导数的概念(平均变化率)
导数的概念
一、导数的基本概念 1．平均变化率：函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．导数的概念：(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 二、基本初等函数的导数公式三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．1.曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，x ＝e 时y ′＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.2．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)． 3. (2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析：y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9. 变式：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x2，∴k ＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.注意：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．巩固练习：已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.4.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12解析：∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.5. (2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 6. (2012·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.7. 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线y ＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝nn ＋1.log 2 013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 01312×23×…×2 0112 012×2 0122 013＝－1. 8. (2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.9．(2012·泰安模拟)若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设与y ＝x －2平行的一条直线与曲线y ＝f (x )相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0－1x 0.由2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.10.(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278 解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝3t 2－a .①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，得a ＝278.解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.12. 已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，而α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选D y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1.设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1.＝－4⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2. ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。
高考专题：导数的概念及运算
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
f′(x)＝______ cos x
f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝－ ______ sin x
f′(x)＝______ ex
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
axln a f′(x)＝______ 1 f′(x)＝______ x 1 f′(x)＝______ xln a
故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，
则ln x0＝0，解得x0＝1.
解析
答案
2.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝－2 . 解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
解析
答案
3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ －4 .
2.
解析 所以
因为
π f(x)＝f′ sin 2
x＋cos x，
π f′(x)＝f′ cos 2
π π f′2＝f′2cos
x－sin x，
所以
即
π π 2－sin 2，
f(x)＝－sin x＋cos x，f′(x)＝－cos x－sin x.
导数的概念及运算
()
A．f′(x0)
B．．－f(x0)
解：liΔmx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－liΔmx→0
f[x0＋－Δx]－fx0 －Δx
＝－f′(x0)．
考点二·导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝exln x;
(2)y＝11－＋csoins
x－1 x2 .
点评：利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本 方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结 构特点，准确运用常用的导数公式．
点评：利用定义求导数的基本步骤：
①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均变化率：ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx；
fx＋Δx－fx
③取极限得导数：f′(x)＝liΔmx→0
Δx
.
【变式探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 liΔmx→0 fx0－ΔΔxx－fx0等于
答案：2x－y＋1＝0
5．(1)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为 f(x)
的导函数,则 f′(0)的值为
.；
(2)y＝x＋x 1，则 y′x＝2＝________.
解：(1)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,
所以 f′(0)＝3e0＝3.
(2)导数的运算法则 ①和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝_________________. ②积的导数 [f(x)·g(x)]′＝________________________； ③商的导数 [gfxx]′＝_________________________ (g(x)≠0)．
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
导数的概念、意义及运算
混.
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复
合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln
1
x+ ;
cos
(3)y= e ;
(4)y=ln(2x-5).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
0
y=2x.
1
y'= +1.
1+1+1=2,切线方程为 y-2=2(x-1),即
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
3.函数f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一
确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
(+Δ)-()
f'(x)=y'= lim
【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.
(1)求实数m的值;
(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的
1
导数几何含义
o x0 X0+△xx
2.导数的概念 函数 y f (x) 在 x x0 处的导数可以表示为
lim lim f (x0)'＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
类比平均变化率的几何意义， f ( x0 ) 的几何意义又是什么呢？
从代数的角度： 当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
△y
PQ的斜率的极限，就是曲线
P(x0,y0)
△x
M
在点P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 )
x
f x0
归纳小结
导数的几何意义
2、切线的斜率：
lim lim k切线＝f (x0)
y x0 x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率 k f (x0 ) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
讲授新课
问题探究
观 察 如图
3 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2,3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0, f x0
时, 割线PPn的 变 化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
导数的概念,计算,几何意义
导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。
2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。
相应的切线方程为 （点斜式） 。
5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
导数平均变化率课件
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
导数的概念及其运算
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1 解 (1)y′＝(e · ln x)′＝e ln x＋e · x 1 x ＝e (ln x＋x)． 1 2 (2)∵y＝x3＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 3. x x
x x x
(3)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2 1 1 1 ∴y′＝ x－2sin x ′＝x′－ (sin x)′＝1－ cos x. 2 2 1 1 1 1 (4)先化简，y＝ x· － x＋ －1＝－x 2 ＋x－ ， 2 x x 1 1 1 3 1 1 1＋ . ∴y′＝－ x 2－ x 2 ＝－ 2 2 2 x x
＝－ ＝ . 2 3－x 2x－6
2
1
1 2
3－x
2 1 2
π (3)设 y＝u ，u＝sin v，v＝2x＋ ， 3 则 y′x＝y′u· u′v· v′x＝2u· cos v· 2 π π 2π ＝4sin2x＋3 · cos2x＋3 ＝2sin4x＋ 3 .
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求下列函数的导数： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1； 1 1－cos x (3)y＝xe ；(4)y＝ ； (1－3x)4 (5)y＝x 1＋x2.
解 (1)y′＝2(1＋sin x)· cos x.
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(2)y′＝(ln x2＋1)′ 1 ＝ 2 · ( x2＋1)′ x ＋1 1 1 1 2 x 2 ＝ 2 · (x ＋1) · (x2＋1)′＝ 2 . x ＋1 x ＋1 2
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(1)
y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
x x 1 (2)∵y＝－sin －cos 2＝ sin x， 2 2 1 ∴y′＝ cos x. 2
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
导数的概念 导数的概念
求导数公式
三、求导公式 1、基本初等函数的导数公式： (1) f(x)=c，则 f’(x)= 0 ； (2) f(x)=xn (n∈N*)，则 f’(x)= nxn-1 ； (3) f(x)=sinx，则 f’(x)= cosx ； (4) f(x)=cosx，则 f’(x)= -sinx ； (5) f(x)=ax，则 f’(x)= axlna ； (6) f(x)=ex，则 f’(x)= ex ； 1 (7) f(x)=logax，则 f’(x)= xlna ； 1 (8) f(x)=lnx，则 f’(x)= x . 2、导数运算法则： (1)[f(x)±g(x)]’= f’(x)±g’(x) ; (2)[f(x)·g(x)]’= f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
求导数公式
三、求导公式 1、(c)’=0；(xn)’=nxn-1；(sinx)’=cosx；(cosx)’=-sinx； 1 x)’=axlna；(ex)’=ex；(log x)’= 1 (a ；(lnx)’= . a x xlna u u' v u v' . 2、(u±v)’=u’±v’; (2)(u·v)’=u’v+uv’; (3) ( )' 2
cos x lnxco sx
)' (e
求导数公式
三、求导公式 1、(c)’=0；(xn)’=nxn-1；(sinx)’=cosx；(cosx)’=-sinx； 1 x)’=axlna；(ex)’=ex；(log x)’= 1 (a ；(lnx)’= . a x xlna u u' v u v' . 2、(u±v)’=u’±v’; (2)(u·v)’=u’v+uv’; (3) ( )' 2
3.1. 导数的概念
2、函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？ 、函数 （ ） 处的瞬时变化率怎样表示？
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 函数f（ ） 处的平均变化率： 函数 （x）在x=x0处的平均变化率： ( x0 + ∆x) − x0 函数f（ ） 处的瞬时变化率： 函数 （x）在x=x0处的瞬时变化率：
1、瞬时速度 、
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的， 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的， 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 瞬时速度（ 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous Velocity）。 ）
运动员的平均速度不一定能反映他（ 运动员的平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度，那么 在某一时刻的瞬时速度， 如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少 时的瞬时速度是多少？ 如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？
lim
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f = lim = lim . ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ( x0 + ∆x) − x0 ∆x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 在 处的导数（ 我们称它为函数 ）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x = x0 ，即 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f '( x0 ) = lim . ∆x → 0 ∆x 由导数的定义，可知： 由导数的定义，可知： 高度h关于时间 的导数就是运动员的瞬时速度 关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度； 高度 关于时间 的导数就是运动员的瞬时速度； 气球半径r关于体积 的导数就是气球的瞬时膨胀率 关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。 气球半径 关于体积 的导数就是气球的瞬时膨胀率。 实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率， 实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率， 如效率、点密度、国内生产总值（ 如效率、点密度、国内生产总值（GDP）的增长率等等。 ）的增长率等等。
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
4.1 导数的概念及其运算
复合函数及其求导： 四.复合函数及其求导： 复合函数及其求导
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (3) 复合函数的求导法则：复合函数y=f[g(x)]对自变量x的导数 y 'x 复合函数的求导法则： ，等于外函数y=f(u)对中间变量u的导数y’u,乘以中间变量u对自变 ′ x 量x（即内函数）的导数 u’x,即 y′ = yu ⋅ u ′ x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
导数的基本运算
求下列函数的导数：
1 1 （1） y = x ( x + + 3 ) x x 1 （3） = ( x + 1)( y − 1) x
2
3
x x ；（2）y = x − sin cos 2 2
；
1 2 ' 2 Q 【解析】（1） y = x + 1 + 2 ∴ y = 3 x − 3 . x x x x 1 （2）先使用三角公式进行化简，得 y = x − sin cos = x − sin x 2 2 2
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。 复合函数求导步骤： 法则的推广：若函数y=f(u)在u点处可导，u=g(v)在v 点处可导， 法则的推广 v=h(x)在x点处可导，则复合函数y=f{g[h(x)]}在x点处可导，并且
y ' = f '(u ) ⋅ g '(v) ⋅ h '( x) = y 'u ⋅ u 'v ⋅ v 'x .
高考总复习·数学 高考总复习 数学 2.导数四则运算法则： 导数四则运算法则： 导数四则运算法则
[u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) ①和、差的导数：
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点P(x，y)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：函数在点x的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
导数的概念
y x
2x (x)
2
lim
'
y x
x
x 0
2 x
x 0
lim ( 2 x) 2
y | x 1 2
例 2 、 求 函 数 f ( x ) x x在 点 x = 2
3
处的导数.
例 3、 求 函 数 f ( x )
1 x 1
导数的概念
复习
一、平均变化率
对于函数f(x)，当自变量x从x1变化到x2时， 函数值就从y1变化到y2， 则函数f(x)从x1到x2的
平均变化率为：
y x f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 = f ( x1 x ) f ( x1 ) x
它 刻 画 函 数 值 在 区 间 [ x1 , x 2 ]上 变 化 的 快 慢
复习
二、瞬时变化率（平均变化率的极限）
对于函数f(x)，当自变量x从x0变化到x1时，
它的平均变化率为：
y x f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0 = f ( x0 x ) f ( x0 ) x
当 x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0 点的瞬时变化率。
小结：由定义知，求f(x)在 x0处的导数步骤为：
(1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
(2) 算比值
( ( x0 x) f ( x0 )
y x
x
.
;
y lim
x 0
例1.求y=x2在点x=1处的导数． 解： y (1 x) 1 2x (x)
在 x 1处 的 导 数
例 4 、 求 函 数 f(x )=
导数平均变化率公式
导数平均变化率公式
1.什么是导数平均变化率？
导数平均变化率是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某
一区间内发生变化的速率。
在数学计算中，导数平均变化率是指函数
在某一区间内的导数值的平均数。
2.导数平均变化率的公式
导数平均变化率的公式是：平均导数=（f(b)-f(a))/(b-a)。
其中，a和b是函数在某一区间内的两个点，f(a)和f(b)分别是这两个点的
函数值。
平均导数就是函数在这个区间内的导数平均值。
3.导数平均变化率的意义
导数平均变化率可以帮助我们更准确地了解函数在不同点的变化
趋势。
如果该值为正数，则表示函数在这个区间内是单调递增的；如
果为负数，则表示函数在这个区间内是单调递减的；如果为零，则表
示函数在这个区间内呈现平稳状态。
此外，导数平均变化率也可以用来确定函数的极值点。
当函数在
某一点的导数为零时，说明函数在这个点发生了变化，这个点就是函
数的极值点。
4.总结
导数平均变化率是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某
一区间内发生变化的速率。
其公式是平均导数=（f(b)-f(a))/(b-a)，
在数学计算中可以帮助我们更准确地了解函数在不同点的变化趋势，确定函数的极值点等。
导数的概念及其计算
x 0
x
x 0 x
我们称它称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0) 或 y |xx0 , 即 f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
当x= x0变化时，f’(x)便是一个函数，我们称它为f(x)
的导函数（简称导数）。
C(x) 5284 100 x
C '(x)5 2 8 4'(1 0 0x) 5 2 8 4 (1 0 0x)' 5284
(1 0 0x)2
(100 x)2
(1)C'(90)(105 0289 40)252.84
5284
(2)C'(98)
1321
(10098)2
答:(1)纯净度为90％时，费用的瞬时变化率为 52.84元/吨；(2)纯净度为98％时，费用的瞬时变 化率为1321元/吨。
C．4x－5 D．4x－3
4. 函数 y=sin2x 在点 M( , 3 )处的切线斜率为（ C ）
62
A.－1
B.－2
C.1
D.2
例 6．已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线 y=x
－3 相切,求 a、b、c 的值.
分解析:∵:本f题(1考)=查1,导∴数a+的b几+c何=1意. 义.函数在 x=2 处的导数①等于直线
2. 若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y+1=0,则（ C ）
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)=0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在
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的平均变化率为
y=f(x)
f (34) f (1)
341
34 x
34-1
y f(34)
f(x1) f(1) A
o1
y=f(x)
x1
C
[ 问 题 3] 在 区 间 [1,x1] 上 的 平 均 变 化率为
34 x f (x1) f (1) x1 1
y f(34)
[问题3] 在区间[x2，
C
34]上的平均变化
[问题1] 你能用 数学语言来解
释 BC 段 曲 线 的
陡峭程度吗？
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
（1）仅考察 yc yB 的大小，能
T(oC) C(34,33.4)
33.4 化 曲 为 直
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
否精确量化BC段陡峭的程度？
x2 x1 y x
x
f (x2) f ( x1 )
0
y
x
x1
x2
x
建构数学理论
定义理解
(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（. 以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗 庚
率为
f(x2)
f(x1) A f(1)
y=f(x)
o1
x1
x2 34 x
你能否归纳出 “函数f(x)
在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
f (34) f (x2) 34 x2
建构数学理论
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f (x)在区间上 [x1, x2]的平均变化率为
f (x2) f (x1) y f(x1x)f(x1)
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
数学应用
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均 变化率有什么特点？
小结回顾
这节课我的收获是什么？
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
o1
32 34 t (d)
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4)
以3月18日作为第一 天，温度随时间变 化的图象如左图.
yC-yB （2）还必须考察什么量？
（3）曲线上BC之间的一
xC-xB
段几乎成了直线，由此联
o1
32 34 t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
y f(34)
A
f(1) o1
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象,
则函数y
= f(x)在区间[1，34]上
（2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
１.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快?
平均变化率的绝对值越
大,则变化越快.
甲
乙
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
(2)计算平均变化率 y f (x1) f (x2) .
x
x1 x2
数学应用
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区
间上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1]； 2.1
（4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
B (32, 18.6)
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
问题1’图中哪一段图像更“陡峭”？
问题2’如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
1.平均变化率的定义： y f (x1) f (x2)
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤： 4.思想方法：
结语
谢谢大家！
导数的概念(平均变化率)
问题情境
某市2004年3月18日、4月18日、4
月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃C) 33.4
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1
32 34 t (d)
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
T(℃) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
气温在区间[1，32] 上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
变式探究
y
向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量y与水深x的
函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状…………( B ) O
Hx
数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.