求函数的连续区间
《函数的连续》课件
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
高等数学-函数的连续性
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
连续函数的运算法则
一切初等函数在定义区 间内连续 (端点为单侧连续)
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例2. 求
解: 原式
例3. 求
解: 令 t a x 1, 则 x log a (1 t) ,
原式 lim
t
t0 log a (1 t)
说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增
(递函减数) 的反函数
也连续单调
递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数
y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, 其反函数
在 在
上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
x1
x1
故
在点 x = 1 不连续 ,
x = 1为第一类间断点 .
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例6. 求函数
x3 3x2 x 3 的连续区间, 并求 f (x) x2 x 6
lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x).
x0
x2
x3
解: 因为 f (x) x3 3x2 x 3 x2 x 6
x0
8
x2
)
1 8
例5. 设
讨论复合函数
的连续性 .
(x)
x, x
4
,
x 1 x 1
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [ (x)] 为初等函数 , 故此时连续;
第二章(函数连续性)
强调： ① x或y可正可负； ② 一般地，x与y没有必然的正负关系; ③ x或y是一个整体，勿看成相乘的关系。
2 连续的定义
（1）函数在一点的连续性定义
定义1 如 果函 数y f ( x)在 点x0的 某邻 域 内 有定 义 ， 且
lim y 0， 则 称y
x0
f ( x)在 点x0处 连 续.
x1
x 1及x 1处的连续性
解：在x 1处： f (1) 2 (1) 1 1
lim f ( x) lim x 1 f (1)
x1
x1
f ( x)在x 1处左连续;
lim f ( x) lim (2x 1) 2 (1) 1 1 f (1)
x1
x1
f ( x)在x 1处右连续;
f (0) 0, lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0)
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0)
x0
x0
x 0是第一类跳跃型间断点（且跃度为2 （ 2） 4）
（2）f ( x) x2 1 x1
f (1)不存在，因此x 1是间断点
lim f ( x) lim x2 1 lim( x 1) 2
左右极限都存在
左右极限至少有 一个不存在
例6 对下列函数找出间断点，并判断类型
x 2
（1）f
(
x)
0
x 2
（3）f ( x) 1 x
x0 x0 x0
（2）f ( x) x2 1 x1
（4）f ( x) sin 1 x
解：（1） x 0及x 0时函数均连续，只有x 0 可能是间断点
f ( x0 )
例 1：证明y x3在点x0处连续 证明： 设在x0处取得增量x,
求函数的连续区间
习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim)(lim 0x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim2+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)x x x 11lim 0-+→;(5)145lim1---→x xx x ;(6)ax ax ax --→sin sin lim;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim22=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以1)42(s i n )4()2(s i nlim 334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62c o s 2l n ()6()2c o s 2l n (lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x xx x x x x .(5))45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim145lim111x x x x x x x x x x x x xx x x x +---=+--+---=---→→→214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(6)ax a x ax ax ax ax ax --+=--→→2sin2cos 2limsin sin lima a a a x a x a x a x a x c o s 12c o s 22s i nlim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→.(7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x xx x .4. 求下列极限:(1)x x e 1lim ∞→;(2)xx x sin lnlim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)xx x 2cot20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim -∞→++x x xx ;(6)xx x x x x -++-+→20sin1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x . (2) 01ln )sin limln(sin lnlim 0===→→xx x x x x .(3) []eexxxx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim .(4) []33t an312co t2022)tan31(lim)tan 31(lim e x x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xxx . 因为e x x x =+-+-+∞→36)631(lim , 232163lim-=-⋅+-∞→x xx ,所以2321)63(lim --∞→=++exx x x .(6))sin 1tan 1)(1sin1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin1sin 1tan 1lim222x x x x x x x xx x x x x x +++-++++-+=-++-+→→21)2(2limsin2sin2tan lim)sin 1tan 1(sin)1sin 1)(sin (tan lim 322222=⋅=⋅=+++++-=→→→xx x xx x x x x x x x x x x x x .5. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.。
大学数学-微积分-连续
详细描述
不定积分是微积分中的一个基本概念，它表示原函数在 某区间上的积分值。不定积分的结果是一个函数集合， 这些函数之间相差一个常数。不定积分具有线性性质， 即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差 。此外，不定积分还具有积分常数性质，即在对函数进 行积分时，可以在积分结果中添加或减去任意常数。最 后，不定积分具有微分性质，即函数的微分与函数的积 分互为逆运算。
定积分的应用
总结词
定积分在解决实际问题中有着广泛的应 用，如求平面图形的面积、求曲线的长 度、计算变力沿直线所做的功等。
VS
详细描述
定积分在实际问题中有着广泛的应用。例 如，求平面图形的面积时，可以将图形分 成若干个小矩形，然后计算每个小矩形的 面积和，最后取极限得到整个图形的面积 。此外，定积分还可以用于求曲线的长度 、计算变力沿直线所做的功等问题。这些 应用都表明了定积分的实用性和重要性。
连续性在数学与其他学科中的应用
在物理学中，连续性的概念广泛应用于解决力学、热学、电磁学等问题，如物体运动轨迹的连续性、 温度变化的连续性等。
在经济学中，连续性被用于描述经济变量的变化规律和趋势，如价格、需求和供给等函数的连续性分析。
在计算机科学中，连续性的概念对于理解数据结构和算法设计具有重要意义，如连续存储和离散存储的 区别。
函数在点$x_0$处的左极限是指当$x to x_0$且$x < x_0$时，函数值的趋势；右极限 是指当$x to x_0$且$x > x_0$时，函数值的趋势。
连续函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则 该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在，则 该点的函数值是有限的。
局部有界性
连续函数的四则运算
2. 估计方程 x3 6 x 2 0 的根的位置 . 解 设 f ( x) x3 6x 2, 则 f ( x) 在 (,) 内连续. 由于 f (3) 7 0, f (2) 6 0,
f (1) 7 0, f (0) 2 0, f (1) 3 0,
定理6 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值.
定理7 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界.
证 设函数 f ( x) 在[a,b]上连续, 于是存在 m 、 M ,使得 x [a,b],有 m f ( x) M , 取
K max{| m |,| M |} | f ( x) | K . 故函数 f ( x)在[a,b]上有界.
且连续;
对数函数 y loga x (a 0,a 1)在(0,)内单
调且连续;
y x a loga x y au , u loga x在(0,)
内连续.
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
则复合函数 f [ ( x)]在点 x0 处也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u
1 x
在
(,0)
(0,)内连续,
y sin u 在(,) 内连续,
y
sin
1 x
在
(,0)
(0,)
内连续.
例1
求 lim ln(1 x) .
x0
x
解
lim
ln(1
少有一个实根 .
证 令 f (x) x3 4x2 1 ,
求函数的连续区间.
求函数的连续区间，并求极限1. 231)(2+-=x x x f ，)(lim 0x f x → 解：0232≠+-x x 0)2)(1(≠--x x1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的）∴函数231)(2+-=x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ 231lim )(lim 200+-=→→x x x f x x 把0代入式 231lim 20+-→x x x ，解得 21231lim 20=+-→x x x2. x x x f ---=81)(，)(lim 5x f x → 解：01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）∴函数x x x f ---=81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x ---=→→81lim )(lim 55 把5代入式 x x x ---→81lim 5，解得3281lim5-=---→x x x3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 21x f x → 解： 012>-x ，11<<-x（初等函数在其定义区间内是连续的）∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[-)1ln(lim )(lim 22121x x f x x -=→→ 把21代入式 )1ln(lim 221x x -→，解得 43ln )1ln(lim 221=-→x x4. xe xf -=1)(，)(lim 1x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）∴函数x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 11把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得1111lim --→-=-e e x x求函数的间断点，并判断其类型1. 3)2(+=x x y 解： 02=+x ，2-=x∴ 2-=x 是函数3)2(+=x x y 的间断点。
高等数学第七节初等函数连续
五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
连续函数的概念与性质
(见下图)
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
思考题1
1、 指出 y x 2 x 在 x 0 是第__类间断点；在
x ( x 2 1)
x 1 是第__类间断点；在 x 1 是第__类间断点 .
2、若 f ( x)在 x0连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0 是否 连续？又若| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0连续， f ( x)在 x0是
lim ax 1 lim u (ln a) lim u
x0 x
u0 ln(1 u)
u0 ln(1 u)
ln a
(ln a)
1
(ln a) 1 ln a
lim ln(1 u)
1
u0 u
(3)令u (1 x) 1,则(1 x) 1 u
ln(1 u) ln(1 x)
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但 lim x x0
f (x)
A
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
PPT教学课件函数的连续性
练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数 的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y 连续
y 不连续
y 连续
Oa x
Oa x
Oa x
（1） y
（2） y
（3） y
Oa 不连续
（4）
x
Oa
不连续 （5）
x
Oa x
不连续 （6）
y y
不连续
连续
oa
x
（7）
o
a
x
（8）
2、函数的连续性：
(1)、开区间内连续：如果f(x)在某一开区间(a,b)内 每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b） 内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.
如函图数：的从图直象观在((32上x))=lxxl看xi im0mxx处，00 f没我f((有们xx)中)说断一fxl， i个(mxx所0函0 )以f数(以在x)上一图点f象x(=x(x100)处) 连在续点是x0处指是这连个 续的,而图象(2)(3)(4)在x=x0处是不连续的。
f ( x) x2 1 x 1( x 1)
2:对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个 因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数.
延伸：设
f
(x)
a
ex
x, ,
x0 x0
问怎样选择实数a,能使f(x)在
R上是连续的.
解： lim f (x) lim(a x) a, lim f (x) lim ex 1,
x0
x0
x0
x0
练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间 内是否连续。
(1) f ( x)
1 x2
,点x 0;
求函数的连续区间
求函数的连续区间函数的连续区间是指在一个给定的区间上，函数在整个区间内均连续的特性。
在数学中，函数的连续性是非常重要的概念，因为它与函数的性质和行为密切相关。
在本文中，我们将探讨函数的连续性以及一些常见的技巧和方法，以确定函数在给定区间上的连续性。
首先，我们来了解函数的连续性的定义。
一个函数f(x)在一个点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，f(x)趋近于f(a)。
如果函数在一个区间上的每一个点上都连续，那么我们称该函数在该区间内是连续的。
要确定函数在给定区间上的连续性，有几种方法可以使用。
首先，我们可以使用函数的定义来判断函数是否在某一点连续。
如果函数在该点的极限存在且与函数在该点的值相等，那么函数在该点是连续的。
具体而言，如果lim(x→a) f(x) = f(a)，则函数在x=a处连续。
其次，我们可以使用闭区间上的性质来判断函数的连续性。
闭区间的定义是包含其端点的区间，即[x1, x2]。
如果函数在闭区间的两个端点上连续，并且在这两个端点之间的每个点上也连续，那么函数在整个闭区间上是连续的。
除了以上两种方法外，我们还可以使用其他一些性质和技巧来判断函数的连续性。
例如，我们可以利用连续函数的性质来判断函数在给定区间上的连续性。
如果函数f(x)和g(x)在区间上都是连续的，那么它们的和、差、积和商也都在该区间上连续。
这个性质可以方便地用来确定复杂函数的连续性。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在特定区间上的连续性。
这需要我们使用以上方法和技巧，以及一些数学常识和推理来判断函数在给定区间上是否连续。
对于一些简单的函数，连续性可以通过直接观察函数的图像来确定。
例如对于多项式函数，三角函数和指数函数，它们在整个实数范围内都是连续的。
这是因为它们的定义在所有实数上都有意义，并且它们的图像没有断裂或突变。
然而，在其他情况下，我们需要使用更多的数学知识和技巧来确定函数的连续性。
例如，对于有理函数（即多项式除以多项式的形式），我们需要检查除数是否为零的情况，因为在这些点上函数可能不连续。
高三复习-函数的连续区间怎么求
函数的连续区间怎么求
求连续区间的步骤：求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可。
设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x-
x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。
如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续。
连续是函数的一种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x
1，1
x
2，x
2共3段连续区间。
2、对数指数大于零，x
2就是连续区间。
3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。
4、arcsinx
0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。
高等数学微积分第七节函数的连续性与连续函数的
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况的间断点称为 振荡间断点 .
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
第七节 函数的连续性与连续函数的运算
一、函数的连续性
1. 函数在一点处连续的定义
定 义1 设 函 数 y f ( x )在 点x0的 某 邻 域 内 有 定 义 , 如果
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
则称函数 f ( x ) 在点 x0 处连续 . 并说 x0 是 f ( x ) 的连续点 .
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
2.区间上的连续函数
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
x 1
f (1 ) 2,
函数在某区间连续的条件
函数在某区间连续的条件
题主好像不太懂函数。
首先，没有充分必要条件来判定一个函数是连续的，没有附加任何条件。
看来函数在我心目中的印象应该是一条连续的曲线。
事实上，几乎所有函数的图像都是普通人想象不到的，普通人也很难想象一个可测集是什么样子的。
我们在学习分数(高等数)的时候，最重要的是抛弃我们对函数之类概念的直观印象。
要用definition进行思考，初学者的直观印象多少都是很离谱的。
对于以上概念，除了定义之外，我无法告诉你任何实质性的东西，所以没有表达出来。
他们之间的关系早就是顺口溜了，只是我记不清了。
拥有一个函数的定义是所有性质的基础。
我们不能通过说一个函数有一个定义来得到关于这个函数的任何信息。
给出以下关系：以下函数指一元函数，
函数在a处可导\Leftrightarrow 函数在a处可微
\Rightarrow 函数在a处连续\Rightarrow 函数在a处有极限；
函数在a处可导\Leftrightarrow 函数在a处可微
\Rightarrow 函数在a处连续\Rightarrow 函数在a处有定义；
要注意的是函数在a处有极限与函数在a处有定义没有任何关系。
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求函数的连续区间，并求极限
2
解：x 3x 2 0
(x 1)(x 2) 0
x 1 , x 2 （初等函数在其定义区间内是连续的）
1
函数f（x）二的连续区间是（，1）（1,2）（2,）
x 3x 2
lim0 f (x)lim 2
x 0 x2 3x 2
把0代入式
1
lim 2解得x 0 x2 3x 2，解得
lim —1-
x 0 x 3x 2 2
2. f(x)\ x1 x，lim f (x)
x 5
解：x10，x1
8x0，x8（初等函数在其疋乂区间内是连续
的）
函数f (x)vx 18x的连续区间是[1,8]
lim f (x) lim v x 1 \ 8 x
x 5 x 5
把5代入式lim x 1 「8 x，解得
x 5
lim x x 1 \ 8 x 2 \ 3
x 5
1. f(x) 厂厂，！叩（刈
3. f (x) ln(1 x 2
)， l j
m i
f (x)
X 2
解：1 x 2 0， 1 x 1
（初等函数在其定义区间内是连续的）
4 f （x ）
& e x
， lim f （x ）
X 1
解：1 e 0， x 0 （初等函数在其定义区间内是连续的）
X
e
，解得
lim \'1 e x
丁1
e
X 1
函数 f(x) ln(1 x
）的连续区间是［1,1］
lim ln( x
2
1 x 2) 把2代入式
lim ln(1
X
夕
2
、
）
lim 1 l n( 1
X 2
)
in
4
函数f (x)
X
e 的连续区间是［
,0]
lim X
1
f (x)
1代入式
「X
X
因把2代入式X im 2 —2)3后，分母为o,故X im 2 —2『不
存在
X
X 2
是函数y E 的第二类间断点
解：X 2 3X 2
0，X 1，X 2
/
小
X 1
X 1，x 2是函数y —
X
X 1
叽
m
，但函数
X 1 x 2
3x 2在
X 1
处无定
义。
^x 2 3x 2不存在。
X 1
X 1
是函数y 严厂
的可去间断点，X 2是函数
1. y
X
（X 2）3
解：
x 2 0，x 2
求函数的间断点，并判断其类型
2是函数y
x
（X 2）
3
的间断点
2. y
X 1 X 2 3X 2
3X 2的间断点。
x
3. y
sin x 4. y
x
sin x
解：x 0是函数y
的间断点
x
sin x , 工小\ 亠 啊一^— 1, f （°）无意义
sin x lim
x 0
x
x 2
3x 2
的第二类间断点
lim (x 3)
lim (1 x)
x 1
x 1
x 3
x 1
x 1是函数
y
1
当
d
时的跳跃间断点
x
x 1
解：卅
3
）
2 , lim (1 x) 0
sin x
x 0是函数y
可去间断点
f (0)。