教育最新浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第五章四边形第三节矩形菱形和正方形同步测试2018112218
知识点32 矩形、菱形与正方形2019中考真题分类汇编
一、选择题9．（2019·苏州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC =4，BD =16将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之问的距离为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（第9题）【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC 12=AC ＝2，OB ＝OD 12=BD ＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '，点A '与点C 重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°， ∴AO '＝AC +O 'C ＝6，∴AB'=10，故选C ．10．（2019·温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a 2-b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为 （ ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】如图，连接ALGL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH＝22-a b ，∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．9．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积 ( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变10． （2019·烟台）如图，面积为24的ABCD 中，对角线BD 平分，过点D 作交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ， 所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线， 所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥， 又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，因为AC//DE ，F 是BD 的中点， 所以C 是BE 的中点，所以132CF DE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， FAB所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形， 所以142BF BD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ==，因为四边形ABCD 是菱形， 所以5DC BC ==，因为ABCD S BC DM =⨯菱形 所以245ABCDS DM BC==菱形， 在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 6．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C.3． （2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A 平行四边形B ． 菱形C ． 矩形D ． 正方形 【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF ∥HG ∥AC ，EF ＝HG ＝12AC ，故四边形EFGH 是平行四边形， 又∵AC ⊥BD ，∴EH ⊥EF ，∠HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形． 故选C ．10．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是A. 0B. 4C. 6D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’G＝2EF ＝，∴EF’＝9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.1.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．2. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PB的最小值是A.2B.4C.2D.B【答案】D【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝22BC CP＝22.3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=74，故选B.4.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．5.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。
第24讲 矩形、菱形与正方形-中考数学一轮复习知识考点习题课件
C.12
D.5
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13.(202X·鸡西)如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，2)， 将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为( D )
A. 2， 2 3 或 2 3， 2 B. 2，2 3 C. 2，2 3 D. 2， 2 3 或 2，2 3
为___6___2__5______cm.
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16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以点A为圆心，任意长为半径画
弧交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于1 MN的长为半径 2
画弧，两弧交于点G，连接AG，交边BC于点E，则△AEC的面积为 ____1_5_____.
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∵CF＝AE，∴GE＝CF.
BG EC, 在△BGE和△ECF中，∠BGE ∠ECF,
GE CF, ∴△BGE≌△ECF(SAS)，∴BE＝EF.
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(3)解决问题：如图3，若E是线段AC的延长线上任意一点，其他条件不变， 且∠EBC＝30°，AB＝3，求AF的长.
解：连接EF，过点E作EM∥BC，交AB的延长线于点M. ∵∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°. ∵EM∥BC， ∴∠AME＝∠ABC＝60°，∠AEM＝∠ACB＝60°. ∵∠BAC＝60°，∴△AME是等边三角形， ∴AM＝AE＝ME，∴BM＝CE，∠BME＝∠ECF. ∵CF＝AE，∴ME＝CF.
解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴∠AEC＝90°，AE＝8，
AC CE2 + AE2 4 5, AH 1 AC 2 5. 2
连接BD，则BD过点H，H为BD的中点，BD⊥AC，
中考数学一轮总复习 第28课时 矩形、菱形、正方形(无答案) 苏科版
A B C DEA′第28课时：矩形、菱形、正方形【知识梳理】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件（1）矩形：①有一个角是 的平行四边形是矩形．②对角线 的平行四边形是矩形．③有三个角是 的四边形是矩形．（2）菱形：①一组 的平行四边形是菱形．②对角线 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是 的菱形是正方形．②对角线 的菱形是正方形．③有一组 的矩形是正方形．④对角线 的矩形是正方形．矩形 4．面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线）；（3）正方形：S=边长2【课前预习】1、如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′= ．2、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，D E⊥AB，3sin 5A =，则这个菱形的面积= m 2． 3、如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为25和4，那么阴影部分面积为 . 4、正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A 、22 a B 、24 a C 、a2D 、2 2 a 【例题讲解】例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形. （若四边形ABCD 是矩形，则四边形EFGH 有什么变化？若四边形ABCD 是菱形呢……你能说明中点四边形的形状是由什么决定的么？） 正平行四边形矩形菱形方形B例2 如图，在平行四边形ABCD 中，∠D AB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG∥BD，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．例3 如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ． （1）求证：EB=GD ；（2）判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB 的长．例4 如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)AB 、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G点，证明四边形AEGF 是正方形；设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．【巩固练习】 1、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ．2、如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF ．你认为（ ）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对 3、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．4、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．6、在□ABC D 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．【课后作业】 班级 姓名OD CA BA DC B GEH F一、必做题1、如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE//CA ， DF//BA ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A. 四边形AEDF 是平行四边形B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C. 如果AD 平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形D. 如果AD⊥BC 是AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形 2、下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是菱形；B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形4、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD ED B ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AE ABE ED∠=5、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连DF ，∠CDF 等于 °.6、如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是 .7、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 .8、如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，则∠FPC= .9、如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．10、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长；（2）求∠AOB 的度数；（3）以O B 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．二、选做题第3题图第5题图 第6题图第8题图CD C 'A B E第4题图11、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．12、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．13、将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2．14、如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．15、如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ． （1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．16、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．（1）若d ＝26（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？第11题图 第13题图 DA B C ml α 65°C 'B第12题图 第14题图。
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)
第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. （2019重庆模拟）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是 （ ）A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . （2019临沂）如图，在？ABCD 中，M, N 是BD 上两点,个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图，将矩形纸片 数为（ ）ABCD 沿BD 折叠，得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图，矩形 ABCD 中，A （-2, 0）, B （2, 0）, C （2, 2）,将AB 绕点A 旋转，使点 B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（）B. (2击，2) D. (2^3-2, 2)4. （2019贵阳模拟）如图，在矩形ABCD （ ） ABCD 中，AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ，6.如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线，垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为（A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . （2020原创）如图，点O 是矩形 则^ BOE 的周长为（）ABCD 对角线 AC 的中点，OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.（人教八下P55练习2题）如图，？ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形，AB =4.（1）求证：四边形ABCD是矩形;（2）求四边形ABCD的面积.8. （2018遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点，若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知：如图，在？ABCD中，AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证：△ ABE^A CDF ;(2)求证：四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图，在^ ABC中，AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O.(1)求证：△ OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.第12题图1 . （2019台州）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角 “最 小时，tan a 等于（）2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE 的最 小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论：① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC；④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图，在矩形ABCD中，ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数；(2)若BC=1,求^ BCH的面积；(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形（建议时间：40分钟）名■基础过关1. （2019玉林）菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. （2019 河北）如图，菱形ABCD 中，/ D= 150°,则/ 1 =（）A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. （2019襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C, D两点，连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形第3题图4. （2019呼和浩特）已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为（）A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. （2019宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . （2019赤峰）如图，菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点，则OE 的长是（）A. 2.5B. 3第6题图7. （2019天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A, B两点的坐标分别是（2, 0）, （0, 1）,点C, D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . （2019永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。
北师大版九年级数学中考一轮复习——矩形、菱形、正方形课件
1．（202X·襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于 AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC， BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．梯形
D．菱形
2．（19·临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点， BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形 AMCN是矩形，这个条件是（ ）
【解析】 如答图，连结 DE， ∵S△CDE＝12S 四边形 CEGF，S△CDE＝12S 正方形 ABCD， ∴矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等．
7 [2019·杭州]如图 23－17，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠(点 E，H 在 AD 边上，点 F，G 在 BC 边上)，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对 称点为 A′点，D 点的对称点为 D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP 的面积为 4，△D′PH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_1_0_＋__6___5__．
平行且相等
四个角 都是直角
互相平分且相等
平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
四边形
条件
①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的平行四边形 ③四条边都相等的四边形 ①定义：有一个角是直角的平行四边形 ②对角线相等的平行四边形 ③三个角是直角的四边形
11．（202X·通辽）如图，在边长为3的菱形
AAMBC＝D中，A13D∠，A＝N是60A°B边，上M是的A一D动边点上，的将一△点A，M且N 沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接
中考一轮复习--第21讲 矩形、菱形、正方形
考法1
考法2
考法3
对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为( D )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
考法1
考法2
考法3
对应练2(2019·内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线
∵AD2+AB2=BD2,∴64+AB2=4AB2,
8 3
.
3
∴AB=
考法1
考法2
考法3
对应练3
(2018·甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点
F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
∴OD= 2,
∴直线 l∥AC 并且到 D 的距离为 3,同理,在点 D 的另一侧还有一条
直线满足条件,
故共有 2 条符合题意的直线 l.故选 B.
考法1
考法2
考法3
矩形的性质和判定
例1(2018·合肥行知学校模拟)如图,已知▱ABCD,延长AB到E使
BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.
AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的
8 3
长为 3
.
解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=DO,∵AE平分∠BAO,
∴∠BAE=∠EAO,且AE=AE,∠AEB=∠AEO,
∴△ABE≌△AOE(ASA),
∴AO=AB,且AO=OB,
2019数学中考第一轮复习课件第23讲_矩形、菱形、正方形
1．下列命题中，真命题是( D ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线 AC 等于( D )
A．20
B．15
C．10
考点一 矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形．
考点二 菱形的定义、性质和判定 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对 角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
D．5
3．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位 线)剪去上面的小直角三角形．将留下的纸片展开，得到的图形是( A )
4．如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形(含三角形)，若
这两个多边形的内角和分别为 m 和 n，则 m＋n 不可能是( D )
考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
(1)(2010·芜湖)下列命题中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形
[精品]杭州市2019年中考数学一轮复习 第五章 四边形 第三节 矩形、菱形和正方形同步测试
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第三节矩形、菱形和正方形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2．(2017·四川广安中考)下列说法，正确的有( )①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A．4个B．3个 C．2个 D．1个3. (2018·四川内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )A．31° B．28° C．62° D．56°4．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是______．5．(2018·甘肃天水中考)如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．6．(2018·湖南张家界中考)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.7．(2018·吉林长春中考)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥B E交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为 2 .【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE 的面积为________．8. (2018·浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为( )A ．20B ．24C.994D.5329．(2018·甘肃兰州中考)如图，M ，N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM ＝BN ，连结AC 交BN 于点E ，连结DE 交AM 于点F ，连结CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是__________．10．(2018·浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ＝∠B，求证：AP ＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P ，Q 的位置特殊化：把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E ，F 分别在边BC ，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．11．(2018·浙江金华中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.D 4.2 3 5.2456．(1)证明：在矩形ABCD 中，∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA ＝∠B， 又∵AD＝EA ，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF ， ∵DF＝AB ，∴AD＝2AB ＝8.7．解：【感知】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠BCE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CBE. 在△ABF 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠CBE，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴△ABF≌△BCE(ASA)．【探究】 证明：(1)如图，过点G 作GP⊥BC 于P. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABPG 是矩形， ∴PG＝AB ，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE， 在△PGF 和△CBE 中，精 品 试 卷⎩⎪⎨⎪⎧∠PGF＝∠CBE，PG ＝BC ，∠F PG ＝∠ECB＝90°，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.(2)由(1)知，FG ＝BE ， 如图，连结CM.∵∠BCE＝90°，点M 是BE 的中点， ∴BE＝2CM ＝2，∴FG＝2. 【应用】 9 【拔高训练】 8．B 9.35－310．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B＋∠C＝180°，∠B ＝∠D，AB ＝AD. ∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°， ∴∠AEC＋∠AFC＝180°. ∵AE⊥BC，∴AF⊥CD， 在△AEB 和△AFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB ＝AD ，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE ＝AF ， ∴∠EAP＝∠FAQ， 在△AEP 和△AFQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE ＝AF ，∠EAP＝∠FAQ，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)解：答案不唯一．已知：AB ＝4，∠B＝60°， 求四边形APCQ 的面积． 解：如图，连结AC ，BD 交于O. ∵∠ABC＝60°，BA ＝BC ， ∴△ABC 为等边三角形． ∵AE⊥BC，∴BE＝EC. 同理，CF ＝FD ，∴四边形AECF 的面积＝12×四边形ABCD 的面积，由(2)得四边形APCQ 的面积＝四边形AECF 的面积， OA ＝12AB ＝2，OB ＝32AB ＝23，∴四边形ABCD 的面积＝12×2×23×4＝83，∴四边形APCQ 的面积＝4 3.【培优训练】11．解：(1)①在正方形ACDE 中，DG ＝GE ＝6. 在Rt△AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝6 5. ∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FG AF ＝EGAC ，∴FG AF ＝612＝12， ∴FG＝13AG ＝2 5.②如图1中，正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF＝∠DEF＝45°.图1∵E F＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15.如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2 ∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4.如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，图3此时只有GF ＝DG ，设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ， ∴FG＝DG ＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF， ∴AE BC ＝AF BF ，∴3x 9＝9x ＋129x ＋27， 解得x ＝2或－2(舍去)， ∴腰长DG ＝4x ＋12＝20.如图4中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，图4此时只有DF ＝DG ，连结DF ，过点D 作DH⊥FG. 设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12， ∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485，∴GF＝2GH ＝32x ＋965，∴AF＝GF －AG ＝7x ＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)．∴腰长GD ＝4x ＋12＝84＋48147.如图5中，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，作DH⊥AG 于H.精 品 试 卷推荐下载图5设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x －12，∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝16x －485， ∴FG＝2FH ＝32x －965， ∴AF＝AG －FG ＝96－7x 5. ∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x 532x －965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)， ∴腰长DG ＝4x －12＝－84＋48147. 综上所述，等腰△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第五章四边形第三节矩形菱形和正方形同步测含答案
第三节矩形、菱形和正方形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2．(2017·四川广安中考)下列说法，正确的有( )①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A．4个B．3个 C．2个 D．1个3. (2018·四川内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )A．31° B．28° C．62° D．56°4．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是______．5．(2018·甘肃天水中考)如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．6．(2018·湖南张家界中考)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.7．(2018·吉林长春中考)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥B E交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为 2 .【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________．8. (2018·浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为( )A ．20B ．24C.994D.5329．(2018·甘肃兰州中考)如图，M ，N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM ＝BN ，连结AC 交BN 于点E ，连结DE 交AM 于点F ，连结CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是__________．10．(2018·浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ＝∠B，求证：AP ＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F 分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．11．(2018·浙江金华中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.D 4.2 3 5.2456．(1)证明：在矩形ABCD 中，∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA ＝∠B， 又∵AD＝EA ，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF ， ∵DF＝AB ，∴AD＝2AB ＝8.7．解：【感知】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠BCE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CBE. 在△ABF 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠CBE，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴△ABF≌△BCE(ASA)．【探究】 证明：(1)如图，过点G 作GP⊥BC 于P. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABPG 是矩形， ∴PG＝AB ，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE， 在△PGF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PGF＝∠CBE，PG ＝BC ，∠F PG ＝∠ECB＝90°，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.(2)由(1)知，FG ＝BE ， 如图，连结CM.∵∠BCE＝90°，点M 是BE 的中点， ∴BE＝2CM ＝2，∴FG＝2. 【应用】 9 【拔高训练】 8．B 9.35－310．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B＋∠C＝180°，∠B ＝∠D，AB ＝AD. ∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°， ∴∠AEC＋∠AFC＝180°. ∵AE⊥BC，∴AF⊥CD， 在△AEB 和△AFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB ＝AD ，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE ＝AF ， ∴∠EAP＝∠FAQ， 在△AEP 和△AFQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE ＝AF ，∠EAP＝∠FAQ，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)解：答案不唯一．已知：AB ＝4，∠B＝60°， 求四边形APCQ 的面积． 解：如图，连结AC ，BD 交于O. ∵∠ABC＝60°，BA ＝BC ， ∴△ABC 为等边三角形． ∵AE⊥BC，∴BE＝EC. 同理，CF ＝FD ，∴四边形AECF 的面积＝12×四边形ABCD 的面积，由(2)得四边形APCQ 的面积＝四边形AECF 的面积， OA ＝12AB ＝2，OB ＝32AB ＝23，∴四边形ABCD 的面积＝12×2×23×4＝83，∴四边形APCQ 的面积＝4 3.【培优训练】11．解：(1)①在正方形ACDE 中，DG ＝GE ＝6. 在Rt△AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝6 5. ∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FG AF ＝EGAC ，∴FG AF ＝612＝12， ∴FG＝13AG ＝2 5.②如图1中，正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF＝∠DEF＝45°.图1 ∵E F＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15. 如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2 ∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD ＝4x ＝4.如图3中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，CE 的交点在AE 上方时，图3此时只有GF ＝DG ，设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ， ∴FG＝DG ＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF， ∴AE BC ＝AF BF ，∴3x 9＝9x ＋129x ＋27， 解得x ＝2或－2(舍去)， ∴腰长DG ＝4x ＋12＝20.如图4中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，图4此时只有DF ＝DG ，连结DF ，过点D 作DH⊥FG. 设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12， ∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485，∴GF＝2GH ＝32x ＋965，∴AF＝GF －AG ＝7x ＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)． ∴腰长GD ＝4x ＋12＝84＋48147. 如图5中，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，作DH⊥AG 于H.图5设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x －12，∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝16x －485， ∴FG＝2FH ＝32x －965， ∴AF＝AG －FG ＝96－7x 5. ∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x532x －965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)， ∴腰长DG ＝4x －12＝－84＋48147. 综上所述，等腰△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习 第五章 四边形 第一节 多边形及其内角和同步测试
第五章四边形第一节多边形及其内角和姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·云南曲靖中考)若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是( ) A．60° B．90° C．108° D．120°2．(2017·江苏苏州中考)如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为( )A．30° B．36° C．54° D．72°3. (2018·山东莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB ＝( )A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°4．(2017·湖北宜昌中考)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A．①② B．①③ C. ②④ D．③④5．(2018·湖南邵阳中考)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是__________．6．(2018·上海中考)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__________度．7.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝100°，∠BCD＝70°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求∠B的度数．8．一个多边形裁去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2 520°，则原多边形的边数是( ) A．17 B．16C．15 D．17或16或159．(2017·湖北黄石中考)如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，AC＝1，则BD必定满足( )A．BD<2 B．BD＝2C．BD>2 D．以上情况均有可能10．(2017·山东莱芜中考)如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC，AD，BE，BE分别与AC和AD相交于点F，G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3－5；③(S四边形CDEF)2＝9＋25；④DF2－DG2＝7－2 5.其中结论正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．411. (2017·湖北咸宁中考)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°.当n＝2 017时，顶点A的坐标为______________．12．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．13．已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(0°＜x＜180°，0°＜y＜180°)．(1)∠ABC＋∠ADC＝________(用含x，y的代数式直接填空)；(2)如图1，若x＝y＝90°.DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；(3)如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．①若x＋y＝120°，∠DFB＝20°，试求x，y；②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x，y满足什么条件时，∠DFB不存在．14. (2017·浙江台州中考)如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点A ，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a 的取值范围是______________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.B 4.B 5.40° 6.540 7．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°. ∵△BMN 沿MN 翻折得△FMN， ∴∠BMN＝12∠BMF ＝12×100°＝50°，∠BNM＝12∠BNF＝12×70°＝35°.在△BMN 中，∠B＝180°－(∠BMN＋∠BNM)＝180°－(50°＋35°)＝180°－85°＝95°. 【拔高训练】 8．D 9.A 10.B 11．(2，23)12．解：(1)n －3 12n(n －3)(2)∵3×6＝18，∴数学社团的同学们一共将拨打电话为12×18×(18－3)＝135(个)．(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n 个顶点； 每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n －3)个电话； 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为12n(n －3)；数学社团有18名同学，当n ＝18时，12×18×(18－3)＝135.13．解：(1)360°－x －y (2)DE⊥BF理由：如图，BC 与DE 相交于点G. ∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠MBC，∴∠CDE＝12∠ADC，∠CBF＝12∠CBM.又∵∠CBM＝180°－∠ABC＝180°－(180°－∠ADC)＝∠ADC， ∴∠CDE＝∠CBF. 又∵∠DGC＝∠BGE， ∴∠BEG＝∠C＝90°， ∴DE⊥BF.(3)①由(1)得∠CDN＋∠CBM＝360°－(360°－x －y)＝x ＋y. ∵BF，DF 分别平分∠CBM，∠CDN， ∴∠CDF＋∠CBF＝12(x ＋y)．如图，连结DB ，则∠CBD＋∠CDB＝180°－y ，∴∠FBD＋∠FDB＝180°－y ＋12(x ＋y)＝180°－12y ＋12x ，∴∠DFB＝12y －12x ＝20°.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝120°，12y －12x ＝20°得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40°，y ＝80°.②当x ＝y 时，∠FBD＋∠FDB＝180°－12y ＋12x ＝180°，∴∠ABC，∠ADC 相邻的外角平分线所在直线互相平行， 此时，∠DFB 不存在． 【培优训练】 14.62≤a≤3－ 3。
2019年中考数学第五章四边形第19课时矩形、菱形、正方形课件
考点梳理
自主测试
考点一 矩形的性质与判定 1.定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质 (1)矩形的对边平行且相等; (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它 的对称中心是对角线的交点. 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形.
考点梳理
自主测试
考点二 菱形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质 (1)菱形的对边平行,四边都相等; (2)菱形的对角相等; (3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边都相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积 1 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形= 2 ab.(其中a,b为菱 形对角线长)
考点梳理
自主测试
1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列 结论不正确的是( ) A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形 D.当∠ABD=∠CBD时,四边形ABCD是矩形 答案:D 2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形 ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案:C
∵AD=6,∴DG=5,∴tan ∠ADP=������������ =
3 . 5
考点梳理整合
命题点1
命题点2
浙江省2019年中考数学复习(含近9年中考真题) 第一部分考点研究第五单元四边形第24课时 矩形菱形正方形
第一部分 考点研究第五单元 四边形浙江近9年中考真题精选(2009～2017)),)命题点1 矩形类型一 矩形的性质及判定(台州2016.19、温州2考、绍兴2考)1. (2010台州9题4分)如图、矩形ABCD 中、AB >AD 、AB ＝a 、AN 平分∠DAB 、DM ⊥AN 于点M 、CN ⊥AN 于点N 、则DM ＋CN 的值为(用含a 的代数式表示)( )A. aB. 45aC. 22aD. 32a第1题图2. (2016舟山9题3分)如图、矩形ABCD 中、AD ＝2、AB ＝3、过点A 、C 作相距为2的平行线段AE 、CF 、分别交CD 、AB 于点E 、F 、则DE 的长是( )第2题图A. 5B. 136C. 1D. 563. (2017宁波12题4分)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形、且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中、若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长、就一定能算出这个大矩形的面积、则n 的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第3题图4. (2014金华15题4分)如图、矩形ABCD中、AB＝8、点E是AD上的一点、有AE＝4、BE的垂直平分线交BC的延长线于点F、连接EF交CD于点G、若G是CD的中点、则BC的长是________．第4题图5. (2013温州16题5分)一块矩形木板、它的右上角有一个圆洞、现设想将它改造成火锅餐桌桌面、要求木板大小不变、且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上、木工师傅想到了一个巧妙的办法、他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据(单位：cm)后、从点N沿折线NF－FM(NF∥BC、FM∥AB)切割、如图①所示．图②中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠、无缝隙、不计损耗)、则CN、AM的长分别是________．第5题图6. (2016台州19题8分)如图、点P在矩形ABCD的对角线AC上、且不与点A、C重合、过点P分别作边AB、AD的平行线、交两组对边于点E、F和点G、H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形、并直接写出它们面积之间的关系．第6题图7. (2009绍兴22题12分)若从矩形一边上的点到对边的视角是直角、则称该点为直角点．例如、如图的矩形ABCD 中、点M 在CD 边上、连接AM 、BM 、∠AMB ＝90°、则点M 为直角点．(1)若矩形ABCD 一边CD 上的直角点M 为中点、问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；(2)若点M 、N 分别为矩形ABCD 边CD 、AB 上的直角点、且AB ＝4、BC ＝3、求MN 的长．第7题图8．(2017丽水24题12分)如图、在矩形ABCD 中、点E 是AD 上的一个动点、连接BE 、作点A 关于BE 的对称点F 、且点F 落在矩形ABCD 的内部、连接AF 、BF 、EF 、过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G 、设AD AE＝n. (1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时、用含n 的代数式表示AD AB的值； (3)若AD ＝4AB 、且以点F 、C 、G 为顶点的三角形是直角三角形、求n 的值．第8题图类型二矩形折叠的相关计算(台州2015.8、绍兴3考)9. (2015台州8题4分)如果将长为6 cm、宽为5 cm的长方形纸片折叠一次、那么这条折痕的长不可能．．．是( )A．8 cm B．5 2 cm C．5.5 cm D．1 cm10. (2014嘉兴9题4分)如图、在一张矩形纸片ABCD中、AD＝4 cm、点E、F分别是CD和AB的中点、现将这张纸片折叠、使点B落在EF上的点G处、折痕为AH、若HG延长线恰好经过点D、则CD的长为( )A. 2 cmB. 2 3 cmC. 4 cmD. 4 3 cm第10题图11. (2016绍兴16题5分)如图、矩形ABCD中、AB＝4、BC＝2、E是AB的中点、直线l平行于直线EC、且直线l与直线EC之间的距离为2、点F在矩形ABCD边上、将矩形ABCD 沿直线EF折叠、使点A恰好落在直线l上、则DF的长为________．第11题图12. (2014绍兴16题5分)把标准纸一次又一次对开、可以得到均相似的“开纸”、现在我们在长为22、宽为1的矩形纸片中、画两个小矩形、使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行、或小矩形的边在原矩形纸的边上、且每个小矩形均与原矩形纸相似、然后将它们剪下、则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是________．13. (2015衢州21题8分)如图①、将矩形ABCD沿DE折叠、使顶点A落在DC上的点A′处、然后将矩形展平、沿EF折叠、使顶点A落在折痕DE上的点G处、再将矩形ABCD沿CE折叠、此时顶点B恰好落在DE上的点H处、如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2、求AD和AB的长．第13题图命题点2菱形类型一菱形的性质及相关计算(杭州3考、台州4考、温州4考、绍兴2013.16)14. (2014杭州5题3分)下列命题中、正确的是( )A. 梯形的对角线相等B. 菱形的对角线不相等C. 矩形的对角线不能互相垂直D. 平行四边形的对角线可以互相垂直15. (2015衢州8题3分)如图、已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米、∠BAD＝60°、则花坛对角线AC的长等于( )A. 6 3 米B. 6 米C. 3 3 米D. 3 米第15题图16. (2015台州9题4分)如图、在菱形ABCD中、AB＝8、点E、F分别在AB、AD上、且AE＝AF、过点E作EG∥AD交CD于点G、过点F作FH∥AB交BC于点H、EG与FH交于点O、当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时、AE的值为( )第16题图A. 6.5B. 6C. 5.5D. 517. (2012台州10题4分)如图、菱形ABCD 中、AB ＝2、∠A ＝120°、点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点、则PK ＋QK 的最小值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 3＋1第17题图18. (2017台州10题4分)如图、矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上、BE ＝BF 、将△AEH 、△CFG 分别沿边EH 、FG 折叠、当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时、则AE EB为( )第18题图A. 53B. 2C. 52D. 4 19. (2016杭州14题4分)在菱形ABCD 中、∠A ＝30°、在同一平面内、以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE 、则∠EBC 的度数为________．第20题图20. (2016丽水15题4分)如图、在菱形ABCD 中、过点B 作BE ⊥AD 、BF ⊥CD 、垂足分别为点E 、F 、延长BD 至G 、使得DG ＝BD 、连接EG 、FG .若AE ＝DE 、则EG AB＝________． 21. (2013绍兴16题5分)矩形ABCD 中、AB ＝4、AD ＝3、P 、Q 是对角线BD 上不重合的两点、点P 关于直线AD 、AB 的对称点分别是点E 、F 、点Q 关于直线BC 、CD 的对称点分别是点G 、H 、若由点E 、F 、G 、H 构成的四边形恰好为菱形、则PQ 的长为________．22. (2015温州16题5分)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品、该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙)、图乙中、AB BC ＝67、EF ＝4 cm 、上下两个阴影三角形的面积之和为54 cm 2、其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到、则该菱形的周长为________cm.第22题图23．(2014杭州22题12分)菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 、AC ＝43、BD ＝4.动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动、PF ⊥AB 于点F 、四边形PFBG 关于BD 对称、四边形QEDH 与四边形PFBG 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1、未被盖住部分的面积为S 2、BP ＝x .(1)用含x 的代数式分别表示S 1、S 2；第23题图(2)若S1＝S2、求x的值．类型二菱形的判定(台州2012.22、温州2012.19)第24题图24. (2014丽水7题3分)如图、小红在作线段AB的垂直平分线时、是这样操作的：分别以A、B为圆心、大于线段AB长度一半的长为半径画弧、相交于点C、D、则直线CD即为所求．连接AC、BC、AD、BD、根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是．．．( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形25. (2014嘉兴20题8分)已知：如图、在▱ABCD中、O为对角线BD的中点、过点O 的直线EF分别交AD、BC于E、F两点、连接BE、DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时、四边形BFD E为菱形？请说明理由．第25题图命题点3正方形的性质及相关计算(杭州2考、台州5考、温州3考、绍兴3考)26. (2016台州9题4分)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形、她对折了( )A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次27. (2014台州9题4分)如图、F是正方形ABCD的边CD上的一个动点、BF的垂直平分线交对角线AC于点E、连接BE、FE、则∠EBF的度数是( )A. 45°B. 50°C. 60°D. 不确定第27题图28．(2017温州9题4分)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD、过各较长直角边的中点作垂线、围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边、AM＝22EF、则正方形ABCD的面积为( )第28题图A. 12SB. 10SC. 9SD. 8S29．(2017宁波11题4分)如图、四边形ABCD是边长为6的正方形、点E在边AB上、BE＝4、过点E作EF∥BC、分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点、则MN的长为( )A. 3B. 2 3C. 13D. 4第29题图30．(2017绍兴14题5分)如图为某城市部分街道示意图、四边形ABCD为正方形、点G在对角线BD上、GE⊥CD、GF⊥BC、AD＝1500 m、小敏行走的路线为B→A→G→E、小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m、则小聪行走的路程为________m.第30题图31. (2017台州16题5分)如图、有一个边长不定的正方形ABCD、它的两个相对的顶点A、C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上、另外两个顶点B、D在正六边形内部(包括边界)、则正方形边长a的取值范围是________．第31题图32．(2016杭州21题10分)如图、已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形、点E在线段DC上、点A、D、G在同一条直线上、且AD＝3、DE＝1、连接AC、CG、AE、并延长AE 交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；第32题图(2)求线段AH的长．33. (2017杭州21题10分)如图、在正方形ABCD中、点G在对角线BD上(不与点B、D重合)、GE⊥DC于点E、GF⊥BC于点F、连接AG.(1)写出线段AG 、GE 、GF 长度之间的等量关系、并说明理由； (2)若正方形ABCD 的边长为1、∠AGF ＝105°、求线段BG 的长．第33题图34. (2017湖州22题10分)已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O . (1)如图①、E 、G 分别是OB 、OC 上的点、CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE 、求证：OE ＝OG ；(2)如图②、H 是BC 上的一点、过点H 作EH ⊥BC 、交线段OB 于点E 、连接DH 交CE 于点F 、交OC 于点G.若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时、求HC 的长．第34题图 答案1. C 【解析】∵AN 平分∠DAB 、DM ⊥AN 于点M 、CN ⊥AN 于点N 、∴∠ADM ＝∠MDC ＝∠NCD ＝45°、∴DM cos45°＋CNcos45°＝CD 、在矩形ABCD 中、CD ＝AB ＝a 、∴DM ＋CN ＝acos45°＝22a.故选C. 2. D 【解析】如解图、过点E 作EQ ⊥CF 于点Q 、则EQ ＝2.设DE ＝x 、则CE ＝DC －DE ＝3－x 、∵AE ∥CF 、∠CQE ＝90°、∴∠AEQ ＝90°、∴∠AED ＋∠QEC ＝90°、∵∠AED＋∠DAE ＝90°、∴∠DAE ＝∠QEC 、在△ADE 和△EQC 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CQE＝90°AD ＝EQ ∠DAE ＝∠QEC 、∴△ADE ≌△EQC (ASA)、∴AE ＝EC ＝3－x .在Rt△ADE 中、根据勾股定理得AD 2＋DE 2＝AE 2、即22＋x 2＝(3－x )2、解得x ＝56.故选D.第2题解图3. A 【解析】如解图、设矩形的周长为L n 、设③④⑤的长分别是a 、b 、c 、③的宽为d 、∵①和②是正方形、∴⑥和⑧的宽为b 和c 、L 1＝4b 、b ＝L 14、c ＝L 24、∴大矩形的面积S ＝(a ＋b ＋c )(d ＋b ＋c )、观察图形可知：L 6＝2(a ＋b )、则a ＋b ＝L 62、同理b ＋d ＝L 42、∴当L 2、L 4和L 6已知时、可以求出大矩形面积．∵a ＋c ＝L 82、d ＋c ＝L 52、∴当L 1、L 8和L 5已知时、也可以求出大矩形面积．所以至少需要知道3个小矩形的周长．第3题解图4. 7 【解析】∵FH 是BE 的垂直平分线、∴EF ＝FB 、∵四边形ABCD 是矩形、∴∠D＝∠BCD ＝90°、∴∠FCG ＝∠D ＝90°.又∵G 是CD 的中点、∴DG ＝CG 、∵∠DGE ＝∠CGF 、∴△EDG ≌△FCG (ASA)．由全等三角形对应边相等得DE ＝CF 、EG ＝FG .设BC ＝x.在矩形ABCD 中、∵AE ＝4、∴DE ＝x －4、CF ＝DE ＝x －4.又∵EF＝BF ＝BC ＋CF ＝x ＋(x －4)＝2x －4、G是EF 的中点、∴EG ＝EF 2＝2x －42＝x －2、∵DG ＝CD 2＝AB 2＝82＝4、∴在Rt △DEG 中、由勾股定理得：DE 2＋DG 2＝EG 2、即(x －4)2＋42＝(x －2)2、解得x ＝7、即BC ＝7.5. 18 cm 、31 cm 【解析】如解图①、延长OK 交线段MF 于点M ′、延长PQ 交BC 于点G 、交FN 于点N ′.设圆孔半径为r.在Rt △KBG 中、根据勾股定理、得BG 2＋KG 2＝BK 2、即(130－50)2＋(44＋r )2＝1002、解得r ＝16 cm.根据题意知、如解图②、圆心O 在矩形EFGH 的对角线上、则KN ′＝12AB ＝42 cm 、OM ′＝KM ′＋r ＝12CB ＝65 cm.∴QN ′＝KN ′－KQ ＝42－16＝26 cm 、KM ′＝OM ′－r ＝49 cm 、∴CN ＝QG －QN ′＝44－26＝18 cm 、∴AM ＝BC －PD －KM ′＝130－50－49＝31 cm 、综上所述、CN 、AM 的长分别是18 cm 、31 cm.第5题解图6．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形、 ∴DC ∥AB 、AD ∥BC 、∠DCB ＝90°、(1分) ∵EF ∥AB 、GH ∥AD 、 ∴EF ∥CD 、GH ∥BC 、∴四边形PFCH 是矩形、(2分) ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°、PH ＝CF 、HC ＝PF 、∴△PHC ≌△CFP (SAS)；(4分)(2)∵四边形ABCD为矩形、∴∠D＝∠B＝90°、又∵EF∥AB∥CD、GH∥AD∥BC、∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．(6分)S矩形PEDH＝S矩形PFBG.(8分)【解法提示】∵EF∥AB、∴∠CPF＝∠CAB、在Rt△AGP中、∠AGP＝90°、PG＝AG·tan∠CAB、在Rt△CFP中、∠CFP＝90°、CF＝PF·tan∠C P F、∵S矩形PEDH＝DE·EP＝CF·EP＝PF·tan∠CPF·EP、S矩形PFBG＝PG·PF＝AG·tan∠CAB·PF＝EP·PF·tan∠CAB. 又∵tan∠CPF＝tan∠CAB、∴S矩形PEDH＝S矩形PFBG.7．解：(1)AB＝2AD.理由如下：∵直角点M为CD边的中点、∴MD＝MC、又∵AD＝BC、∠D＝∠C＝90°、∴△ADM≌△BCM(SAS)、(3分)∴∠AMD＝∠BMC、∵∠AMB＝90°、∴∠AMD＋∠BMC＝90°、∴∠AMD＝∠BMC＝45°、∴∠DAM＝∠AMD＝45°、∴AB＝2AD；(6分)(2)如解图、过点M作MH⊥AB于点H、连接MN、第7题解图∵∠AMB＝90°、∴∠AMD＋∠BMC＝90°、∵∠AMD＋∠DAM＝90°、∴∠DAM＝∠BMC、又∵∠D＝∠C＝90°、∴△ADM∽△MCB、∴ADMC＝DMCB、即3MC＝4－MC3、∴MC＝1或3、(8分)∵点M、N分别为矩形ABCD边CD、AB上的直角点、∴AN＝MC、∴当MC＝1时、AN＝1、NH＝2、∴MN2＝MH2＋NH2＝(3)2＋22＝7、∴MN＝7、(10分)当MC＝3时、此时点N与点H重合、即MN＝BC＝3、综上、MN＝7或 3.(12分)8．解：设AE＝a、则AD＝na、(1)由对称得AE＝FE、∴∠EAF＝∠EFA、∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝90°、 ∴∠FGA ＝∠EFG 、 ∴EG ＝EF 、 ∴AE ＝EG ；(3分)(2)如解图①、当点F 落在AC 上时、第8题解图①由对称得BE ⊥AF 、 ∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°、 ∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°、 ∴∠ABE ＝∠DAC 、 又∵∠BAE ＝∠D ＝90°、 ∴△ABE ∽△DAC 、∴AB DA ＝AE DC、 ∵AB ＝DC 、∴AB 2＝AD ·AE ＝na 2、 ∵AB ＞0、∴AB ＝na 、∴AD AB ＝na na＝n ；(7分) (3)若AD ＝4AB 、则AB ＝n4a 、如解图②、当点F 落在线段BC 上时、EF ＝AE ＝AB ＝a .第8题解图②此时n 4a ＝a 、∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时、n ＞4、 ∵点F 落在矩形的内部、点G 在AD 上、 ∴∠FCG ＜∠BCD 、 ∴∠FCG ＜90°、第8题解图③①如解图③、若∠CFG ＝90°、则点F 落在AC 上、由(2)得AD AB ＝n 、即4ABAB＝n 、 ∴n ＝16；(9分)②若∠CGF ＝90°、则∠CGD ＋∠AGF ＝90°、 ∵∠FAG ＋∠AGF ＝90°、 ∴∠CGD ＝∠FAG ＝∠ABE 、 ∵∠BAE ＝∠D ＝90°、 ∴△ABE ∽△DGC 、∴AB DG ＝AE DC、 ∴AB ·DC ＝DG ·AE 、即(n 4a )2＝(n －2)a·a 、解得n 1＝8＋42、n 2＝8－42＜4(不合题意、舍去)．∴当n ＝16或n ＝8＋42、以点F 、C 、G 为顶点的三角形是直角三角形．(12分) 9. A 【解析】折痕的长不可能超过对角线长．由勾股定理得、矩形的对角线长＝52＋62＝61 cm<8 cm 、所以折痕的长不可能为8 cm.10. B 【解析】∵点E 、F 分别是CD 和AB 的中点、∴EF ⊥AB 、EF∥BC 、∴EG 是△DCH 的中位线、∴DG ＝HG 、由折叠的性质可得∠AGH ＝∠ABH ＝90°、∴∠AGH ＝∠AGD ＝90°、在△AGH 和△AGD 中、⎩⎪⎨⎪⎧HG ＝DG ∠AGH ＝∠AGD AG ＝AG、∴△AGH ≌△AGD (SAS)、∴AD ＝AH 、∠DAG ＝∠HAG 、由折叠的性质可得∠BAH ＝∠HAG 、∴∠BAH ＝∠HAG ＝∠DAG ＝13∠BAD ＝30°、在Rt △ABH中、AH ＝AD ＝4、∠BAH ＝30°、∴HB ＝2、AB ＝23、∴CD ＝AB ＝2 3 cm.11. 4－22或2 2 【解析】本题结合平行线间的距离考查了平面图形的折叠对称问题．注意、题目只说明两平行线间的距离、要考虑左侧相距和右侧相距的问题、即分类讨论．①当直线l 位于CE 左侧、与CE 距离为2时、如解图①所示：EM ⊥直线l 、且EM ＝2、记直线l 与AD 交于点G 、与CD 交于点H 、连接EG 、∵E 为AB 中点、∴AE ＝2、易证明Rt △AEG ≌Rt △MEG(HL)、即将△AEG 沿着EG 折叠时、点A 与M 重合、此时A 点在直线l 上、又∵AD ＝AE ＝2、∠CEB ＝45°、CE ∥GH 、∴∠DGH ＝45°、∴D 、M 、E 三点共线、则DM ＝DE －EM ＝22－2、∴DF ＝DG ＝2DM ＝4－22；第11题解图②当直线l 位于CE 右侧、与CE 距离为2时、如解图②所示：EM ⊥直线l 、且EM ＝2、同理可证明D 、E 、M 三点共线、∵AE ＝EM ＝2、∴点E 到直线l 上的点的距离d≥2、∴将矩形折叠后A 点落在直线l 上、只可能与M 点重合、此时∠AEM 的平分线所在直线与矩形交点即为点F .易求∠DEF ＝∠DFE ＝67.5°、∴DF ＝DE ＝22、综上所述、DF ＝4－22或2 2.12．42＋154【解析】要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大、则这两个小矩形纸片长与宽的和最大、∵原矩形的长与宽之比为22∶1、∴剪得的两个小矩形中、一个矩形的长为1、宽为1×122＝24、∴另外一个矩形的长为22－24＝724、宽为724×122＝78、∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2(1＋24＋724＋78)＝42＋154. 13．(1)证明：在矩形ABCD 中、AD ＝BC 、∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°、 ∵A 点与A′点关于DE 所在直线对称、 ∴∠ADE ＝∠A′DE＝45°、AD ＝A′D 、 ∴四边形AEA′D 为正方形、 ∴BC ＝AD ＝AE 、(2分)∵CH 与BC 关于CE 对称、AE 与GE 关于EF 对称、 ∴C H ＝BC 、AE ＝GE 、∴E G ＝CH ；(4分)(2)解：由折叠性质可知：∠AEF ＝∠GEF 、∠CEH ＝∠CEB 、 ∵∠AEF ＋∠GEF ＋∠CEH ＋∠CEB ＝180°、 ∴∠AEF ＋∠CEB ＝90°、由(1)知CB ＝EA 、∠A ＝∠B ＝90°、 ∴∠CEB ＋∠BCE ＝90°、 ∴∠AEF ＝∠BCE 、∴ △AEF ≌△BCE (ASA)、 ∴ BE ＝AF ＝2、(6分) 由折叠性质知：FG ＝AF ＝2、 ∵∠FGD ＝90°、∠FDG ＝45°、 ∴△DGF 为等腰直角三角形、 ∴DF ＝2FG ＝2、∴AD ＝2＋2、 ∴AE ＝2＋2、∴AB ＝2＋2＋2＝2＋2 2.(8分) 14．D 【解析】15.A 【解析】因为菱形花坛的周长为24米、所以边长为6米、又AC 、BD 相互垂直平分、且平分一组对角、如解图、设AC 、BD 相交于点O 、则△AOB 是以∠AOB 为直角的直角三角形、且∠BAO ＝30°、又cos30°＝OA AB、所以OA ＝3 3 (米)、故AC ＝6 3 (米)．第15题解图16. C 【解析】∴EG∥AD 、FH ∥AB 、AE ＝AF 、∴四边形AEOF 是菱形、∴EG ∥BC 、∴四边形BEOH 是平行四边形、∴OH ＝BE 、∴四边形CGOH 也为菱形、∴4(AE －OH )＝12、∴AE －OH ＝3、∴AE －EB ＝3、又∵AE ＋EB ＝AB ＝8、两式相加得2AE ＝8＋3、解得AE ＝5.5.17. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形、∴AD ∥BC 、∵∠A ＝120°、∴∠ABC ＝180°－∠A ＝180°－120°＝60°、作点P 关于直线BD 的对称点P ′、连接P ′Q 、P ′C 、则P′Q 的长即为PK ＋QK 的最小值、如解图、当点Q 与点C 重合、过点C 作CP ′⊥AB 时、PK ＋QK 的值最小、在Rt △BCP ′中、∵BC ＝AB ＝2、∠ABC ＝60°、∴P ′Q ＝CP′＝BC ·sin ∠ABC＝2×32＝ 3.故选B.第17题解图18. A 【解析】如解图、由折叠的对称性可知、∠A ＝∠J、∠C ＝∠M 、四边形MNJK 和四边形BENF 都是菱形、则BE ＝NE 、AE ＝JE 、∵菱形MNJK 与菱形ABCD 相似、且菱形MNJK 的面积是菱形ABCD 面积的116、∴(JN AB )2＝116、∴JN AB ＝14、设JN ＝a 、EN ＝b 、则AB ＝4a 、∵AB ＝AE ＋EB ＝EJ ＋EN ＝JN ＋EN ＋EN ＝JN ＋2EN ＝a ＋2b 、∴a ＋2b ＝4a 、∴a ＝23b 、AE BE ＝a ＋b b ＝53.第18题解图19．105°或45° 【解析】如解图、∵四边形ABCD 是菱形、∠DAB ＝30°、∴∠ABC ＝150°、∠ABD ＝∠DBC ＝75°.顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.①当点E 在△ABD 内时、∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°.②当点E 在△DBC 内时、∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述、∠EBC 的度数为105°或45°.第19题解图20.72 【解析】如解图、延长BE 到H 、使得EH ＝BE 、连接GH 、∵DG ＝BD 、∴DE ＝12GH 且DE ∥GH 、∵BE ⊥AD 、∴BH ⊥GH .设DE ＝x 、∵AE ＝DE 、BE ⊥AD 、∴AB ＝BD 、∵四边形ABCD 是菱形、∴AB ＝AD ＝2x 、∴△ABD 为等边三角形、∴∠DBE ＝30°、∵GH ＝2DE ＝2x 、∴HB ＝23x 、EH ＝BE ＝3x 、∴EG ＝GH 2＋HE 2＝（2x ）2＋（3x ）2＝7x 、∴EGAB＝7x 2x＝72.第20题解图21. 2.8 【解析】如解图、由轴对称性质可知、∠PAF ＋∠PAE ＝2∠PAB ＋2∠PAD ＝2(∠PAB ＋∠PAD )＝180°、∴点A 在菱形EFGH 的边EF 上、同理可知、点B 、C 、D 均在菱形EFGH 的边上、∵AP ＝AE ＝AF 、∴点A 为EF 中点、同理可知、点C 为GH 中点．连接AC 交BD 于点O 、则有AF ＝CG 、且AF ∥CG 、∴四边形ACGF 为平行四边形、∴FG ＝AC ＝5、即菱形EFGH 的边长等于矩形AB CD 的对角线长．∴EF ＝FG ＝5、∵AP ＝AE ＝AF 、∴AP ＝12EF ＝2.5、∵OA ＝12AC ＝2.5、∴AP ＝AO 、即△APO 为等腰三角形．过点A 作AN ⊥BD 交BD 于点N 、则点N 为OP 的中点、由S △ABD ＝12AB ·AD ＝12BD ·AN 、可求得AN ＝2.4、在Rt △AON 中、由勾股定理得ON ＝OA 2－AN 2＝ 2.52－2.42＝0.7、∴OP ＝2ON ＝1.4；同理可求得OQ ＝1.4、∴PQ ＝OP ＋OQ ＝1.4＋1.4＝2.8.第21题解图22.503【解析】如解图、菱形的四个顶点分别为M 、P 、N 、Q 、连接PQ 、MN 、设DE ＝x 、则DA ＝2x ＋4、CD ＝67(2x ＋4)、而△CDM 的CD 边上的高为x ＋42、S △MCD ＝12×67(2x ＋4)×x ＋42＝542、解得x ＝5或x ＝－11(舍去)、∴DE ＝5、CD ＝12、△MCD 的CD 边上的高为92、∴△CDM 中CD 与CD 边上的高的比为8∶3、∵△CDM ∽△PQM 、∴△PQM 中PQ 与BQ 边上的高的比为8∶3、∴菱形PNQM 的两条对角线的比为PQ ∶MN ＝8∶6＝4∶3、又∵MN ＝DE ＝5、∴PQ ＝203、∴MP ＝（52）2＋（103）2＝256、∴菱形的周长为256×4＝503cm.第22题解图23．解：(1)设BP ＝x 、①当点P 在BO 上、0<x ≤2时、如解图①、第23题解图①∵四边形ABCD 是菱形、AC ＝43、BD ＝4、∴OA ＝23、OB ＝2、tan ∠ABO ＝OA OB＝3、∴∠ABO ＝60°、∵PF ⊥AB 、∴△BPF 为直角三角形、 ∴BF ＝12x 、FP ＝32x 、则S △BPF ＝12BF ·FP ＝38x 2、∵四边形PFBG 关于BD 对称、 ∴△BPF ≌△BPG 、又∵四边形QEDH 与四边形PFBG 关于AC 对称、 ∴△BPF ≌△DQE 、∴S 1＝4S △BPF ＝32x 2、(3分) 又∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝83、∴S 2＝S 菱形ABCD －S 1＝83－32x 2、(4分)第23题解图②②当点P 在OD 上、2<x ≤4时、如解图②、 由BP ＝x 、则BF ＝12x 、又AB ＝2BO ＝4、 ∴AF ＝4－12x 、FM ＝tan ∠FAM ·AF ＝33(4－12x)、 ∴S △AFM ＝12AF ·FM ＝12·33(4－12x )2＝36(4－12x )2、(7分)∴S 2＝4S △AFM ＝4×36(4－12x )2＝233(4－12x )2、(6分) S 1＝S 菱形ABCD －S 2＝83－233(4－12x)2.(8分) (2)解：若S 1＝S 2、①当点P 在BO 上、0<x ≤2时、32x 2＝83－32x 2、则x 2＝8、∴x ＝22>2(舍)；(10分)②当点P 在OD 上、2<x ≤4时、233(4－12x )2＝83－233(4－12x )2、则(4－12x )2＝6.∴x 1＝8＋26>4(舍)、x 2＝8－2 6. 综上所述、当x ＝8－26时、S 1＝S 2.(12分)24．B 【解析】依据垂直平分线的性质可知AC ＝BC 、AD ＝BD 、又AC ＝A D 、所以AC ＝BC ＝AD ＝BD 、依据“四条边都相等的四边形是菱形”可知四边形ADBC 是菱形．故选B.25．(1)证明：∵在▱ABCD 中、O 为对角线BD 的中点、 ∴BO ＝DO 、∠EDB ＝∠FBO 、 在△EOD 和△FOB 中、 ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠OBF DO ＝BO∠EOD＝∠FOB、 ∴△DOE ≌△BOF (ASA)；(4分)(2)解：当∠DOE ＝90°时、四边形B F DE 为菱形、 理由：由(1)得△DOE ≌△BOF 、 ∴BF ＝DE 、 又∵BF ∥DE 、∴四边形BFDE 是平行四边形、(6分) ∵BO ＝DO 、∠EOD ＝90°、 ∴EB ＝DE 、∴四边形BFDE 为菱形．(8分)26．C 【解析】本题只需先说明这个四边形丝巾是菱形再说明有一个角是直角、从而得出是正方形．先沿对角线折叠再折叠、若重合、得是菱形、再展开沿对边中点折叠、若重合得到一个角是90°、从而可判断四边形丝巾是否是正方形．故选C.27．A第27题解图【解析】如解图、过点E 作NG ∥BC 、分别交AB 、CD 于点N 、G 、则∠BNE ＝∠EGF ＝90°、∵点E 是BF 的垂直平分线EM 上的点、∴EF ＝EB 、∵点E 是∠BCD 平分线上一点、∴点E 到BC 和CD 的距离相等、即BN ＝EG 、∴Rt △BNE ≌Rt △EGF (HL )、∴∠NBE ＝∠GEF 、∵∠NBE ＋∠NEB ＝90°、∴∠GEF ＋∠NEB ＝90°、∴∠BEF ＝90°、 又∵BE ＝EF 、∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.28．C 【解析】∵正方形EFGH 的面积为S 、∴EF ＝S 、∵AM ＝22EF 、∴AM ＝22S.∵四边形PMQE 是矩形、∴PM ＝EQ ＝S ＋F Q 、∵点P 是AM 的中点、∴PM ＝12AM ＝2S 、∴FQ ＝PM －EF ＝25－S 、∴MQ ＝2S －S 、又∵BQ ＝PM ＝2S 、∴BM ＝EF ＝S 、∴在Rt △AMB 中、由勾股定理得AB 2＝AM 2＋BM 2＝(22S)2＋(S)2＝9S 、即正方形ABCD 的面积为9S.第28题解图29．C 【解析】如解图、过点M 作MR ⊥DC 于点R 、过点N 作NQ ⊥DC 于点Q 、过点M 作MP ⊥NQ 于点P 、∵AB ＝BC ＝6、∴EF ＝6、又∵BE ＝4、∴AE ＝DF ＝2、∵M 为DG 的中点、∴RF ＝12DF ＝1、在△NQC 和△EFC 中、∵EF ∥NQ 且N 为EC 的中点、∴NQ ＝12EF ＝3、∴NP ＝NQ －PQ ＝NQ －MR ＝3－1＝2、FQ ＝12FC ＝12×4＝2、∴RQ ＝MP ＝1＋2＝3、∴Rt △MNP 中、MN＝MP 2＋NP 2＝32＋22＝13.第29题解图30．4600 【解析】由题意得、BA ＋AG ＋GE ＝3100 m 、∵AB ＝1500 m 、∴AG ＋GE ＝3100－1500＝1600 m 、∵BD 为对角线、∠DB C ＝45°、而GE ⊥DC、∴∠DGE ＝45°、△DEG 为等腰直角三角形、∴DE ＝GE 、如解图、过点G 作GH ⊥AB 、易证△AGH ≌△EFC 、∴AG ＝EF 、∴AB ＋AD ＋DE ＋EF ＝AB ＋AD ＋(GE ＋AG )＝3000＋1600＝4600 m.第30题解图31.62≤a ≤3－ 3 【解析】∵四边形ABCD 是正方形、∴AB ＝a ＝22AC 、∴a 的取值范围与AC 的长度直接相关．如解图①、当A 、C 两点恰好是正六边形一组对边中点时、a的值最小、∵正六边形的边长为1、∴AC ＝3、∴AB ＝a ＝22AC ＝62；如解图②、连接MN 、延长AE 、BF 交于点G 、∵该六边形是正六边形、四边形ABCD 是正方形、∴△MNG 、△ABG 、△EFG 为正三角形、设AE ＝BF ＝x 、则AM ＝BN ＝1－x 、AG ＝BG ＝AB ＝1＋x ＝a 、∵GM ＝MN ＝2、∠BNM ＝60°、∴sin ∠BNM ＝sin60°＝BC 2BN ＝a21－x ＝32、∴3(1－x)＝a 、∴3(2－a )＝a 、解得、a ＝233＋1＝3－ 3.∴正方形边长a 的取值范围是62≤a ≤3－ 3.第31题解图32．解：(1)由题意知EC ＝2、AE ＝10、 如解图、过点E 作EM ⊥AC 于点M 、 ∴∠EMC ＝90°、易知∠ACD ＝45°、 ∴△EMC 是等腰直角三角形、 ∴EM ＝2、∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55；(4分) (2)在△GDC 与△EDA 中、 ⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC＝∠EDA DC ＝DA、 ∴△GDC ≌△EDA (SAS)、∴∠GCD ＝∠EAD 、CG ＝AE ＝10、 又∵∠HEC ＝∠DEA 、 ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°、 ∴AH ⊥GC 、∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH 、∴12×4×3＝12×10×AH 、 ∴AH ＝6510.(6分)33．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)第33题解图理由：如解图、连接CG、∵四边形ABCD是正方形、∴∠ADG＝∠CDG＝45°、AD＝CD、∵DG＝DG、∴△ADG≌△C D G(SAS)、(2分)∴AG＝CG、又∵GE⊥DC、GF⊥BC、∠ECF＝90°、∴四边形CEGF是矩形、(3分)∴CF＝GE、在Rt△GFC中、由勾股定理得、CG2＝GF2＋CF2、∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)如解图、过点A作AM⊥BD于点M、∵GF⊥BC、∠ABG＝∠GBC＝45°、∴∠BAM＝∠BGF＝45°、∴△ABM、△BGF都是等腰直角三角形、(6分)∵AB＝1、∴AM ＝BM ＝22、 ∵∠AGF ＝105°、∴∠AGM ＝60°、∴tan60°＝AMGM、 ∴GM ＝66、(8分) ∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.(10分) 34．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形、 ∴AC ⊥BD 、OD ＝OC 、∴∠DOG ＝∠COE ＝90°、∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°、∵DF ⊥CE 、∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°、∴∠ODG ＝∠OCE 、(2分)∴△DOG ≌△COE (ASA)、(3分)∴OE ＝OG ；(4分)(2)①证明：∵OD ＝OC 、∠DOG ＝∠COE ＝90°、 又∵OE ＝OG 、∴△DOG ≌△COE (SAS)．(6分)∴∠ODG ＝∠OCE ；(7分)②解：设CH ＝x 、∵四边形ABCD 是正方形、AB ＝1、 ∴BH ＝1－x 、∠DBC ＝∠BDC ＝∠ACB ＝45°、∵EH⊥BC、∴∠BEH＝∠EBH＝45°、∴EH＝BH＝1－x、∵∠ODG＝∠OCE、∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE、∴∠HDC＝∠ECH、(8分)∵EH⊥BC、∴∠EHC＝∠HCD＝90°、∴△CHE∽△DCH、(9分)∴EHHC＝HCCD、HC2＝EH·CD、得x2＋x－1＝0、解得x1＝5－12、x2＝－5－12(舍去)、∴HC＝5－12.(10分)。
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第三节矩形、菱形和正方形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2．(2017·四川广安中考)下列说法，正确的有( )①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A．4个B．3个 C．2个 D．1个3. (2018·四川内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )A．31° B．28° C．62° D．56°4．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是______．5．(2018·甘肃天水中考)如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．6．(2018·湖南张家界中考)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.7．(2018·吉林长春中考)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为 2 .【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________．8. (2018·浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为( )A ．20B ．24C.994D.5329．(2018·甘肃兰州中考)如图，M ，N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM ＝BN ，连结AC 交BN 于点E ，连结DE 交AM 于点F ，连结CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是__________．10．(2018·浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ＝∠B ，求证：AP ＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P ，Q 的位置特殊化：把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E ，F 分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．11．(2018·浙江金华中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.D 4.2 3 5.2456．(1)证明：在矩形ABCD 中，∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA ＝∠B， 又∵AD＝EA ，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF ， ∵DF＝AB ，∴AD＝2AB ＝8.7．解：【感知】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠BCE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CB E. 在△ABF 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠CBE，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴△ABF≌△BCE(ASA)．【探究】 证明：(1)如图，过点G 作GP⊥BC 于P. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABPG 是矩形， ∴PG＝AB ，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE， 在△PGF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PGF＝∠CBE，PG ＝BC ，∠FPG＝∠ECB＝90°，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.(2)由(1)知，FG ＝BE ， 如图，连结CM.∵∠BCE＝90°，点M 是BE 的中点， ∴BE＝2CM ＝2，∴FG＝2. 【应用】 9 【拔高训练】 8．B 9.35－310．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B＋∠C＝180°，∠B ＝∠D，AB ＝AD. ∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°， ∴∠AEC＋∠AFC＝180°. ∵AE⊥BC，∴AF⊥CD， 在△AEB 和△AFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB ＝AD ，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE ＝AF ， ∴∠EAP＝∠FAQ， 在△AEP 和△AFQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE ＝AF ，∠EAP＝∠FAQ，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)解：答案不唯一．已知：AB ＝4，∠B＝60°， 求四边形APCQ 的面积． 解：如图，连结AC ，BD 交于O. ∵∠ABC＝60°，BA ＝BC ， ∴△ABC 为等边三角形． ∵AE⊥BC，∴BE＝EC. 同理，CF ＝FD ，∴四边形AECF 的面积＝12×四边形ABCD 的面积，由(2)得四边形APCQ 的面积＝四边形AECF 的面积， OA ＝12AB ＝2，OB ＝32AB ＝23，∴四边形ABCD 的面积＝12×2×23×4＝83，∴四边形APCQ 的面积＝4 3.【培优训练】11．解：(1)①在正方形ACDE 中，DG ＝GE ＝6. 在Rt△AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝6 5. ∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FG AF ＝EGAC ，∴FG AF ＝612＝12， ∴FG＝13AG ＝2 5.②如图1中，正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF＝∠DEF＝45°.图1∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15.如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2 ∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4.如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，图3此时只有GF ＝DG ，设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ， ∴FG＝DG ＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF， ∴AE BC ＝AF BF ，∴3x 9＝9x ＋129x ＋27， 解得x ＝2或－2(舍去)， ∴腰长DG ＝4x ＋12＝20.如图4中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，图4此时只有DF ＝DG ，连结DF ，过点D 作DH⊥FG. 设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12， ∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485，∴GF＝2GH ＝32x ＋965，∴AF＝GF －AG ＝7x ＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)．小初高学习资料小初高学习资料 ∴腰长GD ＝4x ＋12＝84＋48147. 如图5中，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，作DH⊥AG 于H.图5设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x －12，∴FH＝GH ＝DG·cos ∠DGB＝16x －485， ∴FG＝2FH ＝32x －965， ∴AF＝AG －FG ＝96－7x 5. ∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x532x －965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)， ∴腰长DG ＝4x －12＝－84＋48147. 综上所述，等腰△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.。