《简单多面体》
高中数学必修课件第一章简单多面体
改进建议1
加强对多面体定义和分类的学 习，多观察、多比较不同多面 体的特征，加深对它们的认识 。
易混点2
在计算多面体的顶点数时，容 易忽略欧拉公式的应用条件。
改进建议2
明确欧拉公式的应用条件，即 适用于简单多面体，同时要注 意公式中各个量的含义和计算
章节测试题及答案解析
题目2
一个多面体的面数为8，棱数为15， 求该多面体的顶点数。
答案2
根据欧拉公式，多面体的顶点数V、 面数F和棱数E之间满足关系V+F-E=2 。将已知的F=8，E=15代入公式，得 到V=2+E-F=2+15-8=9，因此该多 面体的顶点数为9。
易错易混点剖析及改进建议
易错点1
多面体的性质
多面体的面、棱、顶点数之间的关系，以及多面体的欧拉公式等。
简单多面体的识别和作图
能够识别常见的简单多面体，并掌握其作图方法。
章节测试题及答案解析
题目1
请列举出五种不同的简单多面体，并简述它们的特征。
答案1
五种不同的简单多面体包括三棱锥、四棱锥、正方体、长方体和五棱柱。它们的特征分别是三棱锥有一个面是三 角形，其余三个面是三角形或四边形；四棱锥有一个面是四边形，其余四个面是三角形；正方体六个面都是正方 形；长方体六个面都是矩形；五棱柱有两个平行的五边形底面，侧面是矩形。
蜂巢
蜂巢是由正六边形组成的 简单多面体结构，这种结 构既节省材料又具有良好 的稳定性。
病毒
一些病毒粒子也呈现出多 面体形态，如二十面体病 毒，这些病毒粒子具有复 杂的对称性和几何结构。
科技创新中简单多面体应用案例
纳米材料
科学家利用简单多面体结构设计出具 有特定功能的纳米材料，如纳米立方 体、纳米球等，这些材料在医药、环 保等领域具有广泛应用。
高中数学 1.1.2 简单多面体课件 北师大版必修2
第三十三页，共41页。
• [规范解答] 如图所示，将棱台(léngtái)还原 为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台 (léngtái)的高，
第三十四页，共41页。
∵棱台的上、下底面积之比为 4∶9， ∴它们的底面对应边之比 A1B1∶AB＝2∶3， ∴PA1∶PA＝2∶3. 由于 A1O1∥AO， ∴PPAA1＝PPOO1， 即PO－POO1O＝POP－O 4＝23. ∴PO＝12 cm，即原棱锥的高是 12 cm.
第二十八页，共41页。
• 几何体的结构特征
如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成 的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理 由．
第二十九页，共41页。
• [思路分析] 根据定义判断．
• [规范解答(jiědá)] (1)是棱柱，并且是四棱柱， 因为以长方体相对的两个面作底面则底面都是 四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边 形，并且四条侧棱互相平行．
• (2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱 BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底 面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱 柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和 DCFD1是底面．
• [答案] C • [规范解答] 当棱柱的底面是正三角形，且所
有(suǒyǒu)侧面都是矩形时，侧棱一定与底面 垂直，即棱柱是直棱柱，又底面为正三角形， 所以棱柱是正三棱柱．
第二十一页，共41页。
北师大版高中数学必修二第一章1.1.2简单多面体
1.2 简单多面体1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．棱柱的侧面是平行四边形．预习交流1棱柱是“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体”．这一概念对吗？为什么？提示：不对．如图，是由两个三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱．所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”．预习交流2什么是直棱柱？什么是正棱柱？两者有什么区别？提示：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱与正棱柱的区别①直棱柱是在一般棱柱的基础上加一个条件“侧棱与底面垂直”；②正棱柱是在直棱柱的基础上加一个条件“底面是正多边形”．3．特殊的四棱柱4．棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．预习交流3棱锥所有的面可以都是三角形吗？提示：可以．当棱锥的底面为三角形时，其所有的面都是三角形，这样的棱锥叫三棱锥，也叫四面体．预习交流4“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体是棱锥吗？提示：判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面是三角形；③这些三角形有一个公共顶点．这3个特征缺一不可．如图所示的多面体有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但这些三角形没有公共顶点，所以它不是棱锥．5．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形．预习交流5(1)如何判断一个多面体是不是棱台？提示：(2)你能总结出柱、锥、台体的关系吗？提示：1．对简单多面体的理解如图所示为长方体ABCDA′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．思路分析：①本题是一个几何体的分割问题；②分割后是两个几何体．解题时可先确定两个互相平行的面，然后根据棱柱的定义得出结论．解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′ECC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：解答本题的依据是棱柱、棱锥、棱台的结构特征，结合已知进行具体分析．解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．答案：B1．下列命题中，正确的是( )．A．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面B．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形D．侧棱与底面两边垂直的棱柱叫直棱柱解析：在棱柱底面的定义中，两个互相平行的面是特指的，反之，则不一定，如底面是梯形时，有两个侧面互相平行，这两个平行的侧面就不能称为棱柱的底面，故A不正确；棱柱可以是平行六面体，所以B项不正确，C正确；由直棱柱的定义知D错误．答案：C2．下列说法正确的有( )．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．答案：A认识一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．2．简单多面体有关量的计算已知正三棱锥VABC中，底面边长为8，侧棱长为思路分析：本题主要考查正三棱锥中基本量的计算，关键是把已知量与未知量放到直角三角形中求解．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，∴△VAO 和△VCD 都是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为26， ∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝(26)2－⎝⎛⎭⎪⎫8332＝236.VD ＝VC 2－CD 2＝(26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2.正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高为1，试求该棱台的侧棱和斜高．解：如图，设上、下两底的中心分别是O 1，O ，连接O 1O ，则O 1O 为棱台的高，O 1O ＝1.连接A 1O 1，AO 并延长分别与B 1C 1和BC 相交于D 1，D .由平面几何知识得，D 1，D 分别是B 1C 1和BC 的中点，连接D 1D ，则D 1D 为棱台的斜高．因为B 1C 1＝3，BC ＝6，所以A 1O 1＝33×3＝3，AO ＝33×6＝23，O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝ 3. 在直角梯形AOO 1A 1中，A 1A ＝12＋(23－3)2＝2；在直角梯形DOO 1D 1中，D 1D ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝72. 即该棱台的侧棱和斜高分别为2和72.正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形，如[活动与探究3]中的Rt △VAO ，Rt △VOD ，Rt △VCD 等．它们包含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半，底面外接圆半径和内切圆半径．类似地，在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和相应两底面正多边形的顶点与中心连线组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，实际上就是这几个直角梯形的计算问题．1．在棱柱中( )．A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D2．棱柱的侧面都是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形答案：B3．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是( )．A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案：B4．下列描述中，是棱台的性质的是__________．(填序号)①两底面平行；②侧面都是梯形；③侧棱都相等，且平行；④侧棱延长后都交于一点；⑤底面不可能为三角形．解析：棱台是由棱锥截得的，截面与底面平行，①正确；棱台的侧面都是梯形，②正确；③错误；棱台侧棱延长后必交于一点，④正确；由三棱锥截得的棱台为三棱台，其底面是三角形，⑤错误．答案：①②④5．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解：(1)正确；(2)不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等；(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱；(4)正确．。
1.2简单多面体ppt课件
❖ 一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四 面体．
31
❖ 1．下列说法正确的是( ) ❖ A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三
个顶点 ❖ B．四面体有四个面、六条棱和四个顶
点 ❖ C．六棱锥有七个顶点 ❖ D．棱柱的各条侧棱可以不相等
32
❖ 解析：对于A，三棱柱有六个顶点；对于C， 各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点，只有1个； 对于D，棱柱的各侧棱相等．
§1. 简单几何体
亳州一中高一数学备课时
1
§1.2:简单多面体
2
§1.2:简单多面体
国家游泳中心又被称为“水立方”(Water Cube)，位于 北京奥林匹克公园内，是北京为2008年夏季奥运会修建的 主游泳馆，也是2008年北京奥运会标志性建筑物之一．其 与国家体育场(俗称“鸟巢”)分列于北京城市中轴线北端 的两侧，共同形成相对完整的北京历史文化名城形象．
顶点
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
20
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱 锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台…
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各
顶点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
21
❖ 探究1：多面体与旋转体的主要区别是什么？ ❖ 提示：多面体是由多个平面多边形围成的
几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而 形成的几何体．
22
❖ 探究2：有两个面互相平行，其余各面都是平 行四边形的几何体一定是棱柱吗？
提示：不一定是棱柱．
23
❖ 探究3：棱锥最少有几个面和几条棱？ ❖ 提示：面数最少的棱锥是三棱锥，它具有四
个面，六条棱． ❖ 探究4：棱台的各个侧面是什么图形？ ❖ 提示：梯形且两侧棱为梯形的两腰.
《7.1.1简单多面体》中职数学基础模块
棱柱的结构特性
棱柱的两个平行的面叫做棱柱的底面；
其余各面叫做棱柱的侧面；
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧棱
侧棱与底面的公共点叫做棱柱的顶点；
顶点 侧面
底面
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
棱柱的结构特性
不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱
柱的对角线；
高
两个底面所在平面的公垂线段或它的长
再见
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
练习 P58 1，2
7.1.1 简单多面体
归纳小结
有两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫 做棱柱．
有一个面是多边形，其余各面都是由一个公共顶点的三 角形所围成的多面体叫做棱锥．
7.1.1 简单多面体
连结不在同一面上的两个顶点的线段叫 做多面体的对角线，如对角线DB．
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
在生产实践中，棱柱和棱锥是最常见，也是最简单的多面体.下面， 我们就对它们的结构特性分别进行说明.
我们常见的一些物体，如三棱镜、砖块、六棱铅笔，都是具 有棱柱结构特性的物体.
那么这些物体有什么共同特征呢？
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
棱柱的定义
通过观察，我们发现，有两个平面互相平
∙O'
行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何
体叫Байду номын сангаас棱柱．
O∙
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
简单多面体
(1)
(2)
思考：棱柱、棱锥和棱台都是多面 体，它们在结构上有那些相同点和 不同点？三者的关系如何？当底面 发生变化时，它们能否互相转化？
棱柱棱台棱锥变换
空间几何体:
对于空间的物体,如果只考虑它的的形状、大小和 位置，而不考虑物体的其他性质,从中抽象出来的空间 图形叫做空间几何体
柱、锥、台、球的结构特征
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边 形、……
我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、 五棱柱、……
有一个面是多
边形，其余各面都
是有一个公共顶点
的三角形。
侧棱
A
顶点 S
侧面
D
C
底面
B
棱柱 棱锥 棱台
圆柱 圆锥 圆台
球
结构特征
用一个平行于棱
D’
锥底面的平面去截棱
D
锥,底面与截面之间的 A’
部分是棱台.
A
C’
B’
C
B
棱柱 棱锥 棱台 圆柱
圆锥 圆台
球
结构特征
A’
以矩形的一边所 母 在直线为旋转轴,其 线
不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的 对角线。
与两个底面都垂直的直线夹在两个底面 间的线段长叫作棱柱的高。
E1 A1
D1 C1
B1
A
E DC
§1.1.2简单多面体
A
x
B
空间几何体的斜二测画法
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
Z
C
A
y
M
D
P
O
BQ C N
A
x
B
空间几何体的斜二测画法
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形， 由这些面所围 成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫做棱 锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥 的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
S A
B
D C
2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……
A：大小：长对正（主视图与俯视图）,高平 齐（主视图与左视图）,宽相等（左视图与俯 视图）.
B：虚实:在画图时,看得见部分的轮廓通常画 成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
空间几何体的斜二测画法
空间几何体的直观图是一种平行投影下的图像，一般我们采用斜二测画法来作 空间几何体的直观图。下面就让我们通过一个具体的例子来看下什么是斜二测画法 以及它的作图要点和步骤。
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面 的字母表示，如四棱锥S-ABCD。
问题：有一个面是多边形，其余
各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
F
如图：
E
D
C
A
B
注意棱锥的两个本质特征
正棱锥
S
如果棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底面上 的射影是底面的中心， 则这个棱锥叫做正棱锥。 斜高：SM
高中数学必修二 1简单几何体第2课时简单多面体课件
3．如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？
解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
6．如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________． ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体； ②该几何体有12条棱、6个顶点； ③该几何体有8个面，并且各面均为三角形； ④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．
[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
第1课时简单多面体
答案:(3)(4)
探究点二
棱锥和棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(2)棱锥的侧面只能是三角形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是
.
解析:(1)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
[备用例2] 下列说法中正确的是(
)
(A)棱锥的侧面不一定是三角形
(B)棱锥的各侧棱长一定相等
(C)棱台的各侧棱的延长线交于一点
(D)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台
解析:根据定义,棱锥的侧面一定是三角形,故A不正确.在斜棱锥中侧棱
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的序号是
.
解析:(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知,两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是
形;D折叠后有一个面重合,另外还少一个面,故不能折成正方体.故选A.
(2)(2020·广东韶关高一期末)如图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠
起来,变成正方体后的图形是(
解析:(2)将平面图形
)
折叠起来,变成正方体后的图形中,相
邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排
《简单多面体》课件
绘画构图
在绘画构图中，简单多面 体可以作为视觉元素，增 强画面的层次感和立体感 。
装饰设计
简单多面体的几何美感在 室内装饰设计中得到广泛 应用，如墙面、地面、家 具等的设计。
科学实验中的应用
物理实验模型
简单多面体的几何特性使其成为 物理学中某些实验模型的理想选 择，如力学、光学、电磁学等实
验。
材料科学
详细描述
每种类型的多面体都有其独特的几何特征和性质。例如，四面体由四个三角形组成，每 个三角形都与其他三个三角形相连接；八面体则由八个四边形组成，每个四边形都与其 他六个四边形相连接。此外，还有十二面体、二十面体等其他类型的多面体，它们的顶
点、面和边的数量各不相同，具有不同的几何属性和应用场景。
02
建筑结构优化
在建筑结构设计中，简单 多面体的结构稳定性好， 能够提高建筑的抗震性能 和承载能力。
建筑空间利用
简单多面体的空间构成特 点有助于实现建筑空间的 合理利用，提高建筑的使 用效率。
艺术创作中的应用
雕塑造型
简单多面体在雕塑创作中 常被用作基本形体，通过 组合、变形等手法创造出 丰富的艺术形象。
在材料科学实验中，简单多面体可 以作为材料结构的模型，有助于研 究材料的性能和结构之间的关系。
数学研究
简单多面体在数学领域常被用作几 何学、拓扑学等学科的研究对象， 有助于深入探讨数学的基本原理和 规律。
05
简单多面体的制作方法
材料选择
纸张
剪刀、胶水等工具
选择厚度适中、质地良好的纸张，以 保证多面体的结实度和美观度。
详细描述
每个面都是一个正方形 ，所有的面都具有相同 的面积，所有的顶点都
是等角的。
特性
简单的多面体
A1
D1 B1C1
A1 D1
C B1
1
（三）、棱台
1、棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
D1 A1
C1 B1
上底面
侧面 侧棱 下底面 顶点
2.棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长 线交于一点
3、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱 台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面。
（2）有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。
（3）各侧面的公共顶点叫做棱 锥的顶点。
S 顶点
（4）相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱。
侧棱 D
A
侧面
C 底面
B
S
A
BC
D
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥、…… （三棱锥也叫做四面体）
§1.简 单 几 何 体 ——§1.2 简单的多面体
一、 观察下列几何体并思考： 它们具有哪些性质?
二、简单多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多 边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边 叫做多面体的棱；
棱与棱的公共点叫做 多面体顶点。
（一）棱柱 观察下列几何体，它们有什么共同特征？
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示。如 四棱锥S-ABCD。
特殊的棱锥－正棱锥
定义：如果棱锥的底面是正多边形，并且底 面中心与顶点的连线垂直于底面，这样的棱 锥叫正棱锥
正三棱锥（正四面体） 正五棱锥
正棱锥的性质
（１）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高
《简单多面体》 学习任务单
《简单多面体》学习任务单一、学习目标1、理解简单多面体的概念，包括棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2、掌握简单多面体的表面积和体积的计算方法。
3、能够运用空间想象能力和逻辑推理能力解决与简单多面体相关的问题。
二、学习重难点1、重点（1）棱柱、棱锥、棱台的结构特征及性质。
（2）简单多面体表面积和体积公式的推导和应用。
2、难点（1）空间想象能力的培养，能够从不同角度观察和理解简单多面体的结构。
（2）棱台体积公式的推导和理解。
三、学习方法1、观察法：通过观察实物模型、图片等，直观感受简单多面体的结构特征。
2、分析法：对简单多面体进行分解和分析，理解其构成要素和性质。
3、归纳法：总结归纳简单多面体的共性和规律，形成系统的知识体系。
四、学习内容（一）简单多面体的概念1、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
2、简单多面体：表面经过连续变形可以变为球面的多面体叫做简单多面体。
（二）棱柱1、棱柱的定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
2、棱柱的分类（1）按侧棱与底面是否垂直分为：直棱柱和斜棱柱。
（2）按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形。
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（三）棱锥1、棱锥的定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
2、棱锥的分类（1）按底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……（2）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3、棱锥的性质（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2）正棱锥的斜高相等。
（四）棱台1、棱台的定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
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解析
如图所示正方体ABCD—
A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面 为正方形，截面AA1C1C为长方形， 截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、 F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、 AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六 边形，截面不可能为直角三角形.
8.下列命题中：
相同的三棱锥叠放在一起构成的几何
体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
B错误.如下图，若△ABC不是直角三角
形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正
六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.
D正确.
思维启迪 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.
解析
命题①符合平行六面体的定义,故命题①是
正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的.
答案
①④
探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通
三棱柱
四棱柱
五棱柱
3、棱柱的表示法(பைடு நூலகம்图)
棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表 示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。
二、观察下列几何体,有什么相同点？
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个 公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫做棱锥 的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
视图和直观图
要点梳理
1.多面体的结构特征
(1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都平行且 ___ 长度相等 ，上底面和下底面是全等 的多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公 共点 的三角形.
(3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥得
到，其上下底面的两个多边形相似.
.
基础自测
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ C ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两
(1)
(2)
(3)
两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱
把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱； 把底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱；
直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形；
正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩
形；
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四 边形、五边形、 …… 我们把棱柱按照底面多边 形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱 柱、……
三角形，但这个多面体不是棱锥；
B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形
是四面体也必定是个三棱锥； C是错误的，如图所示，棱锥的侧面 是全等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥；
D也是错误的，底面多边形既有内切
圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形， 因此不是正棱锥. 答案 B
二、填空题
7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是 截面的是 ①②③⑤⑥ . ①正方形；②长方形；③等边三角形；④直角 三角形；⑤菱形；⑥六边形.
思考题：用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，那么所得截面与棱锥底面 之间的几何体会是怎样的一个几何体 呢？
A1
D1
B1
C1
A1
D1 B1
C1
三、棱台的结构特征 1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1 B1 C1 上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点
两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.
题型分类
题型一
深度剖析
几何体的结构、几何体的定义
【例1】 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是 .
答案 D
2.下列命题中，成立的是 B.四面体一定是三棱锥
（
）
A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一 定是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是
简单的多面体
1.多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空 间图形叫做多面体。
其中：把围成多面体的各个多边形叫作多面体的 面;两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的 公共点叫作多面体的顶点； 五面体、六面体、、、、、
多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、
棱
面
面 棱 顶点
面
一、 观察下列几何体并思考： 它们具有哪些性质?
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱 锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台…
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各 顶点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1 B1 C1
第八编 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三
S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
D
E A B
棱锥的侧面 C 棱锥的底面
一个特殊的棱锥：正棱锥
把底面为正多形，侧面是全等的三角形的棱锥叫作
正棱锥
正棱锥的性质：正棱锥的侧棱长相等；侧面是全等
的等腰三角形；
S A
B
D C
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可 以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的 字母表示。如四棱锥S-ABCD。
过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错
误的，设法举出一个反例即可.
知能迁移1
下列结论正确的是（
）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则
此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.如图所示，由两个结构
平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一 定相交于一点；③是圆台的另一种定义形式； ④中形成的是球面而不是球.
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其 余各面叫做棱柱的侧面。
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面
侧面 侧棱 顶点
底 面
一、 观察下列几何体并思考：棱柱（1)， （3）与棱柱（2)的不同之处？
①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台； ②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； ③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 其中所有正确命题的序号是 ①②③ 解析 . ①符合棱台的定义；②棱台是由棱锥被