浙江省嘉兴一中2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试 高三数学（理科） 试题卷满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ▲）A ．2B ． 3C ． 4D ． 5 2.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ▲ ）A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或 3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//,4.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ ) A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 5.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ▲ )A ．－2B ．12-C ．12D ．2 6.在ABC ∆所在平面上有三点M N P 、、,满足MA MB MC AB ++=,NA NB NC BC ++= ,PA PB PC CA ++=,则MNP ∆的面积与ABC ∆的面积比为（ ▲ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 157.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ▲ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 8.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 ( ▲ )A ．{}1min (),(1)4f n f n +> B ．{}1min (),(1)4f n f n +< C ．{}1min (),(1)4f n f n += D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则A B = ▲ .R A C B = ▲ . ()R C A B = ▲ .10.已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足46310,39a S S ==+，则数列{}n a 的首项1a =____▲___ ,通项n a =___ ▲___.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积V = ▲ cm 3，表面积S = ▲ cm 2． 12.已知函数()()61477x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩;(1)当21=a 时， ()x f 的值域为 ▲ , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知平面向量,()αβαβ≠满足||α=且α与βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 _▲ . 14.已知实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则x 的最大值为 ▲ . 15.三棱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =,在AB 上取一点P ,设11PAC ∆与面111A B C 所成的二面角为α，11PB C ∆与面111A B C 所成的二面角为β，则tan()αβ+的最小值是 ▲ .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本题满分15分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本题满分15分） 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB ，F 是CD 的中点．(Ⅰ）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角C —BE —F 的余弦值．18. （本题满分15分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19. （本题满分15分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值． 20．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论并证明n a 与1n a +的大小关系.嘉兴一中2015学年第一学期期中考试数学理科答案一．选择题DBCA BBCB 二．填空题9.[2,4];[0,2)(4,)+∞ ；(,0)-∞ 10.．1;32n - 11.62， 2332++12．（1）()0,+∞ （2）121<≤a 13. )∞ 14. 111PP A B ⊥作，则1PP 作是三棱柱的高.过1111P PH AC ⊥作，则1PHP α∠=,设AP=x ，BP=1(01)x x -≤≤，tanα=tan β=tan()αβ+=≥12x =时取等号）16. (Ⅰ）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) ……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则1cos cos sin sin 2B C B C -=-； 由81cos cos -=C B ，得3sin sin 8B C =，………………………9分 由正弦定理，有C cB b A a sin sin sin ==，即3sin 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分 由三角形的面积公式，得22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ，解得4=a .………………………15分17．（1）证明：因为DE ⊥平面ACD ，DE ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面ACD ．在底面ACD 中，AF ⊥CD ，由面面垂直的性质定理知， AF ⊥平面CDE ． 取CE 的中点M ，连接BM 、FM ，由已知可得FM=AB 且FM ∥AB ，则四边形FMBA 为平行四边形，从而BM ∥AF ． 所以BM ⊥平面CDE ．又BM ⊂平面BCE ，则平面CBE ⊥平面CDE ．……………………………………………7分法一：（2）过F 作FN ⊥CE 交CE 于N ，过N 作NH ⊥BE ，连接HF ， 则∠NHF 就是二面角C —BE —F 的平面角． 在Rt △FNH 中，NHFH，所以cos NH NHF FH ∠==故二面角C —BE —F………………………………………………………15分法二：以F 为坐标原点，FD 、F A 、FM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则F (0,0,0)，E (1,0,2) ， B,1)， C (－1,0,0)，可求得面FBE的一个法向量为1(2,n =- ，平面CBE 的一个法向量为2(1,0,1)n =-，则故二面角C —BE —F．…………………………………………15分 18.解：（Ⅰ）设112200(,),(,),(,),A x yB x yP x y 将A 、B 代入得到2211222222221(1)1(2)x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，则（1）-（2）得到20212120x y y b x x a y -=-⋅-，由直线AB：0x y +=的斜率k=-1， 所以20201x b a y -⋅=-，OP 的斜率为0012x y =，所以222a b =，由222a b c =+得到226,3a b ==，所以M 得标准方程为22163x y +=．（Ⅱ）若四边形ACBD 的对角线C D A B ⊥，由面积公式AB CD S ⋅=21可知，当CD最长时四边形ACBD 面积最大，由直线AB：0x y +=的斜率k=-1，设CD 直线方程为m x y +=，与椭圆方程22163x y +=联立得：0624322=-++m mx x ，362,3422121-=⋅-=+m x x m x x ，则987224)(12212212m x x x x k CD CD -⋅=⋅-++=，当m=0时CD 最大值为4， 联立直线AB ：0x y +=与椭圆方程22163x y +=得03432=-x x ，同理利用弦长公式3644)(1212212=⋅-++=x x x x k AB AB，36821max max =⋅=AB CD S ACBD ．19. 解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列.∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分 证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<；其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>. 综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>， 满足（＊）式。