初三数学诊断测试卷
中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2024年1月数学试卷及答案
一、单项选择题：本题共8符合题目要求的．1． 已知R ∈m ，集合=A ，若C AB =则=mA ．−32． 已知数列a n }{满足a 1A ．+−n 21213． 复数z 满足+=z 2i )(A ．−34． 在直三棱柱−ABC A 1A ．7 5． 设x a a x +=+n1201)(A ．66． 若不等式A ．5 7． 已知==a b 2e ,ln e23A ．>>a b c8． 已知>+−x y x y ,0,33A ．15．若,αγβγ，则αβ．若,,mn m n αβ，则αβγ⊥，则⊥⊥αγβγ,，则αβx 2E F ,，5．12PE PF ⋅=−25258=12)分成长度相等的四段D ．3 则+++ααβtan 2tan )(D ．8当∈x 2,4][时，=f x )(C 上一点，线段PF 2的中垂的离心率为 ． 动直线=≠x a a 0)(与函数l 1与函数g x )(的图象+x 817)恒成立，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列a n }{的前n 项和为=S a n ,11，当≥n 2时，⎝⎭ ⎪=−⎛⎫S a S nn n 212．（1）求证：数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1是等差数列，并求S n 的表达式；（2）设+=n b n S n n212，数列b n }{的前n 项和为T n ，不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，求正整数m 的最小值．18．（12分）如图所示，在∆ABC 中，=AB D 1,是BC 上的点，∠=∠BAD DAC 21． （1）若∠=πBAC 2，求证：−=AD AC 21； （2）若1BD DC =4，求∆ABC 面积的最大值．19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体−ABCD A BC D 1111的顶点A 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为61，沿正方体的侧棱爬行的概率为32．（1）若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．（第19题图）（第18题图）20．（12分）如图所示，已知∆ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且=BNNC 3．以MN 为折痕将∆BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面⊥DMC 平面ABC ，连接DA DC ,．（1）若E 是线段DM 的中点，求证：NE 平面DAC ；（2）求二面角−−D AC B 的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线=−y x M 1,0,12)(，A ，B 是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于C ，D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．（1）求⋅CDCM DM 的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数=+−−xf x x a x1ln 2)(有两个零点<x x x x ,1212)(． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：<x x 112； （3）求证：−<<−x x x x 212122．（第20题图）（第21题图）中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．135 15．216．，⎝⎦⎥ −∞⎛⎤21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）当≥n 2时，数列a n }{的前n 项和为S n ，满足⎝⎭⎪=−⎛⎫S a S n n n 212， 即⎝⎭ ⎪=−−=−−+⎛⎫−−−S S S S S S S S S n n n n n n n n n 22211111122)(， 整理可得=−−−S S S S n n n n 211 ········································································ 1分 11S =，则=−S S S S 22112，即=−S S 2122，可得=S 312 ······························· 2分由=−S S S S 22323，即=−S S 332133，可得,,=S 513以此类推可知，对任意的N *∈>n S n ,0，在等式=−−−S S S S n n n n 211两边同时除以−S S n n 1可得−=−S S n n 2111······················· 4分所以数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1为等差数列，且其首项为=S 111，公差为2 ································· 5分 ∴=+−=−S n n n 121211)(，因此， −=n S n 211 ············································ 6分 （2）解：()()⎝⎭⎝⎭+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪==+=+−⎛⎫⎛⎫n n n n n b n S n n 214212148212111111112 ， ⎝⎭+ ⎪∴=+−⎛⎫n T n n 4821111 ············································································ 8分 不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，则−+≥m m 33022，即≥+m 69或≤m 69····································································· 9分 因此，满足条件的正整数m 的最小值为3 ······················································ 10分 18．（12分）（1）证明：由∠=∠=∠πBAC BAD DAC 22,1，知∠=∠=ππBAD DAC 63,，=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ππ∆∆S S S AB AD AD AC AB AC ABC ABD ACD 26232,sin sin 111，即+⋅=AD AC AC 2，两边同除以⋅AD AC，得−=AD AC21······················································ 5分 （2）设∠=αBAD ，则∠=αDAC 2，∆ABD 中，由正弦定理，得∠=αBDA AB BDsin sin ①，∆ACD 中，由正弦定理，得∠=αCDA AC DCsin sin 2 ②，②÷①，结合∠=∠=BDA CDA DC BD sin sin ,4，得=αAC cos 2···················· 7分 =⋅⋅===−⋅−∆αααααααS AB AC ABCsin 33tan 4tan sin 1sin 33sin 4sin 23++=−⋅=−ααααααα1tan 1tan 3tan 4tan tan 3tan tan 2223 ···································· 9分设=∈αt tan (，即求函数+=∈−ty t t t 1,323(的最大值， ()()++'==−+−−−−++t t y t t t t t t t 113313233222222322)()()()()(，∈−t 32)(时，'>y 0，函数单调递增；∈t 3,32)(时，'<y 0，函数单调递减，当=−t 32时，函数有最大值，=y max∴∆ABC··························································· 12分 19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n 次在底面ABCD 的概率为P n ，由题意可得，==+−+P P P P n n n 333,121211)(···················································· 3分 ⎝⎭⎩⎭ ⎪⎨⎬−=−−−⎛⎫⎧⎫+P P P n n n 2322,11111是等比数列，首项为61，公比为−31， ⎝⎭⎝⎭⎪⎪−=−=+−⎛⎫⎛⎫−−P P n n n n 263263,11111111························································ 5分（2）X =0,1,2，X =2时，蚂蚁第3次、第5次都在C 处，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P X 6636366363366661822221121211212211111)( ·············································································································· 7分X =1时，蚂蚁第3次在C 处或第5次在C 处， 设蚂蚁第3次在C 处的概率为P 1，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P 6636366366666331822211212112115152111·············································································································· 8分 设蚂蚁第5次在C 处的概率为P 2，设蚂蚁不过点C 且第3次在D 1的概率为P 3，设蚂蚁不过点C 且第3次在B 1的概率为P 4，设蚂蚁不过点C 且第3次在A 的概率为P 5，由对称性知，=P P 34，=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6663635443111212133，=⨯⨯⨯+⨯⨯=P 636333276121222115，得=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P P P 63665422212117235 ··················································· 11分 ∴==+=P X P P 271512)(， ==−=−==P X P X P X 54011241)()()(， XX 的数学期望=⨯=+⨯=+⨯==E X P X P X P X 270011228)()()()( ············ 12分20．（12分）（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，=BN NC 3，∴==EF NG AM 21，且EFNG ，四边形EFGN 是平行四边形．由,NEFG NE ⊄平面DAC ，⊂FG 平面DAC ，∴NE 平面DAC ······················································································ 5分（2）解法1：以点A 为原点，AB ，AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系····································································· 6分 设==AB AC 2，则⎝⎭⎪⎛⎫A M N 220,0,0,,1,0,0,,,013)()(，设D x y z ,,,)(，因为平面⊥DMC 平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，∴+=x y21 ①，由题意可知，==∴−++=DM DN x y z 1,11222)( ②， ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−+=⎛⎫⎛⎫x y z 222139222③，由①②③解得，⎝⎭ ⎪ ⎪==−=∴−⎛⎫x y z D 777777,,,,,8282 ·························· 8分 82211816211,,,,,AD CD ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭777777，设平面ACD 的法向量为(,,n x y z =)，00AD n CD n ⋅=⋅=⎩⎪⎨⎪⎧，即⎩⎪−+=⎨⎪−+=⎧x y x y 48040，取===−x y z 0,4 ······················ 11分 取平面ABC 的法向量(0,0,1m =)．设二面角−−D AC B 的平面角为θ， 则43cos cos ,9m n m nm n⋅===θ， 所以，二面角−−D AC B 的余弦值为9··················································· 12分 解法2：如图，过点B 作直线 MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即⊥DH 平面ABC ····················································································· 6分设=AB 2，则==∠=πBM BN MBN 41,，由余弦定理，得=MN 2，∠=∠−∠=⋅+⋅=IMH IMB HMB 10510510cos cos )(，∠==IMH MH MI cos 7．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，由三垂线定理知，⊥DO AC ，∴∠DOH 是二面角−−D AC B 的平面角 ········································································ 9分 由=HO CH AM CM，解得===HO DH 77,8，∠==HO DOH DH 4tan，得∠=DOH 9cos ，所以，二面角−−D AC B的余弦值为9·················································· 12分 21．（12分）（1）设点C x y D x y ,,,1122)()(，设直线l 的方程为=+≠y kx k 10)(，代入抛物线=−y x 12，得−−=x kx 202（*），⎝⎭⎪ ⎪===⎛⎫CD CM DM 2,2 ·········· 4分（2）⎝⎭⎪−−−⎛⎫k C x x D x x Q ,1,,1,,01112222)()(，设T m n ,)(， 由（*）式，知+==−x x k x x ,21212 ······························································ 5分 直线AC 的方程为=−+y x x 111)()(，直线BD 的方程为=+−y x x 112)()(，解得−+−+−+===++−−−−x x x x x x x y x x x x x x x x 222,212321212112121212)()(，所以点P 的坐标为⎝⎭−+−+ ⎪+⎛⎫−−x x x x x x x x 22,2321211212)( ··············································· 7分 ()1212231,,,x x x x TP m n TQ m n −−⎛⎫+⎛⎫=−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−+−+x x x x k 222121，TP TQ m m n n ⎛⎫⋅=−−−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎛⎫−−x x x x 1231212)()(()⎝⎭−+−+−+ ⎪=−−−+−++⎛⎫−−x x k k x x x x m m n n x x x x x x 22212321212112122212)( ⎝⎭−+−+ ⎪=−−+++−⎛⎫x x k x x m m n n k n 222121212122 21x x k −=±+82，22TP TQ m n n ∴⋅=++++±++−+−k k km n m 822212 ··············································· 10分 当m n TP TQ ==⋅20,,1为定值45， 所以存在定点T 的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫20,1 ·································································· 12分 22．（12分）（1）()f x x '=+=−+−+x x x x x 22ln 21ln 223)( ···················································· 1分又因为函数=−+g x x x 21ln 3)()(递增，且=g 10)(，'>⇔>f x x 01)(， ∴f x )(在0,1)(递减，在+∞1,)[递增 ···························································· 2分 当=−<f a 120)(，即>a 2时，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−−=+>⎛⎫⎛⎫a a a a f a a a a 1ln ln 0111122， =+−>−+>−−=>−−−−−+a a a a f a a a a a a a a a a a a 01ln 111112222)()()()(， ∴f x )(在⎝⎭⎪⎛⎫a a ,1,1,1)(上各有一个零点 ························································· 3分 当≤a 2时，f x )(的最小值为f 1)(，且=−≥f a 120)(，∴f x )(在+∞0,)(内至多只有一个零点，综上，实数a 的取值范围是>a 2 ·································································· 4分 （2）设 ⎪=−>⎛⎫F x f x f x ,11)()(，则 ⎝⎭⎪'='+'=−−+⎛⎫−−x x x x F x f x f x x x x 21ln 111212322)()()()( ⎣⎦⎢⎥⎣⎦=−−−=−−+⎡⎤⎡⎤+−x x x x x x x x x x x 12ln 221ln 2113233)()( 当>x 1时，<−x x ln 1，−−+−=+−=−++>x x x x x x x x x 22112120332)()()()(， ∴−>+−>+x x x x x x x 22111ln 3)()()(，∴F x )(在+∞1,)(上递增，当>x 1时，>=F x F 10)()(，即当>x 1时，⎝⎭⎪>⎛⎫x f x f 1)( ······································································ 6分 又因为函数f x )(有两个零点<x x x x ,1212)(，由（1）知，<<<<<x x x 01,011212， ⎝⎭⎪∴=>⎛⎫x f x f x f 1212)()(， 又()f x 在0,1)(递减，∴<x x 121， 即<x x 112 ································································································ 8分 （3）设⎝⎭⎪=−+−=−−⎛⎫x x G x f x x a x x x 1ln 12)()(， =−−==−−−+−+++'x x x G x x x x x x x x x x 211ln 21ln 121ln 2221322)()()(， ='G 101)(，当≠x 1时，⎣⎦−⎢⎥=+++⎡⎤−'x x G x x x x x 121ln 1212)()()(， 显然−+++>x x x x 1210ln 2)(∴G x 1)(在0,1)(递减，+∞1,)(递增，∴≥=G x G 1011)()(， 即>+−=xf x x a h x 11)()(，设h x 1)(的零点为<−=x x x x x x ,,343443)(， 由图象可知<<<x x x x 3124，∴−<x x 21 ·················································································· 10分 设⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=−=−−⎛⎫⎛⎫−x x x x x f x x a x x 1ln 11ln 111222)(， 设=−−xG x x 1ln 12)(， 易得≤G x 02)(恒成立，即<+−=xf x x a h x 1222)()(，设h x 2)(的零点为<−=x x x x x x ,,56566522)(，由图象可知，<<<x x x x 1562，∴<<<x x x x 15622222，∴−>x x 2122∴−<<−x x x x 212122 ····································································· 12分。
THUSSAT中学生标准学术能力2023年9月诊断性测试数学答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2425−14．46− 15．64316．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()22111,22n n n n n n S S −−+−+=∴=， ()11,n n n S S n c n n −∴−==>∈N ·································································· 2分又()111,,3nn n c S c n n a ==∴=∈∴=N + ······················································· 3分（2）()()()2212326511313n n n n d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯−+⨯⎣⎦····························· 7分()()()()2222322213113313213n T =+⨯−+⨯++⨯−+⨯++∴()()()()2221121311311313n n n nn n n n −+⎡⎤⎡⎤+⨯−−+⨯+++⨯−+⨯⎣⎦⎣⎦()()221113113n n +⎡⎤=−+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯− ····································································· 10分18．（12分） （1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =−≤，sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A ∴=− ···················································· 2分 ()sin sin 2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=−=−> ··································· 4分又02A B <−<π，则2C A B =−或2C A B +−=π，若2C A B =−，则3A π=； 若2C A B +−=π，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述3A π= ························································································· 6分 （2）()22222,,33AB ACAB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭···························· 8分 224236b c bc ∴++= ①，又222a b c bc =+− ②，①÷②得：222222242131426c c b b a b c bc c c b c b bc b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+−⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝········································ 9分 令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤≤≤∴+−≤∴∴， ,01cc b x b∴≤∴<=≤， 令()()()222142111,6430f x x f x x x x x x x x +=<≤=+−+−+−+ ······························ 10分令363,6t x t x +−==， ()()()()23636433,4332727t f t t f t t t t t∴=+−<≤∴=+−<≤++，又2712t t +≥或()2273612,17,7,7t f t a t a +<−∴<≤∴≤∴≥， 所以当三角形ABC 为等边三角形时a最小，最小值为7····························· 12分 19．（12分）（1）设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题； 三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 2分 ②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=·············································································································· 4分 ③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6分 （2）A 员工得100分的概率为()()()12120.3P A A P A P A ⋅=⋅=，B 员工得100分的概率为()()()12120.3P B B P B P B ⋅=⋅=，C 员工得100分的概率为()()()12120.3P C C P C P C ⋅=⋅=，·············································································································· 9分()~3,0.3X B ∴······················································································ 11分∴()30.30.9E X =⨯= ············································································ 12分20．（12分）（1）取AB 的中点N ，连接MN ，NC ，则线段MN 为三角形SAB 的中位线， MNSA ∴，又,SA BD BD MN ⊥∴⊥ ························································ 2分设直线CN 与直线BD 交于Q 点， 则1,3NQ BQ BNQCDQ NC BD ∆∆∴==，设,,,26AD a CD NC a NQ =∴=∴=∴=，同理,3BD BQ a ==， 又222222632a a a NQ BQ BN +=+== ··························································· 5分 ,BD CN BD ∴⊥∴⊥面,MNC MC BD ∴⊥ ··················································· 6分（2）分别以直线AD ，AB ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,,,A S C B M ， 设SP SC λ=，()()()()2,21,2,21P AP λλλλ∴−∴=− ································· 8分 又()()0,2,1,AM AC ==，设平面AMC 的法向量(),,n x y z =，则(20,2,1,20n AM y z n n AC x ⎧⋅=+=⎪∴=−⎨⋅=+=⎪⎩ ·········································· 10分设直线AP 与平面AMC 所成的角为θ，则sin cos ,10AP n θ===， 11,22SP SC λ∴=∴= ·················································································· 12分 21．（12分） （1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F ∆中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+−=，22212122cos 4r r r r c θ∴=+−，又()1212MC MF MF =+， ()()2222222212121212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+−，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +−∴=+−=−=−−= ························· 3分 2222229,6,3,3a c a c b ∴−==∴=∴=，所以椭圆C 的方程为：22163x y += ······························································· 4分 （2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩， 2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ−∴+=−==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ−+==++ ································································ 7分 设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x −⋅−+−⋅−−−+=−−−⋅− ()()()()000121201221201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ−+++−+=−++ ()()()()20000022202212462x y tx y x t p xx t λλλ+−+−==−+−若p 为常数，则02120tx −= ····································································· 10分 即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t −==−−−，又06x t<<<<，即t >t <综上所述，t >t <存在点6,A t ⎛ ⎝，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值02y x t− ············································································ 12分 22．（12分）（1）()()()2221ln ln 1ln ,1x x x x g x x g x x x x−−+'=+=+= ······································ 1分 令()()211ln ,20h x x x h x x x '=−+=−+>，即2x >，所以函数()h x在区间2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递增，在区间0,2⎛ ⎝⎭单调递减 ················· 3分又()()()min 0,0,02h x h h x g x ⎛⎫'=>∴>∴> ⎪⎪⎝⎭， 所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增 ····························································· 5分 （2）不等式ln e ee 0axxa x−−>等价于1e ln 0ax x x ax −−−> 令()()()()111e ln 01e 1ax ax g x x x ax g x ax x x−−=−−>'=+−， ···························· 7分 设()()()11e 1,1e ax ax h x x h x ax −−=−∴'=+，当()10,0x h x a<<−'>， 所以函数()h x 在10,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e h x h a a a −⎛⎫∴=−=−+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,e 0a h a a−−<−∴=−+<， 所以函数()g x 在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,a⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减 ··························· 10分 ()2min 2111e ln 1e g x g a a a −−⎛⎫∴=−=−−− ⎪⎝⎭，令21e t a−=，则()()()()()min1ln 10,1,1g t t t m t t m t t =−−=∈'=−， ()m t ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()()()min 10,0m x m m t ∴==>，()()min 0,0g x g x ∴>∴> ········································································ 12分即2e a −<−时，不等式()0f x >恒成立．。
九年级数学诊断试卷【含答案】
九年级数学诊断试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数 $f(x) = x^2 2x + 1$，则 $f(1)$ 等于：A. 0B. 1C. 2D. 32. 在直角坐标系中，点 $(2, -3)$ 的对称点关于 $y$ 轴是：A. $(-2, 3)$B. $(2, 3)$C. $(-2, -3)$D. $(3, -2)$3. 若 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $a^2 + b^2 = 0$，则 $a$ 和 $b$ 必须都等于：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 方程 $x^2 5x + 6 = 0$ 的解是：A. $x = 2$ 和 $x = 3$B. $x = -2$ 和 $x = -3$C. $x = 1$ 和 $x = 6$D. $x = -1$ 和 $x = -6$5. 若 $p$ 是真命题，$q$ 是假命题，则 $p \vee q$ 的结果是：A. 真B. 假C. 无法确定D. 既真又假二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何实数的平方都是非负数。
（）7. 方程 $x^3 + 8 = 0$ 的解是 $x = -2$。
（）8. 在三角形中，最长边的对角总是最大的。
（）9. 若 $a > b$ 且 $c > d$，则 $a + c > b + d$。
（）10. 两个负数相乘的结果是正数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若 $f(x) = 2x + 3$，则 $f(4)$ = ________。
12. 二项式 $(x + y)^3$ 展开后不含 $x^2y$ 项。
（）13. 若一个等差数列的第一项是 3，公差是 2，则第四项是 ________。
14. 在直角三角形中，若一个锐角是 30 度，则另一个锐角是 ________ 度。
15. 方程 $3x 7 = 11$ 的解是 ________。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 解释什么是等差数列，并给出一个例子。
THUSSAT2023年3月诊断性测试数学试卷及答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}2430Ax x x =−+<，2112x B y y −−⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =A ．[)2,3B ．()1,3C ．[)2,+∞D ．()3,+∞2． 设z 是纯虚数，若31iz++是实数，则z 的虚部为A ．3−B ．1−C ．1D ．33． 已知函数()()()()3sin cos 0,f x x x ωϕωϕωϕπ=+−+><，则“函数()f x 是偶函数”是“=3πϕ−”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若圆()()22320x a y −+−=上有四个点到直线210x y −+=的距离为5，则实数a 的取值范围是A ．1317,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1317,22⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．37,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．37,22⎛⎫−⎪⎝⎭ 5． 若111111777n n n nn n n C C C −−+++++++是9的倍数，则自然数n 为A ．4的倍数B ．3的倍数C ．奇数D ．偶数6． 现将0-9十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a ，第二行的数字中最大的数字为b ，第三行的数字中最大的数字为c ，第四行的数字中最大的数字为d ，则满足a b c d <<<的填法的概率为A ．110B ．15C ．215D ．257． 在矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，连接1AC ．当二面角1A DE C −−的平面角的大小为60︒时，则三棱锥1A CDE −外接球的表面积为 A ．563πB ．18πC ．19πD ．533π8． 已知0a >且1a ≠，若集合{}22log a A x x x =<，1ln ln 2B x y x x ⎧⎫⎛⎫==+−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且A B ≠⊂， 则实数a 的取值范围是A ．14e 10,1,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦B ．14e10,e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭C ．12e 1,11,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦D ．12e1,1e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 设0,0a b >>，满足321a b +=，下列说法正确的是A ．ab 的最大值为124B ．21a b+的最小值为83 C ．22a b +的最小值为113D ．2294a b +的最小值为110．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是A ．23n a n =+B ．210n S n n =−+C ．{}n S 的最大值为5S D ． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099−11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，已知4,6b c ==，ABC ∆的面积S 满足()()22438b c S a +=++，点O 为ABC ∆的外心，满足AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（第7题图）（第6题图）A ．=6SB ．10CB AO ⋅=C ．2213AO=D ．23λ=−12．已知()()1122,,,P x y Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=−，则下列说法正确的是A ． 1122233233x y x y +−++−的最大值为6+B ． 1122233233x y x y +−++−的最小值为3C ． 11223535x y x y −++−+的最大值为D ． 11223535x y x y −++−+的最小值为10−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点M 为抛物线28y x =上的动点，点N 为圆()2245x y +−=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为．14．已知()f x 为R 上的偶函数，函数()()2=h x x f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()()()2211330x f x x f x −−−++>的解集为．15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个．16．若关于x 的不等式()e23xk x x −<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<−⋅． 18．（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c −=．（1）求角B ；（2）设ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，若BD =2，求ABC ∆的面积的最小值． 19．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD −中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD ∆为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =．（1）求证：FM面ABC ；（2）若二面角A BD C −−的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值． 20．（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．21．（12分）已知双曲线C 以20x ±=为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 22．（12分）设()()ex xf x x =∈R ．（1）求()f x 的单调性，并求()f x 在12x =处的切线方程；（2）若()()()e ln 1x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围．（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．132 14．(),1−∞− 15．10816．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）()()()23+1391=2n n n n a n a +⋅++()()()()12233221n nn a n a n n +++∴=++即()()()()122321321n nn a n a n n +++=⋅++ ····································································· 2分 又()()12312111a +=+，所以数列()()221n n a n ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为13，公比为13的等比数列 从而()()21321n nn a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭+，则()()2123n nn a n +=+⋅ ·················································· 5分 （2）()()2111+123233n nn n n n n n a n n +++==⋅<+⋅+··························································· 6分 21233133 12+12333323131233331两式相减得：12111111229311+121+3333333131n n n n n n n T −++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+++−=−−111211152513636233n n n n n −++⎡⎤++⎛⎫=+−−=−⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦················································ 9分 从而525443n n n T +−⋅=，故525443nnn S +<−⋅ ····················································· 10分 18．（12分）（1）由已知及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C ⋅−=又在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ························· 2分 2sin cos sin 2sin cos 2cos sin B A A A B A B ∴−=+即2sin cos =sin A B A −又sin 0A ≠，1cos 2B ∴=− ········································································ 4分 又0B π<<，2=3B π∴，即角B 的大小为23π ·············································· 5分 （2）1sin 2ABC S ac B ∆== ····································································· 6分 BD 是ABC ∠的角平分线，而ABC ABDBCD S S S ∆∆∆=+11sin 60sin 6022AB BD BD BC =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 即()44ac BD a c =⋅⋅+，ac BD a c =+∴ ················································· 8分 2BD =，()2ac a c ∴=+a c +≥ac ∴≥，即16ac ≥ ···············································10分 4a c ==1sin 162S ac B =⋅≥= 1219．（12分）（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM 6BD =，116BN BD ∴==，2NE =，3ED =12AF FE =，12BN AF NE FE ∴== 则FNAB ··························································································· 2分FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，FN∴面ABC15BN CM ND MD ==，NM BC ∴ ······························································· 4分NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，NM∴面ABCFNNM N =，∴面FNM面ABCFM ⊂面FNM ，FM∴面ABC ·························································· 5分 （2）AE BD ⊥，CE BD ⊥所以二面角A BD C −−的平面角为23AEC π∠= ············································ 6分 又AECE E =，BD ∴⊥面AECBD ⊂面ABD ，∴面ABD ⊥面AEC面ABD面=AEC AE ，过点C 作CH AE ⊥，则CH ⊥面ABD则sin3CH CE π=⋅=(CE ==CH ∴==······························· 8分即C 到面ABD 的距离为256MD CD =，M ∴到面ABD 的距离为5624⨯=······························ 9分322232EMEM+−=⇒=···············································11分∴EM与面ABD=·········································12分（其他方法酌情给分）20．（12分）（1）列联表如下：·····················2分()2230125490.4082 2.0721614219K⨯⨯−⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关 ············5分（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3则()3539542CP XC===···········································································6分()21453910121C CP XC=== ············································································7分()5243912145C CP XC=== ············································································8分()34391321CP XC===················································································9分X()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ··············································· 12分 21．（12分）（1）因为双曲线C以20x =为渐近线设双曲线方程为()()22x x λ=，即2245x y λ−= ························· 1分()0,3F ，0λ∴< ，即：22154y x λλ−=−−954λλ∴−−=，9920λ∴−=，即20λ=− ····················································· 3分 所以双曲线C 的方程为：22145y x −= ··························································· 4分 （2）设直线:3l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y()22225420534203y x kx x y kx ⎧−=⇒+−=⎨=+⎩ 化简得：()225430250k x kx −++=··························································· 6分 此方程的两根为12,x x ，则12212230542554k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩PQ ∴==()2220154k k +==− ·············································· 8分 PQ 中点M 坐标为221512,5454kk k −⎛⎫− ⎪−−⎝⎭······················································· 9分 22121155454k ⎛⎫02275422754则22227151535454k TF k k +=+=−− ···························································· 11分 ()22221515543420154k TF k PQ k k +−∴==+− ········································································ 12分 22．（12分）（1）令()()2e e 10e e x xxx x xf x −−'==> ··································································· 1分 1x ∴<，即函数()f x 的单调递增区间为(),1−∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞·········································· 2分当12x =时，121122e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴切点为12⎛ ⎝又121122ef ⎛⎫'==⎪⎝⎭，()f x ∴在12x =处的切线方程为：12y x y x ⎫=−⇒=⎪⎭················································· 4分 （2）()2e ln 1ex x k x ≤⋅+ ，ln 1ln 1ln 1e e e x x x x x k k x +++≤⋅=⋅ ()1,x ∈+∞，ln 1ln 10ex x ++∴>，ln 1e ln 1e x x xk x +∴≥+ ··············································· 6分 由（1）可知()=ex xf x 在()1,+∞上单调递减，下证：ln 1x x >+即证：ln 1x x −>在()1,x ∈+∞恒成立 令()ln g x x x =−，则()1110x g x x x−'=−=>1111 9 11()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减()()ln 1f x f x ∴<+，即ln 1ln 1e ex x x x ++<，ln 1e 1ln 1e x x x x +∴<+ ································· 11分 1k ∴≥ ·································································································· 12分。
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023 年9 月测试数学试卷及答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}11,,1522x A x x B x x x −⎧⎫=<∈=∈<<⎨⎬+⎩⎭R N ，则A B =A ．{}2B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则i i =A ．2e πB ．2eπ−C ．eπD ．e−π3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若124816S S S =+，则公比q = A ．3B ．2±C ．2D ．3±4．已知向量6AB AC ⋅=，线段BC 的中点为M ，且6AM =，则BC =A．B．C．D．5．已知函数()()sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为T ，且满足2T >π，若函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，则ω的取值范围是 A ．,143⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,15⎛⎫⎪⎝⎭6．三棱锥A BCD −中，3,,43AB BC BD ABC ABD DBC ππ===∠=∠=∠=，则直线AD与平面ABC 所成角的正弦值是 A．17B．29C．17D．297．已知三角形ABC 中，3BC =，角A 的平分线交BC 于点D ，若12BD DC =，则三角形ABC 面积的最大值为 A ．1 B ．2C ．3D ．48．比较0.111101,ln1.2,10115ea b c =−==的大小 A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9．已知实数a b c ,,满足a b c >>，且1abc =，则下列说法正确的是A ．()21a c b+>C ．22a b >B ．11a cb c<−−D ．()()22110a b ab −−>10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为21s ，平均数1x ；最大和最小两个数据的方差为22s ，平均数2x ；原样本数据的方差为2S ，平均数x ，若12x x =，则A ．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B ．1x x =C ．剩下8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数D ．222124155S s s =+11．已知函数()cos22sin f x x x =+，则A ．函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．方程()()()0,2f x a x =∈π最多有8个根，且这些根之和为8π12．已知椭圆22:12x C y +=的中心为O ，,A B 是C 上的两个不同的点且满足OA OB ⊥，则A ．点O 在直线AB 上投影的轨迹为圆B ．AOB ∠的平分线交AB 于D 点，OD的最小值为3C ．AOB ∆面积的最小值为23D ．AOB ∆中，AB边上中线长的最小值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 2α=，则sin 4α= ． 14．若()52210012103x x a a x a x a x −−=++++，则12345a a a a a ++++= ．15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值是 ．16．已知函数()()21e sin 112xf x m x x m x =+−−++，在0x =处取到极小值，则实数m = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，设3log n n c a =，若数列{}n c 的前n 项和22n n nS +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2265n n d a n n =⋅++，求数列{}n d 的前n 项和n T ．18．（12分）记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos2c a A B b A=−()A B ≤．（1）求A ；（2）若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（12分）某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有A ，B ，C 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知A 员工能正确回答甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75．（1）求3人得分之和为20分的概率；（2）设随机变量X 为3人中得分为100的人数，求随机变量X 的数学期望． 20．（12分）已知四棱锥S ABCD −中，底面ABCD是矩形，,2SA BD SA AD ⊥==，M 是SB 的中点．（1）证明：MC BD ⊥；（2）若,2SA AD SA ⊥=，点P 是SC 上的动点，直线AP 与平面AMC，求SP SC． 21．（12分）已知椭圆()222:106x y C b b+=>的左右焦点分别为12,F F ，C 是椭圆的中心，点M 为其上的一点满足125,2MF MF MC ⋅==．（1）求椭圆C 的方程；（2）设定点(),0T t ，过点T 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，若在C 上存在一点A ，使得直线AP的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值，求t 的范围．22．（12分）已知函数()()ln e ee 0axxf x a x x =−−>． （1）当1a =时，求函数()()1e eax f x g x x a −=−+−的单调区间；（2）证明：当2e a −<−时，不等式()0f x >恒成立．（第20题图）中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2425−14．46−15．64316．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()22111,22n n n n n n S S −−+−+=∴=， ()11,n n n S S n c n n −∴−==>∈N ·································································· 2分又()111,,3nn n c S c n n a ==∴=∈∴=N + ······················································· 3分（2）()()()2212326511313n n n n d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯−+⨯⎣⎦····························· 7分()()()()2222322213113313213n T =+⨯−+⨯++⨯−+⨯++∴()()()()2221121311311313n n n nnn n n −+⎡⎤⎡⎤+⨯−−+⨯+++⨯−+⨯⎣⎦⎣⎦()()221113113n n +⎡⎤=−+⨯+++⨯⎣⎦212236 101812 12sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A ∴=−···················································· 2分 ()sin sin 2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=−=−> ··································· 4分又02A B <−<π，则2C A B =−或2C A B +−=π，若2C A B =−，则3A π=； 若2C A B +−=π，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述3A π= ························································································· 6分 （2）()22222,,33AB ACAB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭···························· 8分 224236b c bc ∴++= ①，又222a b c bc =+− ②，①÷②得：222222242131426c c b b a b c bc c c b c b bc b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+−⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝········································ 9分 令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤≤≤∴+−≤∴∴， ,01cc b x b∴≤∴<=≤， 令()()()222142111,6430f x x f x x x x x x x x +=<≤=+−+−+−+······························ 10分令363,6t x t x +−==， ()()()()23636433,4332727t f t t f t t t t t∴=+−<≤∴=+−<≤++，又2712t t +≥或()2273612,17,7,7t f t a t a +<−∴<≤∴≤∴≥， 所以当三角形ABC 为等边三角形时a最小，最小值为7····························· 12分 191211212设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题； 三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 2分 ②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 4分 ③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6分 （2）A 员工得100分的概率为()()()12120.3P A A P A P A ⋅=⋅=，B 员工得100分的概率为()()()12120.3P B B P B P B ⋅=⋅=，C 员工得100分的概率为()()()12120.3P C C P C P C ⋅=⋅=，·············································································································· 9分()~3,0.3X B ∴······················································································ 11分∴()30.30.9E X =⨯= ············································································ 12分20．（12分）（1）取AB 的中点N ，连接MN ，NC ，则线段MN 为三角形SAB 的中位线， MNSA ∴，又,SA BD BD MN ⊥∴⊥ ························································ 2分设直线CN 与直线BD 交于Q 点， 则1,3NQ BQ BNQCDQ NC BD ∆∆∴==，设,,,26AD a CD NC a NQ =∴=∴=∴=，同理,3BD BQ a ==， 2222226325 6（2）分别以直线AD ，AB ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,,,A S C B M ， 设SP SC λ=，()()()()2,21,2,21P AP λλλλ∴−∴=−································· 8分又()()0,2,1,AM AC ==，设平面AMC 的法向量(),,n x y z =，则(20,2,1,20n AM y z n n AC x ⎧⋅=+=⎪∴=−⎨⋅=+=⎪⎩ ··········································10分 设直线AP 与平面AMC 所成的角为θ，则sin cos ,10AP n θ===， 11,22SP SC λ∴=∴= ·················································································· 12分21．（12分） （1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F ∆中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+−=，22212122cos 4r r r r c θ∴=+−，又()1212MC MF MF =+， ()()2222222212121212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+−，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +−∴=+−=−=−−=························· 3分 2222229,6,3,3a c a c b ∴−==∴=∴=，22163x y 4 2001122()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩， 2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ−∴+=−==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ−+==++ ································································ 7分 设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x −⋅−+−⋅−−−+=−−−⋅− ()()()()0001212012201201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ−+++−+=−++ ()()()()20000022202212462x y tx y x t p xx t λλλ+−+−==−+−若p 为常数，则02120tx −= ····································································· 10分 即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t −==−−−，又06x t<<<<，即t >t <综上所述，t >t <存在点6,A t ⎛ ⎝，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值02y x t− ············································································ 12分 22．（12分）（1）()()()2221ln ln 1ln ,1x x x x g x x g x x x x−−+'=+=+= ······································ 1分 令()()211ln ,20h x x x h x x '=−+=−+>，即2x >，22 3又()()()min 0,0,02h x h h x g x ⎛⎫'=>∴>∴> ⎪⎪⎝⎭， 所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增 ····························································· 5分 （2）不等式ln e ee 0axxa x−−>等价于1e ln 0ax x x ax −−−> 令()()()()111e ln 01e 1ax ax g x x x ax g x ax x x−−=−−>'=+−， ···························· 7分 设()()()11e 1,1e ax ax h x x h x ax −−=−∴'=+，当()10,0x h x a<<−'>， 所以函数()h x 在10,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()()2max 11e h x h a a a −⎛⎫∴=−=−+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,e 0a h a a−−<−∴=−+<， 所以函数()g x 在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,a⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减 ··························· 10分 ()2min 2111e ln 1e g x g a a a −−⎛⎫∴=−=−−− ⎪⎝⎭，令21e t a−=，则()()()()()min1ln 10,1,1g t t t m t t m t t =−−=∈'=−， ()m t ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()()()min 10,0m x m m t ∴==>，()()0 1220。
中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年 11 月测试数学参考答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年11月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．7215 16．35四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）2sin sin cos c B C b B =，所以由正弦定理得2sin sin sin sin cos C B CB B=， 1cos2B ∴=，得3B π= ············································································ 3分 ()tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B ++=−+=−==−−················5分（2）ABC ∆内切圆的面积为π，所以内切圆半径1r =，由圆的切线性质得3c a b b c a +−=∴=+−=···························· 7分 由余弦定理得222b c a ac =+−，(()222233c a ac a c ac ∴+=+−=+−，将3a c +=+代入，18sin 323ABC ac S ac ∆π∴=+∴== ·············································· 10分（或()1632ABC a b c S r a b c ∆∴++=+∴=⋅⋅++= ······················ 10分） 18．（12分）（1）过D 作AB 的垂线交AB 于H 点，设AC AB a ==，则),2,,12BC BD a HD HB BD AH BH BA a ======−=，AD ==，由题意得，二面角C SA D −−的平面角为CAD ∠， ········································· 2分cos DH CAD DA ∴∠===············································ 4分 （2）分别以AB ，AC ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，()()0,0,0,,0,0A B a ∴，()()0,,0,0,0,C a S h ，则()()()(),0,1,0,,1E a h F a h λλλλ−−，SB SC =且,SE SFSE SF SB SCλ==∴= ····················································· 6分 又,SAB SAC BSA CSA ∆∆∴∠=∠，那么SAESAF ∆∆，则AE AF =····························································································· 8分 故SEF ∆与AEF ∆都是等腰三角形，取EF 的中点G ，则SG 与AG 均垂直于EF ，()()111111,,1,,,,,,1222222G a a h SG a a h AG a a h λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，平面AEF ⊥平面SBC 等价于SG AG ⊥ ················· 10分 ()22221044a a SG AG h h h λλλ∴⋅=+−−=，又260,,3SCB a h λ∠=︒∴=∴=························ 12分 19．（12分） （1）()1122,222n n n n a a a a ++=+∴−=−，即()11222n n aa +−=−，{}2n a ∴−是公比为12的等比数列 ······························································· 2分 111123,2322n n n n a a −−⎛⎫⎛⎫−=⋅∴=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭····················································· 4分（2）211211112312612222n n n n S a a a n n −⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++++=+−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦············································································································· 6分111266,266222023nnn n S n S n ⎛⎫⎛⎫∴−−=−⋅−−=⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即126069,n n −>∴取最小值14 ·································································· 8分 （3）()11212,133n n n n n C C n C nλ−++⎛⎫==< ⎪⎝⎭，得2n >， 即1n n C C +<，有345C C C >>，又1234,3C C C λλ===， 故{}n C 中最大项为23,C C ······································································· 10分 又{}m b 中最小值为()()2min max 7,3m n b C λ∴−>，即24733λλ−>， ()()3710λλ∴−⋅+>，又70,3λλ>∴>················································· 12分 20．（12分）（1）由题意可知：X 的所有可能取值为2.3，0.8，0.5，()1342.30.3245P X ==⋅⋅= ······································································ 1分 0.8X =包含的可能为“高低高”“低高高”“低低高”， ()1141341140.80.5245245245P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ·········································· 2分 ()0.510.30.50.2P X ==−−= ··································································· 3分X 的分布列为：·············································································································· 4分 数学期望() 1.19E X = ················································································ 5分 （2）设升级后一件产品的利润为Y ，Y 的所有可能取值为2.3,0.8,0.5a a a −−− ····················································· 6分()36142.3245103P Y a b b ⎛⎫=−=+⋅⋅= ⎪⎭+⎝························································· 7分()1341141140.82452452450561P Y a b b b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−⋅⋅++⋅⋅+−⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−⎝⎭⎝⎭············· 8分()635610.5110105b b P Y a +−=−=−−= ························································ 9分 ()()()()()635612.30.80.5 1.190.910105b b E Y a a a b a +−=−⋅+−⋅+−⋅=+⋅− ············································································································ 11分()()0.90E Y E X b a >⇒⋅−>，即：[]()1100,0.429a b a >>∈（备注：12不写出不扣分） ······························· 12分 21．（12分）（1）11AB AF BF ++=2211AF BF AF BF +++=，又12122,4AF AF BF BF a a a +=+=∴=∴=······························· 2分又e =,1,12c c b a =∴=∴=， 故椭圆E 的方程是2212x y += ······································································ 4分 （2）依题意知直线BC 的斜率存在，设直线:BC y kx m =+，代入2212x y +=，得()2212x kx m ++=，即22212102k x kmx m ⎛⎫+++−=⎪⎝⎭①，()()22222124122402km k m m k ⎛⎫=−+−=−++> ⎪⎝⎭，即22210k m −+> ②，设()()1122,,,B x y C x y ，则()22,A x y −，122212km x x k −+=+ ③，2122112m x x k −=+ ④ ····················································· 6分2,,A F B 三点共线，()21,0F ，直线AB 不与坐标轴垂直，()()()()12211212,1111y y x kx m x kx m x x −∴=∴−+=−−+−−， ()()121212220kx x m x x k x x m ∴++−+−=，()222222212220111222k m km k m m k k k −∴−+−=+++，2222222220km k km k m m k m ∴−−+−−=，2,m k ∴=−∴直线():2BC y k x =−， 由②得：22212410,2kk k −+>∴<，12BC x =−，点()11,0F −到直线:20BC kx y k −−=的距离d =，1121322F BC S BC d k x x ∆∴==− ································································· 8分12x x −====，)10F BC S k ∆∴=≠，设2211k t +=>，则212t k−=，1F BC S ∆∴====·································································· 10分 所以当134t =时，即22441,21,336t k k =+==（符合题意），1F BC S ∆的最大值为4，所以当6k =±时，1F BC ∆的面积取最大值为4············································································································ 12分22．（12分） （1）定义域为()(),11,−∞−+∞，由题意知()()2ln 1x x x ax −−=，则()()1ln 1x x a −−=有三个不同的实数根，当1x >时，令()()()1ln 1g x x x =−−，()()()ln 11,g x x g x ∴'=−+∴'在()1,x ∈+∞上单调递增，又110e g ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，()g x ∴在11,1e x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,e x ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()111e e g x g ⎛⎫∴≥+=− ⎪⎝⎭·············································································· 2分当1x <−时，令()()()1ln 1h x x x =−−−，()()()()()221123ln 1,1111x x h x x h x x x x x −+∴'=−−+''=+=++++， 又()30h ''−=，()h x ∴'在(),3−∞−上单调递减，在()3,1−−上单调递增，()()32ln 20h x h ∴'≥'−=+>，()h x ∴在(),1−∞−上单调递增 ····································································· 5分又()20h −=，当1x −→−时，()h x →+∞，当x →−∞时，()h x →−∞， 当1x +→时，()0g x −→，当x →+∞时，()g x →+∞，10ea ∴−<< ··························································································· 6分 （2）由已知可知()()1ln1ax x x−−=有3个零点123,,x x x ， 不妨设123x x x <<，显然121x −<<−，由（1）中函数()g x 性质且11e 11e 11e ea −>>−++， 231112ex x ∴<<+<<，只需证2322e x x +>+，即3222ex x >+− ···················································· 8分 又()()()222222122211ln 11ln 10e e e g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−=+−+−−−−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，上面不等式证明如下： 令()()()2211ln 11ln 1,1,1e e e x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−+−−−−∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()21ln 1ln 12,1,1e e x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=−+−−−−∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2ln 1120e x x ⎡⎤⎛⎫=+−−−> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()x ϕ∴在11,1e x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上单调递增，()110e x ϕϕ⎛⎫∴<+= ⎪⎝⎭··········································································· 10分又221211,21e e ex x −>−−+−>+，()22121e g x g x ⎛⎫⎛⎫∴+−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又显然有()()23g x g x <，23121e x x ⎛⎫∴+−< ⎪⎝⎭，2322ex x ∴+>+， 1232ex x x ∴++> ·················································································· 12分。
2022-2023学年房山区九年级第一学期数学期末测试试卷及答案
1房山区 2022—2023学年度第一学期诊断性评价九 年 级 数 学本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果3AD =，6BD =，2AE =，那么AC 的值为（A ）4（B ）6（C ）8（D ）92．如图，在Rt △ABC 中，∠90C =︒，如果4AC =，3BC =，那么cos A 的值为 （A ）45（B ）35（C ）43（D ）343. 把二次函数422+-=x x y 变形为2() y a x h k =-+的形式，下列变形正确的是 （A ）2(1)3y x =++ （B ）2(2)3y x =-+ （C ）2(1)5y x =-+（D ）2(1)3y x =-+4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC = 25°，那么 ∠BOC 的度数是 （A ）35○（B ）45○（C ）50○（D ）60○5．河堤的横断面如图所示，堤高BC 为5 m ，迎水坡 AB 的长是13 m ，那么斜坡AB 的坡度i 是 （A ）1∶3 （B ）1∶2.6 （C ）1∶2.4（D ）1∶26．点A (1x y ，11x y ，)，B (2x y ，22xy ，)是反比例函数1y x=的图象上的两点，如果120x x ＜＜， 那么1y ，2y 的大小关系是 （A ）120y y ＜＜ （B ）210y y ＜＜（C ）120y y ＞＞（D ）210y y ＞＞7．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料. 图中的管道中心线AB 的长为（单位：m ） （A ）403π（B ）803π（C ）16003π（D ）32003π8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒2个单位长的速度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒1个单位长的速度沿y 轴的正方向运动，设运动时间为t 秒，以AB 为直径作圆，圆心为点P . 在运动的过程中有如下5个结论：①∠ABO 的大小始终不变；②⊙P 始终经过原点O ；③半径AP 的长是时间t 的一次函数； ④圆心P 的运动轨迹是一条抛物线； ⑤AB 始终平行于直线12y x =-.其中正确的有（A ）①②③④ （B ）①②⑤ （C ）②③⑤ （D ）①②③⑤ABCOACBxyPABoA BCDE试卷第2页，共7页二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9．二次函数2(1)2y x =+-图象的顶点坐标为 . 10．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数xky（k ≠ 0）的图象过点A 和点B ， 则a 的值为 .（第10题图） （第11题图）11．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则sin ∠ABC 为 ．12．平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x x m =-+与x 轴只有一个交点，则m 的值为 .（第13题图） （第14题图）13．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C 放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A ，B 两点，测得CA 为8 cm ，CB 为6 cm ，则该圆形镜子的半径．．是 cm .14．如图，在矩形ABCD 中，若AB = 2，BC = 4，且14AF FC =，则EF 的长为 ．15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步.16．在平面直角坐标系xOy 中，以点P ( t ，0 )为圆心，单位长1为半径的圆与直线2y kx =-相切于点M ，直线2y kx =-与y 轴交于点N ，当MN 取得最小值时，k 的值为 .三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分） 17．计算： .18．抛物线c bx x y ++-=2过点（0，－3）和（2，1）.（1）求b ，c 的值；（2）直接写出当x 取何值时，函数y 随x 的增大而增大．19．如图，△ABC 中，AB = AC = 5，sin ∠ABC =52. （1）求BC 的长.（2）BE 是AC 边上的高，请你补全图形，并求BE 的长.CBAF BC2cos302sin 45tan 60+-3试卷第4页，共7页20．下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程.已知：如图，⊙O 及⊙O 外一点P .求作：过点P 的⊙O 的切线PD （D 为切点）.作法：①连接PO 与⊙O 交于点A ，延长PO 与⊙O 交于点B ；②以点O 为圆心，AB 长为半径作弧；以点P 为圆心，PO 长为半径作弧，在PO 上方两弧交于点C ；③连接OC ，PC ，OC 与⊙O 交于点D ； ④作直线PD .则直线PD 即为所求作的⊙O 的切线. 请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC = AB ，PC = PO ， 点 为线段CO 中点，∴PD ⊥OC （ ）（填写推理依据） 又∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 切线（ ）（填写推理依据）21．如图，割线PB 与⊙O 交于点A ，B ，割线PC 过圆心O ，且∠CPB =30°．若PC =13，⊙O 的半径OA = 5，求弦AB 的长．22．中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底． 一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C 处用高1.5 m 的测角仪CD 测得塔尖A 的仰角为37°，向塔的方向前进128 m 到达F 处，在F 处测得塔尖A 的仰角为45°，请你求出中央电视塔AB 的高度（结果精确到1 m ）．（参考数据：3443sin 37cos37sin 53cos53,tan 53555534tan 37.43︒≈︒︒≈≈︒≈︒≈≈︒，，，，）23．在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生. 如图23-1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸. 如图23-2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形. 碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB ，测得弧所对的弦长AB 为12.8 cm ，弧中点到弦的距离为2 cm ．设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OC ⊥AB 于D ，连接OB ．求这个盏口半径OB 的长（精确到0.1cm ）．图 23-1 图 23-2OPCBAOP524．如图，平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)my x x =<的图象经过点A （－1，4），一次函数y=－x + 2的图象与反比例函数(0)my x x=<的图象交于点B .（1）求m 的值； （2）点()C C C x y ，是(0)my x x=<图象上任意一点，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线y=－x + 2于点E .①当x C =－2时，判断CD 与CE 的数量关系，并说明理由； ②当CE ≥CD 时，直接写出C x 的25．如图，AB 是⊙O 的直径，直线MC 与⊙O 相切于点C . 过点B 作BD ⊥MC 于D ，线段BD 与⊙O 相交于点E .（1）求证：BC 是∠ABD 的平分线； （2）若AB = 10，BE = 6，求BC 的长.26．在平面直角坐标系中，已知抛物线24 03a y ax ax =-+≠(). （1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点A （2－t ，1y )，B （2＋2t ，2y )，若1y ＞2y ，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m )，（2，n )，（5，p )，当mnp ≥0时，求a 的取值范围.27．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC = 90°，AB = 2．点D 为平面上一点，使得 ∠BDA = 90°．点P 为BC 中点，连接DP ． （1）如图，点D 为△ABC 内一点①猜想∠BDP 的大小；②写出线段AD ，BD ，PD 之间的数量关系，（2）直接写出线段CD 的最大值．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A ，B （A 点在B 点左侧），以AB 为直径作⊙M . 取线段AB 下方的抛物线部分和线段AB 上方的圆弧部分（含端点A ，B ），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB 叫做“横径”，线段AB 的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”. （1）已知抛物线2y x =.①若点A 横坐标为－2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为 ，“纵径”长为 ；②若点A 横坐标为t ，用t 表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t 的值；（2）已知抛物线222y x ax a a =-++，若点A 在直线4y ax a =-+上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a 的取值范围.试卷第6页，共7页房山区2022-2023学年度第一学期诊断性评价九年级数学参考答案一、 选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1 23 4 5 6 7 8 B ADCCBBD二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9 101112 13 1415 16（−1，−2） 23 1010 1555 63三、解答题（本题共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分） 17. 解：原式= 2 × + × －3……………………………………3分=13 －3 ……………………………………4分= 1 ……………………………………5分18. 解：（1） {c =−3−4+2b +c =1 ……………………………………2分解得{c =−3b =4……………………………………3分（2） 2 x 时，函数y 随x 的增大而增大 ……………………5分19 . 解： （1）过点A 作AD ⊥BC 于D ………………1分∴sin ∠AB AD ABC∴AD=AB ∙ sin ∠ABC =5×52= 2 ………………2分BD =212-522∵AB = AC∴BC = 2BD = 221 …………………3分（2）补全图形 …………………4分 ∵AB = AC∴∠ACB=∠ABC …………………5分∴sin ∠ACB=sin ∠ABC =52 ∵BE ⊥AC 于E∴sin ∠BCBE ECB∴BE =BC ∙ sin ∠ECB = 221×52=5214…………………6分注：其它解法参照给分20．（1）补全图形 …………………2分（2）点 D 为线段CO 中点， …………………3分∴PD ⊥OC ，（ 等腰三角形底边高与底边中线互相重合）………………4分 又∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 切线（ 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）………………5分21．解：过点O 作OD ⊥AB 于D ……………………1分 ∴AB = 2AD ……………………2分 ∵PC =13，⊙O 的半径OC =OA = 5 ∴PO = 13－5= 8 ∵∠CPB =30°∴OD =2121 PO × 8 = 4 ……………………3分 ∴34-522 AD ……………………4分∴AB = 2 × 3 = 6 ……………………5分22．解：由题意得，BG = CD = 1.5 m ，DE = CF = 128 m ……………………1分 ∵Rt △AGE 中，∠AEG =∠EAG = 45°∴AG EG = ……………………2分 设AG EG x ==DCBAOP232227在Rt △AGD 中，tan AGADG DG∠=……………………3分 则AG=DG ∙ tan ∠ADG = DG ∙ tan37° ∴)128(43x x ……………………4分 解得：384x = ……………………5分 则384 1.5385.5386AB =+=≈（m ）答：中央电视塔AB 的高度为386 m . ……………………6分 注：其它解法参照给分23．解：∵⊙O 中，半径OC ⊥AB 于D ∴2121 AB BD × 12.8 = 6.4，……………………2分 ∵弧中点到弦的距离为2 cm∴CD = 2 cm ……………………3分 设⊙O 半径为R ，则OD = OC －CD =R －2在Rt △OBD 中，由勾股定理得：222OD BD OB即R 2 = 6.42 + (R －2)2 ……………………5分 解得：R = 11.24 即OB =11.24≈11.2（c m ）答：盏口半径OB 的长为11.2 cm. ……………………6分九年级数学试卷第15页（共18页） 九年级数学试卷第16页（共18页）24．（1）将A （－1，4）代入0m yx x中，m = -1×4 = -4即m 值为 -4 ……………………1分（2）①猜想：CD =CE ……………………2分证明：∵反比例函数为40y x x∴点C （-2，2） 得D （0，2）∴CD = 2 ……………………3分 将x = -2代入y =－x +2中得y = 4，∴点E （-2，4）∴CE = 2 ……………………4分∴CD=CE② x C ≤-2 或 -1≤ x C＜0 (6)25.（1）证明：连接OC∵直线MC与⊙O 相切于点C∴OC ⊥MD ……………………1分 ∵BD ⊥MC ∴OC ∥BD∴∠OCB =∠CBD ……………………2分 ∵OC = OB∴∠OCB =∠OBC∴∠CBD =∠OBC∴BC 是∠ABD 的平分线 ……………………3分（2）连接AE ，与OC 交于点F ……………………4分 ∵AB 是⊙O 的直径，点E 在⊙O 上 ∴∠AEB =90° ∵AB =10，BE =6∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE =8 ……………………5分 ∵OC ∥BD ，∠AEB =90° ∴OC ⊥AE∴FE= ，OF 为△ABE 的中位线∴OF= ，CF =OC -OF = 5-3 =2 ∵BD ⊥MD ，OC ⊥MD ，∠AEB =90°可得四边形CDEF 是矩形 ∴CD =FE =4，DE =CF =2∴BD = 6+2 =8∴在Rt △CDB 中，由勾股定理可得CB = ……………………6分注：其它解法参照给分1）此抛物线对称轴为：422a xa……………………1分2）判断：此抛物线有最高点. ……………………2分如下：由y 1＞y 2可知，t ≠0.（2-t ，1y )到对称轴x =2的距离为t ，B （2＋2t ，2y )到对称轴x =2的距离为2t ，A 到对称轴的距离比点B 近 ……………………3分 ∵1y ＞2y∴此抛物线开口向下 ……………………4分 ∴此抛物线有最高点.（3）在（2）的前提下，a < 0 ……………………5分 由表达式可知点（0，3）在抛物线上 点（5，p ）关于对称轴的对称点为（-1，p ）∴（-1，p ），（0，3），（1，m ），（2，n) 这四个点都在抛物线左半支上 ∵-1< 0< 1< 2，y 随x 的增大而增大所以p< 3< m< n ， 根据mnp ≥0，得到p ≥0把x = -1代入表达式，得a +4a +3≥0，解得a ≥-∵ a < 0∴ a 的取值范围为- ≤ a < 0 . ……………………6分注：其它解法参照给分27.（1）①猜想：∠BDP =45° ……………………1分②数量关系：BD =AD ……………………2分证明：如图，连接AP 交BD 于点E. ……………………3分421 AE 53321 BE 544822 53九年级数学试卷第17页（共18页） 九年级数学试卷第18页（共18页）学校________________ 班级________________ 姓名_________________密 封 线内 不 能 答 题∵△ABC 为等腰直角三角形，点P 为BC 中点， ∴AP ⊥BC ，AP =BP =12BC ，∠BAP =45° ∵∠BDA = 90°又∠BEP =∠AED ∴△BEP ∽△AED ， ∴=BE AEEP ED又∵∠BEA =∠PED ∴△ABE ∽△DPE ，∴∠BDP =∠BAP = 45° 过点P 作PF ⊥PD 交BD 于点F ∴PF =PD ，∠1 +∠2 =90°，FD =2DP ∵AP ⊥BC ， ∴∠2 +∠3=90°∴∠3=∠1∴△BFP ≌△ADP ， ……………………4分 ∴BF =AD ∵BD=BF+FD∴BD=AD+2PD ……………………5分 注：其它解法参照给分（2）CD 的最大值为51+ ……………………6分28.（1）①“横径”长为4, “纵径”长为6 ……………………2分②∵抛物线2y x =，点A 横坐标为t∴点A （t ，2t ），点B （-t ，2t ）（t ＜0）∴此时横径长为-2t ，纵径长为2t -t ， ……………………3分2-12--2t t t t横径纵径扁度∵扁度为2∴22-1 t得 t = -3 ……………………4分（2）点A 既在抛物线222y x axa a 上，又在直线4y ax a 解2242y ax ay x ax a a =-+=-++⎧⎨⎩ 得12x x a∴点A 坐标为（-a ，4a 2+a ） ……………………5分又抛物线222yx axa a 的顶点为（a ，a ），点A 在对称轴左侧∴-a ＜a 得a ＞0由点A 坐标得点B 坐标为（3a ，4a 2+a ） ∴横径为4a ，纵径为 4a 2 + 2a得 ∵“抛物圆”的“扁度”不超过3 ∴212 a ≤ 3, 解得a ≤25∵a ＞0 ∴ 0＜a ≤25……………………6分y12345–1–2–31234–1–2–3–4BoA2124242 a a a a 横径纵径扁度。
2023年湖北省十堰市茅箭区中考一模诊断性考试数学试题(含答案解析)
2023年湖北省十堰市茅箭区中考一模诊断性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A ．121B ．144C ．169D ．1968．如图，直线AB 是O 的切线，点C 为切点，OD AB ∥交O 于点D ，点E 在O A ．30°9．如图，在△ABC 中，＝∠B ＝α，DE 交AC 于点全等；②△ADE ∽△ACD 中正确的结论有几个（A ．1个10．如图已知反比例函数A．23-B．3-二、填空题11．据报道，春节期间微信红包收发高达示为________．12．不等式2x-1>5的解集为______14．如图，在矩形ABCD中，若DF＝6，则线段EF的长为15．如图，将半径为6的半圆，绕点影部分的面积是________．16．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4BC =，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是________．三、解答题(1)本次随机调查了多少名学生？(2)若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”(3)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母,,,A B C D 表示）21．如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点OD 的中点，延长AE 至G ，使EG ＝AE ，连接（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由.22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，过点A 作AE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ，DA 平分∠BDE ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）已知AE ＝4cm ，CD ＝6cm ，求⊙O 的半径．23．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系，（其中4070x ≤≤，且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？24．如图1，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、AD 上的点，EF AC ⊥交于点M ，N 为BF 中点．(1)请直接写出ON 与OM 的数量关系。
上海市虹口区2021届九年级上学期期末(中考一模)质量调研数学试卷(简答版)
22. 图 9-1 是一款家用落地式取暖器，如图 9-2 是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形 ABCD 是取 暖器的主体，等腰梯形 BEFC 是底座，烘干架连杆 GH 可绕边 CD 上一点 H 旋转，以调节角度，已知 CD=50cm，BC=8cm，EF=20cm，DH=12cm，GH=15cm，∠CFE=30°，当∠GHD=53°时，求点 G 到地 面的距离（精确到 0.1cm）
虹口区 2020 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学 试卷
2021.1
一、选择题
1. 在 ABC 中，∠C=90°，如果 BC=3，AC=4，那么 tanA 的值是（
3 A. 4
4 B. 3
3 C. 5
）
4 D. 5
2. 如果向量 a 和 b 是单位向量，那么下列等式中，成立的是（ ）
A. a b
三、解答题
19. 计算：
tan2 45 2sin 60
cot 30 2 cos 45
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20. 已知二次函数的解析式为 y 1 x2 2x . 2
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y a x m2 k 的形式；
上的中线，如果 BC=3，AD=2.4， B 'C ' 2 ，那么 A' D ' 的长是
15. 如图 3，AB//CD，AD、BC 相交于点 E，过 E 作 EF//CD 交 BD 于点 F，如果 AB=3，CD=6，那么 EF 的长是
2023年云南省昆明八中长城红鑫校区初三数学教学诊断试卷5 - 副本
昆明八中长城红鑫校区2023届初三数学教学诊断（五）一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）1．如图，几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．据科学家研究，新型冠状病毒最新变异为奥米克戎，奥米克戎被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只有85nm 左右（1nm ＝10﹣9m ），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩戴口罩可有效阻断奥米克戎的传播．将85nm 用科学记数法表示为（）A ．85×10﹣9mB ．8.5×10﹣10mC ．0.85×10﹣8mD ．8.5×10﹣8m3．下列计算正确的是（）A ．a 3+a 3＝a 6B ．a ÷b•＝a C ．﹣＝2D ．（）3＝4．如图，AB ∥CD ，点F 在直线AB 上，EF ⊥FG ．若∠EFB ＝150°，则∠FGD 的大小为（）A ．30°B ．50°C ．60°D ．75°5．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ≠0B ．a ＞﹣1且a ≠0C ．a ≥﹣1且a ≠0D ．a ＞﹣16．下列说法正确的是（）A ．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式B ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖D ．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S 甲2＝0.4，S 乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定7．如图所示，其函数解析式可能是（）A ．y ＝2x 2B ．y ＝C ．y＝﹣D ．y ＝3x8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 边于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若CF ＝4，则线段AD 的长为（）A ．B ．1C．D．第4题图第7题图第8题图第11题图9．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等10．某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若AD＝13，弦AB＝5，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（）A．3B．C．2D．1二．填空题（共4小题，每题2分，共8分）13．﹣（﹣2022）的相反数是．14．分解因式：ab2﹣2ab+a＝．15．某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为．三．解答题（共8小题，共56分）17．先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．18．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.19．为了解我市中学生对政情防控知识的课题情况，在全市机抽取了m名中学生进行了一次测式，随后绘制成尚不完整的统计图表：（测试卷满分100分，按成绩划分为人，B，C，D四个等级）等级成绩x频数A90≤x≤10048B80≤x＜90nC70≤x＜8032D0≤x＜708根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：①m＝；n＝，p＝；②抽取的这m名中学生，其成绩的中位数落在等级（填A，B，C或D）；③扇形统计图中“D”等级所对应的扇形圆心角为度．（2）我市约有5万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成绩能达到A等级．20．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．22．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？23．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？24.如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC＝PG；（2）当点G是BC的中点时，求证：CG2＝BF•OB；（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为，求此时△CGP的面积．。
中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年上学期12月测试(新课改版)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数，给出下列结论①②点是曲线的对称中心③函数在区间上单调递增④把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到图像其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则下面结论正确的是A．函数的对称轴为B ．函数的对称轴为C．函数的对称中心为D．函数的对称中心为4. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．5. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的体积为时，则该正四面体的高的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106. 若（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．7. 若，则“”是“”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.函数的定义域是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C ．函数在的值域为中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年上学期12月测试（新课改版）数学试题三、填空题四、解答题D．将函数的图象向右平移个单位，所得函数为10. 设a ，b ，c ，，下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B．若，则C ．设，，若，则D ．设，，若，则11. 已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C 交于A ，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C 经过的点为（ ）A．B．C．D．12. 已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为，A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B为底面圆直径的两个端点时，B ．△PAB面积的最大值为C ．当△PAB 面积最大值时，三棱锥C -PAB的体积最大值为D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，的最小值为13. 已知中，角所对的边分别为，且，，则的面积为__________．14. 已知，，则______．15. 已知为奇函数，当时，，则的值是________.16. 已知是等比数列，满足，且．(1)求的通项公式和前项和；(2)求的通项公式．17. 已知中角 、、所对的边分别为、、，且满足，．(1)求角A ；(2)若，边上中线，求的面积．18. 的内角，，所对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求的周长．19. 如图，多面体中，底面四边形为菱形，平面且(1)求证：；(2)求点A 到平面的距离20. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n 项和为S n .①求S n ；②若使不等式成立的n ()的值恰有4个，求实数的取值范围.21. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；。
2024年山东省济南市莱芜区九年级学业水平阶段性诊断测试二数学试题
2024年山东省济南市莱芜区九年级学业水平阶段性诊断测试二数学试题一、单选题1．9-的倒数是（ ） A ．9B ．9-C ．19-D ．192．2023年我国小麦产量13万吨．数据“13万”用科学记数法表示为（ ） A ．51.310⨯B ．41.310⨯C ．41310⨯D ．60.1310⨯3．如图，直线m n ∥，点B 在直线n 上，且135AB BC ⊥∠=︒，，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒4．实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0m n +<B ．33m n ->-C ．||||m n >D ．55m n +>+5．如图，四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列各式运算正确的是（ ） A ．236x x x ⋅= B ．824x x x ÷= C ．222()x y x y -=-D ．()3263x yx y =7．若点()()()123,2,,1,,2A x B x C x -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．321x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<8．2024年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对10个地区“五一”假期的旅游人数进行了调查，获得了他们“五一”假期旅游人数（单位：百万）：12，16，12，16，18，17，17，20，17，15．则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．16、16B ．16.5、17C ．17、17D ．17、169．如图，在ABC V 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ，作直线PQ 交BC 于点D ，连接AD ．以下结论不．正确．．的是（ ）A ．72BAD ∠=︒B ．BD AC = C．ABD ACD S S =△△ D．BD CD =10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．①如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”，若90B ??，且32AB AD ==，时，221CD CB -=；②如图2，四边形ABCD 是“对补四边形”，当AB CB =，且12EBF ABC ∠=∠时，图中AE ，CF ，EF 之间的数量关系是AE CF EF +=；③如图3，在四边形ABCD 中，AB CB =，BD 平分ADC ∠，则四边形ABCD 是“对补四边形”；④如图4，在四边形ABCD 中，90ABC AB CB ∠=︒=，，BD 平分ADC ∠，且12ACD ABC S S =V V 时，则tan 3ACD ∠= 以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题11．因式分解：221m m ++=12．如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是．13．某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是．14．如图，以半圆上的点A 为圆心，AB 为半径作扇形ABC ．线段AC 交弧AB 的中点于D ，若8AB =，则阴影部分面积S =（结果保留π）．15．如图1，在ABC V 中，30B ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线A B C →→匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为()s t ，AP 的长度为()cm y ，y 与t 的函数图象如图2所示．则ABC V 的面积为2cm ．16．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，120B ∠=︒，点M 是AD 的中点，连接MC ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为．三、解答题17()022024tan 60π+-︒． 18．先化简，再求值．221422a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中1a =-． 19．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，AE CF =，连接DE 、DF ．求证：AFD CED ∠=∠．20．简约大气是人们的新追求图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，AB 、AC 为等长的支架，BC 为水平地面，已知50cm OA =，120cm OD =，45cm BD =，75ABC ∠=︒．（结果精确到1cm ．参考数据：sin 75097︒≈．，cos75026︒≈．，tan 75373︒≈．，141．173≈．）(1)求支架顶点A 到地面BC 的距离；(2)如图3，将镜面顺时针旋转15︒，求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．21．为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表．请根据所给的信息解答下列问题：(1)王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； (2)将条形统计图补充完整；(3)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（80x ≥）的学生有多少人？ (4)在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A ，B ，C ，D 四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．22．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为O e 的直径，AD CD =，过点D 的切线l 交BA 的延长线于点M ．(1)求证：ADM DAC ∠=∠； (2)当12AB =，1sin 2DAC ∠=时，求AM 的长． 23．某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍．(1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价．(2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 24．已知反比例函数3y x-=的图象经过点(,3)A a ，且与一次函数y x n =+的图象在同一坐标系中．(1)如图1，当反比例函数3y x-=的图象与一次函数y x n =+的图象只有一个公共点时，求n 的值；(2)如图2，当直线y x n =+经过点A 时，它与反比例函数3y x-=的另一个交点记为B ，在y 轴上找一点M ，使MAB △的周长最小，求出M 的坐标及MAB △周长的最小值； (3)如图3，点P 是反比例函数图象上A 点左侧一点，连接AP ，把线段AP 绕点A 逆时针旋转90︒，点P 的对应点Q 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标．25．线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒到AC ，正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，42AB AD ==，，点D 、F 分别在AB AC 、上．(1)如图1，当90α=︒时，连接BD '、CF '，则BD '与CF '的数量关系是__________，位置关系是__________．(2)如图2，当90180α︒<<︒时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)在正方形ADEF 绕点A 旋转中，若直线BD '与直线CF '相交于点M ，直接写出点M 到直线AB 的最大距离和最小距离．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2103y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A 、(5,0)B -两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如图2，若点Q 为OC 的中点，连接BQ ，动点P 在第二象限的抛物线上运动，横坐标为t ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BQ 于点M ，请用含t 的代数式表示出PM 的长；(3)如图3，直线DC 交x 轴于点E ，若直线PH 交直线ED 于点J ，过点M 作MN DE ⊥于点N ，当4ta n 3BED ∠=时，PM MN +是否存在最大值？若存在，求出t 及最大值；若不存在，请说明理由．。
(试卷)虹口区2023学年初三第一学期期末数学
虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2024.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是 A ．21y x =-； B ．21y x=； C ．221y x =-； D ．321y x =-．2．将抛物线23y x =-向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是A ．23(4)y x =-+；B ．23(4)y x =--； C ．23+4y x =-； D ．234y x =--．3．如图1，在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，cos A=34，AC =3，那么BC 的长为A； B． C ．4； D ．5.4．如图2，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB 为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为 A ．（50-50sin40°）厘米； B ．（50-50cos40°）厘米； C ．（50-50sin20°）厘米； D ．（50-50cos20°）厘米．5．如图3，点G 是△ABC 的重心，GE ∥AC 交BC 于点E ．如果AC =12，那么GE 的长为 A ．3； B ．4； C ．6； D ．8．6．如图4，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是A ． B． C ． D ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知:3:2x y =，那么():x y x -的值为 ▲ ．8．如果向量a 、b 和x 满足2()a x a b -=-，那么x = ▲ ．图4图3图2 图19．已知抛物线2(1)3y a x =-+开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ． 10．如果点A （2，1）在抛物线2(1)+y x m =-上，那么m 的值是 ▲ ．11．如果将抛物线22y x =平移，使顶点移到点P （-3，1）的位置，那么所得抛物线的表达式是 ▲ ．12．已知点A （-3，1y ）和B （1，2y ）都在抛物线22(1)2y x =--上，那么1y 和2y 的大小关系为1y ▲ 2y （填“>”或“<”或“=”） ．13．已知抛物线2y x bx c =-++如图5所示，那么点P （b ，c ）在第 ▲ 象限．14．一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 ▲ 平方分米．15．如图6，已知AD ∥EF ∥BC ， BC=2AD ，BE =2AE ，AD a =，那么用a 表示EF = ▲ ． 16．如图7，在□ABCD 中，点F 在边AD 上，AF =2FD ，直线BF 与对角线AC 相交于点E ，交CD 的延长线于点G ，如果BE =2，那么EG 的长是 ▲ ．17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图8①中正方形ABCD 即为线段AC 的“对角线正方形”．如图8②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，如果线段PC 的“对角线正方形”有 两边同时落在△ABC 的边上，那么AP 的长是 ▲ ．18．如图9，在△ABC 中， AB =AC =5，tan B =34．点M 在边BC 上，BM =3，点N 是射线BA 上一动点，联结MN ，将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 落在点B'处，联结B'C ，如果B'C ∥AB ，那么BN 的长是 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2tan 454sin 30cos30cos 60--．图9图6A CD BEF图8①ADBC 图8②图7C DBE FAG图10③B CAD E图10②图10①20．（本题满分10分）画二次函数2y ax bx =+的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式．21．（本题满分10分）如图10①是某款智能磁吸键盘，如图10②是平板吸附在该款设备上的照片，图10③是图10②的示意图．已知BC =8cm ，CD =20cm ，∠BCD =63°．当AE 与BC 形成的∠ABC 为116°时，求DE 的长．（参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，cot63°≈0.50；sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75）22．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图11①，已知线段a 、b 和∠MON ．如图11②，小明在射线OM 上顺次截取OA=2a ，AB=3a ，在射线ON 上顺次截取OC=2b ，CD =3b ．联结AC 、BC 和BD ，AC =4，BC =6．（1）求BD 的长；（2）小明继续作图，如图11③，分别以点B 、D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ，联结PQ ，分别交BD 、OD 于点E 、F ．如果BC ⊥OD ，求EF 的长．x … -1 0 2 4 5 … y … -5 ▲ 4 ▲ -5 … 图11③ A B E F D C O N M P Q 图11① O N M ab 图11② A B D CO N M23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图12，在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边BC 、AB 上，EC 和AD 相交于点F ，∠EDB =∠ADC ，2DE DF DA =⋅．（1）求证：△ABD ∽△ECD ；（2）如果∠ACB=90°，求证：12FC EC =．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①题满分4分，第（2）②题满分4分） 如图13，在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线22y x x m =++经过点A （-3，0），与轴交于点C ，联结AC 交该抛物线的对称轴于点E ．（1）求m 的值和点E 的坐标；（2）点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方． ①联结AM 、CM ，如果∠AME =∠MCA ，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，联结MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）①题满分5分，第（2）②题满分5分）如图14①，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，4tan 3ABC ∠=，点D 在边BC 的延长线上，联结AD ，点E 在线段AD 上，∠EBD =∠DAC ． （1）求证：△DBA ∽△DEC ；（2）如图14②，点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M ．① 如果AC=2AF ，且△DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan ∠FDC 的值；②如果DE =，EM =3，FM ：DM =5: 3，求AF 的长．O 图13 x y图12 A B E FD C 图14②备用图图14①。
九年级数学诊断测试附部分答案课标 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日HY2021—2021学年度第二学期诊断测试九年级数学一、选择题：〔一共12小题，每一小题3分，一共36分〕 1. 在直角坐标系中，点〔－2，1〕在 〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 假设分式3621x x -+的值是0，那么〔 〕 A ．x ＝－2 B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝23. 假设|2|0x y -=，那么xy 的值是〔 〕 A ．8 B ． 2 C ．5D ．6-4. 以下运算正确的选项是〔 〕A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2B ．(－3a 2)2＝9a 4C ．a 3＋a 3＝2a 6D ．(a －2)2＝a 2－45. 某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程〔工作前洗衣机内无水〕这三个过程中洗衣机内水量y 〔升〕与时间是x 〔分〕之间的函数关系对应的图象大致为〔 〕6. 以下函数中，y 随x 增大而增大的是〔 〕 A. xy 21-= B. 5+-=x y C. x y 3-= D. )0(212<=x x y x ODx OCx O B x OA7. 2021年世博会开园第一个月一共售出门票664万张，664万用科学计数法表示为 ( ) A. 664×104B. ×l05C. ×10 6D. ×l078. 一次函数y ＝―3x ―2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9. 抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是〔 〕 A. 开口向下B ．对称轴是 y 轴C ．与 y 轴不相交D ．最高点是原点10. 方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，那么1212x x x x +-⋅ 的值是〔 〕A ．7-B ．3-C ．7D ．3 11. 假如33-=-b a ，那么代数式b a 35+-的值是〔 〕 A ．0 B ．2 C ．5 D ．812. 抛物线c bx x y ++=2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式 为322--=x x y ，那么B 、C 的值是〔 〕A . B=2， C=2 B. B=2，C=0 C . B= -2，C=-1 D. B= -3， C=2 二、填空题：〔一共12小题，每一小题3分，一共36分〕1．2的平方根是_________.2．假如正比例函数y kx =的图象经过点〔1，－2〕，那么k 的值等于 ． 3. 三2560x x -+=的两个根，那么三角形的第三边c 的取值范围是 。
THUSSAT诊断性测试(2022年1月)数学试卷
=
C． 9 2 2
A． − 6 5
B． − 2 5
6
C．
5
8． 已知奇函数 f ( x) 在 R 上是增函数，g ( x) = xf ( x) ．若=a
g (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为
D． 2 3 3
2
D．
( ) g −20.5 ，=b g (− log2 0.2) ，c =
．
14．已知空间中三点 A(1,1, −1) ， B (2, 2, −2) ， C (0, 0,1) ，则点 C 到直线 AB 的距离为
．
15．已知四个函数：① y = −x ，② y = x2 ，③ y = 2x ，④ y = ln x ，从中任选 2 个，则事件“所选
2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
2
①解关于 x 的不等式 f ( x) > 0 ；
( ) ②证明：
1 +
1 22
1
+
1 32
1
+
1 42
⋅⋅⋅
1 +
1 n2
<
3
e4
n ∈ N*, n ≥ 2
；
（2）若函数 g ( x)= f ( x) − ln 2 + 3a 恰有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
x
第4页 共4页
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19．（12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，24，24．现采用分层抽样的方 法从中抽取 10 人进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 10 人中有 6 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 10 人中随机抽取 3 人做进一步
山东省东营市2024-2025学年三上数学第六单元部编版综合诊断测试卷
山东省东营市2024-2025学年三上数学第六单元部编版综合诊断测试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.找规律填空。
(1)6，24，96，( )，( )。
(2)，，( )，，。
2.一台洗衣机796元，买4台这样的洗衣机大约需要_____元．3.一台冰箱2200元，王爷爷买了一台电冰箱．先付1000元，余下部分每月付460元，月能全部付清．4.在横线上填“＞”“＜”或“=”．310×6 1800 490×9 4500 500×8 500×2×4400÷4 400÷5 245÷5 425÷5 420÷6 210÷37600克 7千克 8千克 800克 4020克 4千克200克5.学校为每个学生编学籍号，设定末位0表示男生，1表示女生，如“2014104091”表示“2014入学的一年级四班的9号女生”．按这样的方法编码，有一位同学的学籍号是2011102120，这位同学是2011年入学的一年级的_____班的_____号男生．6.一台电扇190元，3台电扇大约( )元。
7.对折再对折后的绳子是7米，这根绳子长( )米。
8.385×8的积末尾有( )个0，505×8积的中间有( )个0。
9.如果要保证160乘一个一位数的积的末尾有两个0，这个一位数是( )．评卷人得分二、仔细推敲，选一选。
（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.与75×0的结果相同的是（）。
A．75÷0B．75－0C．0×75D．0＋752.563×9等于（ ）A．5067B．5076C．56073.要使252×□的积是三位数，□里最大可以填（）。
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中江县2014年初中毕业生“二诊”考试
数学试题（A 卷）
说明：
1. 全卷总分为120分，考试时间为120分钟.
2. 不使用计算器解题.
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.
1. 在3，―1，0，―2这四个数中，最小的数是
A. －2
B. 0
C. －1
D. 3
2. 今年我县参加中考的学生人数大约为12500人，把这个数用科学记数法表示为
A. 125×102
B. 12.5×103
C. 1.25×104
D. 1.25×105
3. 由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是
4. 下列计算正确的是
A. 22a a a =+
B. 549=-
C. 33=÷a a
D. 2)2(2-=-a a ，则a ≥2
5. 如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，∠B ＝42°，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥
BC ，则∠AED 的度数为
A. 120°
B. 84°
C. 60°
D. 42°
6. 使代数式1
12-+x x 有意义的x 的取值范围是
A. x ≥0
B. x ≠－21
C. x ≥0且x ≠1
D. 一切实数
7. 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是
A. 52cm
B. 35cm
C. 548cm
D. 5
24cm 8. 下列事件中，是随机事件的是
A. 袋中有2个黄球，4个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B. 度量四边形的内角和为180°
C. 打开数学课本时刚好翻到第100页
D. 投掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数不会是0
9. 如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测得看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底B 走50米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高为
A. 1350-米
B. 1
350+米 C. 325米 D. 350米
10. 如果一组数据5，8，9，x ，10的众数是8，那么这组数据的方差是
A. 2
B. 2.8
C. 5
D. 14 11. 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，给出下列
结论：①b 2＞4ac ，②c ＞1，③a ＋b ＋c ＜0，④ax 2＋bx ＋c ＝0的
一个根是3. 你认为正确的结论有
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
12. 中江体育馆举行教工篮球决赛，小明从家出发骑自行车前去观看，途中发现忘了带门票，
于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小明也骑车往回走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续骑车前往体育馆. 设小明从家里出发后所用时间为t ，小明与文化馆的距离为S. 下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
把答案直接填在题中的横线上.
13. 计算：32＝ .
14. 计算：x
y y y x x -+-2
2＝ . 15. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠CAO ＝28°，∠BCO ＝38°，则∠AOB ＝ °.
16. 在平面直角坐标系中，将函数y ＝2x 2－8x ＋7的图象沿y 轴方向上移2个单位后再沿x
轴方向向左平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是 .
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 经过平移后点A 的对应点
为Ａ′，则平移后点C 的对应点C ′的坐标为 .
18. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－2、
－1、1. 随机摸一个小球（不放回），其数字记为b ，再随机摸
一个小球，其数字记为c ，那么满足关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝
0有实数根的概率是 .
三、解答题（本大题共6个小题，满分66分）解答应写出文字说明、证明或推理过程.
19.（7分）计算：21245cos 2)32013()
21(02+︒--+--
在上次大型车展期间，某汽车经销商推出A 、B 、C 、D 四种型号的小轿车共10000辆进行展销. C 型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在如图（1）和图（2）所示的两幅不完整的统计图中.
（1）参加展销的D 型号轿车有多少辆？
（2）请你将图（2）的统计图补充完整；
（3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A 、B 、C 、D
四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随
机抽取一张，求抽到A 型号轿车发票的概率.
21.（10分）
如图，一次函数b x y +=21（b 为常数）的图象与反比例函数x
k y =2（k 为常数，k ≠0）的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标为（1，4）.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求出点B 的坐标；
（3）写出当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围.
某超市购进了A、B两种商品，若购进A种商品8件，B种商品3件，需要70元；若购进A种商品5件，B种商品6件需要85元.
（1）求购进A、B两种商品每件各需多少元？
（2）若超市购进这两种商品共100件，考虑市场需求，用于购进这100件商品的资金不少于790元，但不超过800元，那么该超市共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种商品可获利润3元，每件B种商品可获利润5元. 设销售总利润W（元），第（2）问中购进A种商品m（件），试写出W与m之间的函数关系式，并说明第（2）问中哪种进货方案获利最大？最大利润是多少元？
23.（13分）
如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，⊙O1交O1O2于点B. 连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C，且O2C⊥O1O2.
（1）求证：AO1是⊙O2的切线；
（2）证明：AB·BC＝2BO2·BO1.
已知抛物线c x ax y +-=2经过点Q （－2，2
3
），且它的顶点P 的横坐标为－1. 设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，如图所示.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A 、B 两点的坐标；
（3）设PB 与y 轴交于点C ，求四边形APCO 的面积.。