2019年四川省名校联考高考数学一模试卷

2019年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|ln(2)}A x y x ==-，1{|()2}2x B x =<，则A B =A.{}1x x <-B.{}2x x <C.{}12x x -<<D.{}12x x -<≤2．复数z 满足1(1i)|1|iz -=+，则z =C. 1i -D.1i +3．直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为A ．－1或1B ．－1C ．1D ．1，－1，04．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点(21)P ，，则tan(2)4απ+= A. －7 B. 17-C. 17D. 75．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大D ．2017年11月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则在该多面体各个面中，面积最大的面的面积为A ．4B ．5C ．6D. 7．某程序的程序框图如图所示，若输入的2x =，则输出的x =A ．1- B. 12C ．1D ．28．等比数列{}n a 的首项为3，公比不等于1. 若a 4，a 3，a 5成等差数列，则数列{}n a 前5项的和为A ．－31B ．33C ．45D ．939．在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ＝λAM +μBD ，则λμ+=A ．94B ．2三位数能被3整除的概率为A. 13B.512C. 59D. 2311．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB CD αβ⊂⊂，，且AB 243BC CD ABC BCD ππ==∠=∠=，，，则AD 与β所成角的大小为A ．π4B ．π3C. π6D ．π1212．已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x '）满足1()(1)02f x f x -++=，e 3f (2018)＝1，若()()fx f x '>-，则关于x 的不等式1(2)e xf x ->的解集为A. (,3)-∞B. (3,)+∞C. (,0)-∞D. (0,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）92)21(xx -展开式中的常数项是 ． （14）从1,2,3,4,5,6,7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 ．（15）设直线：0443=++y x ，圆：()()02222>=+-r r y x ，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则r 的取值范围是_________．（16）在ABC ∆中，22AC CB ⋅=，其面积为，则2tan sin 2A B ⋅的最大值是 ．三.解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）l C C P Q l M 90PMQ ∠=︒在ABC ∆中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a =sin sin()2sin 2A B C C +-=，求ABC ∆的面积． （18）（本小题满分12分）在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （单位：个，60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率；（III ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量[60,70)x ∈，则取65x =，且65x =的概率等于需求量落入[60,70)的频率)，求T 的分布列和数学期望．（19）（本小题满分12分）如甲图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起到1D AE ∆位置，使平面1D AE ⊥平面ABCE ，得到乙图所示的四棱锥1D ABCE -．（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1D AE ； （Ⅱ）求二面角1A D E C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右焦点的直线0x y+=交椭圆C于,M N两点，P为,M N的中点，且直线OP的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于,A B两点，原点O到直线lAOB∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）设函数2()ln(1),f x x a x a=++∈R．（Ⅰ）讨论函数()f x的单调性；（Ⅱ）若函数()f x有两个极值点12,x x，且12x x<，求证：22()1)f x x≥-．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x o y中，已知点()P，曲线C的参数方程为c o s()2sinxyϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6ρθ=-（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为,A B，求11PA PB+的值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[]33-，． （Ⅰ）解不等式：()(2)0f x f x ++>；（Ⅱ）若a b c ，，均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥．2019年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.C2.B3.A4.A5.D6.D7.A8.B9.D 10.C 11.C 12.B二、填空题13.212- 14.193515.)+∞16.3- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由a b c ，，是一个等比数列得：2b ac =，所以由22a c ac bc -=-得222a cb bc -=-，222b c a bc ∴+-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===， 又(0,)A π∈3A π∴∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）（Ⅱ）由sin sin()2sin 2A B C C +-=得：sin()sin()2sin 2B C B C C ++-=，2sin cos 4sin cos B C C C ∴= cos 0sin 2sin C B C ∴==或22C b c π==即或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（８分）①当2C π=，由题意，3A π∠=，a所以由正弦定理得：sin sin23c π=，2c ∴=，故由勾股定理得：1b =，11sin 31sin222S ab C π∴===．．．．．．．．．．．．．．．．．（１０分） ②当2b c =时，由题意，3A π∠=，a =所以由余弦定理得： 2222cos a b c bc A =+-，2222134432c c c c ∴=+-=，1c ∴=，2b ∴=，11sin 21sin 223S bc A π∴===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）综上①②得：ABC ∆的面积：S =（18）（Ⅰ）由题意，当6090X ≤≤时，利润51(90)3904180T X X X =+--⨯=-，当90110X <≤时，利润590390180T =⨯-⨯=， 即4180(6090)180(90110)X X T X ⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）（Ⅱ）由题意，设利润T 不少于100元为事件A ，由（Ⅰ）知，利润T 不少于100元时，即4180100X -≥，70X ∴≥，即70110X ≤≤， 由直方图可知，当70110X ≤≤时，所求概率：()1()10.025(7060)0.75P A P A =-=-⨯-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（７分）（III ）由题意，由于46518080⨯-=，475180120⨯-=，485180160⨯-=， 故利润T 的取值可为：80，120，160，180， 且(80)0.25T P ==，(120)0.15T P ==，(160)0.20T P ==，(180)0.40T P ==，．．．．．．．．．．．．（９分） 故T 的分布列为：∴0.20+1800.40⨯⨯=20183272+++142=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）（19）解：（Ⅰ）如下图，取AE 中点F ，连1D F ，在1AD E ∆中，112D A D E ==，1D F AE ∴⊥，又平面1D AE ⊥平面ABCE ，1D F ∴⊥平面A B C E ，BE ⊆平面A B C E ，1D F BE ∴⊥，即1BE D F∴⊥． 在ABE ∆中，易得AE =BE =4AB =，BE AE ∴⊥，又1D FAE F =，BE ∴⊥平面1D AE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）（Ⅱ）由题意，取AB 中点G ，以E 为坐标原点，分别以EG ，EC 为x y ，轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -如图所示，则()(()1(0,0,0),0,2,0,1,,2,2,0E C D B -，由（Ⅰ）知：()2,2,0EB =是平面1AD E 的法向量，设平面1CED 的法向量为(),,m x y z =，则1(,,)(0,2,0)20(,,)(1,1,2)0m EC x y z ym ED x y z x y ⎧===⎪⎨=-=-=⎪⎩，令1z =，则x =0y =， (2,0,1)m ∴=-，设二面角1A D E C --的平面角为θ， 则cos cos ,EB m θ=<>=)())()2,0,12,0,1--323==，．．．．．．．．．．（１１分） 由图可知，二面角1A D E C --的平面角为钝角，cos 3θ∴=，即：二面角1A D E C --的余弦值为3-．．．．．．．．．．．．．（１２分）（20）解：（Ⅰ）由题意，直线0x y +=与x 轴交于焦点：F ，c ∴=设(),M M M x y ，(),N N N x y ，(),P P P x y ，则：222222222222M M N N b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 222222()()0M N M N b x x a y y ∴-+-=，MN MNM Ny y k x x -∴=-22()()M N M N b x x a y y +=-+22222312P P b x b a y a⨯==-⨯=--⨯， 223a b ∴=，又2c =，222a b c =+223,1a b ∴==，即椭圆C 的方程为：2213x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）（Ⅱ）由题意，①当直线l 的斜率不存在时或者斜率为0时，易得AB =．．．．．．．．（６分）②当直线l 的斜率存在时且不为0时，设直线l 的方程为：(,,0)y kx m k m R k =+∈≠且，由题意，原点O 到直线l 的距离为2，故=， 223(1)4m k ∴=+．设交点A B ，的坐标分别为：(),x y １１，(),x y ２２， 则：2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222(31)63(1)0k x kmx m ∴+++-=，由题意0∆>，122631kmx x k -+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22212(1)AB k x x ∴=+-()221212(1)4k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦ ()22222223612(1)(1)3131k m m k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-⎢⎥++⎣⎦()()22222223336(1)12(1)13144(1)31k k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥⎣⎦=++()242422(1)272727331k k k k k⎡⎤++-+⎣⎦=+424227303961k k k k ++=++242123961k k k =+++ 22123196k k=+++1234236≤+=⨯+， 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立，max 2AB ∴=； 综上所述，当直线l 的斜率k =时， 即max2AB =时，AOB ∆面积的最大值max 132S AB =12222=⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分） （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞， …………1分222()211a x x a f x x x x ++'=+=++ ………2分令2()22g x x x a =++，则48a ∆=-．①当12a ≥时，0∆≤,()0g x ≥，从而()0f x '≥，故函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； ②当12a <时，0∆>,()0g x =的两个根为12x x == 当0a ≤时，121x x ≤-<，此时，当1(1,2x -∈-函数()f x 单调递减;当)x ∈+∞函数()f x 单调递增． 当102a <<时，121x x -<<,此时函数()f x 在区间()-+∞单调递增;当x ∈函数()f x 单调递减． 综上: 当12a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当102a <<时，函数()f x 在区间1212(1,),(,)22--+-+∞单调递增;在区间函数()f x 单调递减; 当0a ≤时，(x ∈-函数()f x 单调递减,)x ∈+∞函数()f x 单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分） （Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点时, 102a <<,21(,0)2x =-, 且2222()220g x x x a =++= 即22222a x x =--,2222222222()ln(1)(22)ln(1)f x x a x x x x x =++=+--+ 21(,0)2x ∈- 22222()2(1)ln(1)f x x x x x =-++ 21(,0)2x ∈- 令()2(1)ln(1)h x x x x =-++ 1(,0)2x ∈-()2ln(1)1h x x '=-+-,令1()0,(1)2h x x '>∈-,函数单调递增;令()0,1,0)h x x '<∈-,函数单调递减; max ()1)1h x h ∴==22()1f x x ∴≤,21(,0)2x ∈-22()1)f x x ∴≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）（22）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）点P 在直线l 上，理由如下： 直线:l 2c o s ()6ρθ=-，即2c o s )36πρθ-=，亦即c o s i n 3θρ+=∴直线ly +=易知点P 在直线l 上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（３分）（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线C 的普通方程为22124x y +=．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得2212())42t -+=，251240t t ∴+-=，设两根为1t ，2t ，12125t t ∴+=-，12405t t ∴=-<，故1t 与2t异号，12414PA PB t t ∴+=-=，121245PA PB t t t t ∴==-=，1114PA PB PA PB PA PB+∴+==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１０分）（23）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为(2)f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于x m ≤， 由x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{}x m x m -≤≤． 又(2)0f x +≥的解集为[]33-，，故3m =．所以()(2)0f x f x ++>可化为：32x --30x +->，26x x ∴++<．①当2x ≤-时，26x x ---<，4x ∴>-，又2x ≤-，42x ∴-<≤-； ②当20x -<≤时，26x x -++<，26∴<，x R ∴∈，又20x -<≤，20x ∴-<≤；③当0m >时，26x x ++<，2x ∴<，又0m >，02x ∴<<． 综上①、②、③得不等式()(2)0f x f x ++>的解集为：{}42x x -<<．．．．．．．（５分） （Ⅱ）证明：a b c ，，均为正实数，且满足3a b c ++=，因为222()b c a a b c a b c +++++222()()()b c a a b c a b c=+++++222c a a b c a b c ⎫≥++⎪⎪⎭2()a b c =++（当且仅当1a b c ===时，取“＝”），所以222b c a a b c a b c++≥++，即2223b c a a b c++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１０分）。