第1章 桥梁结构稳定

1、刚性球在曲面上的稳定性
稳定是关于结构平衡状态性质的定义： ——平衡指结构处于静止或匀速运动状态； ——稳定指结构原有平衡状态不因微小干扰而改变。 失稳指结构因微小干扰而失去原有平衡状态、并转移到另一 新的平衡状态。
2、理想压杆的稳定问题
理想 压杆 ：两端铰支、荷载作用在形心轴（轴心受压）、杆 轴线沿杆长完全平直、横截面双轴对称且沿杆长不变、杆件 内无初始应力、材料符合胡克定律。 当 轴向荷载较小 时，杆 件 只 产 生 轴向 压 缩变形 ， 保持 平直 的 直线 平衡状态； 若 此 时 给 杆 件 施 加一 微小扰动水 平力 ，杆 件 会 发生 微小弯 曲 ， 取 消这 一 水平力 后 ，杆 件 将恢复 原 来 的 直线平衡 状 态 ， 即 该 平衡 状 态是稳定的。
2、理想压杆的稳定问题
当轴向荷载达到Fcr时，施加微小的扰动水平力使杆件产生弯 曲，取消这一扰动 后 ，杆件仍保持微弯 状 态 ， 不会恢复到 原 来的直线平衡状态，这个平衡是随 遇 的， 称为 随遇平衡或 中性 平衡 ； 可见 ， 当 轴向荷载 达 Fcr 时，杆 件 除 了 直线平衡 状 态 外 ， 还存 在 微 弯的平衡状态，这一现象称为 “平衡分支”； 当 轴向荷载 超 过 Fcr 时， 微小 的 扰 动将 导致杆 件产 生 很 大 的 弯 曲 变 形 而破坏， 即弯 曲 屈 曲 / 弯 曲 失稳 。
3、动力准则与动力法
保守力 ： 力在其作 用的任 意 可能位 移 上所作的 功 与 力 作 用 点 的 移动 路 径无关， 只依赖于 力移动 的 起点 和终 点 。 一般弹性力 和重 力 都是保受力 保守体系： 作用于体系的所有力（荷载和约束力）都是保守的。
结构工程中发生的稳定问题大多数都是保守体系的稳定问题， 静力法和 能量法只适用于保守体系；动力法是一般的求解 稳 定的方法，既能适用保守体系，也能适用非保守体系。
3、动力准则与动力法
动力准则： 处于平衡状态的结构体系，受到微小扰动，然后放松： 1）若体系在平衡位置附近振动，则体系的平衡是稳定； 2）振动频率随压力增大而减小，当压力达到某一临界值时， 频率为零且振动无界，则体系的平衡是中性的。 动力法： 假定体系 由于扰动 在 原 平衡 位置 附近 作 微小 自 由 振动， 写出 振动方程 ，并求出 自振 频率 的表 达式， 根据体系处 于 临 界 状 态时频率等于零这一条件确定临界荷载。
主讲：徐略勤 副教授 土木建筑学院桥梁工程系 xulueqin@
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李国豪. 桥梁结构稳定与振动. 中国铁道出版社， 1992 Timoshenko SP, Gere J. Theory of Elastic Stability, 2nd Edition. McGraw Hill Inc. 1961 周绪红. 结构稳定理论. 高等教育出版社，2010 唐家祥. 结构稳定理论. 中国铁道出版社，1989
3、魁北克桥第一次事故
1907年，魁北 克桥在架设 过程 中，由于 悬臂端下 弦杆的腹 板 翘曲而产生严重的破坏事故；
Date Jun. Jun. Aug. 6th Aug. 23th Aug. 27th Element A3R、A4R、 A7R、A8R、 A9R A8R、A9R 7L、8L 5R、6R A9L Deform /mm 1.5~6.5 19 19 13 57
1、静力准则与静力法
静力准则： 处于平衡状态的结构体系，收到微小扰动后： 1）若在体系上产生一指向直线平衡位置的力(正恢复力)，当 扰动去除 后，体系 恢复到原始 的平衡 位置 ，则 平衡 是 稳定的； 2）若产生负恢复力，则平衡是不稳定的； 3）若不产生任何作用力，则体系处于中性平衡，处于该平衡 状态的荷载即为临界荷载。 静力法： 在压杆 微弯曲的中性 平衡 状 态下建立 平衡微分方 程 来 求解 临 界荷载的方法。
1、静力准则与静力法
对 于两 端 铰 接 的 理想 压杆， 当 荷载 F达 到 临 界 荷载 Fcr时，在 微弯状态(随遇平衡 状 态 )下 可 建 立 其 平衡方 程 (忽略压 缩 和剪 切变形的微小影响)：M = F·y 在微弯状态下，压杆的近似平衡方程可写成：
− EIy ′′ = Fy
EIy ′′ + Fy = 0
3、稳定问题的分类
杆件 发生 弯曲失稳时，杆 件 由直线平衡形 式 变 为 弯 曲 平衡形 式，失稳前后的平衡形 式发生了 变 化 ， 这 种 失稳现象称为 第 一类稳定问题； ——特征： 结构在失稳前后的变形产生了性质上的改变，原 来的平衡形式不稳定后，可能出现与原来平衡形式有本质差 别的新平衡形式。 中性 平衡 状态是 从 稳定 平衡 过渡 到不 稳定 平衡 的 临 界 状 态 ， 此时的轴向荷载Fcr称为临界荷载/临界力；相应截面上的应力 称为临界应力σcr。
3、魁北克桥第一次事故
1907 年 8 月 29 日 ， 魁北 克 桥的第一次破坏事故，造 成了75名工人当场死亡 ， 另有11名重伤；
3、魁北克桥第二次事故
1913年，大 桥开 始重建 ， 新桥 主要受 压构 件 的 截面积比原设 计增加了一倍以上。然而，在1916年9月，由于悬臂安装时一 个锚固支撑构件断裂 ， 挂 梁 再次 落入圣劳伦 斯 河 中，并 导致 13名工人丧生；
n 2π 2 EI Fcr = l2 nπ x y = C1 sin l
实际 上， 当 n=1 时，上 述 方 程 对应 的 临 界 荷载 最 小 ，因 此 ， n=2，3，…对应 的临界荷载不再存 在 。因此 ，临界荷载时杆 件保持中性平衡状态的最小荷载。即：
π 2 EI F= 2 l πx y = A sin l
0 1 D (α ) = =0 sin α l cos α l
稳定特征方程 或稳定方程
1、静力准则与静力法
求解稳定特征方程：
sin α l = 0
n 2π 2 EI F= l2
α l = nπ （n=1，2，3，…）
y = A sin nπ x l
两端简支轴心受 压构件挠度曲线
1、静力准则与静力法
设 α 2 = F / EI ，上述方程转 变 为 一 个 常系数 的 齐 次 线 性 微分方程：
2 ′′ y +α y = 0
1、静力准则与静力法
上述齐次线性微分方程的通解为：
y = C1 sin α x + C2 cos α x
根据两端铰接杆件的边界条件： x = 0时 y = 0 C1 × 0 + C2 × 1 = 0 C1 sin α l + C2 cos α l = 0 x = l时 y = 0 当C1=C2=0时，上 述 方 程 组 成 立 ， 但 y=0， 表示杆 件 处 于 直线 平衡状态，不是所研究的微弯状态；若要求y≠0，即C1、C2有 非零解，则方程的系数行列式必须等于零，即：
2、能量准则与能量法
能量准则： 结构体系的总势能为：E p = Eε + ( −W ) 若该体系 受到微小 的 扰动，在 初 始 平衡 位置 足够小 的 邻域内 发生某一可能变形，则体系的总势能Ep存在一个增量Δ Ep ： 当Δ Ep >0，总势能增大(Ep为最小值)，说明初始平衡位置是 稳定的； 当Δ Ep <0，总势能减小(Ep为最大值)，说明初始平衡位置是 不稳定的； 当Δ Ep =0，总势能保持不变，说明初始平衡位置是中性的。 具 体 方法 ： Timoshenko 法 、 Rayleigh-Ritz 法 、 Galerkin 法 、 势能驻值原理等
2、澳大利亚西门桥（West Gate Bridge）
1970年，澳洲墨尔本附近的西门桥在架设拼装左右两个半孔 的钢箱梁时，钢箱梁的上翼缘板在跨中央失稳，导致整跨 112m的上部结构倒塌；
3、加拿大魁北克桥（Quebec Bridge）
魁北 克桥 是一座采用铆钉连接 的钢 桁 架 悬臂 梁桥 （ riveted steel truss bridge） ，全 长987m ， 宽 29m ， 高 104m。主跨达 549m ，由 177m 的 悬臂支承着 195m 长 的 挂 梁， 该 桥 至今仍保 持着世界第一的 悬臂 梁桥跨 径记录。该 桥于1919年 建成通 车， 但在建设过程中发生了2次失稳破坏，前后经历了30年、有88 名工人因此丧生。
欧拉临界荷载
如果用杆件的截面积A去除以上式，可得到欧拉临界应力：
σ cr Fcr π 2 EI π 2 E π 2 E = = = = 2 2 2 A Al (l i ) λ
1、静力准则与静力法
求解过程： 1）假定杆件处于微弯曲中性平衡状态，然后取隔离体列出平 衡微分方程； 2）求解方程通解，引入边界条件，得出一组与未知常数数量 相等的齐次方程组； 3）齐次方程组有非零界，则其系数行列式为零，即D=0，从 而接触临界荷载Fcr。 D=0 是 稳定的 一 个准则， 通 常称为 稳定 特征 方 程 或 稳定方 程 ， 实际工程中，该方程一般为超越方程，需借助计算机。
3、稳定问题的分类
第一类稳定问题 平衡分支问题(Bifurcation Buckling)，即达到临界荷载时，除结 构原来的平衡状态理论上仍有可能外，出现第二个平衡状态。 第二类稳定问题 极值点失稳问题(Snap-through Buckling)，结构保持平衡状态， 随着荷载的增加，在应力较大的区域出现塑性变形，结构的变 形很快增大，当荷载达到一定的数值时，即使不再增加，结构 变形也迅速增大而至于使结构破坏。 实际结构的稳定问题属第二类稳定问题，但研究第一类稳定仍 然重要，原因是： (1) 某些结构的极限荷载与分支屈曲荷载很接近； (2) 某些结构的屈曲后强度远远大于分支屈曲; (3) 第一类稳定问题体现了结构的刚度特征。
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1.1 桥梁结构的失稳现象 1.2 稳定问题及其分类 1.3 稳定性的判别准则及求解方法 1.4 桥梁结构稳定的研究现状