江西省赣州市信丰县2016届九年级(上)第三次联考数学试卷【解析版】

2015-2016学年江西省赣州市信丰县九年级（上）第三次联考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地正面朝上；③任取两个负数，其积大于0；④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．其中确定事件的个数是( )个．A．1 B．2 C．3 D．42．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=3．已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m≥0 D．m＜04．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( )A．2 B．2C．D．25．图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )A．12πm B．18πmC．20πmD．24πm6．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴( ) A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）7．记“太阳从东方升起”为事件A，则P（A）=__________．8．若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为__________．9．△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在圆A__________，点B在圆A__________．10．等腰三角形的其中两条边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则此等腰三角形的周长是__________．11．如图，△ABC中，∠B=35°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE的度数是__________度．12．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R+r）x+=0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是__________．13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是__________．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是__________（填编号）三、（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）15．（1）解方程：x2+4x﹣1=0；（2）求抛物线y=﹣x2+4x+3的顶点坐标．16．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．18．直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求方程x2+bx+c=x+m的解．（直接写出答案）四、（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）19．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．22．甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少．（如下表）（）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．五、（本大题共1个小题，共10分）23．已知函数的关系式是L1：y=kx2+（k﹣2）x﹣2（1）下列说法中正确的序号有__________：①当k=1时，其顶点坐标为（，）；②当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；③无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2）；（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A、B，顶点为P，若k＞0，且△ABP为等边三角形，求k的值．六、（本大题共1个小题，共12分）24．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB为直径的⊙O过点D，点M是BC边上一点（点M不与B，C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N．（1）求AD的长；（2）当点N在⊙O上时，求证：直线MN是⊙O的切线；（3）以CN为直径作⊙P，设BM=x，⊙P的直径为y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当BM为何值时，⊙P与⊙O相切．2015-2016学年江西省赣州市信丰县九年级（上）第三次联考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地正面朝上；③任取两个负数，其积大于0；④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．其中确定事件的个数是( )个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】随机事件．【分析】确定事件就是必然事件或不可能事件，依据定义即可判断．【解答】解：①在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，命题错误；②抛掷一枚硬币，落地正面朝上是随机事件，命题错误；③任取两个负数，其积大于0是必然事件，是确定事件，命题正确；④长分别为3、5、9厘米的三条线段不能围成一个三角形．是确定事件，命题正确；故选B．【点评】本题考查了确定事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．【解答】解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B．【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m≥0 D．m＜0【考点】根的判别式．【分析】因为关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，所以△=4+4m＞0，解此不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，∴△=4+4m＞0，即m＞﹣1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( )A．2 B．2C．D．2【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】作辅助线，连接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由勾股定理可将EF的长求出．【解答】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．∵∠EDC=30°，∴∠COE=60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB，又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×2=，∵EF=2EM，∴EF=．故选B．【点评】本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．5．图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )A．12πm B．18πmC．20πmD．24πm【考点】弧长的计算．【分析】游泳池的周长即两段弧的弧长，每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则可知短弧所对的圆心角是120度，所以根据弧长公式就可得．【解答】解：．故选：D．【点评】本题的关键是根据弧长公式计算，在计算的过程中首先要利用圆的半径的关系求出圆心角．6．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴( ) A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）7．记“太阳从东方升起”为事件A，则P（A）=1．【考点】概率的意义．【分析】根据相应事件的类型判断出概率即可．【解答】解：“太阳从东方升起”为必然事件．则P（A）=1．【点评】必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．8．若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为15πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．【解答】解：因为圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，所以圆锥的母线长==5（cm），所以圆锥的侧面展开图的面积=•2π•3•5=15π（cm2）．故答案为15πcm2．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在圆A内部，点B在圆A外部．【考点】点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d ＜r时，点在圆内．【解答】解：如图：根据勾股定理得：AC=，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，＜3.5，则点C在圆A内部，点B到圆心A的距离AB=4＞3.5，所以点B在圆A外部．故答案为：内部，外部．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，及勾股定理，属常规题．10．等腰三角形的其中两条边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则此等腰三角形的周长是10．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】解方程得到三角形两边的长，再分两种情况进行分析，从而求得其周长．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得其中两条边的长是2，4．当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．11．如图，△ABC中，∠B=35°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE的度数是70度．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠BDA=∠B，从而得出∠BDE=2∠B．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，∴∠B=∠ADE，∠B=35°，AB=AD，∵点B落在BC的延长线上的D点处，∴∠BDA=∠B，∵∠B=35°，∴∠B=35°，∴∠BDA=∠ADE=∠B=35°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，以及等边对等角的性质，是基础知识要熟练掌握．12．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R+r）x+=0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．【考点】圆与圆的位置关系；根的判别式．【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则△=0，从而得到R、r、d之间的数量关系，进而判断两圆的位置关系．【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴（R+r）2﹣d2=0，即（R+r+d）（R+r﹣d）=0，又R+r+d≠0，∴R+r﹣d=0，即R+r=d，∴两圆外切．故答案为外切．【点评】此题综合考查了一元二次方程根的判别式以及两圆的位置关系与数量之间的联系，即两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点时，方程ax2+bx+c=m有实数根，观察函数图象得到当m≥﹣2时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点，从而得到方程ax2+bx+c=m有实数根的条件．【解答】解：当抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点时，方程ax2+bx+c=m有实数根，因为直线y=﹣2与抛物线y=ax2+bx+c只有一个公共点，所以当m≥﹣2时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点，即方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥﹣2．故答案为m≥﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是把方程ax2+bx+c=m有实数根问题转化为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点的问题．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是②③（填编号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据图象知道当x=1时，y=a+b+c＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故②正确；∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣（0＜x＜1），∴2a＜﹣b，∴b+2a＜0，故③正确；∵对称轴x=﹣（0＜x＜1），∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故④错误．故答案为：②③．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．三、（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）15．（1）解方程：x2+4x﹣1=0；（2）求抛物线y=﹣x2+4x+3的顶点坐标．【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解；（2）已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1，∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5，∴x=﹣2±，∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）∵y=﹣x2+4x+3=﹣x2+4x﹣4+4+3=﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线y=﹣x2+4x+3的顶点坐标是（2，7）．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，还考查了利用配方法求顶点式以及利用配方法解一元二次方程．16．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率．则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，=，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC 分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．18．直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求方程x2+bx+c=x+m的解．（直接写出答案）【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．（1）先把A点坐标代入y=x+m可求出m的值，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c 【分析】得到关于b、c的方程组，再解方程方程组求出b、c即可得到抛物线解析式（2）方程x2+bx+c=x+m的解就是直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c的交点的横坐标．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y=x+m得1+m=0，解得m=﹣1，把A（1，0），B（3，2）代入y=x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣3x+2；（2）方程x2+bx+c=x+m的解为x1=1，x2=3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．四、（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）19．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x）元，由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得[（3﹣2）﹣x]﹣24=200．方程可化为：50x2﹣25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去，∴x=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．【点评】考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC 的度数．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，=4π，S△AOE=8 ，∴S扇形AOE=4π﹣8．∴S阴影【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．22．甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少．（如下表）（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．【考点】列表法与树状图法．【专题】阅读型；图表型．【分析】（1）让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；（2）算出相应的平均收益，比较即可．【解答】解：（1）树状图为：∴一共有6种情况；（2）方法1：∵去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（甲）=，去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（乙）=，∴我选择去甲超市购物；方法2：∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P==，∴在甲商场获礼金券的平均收益是：×5+×10+×5=；在乙商场获礼金券的平均收益是：×10+×5+×10=．∴我选择到甲商场购物．说明：树状图表示为如下形式且按此求解第（2）问的，也正确．【点评】树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（本大题共1个小题，共10分）23．已知函数的关系式是L1：y=kx2+（k﹣2）x﹣2（1）下列说法中正确的序号有②③：①当k=1时，其顶点坐标为（，）；②当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；③无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2）；（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A、B，顶点为P，若k＞0，且△ABP为等边三角形，求k的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）当k=1时，把y=x2﹣x﹣2配成顶点式即可对①解析判断；当k=2时，y=2x2﹣2，抛物线的对称轴为y轴，则可对②解析判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对③解析判断；（2）分类讨论：当k=0时，原函数为一次函数y=﹣2x﹣2，则图象一定与x轴有一个交点；当k≠0时，利用判别式的意义可判断二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）利用抛物线与x轴的交点问题，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0可得A（，0），B（﹣1，0），顶点P的坐标为（，﹣），当k＞0时，AB=，如图1，作DE⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得DE=AB，即=×，解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，所以k的值为2﹣2．【解答】（1）解：当k=1时，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此时顶点坐标为（，﹣），所以①错误；当k=2时，y=2x2﹣2，则抛物线的对称轴为y轴，所以②正确；当x=﹣1时，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=k﹣k+2﹣2=0；当x=0时，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=﹣2，所以无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2），所以③正确；故答案为：②③；（2）证明：当k=0时，一次函数y=﹣2x﹣2与x轴有一个交点（﹣1，0）；当k≠0时，△=（k﹣2）2﹣4k•（﹣2）=（k+2）2≥0，此二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）解：当y=0时，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=，设A（，0），B（﹣1，0），顶点P的坐标为（，﹣），AB=+1，如图1，作DE⊥x轴于E．∵△ABP为等边三角形，∴DE=AB，即=×，解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，∴k的值为2﹣2．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质，列出关于k的方程是解题的关键．六、（本大题共1个小题，共12分）24．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB为直径的⊙O过点D，点M是BC边上一点（点M不与B，C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N．（1）求AD的长；（2）当点N在⊙O上时，求证：直线MN是⊙O的切线；（3）以CN为直径作⊙P，设BM=x，⊙P的直径为y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当BM为何值时，⊙P与⊙O相切．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OD，由题意证出△AOD是等边三角形，得出AD=OA=1即可；（2）连接ON，由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，证出△DON 是等边三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；（3）①由含30°角的直角三角形的性质得出CN=2CM，即可得出结果；②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，则∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BN=BC=，得出PE=CN=，由相切两圆的圆心距=两圆半径之和，得出OP=OB+PC=2﹣x，因此OE=OB+BN﹣EN=+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）解：连接OD，如图1所示：根据题意得：OA=OB=1，∵OA=OD，∠A=60°，。