浙江省杭州市2016年高三年级第一次高考模拟数学试卷

19． （本题满分 15 分） 解： （I）设 P(x,y)，则 AP ＝(x,y－1)， BP ＝(x,y＋1)， PC ＝(x－1,y)．
因为 k＝2，所以 AP BP 2 | PC |2 ，
所以 (x,y－1)▪(x,y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]， 化简整理，得 (x－2)2＋y2＝1， 故点 P 的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1．……………………………7 分 （II）因为 k＝0，所以 AP BP 0 ， 所以 x2＋y2＝1．
（II）因为 f ( x ) ………………………………7 分
2 x3 4 x 2 2 x 1 ，x∈[0,1]， ( x 1) 2
设 h(x)＝2x3＋4x2＋2x－1，h′(x)＝6x2＋8x＋2， 因为 h(0)＝－1，h(1)＝7， 所以存在 x0∈(0,1)，使得 f′(x)＝0，且 f (x)在(0, x0)上递减，在(x0,1)上递增， 所以 f (x)max＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝
a 2 ( f (m1 ) f (m2 )) a f (m1 ) f (m2 ) 0 ，则（
A. b 0 B. b 0
） D. 3a c 0
C. 3a c 0
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题每小题 6 分，15-17 题每小题 4 分，共 36 分） 11. lg 2 lg 5 ________； 2 12.双曲线
2
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三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18.（本题满分 14 分）设 f ( x ) sin x 3 sin x cos x （1）求函数 f ( x ) 的最小正周期与值域； （2）设 ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， A 为锐角， a 2 3，c 4 ，若 f ( A) 1 ，求 A, b .
2
20.（本题满分 15 分）设函数 f ( x ) x
2
4 8 x ； 9 9 68 3 （2）证明： f ( x) . 81 2
（1）证明： f ( x ) x
2
1 ，x [0,1] . x 1
21.（本题满分 15 分）已知 P, Q 为椭圆
x2 y 2 1 上的两点，满足 PF2 QF2 ，其中 F1 , F2 分别为左右 2
1 10
3 10
C.
1 2
）
D.
7 10
4.设复数 A.
1 3 i （其中 i 是虚数单位） ，则 1 （ 2 2
B.
2
C.
1

D.
1
2
）
5.已知直线 2 x y 2 0 经过椭圆
x2 y2 1(a 0, b 0) 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（ a2 b2 x2 y2 1 C. 9 4 x2 y2 1 D. 6 4
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所以 |λ AP ＋ BP |2＝λ2 AP 2＋ BP 2
＝λ2[x2＋(y－1)2]＋x2＋(y＋1)2 ＝(2－2λ2) y＋2λ2＋2（y∈[－1,1]） ． 当 2－2λ ＞0 时，即－1＜λ＜1， (|λ AP ＋ BP |max)2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；
log 2 3Leabharlann 8 3 =________.
1
x2 y 2 1 的渐近线方程是________，离心率是________. 4
13.已知随机变量 的分布列为：

P
若 E ( )
1 x
0 1 3
1 1 6
2 y
1 ，则 x y ________， D ( ) _________. 3
（II）由题意，可知 OP OQ ．
………………………………5 分
又 F2 P F2 Q ，所以 PQ 是两个直角三角形 POQ 和 PF2Q 的公共斜边，即得线段 PQ 的中点到 O，F2 两点的距离相等，即线段 PQ 中点的横坐标为
1 ． 2 设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，联立椭圆方程，得 (1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0．
2
1 ( x R) . 2
19.（本题满分 15 分） 在平面直角坐标系内， 点 A(0,1)，B (0,1)，C (1， 0) ，点 P 满足 AP BP k | PC | . （1）若 k 2 ，求点 P 的轨迹方程； （2）当 k 0 时，若 | AP BP |max 4 ，求实数 的值.
3 ． 2
2
2 68 68 4 8 由（I）知，f (x)≥x － x＋ ＝ x ≥ ， 9 81 81 9 9
2
1 11 68 2 773 68 又 f ＝ ， f = ， 2 12 81 9 891 81
所以
68 3 ＜f (x)≤ ． 81 2
π )（x∈R） ， 6 所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7 分 π )＝1． 6 π π 5π 因为 A 为锐角，所以 2A－ ∈(－ , )， 6 6 6 π π π 所以 2A－ ＝ ，所以 A＝ ． 6 2 3
（II）因为 f (A)＝sin(2A－ 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 b2－4b＋4＝0．解得 b＝2． ………………………………7 分
）
7.设 O 是 ABC 的内心， AB c，AC b ，若 AO 1 AB 2 AC ，则（
b A. 1 2 c
2 1 b B. 2 2 c
1 c 2 C. 2 b 2
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2 1 c D. 2 2 b
8.若不等式 ( ax 3)( x b) 0 对任意的 x (0, ) 恒成立，则（ A. ab 9 9.在 ABC 中， AC 5 ，
2.命题“ | x | | y | 0 ”是命题“ x 0 或 y 0 ”的（ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.有五条长度分别为 1，3，5，7，9 的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三 角形的概率为（ A. ） B.
2016 学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测 数学检测试卷
选择题部分（共 40 分）
一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1.若集合 A {x || x 1 | 1} ， B {2,1,0,1,2} ，则集合 A B （ A. {0,2} B. {2,2} C. {0,1,2} ） ） D. {2,1,0}
设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则 x1＋x2＝－ 又因为 x1＋x2＝1， 所以 1＋2k2＝－4kb， 另一方面，x1x2＝
2 2 2 2
4kb ． 1 2k 2
（ 1）
2b 2 2k b 2k ，y1y2＝ kb b 2 ． 2 1 2k 1 2k 2 2b 2 2 2k 2b 2 2k 2 由 x1x2＋y1y2＝0，得 kb b 2 0 ， 2 2 1 2k 1 2k 2 2 3 2 2 即 4k b ＋2k b－2k ＋3b ＋kb－2＝0， （ 2）

1 3
2 an (n N ) . 2 n
n (n N ) . 2n 1
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2016 学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 A 8 B 9 B 10 A
x 2 y 1 0 16.若实数 x, y 满足 2 x y 0 ，则由点 P ( 2 x y , x y ) 形成的区域的面积为_________. x 1
17.设函数 f ( x ) 2ax 2bx ， 若存在实数 x0 (0, t ) ， 使得对任意不为零的实数 a, b 均有 f ( x0 ) a b 成 立，则 t 的取值范围是________.
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焦点. （1）求 | PF1 PF2 | 的最小值； （2）若 ( PF1 PF2 ) (QF1 QF2 ) ，设直线 PQ 的斜率为 k ，求 k 的值.
2
22.（本题满分 15 分）设数列 {an } 满足 a1 ，an 1 an （1）证明： an an 1 1( n N ) ； （2）证明： an
………………………………8 分
21． （本题满分 15 分） 解: （I）因为 PF1 PF2 2 PO （O 为坐标原点） ，
显然 | PO |min 1 ，
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所以 | PF1 PF2 | 的最小值为 2．
14.设函数 f ( x ) x ln x ，则点 (1,0) 处的切线方程是________；函数 f ( x ) x ln x 的最小值为_________. 15.在 ( x 2 )
2016
的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S ，当 x
2 时， S ________.
2
当 2－2λ2≤0 时，即λ≥1 或λ≤－1 时， (|λ AP ＋ BP |max)2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8 分 20． （本题满分 15 分） 解： （I）令 g(x)＝f (x)－x2＋ 所以 g ( x )