2020年高三理科数学一轮讲义案第十三章13.1.2《参数方程》

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2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书全套打包下载第13章选修系列

第十三章选修系列选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.导师提醒熟记几种简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) 圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )，(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a(－π2<θ<π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0<θ<π)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选 A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.故选A. 在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：选 A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)．所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.答案：6平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆． 2．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．3．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．解：由⎩⎨⎧X ＝ax ，Y ＝by 得⎩⎨⎧x ＝1aX ，y ＝1bY ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l的距离．(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．解：设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 2．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．极坐标方程的应用(师生共研)(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋43，π3. 所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6 ＝12＋2534.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．1．(2019·长春质量检测)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程； (2)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π2)都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)由题意可得，曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由点A ，B 在曲线C 1上，得ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2（θ0＋π2），则1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04，因此1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值．解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8≥281＋sin 2α×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.[基础题组练]1．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α，所以|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4，因为0<α<π2，所以1<1＋sin 2α<2，所以6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9，所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 2．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2. (1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，因为O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，所以⎩⎨⎧ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ），ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ.用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |，所以S 四边形ABCD ＝12（28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝249－sin 22θ，因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)． (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32，因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立，得⎩⎨⎧θ＝2π3（ρ≥0）ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3. 所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2π3，所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1ρ2＝cos 2θ3＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M . (1)求点M 的极坐标；(2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB ||AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得x －y ＝1，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎨⎧x －y ＝1，x 2＋y 2＝1（y ≥0），可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)． (2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos α3sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝－23sin 2α＋cos 2α，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝23sin 2α＋cos 2α，|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin 2α＋cos 2α ＝231＋sin 2α3sin 2α＋cos 2α.所以|MA |·|MB ||AB |＝331＋sin 2α.因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1.所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为66.第2讲参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) 导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． ①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22； ③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t ①，y ＝1t t 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎨⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒ ⎩⎨⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t2，y ＝1＋2t 2(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．【解】 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t 2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，即a >0，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，所以由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意，当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a ＝94.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4，y ＝t sin π4(t 为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85. 2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510. [基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程； (2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos。

2020届高考数学(理)一轮复习讲义 13.2 第2课时参数方程

第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程概念方法微思考1．在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？提示 θ的几何意义为该圆的圆心角．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二教材改编2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3. 题组三易错自纠4．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5．设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围．解由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值．解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ，即直线l 的普通方程为3y －x ＋m ＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根， ∴t 1t 2＝m 2－2m . ∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|， ∴m 2－2m ＝±1，解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一参数方程与普通方程的互化1．(2018·包头调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程．解由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0)．因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．题型二参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练1 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π， θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．跟踪训练2 (1)(2018·湖北八校联考)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)．①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； ②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |.解 ①曲线C 1的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，∴曲线C 1的普通方程为y 2＝2x ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)，消去参数t ，得C 2的普通方程为x ＋y ＝4.②将C 2的参数方程代入C 1的普通方程并化简得12t 2－32t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝62，故|AB |＝|t 1－t 2|＝6 2.(2)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. ①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解 ①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入(ⅰ)式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(ⅱ)②将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入(ⅱ)式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.1．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0，所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2，所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． (1)求圆C 的一个参数方程；(2)在平面直角坐标系中，P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos φ，y ＝2＋5sin φ(φ为参数)．(2)由(1)可知点P 的坐标可设为(2＋5cos φ，2＋5sin φ)，则x ＋2y ＝2＋5cos φ＋4＋25sin φ＝25sin φ＋5cos φ＋6＝5sin(φ＋α)＋6，其中cos α＝255，sin α＝55，当x ＋2y 取最大值时，sin(φ＋α)＝1，φ＋α＝2k π＋π2，k ∈Z ，此时cos φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝55， sin φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝255，所以x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3,4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 过定点(－2,2)，且斜率为－12.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；(2)点P 在曲线C 上，当θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12时，求点P 到直线l 的最小距离并求点P 的坐标．解 (1)曲线C ：x 24＋y 23＝1；k ＝tan α＝－12，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧ sin α＝55，cos α＝－255，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－255t ，y ＝2＋55t (t 为参数)．(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，易知直线l ：x ＋2y －2＝0，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋23sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25，因为θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，则θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π4，7π12，当且仅当θ＋π6＝π4时，P 到直线l 的距离最小，d min ＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25＝22－25＝210－255，此时θ＝π12，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6＋22，32－64.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解 (1)将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0. (2)直线l 的倾斜角为π4，过点(3，0)，所以将直线l 化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，即⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入x 24＋y 23＝1，得7t 2＋66t －6＝0，Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384>0，设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3.(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围．解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3.将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0，整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，化简得cos αsin α<0. 又0≤α<π，所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1，从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42，即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42]．6．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值．解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12. 又由已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2，得⎩⎨⎧x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9. (2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247，∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427.又直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7，∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1， ∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。

苏教版高考数学一轮复习讲义---第13章学案73 坐标系与参数方程

学案73 坐标系与参数方程导学目标： 1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M 是平面上任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝__________，y ＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的________________________________________________________________________．(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r ,0)半径为|r |的圆；____________表示圆心在(r ，π2)半径为|r |的圆；________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；__________表示过(b ，π2)且平行于极轴的直线；ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α.这是直线的参数方程，其中参数l 有明显的几何意义．(2)圆的参数方程若圆心在点M (a ，b )，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，0≤α<2π.(3)椭圆的参数方程中心在坐标原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．(4)抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .自我检测1．(教材改编题)点M 的直角坐标为(－3，－1)，则它的极坐标为________． 2．(原创题)在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)的位置关系为________．3．(2011·陕西)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．4．(2011·广州一模)在极坐标中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．5．(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________.探究点一求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．变式迁移1 如图，求经过点A (a,0)(a >0)，且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程．探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．探究点三参数方程与普通方程的互化例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2y ＝6k 21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θy ＝sin θ＋cos θ； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2y ＝t1＋t2.变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θy ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1t y ＝1tt 2－1(t 为参数)．探究点四参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F (x ，y )＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x ，y 之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x ，y (它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．直角⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t(t 为参数)恒过定点________．2．点M (5，π6)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(－5，－π6)；②(5，7π6)；③(－5，π6)；④(－5，－7π6)．其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号)．3．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，π3)，(4，－π6)，则AB ＝________，S △AOB＝________.(其中O 是极点)4．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ (0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．5．(2011·天津)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.6．(2010·广东韶关一模)在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 7．(2009·安徽)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则AB ＝________.8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．二、解答题(共42分)9．(14分)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．(14分)(2011·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．11．(14分)(2010·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .学案73 坐标系与参数方程答案自主梳理1．极轴极坐标系极径极角极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx(x ≠0) 3.(1)极坐标方程 (2)①ρ＝2r cos θ ρ＝2r sin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R ) ρcos θ＝a ρsin θ＝b自我检测1．(2，76π)(答案不唯一)2．重合 3．3解析 ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1， ∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2，∴|AB |min ＝5－2＝3.4．43解析直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.5．(－1,1)，(1,1) 解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．课堂活动区例1 解题导引求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．答案 ρ＝a sin θ，0≤θ<π解析圆的直径为a ，设圆心为C ，在圆上任取一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝π2－θ或θ－π2，即∠AOC ＝|θ－π2|.又ρ＝a cos ∠AOC ＝a cos|θ－π2|＝a sin θ.∴圆的方程是ρ＝a sin θ，0≤θ<π.变式迁移1 解设P (ρ，θ)是直线l 上任意一点，OP cos θ＝OA ，即ρcos θ＝a ，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .例2 解题导引直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．变式迁移2 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．例3 解题导引参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k 有困难，可通过两式相除，先降低k 的次数，再运用代入法消去k ；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t 2)2＝1消去t . 另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．解 (1)两式相除，得k ＝y 2x .将k ＝y2x代入，得x ＝3·y 2x1＋(y 2x )2.化简，得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程是y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (3)由(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t 2)2＝1，得x 2＋4y 2＝1.又x ＝1－t 21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1)．变式迁移3 解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x ，得y 2＝2x ＋1.∵－12≤12sin 2θ≤12，∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12 (－12≤x ≤12，－2≤y ≤2)，图形为抛物线的一部分．图形如图甲所示．(2)由x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两段圆弧x 2＋y 2＝1 (0<x ≤1,0≤y <1或－1≤x <0，－1<y ≤0)．图形如图乙所示．例4 解题导引一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决．解将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ即：x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝94.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t即：2x －y －3＝0. 所以圆心到直线的距离d ＝|2×32－0－3|22＋(－1)2＝0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.变式迁移4 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课后练习区 1．(3，－1)解析由题知，x －3＝a4(y ＋1)，∴恒过定点(3，－1)．2．②③ 3．5 6解析 ∵∠AOB ＝π2，∴∠AOB 为直角三角形．∴AB ＝32＋42＝5，S △AOB ＝12×3×4＝6.4．(1，255)解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为(1，255)．5.2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.6．ρ＝－22cos θ解析如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 7．14解析直线的极坐标方程为θ＝π4(且ρ∈R )，故其直角坐标系下对应的方程为y ＝x ，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)的直角坐标系下对应的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22.又半径为2，故弦长为24－12＝14.8．ρ＝4sin θ解析由参数方程消去α得圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.9．解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1分)(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标系方程，(4分)同理x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标系方程．(7分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.(11分) 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标系方程为y ＝－x .(14分)10．解由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.(6分)故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，(8分) 即x －2y －4＝0.(14分)11．解方法一 (1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(6分)(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.(8分) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4.(10分) 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(14分) 方法二 (1)同方法一． (6分)(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.(10分) 不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2.(14分)。

(高三理科数学第一轮复习)第十三章第1节第1课时坐标系

一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线．
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
9
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ＝cos
圆心为r，π2，半径为 r 的圆
____ρ_＝__2_r_si_n__θ(_0_≤__θ_<_π_)____
6
知识衍化体验
考点聚集突破
过极点，倾斜角为 α 的直线过点(a，0)，与极轴垂直的直线过点a，π2，与极轴平行的直线
7
@《创新设计》
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝α＋π(ρ∈R)
答案 A
10
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.1，π2 C.(1，0)
B.1，－π2 D.(1，π)
解析法一由 ρ＝－2sin θ 得 ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，即 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.
4
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，
极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
x＝ρcos θ，
ρ2＝x2＋y2，
____y_＝__ρs_i_n_θ______或___ta_n__θ_＝__yx_(x_≠__0_)_，__

2020年高考理科数学一轮复习：参数方程

教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
考点一参数方程与普通方程的互化[基础练通]
1．把下列参数方程化为普通方程，
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)．
x＝2＋sin2 θ (2)y＝－1＋cos 2θ
(θ 为参数)．
(θ 为参数)
中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线
xa22－by22＝1(a ＞0，b＞0)
顶点在原点，焦点在 x y2＝2px(p＞
轴正半轴上的抛物线
0)
x＝____a_s_e_c_θ____ y＝____b_ta_n__θ____
(θ 为参数)
x＝___2_p_t_2 ______ y＝___2_p_t_______
(t 为参数)
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大一轮复习·数学·RJ（理）
[拓展] 1．参数方程化普通方程 (1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式：cos2 θ＋sin2 θ＝1,1＋tan2 θ＝cos12 θ.
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B．表示线段
C．表示圆
D．表示半个圆
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大一轮复习·数学·RJ（理）
2．(知识点 2)已知点 P(3，m)在以 F 为焦点的抛物线xy＝＝44tt2， (t
为参数)上，则|PF|等于( A ) ⇐源自选修 4－4P39 习题 T1

2020年高考数学一轮复习参数方程

参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2.(1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆． ( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎨⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧ 0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎨⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． [规律方法] 消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1.参数方程的应用【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6. (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝ |t 1t 2|＝11.[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1. 当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403.极坐标、参数方程的综合应用【例2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.1⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110. 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．[解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k＝tan α＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.。

高三数学一轮总结复习目录

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十三章算法初步

１２
，Ａ＝２，Ｓ＝
９２
，不满
足条件Ｓ≥１０，执行循环体，ｎ＝３，ａ＝
１４
，Ａ＝４，Ｓ＝
３５４
，不满足条
件Ｓ≥１０，执行循环体，ｎ＝４，ａ＝
１８
，Ａ
＝
８，
Ｓ
＝
１３５８，满足条
件
Ｓ≥
１０，退出循环，
输出ｎ的值为４．故选Ａ．
１－２（２０１８广东汕头一模，７）上海浦东新区２００８年的生
循环结构
在一些算法中，会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体
对应学生用书起始页码Ｐ２４１２．条件语句
（１）条件语句与程序框图中的条件结构相对应．（２）条件语句的格式及框图ａ．ＩＦ—ＴＨＥＮ格式
ｂ．ＩＦ—ＴＨＥＮ—ＥＬＳＥ格式
程序框图
二、基本算法语句１．三种语句的一般格式和功能
语句
一般格式
功能
输入语句ＩＮＰＵＴ“ 提示内容” ；变量
输入信息
输出语句ＰＲＩＮＴ“ 提示内容” ；表达式
输出结果
赋值语句
变量＝表达式
将表达式的值赋给变量
３．循环语句（１）算法中的循环结构是由循环语句来实现的．（２）循环语句的格式及框图ａ．ＵＮＴＩＬ语句
第十三章
算法初步
真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
２０１９课标Ⅰ，８
５分
选择题
中
程序框图与算法语句
完善程序框图
解题方法核心素养

高考数学(理)一轮复习讲义142参数方程(人教A

第2讲参数方程考点梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ (θ为参数且0≤θ≤2π)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t (t 为参数且0≤t ≤2π)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案－63．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32. 答案 325．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ 5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)，由⎩⎨⎧x ＝54t2，y ＝t(t ∈R )得，x ＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0.解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .解 (1)由已知⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1. (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中，得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2010·陕西)参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.故α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．[来源: ]解由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1，即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝425. 普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2013·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2. ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. ∴|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2013·深圳模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2013·东莞模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k 2＝1⇒k ＝±33.答案 ±333．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 854．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 答案 4 －15．(2013·湛江调研)参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形上的点到直线y ＝x 的最短距离为________．解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ化为普通方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r ＝3，则圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|3－(－3)|2＝32，则圆上点到直线y ＝x 的最短距离为d －r ＝32－3＝3(2－1)．答案 3(2－1)6．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.[来源: ]答案 17．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析曲线C 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)化为普通方程：x 22＋y2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞8．如果曲线C ：⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0. 答案 (－22，0)∪(0,22)二、解答题(共20分)9．(10分)(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．10．(10分)(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)， ⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，11 / 11 从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r . 故直线l 与圆C 相交．。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《参数方程》

第二节参数方程知识点一参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x ，y 的变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．2．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝185.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min ＝2×95＝185.知识点二常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 3．圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝－6.解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)的斜率为－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，k ＝－6.4．椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)．解析：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 2＋y24＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为167.解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167.1．参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．(2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．若M 1，M 2是l 的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则有以下结论： (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝t 1＋t 22.(3)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.考向一参数方程与普通方程的互化【例1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点，求实数m 的取值范围．【解】 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，可得其直角坐标方程为y ＝x 2(－2≤x ≤2)，由曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m ，可得其直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程，可得x 2－x －m ＝0， ∴m ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14， ∵－2≤x ≤2，曲线C 1与曲线C 2有公共点， ∴－14≤m ≤6.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；,③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致.将下列参数方程化成普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π2，π])．解：(1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，∴普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈[π2，π]，∴x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，∴普通方程为x 2＋y 2＝1，(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一．考向二求曲线的参数方程【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点当且仅当|21＋k2|<1，解得k <－1或k >1，即α∈(π4，π2)或α∈(π2，3π4)．综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．本题通过参数法建立了点P 的轨迹方程，有时求曲线的参数方程也可通过相关点法求解.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ(t 为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，直线l 与C 交于不同的两点P 1，P 2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数方程．解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1，得t 2－4t sin φ＋3＝0(*)，由16sin 2φ－12>0，得|sin φ|>32，又0≤φ<π，∴φ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(2)设P 1(t 1cos φ，－2＋t 1sin φ)，P 2(t 2cos φ，－2＋t 2sin φ)，由(1)中的(*)可知，t 1＋t 22＝2sin φ，∴可得P 1P 2中点的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φ(φ为参数，π3<φ<2π3)．故线段P 1P 2中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φφ为参数，π3<φ<2π3. 考向三利用直线的参数方程求长度【例3】已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．【解】 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝－1＋2t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由ρsin 2θ＝4cos θ，可得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，整理得4t 2＋8t －7＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－74，∴|AB |＝(－3)2＋22×|t 1－t 2| ＝13×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝13×4＋7＝143.考向四利用椭圆参数求最值【例4】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【解】 (1)当a ＝－1时，直线l 的方程为x ＋4y －3＝0.曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1.联立得方程组⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.所以C 与l 交点坐标是(3,0)和－2125，2425.(2)直线l 的一般方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917，由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.(2019·福州市模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos(θ－π4)＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x 2t 2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t＝±2.又t>0，所以t＝ 2.。

2020届高三理数一轮讲义：13.1.1-坐标系(含答案)

第1节坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知识梳理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ<π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝α＋π(ρ∈R ) 过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0<θ<π)[微点提醒] 关于极坐标系1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线．答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.答案 A3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)解析法一由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 法二由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.答案 B4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________.解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝15.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析将2ρcos 2 θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ①，C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1②，联立①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)．答案 (1，2)6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________.解析将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3，1)．极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1转化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，则点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|1＋（－3）2＝1.答案 1考点一平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线. (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆. 规律方法伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．易错警示应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x ，y )与变换后的点坐标(x ′，y ′)．【训练1】在同一坐标系中，求将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.解将曲线y ＝12sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ，即y ′＝sin x ′②，设伸缩变换公式是⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy(λ>0，μ>0)，把伸缩变换关系式代入②式得：μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到⎩⎨⎧μ＝2，λ＝3，所以，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长.解 (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，∴直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，|OQ |＝12×22＋22＝23，故线段PQ 的长为22－23＝523.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程. (2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考点三曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2019·太原二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中点，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积.解 (1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π3＝3， |AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－cos π3＝2(3－1)，所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.规律方法求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中0<α<π2.(ⅰ)求曲线C 的极坐标方程； (ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y2＝1.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ.(ⅱ)根据题意：射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2，所以|OA |＝21＋sin 2 α，|OB |＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝21＋cos 2 α，所以|OA |·|OB |＝21＋sin 2 α·21＋cos 2 α＝4(1＋sin 2 α)(1＋cos 2 α)≥21＋sin 2 α＋1＋cos 2 α2＝43.当且仅当sin 2 α＝cos 2 α，即α＝π4时，|OA |·|OB |取得最小值为43.[思维升华]1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)． [易错防范]1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标. 解设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求.2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin(θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，直线l ：x ＋3y ＝53，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，即为直线l 的极坐标方程. 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，即为圆C 的直角坐标方程.(2)由题意得ρA ＝4sin π6＝2，ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ).(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ； ∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ22＝4sin 2 α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2 α＝21＋sin 2 α＋4(1＋sin 2α)－4， ∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2，∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， ∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ，B 两点，若∠AOB ＝π3，求△AOB 的面积的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－23x －2y ＝0，所以，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (2)不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.则ρ1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3， △AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3＝12ρ1ρ2sin π3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3 ＝23cos 2θ＋3≤3 3.所以，当θ＝0时，△AOB 的面积取最大值3 3.8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B (A ，B 异于原点)，当斜率k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由ρcos 2 θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，结合⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)设射线l ：y ＝kx (x ≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k ＝tan φ∈(1，3].联立⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝φ，得|OA |＝ρA ＝2cos φ，联立⎩⎨⎧ρcos 2 θ＝sin θ，θ＝φ，得|OB |＝ρB ＝sin φcos 2 φ，所以|OA |·|OB |＝ρA ·ρB ＝2cos φ·sin φcos 2 φ＝2tan φ＝2k ∈(2，23]，即|OA |·|OB |的取值范围是(2，23].。

2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第13章第2讲参数方程

第2讲参数方程[学生用书P216]1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上 B.在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋ 5 sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( )A ．－4或6 B.－6或4 C ．－1或9D ．－9或1解析：选A .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋ 5 sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A .在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为____________．解析：消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.法一：由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.即交点坐标为(2，－4)．法二：把⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.参数方程与普通方程的互化 [学生用书P217][典例引领](1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB |的长．【解】 (1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x p ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y p ＝12sin 2θ＝sin θ cos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ cos θ(θ为参数)．(2)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以|AB |＝2.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．[通关练习]1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，因为直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.参数方程的应用[学生用书P218][典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为错误!(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t ，(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解】 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.应用参数方程解决问题的方法(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[通关练习]1．(2018·石家庄质量检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是错误!(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2 θ＋2ρ2sin 2θ＝12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP ||AQ |＝6，求直线l 的普通方程．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋2y 2＝12.直线l 的普通方程为y ＝k (x －2)，所以直线l 恒过的定点为A (2，0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得： (sin 2α＋1)t 2＋4t cos α－8＝0.由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.因为点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以t 1t 2＝－8sin 2 α＋1，因为|AP | |AQ |＝|t 1t 2|＝6，即81＋sin 2 α＝6，所以sin 2 α＝13，因为α∈(0，π)，所以sin α＝33，cos α＝±63，所以直线l 的斜率k ＝±22，因此，直线l 的方程为y ＝22(x －2)或y ＝－22(x －2)． 2．(2018·长春质量检测(二))已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2 θ)＝12，曲线C 2的参数方程为错误!(t 为参数)，α∈错误!.(1)求曲线C 1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)设曲线C 2与曲线C 1的交点为A 、B 、P (1，0)，当|P A |＋|PB |＝72时，求cos α的值．解：(1)由ρ2(3＋sin 2θ)＝12得x 24＋y 23＝1，该曲线是椭圆．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入x 24＋y 23＝1得t 2(4－cos 2 α)＋6t cos α－9＝0，由直线参数方程的几何意义，设|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，t 1＋t 2＝－6cos α4－cos 2α，t 1t 2＝－94－cos 2α，所以|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝124－cos 2α＝72，所以cos 2α＝47，因为α∈(0，π2)，所以cos α＝277.极坐标与参数方程的综合问题 [学生用书P218][典例引领](2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k ，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解】 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为5.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[通关练习]1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4|sin ⎝⎛⎭⎫α－π3|. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2018·福州综合质量检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，其左焦点F 在直线l 上．(1)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)将曲线C 的极坐标方程ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12化为直角坐标方程，得x 212＋y 24＝1，则其左焦点F (－22，0)，则m ＝－22.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)与曲线C 的方程x 212＋y24＝1联立，化简可得t 2－2t －2＝0，由直线l 的参数方程的几何意义，令|F A |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，则|F A |·|FB |＝|t 1t 2|＝2. (2)由曲线C 的方程x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的任意一点P 的坐标为(23cos θ，2sinθ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则以P 为顶点的内接矩形的周长为4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，因此当θ＝π6时，可得该内接矩形周长的最大值为16.直线参数方程的应用已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22. (3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.[注意] 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．[注意] 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．圆与椭圆参数方程的异同[学生用书P349(单独成册)]1．(2018·宝鸡质量检测(一))极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎨⎧x ＝12t y ＝1＋32t(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0，点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5.2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．解：(1)由ρ＝4cos θ，得(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入圆的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos αt 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，所以4cos 2 α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 4．(2018·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1.)(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0，1)为圆心、1为半径的圆，(易知C ，l 相离) 设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32，即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.1．(2018·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2 θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1，0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)因为点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，所以点M 的直角坐标为(0，1)．所以tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 因为Q 为线段AB 的中点，所以点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝32.又点P (1，0)，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝32.2．(2018·湘中名校联考)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最小值．解：(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎡⎦⎤2sin （θ－π4）＋2，由此当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 的轨迹．解：(1)直线l ：y ＝x ，曲线C ：x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋2t2y ＝y 0＋2t2(t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0. 由|MA |·|MB |＝83，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2＋2y 2＝6表示一椭圆，设直线l 1为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1得，3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得－3<m <3，故点M 的轨迹是椭圆x 2＋2y 2＝6夹在平行直线y ＝x ±3之间的两段椭圆弧．4．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.。

大高考2020版高考数学一轮总复习第13章坐标系与参数方程课件理

(2)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫
作点 M 的极径，记为 ρ ；以极轴 Ox 为始边，射线
OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序
数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为(ρ，θ).
2.极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记下来，到课后再慢慢弄懂它。
为(1，0)，而点2，π3 在直角坐标系中的坐标为(1， 3)，所以两点间的距离为 3. 答案 D
高考AB卷
学法大视野
[点评] 在极坐标系中研究曲线的形状、性质时，最常用的方法是化极坐标方程为直角坐标方程，转化为熟悉的问题，对一些简单的直线或圆的有关问题，也可以直接用极坐标知识解决.
x＝2pt2， y＝2pt (t
为参数).
高考AB卷
学法大视野
2.参数方程与普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. (2)化普通方程为参数方程只要适当选取参数 t，确定 x＝φ(t)，再代入普通方程，求得 y＝φ(t)，即可化为参数方程xy＝＝φφ（（tt）），.

2020届高考数学一轮复习第13章选修部分第58节参数方程课件文

形成型·微题组归纳演绎·形成方法
参数方程与普通方程的互化
(2018 贵州遵义模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：
x＝t， y＝t－a
(t
为参数)过椭圆
C：xy＝＝32csions
φ， φ
)(φ 为参数)的右顶点，
求常数 a 的值．
【解】直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，椭圆 C 的普通方程为x92＋y42＝1， ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)． ∵直线 l 过(3,0)，∴3－a＝0，∴a＝3.
(2018 河北保定模拟 ) 已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cos θ， y＝sin θ
(0≤θ<π)和x＝54t2， y＝t
(t∈R)，求它们的交点坐标．
【
解
】
将
两
曲
线
的
参
数
方
程
化
为
普
通
方
程
分
别
为
x2 5
＋
y2
＝
1(0≤y≤1，－ 5<x≤ 5)和 y2＝54x，联立解得交点为1，25 5.
【解】(1)曲线 C 的普通方程为x92＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
x＋4y－3＝0，由x92＋y2＝1
解得xy＝＝30，或yx＝＝2－ 245.2215，
从而 C 与直线 l 的交点坐标为(3,0)，－2215，2245. (2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin
1．(2018 全国Ⅱ，22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程

高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十三单元单元总结

单元总结十三微专题一圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义与标准方程是高考中的一个高频命题点,主要考查根据定义求圆锥曲线的标准方程,或利用定义求弦长,距离等.该命题点有如下一些热点问题.1.圆锥曲线定义的理解【例1】已知点A(－5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列,则点P的轨迹方程为.【分析】双曲线的定义是动点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数(小于两个定点的距离)的轨迹,所以在具体的题目中要分清情况.【试题解析】由已知得||－||=8＜10=|AB|,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且a=4,b=3,c=5,所以点P的轨迹方程为－=1(x≥4).【参考答案】－=1(x≥4)【拓展训练1】已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的焦点分别为F1,F2,b=4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为().A.10B.12C.16D.20【试题解析】由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a,又e==,即c=a,∴a2－c2=a2=b2=16,∴a=5,∴△ABF2的周长为20.【参考答案】D2.求圆锥曲线的标准方程【例2】已知点A(－2,0),B(0,1)在椭圆C:＋=1(a＞b＞0)上,求椭圆C的标准方程.【分析】求圆锥曲线的标准方程,应弄清楚方程中每个参数的几何意义以及各个参数之间的关系.【试题解析】因为点A(－2,0),B(0,1)在椭圆＋=1上,所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为＋y2=1.【拓展训练2】(1)(2017年天津卷)已知双曲线－=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为().A.－=1B.－=1C.－y2=1D.x2－=1(2)已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点F与椭圆C':＋=1的一个焦点重合,求抛物线C的方程.【试题解析】(1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,=tan 60°=.又c2=a2＋b2,联立可得a=1,b=,∴双曲线的方程为x2－=1.(2)由题意知,在椭圆C':＋=1中,a2=6,b2=5,∴c2=a2－b2=1,∴F(1,0),∴=1,则2p=4,故抛物线C的方程为y2=4x.【参考答案】(1)D微专题二圆锥曲线的几何性质椭圆的离心率,双曲线的离心率、渐近线,椭圆与双曲线中a,b,c以及抛物线中的p都有各自的几何意义,这也是近几年高考的重点.【例3】已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为().A.B.C.D.【分析】求椭圆的离心率是近几年高考的重点,求出a,c,即可求出离心率.【试题解析】设椭圆的左,右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),将x=－c代入椭圆方程得y=±.设A－,C(x,y),由S△ABC=3S△BCF2,可得A=2F2,即－=2(x－c,y),所以2c=2x－2c,－=2y,解得x=2c,y=－,代入椭圆方程可得＋=1.由e=,b2=a2－c2,得4e2＋－e2=1,解得e=或e=－(舍去),故选A.【参考答案】A－=1,若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离心率的取【拓展训练3】已知双曲线方程为＋值范围是().A.B.＋C.D.＋【试题解析】由题意知,=2,a≥2,∴b=,∴e=＋=＋≤.∵e＞1,∴1＜e≤.【参考答案】A1.(2018年全国Ⅱ卷)双曲线－=1(a＞0,b＞0)的离心率为,则其渐近线方程为().A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【试题解析】双曲线－=1的渐近线方程为bx±ay=0.又∵离心率=＋=,∴a2＋b2=3a2.∴b=a(a＞0,b＞0).∴渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.【参考答案】A2.(2018年全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=().A.5B.6C.7D.8【试题解析】由题意知,直线MN的方程为y=(x＋2),联立直线与抛物线的方程,得＋解得或不妨设点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(4,4),又∵抛物线焦点为F(1,0),∴=(0,2),=(3,4).∴·=0×3＋2×4=8.故选D.【参考答案】D3.(2018年全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C:－=1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为().A. B.2C. D.【试题解析】如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=a=|F2P'|,|PP'|=2a,所以|F2P|=a=b,所以c=＋=a,所以e==.故选C.【参考答案】C4.(2018年全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为().A. B.C. D.【试题解析】如图,作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1,由∠F1F2P=120°,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a＋1＋1=a＋2,=,解得a=4,tan∠PAB==＋所以e==.故选D.【参考答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:＋=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab=0相切,则C的离心率为().A.B.C.D.【试题解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx－ay＋2ab=0与圆相切,=a,解得a=b,∴圆心到直线的距离d=＋∴=,∴e==－=－= －=.故选A.【参考答案】A6.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .【试题解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.∵点M为FN的中点,PM∥OF,∴|MP|=|FO|=1.又|BP|=|AO|=2,∴|MB|=|MP|＋|BP|=3.由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.【参考答案】6单元检测十三一、选择题1.(2018张掖调研)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|=().A.B.C.5 D.【试题解析】∵p=2,∴|AB|=2＋=.【参考答案】D2.(2018广东三市联考)若抛物线y2=2px(p＞0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于().A.B.1 C.D.2【试题解析】由题意3x0=x0＋,即x0=,将代入y2=2px(p＞0),得=2,∵p＞0,∴p=2.【参考答案】D3.(2018抚州模拟)设e是椭圆＋=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是().A.(0,3)B.C.(0,3)∪＋D.(0,2)【试题解析】当k＞4时,c=－,由条件知＜－＜1,解得k＞;当0＜k＜4时,c=－,由条件知＜－＜1,解得0＜k＜3.综上可知,选C.【参考答案】C4.(2018河南省洛阳市联考)已知双曲线－=1(b＞0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于().A.B.3 C.5 D.4【试题解析】因为抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),依题意,4＋b2=9,所以b2=5,所以双曲线的方程为－=1,所以其渐近线方程为y=±x,所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为,故选A.【参考答案】A5.(2018洛阳模拟)已知点M是抛物线C:y2=2px(p＞0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为().A.1B.2C.3D.4【试题解析】由题意知,焦点为F,那么点M－在抛物线上,即16=2p－,所以p2－8p＋16=0,解得p=4.【参考答案】D6.(2018江西省南昌市二模)已知双曲线C1:x2－=1的两焦点分别是F1,F2,双曲线C1在第一象限部分有一点P,满足＋=14,若圆C2为△PF1F2的内切圆,则圆C2的标准方程为().A.(x－1)2＋(y－2)2=4B.(x－1)2＋(y－3)2=9C.(x－2)2＋(y－2)2=4D.(x－1)2＋(y－3)2=4【试题解析】设=m,=n,则m＋n=14,根据双曲线的定义得到m－n=2,∴m=8,n=6.根据双曲线的方程得到c=5,可以得到△PF1F2是P为顶点的直角三角形,圆C2是其内切圆,设其半径为r,根据切线长定理得8－r=10－(6－r),解得r=2,故圆心坐标为(1,2),所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2=4.【参考答案】A7.(2018石家庄模拟)已知双曲线C1:－=1(a＞0,b＞0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为().A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y【试题解析】因为双曲线C1:－=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,所以e=2,即e2=1＋=4,所以=.又x2=2py(p＞0)的焦点坐标为,－=1(a＞0,b＞0)的渐近线方程为y=±x,即y=±x,由题意=2,所以p=8.故抛物线C2的方程为x2=16y.得＋【参考答案】D8.(2018湖南省长郡中学一模)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为().A.24B.36C.48D.72【试题解析】不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0),则=2p=12,p=6,∴抛物线C的准线方程为x=－3,点P到直线AB的距离为6,∴S△ABP=36.【参考答案】B9.(2018武昌调研)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|＞|PF2|,线段PF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则＋的最小值为().A.6B.3C.D.【试题解析】设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为a',半焦距为c,依题意知＋∴2a=2a'＋4c,－∴＋=＋=＋＋=＋＋4≥2＋4=6,当且仅当c=2a'时取等号,故选A.【参考答案】A10.(2018山西省大同市与阳泉市第二次检测)已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2=b2相交的弦长为b,则椭圆的标准方程为().A.＋=1B.＋=1C.＋=1D.＋=1【试题解析】由左焦点F1(－2,0)知,c=2,即a2－b2=4,所以过F1的直线方程为y=(x＋2),圆心到直线的距离d=1,由直线与圆x2＋y2=b2相交的弦长为b,可得2－=b,解得b=2,a=2,则椭圆的标准方程为＋=1,故选B.【参考答案】B二、填空题11.(2018菏泽摸底)已知双曲线－=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1=0垂直,则双曲线的离心率等于.【试题解析】由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1=0垂直,则双曲线的渐近线方程为y=±3x,可得=3,则b2=9a2,即c2－a2=9a2,解得c2=10a2,故离心率为e==.【参考答案】12.(2018武汉调研)已知抛物线Γ:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P在Γ上且|PK|=|PF|,则△PKF的面积为.【试题解析】由已知得,F(2,0),K(－2,0),过P作PM垂直于准线于点M,则|PM|=|PF|.又|PK|=|PF|, ∴|PM|=|MK|=|PF|,∴PF⊥x轴.∵|FK|=p=4,∴|PF|=|FK|=4,故△PKF的面积S=×4×4=8.【参考答案】813.(2018重庆调研)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为.【试题解析】依题意,设椭圆C:＋=1(a＞b＞0).过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,∴点A必在椭圆上,∴＋=1. ①又由c=1,得1＋b2=a2. ②由①②联立,得b2=3,a2=4.故所求椭圆C的方程为＋=1.【参考答案】＋=114.(2018西安八校联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=(x－1)与C交于点A,B(点A在x轴上方)两点.若=,则m的值为.【试题解析】由题意知F(1,0),由－解得－或由点A在x轴的上方知,A(3,2),B－,则=(－2,－2),=－－,因为=,所以m=3.【参考答案】3三、解答题15.(2018湘中名校联考)已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足＋＋=0,则＋＋的值为多少?【试题解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由＋＋=0,得y1＋y2＋y3=0.因为k A B=－－=＋,所以k A C=＋,k B C=＋,所以＋＋=＋＋＋＋＋=0.。

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2020年高三理科数学一轮讲义案第十三章13.1.2《参数方程》最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝f(t)，y＝g(t)，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f(t)，y＝g(t)就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋t cosα，y＝y0＋t sinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝r cosθ，y＝r sinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝a cosφ，y＝b sinφ(φ为参数)温馨提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[微点提醒]1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.()(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.()(3)方程x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.()解析(4)当t ＝π3时，点M 的坐标为2cos π3，4sin π3，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝23.答案(1)√(2)√(3)√(4)×2.(选修4－4P22例1改编)已知曲线C 的参数方程为x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)，点M (－6，a )在曲线C 上，则a ＝________.解析由题意得－6＝3t ，a ＝2t 2＋1，∴t ＝－2，a ＝9.答案93.(选修4－4P26习题A4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________.解析消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.答案x－y －1＝04.(2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析将曲线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝33x (x ≥0)，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，联立y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(3，1)．答案(3，1)5.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析曲线C 1：ρcos θ＋ρsin θ＝－2的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2：x ＝t 2，y ＝22t的普通方程为y 2＝8x ，由x ＋y ＝－2，y 2＝8x 解得x ＝2，y ＝－4，则C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．答案(2，－4)6.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解(1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得x ＝3，y ＝0或x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin(θ＋φ)－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17，所以|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17.若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8.若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16.综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】将下列参数方程化为普通方程.(1)x ＝1t，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数).解(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由x ＝1t ①，y ＝1tt 2－1②，①式代入②式得普通方程为x 2＋y 2＝ 1.其中0<x ≤1，0≤y <1或－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3).规律方法消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．【训练1】(1)设x －13＝cos θ，θ为参数，求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程.(2)将下列参数方程化为普通方程.(ⅰ)x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t －e －t )(t 为参数)；(ⅱ)x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数).解(1)把x －13＝cos θ代入椭圆方程，得到cos 2θ＋(y ＋2)25＝1，于是(y ＋2)2＝5(1－cos 2θ)＝5sin 2θ，即y ＋2＝±5sin θ，由参数θ的任意性，可取y ＝－2＋5sin θ，因此椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程为x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数).(2)(ⅰ)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ，所以(x ＋y )(x －y )＝1，得普通方程为x 2－y 2＝1.(ⅱ)因为曲线的参数方程为x ＝2tan 2θ①，y ＝2tan θ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得普通方程为y 2＝2x .考点二参数方程的应用【例2－1】已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t (t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解(1)椭圆C 的参数方程为x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0.(2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P －85，335.【例2－2】(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率.解(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.【例2－3】(2019·濮阳三模)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ.(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2，0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.解(1)直线l 的参数方程可化为x －1＝t ，y －13＝t (t 为参数)，消去t 可得直线的普通方程为y ＝3(x －1)＋1，又∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0，由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3，又直线l ′过点M (2，0)，∴直线l ′的参数方程为x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2，由一元二次方程的根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝4133.规律方法已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.2．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.3．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.易错警示在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何意义．【训练2】(2019·岳阳二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l 的参数方程是x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设点P (m ，0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求非负实数m 的值.解(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ，得x 2＋y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由直线l 的参数方程x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)，可得其普通方程为x －3y －m ＝0.(2)将x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)代入圆(x －1)2＋y 2＝1，可得t 2＋3(m －1)t ＋m 2－2m ＝0，由Δ＝3(m －1)2－4(m 2－2m )>0，可得－1<m <3，由m 为非负数，可得0≤m <3.设t 1，t 2是方程的两根，则t 1t 2＝m 2－2m ，由|PA |·|PB |＝1，可得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或1±2，因为0≤m ＜3，所以m ＝1或1＋ 2.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用【例3－1】(2018·福州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得x ＝0，y ＝0或x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4|sin α－π3|.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.【例3－2】(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解(1)由l 1：x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，②联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为5.规律方法 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练3】(2019·荆州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝sin α＋cos α，y ＝sin α－cos α(α为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的方程为2ρsin π4－θ＋12＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解(1)由x ＝sin α＋cos α，y ＝sin α－cos α(α为参数)得sin α＝x ＋y 2，cos α＝x －y 2，将两式平方相加得1＝x ＋y 22＋x －y 22，化简得x 2＋y 2＝2.故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.(2)由2ρsin π4－θ＋12＝0，知ρ(cos θ－sin θ)＋12＝0，化为直角坐标方程为x －y ＋12＝0，圆心到直线l 的距离d ＝24，由垂径定理得|AB |＝302.[思维升华]1.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．2．将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想．[易错防范]1.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.将下列参数方程化为普通方程.(1)x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2；(2)x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入得x ＝3·y 2x 1＋y 2x2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6).(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2].2.平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.解(1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.得参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数).直线l 的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数).(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋2或m＝1－ 2.又由Δ>0，即(3m－3)2－4(m2－2m)>0，得－1<m<3，故m＝1或m＝1±2满足条件.∴m的值为1，1＋2或1－ 2.3.(2019·兰州诊断考试)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为x＝－35t＋2，y＝45t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝a sinθ(a≠0).(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设直线l截圆C的弦长是半径长的3倍，求a的值.解(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y －a22＝a24；直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.(2)圆C：x2＋y －a22＝14a2，直线l：4x＋3y－8＝0，因为直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍，所以圆心C到直线l的距离d＝|3a2－8|5＝12×|a|2，解得a＝32或a＝3211.4.已知曲线C 1：x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值.解(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ，曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中cos φ＝45，sin φ＝35，从而当cos(θ＋φ)＝1，cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.5.(2019·湖南雅礼中学、河南省实验中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α为常数)的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值.解(1)∵倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，∴直线l 的参数方程是x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).∵曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，∴曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，又α∈[0，π)，故α＝π4或α＝3π4，又∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，∴α＝π4.6.(2019·茂名二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ，直线l 的参数方程为x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π).(1)若α＝3π4，求l 的普通方程，直接写出C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有两个不同的交点A ，B ，且P (2，1)为AB 的中点，求|AB |.解(1)由直线l 的参数方程x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)及α＝3π4可得其直角坐标方程为x ＋y －3＝0，由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ1－cos 2θ，得其直角坐标方程为y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝2x 得t 2sin 2α＋2t (sin α－cos α)－3＝0(*)，设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2(sin α－cos α)sin 2α.∵P (2，1)为AB 的中点，∴P 点所对应的参数为t 1＋t 22＝－sin α－cos αsin 2α＝0，∴sin α－cos α＝0，即α＝π4.则(*)变为12t 2－3＝0，此时t 2＝6，t ＝±6，∴|AB |＝2 6.能力提升题组(建议用时：20分钟)7.(2019·衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换x ′＝22x ，y ′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值.解(1)∵C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，∴4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.∵曲线C 2的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2＝1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为x ′＝22cos α，y ′＝2sin α(α为参数).设N (22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d ＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5＝|241sin(α＋φ)－24|5＝24－241sin(α＋φ)5其中φ满足tan φ＝423.当sin(α＋φ)＝1时，d 有最小值24－2415，所以|MN |的最小值为24－2415.8.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.解(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|21＋k 2|<1，解得k <－1或k >1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l 的参数方程为x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4).。

2020年高三理科数学一轮讲义案第十三章13.1.2《参数方程》

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(高三理科数学第一轮复习)第十三章 第1节 第1课时 坐标系