1.1.2. 余弦定理导学案(2)
高二数学 最新余弦定理(第二课时)导学案
高二数学最新余弦定理（第二课时）导学案
1、1、2余弦定理（第二课时）
【学习目标】
1、熟练掌握余弦定理的两种表示形式；
2、会灵活运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；
【复习回顾】
1、余弦定理：（求边）（1）（2） " 错题备忘录：本节课重、难点及做错题目备忘：（3）
2、余弦定理的变形：（求角）（1）（2） " 错题备忘录：本节课重、难点及做错题目备忘：（3）
【典例探究】
例1：在中，已知，求角
A、变式练习：在中，已知求角
B、例2：在中，已知，求cos A:cos B:cos
C、变式练习：在△ABC中，已知，则
【课堂检测】
1、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是：
A、直角三角形
B、等边三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
2、。
、
【小试高考】
1、（xx上海文数）
18、若△的三个内角满足，则△（）（A）一定是锐角三角形、（B）一定是直角三角形、（C）一定是钝角三角形、 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形、2、（xx天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=
3、（xx全国卷Ⅰ理）在中，内角
A、
B、C的对边长分别为、、，已知，且求b
【布置作业】
课本P10 习题B
2、4、5、7、8、9
【反思总结】。
1.1.2余弦定理(导学案)
1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。
§1.1.2-2 余弦定理(二)
利用余弦定理判断三角形的形状：
（1）若A为直角，则a² b² = +c²
（2）若A为锐角，则a² b² < +c²
（3）若A为钝角，则a² b² > +c²
2013-1-17 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
五、作业
§1.1.2-2 余弦定理(二)
1. （2009 天津卷理）在⊿ABC 中，BC= 5 ，AC=3，
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2
一、复习 4.余弦定理及其推论：
§1.1.2-2 余弦定理(二)
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
b2 c 2 a 2 cos A 2bc 2 2 2 c a b cos B 2ca 2 a 2 b2 c cos C 2ab
定理选用
正弦定理 余弦定理
一般解法
由A+B+C=180°求角A,由正弦定 理求出b与c 由余弦定理求出第三边c，再由正 弦定理求出剩下的角 由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出 c边.可有两解,一解或无解.
两边和其中一 边的对角 (如a,b,A) 三边(a,b,c)
正弦定理
余弦定理
先由余弦定理求出其中两个角,再 利用内角和为180°求出第三个角.
sin B cos A 2sin A cos A
4 3 2 3 当 cos A 0时,A＝ ，B ，a ，b 2 6 3 3 1 2 3 △ ABC的面积为S ab sin C 2 3
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《1.2余弦定理》导学案2
«1.2余弦定理》导学案2知能目标解读1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用2. 了解余弦定理的几种变形公式及形式.3. 会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题4. 能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ AB (中, Z A ,/ B,/ C 勺对边分别为a , b , c ,那么有如下结论： a 2=b 2+c 2-2 bc cosA, b 2=a 2+c 2-2 ac cos B, c 2=a 2+b 2-2 ab cos C.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律 .也是解三角形的重要工具.注意:(1)在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一 (2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积，外接圆，内切圆等用来判定三角形的形状， 证明三角形中的有关等式， 在一定程度上, 加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形， 可以得到另外的形式, 推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理cosA=b 2 c 2 -a 2 , cosB =a 2c 2-b 2 , cosC =a 2 b 2-c 2.由上述变形，结合余弦函数的性质， 可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角,定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例二、余弦定理的证明)提供了工具，它可以 它比正弦定理的应用更 我们称为余弦定理的2bc2ac 2ab如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法,是平面向量知识在解三角形中的应用•另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明证明：方法1：（解析法）如图所示，以A 为原点，△ ABC 勺边AB 所在直线为x 轴，建立直角 坐标系•则 A (0 , 0) , C (b cos A , b si n A ) , B (c , 0),由两点间的距离公式得 B C =( b cos A-c )2+( b sin AO) 2, 即 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A. . 2 2 2同理可证 b =a +c -2 ac cos B , c 2=a 2+b 2-2 ab cosC.D,则 CD=b sin A ,AD=l cos A, BD=AB-AD=c-cos A.在 Rt △ BC 叩，BC =CD +BD ，即 a 2=b 2sin 2A +( c-b cos A ) 2 所以 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A 同理可证 b 2=a 2+c 2-2 ac cos B , c 2=a 2+b 2-2 ab cosC.则 AD=bc os A, CD=b in ABD=AD-AB=bs A-c .在 Rt △ BC 中,B C =C D +B D , 即卩 a 2=b 2sin 2A +( b cos A-c )2. 所以 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A 同理可证：b 2=a 2+c 2-2 ac cos B, c 2=a 2+b 2-2 ab cos C方法2：（几何法）如图.当厶ABC为锐角三角形时，过 C 作CDL AB 于如图，当△ AB （为钝角三角形D,时，过C 乍CD!直于AB 勺延长线,AB三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型(1)已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解 注意:在应用余弦定理求三角形的边长时， 容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的 平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件知能自主梳理1.余弦定理 (1)语言叙述:2.夹角三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形由余弦定理得， cos A =b 2 . c 2 _ a 2 = 32 . 52 _ 72 = 1 , 2bc应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题, 一类是已知两边及其 —解三角形，另一类是已知解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 a * 2+c 2-2 ac cos B a 2+b 2-2 ab cos C这两边与它们夹角的余弦两倍2 2(2) b +c -2 bc cos Ab 2c 2 a 2a 2 • c 2 -b 2a 2b 2c 22bc2ac2ab三角形任何一边的平方等于减去 的积的［例1］ 在厶AB (中，已知a =7. b =3, c =5,求最大角和sin C ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以 a 边所对角最大. ［解析］ ••• a>c >b, ••• A 为最大角,又••• 0°< A v 180°, ,\A=120 ° ,/• sin A =sin120sin C == . 3 =.csi nA 5 疋—5勺'3 27［说明］ (1)求sin C 也可用下面方法求解:(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理变式应用1在厶 AB (中，已知(b+c ) : (c+a ) : (a+b )=4 : 5: 6，求△ ABC 勺最大内角. ［解析］ 设 b+c =4k , c+a =5k , a+b =6k （k >0）. 则a+b+c =7.5 k ，解得 a =3.5 k , b =2.5 k , c =1.5 k . • a 是最大边，即角A >^ ABC 勺最大角. 由余弦定理，得COS A =匕2 . c 2 _ a 22bc 2•/ 0°< A < 180°,「. A =120°,即最大角为 120° . 命题方向 已知两边及一角解三角形［例 2］ △ AB （中，已知 b =3, c =3 . 3，/ B =30°,解三角形. ［分析］ 山亦朕」：［1吕息: ①已知两边和其中一边的对角 ②求另外的两角和另一边解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于 边长a 的方程，求出边a ，再由正弦定理求角 A ,角C.［解析］ 解法一：由余弦定理 b 2=a 2+c 2-2 ac cos B ,由正弦定理丄sin Ac 得, si nC14•••最大角A 为120°, sinC=害.14cosC=a 2 b 2 -c 2 72 32 _52 =11，2ab14SinC= .1—cos 2C1（ 11）5.3 . 14222得3 =a +(33) -2 a x 3 3 x cos30 ° ,2••• a -9a+18=0，得 a=3 或 6. 当a =3时，/ A =30°,Z C=120° . 当a =6时，由正弦定理sin A ==1=1.a sin B 6 Ka = .b 2c 2 = . 32 (3.3)2 =6. 当/ C =120°时，/ A =30°,A AB (为等腰三角形, --a=3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法: (1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,(2)直接用正弦定理，先求角再求边 .用方法⑵ 时要注意解的情况，用方法 (1)就避免了取舍解的麻烦• 变式应用2在厶 AB (中, a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 勺对边，且 cos A =〔，若 a =4, b+c =6，且 b<c ,4求b 、c 的值.［解析］ 余弦定理得2bc 4…(bc ) 2 -2bc -a 2 —丄，2bc 4又b+c =6, a =4, • bc =8.•••/ A =90° ，•/ C =60° .解法二：由 b<c,Z B =30°, b >c sin30 ° =3 3 x 〔 = 3 3 知本题有两解.由正弦定理sinC=csi nB = 33 - = -. 3，2 厂2•••/ C =60° 或 120°,当/ C =60° 时，/ A =90°由勾股定理 cosA= b 2 c 2 -a 2 = 1 运用解方程的方法求出此边长b=2c=4b=4c=2又b<c,「. b=2, c=4. 命题方向判断三角形的形状［例3］△ ABC中，已知（a+b+q（a+b-c）=3 ab,且2cos A sin B=sin［分析］由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边［解析］解法一：利用角的关系来判断.C,确定△ ABC勺形状.因此在判断三角形■/ A+B+C180°,「. sin C=sin( A+B.又T 2cos A sin B=sin C,/• 2cos A sin B=sin A cos B^cos A sin B,/• sin( A-B)=0.•/ A与B均为△ AB(的内角，•••A=B又T(a+b+c)( a+b-c)=3ab,2 2 2 2 2•- (a+b) -c =3ab, a +b- c+2ab=3ab,根据余弦定理，上式可化为2ab cos C+2ab=3ab, 解得cos C= 1 , • C=60° .2故厶AB(为等边三角形.解法二：利用边的关系来确定.由正弦定理，得sinC = c.sin B b由2cos A • sin B=sin C,得cosA= sin C = c2sinB 2b又COS A= Jb2 2 ，… =2 2 2 ,c—a c b c - a 2bc 2b 2bc即c2=b2+c2-a2,「.a=b.又T (a+b+c)( a+b-c)=3 ab,• (a+b) 2-c2=3ab,「. 4b2-c2=3b2,--b=c, - - a=b=c因此△ AB（为等边三角形［说明］判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状； 其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状•在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法 变式应用3△ AB （中，AB= 5, BG=6, AG=8，则△ ABC 勺形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断•闵为COS B = §2 . 6? . 8? =- 1 <0，所以B 为钝角，即△ AB （是钝角三角形•2 5 6 20探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a +1, a , 2a-1为钝角三角形的三边，求实数 a 的取值范围• ［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件•若是在锐角或钝角三角形中， 三边的制约条件还要更强•若厶AB （为锐角三角形，则有a 2v b 2+c 2, b 2v a2+c 2, c 2v a 2+b 2;若厶AB （为钝角三角形，最大边为 a ,则一定有a 2> b 2+c 2,这些都是可以从 余弦定理中直接推导的•［解析］ 2a +1, a , 2a -1是三角形的三边，2a +1 > 0 y a > 0 -2a -1 > 0,解得a > 1，此时2a +1最大•2•••要使2a +1, a, 2a -1表示三角形的三边，还需 a +（2a -1） >2a +1，解得a >2.2a2a-12a 2^1解得1 v a v 8, • a 的取值范围是2v a v 8.2［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件 a > 2，而直接应用余弦定理求解，从而使 a 的范围扩大.设最长边2a +1所对的角为e ,则cos 0 =. 2a _ 12_ 2a 1 2= aa -8v 0,变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2, 3, x，求x的取值范围•［解析］由三角形三边的关系有3-2 v x v 3+2，即1v x v 5.又T三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和f 2-2 _2x v 2 +3即vc2 2 ^2J 3 v x +2f-2x v 13wJ x > 5厂 5 v x2v 13即v-x > 0解得5 v x v13，••• x的取值范围为(5 ,13).名师辨误做答［例5］在厶AB(中，/ C=2Z A, a+c=10, cos A= 3，求b.4［误解］由正弦定理，得c = si nCa sin A又•••/ C=2Z A,•c=sin2A=2cos A=2x 3 = 3，a si nA 4 2又a+c=10,•a=4, c=6.由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cos代2•b-9 b+20=0,•b=4或b=5.「別吾斤1 运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断6 6a sin A又•••/ C =2Z A ,二 c =sin2A =2cos A =2x 3 = 3，a si nA4 2又a+c =10,「. a =4, c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2 bc cosA, •••b 2-9 b+20=0,/• b =4或 b =5.当b =4时，T a =4,「./ A =Z B , 又/ C =2/代且/ A +Z B +Z C =n ,• / A = -•，这与已知cos A = 3矛盾，不合题意，舍去.4 4当b =5时，满足题意，• b =5.课堂巩固训练一、选择题1. 在厶 AB (中，若 avbvc,且 c 2<a 2+b 2，则△ AB (为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在［答案］ B［解析］ •/ avbvc,且c 2<a 2+b 2,「.Z C 为锐角.又T Z C 为最大角.故选B.2. △ ABC 勺内角A 、B 、C 勺对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足b 2=ac ,且c =2a ，则cos B=(B. 34D. _23［答案］A.(0 ,「由正弦定理，得c - sin C ， A.C.［解析］3.(2011由b 2=ac ,又c =2a ,由余弦定理，得cos B= 2 a2ac-四川理，6)在厶 AB (中, sin 2A < sin 2B +sin 2Gsin B sin C,c 2 -b 2 a 2 4a 2 - a 2a2a 2a则A 的取值范围是(38［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，T sin 2A W sin 2由sin 2G sin B sin C, •••由正弦定理得：a 2w b 2+c 2-bc ,即b 2+c 2-a 2> be ,由余弦定理得：cos A =「222 >b +c - a=1，…0<Aw -.,故选 C.23二、填空题 4.已知三角形的两边长分别为 4和5,它们的夹角的余弦值是方程2X 2+3X -2=0的根，则第三边的长是 _______________ . ［答案］,21［解析］ 解2x 2+3x -2=0 ,得 x i = 或X 2=-2(舍去).5. 在厶AB （中, a=b +2, b=c +2,又最大角的正弦等于2［答案］ 3, 5, 7［解析］ T a-b =2, b-c =2,「. a>b>c,•••最大角为Asin A =门，若A 为锐角，贝U A =60° , X,C<B<A 二A+B+C 180 °，这显然不可x 3能，• A 为钝角• --cos A =- 1 ,2设c=x ，贝U b=x +2, a=x +4. (X)2+(x + 2 f -(x + 421，2x(x+2)2• X =3，故三边长为3, 5, 7. 三、解答题22..2bc2bc•••夹角的余弦值为“，根据余弦定理得第三边长为3，则三边长为36. 在厶AB(中，已知b-bc-2c=0，且a=、6，cos A=7，求△ AB啲面积.82 2［解析］ • b - bc -2 c =0,. • ( b ) - b -2=0 ,ca 2=b 2+c 2-2 bc cos A ,即 b 2+c 2- 7 bc =6，与 b =2c4联立解得 b =4, c =2. • cos A = 7 ,8:SinA = J-cos 2A = J5， • S A ABC = 1 bc sin A = 〔5 .2课后强化作业、选择题［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bc cos A =b 2+c 2- a 222 2• 2 X 5 X 5 3 xcos30 ° = 5 + (53) -a ,• a 2=25,. a =5. 2.在厶 AB (中，已知 a 2=b 2+c 2+bc ,［答案］• cosA =b 2 c 2 -a 2 == b 2 c 22bc又• 0<A < n , • A=2二.3［答案］ C 解得b =2,即b =2c .由余弦定理，得 1.在厶AB 中, b =5, c =5 3， A =30° ，则a 等于（ A.5B.4C.3D.10A.B.C.D.-或则角A 为（［解析］2 . 2 2 .• a =b +c- b 2 - c 2 2bc-bc3.在厶 AB （中，若 a =、3+1' b = ...3-1，c = .. 10，则厶ABC 勺最大角的度数为（）A.60B.90C.120D.150°［解析］ 显然10 >、3+1>3-1，3又 b 2+c 2- a 2=2bc cos A , • 2bc cos A =- 2 bc ,• cosA =- ,2，2• A =135° . 则ab 的值为（［答案］丄 c °2“+i2+（屈—i2 一（局 2 =「三=2.3 1 • 3 -11 ,••• C=120°2q =(b-a , c-a ).右p // q ,则/ C 的大小为（ ）A.B.C.D.Ji n n2 6323［答案］ B［解析］••• p =(a+c , b ) ,q ：=(b-a , c-a )且p / q ,•- (a+c )( c-a )- b ( b-a )=0 , 即 a 2+b 2- c 2=ab ,• cosC =a 2 b 2 _c 2 =2b =1.2ab 2ab 2• C =二.35.在厶 AB （中，已知 2a 2=c 2+（ 2 b+c ）2，则/ A 的值为（ A.30 ° B.45 ° C.120 ° ［答案］ D［解析］ 2 2 2 2由已知得 2a =c +2b +c +2 2 bc ,. 2 2,2, …a=b +c +2 be ,)D.135.2 2 2b +c - a、2 bc，6.(2011 •重庆理, 6）若厶ABC 勺内角A B 、C 所对的边a 、 b 、c 满足(a+b ) 2-c 2=4,且 C =60°,A. 4B. 8-43C.1D.23［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用4. △ AB 啲三内角A 、B C 所对边长分别为 a , b , c ,设向量 p =(a+c , b ),2 2 2 2 2.••(a+b ) -c =a +b -c +2ab =3ab =4,「. ab = 4，选 A.37.在厶AB (中，三边长AB=7, BO 5, AG 6,贝U 忑• BC 等于()A.19B.-14C.-18D.-19［答案］ D［解析］ 在厶 AB (中 AB=7, BO 5, AO 6, 则COS B =49 25 _36 =19 .2 5 7 35又 AB • BC- AB 「丨 BC 1 cos( n -B)358.在厶 AB (中，若△ AB 啲面积 S =1 ( a 2+b 2- c 2)，则/ C 为( )4A.二B.二(.二D.二4632［答案］ A［解析］ 由S = 1 (a 2+b 2- c 2), 得 1 ab sin (= 1 x 2ab cosC,. tan (=1，二(=42 4 4、填空题9. ___________________________________________________________ 在厶 AB (中, b =4，c =2,2，A =45°，那么 a 的长为 ______________________________________32.10 3由余弦定理，得 a 2=b 2+c 2-2 bc os A =16 +8-2 x 4 x 2 2 x 2 =16 +893 ~T 916 72 48 = 40，所以 a =2 . 10 .9 93［答案］3 321ABBCI cos B=-7X 5X19 =-19.［答案］兰=310.在厶 AB (中, AB=3, BO 〔3 ,AO 4,则边A(Z 上的高为［解析］如图，COS A = 32 V 2 -、132 =丄，2 3 42••• sin A=仝.2［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-ac ,•' b 2=ac ,222• a +c -2ac =0,「.（a-c ） =0, • a=c .又••• B=60°,「. A=C =60° . 故厶AB （为等边三角形. 三、解答题13. 在△ AB （中, A+C =2B, a+c =8, ac =15，求 b .［解析］ 解法一：在△ AB （中，由 A+（=2B, A+B+C 180 °，知 B =60 由a+c =8, ac =15，则 a 、c 是方程 x 2-8x +15=0的两根. 解得 a =5, c =3或 a =3, c=5.• BD =AB- sin A = 311. 在厶AB （中，已知BC =8, AC =5,三角形面积为12,则cos2C = ［答案］7 25由题意得 S A ABC = 1 AC- B@in C =12,即 1 x 5X 8X sin C =12，则 sin C = 3252• cos2 C =1-2sin C =1-2 x （5 2512. 在厶 AB （中, B =60 b 2=ac ,则三角形的形状为22 2 2由余弦定理，得 b =a +c - 2ac cos B =9+2 5-2 x 3x 5X 〔 = 19.2 ••• b= 19. 解法二：在△ AB (中, v A+G=2B , A+B+C 180°, • B =60° . 由余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c ) 2-2ac -2ac cos B =82-2 x 15-2 x 15 x 〔= 19. 2• b = ,19. 14.(2011 •大纲文，18) △ AB 啲内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , a sin A+c sinG 2 a si n C =b sinB. (1)求 B ； ⑵ 若A =75°， b =2,求a ，c . ［分析］利用三角形正弦定理， 将已知条件a sin A +c sin G a sin C =b sin B 中的角转化为边, ［解析］ (1) ■/ a sin A +c sin C- ? a sin C =b sin B 2 2 • a +c -22 ac =b…a +c -2b =、，2ac再利用余弦定理即可求得 B 角，然后再利用正弦定理求得 a , c 的值.• cos B = 2 2 . 2a +c -b=2ac = 2 2ac 2ac 2 • B =45°(2)由(1)得 B =45° • C =180° -A-B =180° -75 ° -45 ° =60 由正弦定理 a = b = csin A sinB sinC a= bsin A sin B 2 sin75 sin 45 J 6 +V 2 后 2 -4 2 c = bsin C sin B2 sin 60 = sin 45［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用•15.在厶AB(中，A=120°，b=3, c=5.(1)求sin B sin C;⑵求sin B^sin C［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sin B, sin C［解析］⑴T b=3, c=5, A=120 ° ,•••由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cos A=9+25-2X 3X 5X (- i )=49.2•取正值a=7.由正弦定理，得sin B=bsin A = 3 32a7 3、314sin C=csinA 5.3a _ 4• sin B - sin C= 45 .196⑵由(1)可得sin B+sin C= 4 3716.已知三角形的一个角为60°,面积为10 . 3cm2,周长为20 cm,求此三角形各边长［解析］设三角形的三条边长分别为a, b, c, B=60°,则依题意，得a+b+c=20cos60° =a2c2 -b22ac1 ac s in60< 1=10.3 ,2a+b+c=20，①.2 2 2b =a +c -ac，②ac=40.③2 2 2 2由①式，得 b = : 20-( a+c): =400+a+c+2ac-40( a+c).④将②代入④，得400+3ac-40( a+c)=0 ,再将③代入④，得a+c=13.a+c=13，得ac=40 a=5，或c=8b=7.该三角形的三边长为 5 cm , 7 cm , 8 cm.(2)公式表达:2a =b2=⑶变形:cos A=cos B=cos C=2.余弦定理及其变形的应用。
数学学案 编号40 1.1.2 余弦定理
山西大学附中高一年级（下）数学学案 编号401.1.2余弦定理一．学习目标：1.能理解用向量法证明余弦定理的过程，并了解从其他途径（向量法、三角法）证明余弦定理.2.能应用余弦定理及其推论解三角形.二、知识导学（1）上节回顾1）正弦定理：在一个三角形中，各 和它所对角 的比值相等，即 = = =（ ）2）正弦定理的应用：①已知三角形的 ，可以求三角形的其他元素；②已知三角形的，可以求三角形的其他元素；（2）本节导学 问题1：在ABC ∆中，已知,3=AB ︒==60,2A AC ,如何求BC ？问题2：在ABC ∆中，已知,c AB =A b AC 以及角,=, 如何求BC ？同理可得：=2b =2c 上面这三个等式称为余弦定理 (文字描述为) ：提出质疑：1、2、3、思考：你还有其他方法证明余弦定理吗?试试看！问题3：观察余弦定理结构：A bc c b a cos 2222-+=,指明了三边长与其中一角的具体关系,公式中涉及 个量，应用方程的思想可得：已知其中 个量，可求的剩余一个量。
特别的，A B C a b c若已知三角形的三边c b a ,,，可求得即：=A cos ; =B cos ;=C cos ;----------------余弦定理的推论.三、知识导练1.(1)在ABC ∆中，︒===60B 2,BC 1,AB ,则AC= . 变式：在ABC ∆中，已知,3=a ，23sin ,2==C b ,则=c . (2)在ABC ∆中，已知,7=a ，6,10==c b ，则=B cos . 思考：应用余弦定理及其推论，可以解决那类解三角形的问题？2. 已知ABC ∆中,︒====45,22-6,3,2A c b a ，解这个三角.探究：在解三角形时，已知三边和一个角的情况下，求另一个角，既可以用余弦定理的推论，又可以用正弦定理，通过上面例题的学习，你认为两种方法有什么利弊呢？3.在ABC ∆中，已知2cos2C a +2cos 2A c =b 23，求证：c a b +=2.四．当堂检测： 1．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若()ac B b c a 3tan 222=-+，则角B 的值为（ ） A.6π B.3π C. 656ππ或 D. 323ππ或 2. 在ABC ∆中，2B C A =+,15,8==+ac c a ,求b .*(2010·浙江高考)在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知412cos -=C . (1)求C sin 的值；(2)当C A a sin sin 2,2==时，求b 及c 的长．。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.1.2 余弦定理
§1.1.2 余弦定理 班级 姓名 学号 学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ，．[理解定理]c a b B C（1）若C=90︒，则cos C=，这时222c a b=+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B=，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c=，求A．※典型例题例1. 在△ABC中，已知a=b=，45B=，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(第2课时)正弦定理和余弦定理bb高二数学
12/9/2021
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
2021/12/9
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题型一 利用(lìyòng)正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值.
A.锐角三角形
√ B.直角三角形 C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.不能确定
解析 由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0.
∴角C为钝角(dùnjiǎo)，△ABC为钝角三角形.
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核心(héxīn)素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
求三角形一角的值
典例 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
பைடு நூலகம்
＝ 3ac，则角 B 的值为
π A.6
√B.3π或23π
π C.3
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_i_n_B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆_的__半__径___)；
(bànjìng)
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
1.1.2余弦定理(第二课时)
A＝30 度， A＝30 度， A＝30 度， 120度 A＝120度， A＝120度， 120度
10， a＝10， 10， a＝10， 10， a＝10， 10， a＝10， a＝10， 10，
（ 20； 一解) b＝20； 一解) 一解） b＝6； （一解） 15； 二解) b＝15；(二解) 一解) b＝5； (一解) 无解） b＝15. （无解）
即 b 2 • 2 s in A • c o s B = a 2 • 2 s in B • c o s A , b 2 s in A c o s B 即 2 • • =1 . a s in B c o s A
b sin B 因为Q = ;代入 a sin A
s in 2 B s in A c o s B s in B • c o s B =1 ⇒ =1 • • 2 s in A s in B c o s A s in A • c o s A
的值， 在△ABC中，已知 ，b，A的值，三角形 中 已知a， ， 的值 的解的情况如上表， 的解的情况如上表，同学们可以在做题时认 真体会，以防出现错误. 真体会，以防出现错误
课堂练习： 课堂练习： 1.在 根据下列条件解三角形， 1.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个 解的是 （D ）
即 ， 对 三 角 形
b + c = a ⇔ A为 角 直 ；
2 2 2
b + c > a ⇔ A为 角 锐 ； b2 + c2 < a2 ⇔ A为 角 钝
2 2 2
新课： 新课：正、余弦定理的综合运用
已知下列条件解三角形. 例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形. 1.在
(1) (2) (3) (4) (5)
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A版必修5
课题: §1.1.2余弦定理●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程Ⅰ.课题导入 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
课时作业4：1.1.2 余弦定理(二)
1.1.2 余弦定理(二)一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．1 D.13答案 C解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a＝14， 得a ＝1.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )A.13B ．－23 C.14D ．－14 答案 A解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13. 5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 证明 因为右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 二、能力提升8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( )A ．120°B ．90°C ．150°D ．60°答案 A解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.故选A.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝ . 答案 4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14， 即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－14， ∴8c －7b ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝78c －7b ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3 ∴b ＝4.11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π， ∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π， 得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．解 (1)由已知及正弦定理，有sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B .∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1，即cos B ＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°. (2)由题设，b 2＝ac .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.∴(a －c )2＝0.从而有a ＝c .由(1)知B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°.∴△ABC为正三角形．。
余弦定理(二)(优秀经典导学案)
1.1.2余弦定理（二） 教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形（1） 30=A ，10=a ，20=b （2） 30=A ，10=a ，6=b （3）30=A ，10=a ，15=b （4） 120=A ，10=a ，5=b （5） 120=A ，10=a ，15=b[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
优秀的余弦定理导学案
给出余弦定理
利用向量的内积证明。
巩固训练，强化理解
公式的变形转化
公式的应用，形成熟练的解题技能
巩固训练
强化训练，培养学生基本的解题技能
小
结
1、理解掌握余弦定理的证明过程。
2、运用余弦定理解相关数学问题
师生共同总结、交流．
让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．
作
业
P14，A组1题(2)
余弦定理导学案
【教学目标】
1.理解并掌握余弦定理的证明过程，熟记余弦定理；
2.运用余弦定理，解决相关数学问题；
3.通过教学，使学生进一步体会知识间相互联系和数形结合的思想．
【教学重点】
余弦定理的理解与灵活运用．
【教学难点】
余弦定理的证明过程。．
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助向量内积的相关知识，证明正弦定理，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
1.向量的内积的计算公式。
学生回答，教师板演．
共同回顾，为新课做准备．
新
课
新
课
余弦定理：三角形任何一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们夹角的余弦乘积的2倍。即：
证明：
Байду номын сангаас设 得
同理可证其他两式
余弦定理变形为：
例1、在 中，
求：
解：略
练习：P14 A 1题
例2、在 中
(1) 求:c
(2) 求:最大角
解：略
余弦定理的适用范围
已知三角形的两角及其夹角，求其他元素
导学案1。1.2余弦定理2
1.1.2余弦定理第2课时班级姓名【学习目标】1. 熟记余弦定理的推论；2. 了解余弦定理与勾股定理的联系；3. 能应用余弦定理及余弦定理的推论解三角形。
4. 积极投入、自主学习、合作学习培养学生探索数学规律的能力。
【学习重点】1.余弦定理及余弦定理的推论，2.应用余弦定理及余弦定理的推论解三角形。
【知识链接】1.余弦定理：2.余弦定理能解决的三角形问题【预习案】阅读教材6-7页，解决下列问题1.如何得到余弦定理的推论？2.余弦定理与勾股定理的联系是什么？问题1：余弦定理的每个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？由余弦定理，可得到以下推论：，，问题2：余弦定理及其推论能解决那类问题？问题3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【例】阅读教材第7页例4说出它的解答过程。
在△ABC中，已知三边长a，b，c，求三角形的最大内角．【探究案】例：在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和.例3. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝，求最大角的余弦值．【课堂小结】：1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．3．在△ABC中，若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角．【（时间：20分钟成绩：）1.【5分】已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．B．C．D．2.【5分】已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．B．＜x＜5C．2＜x＜D．＜x＜53.【5分】在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于．4.【10分】在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求A值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
探究式导学案2：1.1.2.2 余弦定理（二）
1.1.2.2 正、余弦定理解三角形【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理及其推论；2. 进一步了解正、余弦定理及其推论的适用范围；3. 能根据所给元素，正确选择定理或推论并解三角形和判断三角形的形状.【重、难点】重点：正、余弦定理或其推论的灵活应用.难点：解三角形时正确选择正、余弦定理或其推论【知识链接】利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？余弦定理呢？答：正弦定理求解“两角任一边”和“两边一对角”两种题型；余弦定理求解“三边都已知”和“两边一夹角”两种题型.【典例突破】典例突破（一）正、余弦定理解三角形例1. 已知△ABC中，a=√3，b=√2，B=45°，请分别用正弦定理和余弦定理解此三角形.【解析】方法1）正弦定理求解由正弦定理得sinA=asinBb =√3sin45°√2=√32∵a=√3>√2=b∴A>B=45°∴A=60°或A=120°当A=60°时，C=75°，c=asinCsinA =√3×√6+√24√32=√6+√22；当A=120°时，C=15°，c=asinCsinA =√3×√6−√24√32=√6−√22.∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22方法2）余弦定理求解由余弦定理知 b2=a2+c2−2accosB，即√22=√32+c2−2√3×√22c，即c2−√6c+1=0，解得c=√6+√22或c=√6−√22.当c=√6+√22时，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=2+(√6+√22)2−32×√2×√6+√22=12∵0°<A<180°∴A=60°∴C=75°同理，当c=√6−√22时，得A=120°，C=15°∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22变式1. 在△ABC中，已知c=√6+√2，b=2√3，C=75°，解此三角形.【解析】方法1）由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC得(√6+√2)2=a2+(2√3)2−2a×2√3×cos75°整理得a2−(3√2−√6)a+4−4√3=0，解得a=2√2或a=√2−√6（舍）∴由余弦定理的推论得cosB=a2+c2−b22ac =√6+√2)22×2√2(√6+√2)=12又0°<B<180°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.方法2）由正弦定理得sinB=bsinCc =√3×sin75°√6 + √2=√32又0°<B<180°，且由b<c得B<C=75°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°，a=bsinAsinB =2√3sin45°sin60°=2√2∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.【解题反思】“两边一对角”型的解三角形问题，即可以用正弦定理，也可以用余弦定理，两种方法各有什么利弊？答：用正弦定理解题，是先求两角，再求第三边，计算简单，但需验证解的合理性；用正弦定理解题，是先求第三边，再求两角，计算复杂，但无需验证.典例突破（二）判断三角形形状例2．在∆ABC中，已知(a+b+c)(b+c−a)=3bc，sinA=2sinBcosC，试判断∆ABC的形状．【解析】方法1）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b2+c2−a2=bc∴ cosA=b2+c2−a22bc =12又0°<A<180°∴A=60°由sinA=2sinBcosC及A=π−(B+C)得sin(B+C)=2sinBcosC，即sin BcosC+ cosBsinC=2sinBcosC，即sin （B−C）=0.又−120°<B−C<120°∴B−C=0,即B=C∴∆ABC是等边三角形.方法2）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b+c2−a2=bc∴ cosA=b2+c2−a22bc =12又0°<A<180°∴A=60°又由sinA=2sinBcosC及正弦定理得a=2b×a2+b2−c22ab,即b2=c2，即b=c ∴∆ABC是等边三角形【解题反思】解三角形问题中，常涉及边角混合式，请问解决这类为题的一般思路是什么？答：一般的解题思路是利用正余弦定理，进行边角互化，最终要么统一边，要么统一角. 一般来说，当等式是关于“边”或“角的正弦”的齐次式时，利用正弦定理；等式中含有“角的余弦”或“边的乘积”时，考虑用余弦定理.变式2.(1) 在∆ABC中，已知角A，B的对边分别为a,b，且满足条件acosB =bcosA，试判断∆ABC的形状.(2) 在△ABC中，已知bcosB+ccosC=acosA，试判断∆ABC的形状．【解析】(1) 方法1）由acosB =bcosA及正弦定理，得sinAcosB=sin BcosA，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B又0<2A<2π，0<2B<2π∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形方法2）由acosB =bcosA及余弦定理的推论，得aa2+c2−b22ac=bb2+c2−a22bc，化简整理得a4−b4−a2c2+b2c2=0，即(a2−b2)(a2+b2−c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形(2) 由bcosB+ccosC=acosA及余弦定理得b∙a2+c2−b22ac +c∙a2+b2−c22ab=a∙b2+c2−a22bc，整理得b2(a2+c2−b2)+c2(a2+b2−c2)=a2(b2+c2−a2)，即(b2−c2)2=a4，解得b2−c2=a2或b2−c2=−a2，即b2=a2+c2或c2=a2+b2.∴∆ABC是直角三角形典例突破（三）三角形的边角比例3．设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA:sinB:sinC为（）A．4:3:2B．5:6:7C．5:4:3D．6:5:4【解析】由题意可设a=b+1，c=b−1，则由3b=20acosA和余弦定理得3b= 20(b+1)∙b2+(b−1)2−(b+1)22b(b−1)，整理得7b2−27b−40=0，解得b=5，所以a=6，c=4，所以sinA:sinB:sinC=6：5：4，故选D.【解题反思】（1）要由边的比得到正弦值的比需用哪个定理？（2）要由边的比得到角的比需用哪个定理？答：（1）正弦定理；（2）余弦定理.变式3. 在∆ABC中，a︰b︰c =1︰√3︰2，A︰B︰C等于（）A．1︰2︰3B．2︰3︰1 C．1︰3︰2D．3︰1︰2 【解析】由a︰b︰c =1︰√3︰2及正弦定理易得∆ABC是直角三角形，再由勾股定理易得A=30°，B=60°，C=90°，故选A．题型四. 正、余弦定理与三角公式的综合应用例4. 在∆ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.(1) 求cos A的值；(2) 求c的值．【解析】(1) ∵a＝3，b＝26，B＝2A，∴在△ABC中，由正弦定理，得3sinA =2√6sin2A，∴2sinAcosAsinA =2√63，即cosA=√63.(2) 方法1）由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得9=24+c2−4√6c×√63，即c2−8c+15=0，解c=3或c=5若 c=3，则a=c，得A=C，又B＝2A，A+B+C = 180°解得A=C=45°，B=90°，则b=√2a，这与a＝3，b＝26矛盾∴c=3不符合，舍去∴c=5方法2）由(1)知cosA=√63∴sinA=√1−cos2A=√33又B＝2A∴cos B＝2cos2A－1＝13∴sinB=√1−cos2B=2√23∴在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝5√39.∴ c =asinC sinA.变式4. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB =79.(1) 求a 、c 的值； (2) 求sin(A －B )的值．【解析】(1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) △ABC 中 ∵ cosB =79 ∴ sinB =√1−cos 2B =4√29由正弦定理，得sinA =asinB b =2√23∵ a ＝c ∴ A 为锐角 ∴ cosA =√1−sin 2A =13∴ sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10√227.。
1.1.2 余弦定理(2)
1.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC= ()A.1B.2C.3D.42.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=a2+b2+ab,则C=()A.60°B.90°C.150°D.120°3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b cos A=a cos B,则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 ()A.B.C.D.35.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C=()A.B.C.D.6.在△ABC中,若=(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7.在△ABC中,若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC= .9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则c= .10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c= .11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,有下列等式:①a sin B=b sin A;②a=b cos C+c cos B;③a2+b2-c2=2ab cos C;④b=c sin A+a sin C.其中,一定成立的等式的序号是.12.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c满足a2+c2-b2=ac.(1)求角B;(2)若b=2,A=105°,求c.13.(13分)如图L1-1-1所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.14.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin2A-sin2B=sin B sin C,sinC=2sin B,则A= .15.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b cos C=(2a-c)cos B.(1)求角B的大小;(2)若b2=ac,试确定△ABC的形状.第2课时余弦定理(二)1.A[解析] 由余弦定理得13=9+AC2+3AC,解得AC=1,故选A.2.D[解析] 由余弦定理得cos C==-,因为0°<C<180°,所以C=120°.3.B[解析] 因为b cos A=a cos B,所以b·=a·,所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2,所以a=b.故此三角形是等腰三角形.4.B[解析] 由题意得cos A==,∴sin A==,∴边AC上的高h=AB·sin A=.5.C[解析] 由正弦定理=和3sin A=5sin B,得3a=5b,即b=a.又b+c=2a,∴c=a,∴由余弦定理得cos C==-,∴C=,故选C.6.C[解析] 因为=,所以-=-,所以a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形.7.A[解析] 因为lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,所以lg=lg 2,所以=2,所以sin A=2cos B sin C,则sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C,即sin B cos C-cos B sin C=0,可得b·-·c=0,所以b=c,故△ABC是等腰三角形.8.4或5[解析] 设BC=x,则由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C,即5=25+x2-2×5×x×,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.9.[解析] 由题意得,a+b=5,ab=2.由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,∴c=.10.4[解析] ∵3sin A=2sin B,∴3a=2b.又a=2,∴b=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C,∴c2=22+32-2×2×3×=16,∴c=4.11.①②③[解析] 对于①③,由正弦定理、余弦定理,知一定成立.对于②,由正弦定理及sin A=sin(B+C)=sin B cos C+sin C cos B,知一定成立.对于④,利用正弦定理,变形得sin B=sinC sin A+sin A sin C=2sin A sin C,又sin B=sin(A+C)=cos C sin A+cos A sin C,两式不一定相等,所以④不一定成立.12.解:(1)由a2+c2-b2=ac,得cos B===,则B=30°.(2)因为A=105°,B=30°,所以C=180°-105°-30°=45°,根据正弦定理,得=,解得c=2.13.解:设BD=x.在△ABD中,根据余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠BDA,∴142=102+x2-2×10×x cos 60°,即x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),∴BD=16.∵AD⊥CD,∠BDA=60°,∴∠CDB=30°.在△BCD中,由正弦定理得=,∴BC==8.14.30°[解析] 根据正弦定理可得a2-b2=bc,c=2b,解得a= b.根据余弦定理可得cos A===,所以A=30°.15.解:(1)由已知及正弦定理,有sin B cos C=(2sin A-sin C)cos B,即sin B cos C+cos B sin C=2sin A cos B.∴sin(B+C)=2sin A cos B.∵sin(B+C)=sin A≠0,∴2cos B=1,即cos B=,∴B=60°.(2)由题设及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B得,ac=a2+c2-2ac cos 60°,即a2+c2-2ac=0,。
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【导学案】§1.1.2 余弦定理（2） 班级 姓名 〖知识导学〗1. 三角形的面积；2.正、余弦定理得选择。
1.余弦定理的推论：
222
cos 2b c a A bc
+-=， ， ． 2.三角形形状的判断：
若A 为直角,则cos 0A =,从而22b c + 2a ; 若A 为锐角,则cos A >0,从而22b c + 2a ; 若A 为钝角,则cos A <0,从而22b c + 2a .
3.面积公式：1
sin 2S ab C ==___________________=____________________
二、例题解析：
例1.0302.ABC B AB AC ABC ∆===∆在中，若，，求的面积
法1： 法2.
例2.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =.
(1)求B 的大小; (2)若5a c ==,求b .
四、达标训练：
1、已知△ABC 的面积为
23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°
2.在ABC ∆中，若a <b <c ，且2c <22a b +，则此三角形是 （ ）.
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .不存在
3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则cos A
4. 在ABC ∆中，02
60,,B b ac ==则ABC ∆的形状为 .
5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b c A B C ++++= ．
6.在钝角ABC ∆中，1,2,a b ==则最大边c 的取值范围是 .
7．（12年安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+, 则A =___________
8.在ABC ∆中,已知sin 2cos sin A B C = ,试判断此三角形的形状.
9.0
3021
.ABC A AB C ABC ∆===∆在中，若，，B ，求的面积
10．（2012年高考浙江）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B 的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值.。