组合数学-第四节：组合恒等式

2.4.3 组合恒等式

有关二项式系数的恒等式至今已发现的就有上千个，而且还在不断地发展。这些组合恒等式在许多算法分析中起着重要的作用，这里给大家介绍常用的几个。 等式1

201n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

证明 方法1 其组合意义的证明见定理2.2.4 方法2 在二项式定理中令1x y ==即可。

等式2：024135n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++

=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2.4.9）

证明 方法1 在二项式定理中令1,1x y =-=，得：0(1)0n

k k n k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ （2.4.10）

将（2.4.10）式整理一下即得（2.4.9）式。

方法2 等式（2.4.9）的组合意义是：在n 个元素的集合中取r 组合，r 为奇数的组合数目等于r 为偶数的组合数目（包含0组合在内）。

下面我们来建立r 为偶数的组合与r 为奇数的组合之间的一一对应，从而证明（2.4.9）式。以4个元素

,,,a b c d 构成的集合的一切组合为例，r 为奇数的组合有：,,,,,,,;a b c d abc abd acd bcd

r 为偶数的组合有：,,,,,,,ab ac ad bc bd cd abcd φ

其中，φ表示取零个元素的组合。从n 个元素的集合中取r 组合，r 可以有不同的值，但就元素a 而言，只有含有元素a 和不含有元素a 两类。若r 为奇数的组合中含有a ，去掉a 便得一个r 为偶数的组合。例如，

abc 去掉a 得bc 。若r 为奇数的组合中不含有a ，加上元素a 便构成一个r 为偶数的组合。例如，bcd 加

上a 得abcd 。见表2.4.1

表2.4.1

等式3

112212n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⋅+⋅++⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

证明 对等式：0(1)n

n

i i n x x i =⎛⎫+=

⎪⎝⎭

∑

两边在1x =处求导数，得()

(

)

()

1

111

112n

n n x x x n x n --=='

+=+=

1

11011n n n

j j x x i i i n n n x x

i i i -====='⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

∑∑∑

从而：112212n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⋅+⋅+

+⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

等式4：0111n n k k k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++

+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

证明，用数学归纳法很容易证明此结论，下面通过其组合意义来分析其正确性。

11n k +⎛⎫ ⎪+⎝⎭

是1n +元集合{}121,,,n n A a a a a +=的1k +元子集的个数，这些子集可以分成如下1n +类：

第（0）类：1k +元子集中含1a ，这相当于{}1A a -的k 元子集再加上1a 构成A 的1k +元子集，共n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭

个；

第（1）类：不含1a 的1k +元子集，共有1n k -⎛⎫

⎪⎝⎭

个；……； 第（n ）类：不含12,,

n a a a ，但含1k a +的1k +元子集，共有0k ⎛⎫

⎪⎝⎭

个。

由加法原则知：1101n n n k k k k +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=++

+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

等式5：2

02n

k n n k n =⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑

证明 ： 2n n ⎛⎫

⎪⎝⎭

是2n 元集合A 的n 组合和，把集合A 分成两个集合1A 和2A ，使12A A n ==，则A 的

n 元子集可以分成如下1n +类：从1A 中选取(0)i i n ≤≤个元素，从2A 中选取n i -个元素，将1A 的i 个元素与2A 的n i -个元素并到一起构成A 的第i 类n 元子集，而第i 类子集的个数为

2

(0)n n n i n i n i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=≤≤ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由加法原则，有：2

02n

i n n i n =⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑

利用上面的方法，可以证明下面更一般的公式：0r

i m n m n i r i r =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑

（2.4.11）

恒等式（2.4.11）称为Vandermonde 恒等式。 等式6：

0m

i m n m n i r i m r =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑ 证明 利用m i ⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称性m m i m i ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭和Vandermonde 恒等式，有：00m

m i i m n m n i r i m i r i ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪⎪ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑

()0

m j m j m m n m n m n j m i j m r i j m r i m r ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑令