上海市大同中学2019届高三9月开学考试数学试题Word版含答案

大同中学2019届高三开学考试
数学 2018.9
一、填空题(本大题共有12题,满分54分.第16题每题4分,第7-12题每题5分)
1.若集合{}
32|＜-=x x A ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=03|＞x x x B ，则=B A _________. 2.设常数R a ∈,函数()()a x x f +=2log ，若()x f 的反函数的图像经过点(3,1),则=a _____.
3.若复数()R b b i i ∈+-+2
111的实部与虛部相等,则=b ________. 4.若正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________.
5.方程1sin 2cos =+x x 在()，π0上的解集是__________.
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于
________.
7.
2==，a 与b 的夹角为3
π，则b a +在a 上的投影为________. 8.若关于y x 、的二元一次方程 ⎝⎛1m ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m y x m 211至多有一组解，则实数m 的取值范围是
__________.
9.从集合A={}211，，
-中随机选取一个数记为k ,从集合B={}212，，-中随机选取一个数记为b ,则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为_________.
10.若n a 是()()R x n N n x n
∈≥∈+，，2*2展开式中2x 项的系数，则 =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋯++∞→n n a a a 22233220lim _________.
11.已知函数()⎪⎩
⎪⎨⎧≥++=1212x x x x x x f ，＜，,设R a ∈,若关于x 的不等式()a x x f +≥2在R 上恒成立,则a 的取值范围是___________.
12.已知92=+=+∈+t n s m
n m R t s n m ，，、、、，其中n m 、为常数,且t s +的最小值是，9
4若点()n m ，是椭圆12
42
2=+y x 一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为________. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.A 、B 两点在半径为2的球面上,且以线段AB 为直径的小圆周长为2π,则A 、B 两点间的球面距离为
A.π
B.2π
C.3
π D.32π 14.设y x 、满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥-≥x y x x 1522,若目标函数()00＞，＞b a by ax z +=的最小值为2,则ab 的最大值
为 A.41 B.2
1 C.1 D.
2 15.给出下列4个命题:
(1)若()()x f x f -=-11,则函数()x f 的图像关于直线1=x 对称
(2)()1-=x f y 与()x f y -=1的图像关于直线0=x 对称
(3)()3==x f y 的反函数与()31+=-x f y 是相同的函数 (4)2015sin 212+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y x
sin2x+2015有最大值无最小值 则正确命题的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 16.已知抛物线()022
＞p px y =与双曲线()00122
22＞，＞b a b y a x =-有相同的焦点F,点A 是两曲线的一个交点,且AF ⊥x 轴,若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线,则l 的倾斜角所在的区间可能是
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，
B.⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，π
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛34π，π
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛23π，π 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
关于x 的不等式1a x +02＜x
的解集为()b ，1-. (1)求实数b a 、的值；
(2)若ααsin cos 21i z bi a z +=+=，，且21z z 为纯虚数,求⎪⎭⎫ ⎝
⎛-32cos πα的值。

18.(本题满分14分，第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图:已知AB ⊥平面BCD,BC ⊥CD,AD 与平面BCD 所成的角为30°,且AB=BC=2.
(1)求三棱锥BCD A -的体积；
(2)设M 为BD 的中点,求异面直线AD 与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)。

19.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知双曲线13
4:2
2=-y x C ,其右顶点为P. (1)求以P 为圆心,且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
(2)设直线l 过点P,其法向量为()11-=，n ,若在双曲线C 上恰有三个点321P P P 、、到直线l 的距离均为d ,求d 的值.
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分) 对于函数()x f ,若在定义域内存在实数0x ,满足()()00x f x f -=-,则()x f 称为“M 类函数”.
(1)已知函数()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=3sin πx x f ,试判断()x f 是否为“M 类函数”?并说明理由； (2)设()m x f x +=2是定义在[]11，
-上的“M 类函数”,求实数m 的最小值； (3)若()()⎩⎨⎧-≥-=2
322log 22＜，，x x mx x x f 为其定义城上的“M 类函数”,求实数m 的取值范围。

21.(本题满分18分,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分) 设n s 是数列{}n a 的前n 项和,对任意*N n ∈都有()()p a a b kn s n n +++=12成立,(其中p b k 、、是常数).
(1)当430-===p b k ，，时,求n s ；
(2)当001===p b k ，，时，
①，，若15393==a a 求数列{}n a 的通项公式；
②设数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“Ω数列”。

如果212=-a a ,试问:是否存在数列{}n a 为“Ω数列”,使得对任意*N n ∈,都有0≠n s ，且
18
111111121321＜＜n s s s s +⋯+++.若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在,说明理由。

18、解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，
∴BD==2，CD==2，
则V A﹣BCD===
=．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），
=（2，﹣2，﹣2），=（），
设异面直线AD与CM所成角为θ，
则cosθ===．
θ=arccos．
∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．
19、
20、
21、。