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高二数学4月月考试题理含解析_1(共17页)

高二数学4月月考试题理含解析_1(共17页)

师范大学附属中学2021-2021学年(xuénián)高二数学4月月考试题理〔含解析〕一､选择题(一共14小题；一共70分)1.在的二项展开式中,x的系数为()A. 10B. -10C. 40D. -40 【答案】D【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中x的项的系数.详解：∵,∴当时,.∴,应选D.点睛：此题主要考察二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比拟明确，主要从以下几个方面命题：〔1〕考察二项展开式的通项公式；〔可以考察某一项，也可考察某一项的系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.的顶点到渐近线的间隔等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析(jiě xī)】分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的间隔公式求解即可. 【详解】双曲线的顶点为.渐近线方程为：.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的间隔等于.应选A.【点睛】此题主要考察了双曲线的几何性质，属于根底题.3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间是为40秒，假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间是为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，应选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度〞要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度〞为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．4.展开式中的常数(chángshù)项为〔 〕A. 80B. -80C. 40D. -40【答案】C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.应选：C.【点睛】此题主要考察二项式定理、二项展开式的应用，纯熟运用公式来解题是关键. 5.的二项展开式中系数最大的项是〔 〕A. 第五项B. 第六项C. 第七项D. 第五项和第七项 【答案】D 【解析】 【分析】10(1)x -的二项展开式中第项的系数为，结合二项式系数的大小关系，即可求解.【详解】10(1)x -展开式的通项为，当时，系数为负数， 故当或者时，展开式中系数最大为或者，即第5项或者(huòzhě)第7项的系数最大.应选：D.【点睛】此题考察二项展开式项的系数、二项式系数的性质，注意展开式中系数为负数情况，属于根底题.6.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B【解析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．假如是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开场分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，一共12种；假如是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，一共6种，因此总一共12+6=18种情况．7. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或者遗漏,防止此类错误发生的有效方法(fāngfǎ)是按照一定的HY进展列举.8.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24B. 48C. 60D. 72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，那么个位数应该为1或者3或者5，其他位置一共有种排法，所以奇数的个数为，应选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进展分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在此题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．9.的展开式中的系数是〔〕A. 56B. 84C. 112D. 168 【答案】D【解析】x y的因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以22系数为.应选D.【考点定位】二项式定理10.如图，在圆心角为直角(zhíjiǎo)的扇形中，分别以为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，把下面的阴影局部平均分成两局部，然后利用位移割补法，分别平移到图中划线局部，再结合几何概型中面积型概率公式求解即可.【详解】解：设扇形的半径为r，那么扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影局部平均分成两局部，然后利用位移割补法，分别平移到图中划线局部，那么阴影局部面积为：，所以此点取自阴影局部的概率是：，应选C.【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察几何概型的应用以及观察推理的才能.重点考察了如何求解阴影局部的面积，即如何巧妙地将不规那么图形的面积化为规那么图形的面积来求解.属中档题.11. 将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，那么不同的排列方法一共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】A【解析】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,那么其余元素就可以确定了. 解:先排第一列,由于每列的字母互不一样,因此一共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母一共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此一共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.12.椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】设P点坐标，那么，，，于是，故.∵∴.应选B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系13.(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，那么a＝A. －4B. －3C. －2D. －1【答案】D【解析】【详解】由题意知：，解得，应选D.【考点定位】本小题主要考察二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考察,属容易题,纯熟根底知识是解答好本类题目的关键.的展开式中含有常数项的最小的为〔〕A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】求出展开式的通项公式(gōngshì)，令x的系数为0，得到关系，再由，即可求解.【详解】()2nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中通项为，令，的最小值为. 应选：A.【点睛】此题考察二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式，属于根底题. 二､填空题(一共6小题；一共30分)15.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，那么在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 .〔结果用数值表示〕 【答案】【解析】试题分析：这是一个古典概型问题，设两名男生记作，四名女生记作，那么从名男生和4名女生中选出4人所有的取法有：一共种，其中男女都有的取法是一共种，那么在选出的志愿者中，男、女都有的概率为，故答案填1415. 考点：古典概型．【方法点晴】此题是一个古典概型问题，属于中档题.解决此题的根本思路是，首先将从2名男生和4名女生中选出4人所有的取法即根本领件的总数一一列举出来，然后再找出符合条件的事件即选出的志愿者中，男、女都有的事件总一共有多少个，进而可求出所需概率.另外此题也可以用间接法求解，即先求出所选四人全为女的概率，从而可得男女都有的概率.16. 盒子中装有编号(biān hào)为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，那么这两个球的编号之积为偶数的概率是___________〔结果用最简分数表示〕【答案】【解析】【分析】先分清楚9个数中奇数和偶数的个数，可知事件“选出的两球编号之积为偶数〞的对立事件为“选出的两球都是奇数〞，然后利用古典概型和对立事件的概率可计算出所求事件的概率．【详解】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．故答案为13 18．【点睛】此题考察古典概型与对立事件的概率，弄清楚事件之间的关系是解此题的关键，考察计算才能，属于中等题．17.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，那么骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________ 〔用数字答题〕．【答案】590【解析】【分析】方法一共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【详解(xiánɡ jiě)】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51＝20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51＝60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C 31C 41C 53＝120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C 32C 42C 51＝90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C 31C 42C 52＝180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C 32C 41C 52＝120种， 一共计20+60+120+90+180+120＝590种 故答案为590.【点睛】此题主要考察了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步，属于根底题.的展开式中第项与第项的二项式系数相等，那么该展开式中的系数__．【答案】56 【解析】试题分析：首先根据1()nx x展开式中第3项与第7项的二项式系数相等得；然后写出其展开式的通项，令即可求出展开式中21x 的系数. 考点：二项式定理.19.将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，那么不同的排法一共有 _________ 种〔用数字答题〕 【答案】480 【解析】按C 的位置(wèi zhi)分类，在左1，左2，左3，或者者在右1，右2，右3， 因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可． 当C 在左边第1个位置时，有A，当C 在左边第2个位置时A A ， 当C 在左边第3个位置时，有AA+AA，一共为240种，乘以2，得480．那么不同的排法一共有 480种． 故答案为480．的焦点为，其准线与双曲线相交于,A B 两点，假设为等边三角形，那么_____________【答案】6 【解析】 【分析】抛物线的准线方程为，焦点，根据求出长，得到点坐标，代入双曲线方程，即可求解.【详解】抛物线22(0)x py p =>准线与双曲线22133y x -=相交于,A B 两点， 所以,A B 关于轴对称，又ABF ∆为等边三角形， 抛物线的准线方程为2py =-，焦点(0,)2p F ， 所以不妨设A 在第四象限，代入双曲线方程得，所以.故答案(dá àn)为：6.【点睛】此题考察抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考察求解计算才能，属于根底题. 三､解答题(一共4小题；一共50分)中，圆的方程为．〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线的参数方程是〔为参数〕,l 与C 交于,A B 两点，，求l 的斜率．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用，化简即可求解；〔Ⅱ〕先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进展求解.试题解析：〔Ⅰ〕化圆的一般方程可化为.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程.〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为.设A ，所对应的极径分别为，，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是，..由得，.所以(suǒyǐ)l 的斜率为或者..〔1〕当a=2时，求不等式的解集；〔2〕设函数.当时，，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】试题分析：〔1〕当时⇒⇒；〔2〕由⇒()()3f xg x +≥等价于，解之得.试题解析： 〔1〕当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.〔2〕当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当时，①等价于，无解.当时，①等价(děngjià)于，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞. 考点：不等式选讲.的右焦点为，且经过点.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕设O 为原点，直线与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，假设|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】〔Ⅰ〕因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以，所以，故椭圆的方程为2212x y +=.〔Ⅱ〕设联立得，，，.直线(zhíxiàn)，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线l恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．C ：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于两点，交C的准线于两点．〔Ⅰ〕假设F在线段上，是的中点，证明；∆的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.〔Ⅱ〕假设的面积是ABF【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕．【解析】【分析】设⇒l的方程为．〔Ⅰ〕由F在线段AB上⇒，又⇒//AR FQ；〔Ⅱ〕设l与x轴的交点为⇒⇒⇒〔舍去〕，．设满足条件的AB的中点为．当AB与x轴不垂直时⇒⇒⇒．当AB 与x 轴垂直时⇒与重合⇒所求轨迹方程为21y x =-．【详解(xiánɡ jiě)】由题设，设，那么，且22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，那么l 的方程为〔Ⅰ〕由于F 在线段AB 上，故10ab +=， 记的斜率为的斜率为，那么122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-， 所以//AR FQ〔Ⅱ〕设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 那么1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=， 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =〔舍去〕，11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ． 当AB 与x 轴不垂直时，由可得()211yx a b x =≠+-． 而2a by +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】此题考察了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．内容总结（1）师范大学附属中学2021-2021学年高二数学4月月考试题理〔含解析〕一､选择题(一共14小题（2）1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，。

高二数学4月月考试题理_1 2(共3页)

高二数学4月月考试题理_1 2(共3页)
第HY学2021届高二4月月考
理科(lǐkē)数学试题
一、选择题：
1．函数 导数是〔〕
A. B. C. D.
2．定义在 上的函数 ，其导函数 的图像如下图，那么以下表达正确的选项是〔〕
A． B．
C． D．
3．曲线 和曲线 围成的图形面积是〔〕
A． B． C．1 D．
4．函数 在 处获得极大值10，那么 的值是()
②证明：不等式
内容总结
16. 在 处取最大值,以下各式正确的序号为．
① ② ③ ④ ⑤
三、解答题：
17.〔此题满分是8分〕函数 ．
〔1〕当 时，求函数 的最小值；
〔2〕假设 在 上单Байду номын сангаас递增，务实数 的取值范围；
18.〔此题满分是8分〕函数 的图像在点 处的切线为 ．
〔1〕当 时，求证(qiúzhèng)： ；
〔2〕假设 对任意的 恒成立，务实数 的取值范围；
A． B． C． D．
11.函数 且函数 的零点均在区间 内，圆 的面积的最小值是〔 〕
A. B. C. D.
12.函数 ，在区间 上任取三个数 均存在以 ， ， 为边长的三角形，那么 的取值范围是〔〕
A． B. C. D.
二、填空题：
13．函数 的单调递增区间是.
14． .
15．设函数 的定义域为R+，假设对于给定的正数K，定义函数 ，那么当函数 时，定积分 的值是.
8．函数 在区间 上有最小值，那么实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
9.函数 对定义域 内的任意 都有 ，且当 时导函数 满足 ，
假设 ，那么〔〕
A. B.
C. D.
10．设D是函数(hánshù) 定义域内的一个子区间，假设存在 ，使 ，那么称 是 的一个“次不动点〞，也称 在区间D上存在次不动点，假设函数 在区间 上存在次不动点，那么实数a的取值范围是〔〕

(优辅资源)四川省高二数学4月月考试题 理

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新津中学高2014级4月月考数 学 试 题(理科)（总分150分，时间120分钟）一、选择题（每小题5分）1.命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m <0”的否定是（ ）A ．∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≥0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≥0 C ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 D ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≥02．双曲线2x 2－2y ＝－1的焦点到其渐近线的距离等于( )A.12B.22C.1D. 2 3.设R a a ∈≠，0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为（ ） Ａ (a,0) Ｂ(0,a) Ｃ (0,a161) D 随a 的符号而定 4．双曲线x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A. 32B.34C.22D.235.若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0)6.”“62<<m 是“方程16222=-+-my m x 为椭圆方程”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件7.连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切的概率为( )A.16B.118C.19D.138.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅=，则12F PF ∆的面积是（ ）A.19.正方体1111D C B A ABCD -中，11P CC BB 为平面内一动点，且P 到BC 的距离与P 到11D C 的距离之比为2，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线 C.双曲线 D.椭圆10.已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e <5－2B ．1<e <2C ．1<e <3D ．1<e <2＋ 511.如图，21F F 、为椭圆134x 22=+y 的左、右焦点，点P 为椭圆C 上一点，延长21PF PF ，分别交椭圆C 于A 、B ，若F 211=，F PF 22λ=，则λ=( )A.1B.2C.4 D.5T =4为周期的函数 A. )38315(， B.)7315(， C.)3834(， D.)734(， 二．填空题(每小题5分)13．已知命题R x p ∈∃:，0122≤++ax ax 是真命题，则实数a 的取值范围是____________.14．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是_______.15．过椭圆221164x y +=内一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程是___________.16．过双曲线1422=-y x 的左焦点F 1作一条l 交双曲线于P 、Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是____________．三、解答题(5*12+10=70分)：17．已知0>a ，设命题p :函数xa y =在R 上单调递增；命题q :不等式012>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围.18.（1）已知双曲线与椭圆12449y 22=+x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程. （2）），求椭圆标准方程，（和），（已知椭圆经过点11B 50A 的一元二次方程x （2）设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段22BF AF ，的中点，若坐标原点O 在以MN k 的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线11:l y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2212:()l y kx m m m =+≠ 与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示． （ⅰ）证明：120m m +=；（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．22.在极坐标系中，已知圆θρ3cos =与直线0s 4cos 2=++a in θρθρ相切，求实数a 的值。

四川省成都市石室中学高二4月月考数学(理)试题

四川省成都市石室中学高二4月月考数学(理)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ ）A ．221312y x -= B ．18222=-x y C ．18222=-y x D ．221312x y -= 3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离 4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x R ∀∈，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ ） A ．①③B ．③④C ．①②D ．①④10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ ）A.线段B.椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+ B ．1224++C ．2+．8+12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ ）A B C ． D ．3二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 ．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a = ．16.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ． （Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ D ）A ．221312y x -= B ．18222=-x y C ．18222=-y x D ．221312x y -= 3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ C ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离 4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ B ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ B ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ A ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ C ） A ．①③B ．③④C ．①②D ．①④10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ C ）A.线段B.椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ D ）A ．8+B ．1224C ．2+．8+12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ A ）A BC ．D ．3二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 43 ． 14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a 4 ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为26．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos2A A ∴=⇒=.…………………4分（Ⅱ）由1cos sin 22A A =⇒=，由22sin sin a a A A=⇒==………………6分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.………………8分∴11sin 2224==⋅=ABC S bc A △.…………………10分 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． (2)分即()224244q q +=+，化简得220qq -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分 （Ⅱ）因为2n n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．所以()212n n n a b n =-．……………………………………………………………7分则()()231123252232212n n nTn n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ② (9)分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-- (10)分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n nT n +=+-．……………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1A CO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分因为1AO CO O =， 所以BD ⊥平面1A CO ． (3)分因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO ．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==． (6)分则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．………………………7分 设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ，因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．…………………………………………………………9分 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分所以cos ,4<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4．……………………………………12分20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程． 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则1PF r =+.设(),P x y ，根据圆P 与x 轴相切，以及动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧，可得0r y =>，1y =+.……………………3分 化简得：24x y =．所以，动点P 的轨迹C 的方程为()240x y y =>.……………………5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为2y kx =+ 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=……………………7分 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212121248x x x x k x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，……………………10分12k =±直线AB 的方程为122y x =+或122y x =-+．……………………12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．解：（Ⅰ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c =，得2a b ==c a=. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |=.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-= ………6分设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. ………8分 从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-==………10分由|AB |=23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. ………12分22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ． （Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？解：（Ⅰ）设),(y x C ，∵)0,1(-A ，)0,1(B ∴)3,3(y x G ……1分又∵Q 是外心，且AB QG // ∴)3,0(y Q ……2分∵||||QC QA =∴9491222y x y +=+，即)0(1322≠=+y y x ………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知)3,0(),3,0(21A A - 设N A 1的方程为3-=kx y ，∵M A N A 11⊥∴M A 1的方程为31--=x ky ，代入方程1322=+y x 得：032)13(22=++kx x k ，解得1332,0221+-==k kx x ，…………6分 代入方程31--=x ky 可得)13333,1332(222+-+-k k k k M ………8分 ∴k k k k k k M A 313323133332222=+--+-=， ∴M A 2的方程为33+=kx y …………10分∴由)32,3(333--⇒⎩⎨⎧+=-=k P kx y kx y∴点P 在定直线32-=y 上． ………12分。

2023_2024学年四川省成都市高二下册4月月考数学(理)试题(附答案)

2023_2024学年四川省成都市高二下册4月月考数学(理)试题(附答案)

2023_2024学年四川省成都市高二下册4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（ ）1i z =-21z z -=A ．B ．C ．D ．31i2--11i 2--11i 2-11i 2+【正确答案】B【分析】将复数z 代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z -=-+=-+=---故选：B ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．在区间上，是增函数(2,1)-()f x B ．当时，取到极小值2x =()f x C ．在区间上，是减函数(1,3)()f x D ．在区间上，是增函数(4,5)()f x【正确答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x 得极大值（函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，12x <<()0f x '>()f x 45x <<，递增，D 正确．()0f x '>()f x 故选：D.4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【正确答案】B【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 12x x >错误；故选：B.5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图π所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算 的近似值（其中P 表示的近πππ似值）”.若输入，输出的结果P 可以表示为8n =A ．B ．11114(1)35711P =-+-+- 11114(135713P =-+-++ C ．D ．11114(1)35715P =-+-+- 11114(1)35717P =-+-++ 【正确答案】C根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6．椭圆与直线相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线22221x y a b +=10x y +-=的斜率为2，则=（ ）ab ABCD ．2【正确答案】A【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--a b 【详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x x y y y a b --+=整理可得．222,b a a b =故选：A7．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 函数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．14131223【正确答案】C【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]利用几何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+ 在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1B C D【正确答案】B【分析】由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以//EF AC BEF EF x =BEF ∆及五边形的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当为何值时，ECDAF x 体积取得最大值.【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为//EF AC BEF EF x =BEF，所以五边形的面积为，故五x 2xECDAF 22222x =棱锥的体积为.令，解得()23110238x x x x ⎛⎫⨯=-<< ⎪ ⎪⎝⎭'32131088x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭时，单调递减，故在x =0x <<318x x -2x <<318x x -.故选B.x =本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为.），考查锥体a 2的体积公式，考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.9．已知点，若在圆上存在点满足，()()2,0,1,0M N -221:()(1)4C x a y -+-=P 2PM PN =则正实数的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．[]2,41⎡+⎢⎣22⎡⎢⎣59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C 【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在(),P x y 2PM PN=22:(2)4E x y -+=P C 圆上，所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.E C E【详解】设，由，得(),P x y 2PM PN==整理得，即；2240x y x +-=22(2)4x y -+=记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，22:(2)4E x y -+=P C E C E所以，即，解得.3522CE ≤≤3522≤≤22a +≤≤故选：C.10．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是E P 0PA PF ⋅=E （ ）A ．B ．C ．D ．()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【正确答案】B【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率00公式即可得到所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a 设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.11．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，R ()f x ()()2xf x f x e =-0x >恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）()()f x f x '>A ．B ．()()523e f f <-()()523f e f <-C ．D ．()()523e f f ->()()523f e f -<【正确答案】B【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比()()x f x g x e =()0,∞+较大小得到答案.【详解】构造函数，因为，所以()()x f x g x e =()()2x f x f x e =-()()2x f x f x e -=则，所以为偶数()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====()g x 当时，，所以在上单调递增，0x >()()()0x f x f x g x e '-'=>()g x ()0,∞+所以有，则，即，即.()()32g g >()()32g g ->()()3232f f e e -->()()532e f f ->故选B本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.()()x f x g x e =12．已知函数若函数恰有5个零点，则实2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+数的取值范围是（ ）a A ．B ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．91,8⎛⎤⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形1x >()e ln xf x x =结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a【详解】当时，，则，1x >()e ln xf x x =()2ln 1e ln x f x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)ta t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =二、填空题13．已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，x y 1.050.85y x =+则______．m =x24568y34.5m7.59【正确答案】6.5##132【分析】根据样本中心点一定在回归直线上，代入求解即可.【详解】245685,5x ++++==3 4.57.5924.55m m y +++++==样本点的中心的坐标为24(5,),5m +代入得：1.050.85y x =+24 1.0550.85,5m+=⨯+6.5.m =故6.514．若实数，满足约束条件，设的最大值为，则x y 30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x y +a ______．11(2)d ax x x +=⎰【正确答案】##24ln 5+ln 524+【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出a ，再计算定积分作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ABC，15(2,1),(1,1),(,22A B C-令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2x y z +=2y x z =-+2-z 画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，0:2l y x =-0l 1l 1l A 1lz 于是，即，max 2215z =⨯+=5a =所以.5252211111(2(2(ln )|(5ln 5)(1ln1)24ln 5ax x x x x x x x +=+=+=+-+=+⎰⎰故24ln 5+15．已知点P 为抛物线C ：上一点，若点P 到y 轴和到直线的22(0)y px p =>34120x y -+=距离之和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．【正确答案】=1x -【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C 的准线方程.2p =【详解】过点分别作直线，和y 轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为P 34120x y -+=A B .(,0)2p F 点到直线的距离为.F 34120x y -+=531210d p =+=由定义可知，，则，||||2pPF BP =+||||||||222p AP BP AP PF p d +=+-≥-=当且仅当三点共线时，取等号，,,A P F 所以，解得，12231052p p+-=2p =则抛物线C 的准线方程为=1x -故=1x -16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．x 2121ln n mx e x -≥+1[,)2+∞nm 【正确答案】1e分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在0m <0m >()21ln mx f x x =+上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造1[,)2+∞122n m e e -≥nm e ≥放缩函数对自变量再研究，可解,nm n 【详解】令；当时，，不合题意；2()1ln mx f x x =+0m <1(1)02n f m e -=<<当时，，0m >()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+令，得或，()0f x '<10x e -<<112e x e --<<所以在区间和上单调递减.()f x 1(0)e -,112(,)e e --因为，且在区间上单调递增，1121(,)2e e --∈()f x 12(,)e -+∞所以在处取极小值，即最小值为.()f x 12x e -=2m e 2m e 若，，则，即.12x ∀≥12()n f x e -≥122n me e -≥nm e ≥当时，，当时，则.0n ≤0nm ≤0n >n n n m e ≤设，则.()()0n n g n n e =>1()nng n e -'=当时，；当时，，01n <<()0g n '>1n >()0g n '<所以在上单调递增；在上单调递减，()g n (0,1)(1,)+∞所以，即，所以的最大值为.()(1)g n g ≤1nn ee ≤nm 1e故 1e本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，(,)0f x l ³λx D ∈求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可λ以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．0a >∆<0a<00∆>三、解答题17．已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 四象限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨是真命题，求实数的取值范围．p ⌝m 【正确答案】[][)2,03,-+∞ 【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞ 18．已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【正确答案】(1)；516y x =-(2)最大值为2，最小值为.103-【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式4a =3x =写出切线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-（2）因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()fx 103-19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20～9：40记作区间，9：40～10：00记作，10：00～10：20记作，[)20,40[)40,60[)60,8010：20～10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64．[]80,100(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20～10：00之间通过的概率是多少？【正确答案】(1)10:04(2)35【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为9:2010:40～，即：10点04分.300.00520500.01520700.0220900.012064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：[20,60)5(0.005200.01520)2⨯⨯+⨯=，，1a 2a 时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，[60,80)50.02202⨯⨯=1b 2b 时间段内抽取车辆数为，记为：，[80,100]50.01201⨯⨯=c 所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，，，，，121(,,)a a b 122(,,)a a b 12(,,)a a c 112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b 21(,,)a b c ，共10个，22(,,)a b c 12(,,)b b c 恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，9:2010:00～112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c ，，共有6个，212(,,)a b b 21(,,)a b c 22(,,)a b c 所以恰有1辆为之间通过的概率为.9:2010:00～63105p ==20．如图1，在梯形中，，，，，，线段ABCD BC AD ∥AB AD ⊥2AB =3BC =4=AD 的垂直平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，AD AD E BC F CDEF EF C 分别到点，的位置，得到几何体，如图2所示．D G H ABFEHG(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；EH P PAF ∥BGH P 若不存在，请说明理由．(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．AH =ABH BGH 【正确答案】(1)存在，点为线段的中点P EH (2)．12【分析】（1）当点为线段的中点时，先证明平面，再证平面，P EH HG ∥PAF BG ∥PAF 由面面平行判定定理证明；（2）先证明，再以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴AE EH ⊥E EA EF EH x y z 建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．P EH PAF ∥BGH 证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，2EH =1GF =EH GF ∥P EH 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，1HP GF ==HP GF ∥HPFG HG PF ∥因为平面，平面，所以平面．PF ⊂PAF HG ⊄PAF HG ∥PAF 连接，因为，，所以四边形是平行四边形，PG PE GF ∥1PE GF ==PEFG 所以，且，又，，所以，，所以四PG EF ∥PG EF =EF AB ∥EF AB =PG AB ∥PG AB =边形是平行四边形，所以，ABGP PA BG ∥因为平面，平面，所以平面．PA ⊂PAF BG ⊄PAF BG ∥PAF 因为平面，平面，，HG ⊂BGH BG ⊂BGH HG BG G ⋂=所以平面平面．PAF ∥BGH（2）因为，，AH =2AE EH ==所以，所以，222AE EH AH +=AE EH ⊥又，，所以，，两两垂直．EF EA ⊥EF EH ⊥EA EF EH 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直E EA EF EH x y z 角坐标系，E xyz -则，，，，()2,0,0A ()2,2,0B ()0,0,2H ()0,2,1G所以，，．()0,2,0AB =()2,2,2BH =--()2,0,1BG =-设平面的法向量为，ABH ()111,,m x y z =则，即，得，取，得．00m AB m BH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111202220y x y z =⎧⎨--+=⎩10y =11z =()1,0,1m = 设平面的法向量为，则，即，BGH ()222,,x n y z = 00n BH n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222222020x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩取，得．21x =()1,1,2n = 设平面与平面所成角为，ABH BGH θ则cos ==所以，1sin 2θ===所以平面与平面所成角的正弦值为．ABH BGH1221．已知椭圆过点．()2222:10x y E a b a b +=>>)(1)求椭圆的标准方程；E (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，()1,0T 1l 2l 1lE A B 2l E C D ，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与AB CD M N MN OMN 的面积之比；若不是，请说明理由．TMN △【正确答案】(1)；22142x y +=(2)恒过定点，与的面积之比2，理由见解析．OMN TMN △【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程组，再求解作答.,,a b c （2）设出直线、的方程，与椭圆E 的方程联立，求出点，的坐标，再求出直线1l 2l M N 的方程即可作答.MN【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，依题意可得，，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程是.E 22142x y +=（2）直线恒过定点，MN (2,0)设直线，，，:1AB x my =+()0m ≠()()1122,,,A x y B x y 由消去x 得，22124x my x y =+⎧⎨+=⎩()222230m y my ++-=则，12122223,22m y y y y m m --+==++设点，则，，(,)M M M x y 12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++即，显然直线，同理可得，222(,22mM m m -++1:1CD x y m =+2222(,)2121m m N m m -++直线的斜率有，MN MN k ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++因此直线，即，过定点，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+()2,0Q 显然点是线段中点，设点到直线的距离分别为，T OQ ,O T MN 12,d d 则，112212212OMNTMN MN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 所以直线恒过定点，与的面积之比为2.MN ()2,0Q OMN TMN △22．已知函数．()ln f x x ax=-(1)求的单调区间．()f x (2)若存在两个不同的零点，且()fx 12,x x12x x <<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，并讨论a 的范围，利用导函数的正负得到函数的单调区间；()f x （2）根据零点存在定理可得，1211e x x a <<<<1212x xa +<<令，转化为：221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-<，设，通过求导分析单()()22111lnln 1022t tt t t +-⋅-+-<()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-调性即可证明．【详解】（1）因为，，所以()ln f x x ax=-0x >()11axf x a x x-'=-=（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递0a >()0f x '=1x a =10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭增；时，，在单调递减；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）因为存在两个不同的零点，且．所以且，()f x 12,x x 12x x <0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即，解得，且，1ln 10a ->10e a <<121x x a <<根据题意，()()1ln100f a a a a =-=-=->所以，所以，()10fa =-<()11e ln e e 1e 1e 00e e f a a a ⎛⎫=-=->-=<< ⎪⎝⎭所以，又，所以，()e 0f>10e a <<1211e x x a <<<<，所以，<()()120f x f x ==1212ln ln x x ax x ==（，且），ln ln 2a b a ba b -+<<-,0a b >a b ¹证明：设，则，设，0a b >>1>ab ()1a t t b =>对数不等式即为，，12ln t t t <-()21ln 1t t t ->+由的导数，12ln y t t t =-+()22212110t y t t t -'=--=-<可得在递减，则恒成立，12ln y t t t =-+()1,+∞12ln 0y t t t =-+<即；12ln t t t <-由的导数，()21ln 1t y t t -=-+()()()222114011t y t t t t -'=-=>++可得在递增，则恒成立，()21ln 1t y t t -=-+()1,+∞()21ln 01t y t t -=->+即；()21ln 1t tt ->+，()12121212121ln ln 2x x x x x xx x a x x a --+<==<--<+<令，所以可以转化为：，221x t x =1212ln ln x x x x =()122ln ln 11t x t t =>-，1t t +⎫<⎪⎭1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-⋅+<--即证，即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-⋅+-+<-()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-1t >，()()()211112ln 12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+设，则，()11ln22t t h t t t +-=+()22222111112101222121t t h t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=⋅-+=⋅=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭则，所以在递减，可得，所以不等式得证；()0m t '<()m t ()1,+∞()()10m t m <=本题充分讨论函数的单调性，利用变量转化和构造函数证明不等式.。

数学-高二-四川省成都市新都一中高二(下)4月月考数学试卷(理科)

数学-高二-四川省成都市新都一中高二(下)4月月考数学试卷(理科)

2015-2016学年四川省成都市新都一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在x﹣（2a+1）2，60，44.8，4.85）g范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.7 D．0.68【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】本题是一个频率分布问题，根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，写出质量在0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈0，4）16．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，，则该双曲线的离心率为5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|BF|2=|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．【解答】解：在△AFB中，由余弦定理可得|BF|2=|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF，即有64=|AB|2+36﹣12|AB|•化为|AB|2﹣|AB|﹣28=0，解得|AB|=10．由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F'为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．结合矩形性质可知，2c=10，利用双曲线定义，2a=8﹣6=2，所以离心率e==5．故答案为：5．三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求写出解答过程）17．已知命题p：2x2﹣5x+3＜0，命题q：•（x﹣2a）≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由2x2﹣5x+3＜0得1＜x＜，由•（x﹣2a）≤0得2a≤x≤2a+1，∵p是q的充分不必要条件，∴，得得≤a≤，即实数a的取值范围是≤a≤．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若a∈，b∈，求方程没有实根的概率．【考点】等可能事件的概率．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于即“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为∴所求的概率P（B）=19．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线C：y2=2px（p＞0），点A（2，y0），代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x﹣4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证．【解答】（Ⅰ）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），点A（2，y0），则有，∵，∴，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，解得A（4，4），B（4，﹣4），满足，∴OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x﹣4），联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2﹣4k2（x1+x2）+16k2=16（1+k2）﹣32k2﹣16+16k2=0，即有OA⊥OB．综上，OA⊥OB成立．20．已知集合M={x|x＜﹣3，或x＞5}，P={x|（x﹣a）•（x﹣8）≤0}．（1）求M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件；（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）根据已知中集合M={x|x＜﹣3，或x＞5}，P={x|（x﹣a）•（x﹣8）≤0}，结合二次不等式的解集，分a≥8，5＜a＜8，﹣3≤a≤5，a＜﹣3，几种情况分析M∩P={x|5＜x≤8}是否成立，可得结论；（2）结合（1）中结论及充要条件的定义，任取a∈，如a=0，可得答案．【解答】解：（1）∵集合M={x|x＜﹣3，或x＞5}，P={x|（x﹣a）•（x﹣8）≤0}．若a≥8，则M∩P={x|8≤x≤a}，不满足条件；若5＜a＜8，则M∩P={x|a＜x≤8}，不满足条件；若﹣3≤a≤5，则M∩P={x|5＜x≤8}，满足条件；若a＜﹣3，则M∩P={x|a＜x＜﹣3，或5＜x≤8}，不满足条件；故M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件为a∈（2）任取a∈，如a=0，则“a=0”时，M∩P={x|5＜x≤8}成立，但“M∩P={x|5＜x≤8}”时，“a=0”不一定成立，故a=0即为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．（注：任取a∈，均可）21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM 于点N，证明：点N在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（i）求得F（﹣2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围；（ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由可得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．22．已知关于x的一次函数y=mx+n．（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数y=mx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得．（2）本小题是几何概型问题，欲求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得．【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：Ω={（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}共10个基本事件设使函数为增函数的事件空间为A：则A={（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}有6个基本事件所以，（2）m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分∴所求事件的概率为．2016年10月25日。

四川省成都市石室中学高二数学4月月考试题理

四川省成都市石室中学高二数学4月月考试题理

成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ ）A ．221312y x -= B ．18222=-x y C ．18222=-y x D ．221312x y -=3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x 6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2p ：若()22x x f x -=-，则x R ∀∈，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =；4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+．12++C ．2+．8+12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ ）A B C ． D ．3二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次 为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 ．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为12,F F ，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则a = ．16.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ．（Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期三四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214yx -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ D ）A ．221312y x -= B ．18222=-x y C ．18222=-y x D ．221312x y -=3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ C ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ B ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x 6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ B ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ A ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ C ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ C ）A.线段B.椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ D ）A ．8+．1224++C ．2+．8+12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ A ）A B C ． D ．3 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 43 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则a 4 ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 26 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos2A A ∴=⇒=.…………………4分（Ⅱ）由1cos sin 22A A =⇒=，由22sin sin a a A A =⇒==.………………6分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.………………8分∴11sin 22===ABC S bc A △.…………………10分 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分 （Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分 ()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO BD ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO ．……………………………………………………………3分 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．………………………7分设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．…………………………………………………………9分同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分所以cos ,<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程． 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则1PF r =+.设(),P x y ，根据圆P 与x 轴相切，以及动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧，可得0r y =>，1y =+.……………………3分化简得：24x y =．所以，动点P 的轨迹C 的方程为()240x y y =>.……………………5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为2y kx =+ 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=……………………7分 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212121248x x x x k x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，……………………10分12k =±直线AB 的方程为122y x =+或122y x =-+．……………………12分21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．解：（Ⅰ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离bcd a==， 由12dc =，得2a b ==解得离心率c a . ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-= ………6分设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. ………8分从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-== (10)分由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. ………12分 22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ． （Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？解：（Ⅰ）设),(y x C ，∵)0,1(-A ，)0,1(B ∴)3,3(yx G ……1分 又∵Q 是外心，且AB QG // ∴)3,0(y Q ……2分∵||||QC QA =∴9491222y x y +=+，即)0(1322≠=+y y x ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知)3,0(),3,0(21A A -设N A 1的方程为3-=kx y ，∵M A N A 11⊥∴M A 1的方程为31--=x k y ，代入方程1322=+y x 得： 032)13(22=++kx x k ，解得1332,0221+-==k kx x ，…………6分 代入方程31--=x k y 可得)13333,1332(222+-+-k k k k M ………8分 ∴k k k k k k M A 313323133332222=+--+-=， ∴M A 2的方程为33+=kx y …………10分∴由)32,3(333--⇒⎩⎨⎧+=-=k P kx y kx y ∴点P 在定直线32-=y 上． ………12分。

2023-2024学年四川省成都市(宁夏区)高二下册4月月考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市(宁夏区)高二下册4月月考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市（宁夏区）高二下册4月月考数学（理）试题一、单选题1．若(1i)1i z +=-，则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．i-D ．i【正确答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到z ，再根据复数的定义判断即可.【详解】因为(1i)1i z +=-，所以()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-，所以i z =，所以z 的虚部为1.故选：A2．用反证法证明命题：“设a 、b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根【正确答案】A依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．【详解】方程30x ax b ++=至少有一个实根的反面是方程30x ax b ++=没有实根，因此，用反证法证明命题：“设a 、b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”.故选：A.3．设函数()31f x x =+．则()π2π2f x dx -⎰值为（）A ．1π62+B ．0C ．1D ．π【正确答案】D【分析】利用微积分基本定理可求得所求定积分的值.【详解】因为()31f x x =+，则()()πππ22342πππ2221d 1d 4f x x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰441ππ1πππ422422⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：D.4．已知M 是曲线21ln 2y x x ax =++上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞-【正确答案】B 【分析】分析可知1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，结合参变量分离法以及基本不等式可求得实数a 的取值范围.【详解】函数21ln 2y x x ax =++的定义域为()0,∞+，且1y x a x'=++，因为曲线21ln 2y x x ax =++在其上任意一点M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以，1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，则11a x x-≤+，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以，12a -≤，解得1a ≥-.故选：B.5．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+ D ．1122a b c-+【正确答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c =+=+=+-=-++uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r r r r，根据空间向量基本定理可知：只有1122-++ a b c 与BM相等.故选：A.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（）A ．回归直线必过点(),x yB ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数0r >时，两个变量正相关D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则r 就越接近于0【正确答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点()x y ，A 对；对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数0r >时，两个变量正相关，C 对；对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则r 就越接近于0，D 对.故选：B.7．()f x '是()f x 的导函数，若()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】先利用题给导数图像得到()f x '的正负情况，再利用导数几何意义即可求得()f x 单调性，进而得到()f x 的可能图象.【详解】由()f x '的图象可得，当0x <时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；当10x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x x >时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增.则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．用数学归纳法证明“()*11112321n n n +++⋯+<∈-N ”时，由假设()*1,n k k k =>∈N 不等式成立，推证1n k =+不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（）A ．kB ．12k -C ．2kD ．12k +【正确答案】C【分析】分析当n k =、1n k =+时，不等式左边的项数，作差后可得结果.【详解】用数学归纳法证明“()*11112321n n n ++++<∈-N ”,当n k =时，左边11112321k =++++- ，共()21k-项，当1n k =+时，左边111112321k +=++++- ，共()121k +-项，所以，由假设()*1,n k k k =>∈N 不等式成立，推证1n k =+不等式成立时，不等式左边应增加的项数为()()121212k k k +---=.故选：C.9．已知,R a b ∈，若x a =不是函数21()()()(1)x f x x a x b e -=---的极小值点，则下列选项符合的是（）A ．1b a ≤<B ．1b a <≤C ．1a b<≤D ．1a b <≤【正确答案】B【分析】利用数轴标根法，画出()f x 的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.【详解】解：令21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=，得123,,1x a x b x ===.下面利用数轴标根法画出()f x 的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.对选项A ：若1b a ≤<，由图可知x a =是()f x 的极小值点，不合题意；对选项B ：若1b a <≤，由图可知x a =不是()f x 的极小值点，符合题意；对选项C ：若1a b <≤，由图可知x a =是()f x 的极小值点，不合题意；对选项D ：若1a b <≤，由图可知x a =是()f x 的极小值点，不合题意；故选：B.方法点睛：利用数轴标根法，口诀“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出()f x 的草图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，过原点的直线交椭圆于A 、B （A 在第一象限）由A向x 轴作垂线，垂足为C ，连接BC 交椭圆于D ，若三角形ABD 为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．2D ．3【正确答案】B【分析】设点()00,A x y 、()11,D x y ，其中00x >，00y >，则()00,B x y --、()0,0C x ，分析可知1DA AB k k =-，利用点差法可得出22DA DB b k k a =-，可求得22b a，由e =可求得该椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点()00,A x y ，其中00x >，00y >，则()00,B x y --、()0,0C x ，则0AB y k x =，002BC y k x =，设点()11,D x y ，则22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221010220x x y y a b --+=，所以，2221022210y y b x x a-=--，所以，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-=⋅==-≠--+-，则,AD BD 不互相垂直，所以AD AB ⊥，则1AD AB k k =-，所以，001AD AB x k k y =-=-，又因为0000122DA DB DA BCx y k k k k y x ==-⋅=-，所以，2212b a =，所以，该椭圆的离心率为2222222212c c a b b e a a a a -==-=.故选：B.11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),0∞-上有2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，且()20230f =，则不等式()ln 20230x f x ⋅<的解集为（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()(),11,0-∞--U C ．()()1,00,1-U D ．()()1,01,-⋃+∞【正确答案】B【分析】构造函数()()2023,0k x x f x x =⋅<，利用题给条件求得()k x 在(,0)-∞上单调性，再利用奇函数()f x 满足()20230f =求得()20230f -=，进而得到()2023f x 在(,0)-∞上的函数值的正负情况，再利用奇函数的性质即可求得不等式()ln 20230x f x ⋅<的解集.【详解】令()()2023,0k x x f x x =⋅<，则()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则()()2023k x x f x =⋅在(,0)-∞上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()20230f =，则()20230f -=，则()(1)120230k f -=-⨯-=，则当1x <-时，()0k x >，()20230f x <，()ln 20230x f x ⋅<；当10x -<<时，()0k x <，()20230f x >，()ln 20230x f x ⋅<.又由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得当1x >时，()20230f x >，()ln 20230x f x ⋅>；当01x <<时，()20230f x <，()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式()ln 20230x f x ⋅<的解集为()(),11,0-∞--U 故选：B12．下列不等式成立的有（）个．①0.2etan 0.21>+；②1819e 16<；③sin180.3︒>；④311cos 324<．A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】分别构造新的函数，利用导函数分析单调性，即可判断不等式的正误.【详解】解：令()πe tan 1012xf x x x ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭，则()2cos e 1xf x x'=-，()32sin co e s x x f x x ''=-当π012x <<时，πsin sin 12x <，πcos cos 12x >，所以33π2sin2sin 12πcos cos 12x x <，而πππππππ1sinsin sin cos cos sin 1234343422224⎛⎫=-==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，πππππππ1coscos cos cos sin sin 12343434222⎛⎫=-==⨯+= ⎪⎝⎭所以()(242323π2sin23284124561π224cos12⨯--====-+⎝⎭，则()32sin 0c s e o xx f x x''=->，所以()f x '在π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()02100co 0e sf x f ''>=-=，则()f x 在π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()0e tan 0100.20f f >--==，所以0.2e tan 0.210-->，即0.2e tan 0.21>+，①正确；令()3e 12xf x x =--，可得()3e 2x f x '=-，因为()030e 02f '=-<，103f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()108f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即18310e 128>-⨯-，可得1819e 16>，②错误；如图，ABC 是顶角为36o 的等腰三角形，D 为BC 的中点则()118036722B ∠=⨯-=o o o ，AD BC ⊥设1BC =，AB AC x ==，则sin cos BAD B ∠=，即112sin18cos 722x x===o o ，由正弦定理可得sin sin AC BCB BAC=∠，即11cos 36sin 72sin 362sin 36cos 36sin 362x x x=⇒=⇒=o o o o o o，又由余弦定理可知22222121cos3622x x x x x x +--==⋅o，所以23222121022x x x x x -=⇒-+=，则()()2110x x x ---=，解得11x BC =<（舍），20x =<（舍），312x =，sin180.3∴=o ，③正确；令()211cos 2f x x x =--，可得()sin f x x x '=-+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1101cos 324>--，可得311cos 324<，④正确；综上所述，①③④正确，故选：C.关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数，并选择合适的定义域，利用求导分析函数的单调性及最值，进而证明不等式，属于难题.二、填空题13．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，则4z z+表示的复数为______．【正确答案】3i +##i 3+【分析】先由图中得到1i z =-，再利用复数的运算规则即可求得4z z+表示的复数.【详解】由图可得，1i z =-，则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故3i+14．若曲线在21sin 24y x x =+在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线互相垂直，则12x x -的最小值为________．【正确答案】π2##12π【分析】化简可得1πsin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[1,1]-范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是1-，即可求出.【详解】 2111cos 21πsin 2sin 2sin 244223x y x x x x +⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭∴曲线的切线斜率在[1,1]-范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是1-.不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有()111π22πZ 3x k k +=∈，()222π22ππZ 3x k k +=+∈，则可得()()1212ππππZ 22x x k k k k -=--=-∈，所以12minπ2x x -=.故答案为.π215．已知椭圆C ：22221(1)1x y a a a +=>-，过右焦点的直线交椭圆于,A B ，若满足OA OB OA OB -=+，则a 的取值范围______．【正确答案】⎛ ⎝⎦【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为()1,0，设直线AB 方程为1x ny =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立得交点坐标关系，由OA OB OA OB -=+ 得0OA OB ⋅=，即()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=，整理得关于n 得方程有解，即可得a 的取值范围.【详解】已知椭圆C ：22221(1)1x y a a a +=>-，则其右焦点坐标为()1,0，过右焦点的直线交椭圆于,A B ，若满足OA OB OA OB -=+ ，所以0OA OB ⋅=，则设直线AB 方程为1x ny =+，()()1122,,,A x y B x y则2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩，所以()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦，显然0∆>恒成立，所以()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩，则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++ ()()()()()222222222212111011a n a n n n a a n a a----=+⋅+⋅+=-+-+整理得()()()22222111a a a a na a +---=--，所以()()()22221101aa a a a a +---≥--，又1a >，所以2101a a a ⎧--≤⎨>⎩，解得112+<≤a ，所以a的取值范围为⎛ ⎝⎦.故答案为.⎛ ⎝⎦方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知函数2()ln 2(1ln )f x a x x x =+-，R a ∈，若函数22()e ()2g x f x a =-有且仅有3个零点，则a 的取值范围______．【正确答案】()2e,e【分析】根据函数的导数，分四种情况①若0a ≤，②若01a <<，③若1a =，④若1a >，讨论函数()f x 的单调性；令()0g x =，得222()e a f x =，问题可转化为函数()y f x =与222ea y =的图像有3个不同的交点，根据()f x 单调性可得01a <<或1a >，分两种情况①当01a <<时，②当1a >时，讨论即可得出答案．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2ln 1a f x x x ⎛=-'⎫⎪⎝⎭，①若0a ≤，则10ax-<，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，②若01a <<，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,1)x a ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)a 和(1,)+∞上单调递减，在(,1)a 上单调递增，③若1a =，则()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，④若1a >，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x a ∈时，()0f x '>，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递减，在(1,)a 上单调递增；令()0g x =，则222()e a f x =，所以依题意可得函数()y f x =与222ea y =的图像有3个不同的交点，则有必有01a <<或1a >，①当01a <<时，()f x 在(0,)a 和(1,)+∞上单调递减，在(,1)a 上单调递增，所以()f x 的极大值为()1f 2=，()f x 的极大值为()1f 2=，()f x 的极小值为()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+，又()f a 22222(ln 2ln 2)[(ln 1)1]ea a a a a a a =-+=-+>>，函数()y f x =与222ea y =的图象，如图所示，所以函数()y f x =与222e a y =的图像至多有1个交点，不合题意，②当1a >时，()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递减，在(1,)a 上单调递增，所以()f x 的极小值为()1f 2=，()f x 的极大值为()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+，函数()y f x =与222ea y =的图象，如图所示，所以必须有22222(ln 2ln 2)ea a a a <<-+成立，因为2222ea <，所以e a >，所以2222(ln 2ln 2)e a a a a <-+，所以222ln 2ln 2ea a a <-+(*)，下面求不等式(*)的解集，令ln a x =，则不等式(*)等价于222e 22x x x -<-+，令函数22()22e 2x h x x x -=--+，则2()222e x h x x -=--'，令2222e x y x -=--，有222e x y -=-'，函数2222e x y x -=--在区间(,-∞2]上单调递增，在区间(2,)+∞上单调递减，又()2y 0=，所以2222e 0x y x -=--≤，即()0h x '≤恒成立，故函数()h x 单调递减，又()2h 0=，所以当且仅当2x <时，()0h x >，所以不等式222e 22x x x -<-+的解集为(,2)-∞，即不等式(*)的解集为2(0,e )．所以a 的取值范围为()2e,e ．故()2e,e．三、解答题17．已知函数1()ln ln f x x x=+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：21e()ln x f x x->-．【正确答案】(1)()f x 的单调增区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，()e,+∞，单调减区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令()0f x '=，得121,e e x x ==，确定区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e ，()e,+∞导函数符号，即可得函数的单调区间；（2）将所证不等式转化为2e ln 0x x -->，构造函数2()e ln x x x ϕ-=-，()0,x ∈+∞，求导确定函数的单调性及取值情况，即可证得结论.【详解】（1）定义域()()0,11,+∞ ，222111(ln )1()(ln )(ln )x f x x x x x x -'=-=⋅，令()0f x '=，即()2ln 10x -=，解得121,eex x ==当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()e,x ∈+∞时，()0f x '>，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,e x ∈时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，()e,+∞，单调减区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e ．（2）证明：要证21e()ln x f x x->-，即证2e ln 0x x -->设函数2()e ln x x x ϕ-=-，()0,x ∈+∞，则21()e x x xϕ-='-，令()21ex m x x -=-，则()221e 0x m x x-'=+>恒成立，所以()x ϕ'在()0,∞+上单调递增．又由()11e 10ϕ--'=<，()0112e 022ϕ'=-=>知，()0x ϕ'=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()02001e 0x x x ϕ--'==，即0201e x x -=．当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-，结合021ex x -=，知002ln x x -=-，所以()()()220000000121120x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则()2eln 0x x x ϕ-=->，故原不等式21e()ln x f x x->-得证.18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．2022年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在[)155,165、[)165,175两组中按分层抽样的方法抽取6人参加正式测试，并从中任意选取2人，求两人得分之和大于34分的概率．【正确答案】(1)中位数为184，平均数为185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为m ，利用中位数的定义可得出关于m 的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在[)155,165内抽取2人，分别记为a 、b ，在[)165,175内抽取4人，分别记为A 、B 、C 、D ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为m ，因为()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯，则()175,185m ∈，由中位数的定义可得()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=，解得0.321751840.034m =+≈，平均数1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）．（2）解：跳绳个数在[)155,165内的人数为1000.066⨯=个，跳绳个数在[)165,175内的人数为1000.1212⨯=个，按分层抽样的方法抽取6人，则在[)155,165内抽取2人，分别记为a 、b ，在[)165,175内抽取4人，分别记为A 、B 、C 、D ，从这6人中任意抽取2人，所有的基本事件有：(),a b 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，共15种，两人得分之和大于34分包含的基本事件有：(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，共14种，则两人得分之和大于34分的概率1415P =．19．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【正确答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB的坐标，求得cos ,n PB <> 的最大值，即为直线PB与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D = ，所以l ⊥平面PDC ．（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为,,DP DA DC 两两垂直，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：因为1PD AD ==，设(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则2cos ,31n PB n PB n PBm ⋅<>==⋅+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于2|cos ,|31n PB m <>=⋅+r uu r 2231231m m m ++=+223232||361111313133m m m m =⋅+⋅+≤⋅+=++，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD 63［方法二］：定义法如图2，因为l ⊂平面PBC ，Q l ∈，所以Q ∈平面PBC ．在平面PQC 中，设PB QC E = ．在平面PAD 中，过P 点作PF QD ⊥，交QD 于F ，连接EF ．因为PD ⊥平面,ABCD DC ⊂平面ABCD ，所以DC PD ⊥．又由,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ 平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD ．又PF ⊂平面PAD ，所以DC PF ⊥．又由,,PF QD QD DC D QD ⊥=⊂ 平面,QOC DC ⊂平面QDC ，所以PF ⊥平面QDC ，从而FEP ∠即为PB 与平面QCD 所成角．设PQ a =，在PQD △中，易求21PF a =+由PQE V 与BEC 相似，得1PE PQ a EB BC ==，可得31aPE a =所以22211226sin 1313333a a FEP a a ⎛⎫+⎛⎫∠==+≤= ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立．［方法三］：等体积法如图3，延长CB 至G ，使得BG PQ =，连接GQ ，GD ，则//PB QG ，过G 点作GM ⊥平面QDC ，交平面QDC 于M ，连接QM ，则GQM ∠即为所求．设PQ x =，在三棱锥Q DCG -中，111()(1)326Q DCG V PD CD CB BG x -=⋅⋅+=+．在三棱锥G QDC -中，111323G QDC V GM CD QD GM -=⋅⋅=由Q DCG G QDC V V --=得11(1)63x GM +=⋅解得GM =，当且仅当1x =时等号成立．在Rt PDB △中，易求PB QG ==，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为sin3MQG ∠==．【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为平面QCD 的法向量n 与向量PB 的夹角的余弦值的绝对值，即cos ,n PB <> ，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 与平面QCD 所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用//PB QG ，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．20．设函数2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-，（a ∈R ）．(1)若()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)对任意的[)1,x ∞∈+函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)12a =(2)1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将()f x 在定义域上单调递增，转化为在区间()0,∞+上()0f x '≥恒成立，分类讨论a 并，令()2(1)ln g x a x x =--，求导分析()f x '的单调性即可；（2）()2(1)ln f x a x x '=--，令()ln 1h x x x =-+，分析单调性可知ln 1≤-x x ，进而得到()(21)(1)f x a x '≥--，分类讨论a ，求出()f x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断()0f x ≥是否恒成立.【详解】（1）()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--，若()f x 在定义域上单调递增，则在区间()0,∞+上()0f x '≥恒成立，()10f '=，当0a ≤，()f x '在()0,∞+单调递减，显然不合题意．令()2(1)ln g x a x x =--，121()2ax g x a x x-'=-=，当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112a >，当112x a <<时，()0g x '<，()g x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即()f x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()()10f x f '<=，不合题意，当12a =时，由()0g x '<得01x <<；由()0g x '>得1x >；所以()g x 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，则()()()10f x g x g '=≥=，满足题意，当1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112a <，当112x a <<时，()0g x '>，()g x 在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，即()f x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，则在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()()10f x f '<=，不合题意．综上所述12a =．（2）()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--，令()ln 1h x x x =-+，0x >，则()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(]0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，在1x =处有最大值，则()()1ln1110h x f ≤=-+=，即ln 10x x -+≤，所以ln 1≤-x x ，则()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x '≥---=--，当210a -≥即12a ≥时，由[)1,x ∞∈+得()0f x '≥恒成立，()f x 在[)1,+∞上单调递增，()()10f x f ≥=，符合题意．所以12a ≥．当0a ≤时，由[)1,x ∞∈+得()0f x '≤恒成立，()f x 在[)1,+∞上单调递减，()()10f x f ≤=，不符合题意，0a ≤舍去．当102a <<时，由ln 1≤-x x ，得11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-，则11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为102a <<，所以112a >．11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≤恒成立，()f x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，()()10f x f ≤=，不符合题意，102a <<舍去．综上可得：1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为12⎫⎪⎭．(1)求椭圆方程；(2)A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形AEF 的面积．【正确答案】(1)2214x y +=(2)6425S =或者3215S =【分析】（1）先利用题给条件列方程求得24a =，21b =，进而得到椭圆方程；（2）先分别设出直线AE ，AF 的方程，再与椭圆方程联立，利用设而不求的方法分别求得,AE AF 的代数表达式，利用AE AF =列方程求得直线AE 的斜率，进而求得三角形AEF 的面积．【详解】（1）椭圆C 过点12⎫⎪⎭，则223114a b +=，又2c =223a b =+，所以2231134b b +=+，解之得24a =，21b =，则椭圆方程为2214x y +=．（2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线AE ：y ＝kx ＋1，令11(,)E x y ，由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：()221480k x kx ++=，则1218140A A k x x k x x ⎧+=-⎪+⎨⎪=⎩则AE =，设直线AF ：11y x k=-+，令22(,)F x y ，由221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩整理得：()22480k x kx +-=，则222840A A k x x k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩则AF =由题知AE AF =得：221144kk k =++，不妨设k ＞0，化简方程知：()2(1)310k k k --+=，解之得k＝1，k =又因为()()()()()22222211144323224k AE AFS k k k k k ++=+⋅+==+，将k＝1，k =代入得三角形面积为，6425S =或者3215S =．22．已知2()e 2x a f x x x =--．(1)若()f x 在x ＝0处取得极小值，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x （12x x <），判断122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭的正负，并说明理由．（()f x ''为()f x 的二阶导数）．【正确答案】(1)(),1-∞(2)122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭小于0，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况，根据导数情况讨论函数的单调性即可得出；（2）根据题意可得122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e 1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢-⎢⎥⎣⎦，构造函数2()2e 1e (0)t t g t t t =+->，利用导数即可求解.【详解】（1）由题意得()e 1x f x ax =--'，()00f '=，()e x f x a ''=-，①当0a ≤时，()f x '在(),-∞+∞上单调递增，所以当x ＜0时，()()00f x f ''<=，当x ＞0时，()()00f x f ''>=，所以()f x 在x ＝0处取得极小值，符合题意．当0a >时，由()0f x ''>可得ln x a >，由()0f x ''<可得ln x a <，②当0＜a ＜1时，ln 0a <，()f x '在()ln ,a +∞单调递增，所以当()ln ,0x a ∈时，()()00f x f ''<=，当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，所以()f x 在x ＝0处取得极小值，符合题意．③当a ＝1时，知()f x '在区间(),ln a -∞单调递减，()f x '在区间()ln ,a +∞单调递增，所以()f x '在ln x a =处取得最小值，即()()()ln 00f x f a f '''≥==，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 在x ＝0处无极值，不符合题意．④当a ＞1时，ln 0a >，由（Ⅰ）知()f x '的减区间为(),ln a -∞，所以当(),0x ∈-∞时，()()00f x f ''>=，当()0,ln x a ∈时，()()00f x f ''<=，所以()f x 在x ＝0处取得极大值，不符合题意，综上可知，实数a 的取值范围为(),1-∞．（2）1x ，2x 为()e 1xf x ax =--'的零点，则1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩，1212e e x x a x x -=-，()e x f x a ''=-，121212122212e e e e 2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=- ⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1e e e e x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令212x x t -=，构造函数2()2e 1e (0)t t g t t t =+->，则()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<，所以()g t 在()0,∞+单调递减，故()()0g t g <，故原不等式得证．故122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭小于0．关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论参数情况。

高二数学4月月考试题 理 试题_1(共5页)

高二数学4月月考试题 理 试题_1(共5页)

高台县2021-2021学年高二数学(shùxué)4月月考试题理〔无答案〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕请将答案写在答题卡上.在点处切线的倾斜角为〔〕A. 1B.C.D.2．函数的单调递减区间为〔〕A．〔-1,1〕 B． C．〔0,1〕D．3．假设函数在处获得极值，那么等于() A．2 B．3 C．4 D．54．函数在上的最小值为〔〕A．-4 B．0 C．-2 D．25．函数的定义域为开区间，导函数a b内的图象如下图，那么函数在(,)a b内有极小值点〔〕f x在开区间(,)()A．1个 B．2个 C．3个D．4个在点处的切线与直线平行，那么a等于〔〕A. B. -2 C. 2 D.程在内根的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3时，函数的值域是〔 〕A ．B ．C ．D ．9．把一个(yī ɡè)周长为12 cm 的长方形平面围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．2∶1B ．1∶πC ．1∶2D ．2∶π10．设是函数()f x 的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔 〕的极值是〔 〕A ．B ．C ．D ． 12.函数对于任意的满足〔其中是函数的导函数〕，那么以下不等式不成立的是〔 〕A ． B.C ．D ．二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．假设函数是上的单调递减函数，那么的取值范围是y x O y x O y x O yxO ABCD______．的导数是 .15.曲线(qūxiàn)在点(0,3)处的切线方程为________________．与直线所围成的平面图形的面积为．三．解答题 (本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．〔10分〕当时，求证：.18.〔12分〕某商场销售某种商品的经历说明，该商品每日的销售量〔单位:千克〕与销售价格〔单位：元/千克〕满足关系式，其中，a为常数.销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.〔1〕求a的值；〔2〕如该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19．〔12分〕计算以下定积分：〔1〕〔2〕=〔3〕=20．〔12分〕函数(h ánsh ù)的图象过点，且在点 处的切线方程为.〔1〕求函数的解析式；〔2〕求函数)(x f y =的单调区间.21．(12分).(1)假设，求函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的最大值； (2)假设函数在区间上是减函数，务实数m 的取值范围．22．(12分) 函数.(1)假设(jiǎshè)，求的导数；f x在处获得极值，且极小值为－1，求a，b的值；(2)假设函数()f x的图象上的任意一点的切线斜率为，试讨论(3)假设，函数()成立的充分条件．内容总结。

四川省成都市石室中学高二数学4月月考试题 理

四川省成都市石室中学高二数学4月月考试题 理

成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-ra x，(,4)=b xr，其中∈x R.则“2=x”是“⊥a br r”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（）A．221312y x-= B．18222=-xyC．18222=-yxD．221312x y-=3.直线y ax a=+与圆221x y+=的位置关系一定是（）A．与a的取值有关 B．相切 C．相交D．相离4.设,a b R∈，0ab≠，则直线0ax y b-+=和曲线22bx ay ab+=的大致图形是（）5.圆心在抛物线xy22=上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．041222=---+yxyx B．01222=+-++yxyxC．01222=+--+yxyx D．041222=+--+yxyx6.设变量,x y满足约束条件：222y xx yx⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y=-的最大值（）A．2 B．4 C．6D．87.双曲线22221x ya b-=的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，AOF∆的面积为22a，则两条渐近线的夹角为（）A．90︒ B．60︒ C．45︒D．30︒8.已知下列四个命题：1p：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则lα⊥；2p：若()22x xf x-=-，则x R∀∈，()()f x f x-=-；3p：若()11f x xx=++，则()0,x∃∈+∞，()01f x=；4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．88226++B ．126224++C ．2226++D ．88246++12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =u u u r u u u r，则k 的值为（ ）A ．3B ．5C ．22D ．3二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59L ，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次 为1,2,3,,6L ．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3， 则在第5组中抽取的号码是 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-， 则PF PA的最小值是 ．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为12,F F ，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a = ．16.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =u u u u r u u u r，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ．（Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期三四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-ra x，(,4)=b xr，其中∈x R.则“2=x”是“⊥a br r”成立的（ A ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ D ）A．221312y x-=B．18222=-xyC．18222=-yxD．221312x y-=3.直线y ax a=+与圆221x y+=的位置关系一定是（ C ）A．与a的取值有关 B．相切 C．相交D．相离4.设,a b R∈，0ab≠，则直线0ax y b-+=和曲线22bx ay ab+=的大致图形是（ B ）5.圆心在抛物线xy22=上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）A．041222=---+yxyx B．01222=+-++yxyxC．01222=+--+yxyx D．041222=+--+yxyx6.设变量,x y满足约束条件：222y xx yx⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y=-的最大值（ B ）A．2 B．4C．6 D．87.双曲线22221x ya b-=的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，AOF∆的面积为22a，则两条渐近线的夹角为（ A ）A．90︒ B．60︒ C．45︒D．30︒8.已知下列四个命题：1p：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则lα⊥；2p：若()22x xf x-=-，则x∀∈R，()()f x f x-=-；3p：若()11f x xx=++，则()0,x∃∈+∞，()01f x=；4p：在△ABC中，若A B>，则sin sinA B>．其中真命题的个数是（ B ）A．1 B．2 C．3 D．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ C ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ C ）A.线段B.椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ D ）A ．88226++B ．126224++C ．2226++D ．88246++12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =u u u r u u u r，则k 的值为（ A ）A ．3B ．5C ．22D ．3 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59L ，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3,,6L ．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 43 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 22．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a = 4 ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 26 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）Q 2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又Q 0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=.…………………4分（Ⅱ）由13cos sin 22A A =⇒=，由22sin 3sin aa A A=⇒==.………………6分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.………………8分∴1133sin 2224==⋅=ABC S bc A △.…………………10分 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n nn a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分 ()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分因为1AO CO O =I ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO ．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB u u r ，OC uu u r ，1OA u u u r方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=o， 所以1OB OD ==，3OA OC ==，22111OA AA OA =-=．………………6分则()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,3,0A -，()10,0,1A ，所以()110,3,1BB AA ==u u u r u u u r，()11+1,3,1OB OB BB ==u u u r u u u r u u u r．………………………7分设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =u u r ，()11,3,1OB =u u u r，所以0,30.x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得()0,1,3=-n ．…………………………………………………………9分同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分所以36cos ,422<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为64-．……………………………………12分20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =u u u u r u u u r，求直线AB 的方程．解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则1PF r =+.设(),P x y ，根据圆P 与x 轴相切，以及动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧，可得0r y =>， 所以，()2211x y y +-=+.……………………3分化简得：24x y =．所以，动点P 的轨迹C 的方程为()240x y y =>.……………………5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为2y kx =+ 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=……………………7分 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212121248x x x x k x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，……………………10分12k =±直线AB 的方程为122y x =+或122y x =-+．……………………12分21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．解：（Ⅰ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离22bcd ab c ==+， 由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率32c a =. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |10=.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-= ………6分设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. ………8分 从而21282x x b =-.于是()22212121215|AB |1||410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭. ………10分由|AB |10=，得210(2)10b -=，解得23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. ………12分 22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ． （Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？解：（Ⅰ）设),(y x C ，∵)0,1(-A ，)0,1(B ∴)3,3(yx G ……1分 又∵Q 是外心，且AB QG // ∴)3,0(y Q ……2分∵||||QC QA =∴9491222y x y +=+，即)0(1322≠=+y y x ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知)3,0(),3,0(21A A -设N A 1的方程为3-=kx y ，∵M A N A 11⊥∴M A 1的方程为31--=x ky ，代入方程1322=+y x 得： 032)13(22=++kx x k ，解得1332,0221+-==k k x x ，…………6分 代入方程31--=x ky 可得)13333,1332(222+-+-k k k k M ………8分 ∴k k k k k k M A 313323133332222=+--+-=， ∴M A 2的方程为33+=kx y …………10分∴由)32,3(333--⇒⎩⎨⎧+=-=k P kx y kx y∴点P 在定直线32-=y 上． ………12分。

四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，485,29a a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．6 C ．1 D ．14 2．数列{}n a 为等比数列，32a =，58a =，则4a =（ ）A ．16±B ．2±C ．4± D．3．下列求导数运算中正确的是（ ）A ．()22x x '=B ．()2ln 2ln x x x x x '=+C ．cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin cos sin cos x x x x '+=-4．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则中间一尺的重量是（ ） A ．3斤 B ．72斤 C ．4斤 D ．52斤 5．在等差数列{}n a 中已知1013a =，3491628a a a a +++=，则{}n a 的前17项和为（ ） A ．166B ．172C ．168D ．170 6．已知函数()311ln 22f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'（()f x '是()f x 的导函数），则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．18- C ．2- D ．116- 7．设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项和为n S ，前 n 项积为n T ，并满足条件1202120221,1a a a >>，20212022101a a -<-，下列结论不正确的是（ ） A ．20212022S S <B ．2020202210a a -<C ．2021T 是数列{n T }中的最大值D ．数列{n T }无最小值8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且1(1)(1)(2)n n n n S n S n a ++=+++，若存在n *∈N ，使得222n n S ka +≤成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．1B ．8C ．323D ．10二、多选题9．已知数列{}n a ，{}n b ，下列说法正确的是（ ）A ．若23n a n =-，*n ∈N ，则{}n a 为递减数列B ．若10b ≠，14n n b b +=，*n ∈N ，则{}n b 为等比数列C ．若等比数列{}n b 的公比2q =-，*n ∈N ，则{}n b 为递减数列D ．若{}n a 的前n 项和为22n S n n =+，*n ∈N ，则{}n a 为等差数列10．已知数列{}n a 满足110a =，52a =，且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．122n a n =-B ．n a 的最小值为0C ．212311n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=-D ．当且仅当5n =时，123n a a a a +++⋅⋅⋅+取最大值3011．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，……这个数列从第3项起，每一项都等于前两项之和，记{}n a 前n 项和为n S ．则下列结论正确的是（ ）A ．1352121n n a a a a a -++++=-LB ．2246211n n a a a a a ++++=+-LC ．221n n S a +=-D ．22221231n n n a a a a a a +++++=L三、填空题12．已知函数()1x f x e =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'0f =.13．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若111,20,1,2,2n n a a S n +=+==L ，则2024a =．14．已知数列{}n a 满足11a =，3131n n a a +-=，且()33131322n n n n a a n N a a *---==∈设{}n a 的前n 项和为n S ，则3k S =()k N *∈.四、解答题15．已知函数()()3211,e x f x x x g x -+=-++=．若曲线()y f x =在点()1,1处的切线为l(1)分别求()(),f x g x 的导数，并求切线为l 的方程；(2)若点A 在曲线()y g x =上，在点A 处的切线l '与直线l 平行，求切线l '的方程． 16．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为3,6n S S =，且248,,a a a 成等比数列；(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n K ，求证：1334n K ≤<． 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD V 为等边三角形，点M ，N 分别为AB ，PC 的中点．(1)证明：直线//MN 平面P AD ；(2)当二面角P AD C --为120°时，求直线MN 与平面PCD 所成的角的正弦值．18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n S n n *=∈N ，数列{}n b 满足112,32n n b b b -==+()2,n n *≥∈N (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列{}1n b +是等比数列；(3)设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，若对任意()()*,211n n T n λ∈+≤+N 恒成立，求实数λ的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为()2,0-． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（ⅰ）证明：直线AB 过定点；（ⅱ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设()2222,0,,C AC M BC M △△的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.。

高二数学下学期4月月考试题理试题

高二数学下学期4月月考试题理试题

一中2021-2021学年高二数学下学期4月月考试题理一、选择题.〔每一小题5分，一共60分〕1．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重〔单位：kg〕，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的选项是〔〕A.中位数为62 B．中位数为65C．众数为62 D．众数为642.某校为理解高中学生的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进展调查，该校有高一学生600人，高二学生400人，高三200人，那么应从高一学生中抽取的人数为〔〕A．30 B．20 C．10 D．403．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，那么以下选项里面两个事件是互斥事件的为( )A．“都是红球〞与“至少一个红球〞B．“恰有两个红球〞与“至少一个白球〞C．“至少一个白球〞与“至多一个红球〞D．“两个红球，一个白球〞与“两个白球，一个红球〞4.233除以9的余数是( )A．1 B．2 C．4 D．85.由数字0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的两位数的个数是〔〕6.现有4种不同颜色对如下图的四个局部进展着色，要求有公一共边界的两块不能用同一种颜色，那么不同的着色方法一共有( )A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种7.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝x ，那么以下结论中不正确的选项是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．假设该大学某女生身高增加1 cm ，那么其体重约增加0.85 kgD ．假设该大学某女生身高为170 cm ，那么可断定其体重必为58.79 kg8. 12个一样的小球分给3个小朋友，每人至少有1个，那么不同的分法一共有〔 〕9..某研究机构对儿童记忆才能x 和识图才能y 进展统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为，a x yˆ54ˆ+=,假设某儿童的记忆才能为12时，那么他的识图才能为〔 〕A B. C.9.8 D.1010. 现有5项工作由3名人完成，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔 〕A ．180种B ．150种C ．120种D ．240种11.停车场一排有8个空位，如今要停放4辆不同的车，要求恰好有3个空位连在一起，停法一共有〔 〕12.99221098)1()1()1()2()1(x a x a x a a x x +++++++=++- ，那么a 6等于〔 〕A.112B.196 C二、填空题.〔每一小题5分，一共20分〕 13.5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________. 〔用数字填写上答案〕125,,,x x x 的平均数和方差分别为为1和8，假设23(1,2,,5)i i y x i =+=，那么125,,,y y y 的方差是_________15. C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝729，那么C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于___ (用数字填写上答案) 16．如图，在杨辉三角中，从上往下数一共有n 行(n ∈N ＋)，在这些数中，非1的数之和为________．三、解答题.〔一共70分〕17．〔本小题满分是10分〕从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛． 〔1〕求所选3人恰有一名女生的概率； 〔2〕求所选3人中至少有一名女生的概率．18.〔本小题满分是12分〕(x －1)(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，求以下各式的值：(1)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6； (2)a 4.19.〔本小题满分是12分〕某地区2021年至2021年农村居民家庭纯收入y 〔单位：千元〕的数据如下表：〔1〕求y 关于t 的线性回归方程；〔2〕利用〔1〕中的回归方程，分析2021年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20．(本小题满分是12分)n x x )2(32+的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是2:7.〔1〕求展开式中二项式系数最大的项；〔将结果化成最简形式〕〔2〕求展开式中系数最大的项.〔将结果化成最简形式〕21.(本小题满分是12分)一网站营销部为统计某网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：假设将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人〞，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者〞.“网购达人〞与“网购探者〞人数的比例为2：3. 〔1〕确定q p y x ,,,的值，并补全频率分布直方图；〔2〕试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；假设平均数和中位数至少有一个不低于2千元，那么该网店当日被评为“皇冠店〞，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店〞.22.〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.〔1〕求证：PD ⊥平面PAB ；〔2〕求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；〔3〕在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？假设存在，求AMAP的值；假设不存在，说明理由.一中办学一共同体2021届第四期4月月考〔理科数学试卷〕命题人：审题人：一、选择题.〔每一小题5分，一共60分〕1．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重〔单位：kg〕，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的选项是〔C〕A.中位数为62 B．中位数为65C．众数为62 D．众数为642.某校为理解高中学生的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进展调查，该校有高一学生600人，高二学生400人，高三200人，那么应从高一学生中抽取的人数为〔A〕A．30 B．20 C．10 D．403．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，那么以下选项里面两个事件是互斥事件的为(D)A．“都是红球〞与“至少一个红球〞B．“恰有两个红球〞与“至少一个白球〞C．“至少一个白球〞与“至多一个红球〞D．“两个红球，一个白球〞与“两个白球，一个红球〞5.233除以9的余数是(D)A．1 B．2 C．4 D．85.由数字0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的两位数的个数是〔 B〕6.现有4种不同颜色对如下图的四个局部进展着色，要求有公一共边界的两块不能用同一种颜色，那么不同的着色方法一共有(D)A．24种B．30种 C．36种D．48种7.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝x ，那么以下结论中不正确的选项是(D )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．假设该大学某女生身高增加1 cm ，那么其体重约增加0.85 kgD ．假设该大学某女生身高为170 cm ，那么可断定其体重必为58.79 kg8. 12个一样的小球分给3个小朋友，每人至少有1个，那么不同的分法一共有〔 C 〕9..某研究机构对儿童记忆才能x 和识图才能y 进展统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为，a x yˆ54ˆ+=,假设某儿童的记忆才能为12时，那么他的识图才能为〔B 〕A B. C.9.8 D.1010. 现有5项工作由3名人完成，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔B 〕A ．180种B ．150种C ．120种D ．240种11.停车场一排有8个空位，如今要停放4辆不同的车，要求恰好有3个空位连在一起，停法一共有〔 C 〕12.99221098)1()1()1()2()1(x a x a x a a x x +++++++=++- ，那么a 6等于〔B 〕A.112B.196 C二、填空题.〔每一小题5分，一共20分〕 13.5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是____10______. 〔用数字填写上答案〕125,,,x x x 的平均数和方差分别为为1和8，假设23(1,2,,5)i i y x i =+=，那么125,,,y y y 的方差是____32______15. C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，那么C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于__32_ (用数字填写上答案)16．如图，在杨辉三角中，从上往下数一共有n 行(n ∈N ＋)，在这些数中，非1的数之和为_22n n -_______．三、解答题.〔一共70分〕17．〔本小题满分是10分〕从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛． 〔1〕求所选3人恰有一名女生的概率； 〔2〕求所选3人中至少有一名女生的概率． 解：〔1〕由题意知此题是一个古典概型，∵试验所包含的所有事件是从7人中选3人一共有C 73种结果， 而满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生有C 31C 42种结果， ∴根据古典概型公式得到所选3人中恰有1名女生的概率为1234371835C C C =．〔2〕343731135C C -=18.〔本小题满分是12分〕(x －1)(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6， 求以下各式的值：(1)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6；(2)a 4.解：(1)由(x －1)(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，令x ＝1得〔1－1〕(2－3)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0①令x ＝0得〔0－1〕(0－3)5＝a 0，所以a 0＝243② ①－②得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0－243=－243 〔2〕551555152233332151144421153444(23)=(2)(3)(0,1,2,3,4,5)=(3)2()53,2,(3)2720()54,1,(3)2240720(240)(1)960960r r r r r r r rr x T C x r T C x a r r T T C x x b r r T T C x x x x x x a -+--+++--=--==∴==-=-==∴==-=-∴⋅+-⋅-=∴=展开式的通项其中即令则令则19.〔本小题满分是12分〕某地区2021年至2021年农村居民家庭纯收入y 〔单位：千元〕的数据如下表：〔1〕求y 关于t 的线性回归方程；〔2〕利用〔1〕中的回归方程，分析2021年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20．(本小题满分是12分)n x x )2(32+的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是2:7.〔1〕求展开式中二项式系数最大的项；〔将结果化成最简形式〕 〔2〕求展开式中系数最大的项.〔将结果化成最简形式〕所以展开式一一共有10项，第5项和第6项的二项式系数最大第5项为31314566541924032T T C x x +=== 第6项为16165433651922016T T C xx +===21.(本小题满分是12分)一网站营销部为统计某网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：假设将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人〞，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者〞.“网购达人〞与“网购探者〞人数的比例为2：3. 〔1〕确定q p y x ,,,的值，并补全频率分布直方图；〔2〕试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；假设平均数和中位数至少有一个不低于2千元，那么该网店当日被评为“皇冠店〞，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店〞.22.(1)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++++3215931860181593x y y x 化简，得⎩⎨⎧==+yx y x 3215，解得6,9==y x ∴1.0,15.0==q p补全的频率分布直方图如下图：〔2〕设这60名网友的网购金额的平均数为x ， 那么7.11.075.23.025.225.075.115.025.115.075.005.025.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 〔千元〕设中位数为x ,∵35.015.015.005.0=++，0.15 1.5= 1.80.252 1.5x x -∴=-，， ∴这60名网友的网购金额的中位数为1.8〔千元〕 ∵平均数27.1<，中位数28.1<，∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店〞.22.〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==.〔1〕求证：PD ⊥平面PAB ；〔2〕求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；〔3〕在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？假设存在，求AMAP的值；假设不存在，说明理由.〔2〕取AD 的中点O ，连结PO ，CO ， 因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD . 因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO .因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.（3）设M 是棱PA 上一点，那么存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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2015-2016学年下学期高2014级4月阶段考数学试题（理）命题人一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假 2．．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（ ） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 3．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤xB ．若11<<-x ，则12<xC ．若1>x 或1-<x ，则12>xD ．若1≥x 或1-≤x ，则12≥x4．已知动点P 到F 1(-5，0)的距离与它到F 2(5，0)的距离之差等于6，则P 的轨迹方程是A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．116922=-y x (x ≥3) D ． 116922=-x y (x ≥3) 5．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球6．m ⋅n >0 ，是方程221x y m n+=表示椭圆的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要7．国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是（ ）A ．12 B ．34 C ．59 D ．568．若直线ax ﹣by +2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．B ．C ．32+D ．32+9．抛物线x y 42-=上有一点P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为 A ．32 B ．2+3 C ．3 D ．32-10．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为A B ．3C ．1D ．2 11．△ABC 的三边长度分别是2，3，x ，由所有满足该条件的x 构成集合M ，现从集合M 中任取一x 值，所得△ABC 恰好是钝角三角形的概率为A ．34 BC ．D 12．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF FS S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为A ．2221+ B ．132- C ．12- D ．12+ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数x ，则事件“3x ﹣2≥0”发生的概率为 ▲▲▲ ．14．以坐标原点为顶点，圆x y x 422=+的圆心为焦点的抛物线方程是 ▲▲▲ ．15．若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为 ▲▲▲ ．16．已知双曲线的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，双曲线的离心率为 ▲▲▲ ．三、解答题(本大题6个小题，共70分,要求写出解答过程)17．(本小题满分12分)已知命题0352:2<+-x x p ，命题:q []()02)12(≤-⋅+-a x a x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣2）x ﹣b 2+16=0 （1）若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率． （2）若a ∈[2，6]，b ∈[0，4]，求方程没有实根的概率．19．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为2，且FA OA ⋅uu r uu r10=（1）求此抛物线C 的方程；（2）过点(4,0)做直线l 交抛物线C 于,A B 两点,求证：OA OB ⊥．20． (本题满分12分)已知集合M ＝{x |x <－3，或x >5}，P ＝{x |（x －a ）·（x －8）≤0}． （1）求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．21．(本小题满分12分)已知椭圆E），离心率O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求OP OQ⋅的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，探究点N是否在一条定直线上，说明理由．22．(本小题满分10分)已知关于x的一次函数y mx n=+．（Ⅰ）设集合{21123}P=--，，，，和{23}Q=-，，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y mx n=+是增函数的概率；（Ⅱ）实数m，n满足条件101111m nmn+-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤，≤≤，≤≤，求函数y mx n=+的图象经过一、二、三象限的概率．参考答案（理）一．BCDCC BCCAA BC二．13．2/3 14． y 2=8x 15． [0,4) 16． 5三．(解答题)17．解: Q p 是q 的充分不必要条件说明p 对应的集合是q 对应集合的真子集…………………………………………2分 而:p 对应集合是集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=231x x A ；………………………………………4分 而024)14(:22≤+++-a a x a x q因式分解得到： []()02)12(≤-⋅+-a x a x 即有：122+≤≤a x a也就是命题q 对应的集合为：{}122+≤≤=a x a x B …………………………8分要满足题意，则须：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤23212a a 2141≤≤∴a ……………………….12分18．解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a ，b ）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a ，b ）的总数有36个二次方程x 2﹣2（a ﹣2）x ﹣b 2+16=0有两正根，等价于()()22220160424160a b a b ->⎧⎪->⎨⎪-+-≥⎩即()22244216a b a b ⎧>⎪-<<⎨⎪-+≥⎩………………………3分“方程有两个正根”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 ∴所求的概率为……………………………………………………6分（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a ，b ）|2≤a ≤6，0≤b ≤4}， 其面积为S （Ω）=16满足条件的事件为：B ={（a ，b ）|()222604216a b a b ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪-+<⎩} 其面积为∴所求的概率P （B ）=………………………………………….12分19．解：（1）设22(0)y px p =>，点0(2,)A y ，则有204y p =(,),(,),200024431022p pF FA y FA OA p y p ∴=-=-+=+=uu r uu r uu r g2p ∴=，所以抛物线C 的方程为24y x =． ………………………4分（2）当直线l 斜率不存在时，此时:4l x =，解得(4,4),(4,4)A B -满足 ,0OA OB OA OB ⋅=∴⊥u u r u u u r…………………………………6分当直线l 斜率存在时，设:(4)l y k x =-，联立方程222224(84)160(4)y xk x k x k y k x ⎧=⇒-++=⎨=-⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212284,16k x x x x k ++== ……………9分 22212121212222(1)4()1616(1)3216160OA OB x x y y k x x k x x k k k k ∴⋅=+=+-++=+--+=OA OB ∴⊥ 综上，OA OB ⊥成立． …………………………12分20．（1）由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此在数轴上易得M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是 －3≤a ≤5；…………………………………6分（2）求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件， 就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}； 反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．…….12分 （只要在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值即可）21．解：（Ⅰ）由题意可得b =，e ==，又a 2﹣b 2=c 2， 解得a =，c =2， 即有椭圆方程为+=1；…………2分（Ⅱ）（i ）F （﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 直线方程为x =﹣2，可得P （﹣2，），Q （﹣2，﹣），•=4﹣=；………………………………………………………………3分当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，……………………………………….5分•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；……………………………7分（ii）由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，…………………………………………………9分直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由可得，即有k取任何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．………………………………………..12分22．解：（Ⅰ）抽取的全部结果的基本事件有：()()()()()()()()()() 2,2,2,3,1,2,1,3,1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3---------共10个基本事件，（用5⨯2=10也可）设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：()()()()()()1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3---，共6个基本事件，（用3⨯2=6也可）所以()63 105P A==．…………………………………………………5分（Ⅱ）,m n 满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则00m n >⎧⎨>⎩，故使函数图象过一、二、三象限的(),m n 的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为112772P ==． ……………………………………..10分。

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