊥y 轴于点M .则Rt △QHM ∽Rt △FQM ∴QM 2=HM •FM , ∴12=(2﹣m )(m +32), 解得:m =1±√334, 则点Q (1,1+√334)或(1,1−√334) 当点H 为直角顶点时:点H (0,2),则点Q (1,2); 当点F 为直角顶点时: 同理可得:点Q (1,−32); 综上,点Q 的坐标为:(1,1+√334)或(1,1−√334)或Q (1,2)或Q (1,−32).7.(2019·阜新)如图,抛物线y =ax 2+bx +2交x 轴于点A (﹣3,0)和点B (1,0),交y 轴于点C . (1)求这个抛物线的函数表达式.(2)点D 的坐标为(﹣1,0),点P 为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP 面积的最大值.(3)点M 为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N ,使△MNO 为等腰直角三角形,且∠MNO 为直角?若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)抛物线的表达式为:y =a (x +3)(x ﹣1)=a (x 2+2x ﹣3)=ax 2+2ax ﹣3a ,即﹣3a =2,即可求解;(2)S 四边形ADCP =S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ,即可求解;(3)分点N 在x 轴上方、点N 在x 轴下方两种情况,分别求解.【详解】解:(1)抛物线的表达式为:y =a (x +3)(x ﹣1)=a (x 2+2x ﹣3)=ax 2+2ax ﹣3a ,即﹣3a=2,解得:a=−2 3,故抛物线的表达式为:y=−23x2−43x+2,则点C(0,2),函数的对称轴为:x=﹣1;(2)连接OP,设点P(x,−23x2−43x+2),则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO﹣S△ODC=12×AO×y P+12×OC×|x P|−12×CO×OD=12×3×(−23x2−43x+2)+12×2×(﹣x)−12×2×1=−x2﹣3x+2,∵﹣1<0,故S有最大值,当x=−32时,S的最大值为174;(3)存在,理由:△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角时,点N的位置如下图所示:①当点N在x轴上方时,点N的位置为N1、N2,N1的情况(△M1N1O):设点N1的坐标为(x,−23x2−43x+2),则M1E=x+1,过点N1作x轴的垂线交x轴于点F,过点M1作x轴的平行线交N1F于点E,∵∠FN 1O +∠M 1N 1E =90°,∠M 1N 1E +∠EM 1N 1=90°,∴∠EM 1N 1=∠FN 1O , ∠M 1EN 1=∠N 1FO =90°,ON 1=M 1N 1, ∴△M 1N 1E ≌△N 1OF (AAS ),∴M 1E =N 1F , 即:x +1=−23x 2−43x +2,解得:x =−7±√734(舍去负值), 则点N 1(−7+√734,−3+√734); N 2的情况(△M 2N 2O ): 同理可得:点N 2(−1−√734,−3+√734); ②当点N 在x 轴下方时,点N 的位置为N 3、N 4, 同理可得:点N 3、N 4的坐标分别为:(−7−√734,−3−√734)、(−1+√734,−3−√734);综上,点N 的坐标为:(−7+√734,−3+√734)或(−1−√734,−3+√734)或(−7−√734,−3−√734)或(−1+√734,−3−√734). 8.(2019·通辽)已知,如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为M (1,9),经过抛物线上的两点A (﹣3,﹣7)和B (3,m )的直线交抛物线的对称轴于点C . (1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上A 、M 两点之间的部分(不包含A 、M 两点),是否存在点D ,使得S △DAC =2S △DCM ?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.【点睛】(1)二次函数表达式为:y=a(x﹣1)2+9,即可求解;(2)S△DAC=2S△DCM,则S△DAC=12DH(x C﹣x A)=12(﹣x2+2x+8﹣2x+1)(1+3)=12(9﹣1)(1﹣x)×2,即可求解;(3)分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)二次函数表达式为:y=a(x﹣1)2+9,将点A的坐标代入上式并解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+8…①,则点B(3,5),将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB的表达式为:y=2x﹣1;(2)存在,理由:二次函数对称轴为:x=1,则点C(1,1),过点D作y轴的平行线交AB于点H,设点D(x,﹣x2+2x+8),点H(x,2x﹣1),∵S△DAC=2S△DCM,则S△DAC=12DH(x C﹣x A)=12(﹣x2+2x+8﹣2x+1)(1+3)=12(9﹣1)(1﹣x)×2,解得:x=﹣1或5(舍去5),故点D(﹣1,5);(3)设点Q(m,0)、点P(s,t),t=﹣s2+2s+8,①当AM是平行四边形的一条边时,点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A,同理,点Q(m,0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4,﹣16),即为点P,即:m﹣4=s,﹣16=t,而t=﹣s2+2s+8,解得:s=6或﹣4,故点P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16);②当AM是平行四边形的对角线时,由中点公式得:m+s=﹣2,t=2,而t=﹣s2+2s+8,解得:s=1±√7,故点P(1+√7,2)或(1−√7,2);综上,点P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16)或(1+√7,2)或(1−√7,2).9.(2019·长沙模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x﹣1与抛物线y=−512x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣6,点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点(不与点A,B重合).(1)求该抛物线的解析式;(2)连接P A,PB,在点P运动的过程中,是否存在某一位置,使得△P AB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过点P作PD∥y轴交直线AB于点D,以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G,求DG的最大值.【点睛】(1)在函数y=12x﹣1中,求出A(2,0)、B(﹣6,﹣4),将A(2,0),B(﹣6,﹣4)代入y=−512x2+bx+c中,即可求解;(2)存在,理由:由A、B点坐标得:则点E(﹣2,﹣2),则AE=√(−2−2)2+(−2)2=2√5,tan∠OAC=AOAE=ACAF,即:2√5=√5AF,则AF=5,可得直线EF的表达式为:y=﹣2x﹣6…②,联立①②即可求解;(3)GD =PD sin ∠DPG =5(−512x 2−76x +4−12x +1),即可求解.【详解】解:(1)在函数y =12x ﹣1中, 当y =0时,x =2,∴A (2,0), 当x =﹣6时,y =﹣4,∴B (﹣6,﹣4), 将A (2,0),B (﹣6,﹣4)代入y =−512x 2+bx +c 中, 得{−512×22+2b +c =0−512×(−6)2−6b +c =−4,解得{b =−76c =4,∴该抛物线得解析式为y =−512x 2−76x +4…①; (2)存在,理由:设直线AB 交y 轴于点C ,则点C (0,﹣1),如图所示,作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点F 、交y 轴于点E ,由A 、B 点坐标得:则点E (﹣2,﹣2),则AE =√(−2−2)2+(−2)2=2√5, tan ∠OAC =AO AE =ACAF ,即:2√5=√5AF,则AF =5, 故点F (﹣3,0),由点E (﹣2,﹣2)、F (﹣3,0)得直线EF 的表达式为:y =﹣2x ﹣6…②, 联立①②并解得:x =﹣4或6(舍去x =6), 故点P 的坐标为(﹣4,2), PE =√(−4+2)2+(2+2)2=2√5;(3)如下图所示,PD 为直径,则∠PGD =90°, 即:PG ⊥AC∠OAC =90°﹣∠PDC =∠DPG ,在Rt △AOC 中,sin ∠OAC =15=sin ∠DPG , 则GD =PD sin ∠DPG ,设点P 坐标为(x ,−512x 2−76x +4),则点D (x ,12x ﹣1), GD =PD sin ∠DPG =1√5(−512x 2−76x +4−12x +1), 当x =−b 2a =−2时,GD 最大,最大值为:4√53. 10.(2019·硚口区区模拟)抛物线y =ax 2−12x +54经过点E (5,5),其顶点为C 点.(1)求抛物线的解析式,并直接写出C 点坐标.(2)将直线y =12x 沿y 轴向上平移b 个单位长度交抛物线于A 、B 两点.若∠ACB =90°,求b 的值.(3)是否存在点D (1,a ),使抛物线上任意一点P 到x 轴的距离等于P 点到点D 的距离?若存在,请求点D 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)将点E 坐标代入解析式,求出系数a ,获得解析式,并求出顶点C 坐标;(2)平移直线y =12x ,获得平移后的解析式y =12x +b ,直线与抛物线交于两点A 、B ,设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),因为∠ACB =90°,利用A 、B 、C 三点构造相似,得到1−x 1y 2−1=y 1−1x 2−1,将直线与抛物线联立获得方程,根据韦达定理,获得x 1+x 2,x 1•x 2,从而获得关于b 的方程,求出b 值;(3)过点P 作PQ ⊥x 轴,设点P (m ,14m 2−12m +54)因为PQ =PD ,所以PQ 2=PD 2,整理可得(a −2)m 2+2(a −2)m +2(a −2)(a −12)=0,所以当a =2时,存在点D (1,2).【详解】解:(1)将点E (5,5)代入y =ax 2−12x +545=25a −52+54a =14∴y =14x 2−12x +54,顶点(1,1)(2)直线y =12x 平移后获得解析式y =12x +b交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)y 1=12x 1+b ,y 2=12x 2+b联立{y =12x +by =14x 2−12x +54x 2﹣4x +5﹣4b =0∴x 1+x 2=4,x 1•x 2=5﹣4b如图,过点A 、B 作y 轴的平行线与过点C 平行于x 轴的线交于点E ,F可证△ACE ∽△BCF∴1−x 1y 2−1=y 1−1x 2−1∴(x 1+x 2)﹣(x 1•x 2)﹣1=y 1•y 2﹣(y 1+y 2)+1∴b 2﹣5b +94=0,解,b 1=92,b 2=12(舍)∴b =92.(3)设P(m,n),作PQ⊥x轴于Q若PQ=PD,则PQ2=PD2(m﹣1)2+(n﹣a)2=n2整理得m2﹣2m+1+a2﹣2an=0将n=14m2−12m+54代入整理得(a−2)m2+2(a−2)m+2(a−2)(a−12)=0当a=2时,方程成立∴D(1,2)11.(2020·云南模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3经过点B(﹣1,0),C(2,3),抛物线与y轴的交点A,与x轴的另一个交点为D,点M为线段AD上的一动点,设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)过点M作y轴的平行线,交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时,1的长最大,并求最大值;(先根据题目画图,再计算)(3)在(2)的条件下,当t为何值时,△P AD的面积最大?并求最大值;(4)在(2)的条件下,是否存在点P,使△P AD为直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,说明理由.【点睛】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)易知直线AD 解析式为y =﹣x +3,设M 点横坐标为m ,则P (t ,﹣t 2+2t +3),M (t ,﹣t +3),可得l =﹣t 2+2t +3﹣(﹣t +3)=﹣t 2+3t =﹣(t −32)2+94,利用二次函数的性质即可解决问题;(3)由S △P AD =12×PM ×(x D ﹣x A )=32PM ,推出PM 的值最大时,△P AD 的面积最大;(4)如图设AD 的中点为K ,设P (t ,﹣t 2+2t +3).由△P AD 是直角三角形,推出PK =12AD ,可得(t −32)2+(﹣t 2+2t +3−32)2=14×18,解方程即可解决问题;【详解】解:(1)把点 B (﹣1,0),C (2,3)代入y =ax 2+bx +3,则有{a −b +3=04a +2b +3=3,解得{a =−1b =2,∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3.(2)在y =﹣x 2+2x +3中,令y =0可得0=﹣x 2+2x +3,解得x =﹣1或x =3,∴D (3,0),且A (0,3),∴直线AD 解析式为y =﹣x +3,设M 点横坐标为m ,则P (t ,﹣t 2+2t +3),M (t ,﹣t +3),∵0<t <3,∴点M 在第一象限内,∴l =﹣t 2+2t +3﹣(﹣t +3)=﹣t 2+3t =﹣(t −32)2+94,∴当t =32时,l 有最大值,l 最大=94;(3)∵S △P AD =12×PM ×(x D ﹣x A )=32PM ,∴PM 的值最大时,△P AD 的面积中点,最大值=32×94=278. ∴t =32时,△P AD 的面积的最大值为278.(4)如图设AD 的中点为K ,设P (t ,﹣t 2+2t +3).∵△P AD 是直角三角形,∴PK =12AD ,∴(t −32)2+(﹣t 2+2t +3−32)2=14×18, 整理得t (t ﹣3)(t 2﹣t ﹣1)=0,解得t =0或3或1±√52, ∵点P 在第一象限,∴t =1+√52. 12.(2019·大渡口区模拟)如图,抛物线y =−35x 2+125x +3与x 轴交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连结BC .(1)如图1,点N 为抛物线上的一动点,且位于直线BC 上方,连接CN 、BN .点P 是直线AB 上的动点.当△NBC 面积取得最大值时,求出点N 的坐标及△NBC 面积的最大值,并求此时PN +CP 的最小值;(2)如图2,点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点,连接PM 、PC ,是否存在这样的点P ,使△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)S△NBC=12HN×OB=52(−35x2+125x+3+35x﹣3)=−32x2+152x,求出N的坐标是(52,214),点C关于直线AB的对称点C'(0,﹣3),PN+PC的最小值为NC′即可求解;(2)利用△BMP~△BOC,即可求解.【详解】解:(1)过点N作y轴的平行线交直线BC与点H,y=−35x2+125x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=5或﹣1,即点A、B、C的坐标分别为(﹣1,0)、(5,0)、(0,3),则直线BC的表达式为:y=kx+3,将点B坐标代入上式并解得:k=−3 5,则直线BC的表达式为:y=−35x+3,设点N(x,−35x2+125x+3),点H(x,−35x+3),S△NBC=12HN×OB=52(−35x2+125x+3+35x﹣3)=−32x2+152x,∵−32<0,则S△NBC有最大值,当x=52时,△NBC面积最大,最大值为758;此时点N的坐标是(52,214),如图,点C 关于直线AB 的对称点C '(0,﹣3),PN +PC 的最小值NC′=√(214+3)2+(52)2=√11894; (2)存在,∵B (5,0),C (0,3),∴BC =√32+52=√34,①当∠PMB =90°,则∠PMC =90°,△PMC 为等腰直角三角形,MP =MC ,设PM =t ,则CM =t ,MB =√34−t ,∵∠MBP =∠OBC ,∴△BMP ~△BOC ,∴PM OC =BM OB =BP BC ,即t 3=√34−t 5=√34, 解得t =3√348,BP =174, ∴OP =OB −BP =5−174=34,当∠PMB =90°,CM =PM 时,同理可得:点P (3√34−95,0); 此时P 点坐标为(34,0)或(3√34−95,0). 13.(2019·崇安区一模)已知二次函数y =ax 2﹣9ax +18a 的图象与x 轴交于A ,B 两点(A 在B 的左侧),图象的顶点为C ,直线AC 交y 轴于点D .(1)连接BD ,若∠BDO =∠CAB ,求这个二次函数的表达式;(2)是否存在以原点O 为对称中心的矩形CDEF ?若存在,求出这个二次函数的表达式,若不存在,请说明理由.【点睛】(1)利用配方法求出抛物线y =ax 2﹣9ax +18a 的顶点C 的坐标为(92,−94a ).作CM ⊥x 轴于M ,则OM =92,CM =|−94a |.求出A (3,0),B (6,0).再证明△ODA ∽△OBD ,根据相似三角形对应边成比例求出OD =3√2.根据平行线分线段成比例定理得出OD CM =OA AM ,求得CM =3√22,那么|−94a |=3√22,求出a ,即可得到二次函数的解析式; (2)连接OC ,根据矩形的性质得出OC =OD ,那么∠ODC =∠OCD .再证明∠OCD =∠DCM .作AN ⊥OC 于N ,根据角平分线的性质得出AN =AM =32.由sin ∠AON =AN OA =12,得出∠AON =30°,求出CM =OM •tan30°=3√32,那么|−94a |=3√32,求出a ,即可得到二次函数的解析式.【详解】解:(1)∵y =ax 2﹣9ax +18a =a (x −92)2−94a ,∴顶点C (92,−94a ).作CM ⊥x 轴于M ,则OM =92,CM =|−94a |.当y =0时,ax 2﹣9ax +18a =0,解得x 1=3,x 2=6,∴A (3,0),B (6,0).∵∠BDO =∠CAB ,∠CAB =∠DAO ,∴∠DAO =∠BDO .在△ODA 与△OBD 中,{∠DAO =∠BDO ∠AOD =∠DOB =90°,∴△ODA ∽△OBD ,∴OD OB =OA OD ,即OD 6=3OD ,∴OD =3√2.∵CM ∥OD ,∴OD CM =OA AM ,即3√2CM =392−3,∴CM =3√22,∴|−94a |=3√22,∴a =±2√23,∴二次函数的解析式为y =2√23x 2﹣6√2x +12√2或y =−2√23x 2+6√2x ﹣12√2;(2)存在.连接OC ,则OC =OD .∴∠ODC =∠OCD .∵CM ∥OD ,∴∠ODC =∠DCM ,∴∠OCD =∠DCM .作AN ⊥OC 于N ,AN =AM =32.∵sin ∠AON =AN OA =323=12, ∴∠AON =30°,∴CM =OM •tan30°=92×√33=3√32, ∴|−94a |=3√32, ∴a =±2√33, ∴二次函数的解析式为y =2√33x 2﹣6√3x +12√3或y =−2√33x 2+6√3x ﹣12√3.14.(2019·长沙一模)如图,已知直线y =kx ﹣6与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A ,B 两点,且点A (1,﹣4)为抛物线的顶点,点B 在x 轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ,使△POB 与△POC 全等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标.【点睛】(1)已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式,进一步能求出点B 的坐标.点A 是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B 的坐标,依据待定系数法可解.(2)首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标,在△POB 和△POC 中,已知的条件是公共边OP ,若OB与OC 不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB 等于OC ,那么还要满足的条件为:∠POC =∠POB ,各自去掉一个直角后容易发现,点P 正好在第二象限的角平分线上,联立直线y =﹣x 与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.(3)分别以A 、B 、Q 为直角顶点,分类进行讨论.找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解:(1)把A (1,﹣4)代入y =kx ﹣6,得k =2,∴y =2x ﹣6,令y =0,解得:x =3,∴B 的坐标是(3,0).∵A 为顶点,∴设抛物线的解析为y =a (x ﹣1)2﹣4,把B (3,0)代入得:4a ﹣4=0,解得a =1,∴y =(x ﹣1)2﹣4=x 2﹣2x ﹣3.(2)存在.∵OB =OC =3,OP =OP ,∴当∠POB =∠POC 时,△POB ≌△POC ,此时PO 平分第二象限,即PO 的解析式为y =﹣x .设P (m ,﹣m ),则﹣m =m 2﹣2m ﹣3,解得m =1−√132(m =1+√132>0,舍),∴P (1−√132,√13−12).(3)①如图,当∠Q 1AB =90°时,△DAQ 1∽△DOB ,∴AD OD =DQ 1DB ,即√56=13√5,∴DQ 1=52, ∴OQ 1=72,即Q 1(0,−72);②如图,当∠Q 2BA =90°时,△BOQ 2∽△DOB ,∴OB OD =OQ 2OB ,即36=OQ 23, ∴OQ 2=32,即Q 2(0,32);③如图,当∠AQ 3B =90°时,作AE ⊥y 轴于E ,则△BOQ 3∽△Q 3EA ,∴OBQ 3E =OQ 3AE ,即34−OQ 3=OQ 31,∴OQ 32﹣4OQ 3+3=0,∴OQ 3=1或3,即Q 3(0,﹣1),Q 4(0,﹣3).综上,Q 点坐标为(0,−72)或(0,32)或(0,﹣1)或(0,﹣3).15.(2019·海南)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +5经过A (﹣5,0),B (﹣4,﹣3)两点,与x 轴的另一个交点为C ,顶点为D ,连结CD .(1)求该抛物线的表达式;(2)点P 为该抛物线上一动点(与点B 、C 不重合),设点P 的横坐标为t .①当点P 在直线BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P ,使得∠PBC =∠BCD ?若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①S △PBC =12PG (x C ﹣x B ),即可求解;②分点P 在直线BC 下方、上方两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得:{25a −5b +5=016a −4b +5=−3,解得:{a =1b =6,故抛物线的表达式为:y=x2+6x+5…①,令y=0,则x=﹣1或﹣5,即点C(﹣1,0);(2)①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:y=x+1…②,设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),S△PBC=12PG(x C﹣x B)=32(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=−32t2−152t﹣6,∵−32<0,∴S△PBC有最大值,当t=−52时,其最大值为278;②设直线BP与CD交于点H,当点P在直线BC下方时,∵∠PBC =∠BCD ,∴点H 在BC 的中垂线上,线段BC 的中点坐标为(−52,−32),过该点与BC 垂直的直线的k 值为﹣1,设BC 中垂线的表达式为:y =﹣x +m ,将点(−52,−32)代入上式并解得:直线BC 中垂线的表达式为:y =﹣x ﹣4…③,同理直线CD 的表达式为:y =2x +2…④,联立③④并解得:x =﹣2,即点H (﹣2,﹣2),同理可得直线BH 的表达式为:y =12x ﹣1…⑤,联立①⑤并解得:x =−32或﹣4(舍去﹣4),故点P (−32,−74);当点P (P ′)在直线BC 上方时,∵∠PBC =∠BCD ,∴BP ′∥CD ,则直线BP ′的表达式为:y =2x +s ,将点B 坐标代入上式并解得:s =5,即直线BP ′的表达式为:y =2x +5…⑥,联立①⑥并解得:x =0或﹣4(舍去﹣4),故点P (0,5);故点P 的坐标为P (−32,−74)或(0,5).16.(2019·山西)综合与探究如图,抛物线y =ax 2+bx +6经过点A (﹣2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为m (1<m <4).连接AC ,BC ,DB ,DC .(1)求抛物线的函数表达式;(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)由抛物线交点式表达,即可求解;(2)利用S △BDC =12HD ×OB ,即可求解;(3)分BD 是平行四边形的一条边、BD 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)由抛物线交点式表达式得:y =a (x +2)(x ﹣4)=a (x 2﹣2x ﹣8)=ax 2﹣2ax ﹣8a , 即﹣8a =6,解得:a =−34,故抛物线的表达式为:y =−34x 2+32x +6;(2)点C (0,6),将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC 的表达式为:y =−32x +6,如图所示,过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ,设点D (m ,−34m 2+32m +6),则点H (m ,−32m +6)S △BDC =12HD ×OB =2(−34m 2+32m +6+32m ﹣6)=2(−34m 2+3m ),34S △ACO =34×12×6×2=92,即:2(−34m 2+3m )=92,解得:m =1或3(舍去1),故m =3;(3)当m =3时,点D (3,154),①当BD 是平行四边形的一条边时,如图所示:M 、N 分别有三个点,设点N (n ,−34n 2+32n +6)则点N 的纵坐标为绝对值为154,即|−34n 2+32n +6|=154, 解得:n =﹣1或3(舍去)或1±√14,故点N (N ′、N ″)的坐标为(﹣1,154)或(1+√14,−154)或(1−√14,−154), 当点N (﹣1,154)时,由图象可得:点M (0,0),当N ′的坐标为(1+√14,−154),由中点坐标公式得:点M ′(√14,0), 同理可得:点M ″坐标为(−√14,0),故点M 坐标为:(0,0)或(√14,0)或(−√14,0);②当BD 是平行四边形的对角线时,点B 、D 的坐标分别为(4,0)、(3,154) 设点M (m ,0),点N (s ,t ),由中点坐标公式得:{4+3=m +s 154+0=t +0,而t =−34s 2+32s +6, 解得:t =154,s =﹣1,m =8,故点M 坐标为(8,0);故点M 的坐标为:(0,0)或(√14,0)或(−√14,0)或(8,0).17.(2019·眉山)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A (﹣5,0)和点B (1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G,过点G作GF⊥x轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;(3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.【点睛】(1)抛物线的表达式为:y=−49(x+5)(x﹣1),即可求解;(2)PE=−49m2−169m+209,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,矩形PEFG的周长=2(PE+PG),即可求解;(3)分MN=DM、NM=DN、DN=DM,三种情况分别求解.【详解】解:(1)抛物线的表达式为:y=−49(x+5)(x﹣1)=−49x2−169x+209,则点D(﹣2,4);(2)设点P(m,−49m2−169m+209),则PE=−49m2−169m+209,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(−49m2−169m+209−4﹣2m)=−89(m+174)2+252,∵−89<0,故当m=−174时,矩形PEFG周长最大,此时,点P的横坐标为−17 4;(3)∵∠DMN=∠DBA,∠BMD+∠BDM=180°﹣∠ADB,∠NMA+∠DMB=180°﹣∠DMN,∴∠NMA=∠MDB,∴△BDM ∽△AMN ,AN BM =AM BD ,而AB =6,AD =BD =5,①当MN =DM 时,∴△BDM ≌△AMN ,即:AM =BD =5,则AN =MB =1; ②当NM =DN 时,则∠NDM =∠NMD ,∴△AMD ∽△ADB ,∴AD 2=AB ×AM ,即:25=6×AM ,则AM =256, 而AN BM =AM BD ,即AN 6−256=2565,解得:AN =5536;③当DN =DM 时,∵∠DNM >∠DAB ,而∠DAB =∠DMN , ∴∠DNM >∠DMN ,∴DN ≠DM ;故AN =1或5536.。

立体几何中的点的存在性问题

立体几何中的点的存在性问题

用向量法(坐标法)解决点的存在性问题点的存在问题(即探索性问题)是历年高考的热点,立体几何中,探索满足某个条件的点是否存问题,能很好的考查学生的逻辑推理能力和空间想象能能力,休现了的新课标的要求,故倍受命题人青睐。

下面结合具体例题讲解此类问题的大致类型及解题策略。

例1:如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1DD 的中点,(1)在棱B 1C 1是否存一点G ,使得AG ⊥平面1A BE ;(2)在线段BE 上是否存一点M ,使得M-CD-A 的平面角的余弦值为25. (3)在正方形ABCD 内(含边界线段)否存一点N ,使得C 1N ⊥1A BE点评:立何几何中的点的存在问题通常使用坐标法来进得解答,此方法不需要进行复杂的作图、推理及论证,只需要通过坐标运算进行判断。

解题策略:先假设满足条件的点存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或解方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否在规定范围内有解问题。

命题类型:(1)在与坐标轴平行的线段上寻求一点满点某个条件,此种类型较易,直接设出该点坐标(横、纵,竖三个坐标中,己知两个),据条件得方程即可求解;(2)在与坐标轴不平行的线段上寻求一点满点某个条件,此种类型,此点的横、纵,竖三个坐标,可能己知一个,或者都不清楚,解题时需要根据三点共线进行坐标代换。

比如:在线段AB(AB 与坐标轴不平行)上寻找一点M 满足条件f 。

具体做法:设M (x,y,z)与AM=λAB (01λ≤≤),由坐标相等概念则可将M 点的坐标全部用λ表示M (f(λ),g(λ),φ(λ)),然后根据假设的结论列方程即求得λ。

(3)在某个面上寻求一点满点某个条件,直接列方程组解决。

命题规律:所探求的点一般是线段的中点或三等分点,故此种也可先估计此点的位置,然后进行证明。

专项训练1.(2010马鞍山模拟)如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(Ⅰ)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;(Ⅱ)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.2,(2010绍兴模拟)如图,在三棱锥S-ABC中,SA=AB=AC=BC=2SB=2SC,O为BC的中点,(1)求证:SO ABC平面;(2)求异面直线SC与AB所成角的余弦值;(3)在线段AB上是否存在一点E,使得二面角B-SC-E的平面角的余弦值为15;5若存在,求BE:BA的值;若不存在,试说明理由。

当代数学对点的定义

当代数学对点的定义

在当代数学中,对于点的定义有以下几种方式:
1. 点是最简单的几何图形,是几何图形最基本的组成部分。

在空间中,点作为0维的对象,没有大小和方向。

2. 在欧氏几何中,点被定义为只有位置、没有大小的图形。

它是整个欧氏几何的基础。

3. 在非欧几里得几何中,点可以有大小和方向,例如在球面几何中,北极点就是一个具有大小的点。

4. 在拓扑学中,点通常被视为一个空间中的元素,其周围的空间可以发生改变,但点本身保持不变。

5. 在集合论中,任何集合的元素都可以被称为“点”,但这与三维空间中的点可能没有任何关系。

总的来说,数学中的点是一个抽象的概念,其定义会根据不同的数学分支和理论而有所不同。

抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)

抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)

抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线是数学中常见的曲线之一,其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。

在抛物线的研究中,存在一个重要的问题,即顶点的存在性问题。

问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点,也是曲线的转折点。

通过确定顶点的位置,我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。

然而,并不是所有的抛物线都具有顶点,因此存在着顶点的存在性问题。

抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前,我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。

1. 参数 a:决定了抛物线的开口方向。

当 a > 0 时,抛物线开口向上;当 a < 0 时,抛物线开口向下。

2. 参数 b:决定了抛物线在 x 轴上的位置。

当 b > 0 时,抛物线向左平移;当 b < 0 时,抛物线向右平移。

3. 参数 c:决定了抛物线在 y 轴上的位置。

抛物线与 y 轴相交的点就是 c。

顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c,顶点的存在性由参数 a 的正负决定。

- 当 a > 0 时,抛物线开口向上,顶点最低点存在。

- 当 a < 0 时,抛物线开口向下,顶点最高点存在。

- 当 a = 0 时,抛物线退化为直线,没有顶点。

因此,只有当 a 不等于零时,抛物线才会有顶点存在。

实例分析考虑以下两个抛物线方程:1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程,参数 a = 2,开口向上,因此存在一个最低点作为顶点。

而对于第二个方程,参数 a = -1,开口向下,因此存在一个最高点作为顶点。

结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。

通过分析抛物线方程中参数 a 的正负,我们可以确定抛物线是否具有顶点。

只有当参数 a 不等于零时,抛物线才会有顶点的存在。

抛物线上点的存在性问题的探究策略

抛物线上点的存在性问题的探究策略
L BAC =2 BPC .
p= 0 ~ 9 。 ÷ A: 0 一 × 0 = 0. 9 。 ÷ 6 。 6。

/C P = 1( 8 。 A 10

LB AC)
() 2根据命题 2的结论 P= 0 一 L , 9。 ÷ A 知三角形


1( 8 。 10

的三条外 角平分 线所 在 的直 线形 成 的三 角形 的三 个角
此题 是要找 出规律 的要 有命 题 3的结论 作
3 0
解 ( )‘ + ; 3 1‘ . ; = 4

中。 ? (1 第 O 初 版 7 擞・ 21 l 0 年 期・ 中 )
( 1 ) 2 l = 4 +2 一 x 2 3 ,
_8, 2 l - 6一 ,
点 评 从 上 面 的 做 题 过 程 来 看 题 目 中 给 出 的
解 命 3 析 由题 的
点评
现 律 ()A 规 = “. ÷
可 以直 接 得 A = × 6 = 。 9 。 3.
“ 厶4 3 。 这个条件是可 以不用 的. = 0’ ’
( 收稿 日期 :0 l8 O 2 1O 1 )



6 2 1一 4— (6 ): 4 3,
l 2= 一4 <0,i >0, m t T , OC =2 m.



( A 十D :1 0 +1 O 曰) 2 C
・ 专,:,:. ‘ 竿 ’ 3:5 ・ — _2 m 一 。j ‘ l

・ . .




( +2 一 l ) =1 2 + ,m 一 m 一1 0 2X m 19 8 = ,

第4讲二次函数中的点的存在性问题中的角度题

第4讲二次函数中的点的存在性问题中的角度题

龙文教育一对一个性化辅导教案学生学校汇景年级九年级次数第4 次科目数学教师日期2015-3-15 时段17-19 课题二次函数动点中的点的存在性问题中的角度问题教学重点二次函数的综合题教学难点二次函数中的点的存在性问题教学目标二次函数中的点的存在性问题教学步骤及教学内容一、课前热身:1、检查学生的作业,及时指点;2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

3、课前小测二、内容讲解:三、课堂小结:带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结四、作业布置:布置适量的作业学生课外进行巩固管理人员签字:日期:年月日作业布置1、学生上次作业评价:○好○较好○一般○差备注:2、本次课后作业:课堂小结家长签字:日期:年月日课前小测:1、已知,则BC的长为()2、一个袋中有标记数分别为-2,1,6的三张卡片(除标记数外完全相同),先从袋中随机取出一张卡片,把卡片上标记数作为点A的横坐标,放回后再从袋中随机取出一张卡片,把标记数作为点A的纵坐标,问点A在哪一象限的概率的概率最大?下列答案正确的是()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=120°,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,若PM+PN的最小值为2,则△ABC的周长是___4、在平面直角坐标系xoy中,已知二次函数y=x2+k图象与x轴没有交点,且该图象与直线y=-x+k都经过点P,|OP|=10,试求实数k的取值。

5、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动过程中,当△PQC为等腰三角形时,求t的值.例:如图,在平面直角坐标系xoy中,点p为抛物线y=x2上一动点,是否存在点P,使∠pox=45度,若存在,请求P的坐标,若不存在,说明理由。

二次函数中点的存在性问题

二次函数中点的存在性问题

二次函数中的存在性问题1.已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.2.已知y=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与x轴交于原点及点C.(1)求直线和抛物线解析式;(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S△OCD=2S△OAB?如果存在,求出点D坐标,如果不存在,说明理由.3.已知直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C(2,3).(1)求直线AC及抛物线的解析式;(2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E,以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l,设直线l与y轴的交点为P,求△APE的面积;(3)若G为抛物线上一点,是否存在x轴上的点F,使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点(A在B的左侧),交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)求抛物线的顶点及对称轴;(3)若点Q是抛物线对称轴上的一动点,线段AQ+CQ是否存在最小值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(4)若点P是直线BC上方的一个动点,△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出点P的坐标及此时△PBC 的面积;若不存在,说明理由.1.已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A,B两点,2.与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在3.一点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D4.的坐标;若不存在,请说明理由.解答:解:对于抛物线y=﹣x2+x﹣3,令y=0,得到﹣x2+x﹣3=0,解得:x=1或x=4,∴B(1,0),A(4,0),令x=0,得到y=﹣3,即C(0,﹣3),设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入得:,解得:k=,b=﹣3,∴直线AC解析式为y=x﹣3,设平行于直线AC,且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m,此时直线与抛物线交于点D,使得△ACD的面积最大,与二次函数解析式联立消去y得:﹣x2+x﹣3=x+m,整理得:3x2﹣12x+4m+12=0,∴△=144﹣12(4m+12)=0,解得:m=0,∴此时直线方程为y=x,点D坐标为(2,).2.(2008•宁波校级自主招生)已知y=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与x轴交于原点及点C.(1)求直线和抛物线解析式;(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S△OCD=2S△OAB?如果存在,求出点D坐标,如果不存在,说明理由.解答:解:(1)∵直线y=kx+4过A(1,m),B(4,8)两点,∴,解得,∴y=x+4,把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式,得,,∴y=﹣x2+6x;∴S△OCD=2S△OAB=12,×6×h=12,解得h=4,由﹣x2+6x=4,得x=3±,∴D(3+,4)或(3﹣,4).3.(2014春•昌平区期末)已知直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.解答:解:(1)把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3,则C点坐标为(0,﹣3),把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0,解得x=4,则A点坐标为(4,0),把A(4,0),C(0,﹣3)代入y=﹣x2+mx+n得,解得,所以二次函数解析式为y=﹣x2+x﹣3;(2)存在.过D点作直线AC的平行线y=kx+b,当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时,点D到AC的距离最大,此时△ACD的面积最大,∵直线AC的解析式为y=x﹣3,∴k=,即y=x+b,由直线y=x+b和抛物线y=﹣x2+x﹣3组成方程组得,消去y得到3x2﹣12x+4b+12=0,∴△=122﹣4×3×(4b+12)=0,解得b=0,∴3x2﹣12x+12=0,解得x1=x2=2,把x=2,b=0代入y=x+b得y=,∴D点坐标为(2,).4.(2010•孝感模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C(2,3).(1)求直线AC及抛物线的解析式;(3)若G为抛物线上一点,是否存在x轴上的点F,使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)∵点C(2,3)在直线y=kx+1上,∴2k+1=3.解得k=1.∴直线AC的解析式为y=x+1.∵点A在x轴上,∴A(﹣1,0).∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C,∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,可得抛物线的对称轴为x=1,B(3,0).∴E(1,2).根据题意,知点A旋转到点B处,直线l过点B、E.设直线l的解析式为y=mx+n.将B、E的坐标代入y=mx+n中,联立可得m=﹣1,n=3.∴直线l的解析式为y=﹣x+3.∴P(0,3).过点E作ED⊥x轴于点D.∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB=AB•PO﹣AB•ED=×4×(3﹣2)=2.(3)存在,点F的坐标分别为(3﹣,0),(3+,0),(﹣1﹣,0)(﹣1+,0).5.(2013秋•红安县校级月考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点(A在B的左侧),交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式;(3)若点Q是抛物线对称轴上的一动点,线段AQ+CQ是否存在最小值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(4)若点P是直线BC上方的一个动点,△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出点P的坐标及此时△PBC 的面积;若不存在,说明理由.考点:二次函数综合题.专题:压轴题.分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程求出点B的坐标,令x=0求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对称轴即可;(3)根据轴对称确定最短路线问题,直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点Q,然后利用直线解析式求解即可;(4)过点P作PD∥y轴与BC相交于点D,根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD,再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD列式整理,然后利用二次函数最值问题解答.解答:解:(1)令y=0,则﹣x2+x+2=0,整理得,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,所以,点B的坐标为(3,0),令x=0,则y=2,所以,点C的坐标为(0,2),设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得,所以,直线BC的解析式为y=﹣x+2;(2)∵y=﹣x2+x+2,=﹣(x2﹣2x+1)+2+,=﹣(x﹣1)2+,∴顶点坐标为(1,),(3)由轴对称确定最短路线问题,直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点,x=1时,y=﹣×1+2=,所以,存在Q(1,),使线段AQ+CQ最小;(4)如图,过点P作PD∥y轴与BC相交于点D,则PD=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,所以,S△PBC=S△PCD+S△PBD,=×(﹣x2+2x)×3,=﹣x2+3x,=﹣(x﹣)2+,所以,当x=时,△PBC的面积最大为,此时,y=﹣×()2+×+2=,所以,存在P(,),使S△PBC最大=.点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的顶点坐标与对称轴的求法,轴对称确定最短路线问题,二次函数的最值问题.。

压轴题学习讲义—点的存在性问题

压轴题学习讲义—点的存在性问题

压轴题学习讲义—点的存在性问题1.(江津市)26.如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.解:(1)将A(1,0),B(-3,0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩= ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为:223y x x =--+(2)存在 理由如下:由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点, 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+, ∴C 的坐标为:(0,3) 直线BC 解析式为:3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(-1,2)ABC(3)答:存在。

理由如下: 设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<, ∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值,则BPC S ∆就最大,∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形= 11()22BE PE OE PE OC =⋅++ =2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++=233927()2228x -+++ 当32x =-时,BPCO S 四边形最大值=92728+∴BPC S ∆最大=9279272828+-=当32x =-时,215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-,)2. (宁德市)26.(本题满分13分)如图,已知抛物线C 1:()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),点B 的横坐标是1.(1)求P 点坐标及a 的值;(4分)(2)如图(1),抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式;(4分)(3)如图(2),点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点(点E 在点F 的左边),当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.(5分)解:(1)由抛物线C 1:()522-+=x a y 得顶点P 的为(-2,-5)∵点B (1,0)在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a 解得,a =59(2)连接PM ,作PH ⊥x 轴于H ,作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ,且PB =MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG =PH =5,BG =BH =3 ∴顶点M 的坐标为(4,5)抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到,抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y (3)∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由(2)得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为(m ,5) 作PH ⊥x 轴于H ,作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴EF =AB =2BH =6∴FG =3,点F 坐标为(m +3,0) H 坐标为(2,0),K 坐标为(m ,-5), 根据勾股定理得 PN 2=NK 2+PK 2=m 2+4m +104 PF 2=PH 2+HF 2=m 2+10m +50 NF 2=52+32=34①当∠PNF =90º时,PN 2+ NF 2=PF 2,解得m =443,∴Q 点坐标为(193,0)②当∠PFN =90º时,PF 2+ NF 2=PN 2,解得m =103,∴Q 点坐标为(23,0)③∵PN >NK =10>NF ,∴∠NPF ≠90º 综上所得,当Q 点坐标为(193,0)或(23,0)时,以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形.3. (莆田市)25.(14分)已知,如图1,过点()01E -,作平行于x 轴的直线l ,抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4,直线AB 交y 轴于点F ,过点A B 、分别作直线l 的垂线,垂足分别为点C 、D ,连接CF DF 、.(1)求点A B F 、、的坐标; (2)求证:CF DF ⊥; (3)点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点,过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ,是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(1) 解:方法一,如图1,当1x =-时,14y =; 当4x =时,4y =∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,4 ()44B ,设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y = ()01F ∴,方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =(图1)备用图(第25题图)(图1)(图2)BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=- 解得1x =()0F ∴,1(2)证明:方法一:在Rt CEF △中,1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中,42DE EF ==, 222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由(1)得()()1141C D ---,,, 5CD ∴= 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+= 90CFD ∴∠=° ∴C F D F⊥ 方法二:由 (1)知5544AF AC ===,AF AC ∴= 同理:BF BD = A C F A F C ∴∠=∠ AC EF ∥ A C F C F O∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理:BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥(3)存在.解:如图3,作PM x ⊥轴,垂足为点M 又PQ OP ⊥ R t R t O P M O∴△∽△PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴=设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,,则214PM x OM x ==, ①当Rt Rt QPO CFD △∽△时,12PQ CF OP DF === 21142x PM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴,图3②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时,2PQ DF OP CF === 2142x PM OM x ∴== 解得8x = ()2816P ∴,综上,存在点()121P ,、()2816P ,使得OPQ △与CDF △相似. 4. 如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为t 秒.(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度;(2)求正方形边长及顶点C 的坐标;(3)在(1)中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标;(4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值;若不能,请说明理由.解:(1)Q (1,0) ····································································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度.(2) 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,BE ⊥x 轴于点E ,则BF =8,4OF BE ==. ∴1046AF =-=.在Rt △AFB 中,10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延长线交于点H .∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH . ∴6,8BH AF CH BF ====. ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=. ∴所求C 点的坐标为(14,12).(2) 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥x 轴于点N , 则△APM ∽△ABF . ∴AP AM MP AB AF BF ==. 1068t A M M P∴==. ∴3455AM t PM t ==,. ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==. 设△OPQ 的面积为S (平方单位) ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-(0≤t ≤10) 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.∵310a =-<0 ∴当47471062()10t =-=⨯-时, △OPQ 的面积最大. 此时P 的坐标为(9415,5310) . (4) 当 53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等.5. (广州市)25.(本小题满分14分)如图13,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为45。

函数图象上点的存在性问题中的距离与面积(常考知识点精析)

函数图象上点的存在性问题中的距离与面积(常考知识点精析)

板块一探索抛物线上的点存在性之距离一、二次函数与线段定值探索:用距离来刻画动点的位置【探索1】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),与y轴交于点C,设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由。

【探索2】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点,若点P到直线y x=的距离为2,求点P的坐标。

【探索3】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B (点A在点B右侧),与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点,若点P到对称轴和y轴的距离相等,求P点坐标。

函数图象上点的存在性问题中的距离与面积(常考知识点精析)【探索4】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点,y x x若点P到对称轴和x轴的距离相等,求P点坐标。

【探索5】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),与y轴交于点C,点P为△BOC内一点,y x x且点P到△BOC三边所在直线的距离相等,求P点坐标。

二、二次函数与线段最值中考说明:动点满足线段间大小关系、和差最值等。

中考主要考查以下两点:1.“两点间线段最短”2.“垂线段最短”1.“两点间线段最短”下面按三大变换来分类:【旋转型】已知AB a<,求BC的最值。

=,AC b=,其中a b【轴对称型】1.在直线l上找一点P,使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。

2.直线l1、l2交于O、P是两直线间的一点,在直线l1、l2上分别找一点A、B,使得△P AB的周长最短。

3.直线l1、l2交于O,A、B是两直线间的两点,从点A出发,先到l1上一点P,再从P点到l2上一点Q,再回到B点,求作P、Q两点,使AP+PQ +QB最小。

点的存在性

点的存在性

点的存在性题型特点存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题,比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等.点的存在性问题常以函数为背景,探讨是否存在点,满足某种关系或构成某种特殊图形.比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等.解题思路解决点的存在性问题,遵循函数与几何综合中处理问题的原则.难点拆解点的存在性问题关键是利用几何特征建等式.建等式的方式有:①直接表达建等式.分析点存在所满足的特殊条件或关系,直接表达线段长.②转化表达建等式.如面积关系问题,转化面积关系为线段关系,结合关键点所在图形的边角信息及几何特征,建等式.③构造模型建等式.如角度间关系,需转化、构造将其放到三角形中,再借助线段间关系建等式.1.(2009湖北武汉)如图,抛物线经过A(﹣1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P 的坐标.2.(2012江苏南通改编)如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线与x轴交于点B(﹣2,0)和点C,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式.(2)将抛物线先向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围.(3)若点M在y轴上,且∠OMB+∠OAB=∠ACB,求点M的坐标.3.(2011广东深圳)如图1,抛物线(a≠0)的顶点为C(1,4),与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D,其中点B的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式.(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,与y轴交于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使以D,G,F,H四点为顶点的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及G,H两点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图3,抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图1图3图24.(2012浙江温州)如图,过原点的抛物线(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B,C不重合).连接CB,CP.(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长.(2)当m>1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP?(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并求出相对应的点E的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2012辽宁沈阳)如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(0,2),点E为线段AB上的一动点(点E不与点A,B重合).以E 为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC AB,抛物线的图象经过A,C两点.(1)求此抛物线的函数表达式.(2)求证:∠BEF=∠AOE.(3)当△EOF为等腰三角形时,求点E的坐标.(4)在(3)的条件下,设直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的()倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.点的存在性1. (1)抛物线的解析式为.(2)点关于直线对称的点的坐标为(0,1).(3)点的坐标为.2. (1)抛物线的解析式为y =12x 2-x -4.(2)符合条件的m 的取值范围为0<m <52.(3)M (0,6)或M (0,-6).3. (1)抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4.(2)存在,四边形DFHG的周长最小为2+,点G 坐标为(1,1),点H 坐标为(12,0).(3)存在,点T 的坐标为(32,154).4. (1)A (6,0),BC =4.(2)m =32.(3)当m >1时,当点E 在x 轴上,m =2,点E 的坐标是(2,0); 当点E 在y 轴上,m =2,点E 的坐标是(0,4). 当0<m <1时,当m =23时,点E 的坐标是(43,0).5. (1)抛物线的表达式为y =-x 2-x +2.(2)证明略.(3)E (-1,1)或E (-,2-). (4)存在,P (0,2)或P (-1,2).234y x x =-++D BC P 266525⎛⎫- ⎪⎝⎭,2222222。

二次函数图象上点的存在性问题

二次函数图象上点的存在性问题

联合函数y=x2 可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P(3,9)
M
练习:(2009—2010 昌平二模)如图,抛物线y=ax2+bx-4a经 过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关 于直线BC对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点, 且∠DBP=45°,求点P的坐标.
例1已知抛物线 y=x2-2x-3 的的顶点为 D,点 P、 Q 是抛 物线上的动点,若△DPQ 是等边三角形,求△DPQ的面积。
解:根据 y=x2-2x-3可得D(1,-4),因为△QPD是等边三
角形,所以直线DQ的斜率为 ,因为D(1,-4),
所以l DQ: y= x-4-
,与二次函数y=x2-2x-3联立起来解方 程,可得xQ=1+
∵P点在抛物线上,
∴P (
)
全等、相似与角度
板块二:二次函数与多个角
技巧和方法: 在抛物线上找点,满足两角和(差)关系。
例1二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于 C 点,在二次函数的图 象上是否存在点 P,使锐角∠PCO>∠ACO?若存在,请你 求出 P 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由。
例3 (2010 苏州)如图,以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B。 已知 A、 B 两点的坐标分别为(3, 0)、 (0, 4)。 ⑶在⑵的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点 P, PA2+PB2+PM2>28 是否总成立? 请说明理由
解:(1) (1)设y=a(x-3)2,把B(0,4)代入,得a= (2)∵m,n为正整数∴ (m-3)2 应该是9的整数,∴m是3的倍数, 又∵m>3,∴m=6,9,12..., 当m=6时,n=4,此时MA=5,MB=6, ∴四边形OAMB的四边长为3,4,5,6, 当m≥9时,MB>6,∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的 正整数,∴点M坐标只有一种可能(6,4); (3)设P(3,t),MB与对称轴交点为D,

点的存在性的证明方法的分析

点的存在性的证明方法的分析

点的存在性的证明方法的分析点在数学中是一个抽象概念,它象征着数学中最基本的地位。

虽然它抽象的性质使其难以完全证明存在性,但却有一些有效的方法可以引入点的存在性。

本文就点的存在性的证明方法进行分析。

首先要了解的是定义点的存在性的证明的术语。

一般来说,“存在性证明”是指提出一个特定的结论,证明其存在的方法。

具体来说,“证明点的存在性”就是指提出特定的结论:一个或多个点存在于一个特定的空间中,并进行有效地证明。

常用的证明点存在性的方法有两种,分别是几何学方法和抽象数学方法。

几何学方法,即物体在空间中的位置和形状的分析,可以用来证明点的存在。

抽象数学方法,即以数学形式表达物体的位置和形状,可以用来证明点的存在。

几何学方法可以用许多种不同的方法来证明点的存在性。

一种常用的方法是采用几何定理,结合集合理论分析关系,证明点的存在性。

例如,可以证明三角形ABC中点A存在,并通过相关定理证明,比如半平面交定理。

此外,可以用下列定义来说明点的存在性:一点存在于某物中,当且仅当取出该物中的任意一份,都可以在其中找到该点。

结合上述定义和表达式,可以用数学方法证明点的存在性。

抽象数学方法用来证明点的存在性,可以用数学运算和逻辑推理来解决问题。

首先,要用数学形式描述物体的位置和形状。

然后,要建立逻辑推理,用数学运算证明物体中某点的存在性。

例如,假设存在一条直线L,可以使用数学运算证明该直线上一定存在一点P,且P到L两点距离最短。

总之,以上就是点的存在性的证明方法的分析。

几何学方法和抽象数学方法可以有效地证明点的存在性,而且可以使用数学定理和逻辑推理来证明点的存在性,使得点的存在性的证明变得更加容易。

在实践中,只要使用这些方法,就可以相应地证明点的存在性,从而解决实际问题。

极大值点的存在性

极大值点的存在性

极大值点的存在性极值是数学中的重要概念,指函数在某一点取得最大或最小值。

其中,极大值是指函数在该点附近的所有取值中最大的那个值,而极小值则是指函数在该点附近的所有取值中最小的那个值。

在数学和物理等许多领域中,研究极值点的性质和存在性非常重要。

本文将探讨极大值点的存在性以及相关的数学与物理理论。

一、对于有限区间内连续函数,必然存在极大值点对于一个有限区间内的连续函数,根据闭区间最值定理(若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,则$f(x)$在该区间上必定有极值),该函数必然存在极大值点和极小值点。

换句话说,该函数在该区间内一定能够取到最大值和最小值,而且这些极值点都是在函数定义域内的。

证明:设函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a,b]$ 内连续,则 $f(x)$ 在$[a,b]$ 内必定取到一个最大值和一个最小值。

如果最大值和最小值都落在端点处,那么极大值点和极小值点就是函数定义域内的端点。

如果最大值或最小值在区间内部,那么这个值点就是函数的极大值点或极小值点。

二、对于无限区间内的函数,可能不存在极大值点对于一个无限区间的函数,在上述闭区间最值定理无法奏效,因为无限区间是无边界的,即不是闭区间。

因此,在无限区间内探讨极大值点的存在性更加复杂。

针对这个问题,有两个著名的定理提供了解答。

1. 狄利克雷(Dirichlet)定理狄利克雷定理是描述区间 $[a,b]$ 内非周期函数可能存在最大值或最小值的一种方法。

其依据为:若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调增加(或单调递减),则 $f(x)$在该区间内具有最大值(或最小值)。

换句话说,只要函数在该区间内单调递增或者单调递减,就必然存在函数的极值点。

证明:假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调递增。

从而$f(x)$ 在该区间内递增,因此对于任意$x\in[a,b]$,$f(x)\leq f(b)$。

因此,存在某个点 $x_0$,使得 $f(x_0)=\max_{x \in[a,b]} f(x)$ 即$f(x_0)$ 是该函数的最大值点。

《关于零点和中值点存在性问题》

《关于零点和中值点存在性问题》

关于零点和中值点存在性问题引言在学习统计学的过程中,我们经常会遇到关于零点和中值点的概念。

在实际应用中,会有人对于这两个概念的存在性产生疑虑。

在本文中,我们将探讨这两个概念的存在性问题。

零点的存在性问题零点是指一组数据中某个变量值为0的点。

在实际应用中,有些情况下并不存在零点。

实际上,在生活当中,存在着一些数据集合,它们并不具有零点的存在性。

比如说,我们可以考虑一下人的年龄这个变量。

人的年龄可以取到0岁以下,但是很难想象有一个人的年龄是0岁。

因此,人的年龄这个变量就不存在零点。

另一个例子是温度变量。

温度可以取负值,但是不存在绝对的零点,因此温度变量也不存在零点。

事实上,我们常用的摄氏度刻度和华氏度刻度都不存在绝对零点,因此它们的零点不是绝对的。

以上两个例子提示我们一个道理:某个变量是否存在零点,与这个变量本身所代表的意义密切相关。

只有当这个变量的数值意义是绝对的,才存在绝对的零点。

中值点的存在性问题中值点是指一组数据中中间位置的点。

在实际应用中,有些情况下并不存在中值点。

比如说,我们可以考虑一下下列序列:{-1,1,-2,2,-3,3}。

这个序列中间位置为3,但是如果我们把它改一下顺序变成:{-1,-2,1,-3,2,3},那么中间位置就变成了2。

因此,这个序列的中值点并不唯一。

中值点存在性问题的根源在于数据的离散程度。

对于连续型变量,由于数据是连续分布的,因此存在唯一的中位数。

但是对于离散型变量,如果存在多个数值相同的数据,中位数就不是唯一的。

从上述讨论中得到的是:零点和中值点的存在性问题,与变量的数值意义和数据的离散程度相关。

只有当变量的数值有绝对意义时,零点才存在;只有在连续型的数据中,中值才有唯一性。

在实际应用中,我们应该明确这些概念的具体含义和存在条件,以避免在统计学中的误用和误解。

参考文献无。

局部凸Hausdorff空间中有效点的存在性定理

局部凸Hausdorff空间中有效点的存在性定理

局部凸Hausdorff空间中有效点的存在性定理设E是局部凸Hausdorff空间,C是E中的凸锥。

≤_c是由凸锥C在E中定义的一个偏序。

本文首先利用≤_c给出了“C—局部完备”的定义,并讨论了“C—局部完备”与“局部完备”、“C—序列完备”间的关系。

在特殊的情形下,本文还比较了条件“集合A是C—局部完备”与条件“A关于B是局部Drop完备的”之间的强弱关系。

另外,本文利用“C—局部完备”的性质建立了局部凸Hausdorff空间中的有效点的存在性定理。

并在这一定理的基础上,借助“C—局部完备”严格地弱于“局部完备”这一性质推广了局部凸Hausdorff空间中的Phelps引理和Ekeland变分原理。

最后本文给出了局部凸Hausdorff空间中的Pareto有效性定理。

非线性映射的不动点理论

非线性映射的不动点理论

非线性映射的不动点理论非线性映射是数学中的一个重要概念,它在许多领域中都有广泛的应用。

而不动点理论则是研究非线性映射的一个重要工具。

本文将介绍非线性映射的不动点理论,并探讨其在实际问题中的应用。

一、非线性映射的定义在数学中,映射是指将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。

线性映射是指满足线性性质的映射,即满足加法和数乘的分配律。

而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。

二、不动点的定义在数学中,不动点是指映射中的一个元素,经过映射后仍然保持不变。

即对于映射f,如果存在一个元素x,使得f(x)=x,那么x就是映射f的一个不动点。

三、不动点的存在性对于线性映射,不动点的存在性是显然的。

因为线性映射的图像是一条直线,而直线与坐标轴的交点就是不动点。

但对于非线性映射,不动点的存在性则需要通过不动点理论来证明。

四、不动点理论不动点理论是研究非线性映射不动点的一个重要分支。

它主要包括不动点存在性、不动点的唯一性以及不动点的稳定性等方面的内容。

1. 不动点存在性对于某个给定的非线性映射f,如果存在一个集合A,使得f(A)=A,那么A中的元素就是映射f的不动点。

不动点存在性的证明通常使用反证法,假设不存在不动点,然后通过构造一个逼近序列来推导出矛盾,从而证明不动点的存在性。

2. 不动点的唯一性对于某个给定的非线性映射f,如果存在两个不同的不动点x和y,使得f(x)=x和f(y)=y,那么就称这个映射存在多个不动点。

不动点的唯一性通常需要通过对映射的性质进行详细的分析来证明。

3. 不动点的稳定性不动点的稳定性是指当初始条件接近不动点时,经过映射后的结果仍然接近不动点。

不动点的稳定性可以通过计算映射的导数来判断,如果导数的绝对值小于1,则不动点是稳定的;如果导数的绝对值大于1,则不动点是不稳定的。

五、应用举例非线性映射的不动点理论在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些应用举例:1. 数值计算在数值计算中,非线性方程的求解是一个重要的问题。

探解以二次函数为载体的点的存在性问题

探解以二次函数为载体的点的存在性问题

探解以二次函数为载体的点的存在性问题作者:孟庆涛来源:《数理化学习·初中版》2013年第04期近年来各地试卷频频出现以二次函数为载体的点的存在性问题,是考察学生分析问题和解决问题能力的探究性题型.解决这类问题时往往要借助数学的分类思想,通过周密的思考和有条理的安排来逐一的解决问题.本文就这类问题进行归类探究,供大家参考.一、等腰三角形中点的存在性问题例1如图1,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.解析:等腰三角形中何边为腰未确定时,可分下面三种情况.由题意易知抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.设Q点坐标为(1,m),则AQ=4+m2,BQ=1+(3-m)2,又AB=10.①当AB=AQ时,4+m2=10,解得:m=±6,所以Q点坐标为(1,6)或(1,-6).②当AB=BQ时,10=1+(3-m)2,解得:m1=0,m2=6.所以Q点坐标为(1,0)或(1,6).③当AQ=BQ时,4+m2=1+(3-m)2,解得:m=1,所以Q点坐标为(1,1).所以抛物线的对称轴上存在着点Q(1,6)、(1,-6)、(1,0)、(1,6)、(1,1),使△ABQ是等腰三角形.二、直角三角形中点的存在性问题例2在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图2所示;抛物线y=ax2-ax-2经过点B.(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析:过点B作BD⊥x轴,垂足为D,可知△BDC≌△CAO=90°,所以点B的坐标为(3,1),可得抛物线的解析式为y=12x2-12x-2.假设存在点P,使得△ACP是直角三角形,可分三种情况:①若以AC为直角边,点C为直角顶点;则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图3.可证△MCP1≌△BCD,于是CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(-1,-1);经检验点P1(-1,-1)在抛物线y=12x2-12x-2上.②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图4.同理可得△AP2N≌△CAO,于是NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(-2,1),经检验点P2(-2,1)也在抛物线y=12x2-12x-2上.[TP.tif>,BP#][TS(][HT5”SS][JZ]图4图5[TS)]③若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图5同理可得△AP3H≌△CAO;所以HP3=OA=2,AH=OC=1,可求得点P3(2,3),经检验点P3(2,3)不在抛物线y=12x2-12x-2上.故符合条件的点有P1(-1,-1),P2(-2,1)两个.三、相似三角形中点的存在性问题例3如图6,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,52).(1)求抛物线的解析式;(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有符合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.解析:(1)由题意知抛物线经过点A(0,6),B(2,0),C(7,52),可得抛物线的解析式为y=12x2-4x+6.(2)过点A作AM∥x轴,交FC于点M,交对称轴于点N.由抛物线的解析式y=12x2-4x+6可知抛物线对称轴是直线x =4,顶点D的坐标为(4,-2).则AN=4.又知直线AC过A(0,6),C(7,52).所以直线AC的解析式为y=-12x+6.可得点E的坐标为(4,4),F的坐标为(4,-8).于是可证△ANF≌△MNF,得∠CFE=∠AFE.(3)假设△AFP与△FDC相似可分两种情况.由C的坐标为(7,52),F坐标为(4,-8),A的坐标为(0,6).所以CF=(52+8)2+(7-4)2=3532,FA=(6+8)2+42=253.又DF=6,由题意易知∠PAF=∠DFC,①若△AFP1∽△FCD,则P1ADF=AFCF,即P1A6=2533532,解得P1A=8,求得0 P1=8-6=2,所以P1的坐标为(0,-2).②若△AFP2∽△FDC.则P2ACF=AFDF,即P2A3532=2536,解得P2A=532,求得0 P2=532-6=412.所以P2的坐标为(0,-412).所以符合条件的点P的坐标是两个,分别是P1(0,-2),P2(0,-412).四、特殊四边形中点的存在性问题例4如图7,抛物线y=13x2-mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),且对称轴x=1.(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标.[TP.tif>,BP#][TS(][HT5”SS][JZ]图7图8[TS)]解析:(1)由对称轴x=1可知--m2×13=1得m=23,又n=-1,所以抛物线的解析式为y=13x2-23x-1,由13x2-23x-1=0得x=-1或x=3,所以A(-1,0),B(3,0).(2)假设四边形QPAB是平行四边形,则PQ与AB存在两种位置关系平行或平分,故可分两种情况讨论:①当PQ平行等于AB时,PQ=4,当P在y轴右侧时,P的横坐标为4,当P在y轴左侧时,P的横坐标为-4,所以P1(4,53),P2(-4,7).②当PQ与AB互相平分时,PQ过AB的中点(1,0),可得P的横坐标为2,所以P3(2,-1).综上所述P的坐标为(4,53)或(-4,7)或(2,-1).数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法.在运用分类思想解决点的存在性问题时,其关键是抓住图形的特征,进行系统的分类,既不重复、也不遗漏. 另外在解决此问题时往往先假设问题的存在,再通过对图形的特性的分类得出相应线段的等量关系,并转化为方程来解决问题.。

菱形动点及存在性问题

菱形动点及存在性问题

菱形动点及存在性问题
背景
动点是指在几何形状中移动的点。

菱形是一种四边形,其中所有边长度相等且对角线相互垂直。

研究菱形动点的存在性和性质对于几何学来说是一个有趣且重要的问题。

菱形动点的定义
假设我们有一个固定的菱形,其顶点坐标分别为$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, $(x_4, y_4)$。

菱形动点是指一个点$(x, y)$,其满足以下条件:
1. 点$(x, y)$在菱形内部;
2. 点$(x, y)$的运动轨迹是连续的。

存在性问题
对于给定的菱形,是否存在一个点满足动点的定义?这就是存
在性问题。

结论
对于任意菱形,存在一个满足动点定义的点。

证明概要
我们可以通过构造一个具体的动点来证明存在性。

考虑一个菱形的中心点$(x_c, y_c)$,即 $(x_c, y_c) =
\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},
\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\right)$。

由菱形的性质可知,这个中心
点一定在菱形内部。

因此,我们可以将中心点作为动点,这样就满足了动点的定义。

总结
菱形动点的存在性问题得到了肯定的回答。

对于任意给定的菱形,都存在满足定义的动点。

这个结论对于几何学研究和实际问题的解决具有重要意义。

等直点的概念

等直点的概念

等直点的概念等直点是指在一个平面上,两条直线相交于一个点,并且这两条直线的夹角为90度的点。

等直点是几何学中的重要概念,它在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。

首先,我们来看等直点的定义。

在平面几何中,等直点是指两条直线相交于一个点,并且这两条直线的夹角为90度的点。

等直点可以用来构造垂直线、证明垂直关系以及解决与垂直相关的几何问题。

在几何学中,等直点有以下几个重要性质:1. 等直点的存在性:在平面上,任意两条不平行的直线都存在一个等直点。

这是因为两条不平行的直线必然会相交于一个点,而通过这个点可以作出一条与两条直线垂直的直线,从而构成一个等直点。

2. 等直点的唯一性:在平面上,两条直线的等直点是唯一的。

这是因为如果两条直线有两个等直点,那么它们将会有两个不同的垂直线,这与等直点的定义相矛盾。

3. 等直点的性质:等直点的性质包括垂直性、对称性和等距性。

垂直性是指等直点所在的两条直线互相垂直;对称性是指等直点关于两条直线的中垂线对称;等距性是指等直点到两条直线的距离相等。

等直点在几何证明中起着重要的作用。

通过等直点的性质,我们可以证明两条直线垂直、两个角相等等几何定理。

例如,当我们需要证明两条直线垂直时,可以通过构造等直点来证明。

具体的证明方法可以是通过作两条直线的垂线,然后证明这两条垂线相交于一个点,从而得出两条直线垂直的结论。

此外,等直点还可以用来解决与垂直相关的几何问题。

例如,当我们需要求解一个三角形的高时,可以通过构造等直点来解决。

具体的方法是通过三角形的顶点作两条垂直于底边的线段,然后证明这两条线段相交于一个点,从而得出这个点到底边的距离就是三角形的高。

总结起来,等直点是指在一个平面上,两条直线相交于一个点,并且这两条直线的夹角为90度的点。

等直点具有存在性、唯一性和一些重要的性质,它在几何证明和解决几何问题中起着重要的作用。

通过构造等直点,我们可以证明两条直线垂直、解决三角形的高等问题。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
解得
配方得y ,顶点D(1,9). ---------3分
(2)假设满足条件的点 存在,依题意设 ,
由 求得直线 的解析式为 ,
它与 轴的夹角为 .
过点P作PN⊥y轴于点N.
依题意知,∠NPO=30°或∠NPO=60°.
∵PN=2,∴ON= 或2 .
∴存在满足条件的点 , 的坐标为(2, )和(2,2 ).-----------6分
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25.解:(1)∵抛物线 ∴顶点M的坐标为 .-------- 1分
(2)抛物线与 与x轴的两交点为A(-1,0),B(2,0).
设线段BM所在直线的解析式为 .
∴ 解得 ∴线段BM所在直线的解析式为 .--------- 2分
∴△AOD是等腰Rt△ ………………………………1分
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°
∴∠AOE=∠BCD
∴△AED≌△BDC
∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0) …………………………2分
则过D、E、C三点的抛物线解析式为: ……………3分
(2)DH⊥OC于点H,
∴2-x=2x-1,
∴x=1.
∴G(1,0) ……………………………………………5分
(3)由题意可知点P若存在,则必在AB上,假设存在点P使△PCG是等腰三角形
1)当点P为顶点,既CP=GP时,
易求得P1(2,2),既为点D时,
此时点Q、与点P1、点D重合,
∴点Q1(2,2) ……………………………………………6分
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
25.解:(1)∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°
∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中,
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3
∵ ,∠COB=90°,∴ ,∴B(1,0)------------------------ 1分
∵抛物线 ( >0)过点B,
∴m+3m-3=0,∴m=
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得经过点P的直线PM垂直于直线CD,且与直线OP的夹角为75°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
25.(本小题满分8分)
解:(1)依题意,可知C(0,8),则B(4,0)
将A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+8,
∴∠DHO=90°
∵矩形ABCD中, ∠BAO=∠AOC=90°
∴四边形AOHD是矩形
∴∠ADH=90°.
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AD=OA=2,
∴四边形AOHD是正方形.
∴△FAD≌△GHD
∴FA=GH………………………………4分
∴设点G(x,0),
∴OG=x,GH=2-x
∵EF=2OG=2x,AE=1,
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如果点D是线段AC下方抛物线上的动点,设D点的横坐标为x,
△ACD的面积为S,求S与x的关系式,并求当S最大时点D的坐标;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形?若存在求点P坐标;若不存在,请说明理由.
24.解:
(1)由已知可得C(0,-3),
2)当点C为顶点,既CP=CG=2时, 易求得P2(3,2)
∴直线GP2的解析式:
求交点Q:
可求的交点( )和(-1,-2)
∵点Q在第一象限
∴Q2( ) ……………………………………………7分
3)当点G为顶点,既GP=CG=2时, 易求得P3(1,2)
∴直线GP3的解析式:
求交点Q:
可求的交点( )
点的存在性
这类问题以抛物线为背景,探讨是否存在点,能构成特殊图形,如:特殊线段,角,三角形,全等三角形,相似三角形,特殊四边形等.此类问题把抛物线与直线形有机结合,解题时要综合运用待定系数法,分类讨论,数形结合等思想方法.点的坐标是数形结合的桥梁,注意坐标的设,图形性质的使用.
【例1】如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图像与x轴交于点A(-2,0),B,与y轴交于点C,tan∠ABC=2.
【例2】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果EF=2OG,求点G的坐标.
设点N的坐标为 .∵点N在线段BM上,∴ .∴ .
∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC .----------- 3分
∴S与t之间的函数关系式为 ,自变量t的取值范围为 .------ 4分
(3)假设存在符合条件的点P,设点P的坐标为P(m,n),则 且 .
, , .
分以下几种情况讨论:
①若∠PAC=90°,则 .∴
∴Q3( ) ……………………………………………8分
所以,所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2( )、Q3( ).
【例3】已知抛物线 .
(1)求抛物线顶点M的坐标;
(2)若抛物线与x轴的交点分别为点A、B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
解得 , .∵ .∴ .∴ .----------- 6分
②若∠PCA=90°,则 .∴
解得 , .∵ ,∴ .∴ .
当点P在对称轴右侧时,PA>AC,所以边AC的对角∠APC不可能是直角.
∴存在符合条件的点P,且坐标为 , .---------------- 8分
【例4】如图,抛物线 ( >0)与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧,且 .
相关文档
最新文档