2019届【高考数学一轮复习(理)】课后自测题-考点(四十九) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第54讲圆锥曲线的综合问题(含解析)
第54讲圆锥曲线的综合问题考试说明 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆与抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.4.了解圆锥曲线的简单应用.5.理解数形结合的思想.真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点 F.解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10;当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.3.[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为,,则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1)·+(m-1)·=0,解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).4.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M 两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,椭圆E的方程为+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意知t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于=<0,即<0,由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).5.[2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,所以曲线C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0,故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.6.[2015·全国卷Ⅱ]已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解:(1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M==,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得直线OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P,由得=,即x P=.将点的坐标代入(1)中l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M,于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k>0,k≠3,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.7.[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B 两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1.=-1.由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-<n<,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解:(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=,所以抛物线C的方程为y2=x,抛物线C的焦点坐标为,0,准线方程为x=-.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0,则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为x1,.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.2.[2017·天津卷]设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D,若△APD的面积为,求直线AP的方程.解:(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P-1,-,故Q-1,.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B,.由Q,可得直线BQ的方程为-(x+1)-+1=0,令y=0,解得x=,故D,0,所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±, 所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.3.[2017·山东卷]在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2. (1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解:(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=×.由题意可知圆M的半径r=|AB|=×.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立方程得x2=,y2=,因此|OC|==.由题意可知sin==,而==×,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=×=×=×≥1, 当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±, 所以sin≤,因此≤,所以∠SOT的最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.4.[2016·天津卷]设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A,已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF ⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.解:(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2.又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=.由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=,.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=,因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组得x M=.在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+≤+,化简得x M≥1,即≥1,解得k≤-或k≥,所以直线l的斜率的取值范围为-∞,-∪,+∞.5.[2016·北京卷]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.解:(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=|1-y M|=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=|2-x N|=2+.所以|AN|·|BM|=2+·1+===4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.6.[2016·四川卷]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解:(1)由已知得,a=b,则椭圆E的方程为+=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1,点T的坐标为(2,1).(2)证明:由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m≠0),由方程组可得所以P点坐标为2-,1+,|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-<m<.由②得x1+x2=-,x1x2=,所以|PA|==2--x1,同理|PB|=2--x2.所以|PA|·|PB|=2--x12--x2=2-2-2-(x1+x2)+x1x2=2-2-2--+ =m2.故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)没有一个两个(2)对称轴渐近线Δ>0Δ=0Δ<02.|y1-y2|对点演练1.[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,化简可得6x2+4x-7=0,所以x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=·=×=.2.[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减,得=-,即k==,又线段AB的中点恰好为点P(5,2),所以k=.3.x-y-=0[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=+2=,解得k2=3,又直线l的倾斜角为锐角,所以k=,所以直线l的方程为y=(x-1),即x-y-=0.4.(1+,+∞)[解析] 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,即e2-2e-1>0,所以e>1+.5.1或-1[解析] 由得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0.当1-k2=0,即k=±1时,方程只有一根,所以直线与双曲线仅有一个公共点;当1-k2≠0,即k≠±1时,要满足题意只需Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-2k2-1)=0,此时无解.所以若直线l:y=k(x-)与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点,则实数k的值为1或-1.6.[2-2 ,2+2 ][解析] 由椭圆方程得y2=1-,所以x2+y2+2x=x2+2x+1=(x+2)2-1.由+y2=1,得|x|≤,所以当x=时,x2+y2+2x有最大值2+2 ;当x=-时,x2+y2+2x有最小值2-2 .所以x2+y2+2x∈[2-2 ,2+2 ].。
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高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为。
2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线的焦点坐标为▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为▲． 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
【教育专用】2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：圆锥曲线(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练：圆锥曲线
圆锥曲线一、填空题1、（2018江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为3c ，则其离心率的值是 ． 2、（2017江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ．3、（2016江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______ _______.4、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为．6、直线30x y -=为双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为 ▲ ．7、双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 8、在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ．9、若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是10、双曲线2213y x -=的离心率为 ．11、已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围为 ．12、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)12x y b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．13、已知双曲线1222=-y a x 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 .15、抛物线)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为 16、双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于A 、B 两点。
2019年高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线
7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一）且过点．()2,1A (Ⅰ) 求椭圆的方程；C (Ⅱ) 若不经过点的直线A l PQ是椭圆上的动点，从原点向圆的斜率存在，并分别记为在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点。
是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．的离心率为是和）求曲线的方程；）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于若，求）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时设的方程为,,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.4、5、、14、解：（Ⅰ）设（），则，，……2分由得，，……4分化简整理得，动点的轨迹方程为（）……5分（Ⅱ）动点的轨迹与轴的两个交点为、，猜想时，直线恒过线段的中点……7分（猜想存在1分，猜想存在且2分）记，则直线：，解得……9分当时，，则直线：，同理可得……11分线段的中点是线段的中点，所以直线恒过线段的中点……12分15、【解析】（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；。
5分（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，①当时，由，知，则，于是，此时；。
6分）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设，则，由，可得，则，由可得：，由于，设与椭圆的两个交点坐标依次为，于是，∴。
，综上所述总有．16、解：。
2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标49圆锥曲线的
课时达标 第49讲[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查．其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力．1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． 解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎫8k3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直线坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明：过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解析 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.所以圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3.故过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且长轴长等于4. (1)求椭圆C 的方程；(2)F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析 (1)由题意椭圆的长轴长2a ＝4，解得a ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 与圆O 相切，得|m |1＋k2＝1，即m 2＝1＋k 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k 2，y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·4m 2－123＋4k 2＋km ·⎝⎛⎭⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.因为m 2＝1＋k 2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.又因为OA →·OB →＝－32，所以－5－5k 23＋4k2＝－32，解得k 2＝12，所以k ＝±22. 4．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．证明 设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0， 由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n . ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0. ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)．5．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程． 解析 (1)根据题意，设AB 的中点为Q (1，t )，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2t. 由P ，Q 两点得线段AB 的中垂线的斜率k ＝t －2， 由(t －2)·2t ＝－1，得t ＝43.∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)知直线AB 的方程为y －t ＝2t (x －1)，线段AB 的中垂线方程为y －t ＝－t2(x －1)，即y ＝－t2(x －3)，所以中垂线交x 轴于点M (3,0)，点M 到直线AB 的距离d ＝t 2＋4t 2＋4＝t 2＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t (x －1)，y 2＝4x ，得4x 2－8x ＋(t 2－2)2＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝(t 2－2)24，∴|AB |＝1＋4t2·|x 1－x 2|＝(t 2＋4)(4－t 2)， ∴S ＝12|AB |·d ＝12(t 2＋4)2(4－t 2)＝24(t 2＋4)(t 2＋4)(8－2t 2)≤24×⎝⎛⎭⎫1633＝1669.当t 2＝43时，S 有最大值1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.6．(2018·四川成都摸底测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋2(0＜k ＜2)与y 轴相交于点P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R (点R 在点P 和点Q 之间)，且PQ →＝λPR →，求实数λ的取值范围．解析 (1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·yx ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设R (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋k 2)x 2＋4kx ＋2＝0，∴Δ＝8k 2－16>0，∴k 2>2. 又0<k <2，∴2<k <2.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4k2＋k 2， ① x 1x 2＝22＋k 2.②∵PQ →＝λPR →，点R 在P 和Q 之间， ∴x 2＝λx 1(λ>1)．③联立①②③，可得(1＋λ)2λ＝8k 22＋k 2.∵2<k <2，∴8k 22＋k 2＝82k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫4，163， ∴4<(1＋λ)2λ<163，∴13<λ<3，且λ≠1.∵λ>1，∴实数λ的取值范围为(1,3)．。
2019年江苏省高三数学一轮复习备考试题：圆锥曲线(含答案解析)
高考数学精品复习资料2019.5江苏省20xx 年高考一轮复习备考试题圆锥曲线一、填空题1、（20xx 年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
2、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ．3、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
4、（20xx 届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率为 ▲5、9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（20xx 届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市20xx 届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲8、（南通市20xx 届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 且过点,则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市20xx 届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲Y10、（徐州市20xx 届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市20xx 届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ 二、解答题1、（20xx 年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
2019年高考理科数学一轮单元卷：第十九单元圆锥曲线A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十九单元 圆锥曲线注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线22=13x y -的焦点坐标是（ ）A ．()，)B ．()2,0-，()2,0C ．(0，，D ．()02-，，()0,22．若双曲线22(0)5y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ）A ．120B ．110C ．15D ．143．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．364．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则AF BF+的值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．5．设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上的点，且128F F =，1210PF PF +=，则椭圆的短轴长为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK △的面积为（ ） A ．4B ．5C ．8D ．108．已知双曲线2222:1-=x y C ，其左焦点为()15,0F -，则双曲线C 的方程为（ ）A C D 9的一条渐近线方程为20x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且 ） A ．1B ．3C ．1或9D ．3或710．双曲线22221(00x y E a b a b-=>>：，），过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）A B ．C ．1D ．211．如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 12．已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．抛物线2y =的焦点到准线的距离为__________．14．已知F 为双曲线220()3C x my m m ：－＝＞的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为______．15．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点与抛物线216y x =方程为__________．16．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，4AB =，则该抛物线的方程为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p ：对任意实数x ，不等式220x x m -+≥恒成立；命题q :22x y 表示焦点在x 轴上的双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，过点2F 作直线交椭圆C 于M 、N 两点，1F MN △的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（219．（12分）已知点()1,P m 在抛物线()2:20C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()4,0T 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OA OB ⋅的值．20．（12分）抛物线22(0)y px p =>上的点P 到点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到直线0x =的距离之差为1，过点(),0M p 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）若ABO △的面积为l 的方程．21．（12分）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A ，B 两点．（1）用p 表示（2）若3OA OB ⋅=-求这个抛物线的方程．22．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为（O 为原点）（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线1l ：与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且2⋅>OA OB ，求k 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十九单元 圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(),0c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为()2,0±，选B ． 2．【答案】A【解析】双曲线2205y x m m -=（＞）的焦距等于离心率．可得：=e即e =120m =．故选A ． 3．【答案】C【解析】由双曲线的方程22219y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-， 所以1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ．4．【答案】C【解析】设椭圆的右焦点为2F 连接2AF ，2BF ，因为OA OB =，2 OF OF =，所以四边形2AFBF 是平行四边形．所以2BF AF =，所以224AF BF AF AF a +=+==，故选C ． 5．【答案】A【解析】由题意，椭圆满足1210PF PF +=，128F F =， 由椭圆的定义可得210a =，28c =，解得5a =，4c =，又22222549b a c =-=-=，解得3b =，所以椭圆的短轴为26b =，故选A ． 6．【答案】C【解析】由题意得2c e a ===，∴b a = 又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线的渐近线方程是y =0y ±=，故选C ． 7．【答案】A【解析】由抛物线的方程24y x =，可得()1,0F ，()1,0K -，准线方程为1x =-， 设()00,P x y ，则015PF x =+=，即04x =，不妨设()00,P x y 在第一象限，则()4,4P ，所以01124422PKF S FK y =⨯=⨯⨯=△，故选A ．8．【答案】D【解析】，其左焦点为()15,0F -，∴5c =，，∴3a =，∵222c a b =+，∴216b =，∴双曲线C 的标准方程为D ．9．【答案】C【解析】因为222415c a b =+=+=，所以或9，故选C ． 10．【答案】D【解析】因为FM b =，OF c =，所以OM a =，故12ab=，即2ab =， 由5c a =，所以2225a b a +=，即2b a =，故1a =，2b =，双曲线的实轴长为2．故选D ． 11．【答案】C【解析】由抛物线定义可知：1F AA A =，1BB BF =，设1BB t =， ∵113AA BB =，∴4AB t =，作1BH AA ⊥交1AA 于H ，则2AH t = 在Rt ABH △中，cos 3HAB π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，故选C ． 12．【答案】C【解析】设A ，B 的坐标为()11x y ，，()22x y ，，28x y =，4x y '=，PA ，PB 的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=-由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA ，PB 都过点(),4P b ，(),4P b ，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =，直线AB 恒过定点()04-，，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【解析】根据题意，抛物线2y =的标准方程为2x y =，其焦点坐标为（，准线方程为y =，则其焦点到准线的距离为4，故答案为4．14．【解析】双曲线2230C x my m m =>：﹣（）可化为22133x y m -=，∴一个焦点为)，一条渐近线方程为0x =，∴点F 到C =15．【答案】221248x y +=【解析】由题意知抛物线216y x =的焦点为4,0（），∴4c =，∵4c e a a ===，∴a = ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为221248x y +=．故答案为221248x y +=． 16．【答案】22y x =【解析】直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程并整理得22304p x px -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x p +=，又12AB x x p =++，∴34p p +=，1p =， ∴抛物线方程为22y x =，故答案为22y x =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）1m ≥；（2）(]0,1．【解析】（1）∵不等式220x x m -+≥恒成立，∴440m ∆=-≤，1m ≥， ∴当1m ≥时，p 为真命题．（2表示焦点在x 轴上的双曲线．∴0 0->>⎧⎨⎩m t m ，得>m t ； ∴当m t >时，q 为真命题．∵p 是q 的充分条件，∴，∴1t ≤ 综上，t 的取值范围是(]0,1．18．【答案】（1（2． 【解析】（1）因为焦距为2，所以22c =，即1c =．又因为1F MN △的周长为，于是椭圆C 的方程（2，所以直线MN 的方程为1y x =-，y 可得2340x x -=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则，210x x =，19．【答案】（1）28y x =；（2）16-．【解析】（1）抛物线()2:20C y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由132p PF =+=得4p =．∴抛物线C 得方程为28y x =．（2）依题意，可设过点()4,0T 的直线l 的方程为4x ty =+，由28 4y xx ty =+⎧⎨⎩=得28320y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y =-， ∴222212111688x x y y =⨯=，∴121216OA OB x x y y ⋅=+=-． 20．【答案】（1）24y x =；（2）2=-y x 或2=--y x ． 【解析】（1）设()00,P x y ，由定义知02p PF x =+，所以，0012p x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2p =，所以，抛物线方程为24y x =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =ABO △的面积为l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=()222161160k k ∆=+->，所以，12244xx k +=+，124x x =，所以AB =， 点O 到直线l的距离为=d=1=±k ． 所以，直线l 的方程为2=-y x 或2=--y x ． 21．【答案】（1）4=AB p ；（2）24=y x ．【解析】（1，过点F且倾斜角为 设()11,A x y ，()22,B x y∴213+=x x p ，2124=p x x ，∴124=++=AB x x p p（2）由（1）知，123+=x x p ，2124=p x x∴12⋅=OA OB x x ，解得24=p ，∴2=p∴这个抛物线的方程为24=y x ．22．【答案】（1（2313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭． )0,0>b ，由2⋅>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，故k 的取值范围为313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭．。
2019年高考理数——圆锥曲线(解答)
2019年高考理数——圆锥曲线1.(19全国一理19．（12分）)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2.(19全国二理21．（12分）)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3.(19全国三理21．)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4.(19北京理（18）（本小题14分）)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．设椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．6.(19浙江21．（本小题满分15分）)如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F的右侧．记,AFG CQG△△的面积分别为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．参考答案：1．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．2．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k=+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或4.解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-.设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++ 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =， 2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=． （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k=-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或．6.（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故 220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）．7.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32 y=-.因此3(1,)2E--.11。
2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业 理(含解析)新人教A版
2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22. ∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.答案：D3．(xx·山西适应性训练考试)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( )A ．1B ．2C ．3 D.3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)·|P 1Q 1|＝12×|PQ |×|PQ |×sin 30° ＝12×4×12＝1. 答案：A4．(xx·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2. 答案：C5．(xx·东北三校第二次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ·c 2＝c 2，c a＝12，选A. 答案：A6．(xx·浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2c a＝62，故选D.③，联立②③解得a＝2，所以e＝答案：D二、填空题7．(xx·河南十所名校第三次联考)圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________.解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2.答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得 x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x .答案：x ＋y ＝09．(xx·江西卷)抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：6三、解答题10．(xx·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝ 2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ， 直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c. 故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )． 当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1. 化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P在定直线x ＋y ＝1上．11．(xx·江西卷)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b2＝1① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12. 由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1⑤ ④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1 ＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意． 12．(xx·湖北武汉调考)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16. [热点预测]13．(xx·辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m 2(x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n 2(x －2)，② 设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)， 由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1. ∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上，∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋m x 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0，∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，代入，得2k 4m 2－123＋4k 2－8mk m －k 3＋4k 2－2m ＝0， 整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)．.。
2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 49直线与圆锥
考点规范练49 直线与圆锥曲线基础巩固组1.(2017浙江嘉兴质检)若方程x 2+y 2a =1(a 是常数),则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线2.已知直线x=1过椭圆x 24+y 2b2=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A .k ∈ -12,12B .k ∈ -∞,-1 ∪ 1,+∞ C .k ∈ - 2, 2D .k ∈ -∞,- 2∪ 2,+∞3.(2017浙江绍兴模拟)椭圆ax 2+by 2=1与直线y=1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 3,则a的值为( ) A. 3B.2 3C.9 3D.2 34.过双曲线x 2-y 2=1的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,则λ为( ) A .1 B .2C .3D .45.经过椭圆x 2+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ·OB 等于( ) A .-3 B .-13C .-13或-3D .±136.(2017浙江湖州测试)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹方程为;轨迹所包围的图形的面积为.7.(2017浙江嘉兴七校联考)椭圆x 24+y23=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当m=时,△FAB的周长最大,此时△FAB的面积是.8.(2017浙江杭州学军模拟)函数y=ax2-2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于2,则实数a的取值集合是.能力提升组9.(2017浙江金华十校联考)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x 212+y216=1上,且满足|AP|-|BP|=2,则AP·BP为()A.-12B.12C.-9D.910.已知A,B,C是抛物线y2=4x上不同的三点,且AB∥y轴,∠ACB=90°,点C在AB边上的射影为D,则|AD|·|BD|=()A.16B.8C.4D.211.已知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,若NA⊥NB,则p=()A.-2B.2C.-4D.412.(2017浙江新高考冲刺卷)已知F为抛物线4y2=x的焦点,点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧,若OA·OB=15(O为原点),则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为()A.1B.5C.5D.6513.(2017课标Ⅰ高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1014.(2017浙江名校联考)已知双曲线x 2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为.15.已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2=2px (p>0)交于x 轴上方的不同两点A ,B ,记直线OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1+k 2的取值范围是16.(2017浙江金华十校联考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,则直线的斜率为 时,|AF|+4|BF|取得最小值.17.(2017浙江温州十校模拟)已知点C (1,0),点A ,B 是☉O :x 2+y 2=9上任意两个不同的点,且满足AC·BC =0,设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程;(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.18.(2017浙江湖州丽水联考)已知点P t ,12 在椭圆C :x 22+y 2=1内,过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,O 为坐标原点.(1)是否存在实数t ,使直线l 和直线OP 的倾斜角互补?若存在,求出t 的值,若不存在,试说明理由; (2)求△OAB 面积S 的最大值. 答案：1.B 当a>0且a ≠1时,方程表示椭圆,故选B .2.A 易知椭圆中c 2=a 2-b 2=4-b 2=1,即b2=3,∴椭圆方程是x 24+y 23=1.与y=kx+2联立可得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.由Δ≤0可解得k ∈ -12,12 .故选A .3.A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 中点M (x 0,y 0). 由题设k OM =y0x 0= 32.由 ax 12+by 12=1,ax 22+by 22=1,得(y 2+y 1)(y 2-y 1)(x 2+x 1)(x 2-x 1)=-a b. 又y 2-y 1x 2-x 1=-1,y 2+y 121=2y 00= 3,所以a = 3. 4.D ∵使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.此时A ,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程,可得y=±2,故|AB|=4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4, 综上可知,|AB|=4时,有三条直线满足题意.∴λ=4.5.B 依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1), 即y=x-1,代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点坐标分别为(0,-1), 43,13 , ∴OA ·OB=-1, 同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA ·OB=-1. 6.x 2+y 2-4x=0 4π 设P (x ,y ),由|PA|=2|PB|, 得 (x +2)2+y 2=2 (x -1)2+y 2,∴3x 2+3y 2-12x=0,即x 2+y 2-4x=0.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 7.1 3设椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F',则F (-1,0),F'(1,0).由椭圆的定义和性质易知,当直线x=m 过F'(1,0)时,△FAB 的周长最大,此时m=1,把x=1代入x 24+y 23=1得y 2=9,y=±3,S △FAB =1|F 1F 2||AB|=1×2×3=3.8. a a <-98或a =0或a >98 (1)若a=0,则y=2x 与y=x 为相交直线,显然y=2x 上存在两点到y=x 的距离等于 2,符合题意; (2)若a>0,则y=ax 2-2x 与直线y=x 相交,∴y=ax 2-2x 在直线y=x 上方的图象必有两点到直线y=x 的距离等于 2, 又直线y=x 与y=x-2的距离为 2,∴抛物线y=ax 2-2x 与直线y=x-2不相交,联立方程组 y =ax 2-2x ,y =x -2,消元得ax 2-3x+2=0,∴Δ=9-8a<0,解得a>9. (3)若a<0,同理可得a<-9.故答案为 a a <-98或a =0或a >98 .9.D 由|A P |-|BP |=2,可得点P (x ,y )的轨迹是以两定点A ,B 为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,∴b= ∴点P 的轨迹方程为y2-x 2=1(y ≥1).由 x 212+y 216=1,y 2-x 23=1,解得 x 2=9,y 2=4,∴AP ·BP=(x ,y+2)·(x ,y-2)=x 2+y 2-4=9+4-4=9. 10.A 设A (4t 2,4t ),B (4t 2,-4t ),C (4m 2,4m ), 则CA =(4t 2-4m 2,4t-4m ),CB =(4t 2-4m 2,-4t-4m ),由条件CA ·CB =0,即16(t 2-m 2)2-16(t 2-m 2)=0,∵t 2-m 2≠0,∴t 2-m 2=1,∴在Rt △ABC 中,|AD|·|BD|=|CD|2=[4(t 2-m 2)]2=16,故选A .11.D 由题意,设直线为y=2 x -p2 ,与y 2=2px 联立,消去x 得y 2-py-p 2=0,设A y 122p ,y 1 ,B y 222p ,y 2 ,则y 1+y 2=p ,y 1y 2=-p 2,由NA ⊥NB 得 y 122p +2 y 222p +2 +(y 1-2)·(y 2-2)=0,所以p 44p 2+1p [(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+4-p 2-2p+4=0,即-3p 2+p+8=0,解得p=4或p=-8(舍),故选D . 12.D 设直线AB 的方程为x=ty+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0), 联立 4y 2=x ,x =ty +m ,可得4y 2-ty-m=0,根据韦达定理有y 1y 2=-m 4,∵OA ·OB=15,∴x 1x 2+y 1y 2=16,从而16(y 1y 2)2+y 1y 2-15=0, ∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1y 2=-1,故m=4. 不妨令点A 在x 轴上方,则y 1>0,又F 116,0 ,∴S △ABO +S △AFO =1×4×(y 1-y 2)+1×1y 1=65y 1+21≥265y 1×21= 65, 当且仅当6532y 1=2y 1,即y 1=8 6565时,取“=”号,∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 652,故选D .13.A 方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意.设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得y 2=4x ,y =k 1(x -1), 消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥216k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ 不妨令θ∈ 0,π2 .作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得 |AF |·cos θ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cos θ.同理可得|BF|=21+cos θ,所以|AB|=41-cos 2θ=4sin 2θ.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2 π2+θ=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=42+42=422=414sin 22θ=162≥16,当θ=π时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .14.x 2+y 2=1(x ≠0且x ≠± ) 由题设知|x 1|> A 1(- ,0),A 2( 则有直线A 1P 的方程为y=1x + 2(x+ ① 直线A 2Q 的方程为y=1x -2(x- 2),②联立①②,解得 x =2x 1,y = 2y 1x 1,∴ x 1=2x ,y 1= 2y x ,③ ∴x ≠0,且|x|< 2. ∵点P (x 1,y 1)在双曲线x 2-y 2=1上,∴x 12−y 12=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为x 22+y 2=1(x ≠0,且x ≠± .15.(2,+∞) 设直线方程为y=1x+b ,即x=2y-2b , 代入抛物线方程y 2=2px ,可得y 2-4py+4pb=0, Δ=16p 2-16pb>0,∴p>b.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),得y 1+y 2=4p ,y 1y 2=4pb , k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=y 1x 2+x 1y 2x 1x 2=y 1(2y 2-2b )+(2y 1-2b )y 2(2y 1-2b )(2y 2-2b )=16pb -8pb16pb -16pb +4b2=2pb >2.故答案为(2,+∞). 16.±2 2 由题意,设|AF|=m ,|BF|=n ,则1m +1n =2p =1,∴m+4n= 1m +1n (m+4n )=5+4nm +mn≥9,当且仅当m=2n 时,m+4n 的最小值为9,设直线的斜率为k ,方程为y=k (x-1),代入抛物线方程,得 k 2(x-1)2=4x.化简得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=2+4k2.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴x1+1=2(x2+1),联立可得k=±2 2.17.解(1)如图,连接CP,OP,由AC·BC=0,知AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|=1|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,化简,得x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中p2=1.∴p=2,故抛物线方程为y2=4x,由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由x≥0,故取x=1,此时y=±2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).18.解(1)存在.由题意直线l的斜率必存在,设直线l的方程是y-1=k(x-t).代入x2+2y2=2得(1+2k2)x2+4k-kt+12x+2-kt+122-2=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2t,即4k kt-121+2k2=2t,解得k=-t,此时方程①即(1+2t2)x2+4k t2+12x+2 t2+122-2=0.由Δ=-8t4+8t2+6>0,解得0<t2<3,当t=0时,显然不符合题意;当t≠0时,设直线OP的斜率为k1,只需k1+k2=0,即1+(-t)=0,解得t=±2,均符合题意.(2)由(1)知l的方程是y=-tx+t2+1,所以S=12t2+12|x1-x2|=1 2 t2+12-8t4+8t2+61+2t2=14-8t4+8t2+6,因为0<t2<32,所以当t2=12时,S max=22.。
2019年高考数学(理)一轮复习题 第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质
������ + n 3������ - n
-
������
2
2
=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范
A.(-1,3) B.(-1, 3) C.(0,3) D.(0, 3) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2. 又 4=4m2,所以 m2=1,所以-1<n<3. 【答案】A 6.(2017 年全国Ⅲ卷)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=
6 3 2 1
A. 3 B. 3 C. 3 D.3 【解析】由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为 a.
∵直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切, ∴圆心到直线的距离 d=
2������������ ������ + ������
2
2
=a,解得 a= 3b,
∴������= 3,
3m 3 2������ + ������= 3 .
������ 2������
|������1������2|
(法二)由 PF2⊥F1F2 可知点 P 的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=± ������ ,所以|PF2|= ������ .又由 ∠PF1F2=30°可得|F1F2|= 3|PF2|,故 2c= 3· ������ ,变形可得 3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以 a2,得 3(1������
������ ������ 5
������
2
������
2
������
2
【解析】因为双曲线 C 的渐近线方程为 y=±������x,所以������= 2 .又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即
2019版理科数学一轮复习试题(全国版)微专题5高考中的圆锥曲线问题(考题帮.数学理)Word版含解析
微专题5高考中的圆锥曲线问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线C:x2a -y2b=1(a>0,b>0)过点(2,3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.x212-y2=1 B.x2-y23=1 C.x29-y23=1 D.x223-y232=12.设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,S△PF2F1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为()A.π5B.π4C.π6D.π33.已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是()A.[22,1) B.(0,32] C.[32,1) D.(0,22]4.已知M,N为双曲线x24-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[12,2],则直线PN的斜率的取值范围是()A.(18,12) B.[-12,-18] C.[18,12] D.[-12,-18]∪[18,12]二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知离心率为22的椭圆C:x22+y2b=1(0<b<)与y轴的正半轴交于A点, P为椭圆上任意一点,则|PA|的最大值为.6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ:x2=my(m≠0)的焦点为F,准线为l,A,B是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2OM=OA+OB,过点M作l的垂线,垂足为N,若|AB|=λ|MN|,实数λ的最小值为2-3,则tan θ的值为.三、解答题(共48分)7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.图5-18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-6,0), 且过点T(6,22).(1)求椭圆C的方程;(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程;(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.图5-210.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.(1)求点P的轨迹Γ的方程;(2)已知Q 为曲线Γ上一动点,M (3,0),过O (O 为坐标原点)作线段QM 的垂线交曲线Γ于E ,D 两点,求|DE ||QM |的取值范围.答案1.B 由题意得ba =tan 60°= 3,又双曲线C过点( , 3),所以( 2)2a -( 3)2b =1,联立方程得ba = 3,2a -3b =1,解得 a 2=1,b 2=3,所以双曲线C 的标准方程是x 2-y 23=1,故选B . 2.D 由题意知 |PF 1|2+|PF 2|2=16,12|PF 1||PF 2|=3,化简得(|PF 1|-|PF 2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF 1|-|PF 2|=2=2a ,所以a=1,b= 22-12= 3,所以渐近线方程为y=± 3x ,所以双曲线的两条渐近线的夹角为π3,故选D .3.A 由于以O 为圆心,以b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c ≥b ,则 c 2≥b 2=a 2-c 2,所以2c 2≥a 2,所以1>e ≥ 22,故选A.4.C 设M (x 0,y 0),N (-x 0,-y 0),P (m ,n )(m ≠±x 0),则k PM =n -y 0m -x 0,k PN =n +y0m +x 0.因为点P ,M ,N 均在双曲线x 24-y 2=1上,所以m 24-n 2=1,x 024-y 02=1,两式相减得(m -x 0)(m +x 0)4-(n-y 0)(n+y 0)=0,化简得n -y 0m -x 0·n +y 0m +x 0=14,即k PM ·k PN =14,又12≤k PM ≤2,即12≤14k PN≤2,解得18≤k PN ≤12,故选C .5.2 由椭圆C 的长半轴长a= 2,离心率e=c a =2= 22,知c=1,所以b= a 2-c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1,所以 A (0,1).设P (x ,y ),由两点间的距离公式可得|PA|= x 2+(y -1)2= 2-2y 2+y 2-2y +1= 4-(y +1)2, 因为-1≤y ≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.6. 33 因为2OM =OA +OB ,所以OM =OA +OB2,所以M 为线段AB 的中点.设|AF|=x ,|BF|=y ,根据抛物线的定义,知|MN|=x +y 2,因为|AB|2=x 2+y 2-2xy cos θ,且|AB|=λ|MN |,所以λ2=(|AB ||MN |)2=|AB |2|MN|2=x 2+y 2-2xy cos θx 2+y 2+2xy =4(1-2+2cos θx y+y x+2)≥4(1-2+2cos θ4)=2-2cos θ,当且仅当x y =y x 时取等号.因为λ的最小值为2-3,所以2-2cos θ=(2-3)2,解得cos θ=32,又0<θ≤π,所以θ=π6,所以tanθ=33.7.(1)因为椭圆C的离心率为ca =32,所以a2-b2a2=34,即a2=4b2,所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2,又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,a2=8,所以椭圆C的标准方程为x 28+y22=1.(4分)(2)由题意,知直线PA,PB的斜率均存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(k≠0),联立方程,得x2+4y2=8, y=k(x-2)-1,消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, (6分)所以2x1=16k2+16k-41+4k2,即x1=8k2+8k-21+4k2,因为直线PQ平分∠APB,且PQ与x轴平行,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数,设直线PB的方程为y+1=-k(x-2)(k≠0),同理可得x2=8k2-8k-21+4k2.(9分)又y1+1=k(x1-2),y2+1=-k(x2-2),所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k·16k2-41+4k -4k=-8k1+4k,x1-x2=16k1+4k.所以直线AB的斜率k AB=y1-y2x1-x2=-8k1+4k216k1+4k2=-12,为定值.(12分)8.(1)解法一依题意得a2-b2=6,6a+12b=1,解得a2=8,b2=2,(2分)所以椭圆C的方程为x 28+y22=1.(4分)解法二依题意得c=a=2。
2019年高考数学一轮复习：圆锥曲线单元测试卷
2019年高考数学一轮复习：圆锥曲线单元测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.故选D. 2．(2016·锦州月考)过点(－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0解：设与直线x －2y ＋3＝0平行的直线方程为x －2y ＋C ＝0(C ≠3)，过点(－1，3)，则－1－6＋C ＝0，得C ＝7，故所求直线方程为x －2y ＋7＝0.另解：利用点斜式．故选A.3．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解：因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，所以⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．所以m ＋n ＝0.故选A.4．圆心在y 轴上且通过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0解：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，故圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.5．(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.6．(2017·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解：由题意得a ＝b ，4c ＝1⇒c ＝4，a ＝b ＝22x 28－y 28＝1.故选B.7．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．故选B.8．(2016·泉州模拟)若抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由2p ＝1得p 2＝14，且|AF |＝x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.9．(2016·济南模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A. 10．(2016·南阳模拟)设F 1，F 2是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以PF 1为直径的圆经过F 2，若tan ∠PF 1F 2＝2515，则椭圆E 的离心率为( )A.56 B.55 C.54 D.53解：由题意可知∠PF 2F 1＝90°，且F 1F 2＝2c ，因为tan ∠PF 1F 2＝2515，所以PF 2＝2515×2c ，由勾股定理可得PF 1＝⎝⎛⎭⎫2515×2c 2＋（2c ）2＝2c ×7515，依据椭圆的定义可得PF1＋PF 2＝2a ，即2a ＝9515×2c ，即a ＝355c ，故离心率e ＝53.或由tan ∠PF 1F 2＝b 2a 2c 求解．故选D.11．(2016·甘肃模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为( )A. 5B. 3C.233D ．2解：易知抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，则c ＝2，令P (m ，n )在第一象限，由抛物线的定义知|PF |＝m ＋p2＝m ＋2＝5，所以m ＝3，则点P 的坐标为(3，26)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选D.12．已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝⎛⎭⎫－k2，0位于直线x －y －1＝0上， 于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是－x 2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2016·重庆模拟)双曲线y 22－x 24＝1的离心率为__________．解：由双曲线的标准方程知a 2＝2，b 2＝4，则c 2＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62＝ 3.故填3.14．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是________．解：由题知直线PQ 的斜率是－12，故直线PQ 的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.故填x ＋2y －5＝0.15．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．解：设N (0，a )，F (2，0)，那么M ⎝⎛⎭⎫1，a 2，点M 在抛物线上，所以a 24＝8a 2＝32a＝±42，所以N (0，±42)，那么|FN |＝（2－0）2＋（0±42）2＝6.故填6.16．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．解：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝2 2.因为直线OA 是双曲线的一条渐近线，∠AOB ＝π4，所以ba ＝tanπ4＝1，即a ＝b ，又a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.故填2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2015·陕西校级期末)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式． (1)经过点P (1，－2)，且斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同； (2)经过两点A (0，4)和B (4，0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0垂直．解：(1)过点P (1，－2)，斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同的直线方程是y ＋2＝2(x －1)，化为一般式方程为2x －y －4＝0.(2)过两点A (0，4)和B (4，0)的直线方程是x 4＋y4＝1，化为一般式方程为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0垂直的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，且该直线过点(2，－4)，则有4×2＋3×(－4)＋m ＝0，解得m ＝4，所以所求的直线方程为4x ＋3y ＋4＝0.也可直接由点斜式求解．18．(12分)(2016·集美模拟)已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线，求双曲线方程．解：由椭圆x 249＋y 224＝1⇒c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由渐近线为y ＝±43x ，得b a ＝43，且a 2＋b 2＝25，则a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为x 29－y 216＝1.19．(12分)(2016·深圳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．(1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值．解：(1)依题意可设P ⎝⎛⎭⎫a ，a 24(a >0)，易知F (0，1)， 因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 24＋1＝2，即a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)． (2)设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，a24(a >0)， 则点P 到直线y ＝x －10的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －a 24－102＝⎪⎪⎪⎪a 24－a ＋102.因为a 24－a ＋10＝14(a －2)2＋9，所以当a ＝2时，a 24－a ＋10取得最小值9，故点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值d min ＝92＝922. 20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆O 内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由x 2＝4，即得A (－2，0)，B (2，0)． 设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得 （x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围是[－2，0)．21．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线与圆M 的方程．解：(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． 设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)若圆M 过点P ，则AP →·BP →＝0， (x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， (my 1－2)(my 2－2)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， (m 2＋1)y 1y 2－(2m －2)(y 1＋y 2)＋8＝0， 化简得2m 2－m －1＝0，解得m ＝－12或1.①当m ＝－12时，l ：2x ＋y －4＝0，圆心为Q (x 0，y 0)，y 0＝y 1＋y 22＝－12，x 0＝－12y 0＋2＝94，半径r ＝|OQ |＝⎝⎛⎭⎫942＋⎝⎛⎭⎫－122＝8516， 则圆M ：⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. ②当m ＝1时，l ：x －y －2＝0，圆心为Q (x 0，y 0)， y 0＝y 1＋y 22＝1，x 0＝y 0＋2＝3，半径r ＝|OQ |＝32＋12＝10，则圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝10.22．(12分)(2017·天津) 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 解：(1)设F 的坐标为(－c ，0)．依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0，或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。
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2019届【高考数学一轮复习（理）】课后自测题 （四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题[一般难度题——全员必做]1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1x 1－x 24＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)．(1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值；(2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2＋1＝0，化简得y 2＝－x 1x 24y 1，因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝4，① x 22＋4y 22＝4，② 把y 2＝－x 1x 24y 1代入②，整理得(x 21＋4y 21)x 22＝16y 21. 结合①得x 22＝4y 21，同理可得x 21＝4y 22， 从而x 21＋x 22＝4y 22＋x 22＝4，为定值， y 21＋y 22＝y 21＋x 214＝1，为定值． (2)S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·1－cos 2∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22· 1－x 1x 2＋y 1y 22x 21＋y 21x 22＋y 22＝12x 21＋y 21x 22＋y 22－x 1x 2＋y 1y 22＝12|x 1y 2－x 2y 1|.由(1)知x 22＝4y 21，x 21＝4y 22，易知y 2＝－x 12，y 1＝x 22或y 2＝x 12，y 1＝－x 22，S △OAB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 21＋2y 21＝x 21＋4y 214＝1， 因此△OAB 的面积为定值1.3．(2018·广州惠州调研)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3. 由PM ―→＝NQ ―→得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[中档难度题——学优生做]1.如图已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问，是否存在一个定点M (t,0)，使得MP ―→·MQ ―→＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k2＝－4km， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －t ，3m ，MQ ―→＝(4－t,4k ＋m )，∴MP ―→·MQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意． 2．(2018·河北质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)，且a ＞b＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF ―→|＋|CF ―→|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF ―→|＋|CF ―→|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0， ∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得 (3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12.x 1＋x 2＝8k k －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，∵OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k2＝5， 解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .[较高难度题——学霸做]1．如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2. 试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由． 解：(1)由条件可得c 2＝a 2－b 2＝1，故F 点坐标为(－1,0)． 依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14，解得k ＝±12，故直线AB 的斜率为12或－12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，即直线AB 斜率存在且不为零．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设D 点坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ，所以3k4k 2＋3－4k 24k 2＋3－x D×k ＝－1，解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－k 24k 2＋3，0. 因为△GFD ∽△OED ，所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2. 2．(2018·广西陆川县模拟)已知椭圆D ：x 2＋y 2b 2＝1的左焦点为F ，其左，右顶点为A ，C ，椭圆与y 轴正半轴的交点为B ，△FBC 的外接圆的圆心P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上．(1)求椭圆D 的方程； (2)已知直线l ：x ＝－2，N 是椭圆D 上的动点，MN ⊥l ，垂足为M ，问：是否存在点N ，使得△FMN 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，圆心P 既在边FC 的垂直平分线上，也在边BC 的垂直平分线上，F (－c,0)，则边FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2，①因为边BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，b 2，直线BC 的斜率为－b ，所以边BC 的垂直平分线的方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，②联立①②，解得m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b，因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，即(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b >0，所以b ＝c .由b 2＝1－c 2，得b 2＝c 2＝12，所以椭圆D 的方程为x 2＋2y 2＝1.(2)由(1)，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0，椭圆上的点的横坐标满足－1≤x ≤1，设N (x ，y )，由题意得M (－2，y )，则|MN |＝|x ＋2|，|FN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋222＋y 2，|MF |＝ 12＋y 2.①若|MN |＝|FN |，即|x ＋2|＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋222＋y 2，与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝－2<－1，显然不符合条件；②若|MN |＝|MF |，即|x ＋2|＝12＋y 2，与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝－23或x ＝－2<－1(显然不符合条件，舍去)，所以满足条件的点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，±146；2019届【高考数学一轮复习（理）】课后自测题2019届【高考数学一轮复习（理）】课后自测题 ③若|FN |＝|MF |，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋222＋y 2＝ 12＋y 2， 与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝0或x ＝－2<－1(显然不符合条件，舍去)，所以满足条件的点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，±22. 综上，存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，±146或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，±22，使得△FMN 为等腰三角形．。