第3讲对角互补模型(原卷版)
中考数学常见几何模型专题04 对角互补模型(从全等到相似)(原卷版)
专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234CODCOESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCDCOES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB . 则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ；（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是 ．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=． 【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
专题31 对角互补模型-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用,含解析)(原卷版)
模块二常见模型专练专题31 对角互补模型例1（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）A．4B．3C．2D．1例2（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．例3（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．①求的长．②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
对角互补模型
对角互补模型对角互补模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补．解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两边的垂线． 类型一： 含90°角的对角互补模型【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③ 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=OC ；③22△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+=22△OCD △OCE OC 21S S =-类型三：含2α和180°－α的对角互补模型基本模型展示：如图，已知∠AOB＝2α，∠DCE＝180°－2α，OC平分∠AOB.则有以下结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝2OC·cos α；③S△COD＋S△COE＝OC2·sin α·cos α.经典例题：例题1．如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转．求证：无论正方形OMNP 旋转到哪个位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．解：①当OP ∥AD 时，S 重叠＝14S 正方形ABCD ＝25；②当OP 过点C 时，S 重叠＝S △OBC ＝12×5×10＝25；③设OP 交CD 于点G ，OM 交BC 于点H ，过点O 分别作CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，则∠OEG ＝∠OFH ＝90°. ∵∠MOP ＝∠FOE ＝90°， ∴∠EOG ＝∠FOH. 又∵OE ＝OF ，∴△OEG ≌△OFH(ASA )．∴S 四边形OHCG ＝S 正方形OECF ＝14S 正方形ABCD ＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25.例题2．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN. (1)求证：OM ＝ON.(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝45°，∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON.∴△OAM ≌△OBN(ASA )． ∴OM ＝ON.(2)过点O 作OH ⊥AD 于点H. ∵正方形的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2.∵E 为OM 的中点，AE ∥OH ， ∴HM ＝2AH ＝4.∴OM ＝22＋42＝2 5. ∴MN ＝2OM ＝210.例题3．如图1，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线交点处，∠QPN ＝α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F(点F 与点C ，D 不重合)．(1)如图1，当α＝90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是DE ＋DF ＝AD ． (2)如图2，将图1中的正方形ABCD 改为∠ADC ＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，(1)中的结论变为DE ＋DF ＝12AD ，请给出证明．(3)在(2)的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，当点E 落在线段AD 的延长线上时，探究DE ，DF ，AD 之间的数量关系(直接写出结论，不用加以证明)．解：(2)证明：取AD 的中点M ，连接PM. ∵四边形ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，∴BD ＝AD ，∠DAP ＝30°，∠ADP ＝∠CDP ＝60°. ∴△MDP 是等边三角形．∴PM ＝PD ，∠MPD ＝∠PME ＝∠PDF ＝60°. ∵∠QPN ＝∠MPD ＝60°， ∴∠MPE ＝∠DPF.在△MPE 和△DPF 中， ⎩⎨⎧∠PME ＝∠PDF ，PM ＝PD ，∠MPE ＝∠DPF ，∴△MPE ≌△DPF(ASA )． ∴ME ＝DF.∴DE ＋DF ＝DM ＝12AD.(3)如图，当点E 落在AD 的延长线上时，DF －DE ＝12AD.例题4．已知点P 是∠MON 平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB ＋∠MON ＝180°. (1)利用图1，求证：PA ＝PB.(2)如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB ＝3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值．(3)若∠MON ＝60°，OB ＝2，射线AP 的延长线交ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．解：(1)证明：过点P 作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足分别为E ，F. ∵OT 平分∠MON ， ∴PE ＝PF.∵在四边形OEPF 中，∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∴∠EPF ＋∠MON ＝180°. ∵∠APB ＋∠MON ＝180°，∴∠EPF ＝∠APB ，即∠EPA ＋∠APF ＝∠APF ＋∠FPB. ∴∠EPA ＝∠FPB.∴△EPA ≌△FPB(ASA )． ∴PA ＝PB.(2)∵S △POB ＝3S △PCB ， ∴PO ＝3PC.由(1)可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC ＝12(180°－∠APB)＝12∠MON ＝∠BOP.又∵∠BPC ＝∠OPB ， ∴△PBC ∽△POB. ∴PB PO ＝PCPB ，即PB 2＝PO·PC ＝3PC 2. ∴PBPC＝ 3. (3)补全图形如图．过点B 作BH ⊥OT ，垂足为H. ∵∠MON ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PBA ＝∠PAB ＝12(180°－∠APB)＝30°.又∵∠PBD ＝∠ABO ，∠PBD ＋∠PBA ＋∠ABO ＝180°， ∴∠ABO ＝75°.∴∠OBP ＝105°.∴∠BPO ＝180°－∠OBP －∠BOP ＝45°. ∴∠BPO ＝∠PBH ＝45°.∴PH ＝BH.在Rt △OBH 中，12OB ＝1，OH ＝3，∴OP ＝OH ＋PH ＝OH ＋BH ＝3＋1.精品练习：1. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，四边形ABCD的面积为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．4.如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD 的长度.5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝1；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN 绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF＝AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．7. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线P A交射线OM于点A，将射线P A绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：P A＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．8 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．9. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE 交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．。
八年级数学下册专题05平行四边形六大模型(原卷版)
专题05 平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，【变式1-1】则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。
[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。
模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。
即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD 取最大值【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC ＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是．模型三：十字架第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．【变式3-3】（2023春•滨州期末）已知ABCD是一个正方形花园．（1）如图1，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，问这两条路等长吗？为什么？（2）如图2，在正方形四边各开一个门E、F、G、H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？模型四：对角互补对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
专题05 全等模型-对角互补模型(原卷版)
专题05全等模型-对角互补模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC =+= .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC -= .例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形例2、在ABC∠=︒，2==，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三AC BC∆中，90C角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；例3．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知=90ACD ∠︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB MN ⊥于点B ，连接CB ．(1)问题发现：如图(1)，过点C 作CE CB ⊥，与MN 交于点E ，BD 、AB 、CB 之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当MN 绕点A 旋转到如图(2)位置时，BD 、AB 、CB 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③24COD COE S S OC +=.2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③2COD COE S S -= .3）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。
第3讲对角互补模型(解析版)
第3讲对角互补模型(解析版)第3讲对角互补模型（解析版）对角互补模型是利用几何图形中的对角线互相垂直这一性质来解决问题的数学工具。
它是一种简洁而高效的方法，常用于几何图形的证明和问题求解。
本文将详细介绍对角互补模型的原理和应用。
1. 对角互补模型的原理对角互补模型是基于对角线互相垂直这一几何性质的。
对于一个四边形来说，如果它的两条对角线互相垂直，那么我们可以得到一些有用的结论。
首先，对角线的长相等，即对角线互为等长的线段。
其次，对角线所分割的各个部分的面积之和等于整个四边形的面积。
通过应用这两个规律，我们可以在解决问题时快速获得结果。
2. 对角互补模型的应用举例下面通过几个具体的例子来说明对角互补模型的应用。
例子1：证明正方形的对角线互相垂直对于一个正方形来说，我们可以通过对角互补模型证明其对角线互相垂直的性质。
首先，我们假设正方形的边长为a，连接正方形的对角线，分别为AC和BD。
根据对角互补模型的原理，我们可以得到AC和BD互相垂直，并且它们的长度相等，即AC=BD=a。
因此，我们证明了正方形的对角线互相垂直的性质。
例子2：计算菱形的面积对于一个菱形来说，我们可以利用对角互补模型计算其面积。
假设菱形的对角线分别为AC和BD，AC的长度为d1，BD的长度为d2。
根据对角互补模型的原理，我们知道AC和BD互相垂直，并且长度相等，即AC=BD。
菱形可以看作是两个等腰三角形拼接而成，所以菱形的面积等于两个等腰三角形的面积之和。
每个等腰三角形的底边长度为d1/2，高度为d2/2，所以一个等腰三角形的面积为(d1/2)*(d2/2)/2。
因此，菱形的面积为(d1/2)*(d2/2)/2 + (d1/2)*(d2/2)/2 = (d1*d2)/4。
3. 对角互补模型的优势对角互补模型的优势在于其简洁性和实用性。
通过利用对角线互相垂直的性质，我们可以减少问题求解的步骤，快速获得结果。
对于一些复杂的几何图形问题，对角互补模型可以帮助我们准确地找到关键点，从而简化计算过程，提高解题效率。
对角互补模型(原卷版)--初中数学专题训练
对角互补模型基本模型：例题精讲1(基本模型)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF= 120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．2(基本模型2)已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE=120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD=OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是．(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是．3(培优综合)如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB=AC，∠BAC=90°①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．1问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．2已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)3在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=4，BD=8，请你直接写出△ADE的面积．4在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN= 60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．课后训练1在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4，且E为边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接BD，则BD的长为．2如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF=45°，如果BE=1，DF=7，则EF=__．3已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．(1)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF②AE+CF=EF；(2)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想1 中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；(3)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．4如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．5已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD=CD．(1)如图1，∠BAC的度数为度．(2)如图2，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，连接DE、DF，求证：∠AED+∠AFD=180°；(3)如图3，在(2)的条件下，AD交EF于点G，过点C作CH⊥EF于点H，连接DH，点N在CH延长线上，连接GN、AN，若GN∥DH∥AB，判断线段AN与EG的数量和位置关系，并证明你的结论．6(1)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF=BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：．(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF= BE+FD，请问：(1)中结论是否成立？若成立，请证明结论．(3)若(2)中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上(如图3所示)，其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．①∠EAF=∠BAD；②2∠EAF+∠BAD=360°．7已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC=∠BDC=α．(1)【特例体验】如图1，AB=BC，α=60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB=BC，求证：∠ADB=∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α=60°，∠ACB+∠BCD=180°，CE⊥BD于点E，AC=kDE，直接写出CDAB的值(用k的代数式表示)．8如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．(1)求证：AP=BD；(2)求证：EC平分∠BEP；(3)设AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．9四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．(1)当E、F都在线段AB上时(如图1)，请证明：BM+AN=MN；(2)当点E在边BA的延长线上时(如图2)，请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在(1)的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为．·11·。
微专题三 对角互补模型PPT课件
OC平分∠AOB
（3）OD＋OE＝ 2OC；
（4）S四边形ODCE＝S四边形OMCN＝
1
OC2
2
3
图示
类型
条件
∠AOB＝2∠DCE＝
120°
结论
△CDM∽△CEN
（1）△CDM≌△CEN；
“120°”
（2）CD＝CE；
模型
OC平分∠AOB
（3）OD＋OE＝OC；
（4）S四边形ODCE＝S四边形OMCN＝
∴BD＝2BM，∠MDN＝120°.
∵∠EDF＝120°＝∠MDN，
∴∠EDM＝∠NDF.
图2－1
又∵∠EMD＝∠FND＝90°，
∴△EDM≌△FDN（ASA），∴ME＝NF，
∴BE＋CF＝BM＋EM＋NC－FN
＝2BM＝BD＝ AB.
12
▶类型1：“90°”模型
1.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D为AB的中点，以点D为圆心作
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝30°.
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
在△ADE和△ADF中，
= .
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF.
又∵AB＝AC，
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）.
19
∴BE＝CF，
∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.
圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点
E，F，则图中阴影部分的面积是
π－2 .
13
2.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，Q为线段DB上的一点，
专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型(原卷版)
专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型（原卷版）类型一对角互补模型1．（2022春•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA1与OC1分别交AB，BC于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的长．2．（2022•隆昌市校级三模）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．类型二将军饮马模型（1）两定一动模型3．（2020春•洛阳期末）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC 上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16√2C．20D．4√174．（2019•霍邱县二模）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．5．（2021春•红安县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．（2）两动一定模型6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分别是线段AC，AB上的动点，PE+PB的最小值为（）A．1.5B．√2C．2D．√37．（2022春•合肥期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．√3C．2D．√3+1（3）两动两定模型8．（如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A(3，0)，C(0，2)，点E是AB的中点，点F 在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是．（4）造桥选址模型9．如图，已知菱形ABCD的边长为10，E为AB中点，对角线BD上有两个动点P，Q总保持PQ＝2，若BD＝16，则四边形AEPQ的周长最小值为（）A．16B．21C．7+√85D．7+√61类型三十字架模型10．（2021春•淮南期中）数学活动：探究正方形中的“十字架”①猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：．②探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由．③应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为2√5．11．（2022•新化一模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED ＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长．类型四一线三直角模型12．（2021春•禹州市期末）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB上的点，且CE＝BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG、FC．（1）判断：FG与CE的位置关系是，BE、CD、FG之间的数量关系为．（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E、F分别是边BC、AB延长线上的点，正方形ABCD的边长为12，GE＝13，其他条件不变，请直接写出四边形FGEB的面积．类型五半角模型13．（2022春•南岗区期末）问题解决：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，连接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求证：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求线段AE的长．类比迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，对角线AC平分∠BAD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＞AF，连接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=20√33，EF＝7，求线段AE的长．14．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形；（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．15．（2021秋•交口县期末）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF ＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样解决的：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，再证明△GAF≌△EAF，可得结论．（1）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG 与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2＝DE2始终成立，请说明理由．。
【中考数学考点复习】微专题对角互补模型课件
微专题 对角互补模型 1.如图，过点C作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N，则 △CDM∽△CEN
解题 方法 2.如图，过点C作∠OCF＝∠DCE，CF交OB于点F，则
△COD∽△CFE
微专题 对角互补模型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，P是线段AC的中
点，点M为线段AB延长线上一点，点N为线段BC延长线上一点，且
微专题 对角互补模型
微专题
模型一 全等对角互补模型
对角互补模型
如图，已知∠AOB＋∠DCE＝180°，且点C在∠AOB的平
分线上 模型
分析
微专题 对角互补模型
①CD＝CE； 结论 ②当∠AOB＝90°时，OD＋OE＝ 2OC；
③当∠AOB＝120°时，OD＋OE＝OC 1.如图，过点C作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N，则 △CDM≌△CEN； 解题 方法
2．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 是
BC 下方一点，若∠BDC＝90°，求证：AD 平分∠BDC.
证明：如解图，过点 A 作 AE⊥BD 交 DB 的延长线于点 E，
AF⊥CD 于点 F， 则∠AEB＝∠AFC＝90°. ∵∠BDC＝90°， ∴∠EAF＝360°－90°－90°－90°＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠FAC.
微专题 对角互补模型
2.如图，过点C作∠OCF＝∠DCE，CF交OB于点F，则 △COD≌△CFE 解题 方法
微专题 对角互补模型 1．如图，正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是边AD、 CD上的点，连接EF，若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，则EF的长为 5 ．
第1题图
对角互补模型解题方法
对角互补模型解题方法对角互补模型是数学领域中的一种重要方法，广泛应用于线性规划、网络流优化等问题。
本文将详细阐述对角互补模型的解题方法，帮助读者更好地理解和应用这一工具。
一、对角互补模型简介对角互补模型（Diagonal Complementary Model）是一种基于对角线元素的互补关系构建的数学模型。
在这种模型中，原始问题被转化为对角线元素之间的关系，通过求解对角线元素的最优解，进而得到原问题的最优解。
二、对角互补模型的解题方法1.构建对角互补模型首先，根据实际问题，构建一个线性规划模型。
将该模型表示为标准形式：max（或min）c1x1 + c2x2 + ...+ cnxns.t.（约束条件）：a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn ≤（或≥）b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn ≤（或≥）b2...am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≤（或≥）bm其中，ci、aij、bi为已知系数，xi为变量。
2.转化为对角互补模型将原始线性规划模型转化为对角互补模型，首先需要将约束条件进行对角线划分。
具体步骤如下：（1）将约束条件按照对角线元素进行分组，得到m个对角线组。
（2）对每个对角线组，构建互补关系，即：若aij > 0，则令yij = -aij * xj / aii若aij < 0，则令yij = -aij * xi / aii其中，yij为对角互补变量。
（3）将对角互补变量代入原问题，得到新的对角互补模型。
3.求解对角互补模型利用对角互补模型，可以采用以下方法求解：（1）采用单纯形法求解对角互补模型。
在求解过程中，将对角互补变量作为基本变量，原变量作为非基本变量。
（2）采用内点法求解对角互补模型。
将原问题转化为无约束优化问题，通过求解对角互补变量的最优解，得到原问题的最优解。
（3）采用其他优化算法求解，如遗传算法、粒子群算法等。
2021届中考数学重难点--几何全套第3讲对角互补模型--有详细解答
第三讲对角互补模型共顶点模型•即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120。
的 对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别“解决此类题型常用到的辅助线画法主要有 两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含90°的对角互补模型(1) 如图，ZAOB=ZDCE=90° , OC 平分ZAOB,① CD = C② OD 七OE=近OC ； ③ Sys+S 如詁处(2) 如图，ZAOB=ZDCE=90o , OC 平分ZAOB, 当ZDCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：① CD = CE ；② OE-OD=忑OC:类型二：含120°的对角互补模型(1)如图，ZAOB=2ZDCE=120o,OC 平分ZAOB,则有以下结论:(2)如图，ZAOB=ZDCE=90o , OC 平分ZAoB, 当ZDCE 的一边与Ao 的延长线交于点D 时，则有以① C D = C ② O D+ OE=OC; ③ Sea) +s λOCE =-^-Oc ^下结论： ① C D = CE ； ② O E-OD=迈OC: .oCD = ^OC 2则有以下结论:® S ^CE-S δOCD=^OC2作法2典题探究-------------------------------- --------------- 启迪思堆探究重点例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP 绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个立值，变式练习>>>1.角线交于点O，点£ F分别在AB、BC上(AE<BE),且ZEoF=90° , OE. D4的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证：OM=ON.例题2.四边形ABeD被对角线BD分为等腰直角AABD和直角ACBD,其中乙4和ZC都是直角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的而积・作法1变式练习>>>2・如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90° , AB=AD,若这个四边形的面积为22,则BC+CD= B C例题 3.如图，在Rt2MfiC 中，ZABC=90o , AB=3, BC=4, RtAMPN, ZMPN=90°,点P 在AC 上, PM交AB于点E, PN交BC于点、F,当PE=2PF时，AP=例题4∙用两个全等且边长为4的等边三角形ZMBC 和AACD 拼成菱形ABeD 把一个60°角的三角尺与 这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB, AC 重合，将三角尺绕点A按逆时变式练习》＞3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3, BC=5, 点E 在对角线AC 上，连接BE,作EF 丄BE,垂足为E,直线3 34EP 交线段DC 于点F,则器=（）5针方向旋转.（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC, CD 相交于点E, F 时，（如图1）,通过观察或测⅛BE, CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）：（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC, CD 的延长线相交于点E, F 时（如图2）,你在（1）中得到 的结论还成立吗？说明理由；（3） 在上述情况中，AAEC 的而积是否会等于2価？如果能，求BE 的长；如果不能，请说明理由.变式练习>>>4. 我们规左：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.（1 >若点A （x, y ）是“完美点”，且满足x+y=4,求点A 的坐标：（2）如图1,在平而直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 坐标为（0, 4）,连接OB, E 点从O 向 B 运动，速度为2个单位/秒，到B 点时运动停止，设运动时间为/.① 不管/为何值，E 点总是"完美点”；② 如图2,连接AE,过E 点作PQ 丄X 轴分别交AB 、OC 于P 、Q 两点，过点E 作EF 丄AE 交X 轴于点F, 问：当E 点运动时，四边形AFQP 的而积是否发生变化？若不改变，求岀而枳的值；若改变，请说明理由.例题5.已知，点P 是ZMON 的平分线上的一动点，射线刊交射线OM 于点儿 将射线用绕点P 逆时针 旋转交射线ON 于点且使ZAPB+ZMON= 180°・图1 图2(1) 利用图1，求证：PA=PB,(2) 如图2,若点C 是AB 与OP 的交点，当SLPOB=3S=PCB 时，求PB 与PC 的比值;达标检测:L 如图，在等腰Rt∆ABC 中，ZC=90c ∙ AC=8, F 是AB 边上的中点，点D. E 分别在AC. BC 边上运动,领悟提升强化落实(3)若ZMoN=60。
《一网打尽系列》——对角互补模型
《一网打尽系列》——对角互补模型
一：认识
对角模型是指两个角互补并且相对形成的图形，在全等形中还有两个的顶点的连线为其中一个角的角平分线，这类模型有哪些结论，分别都有哪些证明方法，今天小编带领大家一起探索
二、探索模型性质和证明方法
拓展延伸:
条件：当点D在FO的延长线上时，以上结论还成立吗？
两种方法都可以，举一例
一网打尽系列之《一次函数专题》
1
什么是学习数学最有效的方法
做题，做题，还是做题
从知道学习什么到能在什么题目下运用这个知识，再到能轻松驾驭题目，这其中必须经历做题，只有多做题，做好题才能提高数学成绩。
2何为一网打尽
所谓“一网打尽”就是尽可能多的总结解题方法，罗列全各类题型，争取不让学生陷入题海，通过解题让学生明白那些题目会那些题目不会，会的跳过，不会的查漏补缺。
3本书适合那些学生
现在市场上的教辅面向的是全体学生，没有针对性，在试题选择上参差不齐，在方法总结上基本都是照本宣科没有新意，重复性很强。
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对角互补模型结论
对角互补模型结论《神奇的对角互补模型》嘿！同学们，你们知道什么是对角互补模型吗？这玩意儿可有意思啦！有一天上数学课，老师在黑板上画了一个四边形，然后神秘兮兮地问我们：“同学们，你们看这个四边形的对角，有没有发现什么神奇的地方？”大家都一脸茫然地摇摇头。
老师笑了笑说：“这就是今天要讲的对角互补模型！”我当时就在想，这能有多神奇呀？不就是个四边形的对角嘛！老师接着说：“假如一个四边形的两组对角互补，那这里面可就藏着大秘密啦！”我心里嘀咕着：“能有啥秘密？”老师举了个例子，就好像我们玩拼图，四边形的四个角就是拼图的块块，如果两组对角能互补，那就像是这些拼图块块能完美地拼在一起，形成一个和谐的整体。
“哎呀，这不就像咱们班的同学，虽然每个人都不一样，但是大家团结在一起，就能共同进步嘛！”老师笑着说。
老师又在黑板上画了一个特殊的四边形，说：“如果这个四边形的一个角是直角，另外一组对角互补，那连接这两个互补角的顶点的线段，就会把这个四边形分成两个等腰三角形。
”我瞪大眼睛，不敢相信。
同桌捅了捅我，说：“真的假的？”我摇摇头：“不知道啊，听听老师咋说。
”老师开始证明给我们看，一步步地推导，我和同桌也跟着思考。
等到老师证明完，我恍然大悟，忍不住喊了出来：“原来是这样啊！太神奇啦！”同桌也跟着点头：“对对对，就像变魔术一样！”后来老师又出了几道练习题让我们做。
我一开始还不太熟练，做错了好几道。
我着急得都快哭了，心想：“这咋这么难啊？”旁边的学习委员看到我着急的样子，就凑过来跟我说：“别着急，我给你讲讲。
”在学习委员的帮助下，我终于搞明白了。
经过这堂课，我发现数学里的这些模型就像一个个宝藏，等着我们去挖掘。
对角互补模型不就是其中一个闪闪发光的宝贝嘛！我觉得呀，学习数学就像探险，每一个新的知识都是一个未知的领域，等着我们去探索和发现。
虽然有时候会遇到困难，会感到迷茫，但是当我们最终找到答案的时候，那种喜悦和成就感，简直无法用言语来形容！所以，同学们，让我们一起勇敢地在数学的世界里探险吧！。
对角互补模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型模型1：全等形——90°对角互补模型模型2：全等形——120°对角互补模型模型3：全等形——任意角对角互补模型解题策略模型4：相似形——90°对角互补模型【例1】．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F ，D ，G 三点共线，易证△AFG ≌△AFE ，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC 延长线上，经典例题∠EAF=1∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．2（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=√2AM;【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：__________；F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系．2【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．培优训练2．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD 的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．3．（2021·福建三明·八年级期中）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°．判断DB与DC 的大小关系并证明．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=m，则AB与AC差是多少（用含m的代数式表示）4．（2021·辽宁大连·九年级期中）如图1，正方形ABCD中，BD是对角线，点E在AB上，点F在BC上，连接EF （EF与BD不垂直），点G是线段EF的中点，过点G作GH⊥EF交线段BD于点H．（1）猜想GH与EF的数量关系，并证明；（2）探索AE，CF，DH之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出AE，CF，DH之间的数量关系．5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．6．（2020·江西萍乡·八年级期末）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝√19，求AD的长．7．（2021··九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC>AC，点E在BC上，点D在AB上，CE=CA，连接DE，∠ACB+∠ADE=180°，CH⊥AB，垂足为H．证明：DE+AD=2√3CH．8．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．9．（2019·重庆·西南大学附中八年级阶段练习）如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE ＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2√2GH+√2EG．10．（2021·全国·九年级专题练习）探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE ＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：∠DAB．试如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．11．（2021·全国·八年级专题练习）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明.12．（2019·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由13．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，ΔABC为等边三角形，边长为4，点O为BC边中点，∠EOF=120°，其两边分别交AB和CA的延长线于E，F，求AE−AF的值.14．（2019·全国·九年级专题练习）如图所示，ΔABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DF，长直角边为DE），将三角板DEF 绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，DE交AB于M，DF交BC于N，证明DM=DN；（2）继续旋转至如图所见，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，证明DM=DN.15．（2019·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）一位同学拿了两块45°三角尺ΔMNK，ΔACB做了一个探究活动：将ΔMNK的直角顶点M放在ΔACB的斜边AB的中点处，设AC=BC=4.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ΔACM ，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的ΔMNK 绕顶点M 逆时针旋转45°，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将ΔMNK 绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若AD =1，求出重叠部分图形的周长.16．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 为对直角四边形，∠B=90°，若AB 2-AD 2=4，求CD 2-BC 2的值；（2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC ，若BD 平分∠ADC ，求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC ，若S △ACDS △ABC =35，求tan ∠ACD 的值．17．（2021·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连结EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．18．（2021·全国·八年级专题练习）已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC，求证：BC+AB=√2BD．。
模型37 四边形对角互补模型(原卷版)
对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一、含90°的全等型1.如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2.如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.模型二、含60°与120°的全等型模型介绍如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.【例1】．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，求BC+CD 的值．➢变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足例题精讲为E，直线EF交线段DC于点F，则＝_________【例2】．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝4，则AC的长是．➢变式训练【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝，则点C的坐标为．【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．【变式2-3】．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论是_________1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD＝．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为．3．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．4．四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．5．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．6．基本模型在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型．解题思路：1．过互补角的顶点作旋转构造全等或相似；2过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似．问题：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC．结论：①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③S四边形ABCD＝BD2请证明【基本模型】中的结论．求证：①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③S四边形ABCD＝BD2．7．如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．8．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝（用含a 的代数式表示）探究：9．问题提出：（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，若CD+BC＝10，求四边形ABCD 的面积；问题解决：（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，AC＝8，求四边形ABCD面积的最大值．10．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．（1）概念理解：①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A＝°；②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BE•BC＝AB•BD，求证：四边形ADEC是互补四边形．（2）探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形CEDH是互补四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠E．11．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．12．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，AB＝6，AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．13．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有；（2）性质探究：①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB＝AD，求证：CA平分∠BCD；②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB＝AD，∠BCD＝2α，试说明：cosα＝；（3）性质应用：如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC＝CD，且四边形ABCD的周长为6+2，∠BAC＝45°，AC＝3，求奇异四边形ABCD的面积．14．已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DB平分∠ADC．（1）求证：AB＝BC；（2）如图2，若∠ADB＝60°，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）得条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接EF，若∠CMF＝60°，AD＝EF＝7，CD＝8（CF＞BF），求AE的长．15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．16．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD＝CE．理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．17．在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB＝，且B是CE的中点，⊙O的直径是，求DE的长．（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．18．（1）探究：如图1，在△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上．①求∠DCE的度数；②直接写出线段CD，CE，AC之间的数量关系；（2）应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四边形ABCD内一点，且∠APC ＝120°，求证：P A+PC+PD≥BD；（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB 为边在AB的下方作等边△ABC，求OC的最小值．19．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；（3）在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若＝，tan∠ABC＝，AC＝12，求FG的长；（4）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，＝y，求y与x之间的函数关系式．。
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中考数学几何模型3：对角互补模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山
共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.
类型一：含90°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：
CD CE =①；
=2OD OE OC +②；
21+=2
OCD OCE S S OC V V ③ 作法1 作法2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：
CD CE =①；
-=2OE OD OC ②；
21-=2OCE OCD S S OC V V ③
作法1 作法2
类型二：含120°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：
CD CE =①；
=OD OE OC +②；
23+=OCD OCE S S OC V V ③ 作法1 作法2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以
下结论：
CD CE ①；
-=2OE OD OC ②；
21-=2OCE OCD S S OC V V ③
作法1 作法2 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP
绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
变式练习>>>
1. 角线交于点O ，点E 、F 分别在AB 、BC 上（AE ＜BE ），且∠EOF ＝90°，OE 、DA 的延长线交于点M ， OF 、AB 的延长线交于点N ，连接MN ．
（1）求证：OM ＝ON ．
（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．
例题2. 四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条 对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．
变式练习>>>
2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.
例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．
变式练习>>>
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线
EF交线段DC于点F，则＝（）
A．B．C．D．
例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时
针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．
变式练习>>>
4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．
（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；
（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．
①不管t为何值，E点总是“完美点”；
②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．
例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线P A交射线OM于点A，将射线P A绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．
（1）利用图1，求证：P A＝PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．
达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，
且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.
3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：
（1）CF的长；
（2）OF的长．
4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋
转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易
证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接
DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”
（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；
（2）数学思考：
①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．
（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.。