微分几何26曲面上的测地线
曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
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一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
微分几何§6曲面上的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
THANKS
感谢观看
定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
微分几何26曲面上的测地线
i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv
曲面上的测地线
i j du2 d 2u1 du du 1 ( ( 2 ij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
r1 r2 1 2 2 2 (r1 , r2 , n ) (r1 r2 ) (r1 r2 (r1 r2 ) ) g g 1 ( EG F 2 ) g g i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
在曲线上一点 P 有：
r n n cos n 令 n ，则 n, , 是两两正交的单位向量且成右手系， n, , , 都在 P 点的法面上。
CAD曲面的测地线计算方法
DOI:10.3969/j.issn.2095-509X.2014.05.005CAD 曲面的测地线计算方法张婷婷,王小平(南京航空航天大学机电学院,江苏南京 210016)摘要:针对自动铺丝路径规划芯模面测地等距网计算的核心问题,即简便、高精度的测地线计算方法存在的缺陷,给出了一种改进的在CAD 曲面上计算测地线的方法,给出了理论推导、算法的实现步骤以及流程图,并以实例验证了该算法的有效性。
对新算法与已有算法在计算精度方面所做的分析比较证明该算法操作简单,具有较高的计算精度,适合路径规划所涉及的大规模测地线计算的精度要求。
关键词:测地线;CAD 曲面;测地等距网;自动铺丝中图分类号:TP391.72 文献标识码:A 文章编号:2095-509X (2014)05-0016-05 复合材料自动铺丝技术又叫做纤维铺放技术,是近年发展起来的一种高效率、低成本先进复合材料自动化成型技术,已经广泛地应用于航空宇航等高性能复合材料结构的制造当中。
自动铺丝技术的轨迹有多种规划模式,一般通过自然路径轨迹规划的方法可使得铺放更加简便。
自然路径求解其实是物理概念至几何概念的一个推广。
从平面与可展曲面来说,自然路径就是一条平面上的直线或是一条可展曲面上的测地线[1],曲面上的自然路径构造方法有很多,但大多数是通过迭代来得到一系列的点以近似地表示出自然路径[2-3]。
此外,由于沿回转体的测地缠绕是纤维稳定缠绕的一个条件,故另一种较为广泛应用的纤维连续缠绕法的路径规划中也有测地线的应用。
曲面上测地线的求解方法可划分成两大类:一类为用分析法推导出生成测地线的具体公式,即经典测地线公式[4]。
该方法利用了其实际上为平面上的直线推广这一基本性质。
另一类是由各种测地线的性质推导出离散公式。
如Zantout 等提出的于数字采样所得到的曲面上对测地线进行求解的一种方法,Kumar 等则提出在三角化曲面上对测地线进行求解的两个离散公式和测地线的一个微分解[5]。
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
两 曲 面 沿 这 条 曲 线 有 公共 的 切 平 面 ，
因 而 沿 这 条 曲 线它，们 的 法 线 重 合 ，
而 曲 线 在 一 点 的 主 法 线只 有 一 条 ，
所 以 当 这 条 曲 线 的 主 法线 与 两 曲 面 之 一 的 法 线重 合 时 ，
同 时 必 与 另 一 曲 面 的 法线 重 合 ，由 命 题3知 ， 这 条 曲 线 也 是 另 一 个 曲面 的 测 地 线.
ikj
rk
Lij n]
i
d 2ui ds2 ri
ikj
i, j,k
dui ds
du j ds
rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
k
d 2uk ds2 rk
d 2uk
k [ ds2
i, j
kg (r, r, n)
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
证：(1) 对u 曲线而言， (s) 0,
由已知， ln E(u) 0, v
代入柳维尔公式得：
k gu
d
ds
1 2G
ln E v
cos
2
1 E
lnG sin
u
0.
u 曲线是测地线.
(2) 对v 曲线而言， (s) ,
2 由已知， ln E(u) 0,
v 代入柳维尔公式得：
k gv
1,2)
r
k
d 2uk [ ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
Lij
dui ds
微分几何中的测地线浅谈
微分⼏何中的测地线浅谈“测地线”是微分⼏何学中最重要和最基本的概念之⼀，也是⼏何学最基本的研究对象。
测地线的研究不仅推动了⼏何学的发展，实际上很多物理定律及现象也可以通过测地线的相关结论来合理解释。
那么，什么是测地线，它⼜有怎么的性质呢？测地线(Geodesic)⼀词最早不属于⼏何这个学科，⽽是来⾃⼤地测量学(Geodesy)，这⼀点我们从它的名字⼤概就能看出来。
伟⼤的数学王⼦⾼斯，曾经主持过⼀项浩⼤的⼯程，那就是为汉诺威王国绘制详细的地图，为此他耗费⼤量时间实地测量，之后利⽤最⼩⼆乘法等数学⽅法处理相关数据，极⼤地提⾼了地图精度。
在这个过程中，测地线就是⾼斯经常遇到的数学对象。
我们先从最简单的欧式空间说起，这种情况下的测地线有⾮常好的⼏何描述，那就是它是连接两点的最短路径，也就是我们⾮常熟悉的直线段，从严格的数学⾓度来说，这正是直线段的定义。
欧式空间上的测地线的确平淡⽆奇，没有什么好研究的，但当空间的形状改变时，情况就没有这么显然了。
例如球⾯，我想很多⼈都并不知道球⾯上的测地线是什么样的，即使知道可能也不清楚背后严格的数学系证明。
可能很容易猜得到连接球⾯两点之间的最短路径位于过球⼼的⼤圆上，但要⾮常严格地说明这件事却并不太容易。
⽽且为了更好地获得测地线的信息，我们必须要有更为⼀般的理论，以便分析更为复杂的空间。
为此我们要先简单介绍⼀下曲线的测地曲率。
测地曲率有⾮常形象化的解释：对于曲⾯S中的曲线C，它在曲⾯S的P点处切平⾯上会产⽣⼀条投影曲线，⽽原曲线C的测地曲率就等于投影曲线的相对曲率。
利⽤测地曲率，我们就可以得到曲⾯上测地线的定义：曲⾯上测地曲率恒为0的曲线成为测地线。
但这样定义出来的曲线还会是连接任意两点的最短曲线吗？事实上，测地线包含所有曲⾯上的最短曲线，⽽且会往往超出这个范围，也就是说，最短曲线⼀定是测地线，但测地线不⼀定最短。
产⽣这种现象的原因在于我们仅仅使⽤曲率，或者说曲⾯的度量来定义测地线，但曲线的最短性并⾮⼀个像⾼斯曲率那样的内蕴⼏何量，因⽽就⽆法保证最短性。
微分几何26曲面上的测地线
contents
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线 • 微分几何中的测地线 • 26曲面上的测地线 • 总结与展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
01
测地线是曲面上的最短路径，即 连接两点间的曲线段长度最短。
02
在微分几何中，测地线被定义为 在曲面上具有常曲率的曲线，其 长度由曲面的第一，即其上任意两点的连 线都是连续且可微分的。
在某些特定条件下，26曲 面上的测地线可能具有闭 合性或周期性等特殊性质。
26曲面上的测地线与一般曲面上测地线的区别
01
一般曲面上测地线通常是定义在二维或三维空间中的曲线 ，而26曲面则是一个更高维度的几何对象。因此，26曲面 上的测地线需要考虑更多的维度和复杂性。
05
总结与展望
总结
测地线在微分几何26曲面上的研究具有重要的理论和应用价值，对于理解曲面的几何性质和拓扑结构 具有重要意义。
在过去的几十年里，研究者们在测地线的研究方面取得了丰硕的成果，包括测地线的存在性、唯一性和 稳定性等问题的解决，以及在黎曼几何和相对论等领域的应用。
然而，仍然存在许多未解决的问题和挑战，需要进一步的研究和探索。
02
26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，这使得其测地线 的性质和计算方法与一般曲面有所不同。例如，在一般曲 面中，测地线通常是直线或平面曲线，而在26曲面上，测 地线可能是复杂的空间曲线。
03
由于26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，因此其测地 线的存在性和唯一性也可能与一般曲面有所不同。例如， 在某些特定条件下，26曲面上的测地线可能不存在或不止 一条。
微分几何中的测地线性质
01
微分几何 §6 曲面上的测地线
r=r(u1 ,u 2 )，u1 =u1(s),u 2 =u 2(s)的 r k
n
..
若记 n ， n，
kg r k
k g r k （，n，） k n k sin k
..
..
命题1
k k k ,
下面给出测地曲率的一般计算公式 设曲面曲线 C : u s , u u s 其中s是自然参数 有
, 2 2
k g k ( , , n) ( , k , n)=( r , r , n) . du i r ri ds i
r ij k
i, j ..
2 2 2
d ds 1 2 G ln E v du ds dv ds cos 1 E 1 G 1 2 E cos sin ln G u sin
由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.
例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线 证明：对于平面
ds 2 du 2 dv 2
d 2u k ds
2
ij k
i, j
du i du j ds ds
0, k 1, 2
du k ds ( du k ds
在初始要件 s s0 , u k u0 k ,
)0
由微分方程知识知有唯一解
曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一 一条测地线切于此方向
6.3. 曲面上的半测地坐标网 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以成以下形式
，
这是 ： 的二次方程，其判别式为
,所以当且仅当 时， =0上述判别式它可以写成
因此除上述的情况外，判别式 >0.
也就是说方程总有两个不相等的实根因而曲面上每一点处除了上述情况总有两个主方向.它们也是这一点的杜邦指标线的主方向，并且如何曲面上某一点处有
定理3若一共球面 和一个球面（或平面）沿一条曲线 相切，则 是 的一条曲率线， 沿 的法曲率是异于零的常数（或为0）.
而定理3的逆定理为
定理4若一个平面 沿一条曲率线 主曲率是异于0或常数（或等于0）则 沿 和一个球面（或平面）相切.
证明若 沿一条曲率线 的方向，主曲率 为常数，则将罗德里克方程（1）（ ）沿 的积分得 ，其中 为常矢，分别取两边和自己的数积即得 ，这表明 在一个球面上，而且根据前一式， 和 这个球面沿有相同的法矢 .
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
另一方面若 沿一条曲率线 的方向主曲率 ，则将罗德里克方程，沿 ， 即 固定，因而 （常数）.这表明 在一个平面上，而平面法矢就是 .证毕.
3 渐近曲线
3.1渐近曲线定义
若曲面 上一条曲线 总是沿着一个渐进方向，即法曲率 的方向，则 成为 上的一条渐近曲线.平面上的任意一点的方向渐进方向，平面上的每一条曲线都是渐近曲线.
微分几何中的测地线-教案
教案微分几何中的测地线-教案1引言1.1微分几何的基本概念1.1.1微分几何的定义：研究曲线、曲面和更高维流形的性质和结构的数学分支。
1.1.2微分几何的历史：起源于17世纪，牛顿和莱布尼茨的微积分为微分几何的发展奠定了基础。
1.1.3微分几何的应用：在理论物理、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
1.2测地线的概念1.2.1测地线的定义：在曲面上，连接两点的最短路径。
1.2.2测地线的重要性：在几何学和物理学中，测地线扮演着关键角色，如广义相对论中的自由落体路径。
1.2.3测地线的应用：在导航、地球物理学和天体物理学等领域有实际应用。
1.3教案的目的和结构1.3.1教案目的：深入理解微分几何中测地线的概念、性质和应用。
1.3.2教案结构：本教案分为十个章节，包括引言、知识点讲解、教学内容等。
1.3.3教案的使用：适用于大学数学系微分几何课程的教学和学习。
2知识点讲解2.1曲率和测地线2.1.1曲率的定义：描述曲线或曲面弯曲程度的量。
2.1.2测地线与曲率的关系：在曲率非零的曲面上，测地线是曲率最小的路径。
2.1.3曲率的计算：使用微分几何中的公式和方法计算特定曲线或曲面的曲率。
2.2测地线的性质2.2.1测地线的局部性质：在曲面上任一点附近，测地线是直线。
2.2.2测地线的全局性质：在闭合曲面上的测地线可能形成闭合回路。
2.2.3测地线的唯一性：在给定起始点和方向的情况下，测地线是唯一的。
2.3测地线的应用2.3.1在地球物理学中的应用：用于测量地球表面的距离和导航。
2.3.2在天体物理学中的应用：用于描述天体运动的路径。
2.3.3在理论物理中的应用：在广义相对论中，测地线描述了物体在重力场中的运动。
3教学内容3.1微分几何基础3.1.1曲线和曲面的基本概念：介绍曲线和曲面的定义、性质和分类。
3.1.2微分形式和积分：讲解微分形式的概念，以及其在曲线和曲面上的积分方法。
3.1.3曲率和挠率：详细讲解曲率和挠率的定义、计算和应用。
微分几何如何研究流形上的测地线
微分几何如何研究流形上的测地线在微分几何的广袤领域中，测地线的研究是一个关键且富有魅力的课题。
那么，究竟微分几何是怎样来研究流形上的测地线的呢？让我们一同踏上这个探索之旅。
要理解测地线，首先得知道什么是流形。
流形，简单来说，就是一种局部看起来像欧几里得空间的空间。
比如说，地球表面就是一个二维流形，在局部，我们可以把它近似看作平面。
测地线在流形上有着特殊的地位。
直观地说，测地线就是流形上两点之间“最短的路径”。
但这里的“最短”并不是我们平常理解的直线距离最短，而是在流形的特殊几何结构下的最短。
那么，微分几何是通过哪些方法和工具来研究测地线的呢？首先，少不了的是度量张量。
度量张量可以告诉我们流形上任意两点之间的距离关系。
通过度量张量，我们能够计算出曲线的长度。
而测地线就是那些长度泛函的极值曲线。
接下来是变分法。
想象一下，我们有很多条连接两点的曲线，通过变分法，我们可以找到其中使得长度最小的那条曲线，这就是测地线。
再说说联络。
联络在研究测地线时也起着重要作用。
它描述了向量在流形上如何平行移动。
通过研究向量的平行移动，我们可以更好地理解测地线的性质。
为了更深入地研究测地线，我们还会用到常微分方程。
因为测地线满足一定的微分方程，通过求解这些方程，我们可以得到测地线的具体表达式。
在实际研究中，我们会先给定一个流形和它的度量。
然后，利用上述的工具和方法，逐步推导出测地线的相关性质。
比如说，对于一个球面，我们知道它是一个二维的流形。
通过计算球面的度量张量，再运用变分法和常微分方程，我们可以得出球面上的测地线是大圆。
测地线的研究不仅仅是理论上的探索，它在物理学中也有着广泛的应用。
在广义相对论中，光线沿着时空流形的测地线传播。
这一观点对于理解引力现象和宇宙的结构有着至关重要的意义。
另外，在计算机图形学和机器人学等领域，测地线的研究也帮助我们优化路径规划和运动控制。
总之，微分几何通过度量张量、变分法、联络和常微分方程等工具和方法，深入研究流形上的测地线。
微分几何中的测地线与测地曲率-教案
微分几何中的测地线与测地曲率-教案1引言1.1微分几何的起源与发展1.1.1微分几何起源于17世纪，以牛顿和莱布尼茨的微积分为基础。
1.1.219世纪，高斯、黎曼等数学家进一步发展了微分几何，引入了曲率等概念。
1.1.320世纪，微分几何与广义相对论结合，成为现代物理学的重要工具。
1.1.4微分几何在计算机图形学、学等领域也有广泛应用。
1.2测地线与测地曲率的基本概念1.2.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，类似于欧几里得空间中的直线。
1.2.2测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，它与曲面上一点的切平面和曲面的夹角有关。
1.2.3测地线与测地曲率是微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和几何结构至关重要。
1.2.4测地线与测地曲率在理论物理、工程学等领域有广泛的应用。
1.3教学目标与意义1.3.1通过本课程的学习，使学生掌握测地线与测地曲率的基本概念和计算方法。
1.3.2培养学生运用微分几何知识解决实际问题的能力，提高学生的几何直观和空间想象力。
1.3.3深化学生对曲面几何性质的理解，为后续学习高级微分几何打下基础。
1.3.4培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2知识点讲解2.1测地线的定义与性质2.1.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，可以通过变分法求得。
2.1.2测地线具有一些特殊的性质，如它们在切平面内的方向是相互垂直的。
2.1.3测地线与曲率有关，曲率越大，测地线越弯曲。
2.1.4测地线在几何学中有许多应用，如描述曲面上的最短路径问题。
2.2测地曲率的计算与性质2.2.1测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，可以通过计算曲面上的曲率张量得到。
2.2.2测地曲率与曲面上的测地线有关，测地线越弯曲，测地曲率越大。
2.2.3测地曲率可以用来判断曲面的几何性质，如球面上的测地曲率恒为常数。
2.2.4测地曲率在物理学中有重要应用，如描述时空的弯曲。
2.3测地线与测地曲率的应用2.3.1测地线可以用来描述曲面上的最短路径问题，如地球表面的导航问题。
微分几何知识点整理——测地曲率相关研究
微分几何——测地曲率相关研究1. 测地曲率计算公式的总结，并给出实例。
设曲面S 的方程是12(,)r r u u =，C 是S 上的曲线，其方程是()a a u u s =，s 是曲线的弧长参数，建立标架场123{();,,}r s e e e ，满足13231()()()()()()()()()()dr s e s a s dse s n s e s e s e s n s a s ====⨯=⨯可设 1123213312()g n g g n g dr s e ds de k e k e ds de k e e ds de k e e ds ττ⎧=⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=--⎩其中n k 表示的是曲面S 上曲线C 的法曲率，,g g k τ都是待定的系数，g k 表示测地曲率，由定义可知测地曲率的计算方法公式1 12(,,)g de k e n r r ds== 由此我们可得到(,,)()(()())()cos g k n r r n r r n s k s kn s k αβγθ==⨯=⨯=其中k 表示曲线C 的曲率，θ表示曲线的从法向量γ与曲面的法向量n 的夹角。
其中k 表示曲面的曲率，θ表示曲线C 的从法向量γ与曲面S 的法向量之间的夹角。
公式2 sin g k k θ=±其中θ表示曲线的主法向量β与曲面的法向量n 的夹角结合kij ij k ij r r b n =Γ+，可将计算公式展开得到公式3 1222212122i j i j g ij ij du d u du du du d u du du k ds ds ds ds ds ds ds ds ⎤⎛⎫⎛⎫=+Γ-+Γ⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦其中，对于正交参数系来说，曲线的测地曲率是公式4g d k ds θθθ= 特别地，u 曲线的测地曲率1g k =，v 曲线的测地曲率是2g k =。
这样原公式就可以改写为12cos sin g g g d k k k ds θθθ=++。
微分几何26曲面上的测地线
三、测地曲率的计算公式
k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n)
k (rij ij rk Lij n)
k
1 2 i i du dv du du du du r ru rv r1 r2 ri ri ds ds ds ds ds ds i i i j 2 i i j 2 k du du d u du du d u r rij 2 ri rij 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
2 2 kn kg k 2 cos2 k 2 sin 2 k 2
于是
注意： n, , , 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 * * ( c ) ( c 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 ) 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c ) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又 P 在切平面上，所以柱面在 P * 的法向量 应在切平面上，而（ C ）点的切 ( c ) 向量 也在切平面上，所以柱面在 P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， * 法截面与柱面的交线就是法截线 (c ) ，因此柱面在 方向的法 曲率 kn k * , kn k * (k *为(c* )在P点的曲率),
微分几何 §6 曲面上的测地线
这个公式称为刘维尔公式。
6.2. 曲面上的测地线 曲面上的一条曲线，如果它的一点处的测地曲率为 零，则称为测地线。 显然曲面上的直线是测地线 命题1 曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件 是 除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法 线。
因为 .. k g r k （，n，） k n k sin k
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
cos , dv ds sin , du dv cot const
u av b
即是平面上的直线。
测地线的存在性 命题2 过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向， 则存在唯一一条测地线切于此方向。 由测地线的微分方程
d 2v ds 2 cos d G ds
v
Gu 2G 2
sin 2
Gu 2G EG
u
cos sin
代入上页公式有
d E cos G sin k ds 2G E 2G E
g
d 1 ln E 1 ln G cos cos ds 2 G v 2 E u
Kd k ds a 2 ,
k g G G i 1 i
其中是曲线多边形的第个角。 这是三角形三内角和是1800的推广
七. 常高斯曲率的曲面 在曲面 S : r r u , v 上建立半测地坐标网 则曲面的第一基本形式可以化简为：
d s d u G u , v d v .
.
..
du i du j ds ds ds ds
曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率
曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省1，张光照2（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191; 2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲率计算公式和刘维尔公式的直接推导。
关键词: 测地曲率向量; 测地曲率; 几何意义；刘维尔公式中图分类号: O186. 11 文献标识码: A关于曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率的定义，文献[1-4 ]中采用的是直接给出了表述定义的式子，没有给出导致这种定义的几何意义来源，使人感到过于突然。
我们指出在导出曲面的第二基本形式的几何意义时，蕴涵了测地曲率向量的几何来源和意义，这样就符合人们的认识发现规律，有利于教学理解。
对测地曲率的计算公式和刘维尔公式，我们亦给出了直接的推导过程。
1 测地曲率向量的几何来源在导出曲面的第二基本形式的几何意义时蕴涵了测地曲率向量的几何来源[1,2]。
设曲面∑的参数方程为∆∈=∑),(),,(:v u v u r r 。
如果),(v u r具有二阶连续偏导数，称曲面∑为2C 类曲面。
现在任固定曲面∑上一点(,)P u v ，并设P T 为曲面∑在P 点的切平面。
收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）。
作者简介：邢家省（1964--），男，河南泌阳人,博士，北京航空航天大学副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何. 张光照（1972- ），男，河南鹿邑人，副教授，硕士，研究方向：数论、数学应用及高职教育.曲线Γ：(),()u u s v v s ==或((),())r r u s v s =是∑上过P 点的一曲线，其中s 是曲线的自然参数。
设Q 是曲线Γ上在P 点邻近的一点，P 和Q 点分别对应自然参数s 和s s +∆，即P 和Q 点的向径分别为(),()r s r s s +∆。
根据泰勒公式，有()()PQ r s s r s =+∆- 21()(())()2r s s r s s ε'''=∆++∆，其中123((,),(,),(,))s s s s s s εεεε=∆∆∆，0lim 0s ε∆→=。
微分几何的基本概念
微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是：曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。
这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。
实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。
我们可以从以下几个定理来理解这个推广：定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。
定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。
平面上的直线具有这个性质。
2. 确定一个直纹面的要素有：所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。
正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。
确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u).经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u)曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。
3. 曲线的曲率公式为||r, 空间曲线的基本公式是 . ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγτακββκα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面．平面上的点满足的条件为v u r r ⨯在),(00v u 点不等于零．4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=∙=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ⨯=⨯=⨯=,,，那么c b a,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与r r ⨯=0 的关系是充分条件 。
大地线
用途
图3当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。在通常情 况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面A，B，C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构 成闭合三角形，见图3。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线 构成的单一的三角形。
图2-相对法截线示意图假设经纬仪的纵轴同 A，B两点的法线 Ana和Bna重合（忽略垂线偏差），如此以两点 为测站，则经纬仪的照准面就是法截线。用A点照准B点，则照准面AnaB同椭球面的截线为 AaB，叫 A点的正法截 线，或 B点的反法截线；同样由 B点照准 A点，则照准面BnbA与椭球面的截线为 BbA，叫B点的正法截线，或 A 点的反法截线。因法线 Ana和 Bnb互不相交，故 AaB和 BbA这两条法截线不相重合。AaB和 BbA叫做 A，B两点 的相对法截线。注：na与nb分别是 A，B两点法线与短轴的交点。
方程式
大地线微分方程
图4如图4，设 p为大地线上任意一点，其经度 L，纬度为 B，大地线方位角为A。当大地线增加 dS到p1点时， 则上述各量相应变化 dL， dB及 dA。所谓大地线微分方程，即表达dL，dB，dA各与dS的关系式。表面 A, B两点之间，画出相对法截线如图1，然后在A，B两点上各插定一 个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形 成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，如图1所示，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际 上是两点间最短线。
大地线
地球椭球面上两点间的最短程曲线
01 基本概念
03 方程式
目录
02 用途
大地线（Geodesic Lines）是指地球椭球面上两点间的最短程曲线。大地线上每点的密切面（无限接近的三 个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。
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dui ds
ddusj )r2,n)
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ห้องสมุดไป่ตู้
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kg
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r1,(dd2us22
i, j
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dui ds
ddusj )r2,n)
((dd2us21
第六节 曲面上的测地线
平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。
曲面上的测地线相当于平面上的直线。
6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义
给定曲面S：rr(u1,u2),（c）是曲面上的一曲线：u u(s)
在令曲nn ,线 , 上 ,一 点都，P在 r 则 有n P：n 点,的, 法n 是面 两上两c 。正o 交 的s 单n位向量且成右手系，
这就是测地曲率的一般计算公式。
特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并 整理得
kg g[d du sd d2v 2sd dv sd d2u 2s2 E G v(d d)u s3G G u(d d)u s2 d dv s Gv du (d)v2Eu(d)u2dv Evdu (d)v2G u(d)v3] 2Gdsds 2EdsdsEdsds 2Eds
角为下面 给，出则一d 个d r 简 单s 一 点r u E 的c 形式o 。 设r s G v 曲s 线的i 切n r 方ud d 向与 u s r u v -线d d 所成v s的
du 1co ,sdv 1sin,
ds E ds G
d2u ds2
法截面与柱面的交线就是法截线 ( c * ) ，因此柱面在 方向的法
曲率 kn k*,kn k* (k*为(c*)在P点的曲 ), 率
法由向于量和n柱k面c在oPs点，的其法中向k量为（ C ）之在间的P点角的，曲即率， 为（C）的主 n k co k s k g .
k
(dd2u2sk i,j
ddiusddujsikj)rki,j
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ds
(r1,r2,n(d)dus2((r1dd2rus221)r1i,jgr2i1jddusi1gdd(urs1 j 2)]r(r212, r2(,rn1)r2)2)
柱面取上的为曲柱线面。上在P这点个的柱法面向上量用，梅由尼于埃柱定面理垂。
(c)
直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平
行的向面于 法 量 就切向是平量切也面向在，量切应又平在P面与在切上法切平，向平面所量面上以上，柱，而面所所（在确以CP定）柱的的点面法平的在截面切P，
(c * )
1 (EG F2) g g
k g g [d d ( 1 (d u d s 2 u 2 2 s i,j i2 d jd id d u s j) u s (d d 2 (d u d s 2 u 2 1 s i,j i 1 d jd id d u s j)u s ]
k g g [d d ( 1 (d u d s 2 u 2 2 s i,j i2 d jd id d u s j) u s (d d 2 (d u d s 2 u 2 1 s i,j i 1 d jd id d u s j)u s ]
定义：曲线（c）在
P
点的曲率向量
r
k在
上的投影（即在
S上P点的切平面上的kg投影r）k
称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
命题1：k2 kg2 kn2
证明： kgk(k)nkk(n n)k(,n,)k(,,n) kg kco9s0(0)ksin
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。
这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。
习题3。
三、测地曲率的计算公式
(rij
ikjrk
Lijn)
k
k g k (, ,n ) (,k,n ) (r,r,n )
d(cos )
E
d
d
ds
d(cos )
E du
du ds
d(cos )
E dv
dv ds
sin
E
d cos
ds
于是 kn 2kg 2k2co 2 sk2si2nk2
注意： n,,, 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地
曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 ( c * ) 的曲率。
证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ( c * ) ，（C）和( c * ) 都是
r r ud d u s r vd d v s r 1d d 1 u s r 2d d 2 u si r id di u si d dir u is
r
i
diu ds j
ddujsriji
dd2u2siri i,j ddiusddujsrijk dd2u2skrk