2019-2020学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学试题

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【精】湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥03．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或345．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=08．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+【解答】解：选项A，x正负不定，不能得最小值为2，错误；选项B，由0＜x＜可得0＜sinx＜1，故取不到等号，错误；选项C，由基本不等式可得y=3x+3﹣x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，正确；选项D，由1＜x＜10可得0＜lgx＜1，取不到等号，错误．故选：C．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为：∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0．故选：D．3．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）【解答】解：根据题意，△ABC中，|CB|=8，△ABC的周长为20，∴|AB|+|AC|=12，且|AB|+|AC|＞|BC|，∴顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆，去掉与x轴的交点．∴2a=12，2c=8；∴a=6，c=4，∴b2=a2﹣c2=62﹣42=20，∴顶点A的轨迹方程为+=1（其中y≠0），故选：A．4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或34【解答】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，∵双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，∴|x﹣18|=2×8，∴x=2或34．故选：D．5．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【解答】解：由y=±x得±=0，因此以±=0为渐近线的双曲线为﹣=m（m≠0）当m=4时，方程为﹣=1，故选：A．6．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣【解答】解：因为抛物线y=8x2，可化为：x2=y，∴2p=，则线的准线方程为y=﹣．故选：D．7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0联立方程组得x2﹣2x﹣m=0△=4+4m=0解得m=﹣1，∴切线方程为2x﹣y﹣1=0，故选：D．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，=﹣=（+）﹣=﹣（﹣）=﹣，故选：C．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴与向量共线的单位向量是±=±（1，﹣1，1）=±（，﹣，）．故选：D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：当x＞0时，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，5x=24，所以当x＞0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为1个．当x≤0，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，13x2+24x=0，所以当x≤0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为2个．所以，直线y=x+3与曲线的交点个数共3个．故选：D．11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan30°=，即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故选：B．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接PF1，PF2．在△MF1P中，F1P是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，，同理可得，固有，根据等比定理．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=6．【解答】解：∵x＞5，∴x﹣5＞0，∴f（x）=x+=x﹣5++5≥2+5=7，当且仅当x﹣5=即x=6时取等号．故答案为：6．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．【解答】解：∵向量，，与的夹角为钝角，∴=＜0，且=≠﹣1，解得t＜，且t≠﹣3．∴实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．【解答】解：法一：当直线l垂直于x轴时，|AB|=|CD|=p﹣=，=法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真命题，m＜1f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题因此，1≤m＜2．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣∵抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，∴根据抛物线的定义可知，3+=5，∴p=4∴抛物线C的方程是y2=8x；（2）由（1）知F（2，0），设P（x0，y0），M（x，y），则，即，而点P（x0，y0）在抛物线C上，，∴（2y）2=8（2x﹣2），即y2=4（x﹣1），此即所求点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥BB1，∴AF⊥面B1FE，∵B1F⊂面B1FE，∴B1F⊥AF，设AB=1，∵AB=AA1，∴AB=AA=AC=BB=1，BF=CF=，∴=，EF==，=，∴=，∴B1F⊥EF，所以B1F⊥平面AEF．（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B1（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），设平面AB1E的法向量为=（x1，y1，z1），则=0，=0，∴，∴=（1，，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，∴，∴=（1，﹣1，2），设二面角B1﹣AE﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（，，0）、（0，0，1），∴=（﹣，﹣，1），A、M坐标分别是（）、（），∴=（﹣，﹣，1）．∴=，且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF．（2）解：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°．理由如下：设P（t，t，0），（0≤t≤），得=（），∴=（0，，0），又∵PF和AD所成的角是60°．∴cos60°=，解得t=，或t=（舍去），即点P是AC的中点．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．【解答】解：∵（1）①，原点到直线AB：的距离==②，联立①②及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求双曲线方程为．（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，整理得（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中点是E（x0，y0），则，=，y0=kx0+5=，k BE==﹣，∴x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=±．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m ≠0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴，∴线段AB的中点M∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期期中试题理(扫描版)

湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）衡阳市八中2015年下学期期中考试试题高二数学（理）参考答案一、选择题13.6 14.3 15. 5(,3)(3,)3-∞-⋃- 16. 24p -三、解答题 17.【参考答案】不等式|x －1|<m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题，m<1f(x)=－(5－2m) x是减函数，须5－2m>1 即q 是真命题，m<2由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题故p 、q 中一个真，另一个为假命题因此，1≤m<218.【参考答案】（1）28y x =；（2）由（1）知F （2，0），设P(00,y x )，M(,y x )，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00222x x y y =-⎧⎨=⎩，而点P(00,y x )在抛物线C 上，2008y x =，∴228(22)y x =-（），即24(1)yx =-此即所求点M 的轨迹方程。

19.【参考答案】如图建立空间直角坐标系O xyz -，令AB ＝AA 1＝4，则A (0, 0, 0), E (0, 4, 2), F (2, 2, 0), B (4, 0, 0), B 1(4, 0, 4) （1）1(2,2,4),(2,2,2),B F EF =--=--(2,2,0)AF =1(2)22(2)(4)(2)0.B F EF ⋅=-⨯+⨯-+-⨯-=11..B F EF B F EF ∴⊥∴⊥ 1(2)222(4)00.B F AF ⋅=-⨯+⨯+-⨯= 11..B F AF B F AF ∴⊥∴⊥1,.AF FE F B F AEF =∴⊥平面（2）平面AEF 的法向量为1(2,2,4)B F =--，设平面B 1AE 的法向量为{10,20,(,,),0.0.n AE y z n x y z x z n B A ⎧⋅=+==∴⎨+=⋅=⎩即令2,x =则2,1,(2,1,2).z y n =-=∴=-111cos ,||||9nB F n B F n B F ⋅∴<>==⋅⨯ ∴二面角B 1－AE －F20.【参考答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系.设N BD AC = ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、(0,0,1),∴NE =()1,22,22--, A 、M 坐标分别是（022，，）、（)1,22,22，∴AM =（)1,22,22-- ∴NE =AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM .又∵⊂NE 平面BDE ，⊄AM 平面BDE，∴AM ∥平面BDF .（2）设(,,0)P t t(0t ≤≤，得(2,1)PF t t =，∴DA =，又∵PF 和AD 所成的角是60︒. 21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒∴t t t ，解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点.21.【参考答案】（1）因为c a =，原点到直线AB ：1x y a b -=的距离abdc===所以1,b a==故所求的双曲线的方程为2213xy-=。

2019-2020学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学答案

衡阳市八中2019年下期高二期中考试数学答案详解【选择题答案】 1. C 2. A 3. D 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 10. A 11. C12. C【填空题答案】13. 1 14. 12 15. (1,- 16. 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1．C 【解析】试题分析：命题p 为真命题.对命题q ，当4x =24x =<=，故为假命题，q ⌝为真命题.所以C 正确. 2. A 【详解】因为变量x 与y 负相关，所以排除D ；又回归直线过样本中心(),x y ，A 选项，ˆ0.8 6.2yx =-+过点(1.5,5)，所以A 正确； B 选项，ˆ0.58yx =-+不过点(1.5,5)，所以B 不正确； C 选项，ˆ0.6 4.1yx =-+不过点(1.5,5)，所以C 不正确；故选A 3. D 【详解】整理椭圆方程2x 2+3y 2＝6得22132x y+=，∴a =2a =．故选：D ． 4. C 【详解】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C . 5. D【解析】令2330y x '=-=，则1x =±，故选D 6. D【解析】由题意可得AB =AB 的方程为221x y+=，2(,)C m m ，求出点C 到AB 的距离d 的值，再代入面积公式得2122⨯=，由此求得m 的值，从而得出结论．由题意可得AB =AB 的方程为221x y+=，即20x y +-=．设点2(,)C m m ，则点C 到AB 的距离2d =．由于ABC ∆的面积为2，故有2122⨯=，化简可得2|2|2m m +-=，222m m ∴+-=①，或222m m +-=-②．解①求得12m -+=或12m -=0m =或1m =-．综上可得，使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为4. 故选：D . 7.C【解析】平移1CD 至1BA ，不妨设1BC =则易知111,BE A E BA ==故夹角为1A BE ∠或其补角为所求，1cos A BE ∠== 故选：C也可建立空间系进行求解。

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湖南省衡阳八中高二上学期期中考试（数学）考生注意：本卷共21题，满分100分，考试时间1一、选择题： (每小题3分，共30分)1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝1则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、设数列的通项公式为72-=n a n ，则=+++1521a a a （）A 、153B 、210C 、135D 、1、已知正数,x y 满足1x y +=，则12x y+的最小值（） A．B．3+C ．2D ．44、若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A 、4005B 、4006C 、4007D 、40085、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，且98776,S S S S S >=<，则下列结论中错误的是（） A 、0<d B 、08=a C 、610S S > D 、87,S S 均为n S 的最大项6、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（）A 、0B 、3-C 、3D 、23 7、a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （） A 、一定有两个不相等的实数根 B 、一定有两个相等的实数根 C 、一定没有实数根 D 、以上三种情况均可出现8、已知4,,,121a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则212a ab -等于（） A 、14 B 、12- C 、12 D 、12或12-9、不等式x +3y －2≥0表示直线x +3y －2=0（）A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域(包括直线本身)D ．下方的平面(包括直线本身)区域10、已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =24C ．－7<a <24D ．－24<a <7 二、填空题：（每小题3分，共15分）(11) 已知数列{}n a 前n 项和21n S n n =+-，那么它的通项公式_____n a =(12) 设实数x 、y 满足5)2()1(22=++-y x ，则x －2y 的最大值是__________(13) 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________．(14) 不等式21131x x ->+的解集是 (15)定义一种新的运算“*”对任意正整数n 满足下列两个条件：(1)111=*),1(21)1)(2(*+=*+n n 则*1=__________三、解答题：16.（8分）（1）求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的通项公式n a （2）求数列}{n a 的前n 项和17（12分）.已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列（3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S18.（9分）深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：19（8分）.建造一个容量为38m ，深度为m 2的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方分别为180元和80元，求水池的最低总造价。

【20套试卷合集】湖南省衡阳市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案说明：本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟. 请在答题纸上作答。

．．．．．．．．．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.椭圆22916144x y +=的焦点坐标为___▲____.2.质点的运动方程为S=2t+1(位移单位m ，时间单位s),则t=1时质点的速度为___▲__m/s.3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面ABCD 所成的角的大小是__▲____．4.如果函数()y f x =的图像在点P(1,0)处的切线方程是1y x =-+,则(1)f '=_____▲___.5. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 ▲ 个．6. 方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是___▲___．7. 长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3． 8. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____▲____．9.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，正确的有 ▲ ．(填写所有正确选项的序号．．). ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .10. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为__▲___．11. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为___▲ ．12.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等,现沿PA ,PB ,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为__▲__.13. 设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为__▲__.14. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|＋|PC 1|＝2的点P 的个数为___▲___个．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知函数2()1f x x =+，（1）求在区间[1,2]上()f x 的平均变化率；（2）求()f x 在1x =处的导数.16. 如图，平面PAC ⊥平面ABC ,AC ⊥ BC ,PE ∥CB ,,M N 分别是,AE PA 的中点. ⑴求证：MN ∥平面ABC ； ⑵求证：平面CMN ⊥平面PAC .17. 根据下列条件求椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴，两准线间的距离为18 55，焦距为25；(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．EABCMNP18. 如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值.19. 如图,圆O 与离心率为23的椭圆T 12222=+by a x (0>>b a )相切于点M )1,0(.⑴求椭圆T 与圆O 的方程；⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D(均不重合).若MD MB MC MA ⋅=⋅43,求1l 与2l 的方程.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)过点Q )2,2( 作直线l 与双曲线C 1有且只有一个交点，求直线l 的方程；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求). 1. 有两个问题①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3人参加座谈会.则下列说法中正确的是( )A.①随机抽样法②系统抽样法B.①分层抽样法②随机抽样法C.①系统抽样法②分层抽样法D.①分层抽样法②系统抽样法2.盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是( ) (A) 14 (B) 12 (C) 18(D)无法确定3.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,04.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至多有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球5．执行右图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是( ).A ．4-B ．2C ．±2或者－4D ．2或者－46.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A ．65B ．64C ．63D ．62 7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A. 16，16，16B. 8，30，10C. 4，33，11D. 12，27，98.如下左图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（）A ．34 B ．16 C ．1112D ．25249.投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为（）A ．361B. 181C. 61D.12510. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x 为某一实数时可使02<x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中有5个次品，从中取出5个，5个都是次品”是随机事件，其中正确命题的个数是（）A ．0 B. 1 C. 2 D. 311.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S2的概率为( ) (A) 12 (B) 14 (C) 23 (D) 3412. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n 后,输出的)20,10(∈S ,那么n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为————14.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P(A ∪B)=_____(结果用最简分数表示).15为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是.16．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

『精选』2020年湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．（3分）双曲线16x2﹣9y2=﹣144的渐近线的方程是（）A．B．C． D．4．（3分）已知向量，，则“m=1”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C（）A．B．C．D．6．（3分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或7．（3分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]8．（3分）命题p：“∃x0∈R，使”，命题q：“a＞2且b＞2是ab＞4成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（）A．¬p∧q B．p∧q C．p∨q D．¬p∨q9．（3分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．211．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A，B两点，如果△ABF1恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A．±1 B．±2 C．D．12．（3分）若实数a，b，c，d满足|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．（3分）若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到焦点的距离为．14．（3分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）=3，则a的值为．15．（3分）如图所示，已知M，N分别正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN 与CD1所成的角为．16．（3分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19．（10分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．20．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，求：（1）函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间．21．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．22．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x﹣2）2+y2=的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．2．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选：A．3．（3分）双曲线16x2﹣9y2=﹣144的渐近线的方程是（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线16x2﹣9y2=﹣144的标准方程为﹣=1，其焦点在y轴上，且a==4，b==3，则其渐近线方程为：y=±x，故选：C．4．（3分）已知向量，，则“m=1”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由，可得：m2﹣1=0，解得m=±1，∴“m=1”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．5．（3分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．6．（3分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【解答】解：实数4，m，9构成一个等比数列，可得m=±6，当m=6时，圆锥曲线的离心率为：=．当m=﹣6时，圆锥曲线的离心率为：=．故选：C．7．（3分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x 0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．（3分）命题p：“∃x0∈R，使”，命题q：“a＞2且b＞2是ab＞4成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（）A．¬p∧q B．p∧q C．p∨q D．¬p∨q【解答】解：命题p：根据指数函数的性质可知2x＞0恒成立，故不存在x0∈R，使，即命题p为假；命题q：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，反之不成立，如a=﹣2，b=﹣3，即命题q为真；综上可知，p∧q为假命题，故选：B．9．（3分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；∵y′=xcosx，∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．故选：A．10．（3分）抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．2【解答】解：抛物的准线为y=b，∴点B（﹣a，b），C（a，b），∵∠AOC=∠BOC=60°，∴k OC==tan60°=，∴=，∴e===，故选：C．11．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A，B两点，如果△ABF1恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A．±1 B．±2 C．D．【解答】解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，∴|AF1|=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在Rt△AF1F2中，tan∠AF2F1==，∴直线AB的斜率为k=±tan∠AF2F1=±，故选：C．12．（3分）若实数a，b，c，d满足|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，∴b=4lna﹣a2，d=2c+2，分别令y=f（x）=4lnx﹣x2，y=g（x）=2x+2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，f′（x）=﹣2x，设与直线y=2x+2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），则﹣2x0=2，x0＞0，解得x0=1，可得切点P（1，﹣1），切点P（1，﹣1）到直线y=2x+2的距离d==，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值=d2=5．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．（3分）若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到焦点的距离为10．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到准线的距离d=9﹣（﹣1）=10，点M在抛物线上，则M到焦点的距离为10；故答案为：10．14．（3分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）=3，则a的值为3．【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3，∴a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3．15．（3分）如图所示，已知M，N分别正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN 与CD1所成的角为60°．【解答】解：连接A1B，A1C1，BC1，则MN∥BC1，A1B∥D1C，∴∠A1BC1为MN与CD1所成的角，∵△A1BC1是等边三角形，∴∠A1BC1=60°．故答案为：600．16．（3分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．【解答】解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．【解答】解：a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；∴0＜a＜1．q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．则△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得或．如果p或q为真，p且q为假，则p与q必然一真一假．∴，或，解得：，或．∴a的取值范围是∪．18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．19．（10分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，解得，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由可得3x2﹣2x﹣5=0，由韦达定理可得，，即，原点到直线l的距离为，于是，∴△AOB的面积为．20．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，求：（1）函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9，f′（0）=9，f（0）=﹣2，∴函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为：y+2=9x，即9x﹣y﹣2=0．（2）∵f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9，由f′（x）=﹣3x2+6x+9＜0，解得x＜﹣1或x＞3．∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．21．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．22．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x﹣2）2+y2=的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：2a=6，则a=3，圆M：（x﹣2）2+y2=，圆心（2，0），半径为，由题意可知：椭圆经过点（2，），代入椭圆方程：，解得：b2=8，∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（9k2+8）x2+36kx﹣36=0，x1+x2=﹣，x1x2=，假设存在点D（m，0）满足题意，取AB中点M（x0，y0）则MB⊥AB，由x0==﹣，则y0=kx0+2=，则M（﹣，），由题意可知：k•k MD=﹣=﹣1，整理得：9k2m+2k+8m=0，∴m=﹣=﹣，当k＞0时，9k+≥12﹣≤m＜0，当k＜0，9k+≤﹣12，0＜m＜，存在点D，且D点横坐标取值范围[﹣，0）∪（0，]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2020年湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．（3分）双曲线16x2﹣9y2=﹣144的渐近线的方程是（）A．B．C． D．4．（3分）已知向量，，则“m=1”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．6．（3分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或7．（3分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]8．（3分）命题p：“∃x0∈R，使”，命题q：“a＞2且b＞2是ab＞4成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（）A．¬p∧q B．p∧q C．p∨q D．¬p∨q9．（3分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．211．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A，B两点，如果△ABF1恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A．±1 B．±2 C．D．12．（3分）若实数a，b，c，d满足|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．（3分）若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到焦点的距离为．14．（3分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）=3，则a的值为．15．（3分）如图所示，已知M，N分别正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为．16．（3分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19．（10分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．20．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，求：（1）函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间．21．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．22．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x﹣2）2+y2=的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．2．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选：A．3．（3分）双曲线16x2﹣9y2=﹣144的渐近线的方程是（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线16x2﹣9y2=﹣144的标准方程为﹣=1，其焦点在y轴上，且a==4，b==3，则其渐近线方程为：y=±x，故选：C．4．（3分）已知向量，，则“m=1”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由，可得：m2﹣1=0，解得m=±1，∴“m=1”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．5．（3分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．6．（3分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【解答】解：实数4，m，9构成一个等比数列，可得m=±6，当m=6时，圆锥曲线的离心率为：=．当m=﹣6时，圆锥曲线的离心率为：=．故选：C．7．（3分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x 0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．（3分）命题p：“∃x0∈R，使”，命题q：“a＞2且b＞2是ab＞4成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（）A．¬p∧q B．p∧q C．p∨q D．¬p∨q【解答】解：命题p：根据指数函数的性质可知2x＞0恒成立，故不存在x0∈R，使，即命题p为假；命题q：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，反之不成立，如a=﹣2，b=﹣3，即命题q为真；综上可知，p∧q为假命题，故选：B．9．（3分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；∵y′=xcosx，∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．故选：A．10．（3分）抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．2【解答】解：抛物的准线为y=b，∴点B（﹣a，b），C（a，b），∵∠AOC=∠BOC=60°，∴k OC==tan60°=，∴=，∴e===，故选：C．11．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A，B两点，如果△ABF1恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A．±1 B．±2 C．D．【解答】解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，∴|AF1|=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在Rt△AF1F2中，tan∠AF2F1==，∴直线AB的斜率为k=±tan∠AF2F1=±，故选：C．12．（3分）若实数a，b，c，d满足|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+2|=0，∴b=4lna﹣a2，d=2c+2，分别令y=f（x）=4lnx﹣x2，y=g（x）=2x+2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，f′（x）=﹣2x，设与直线y=2x+2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），则﹣2x0=2，x0＞0，解得x0=1，可得切点P（1，﹣1），切点P（1，﹣1）到直线y=2x+2的距离d==，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值=d2=5．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．（3分）若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到焦点的距离为10．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，若抛物线y2=4x上的点M到y轴的距离是9，则M到准线的距离d=9﹣（﹣1）=10，点M在抛物线上，则M到焦点的距离为10；故答案为：10．14．（3分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）=3，则a的值为3．【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3，∴a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3．15．（3分）如图所示，已知M，N分别正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为60°．【解答】解：连接A1B，A1C1，BC1，则MN∥BC1，A1B∥D1C，∴∠A1BC1为MN与CD1所成的角，∵△A1BC1是等边三角形，∴∠A1BC1=60°．故答案为：600．16．（3分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．【解答】解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．【解答】解：a＞0且a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内是递减的；∴0＜a＜1．q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．则△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得或．如果p或q为真，p且q为假，则p与q必然一真一假．∴，或，解得：，或．∴a的取值范围是∪．18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．19．（10分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为4．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，解得，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由可得3x2﹣2x﹣5=0，由韦达定理可得，，即，原点到直线l的距离为，于是，∴△AOB的面积为．20．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，求：（1）函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9，f′（0）=9，f（0）=﹣2，∴函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为：y+2=9x，即9x﹣y﹣2=0．（2）∵f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9，由f′（x）=﹣3x2+6x+9＜0，解得x＜﹣1或x＞3．∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．21．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM ∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．22．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x﹣2）2+y2=的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：2a=6，则a=3，圆M：（x﹣2）2+y2=，圆心（2，0），半径为，由题意可知：椭圆经过点（2，），代入椭圆方程：，解得：b2=8，∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（9k2+8）x2+36kx﹣36=0，x1+x2=﹣，x1x2=，假设存在点D（m，0）满足题意，取AB中点M（x0，y0）则MB⊥AB，由x0==﹣，则y0=kx0+2=，则M（﹣，），由题意可知：k•k MD=﹣=﹣1，整理得：9k2m+2k+8m=0，∴m=﹣=﹣，当k＞0时，9k+≥12﹣≤m＜0，当k＜0，9k+≤﹣12，0＜m＜，存在点D，且D点横坐标取值范围[﹣，0）∪（0，]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

【精品】2020年湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析文科

2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0 D．∃x∈R，x2+x﹣1≤03．（3分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±4．（3分）将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=05．（3分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题6．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣47．（3分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线8．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（3分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（3分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．1 C．2 D．不确定二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）曲线C的参数方程为（θ为参数），则它的离心率等于：12．（3分）抛物线y2=4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是．13．（3分）若直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4始终有公共点，则k取值范围是．14．（3分）命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是．15．（3分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=．三、解答题（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）标准方程16．（8分）（1）已知抛物线过点A（1，2），求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求双曲线的标准方程．17．（8分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足B=．（Ⅰ）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（9分）已知实数x，y满足方程x2+y2=4，求z=2x+y的最值．19．（9分）已知椭圆C焦点在x轴上，短轴长为2，离心率是．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于AB两点，直线AB的方程是y=x+1，求弦长|AB|．20．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈[0，1]，f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．f（x）≤1⇔ax2+x≤1，x∈[0，1]…①当x=0时，a≠0，①式显然成立；当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈[1，+∞），则有a≤t2﹣t，所以只须a≤（t2﹣t）min=0⇒a≤0，又a≠0，故a＜0综上，所求实数a的取值范围是．21．（11分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选：A．2．（3分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0 D．∃x∈R，x2+x﹣1≤0【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题．得命题的否定是：∀x∈R，x2+x﹣1≤0，故选：B．3．（3分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）中a=4，b=3，∴渐近线方程为y=±x，故选：A．4．（3分）将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=0【解答】解：由曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0，及，可得x+2y﹣1=0．∴曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y﹣1=0．故选：B．5．（3分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题【解答】解：∵当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题故选：A．6．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣4【解答】解：根据抛物线方程可知2p=8，p=4，故准线方程为x=﹣2，故选：A．7．（3分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【解答】解：∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程，故选：D．8．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），∴=，c=1，a=，b=，∴椭圆的方程为=1，故选：C．9．（3分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选：B．10．（3分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．1 C．2 D．不确定【解答】解：设椭圆和双曲线的方程为：和．∵，，∴，，∵满足，∴△PF1F2是直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2．即m+a=2c2则===2故选：C．二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）曲线C的参数方程为（θ为参数），则它的离心率等于．：【解答】解：由曲线C的参数方程为，利用sin2θ+cos2θ=1消去参数θ，可得=1．∴a2=3，b2=1．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．12．（3分）抛物线y2=4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是3．【解答】解：根据抛物线方程可知其准线方程为x=﹣1，则根据抛物线定义可知M到其焦点F的距离为与M到x=﹣1的距离即x M+1=4，∴x M=3故答案为313．（3分）若直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4始终有公共点，则k取值范围是﹣≤k≤．【解答】解：由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x+2kx﹣5=0当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；当1﹣k2≠0时，有△=20﹣16k2≥0，解得﹣≤k≤．综上，k取值范围是﹣≤k≤故答案为﹣≤k≤14．（3分）命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是﹣3≤a≤0．【解答】解：∵命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，∴对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立，①当a=0时，不等式为﹣3≤0，显然恒成立，符合题意；②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3≤0在R上恒成立，∴，即，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②，实数a的取值范围是﹣3≤a≤0．故答案为：﹣3≤a≤0．15．（3分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=﹣5．【解答】解：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（﹣a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1﹣a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2﹣a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===﹣5．故答案为﹣5．三、解答题（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）标准方程16．（8分）（1）已知抛物线过点A（1，2），求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求双曲线的标准方程．【解答】解：（1）点M（1，2）是第一象限的点当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x；当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y．故抛物线的标准方程为（2）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），∵双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，∴双曲线的一个焦点为（2，0），即c=2，∵双曲线的离心率等于2，∴a=1，∴b=，∴双曲线的标准方程为17．（8分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足B=．（Ⅰ）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于命题p：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是（2，3）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：p：A={x|a＜x＜3a，a＞0}q：B={x|2＜x＜3}∵q是p的充分不必要条件，∴B⊂A∴，解得1≤a≤2∴实数a的取值范围是[1，2]．18．（9分）已知实数x，y满足方程x2+y2=4，求z=2x+y的最值．【解答】解：∵圆C：x2+y2=4，∴故由圆的参数方程可设x=2cosα，y=2sinα，∴2x+y=4cosα+2sinα=2sin（α+β），其中tanβ=2，∴2x+y的最大值为：2，最小值为：﹣2．19．（9分）已知椭圆C焦点在x轴上，短轴长为2，离心率是．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于AB两点，直线AB的方程是y=x+1，求弦长|AB|．【解答】解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则2b=2，即b=1，又e=，即=，又a2=1+c2，解得，a=2，c=．则有椭圆方程为：；（2）联立直线y=x+1和椭圆方程，消去y，得到5x2+8x=0，解得，x=0或﹣．即有交点A（0，1），B（﹣，﹣）．则弦长|AB|==．20．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈[0，1]，f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．f（x）≤1⇔ax2+x≤1，x∈[0，1]…①当x=0时，a≠0，①式显然成立；当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈[1，+∞），则有a≤t2﹣t，所以只须a≤（t2﹣t）min=0⇒a≤0，又a≠0，故a＜0综上，所求实数a的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：∵f（x）≤1，∴ax2+x≤1，x∈[0，1]…①（1）当x=0时，a≠0，①式显然成立；（2）当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈[1，+∞），则有a≤t2﹣t，所以只须a≤（t2﹣t）min=0∴a≤0，又∵a≠0，∴a＜0．故答案为：（﹣∞，0）．21．（11分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

湖南省衡阳市第八中学2020学年高二数学上学期期中试题理

2020年下学期衡阳市八中高二期中考试试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．一、单选题 1．命题“若,则且”的逆否命题是( D )A ．若,则且B ．若,则或C ．若且,则D ．若或,则2已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为( C )A ．B ．C ．D ．3．下列命题错误的是（B ） A ．命题“ ，”的否定是“，”;B ．若是假命题，则，都是假命题C ．双曲线的焦距为D ．设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且4．与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( D ）A ．B ．C ．D ．5．已知.若“”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ． (1，+∞) B． (－∞，3) C ． (1，3) D ．6．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（ A ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．7．方程())231310x y x +--=表示的曲线是( D )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线 8．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ C ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 49．如图，空间四面体的每条边都等于1，点，分别是，的中点，则等于（A ）A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆2213216x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，()2,2B ，M 为椭圆上的动点，则1MF MB +u u u u r u u u r 的最小值为（B ）A ． 42B ． 62C ． 4D ． 611．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线AD ,CE 所成角的余弦值为（C ）A ．B ．C ．D ．12．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为（D ） A ．2 B ． 2 C ．23． 2或3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBDCADCABCD二、填空题13．已知O 为空间任意一点，A,B,C,D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++uu v uu u v uu u v uuu v,则234x y z ++=__________；【答案】-114．有下列几个命题:①“若a b >,则22a b >”的否命题;②“若0x y +=,则x ,y 互为相反数”的逆命题;③“若24x <,则22x -<<”的逆否命题;④ “若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题; 其中真命题的序号是_____. 【答案】②③④ 15．15．已知点在椭圆22143y x +=上，则的最大值为___________；【答案】4 16．已知椭圆上一点A 关于原点的对称点为点为其右焦点，若,设,且，则椭圆的离心率的取值范围为______________【答案】三、解答题 17．已知，已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：“函数在上为单调增函数．若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】或【试题解析】若为真命题，则解得若为真命题，则即,若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假.当时，由得 ,当时，由得综上，实数的取值范围是或18．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)或；(2).（1）设，则由题可知解得或所以或.（2）因为向量与向量共线，所以.又，，所以，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为.19．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且45MD PD =. （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的长度. 【答案】（1）2212516x y +=.（2）415. （1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()','x y ，由已知得'{ 5'4x xy y==.∵P 在圆上，22''25x y +=，即225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，即C 的方程为2212516x y +=. （2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8∴线段AB 的长度为 ()()()22212121216414114125255AB x x y y x x ⎛⎫=-+-=+-=⨯= ⎪⎝⎭.∴直线被C 所截线段的长度为415. 20．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为，，，所以，，在中，，，，由余弦定理可得：解得：所以，所以是直角三角形，又为的中点，所以又，所以为等边三角形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.所以，，. 设为平面的法向量，则，即设，则，，即平面的一个法向量为，所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.21．已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.（1）求双曲线的方程； (2)过圆上任意一点作切线l 交双曲线于两个不同点，中点为，若AB ON λ=，求实数λ的值.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】：（1）根据已知条件得，∴焦点坐标为，∵轴，∴在直角三角形中，，解得，于是所求双曲线方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时， 2.λ∴=②当直线的斜率存在时，设的方程为切线与的交点坐标为，于是有消去化成关于的二次为.∵为的中点，∴即坐标为则，又点到直线的距离为，.代入得：，，故. 2.λ∴=22．已知抛物线C ：22y px =（0p >）与椭圆C '：22151416x y +=相交所得的弦长为2p （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）设A ，B 是C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且αβ+为定值θ（tan 2θ=）时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22y x =；（Ⅱ）直线AB 恒过定点()2 , 1-．【解析】（Ⅰ）设抛物线()2:20C y px p =>与椭圆2215':1416x y C +=交于()11 , M x y ，()22 , N x y ()120 , 0y y ><两点．由椭圆的对称性可知，1y p =，2y p =-，将点()1 , M x p 代入抛物线()2:20C y px p =>中，得12px =，再将点 , 2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆2215':1416x y C +=中，得221521416p p ⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得1p =．故抛物线C 的标准方程为22y x =．（Ⅱ）设点()33 , A x y ，()44 , B x y ，由题意得34x x ≠（否则αβπ+=，不满足tan 2θ=），且30x ≠，40x ≠，设直线OA ，OB 的方程分别为y kx =，y mx =()0 , 0k m ≠≠，联立22y kx y x=⎧⎨=⎩，解得322x k =，32y k =，联立22y mx y x =⎧⎨=⎩，解得322x m =，32y m =；则由两点式得，直线AB 的方程为222222222y x m m k m k m --=--．化简得()22mk ky x k m m k m m =+-++．①因为2πθ≠，由αβθ+=，得()tan tan tan tan 21tan tan 1k m km αβθαβαβ++=+===--，得212mk m -=+，②将②代入①，化简得()()()22222211m m m y x m m m m --=+-++，得()()22221121m m m y x m m -+=+++．得()()2222221121m m m m m y x m m --++=+++，得()()()22221121m m m m y x m m --=++++，得()()()222121m m y x m -=+++，即()()()221221m my xm--=++．令20x+=，不管m取何值，都有1y=．所以直线AB恒过定点()2 , 1-．考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.。

湖南省衡阳市第八中学2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

2020学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文科）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．下列语句中哪个是命题 A ．张三是“霸中”学生啊！ B ．张三在八中学习快乐吗？ C ．张三可以考上清华大学D ．张三高考数学成绩不超过 150 分 2．“0x >”是“10x +>”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 3．已知命题，，则为 A ．，=5 B ．∀x ∈R ， C ．，=5 D ．，≠54．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离 A ．2 B ．3 C ．5 D ．75．函数f （x ）=﹣x 2+在x=1处的切线的斜率为 A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．16．已知双曲线的一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直，则它的离心率为 A ． B ． C ． D ．17．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．已知函数()cos 1x f x x =+， ()f x 的导函数为()'f x ，则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2π-B ．1π-C ．πD ．2π9．P 是椭P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM 的中点的轨迹方程为 A ． B ． C ． D ．10．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 A ． B ． C ．6 D ．1011．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若，则 A ．6 B ．4 C ．3 D ．212．P 为椭圆上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则A ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值B ．直线PA 1与PA 2的斜率之和为定值2C ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值D ．直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值2二、解答题13．已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x+y=3有整数解．（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p 和q ；（Ⅱ）判断命题“（￢p ）∧q”的真假，并说明理由． 14．已知函数()2ln .f x x x = （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图像在1x =处的切线方程.15．设命题p ：对任意实数x ，不等式220x x m -+≥恒成立；命题q :方程221(0)x y t m t m-=>-表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围.16．已知点A （﹣，0）和B （，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2．（1）求点C 的轨迹方程；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（2）点C的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D、E两点，求线段DE的长．17．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆224x y+=相切.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点,A B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则7OA OB⋅=-u u u r u u u r”，请判断命题P的真假，并证明.18．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.三、填空题19．命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：_____．20．已经抛物线方程y2=4x，则其准线方程为_____．21．函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．22．已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F,点P在椭圆C上，线段2PF 与圆：222x y b+=相切于点Q，若Q是线段2PF的中点，e为C的离心率，则223a eb+的最小值是______________2020学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文科）试题数学答案参考答案 1．D 【解析】【分析】根据命题的定义可以得到正确答案. 【详解】命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D. 【点睛】本题主要考查了命题的概念，属于容易题. 2．B【解析】“10x +>”即为“1x >-”。

湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二上学期六科联赛数学(文)试题Word版含解析

湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二上学期六科联赛数学（文）试题请注意：时量：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果，那么；④若，则。

其中，真命题有A. ①B. ①③④C. ①④D. ①②③④2.若运行右图的程序，则输出的结果是( ).A. 4B. 13C. 9D. 223. 下列四个命题中，假命题为（）A. ，使成立B. ，使成立C. ，均成立D. ，均成立4.抛物线的焦点到准线的距离是( ).A. B. C. D.5.椭圆上的一点到左焦点的距离为2，是的中点，则为（）A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）．A. B. C. D.7.函数的单调递减区间是( ).A. B. C. D.8.双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）A. -B. -4C. 4D.9.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A. B. C. D.10.已知抛物线C:，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PA PB”的( )条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要11.双曲线：（，）的焦点为、，抛物线：的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为（）A. B. C. D.12.设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( ).A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“”是“”的_____________条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.）14.已知双曲线的左、右顶点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．15.在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大.16.已知函数,若,则的取值范围是____________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．18.已知且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数，不等式恒成立.（1）写出命题的否定，并求非为真时，实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.19.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.20.已知函数，．（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证21.已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.22..已知函数.（1）求过点的图象的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；（3）当时，均有恒成立，求的取值范围.湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二上学期六科联赛数学（文）试题参考答案请注意：时量：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果，那么；④若，则。

衡阳市第八中学2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题

湖南省衡阳市第八中学2019—2020学年高二数学上学期第二次月考试题注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．下列命题是真命题的是（）A ．x ∀∈R ，20x > B ．0x ∃∈R ，020x < C ．0x ∃∈R ，200x ≥ D ．x ∀∈R ,21x≥2．i 是虚数单位,复数31ii +-的虚部(）A ．2B ．—2C ．i 2D ．i 2-3．“04x <<”是“2log 1x <"的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．长轴长为8，以抛物线2121x y =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）A ．1645522=+y xB ．1642822=+y x C ．1251622=+y x D ．116722=+y x5．曲线xe y -=在点()0,1处的切线方程为(） A ．10x y ++= B ．10x y --= C ．10x y -+= D ．10x y +-=6．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的渐近线方程为（)A ．23y x =±B ．22y x =±C ．y = D ．y =7．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的不同排法有（） A ．20种 B ．24种 C ．30种 D ．40种8．若()6622106...32x a x a x a a x ++++=-，则621...a a a +++等于(）A ．1-B ．1C ．64-D ．63-9．已知F为抛物线2:2C y x =的焦点，点E在射线1:(0)2l x y =-≥上，线段EF 的垂直平分线为直线m ，若m 与l 交于点13,24Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，m 与抛物线C交于点P ，则PEQ ∆的面积为（） A ．2B ．25C ．2514D ．3210．已知正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒11．已知B A ,分别为椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的左、右顶点，不同两点QP ,在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为n m ,，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为()A B ．3C ．12 D12．函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同零点1x ,2x ,函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点3x ，4x ,且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（)A ．143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．144e -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．(,3)-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-,则m =__________14．已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线,l 与圆()222a y c x =+-(其中222ca b =+)相交于,A B 两点，若AB a =,则C 的离心率为__________．15．已知，如图，在60︒的二面角的棱上有A B 、两点，直线AC BD 、分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直AB ,已知4,6,8AB AC BD ===，则CD =__________．16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围_______。

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2019-2020 学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则下列说法中正确的是()A ．命题是假命题B ．命题是真命题C ．命题是真命题D ．命题pq是假命题【答案】C【解析】由复合命题的真假判断．【详解】命题 p 为真命题.命题 q 为假命题，命题 p q 为真命题，命题 p q 是假命题， q 为真命题，命题pq是真命题，所以 C 正确．故选：C.【点睛】本题考查复合命题的真假，掌握复合命题的真值表是解题关键．2．已知变量 x 与 y 负相关，且由观测数据算得样本平均数数据算得的线性回归方程可能是（）x=1.5，=5，则由该观测A ．C ． y ˆy ˆ0.8 x 6.20.6 x 4.1B ．D ． y ˆy ˆ0.5 x 80.6 x 5【答案】A【解析】先由变量负相关，可排除 D ；再由回归直线过样本中心，即可得出结果. 【详解】因为变量 x 与 y 负相关，所以排除 D ；又回归直线过样本中心( x , y )，A 选项，y ˆ0.8 x 6.2过点 (1.5,5) ，所以 A 正确；B 选项， y ˆ0.5 x 8不过点(1.5,5)，所以 B 不正确；C 选项， y ˆ0.6 x 4.1不过点 (1.5,5)，所以 C 不正确；p q p q p q y故选A 【点睛】本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.3．椭圆2x23y26的长轴长是（）A．2B．3C．22D．23【答案】D【解析】先把椭圆方程整理成标准方程，再根据椭圆的性质可知a的值，进而求得椭圆的长轴长．【详解】整理椭圆方程2x2+3y2＝6得x2y2132，∴a 3∴长轴长为2a 23．故选：D．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．在解决椭圆问题时，一般需要把椭圆方程整理成标准方程，进而确定a，b 和c．4．已知随机事件A，B中，A与B互斥，且PA0.3，PB0.4，则P A B ()A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C【解析】由互斥事件概率加法公式计算．【详解】因为P B0.4，又PA0.3，A与B互斥，所以PA B P A P B0.30.40.7，故选：C.【点睛】本题考查互斥事件的概率公式，属于基础题．5．曲线y x33x上切线平行于轴的点的坐标是( )A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2或2x【答案】D【解析】求出导数，由导数等于0，可求出切点坐标．【详解】由题意y 3x 23，由y 3x230得x1，x 1时，y2，x1时，y 2，∴所求切点坐标为(1,2)和(1,2)．故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．6．已知点A 0,2，B2,0.若点C在抛物线y2x上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为（）A．1【答案】DB．2C．3D．4【解析】由题意可得AB 22，AB的方程为x y1，C(m222,m)，求出点C到AB的距离d的值，再代入面积公式得1|m2m 2|22222，由此求得m的值，从而得出结论．【详解】由题意可得AB 22，AB的方程为x y1，即x y 20 22．设点C(m2,m)，则点C到AB的距离d | m2m 2|2．由于ABC的面积为2，故有1| m2m 2|22222，化简可得|m2m 2|2，m2m 22①，或m2m 22②．解①求得m 117117或m ；解②求得m 022或m1．综上可得，使得ABC的面积为2的点C的个数为4.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．7．已知正四棱柱ABCD A B C D 中，AA 2AB，E为AA中点，则异面直线BE111111与 C D 所成角的余弦值为( )1A ．1010B ．1 5C ．3 10 10D ．3 5【答案】C【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900 ,故选 C.取 DD 中点 F ，则FCD 1为所求角, cos FCD12 5 123 10 ，选 C. 2 2 5108．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 y 曲线的离心率是（）2 x，则该双A ． 3B ． 5C ． 5 或62D ． 3 或62【答案】D【解析】分为焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情形，由渐近线的方程得 ba的值，结合e 21b a 22可得离心率的值. 【详解】依题意，双曲线的焦点在 x 轴上时，设它的方程为x 2 y 21(a 0，b 0) ； a 2 b 2由渐近线方程为 y2 x，得 b a 2 ，故 e 2 b 2 1 3 ，即 e 3 ， a 2焦点在轴上时，设它的方程为y 2 x 2 1(a 0，b 0) ，a 2b 2由渐近线方程为 y2 x，得ab2b 2 3，故 e 21，即 e a 2 26 2，故选 D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握e 21b a 2 2是解题的关键，属于中档题.9．已知函数yxf '(x )的图象如图所示，其中f '(x ) 是函数 f (x )的导函数，则函数y f ( x )的大致图象可以是（）12 2 yA ．B ．C ．【答案】A【解析】【详解】D ．分析：讨论 x ＜﹣1，﹣1＜x ＜0，0＜x ＜1，x ＞1 时，fx的正负，从而得函数fx的单调性，即可得解．详解：由函数yxf x的图象得到：当 x ＜﹣1 时，f ′（x ）＜0，f （x ）是减函数；当﹣1＜x ＜0 时，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数；当 0＜x ＜1 时，f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数；当 x ＞1 时，f ′（x ）＜0，f （x ）是减函数．由此得到函数 y=f （x ）的大致图象可以是 A ．故选 A ．点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基础题．10．4 个高矮互不相同的同学站成前后两排，每排 2 人，则后排每个同学都高于站在他正前面的同学的概率为()A ．1 4B ．1 6C ．1 8D ．112【答案】A【解析】四人排队共有 24 种排法，按题中要求，把位置编号 ABCD ，如图，先排 AC ，用列举法得共有 6 种可能，剩下 2 人排 BD 只有一种可能，由此可得符合要求的排法，从而计算出概率．【详解】由题意：记四个人分别为1，2，3，4，其中数字越大代表人越高，A CB D如图所示，填写ABCD四个空格，则基本事件的总数为432124，不妨先从四人中选两个人填好AC两格，总的填法有111223，，，，，（其中234344分子为前排，分母为后排）共6种，而当AC填好之后，剩下的BD将被唯一确定下来，故由古典概型可知：P 61 244.故选：A.【点睛】本题考查古典概型，求出排法数是解题的关键．为此采取的是分步进行．11．若a 33，b 55，c 66，则()A．C．a b cc b aB．D．c a bb a c【答案】C【解析】构造函数fx ln xxx e，由导数证明它是单调减函数，然后由单调性可比较题中各数大小．【详解】令fx ln x1ln xx e，则f'x 0x x2，∴函数f x在e,上单调递减，∴ln3ln5ln6356，即111ln33ln55ln66，即a 33b 55c 66.即a b c.故选：C.【点睛】本题考查根式（幂）的大小比较，解题关键是构造函数，利用函数的单调性比较大小．f x函数，此时f x所有的原函数为Fx C ，其中C为常数，如：g'x2x，则gx x 2C（C为常数）.现已知函数fx 的导函数为f'x且对任意的实数x都有 f 'x e x 2x 3f x（e是自然对数的底数），且f1，若关于x的不等式f x m 0的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是()A．e2,0B．e2,0C．e,D．e,0【答案】C【解析】把已知等式 f 'xe x 2x 3f x变形为ex f'x f x 2x3，即[e x f(x)]2x 3，由此根据所给材料可求出f(x)，然后再由导数研究f(x)的单调性，极值，对应的函数值，作出函数图象，得出结论．【详解】由等式f 'xe x 2x 3f x，可得f 'x f x ex 2x3，即e x f 'x f x 2x 3，即e x fx'2x 3x 23x C'（C为常数），∴e f x x 3x C，则f x x23x Ce x，∴f0C1，因此，fx x23x 1e x，f 'x2x 3x 23x1e xx2x 2e x，令f 'x，得x 2或x 1，列表如下：x ,2-22,111,f 'x -0+0-mx2fx]极小值Z极大值]函数y fx 的极小值为f2e2，极大值为f15e，且f1e，作出图象如图所示，由图象可知，当x 0时，f x 0.另一方面f 01，f 3e 3，则f0f3，由于函数y fx在直线y m下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，m f 由图象可知，这两个点的横坐标分别为-2、-1，则有m 0e,0因此，实数m的取值范围是，1，解得e m 0，故选：C.【点睛】本题考查学生的阅读理解能力，应用能力，考查用导数研究函数的单调性、极值，利用数形结合思想确定不等式的解的情况．属于中等题．二、填空题13．若函数f x l n 2019x，则f'1______.【答案】1【解析】直接求出导函数，然后求导数．【详解】fx l n 2019x ln2019ln x，∴f (x)1x，∴f (1)1．故答案为：1.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题．14．设r ra 1,2,3，b x,1,0，且r r ra a b，则实数x ______.【答案】12【解析】由向量垂直得向量的数量积为0，由数量积坐标运算可得．【详解】r r r r a1,2,3，b x,1,0，故a b1x,1,3，故 r r r a a b1 x2 9 0，∴ x 12.故答案为：12.【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．15．已知直线y kx 1与双曲线x 2 y 2 4 31的右支交于两点，则实数 k的取值范围为______.3【答案】 1,【解析】把直线方程与双曲线方程联立方程组，消去 y 后要得到关于 x 的一元二次方程，此方程有两个不等的正实根，由二次方程根的分布知识可求解．【详解】由题意联立直线与双曲线y kx 1 3x24 y 21234k 2x 28kx 16 0，34k 2由题意可知：x x 0 1 2xx 0123) .故答案为： (1, 21k32，【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，本题是用方程的思想求解，也可通过数形结合思想求解．16．若实数 a ， b ， c ， d3 16 a 2 9 c满足1 ，则4b da cb d的最小值为______.【答案】 2 2【解析】已知条件变形，利用几何意义得点P a,b是椭圆x 2 y 21 16 9在 x 轴上方半个椭圆上的点，Q c,d 是直线y 9x上的点，问题转化为求PQ．求出椭圆min22 2x2y21169在x轴上方半个椭圆的平行直线y 9x的切线即可得．【详解】∵316a29c1，即b4b d3a2b216a21b 04169，d 9c，∴点Pa,b是椭圆x2y21169在x轴上方半个椭圆上的点，Q c,d是直线y 9x 上的点，∴PQ acb d，要使PQ最小，当且仅当过椭圆y 9x线与平行时可得x2y21169在x轴上方半个椭圆上的点Pa,b处的切33由b 16a2(16a2)4411 得31b (16a2)4212(2a)3a416a2，由3a416a21得，a169，∴b ，即切点为55169( ,)55，∴PQmin169955222．故.答案为：22.【点睛】本题考查最小值问题，解题方法是利用几何意义转化已知条件，及所求最小值．然后由直线和椭圆（上半个）相切得出结论．三、解答题17．设命题p：实数x满足x a x 3a，其中a 0，命题q：实数x满足x25x 6 0.（1）若a 1，且为真，求实数的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.22p q x【答案】（1）2,3；（2）1,2.【解析】先求出命题 p , q 对应的 x 的范围（集合），（1） p q 为真，即 p , q 均为真，求交集即可；（1）由必要不充分条件，得出集合的包含关系，从而可得．【详解】p ：实数 x 满足 x 24a x 3a 20 ，其中 a 0 ，解得 a x 3a .命题 q ：实数 x 满足 x 25 x6 0 ，解得 2 x 3.（1） a 1 时，：1x 3.p q 为真，可得 p 与 q 都为真命题，1x 3 则2 x 3，解得2 x3 .所以实数 x 的取值范围是 2,3 .a 2 （2）∵ 是的必要不充分条件，∴3 3a解得 1 a 2 .，且 a 0 ，∴实数 a 的取值范围是1,2.【点睛】本题考查复合命题的真假和必要不充分条件，由必要不充分条件与集合包含之间的联系易得结论．18．已知抛物线 C ：y 22px(p 0)过点M 4, 4 2 .1求抛物线 C 的方程；2设 F 为抛物线 C 的焦点，直线 l ：y 2x 8与抛物线 C 交于 A ，B 两点，求 V F AB的面积．【答案】（1）y 2 8x；（2）12【解析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．【详解】（1）因为抛物线C : y 2 2 px ( p 0)：过点M 4,4 2 ，pq p所以428p 32，解得p 4，所以抛物线C的方程为y28x．（2）由抛物线的方程可知F 2,0，直线l:y 2x 8与x轴交于点P4,0，联立直线与抛物线方程y 2x 8y28x，消去x可得y24y 320，所以y 8,y 412，所以SFAB11PF y y 2121222，所以FAB【点睛】的面积为12．直线Ax By C 0与抛物线y22px的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去y（或x）得到关于x（或y）的方程a x2bx c 0，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．19．已知函数f x x3ax2bx c，当x1时取得极大值7，当x 3时取得极小值.（1）求fx 解析式及fx的单调增区间；（2）求f x 在4,4的最小值.【答案】（1）fxx 33x29x 2，,1，3,；（2）-74.【解析】（1）求出导函数，由f (1)0, f(1)7, f (3)0可得a,b,c，从而得函数解析式，分析导函数的正负可得单调区间．（2）由（1）可得函数在[4,4]上单调性，求出极小值和区间端点处函数值比较后可得最小值．【详解】∵f x x 3ax 2bx c，∴f 'x3x 22ax b，∵当x1时函数取得极大值7，当x 3时取得极小值，∴x1和x 3是方程f 'x的两根，1213有b1332a3，∴a 3，b9，∴f x x 33x 29x c.∵当x1时，函数取极大值7，∴1331291c7，∴c 2，f x x 33x 29x 2，令 f 'x3x 26x 9 0 x1或x 3 ，故增区间为,1，3,（2）由（1）可知，fx在4, 1递增，在1,3递减，在递增，故fx的极小值为f 325，而f474，故f x的最小值为f474.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值、最值．掌握导数与单调性的关系是解题关键．20．如图，在四棱锥 S ABCD 中，SASD 的中点．SA 1 ，点 M 是底面ABCD ，ABCD是边长为1 的正方形．且（1）求证： SCA M ；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2） 45 o.【解析】（1）证明出 AM平面 SCD ，由直线与平面垂直的定义可得出 S CA M ；（2）解法一：以 AB、 AD 、 AS 为 x 、 y 、 z轴建立空间直角坐标系 Axyz ，由题uuu r 意得出平面 SAB 与平面 SCD 的一个法向量分别为 ADuuuu r、 AM ，然后利用空间向量法计算出平面 SAB 与平面 SCD 所成的锐二面角；解法二：过 S 引直线 SE ，使得 SE //AB ，可知 SE 为平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的棱，并证明出 ASS E ， SE S D ，由二面角的定义得出 ASD 为平面 SAB 与平面SCD所成的锐二面角，然后在Rt SAD计算出该角即可.【详解】SA 底面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，CD SA3,4.Q AD I SA A，\ CD^平面SAD.Q AM 平面SAD ，A M CD.又 SAAD 1 ，点 M 是 SD 的中点， AM SD ，Q SD CD D， A M 平面 SCD . Q SC 平面 SCD ，S C A M；（2）法—：由题知 AB 、 AD 、AS两两垂直，以 AB 、 AD 、AS为 x 、 y 、 z轴建立空间直角坐标系 Axyz ．则 AB 1 ， AD AS 1，则1 1D 0,1,0 ， M 0, ,，uuu rQ AD 平面 ASB ，则 AD 是平面 ASB 的一个法向量， uuu r AD0,1,0，由（1）知 AM 平面 SCDuuuu r ， AM是平面SCD的一个法向量，且1 1AM0, , 2 2，∴uuu r uuu r cos AM , ADuuu r uuu r AM AD 1 2 uuu r uuu r AMAD22，因此，平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小等于 45 o；法二：过 S引直线SE，使得SE //AB，则SE //CD，S E 平面 SAB ，棱．SE 平面 SCD ， S E 就是平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的由条件知， AB A D ，2 2uuu rAB A S，已知ASADA ，则AB 平面SAD．由作法知SE//AB，则SE 平面SAD，所以AS S E，SE S D，ASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角．在Rt SAD中，ASD 45o ，平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小等于45o．【点睛】本题考查异面直线垂直，同时也考查了二面角的求解，常用空间向量法与二面角的定义进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.x2y221．已知椭圆C:1(a b 0)a2b2的左右焦点分别为F,F121，离心率为，P是2椭圆C上的一个动点，且PF F12面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线PF2斜率为k(k 0)，且PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点T(0,t)，使得|TP||T Q|?若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x2y21(2)见解析43【解析】（1）由题可得当P为C的短轴顶点时，PF F12的面积有最大值，根据椭圆的性质得到a、b、c的方程，解方程即可得到椭圆C的方程；（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到PQ的中点坐标，要使|TP||T Q|?，则直线TN为线段PQ的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到t关于k的式子，再利用基本不等式即可求出【详解】t的取值范围。