不带增长条件的P-Laplacian方程非平凡解的多重性

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二阶离p-Laplacian方程Dirichlet边值问题多重正解的存在性

２准备知识
定义２１设Ｘ：（ｌ１是一个Ｂａａｈ空间，是ｘ中的一个锥，，．Ｘ，．）１１ｎｃＰ０是Ｐ上的非负连续凸泛函，是Ｐ上的非负连续凹泛函，是Ｐ上的非负连续泛函，并设常数ａｂｄＣ．，，，＞０定
（．１１）（．１）２
至少三个正解的存在性．这里，（＝『＿・（ｓｓ。８）ｌｐ＞１是一个ｐＬｐａｉ算子，中） — ａｌａｃｎ其
＝ａ＋１吉）（，
，是ＮｉＴ ×（，。上的非负连续函数，ＮＩ，］的非负连续函数．ｌ］０。），ｑ是ｌＴ上近年来，已有多篇文献利用ＬｇｅｔｌａｅｇｔＷｉｉｍｓ定理及其各种推广形式证明差分方程多个正解的存在性． — ｌ例如，在文
义凸集
Ｐ（，）｛ｄ＝ｚ∈Ｐ：（）＞７ｚ＜ｄ；Ｐ（，ｚ，）ｘ∈Ｐ：Ｏｂｄ＝，ｂ（）７ ≤ｄ；，（））
Ｐ（，，，，，） ∈Ｐ：（）（）Ｃ７ｄ；０ｂｃｄ＝｛ｂ，ｘＯ，（））
Ｐ（，，，）ｘ∈Ｐ：７矽ａｄ：ａ（）７ｚｄ．，（））
１。当ｔ ∈Ｎ（，）令＝００时，ｒ＝０：ｔ显然有０＜＜１由式（．），，，３２知
（．）３２
钆，）（（砉；ｌ（吾１ｔ０乱１． “ ＋一））（ｆ）（：）ｆ
２。当ｔ ∈Ⅳ（，＋１时，Ｏ：＝＋１：Ｔ，时有０＜入＜１由式（．知）令ｌ，，＋－此ｌａ，３２）

一类含p-Laplace算子的奇异拟线性问题解的多重性

u
∈ W01,
p
(Ω)
时，
u p ∇u p ∈ L1 (Ω) 不一定成立。为解决这一困难，参考文献[10]中的方法，我们进行变量替换 v = g −1 (u ) ，
g 定义为
g (s) = −g (−s) s ∈ (−∞,0],
( )
= g ′ ( s )
1
( ) 1+ 2 p−1 g s p 1 p
引理 2.3：函数 s → ( g (s))−γ g′(s), s > 0 满足下列性质： 1) ( g (s))−γ g′(s) 在 (0,∞) 递减； 2) lim ( g (s))−γ g′(s) = +∞ ；
s→0+
3) 存在常数 C1 > 0 使得对所有 s ≥ 1 ，成立 0 < ( g (s))−γ g′(s) ≤ C1 。
Received: Mar. 7th, 2021; accepted: Mar. 29th, 2021; published: Apr. 9th, 2021
Abstract
In this paper we combine sub-supersolution technique and minimax methods to study the existence and multiplicity of solutions for a class of singular quasilinear elliptic equations. Firstly, by suitable hypotheses on the nonlinearity term and singular term, we obtain the existence of non-

一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性

一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性本文将讨论一类p-laplacian椭圆抛物型方程的存在性和唯一性。

p-laplacian椭圆抛物型方程是一类形式为$u_{xx}+u_{yy}+p(x,y)u=f(x,y)$的非线性方程，其中$p(x,y)$是非负可积函数。

在定义域$\Omega$上，这个方程有可能有多个解，但我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解，即存在唯一性。

为了证明方程在$\Omega$上只有一个解，我们首先需要证明它在$\Omega$上存在解。

为此，我们可以使用拉普拉斯变换法，该方法把二阶偏微分方程转化为可以解决的线性方程组。

具体来说，我们可以把原方程的拉普拉斯变换后的形式写成：$$\int_{\Omega}\int_{\Omega} \hat{u}(x,y) (-\Delta+p(x,y))u(x,y)dxdy=\int_{\Omega}\int_{\Omega}\hat{f}(x, y)u(x,y)dxdy$$其中$\hat{u}$和$\hat{f}$分别是$u$和$f$的拉普拉斯变换。

由于$-\Delta+p(x,y)$是可积的，因此可以证明方程在$\Omega$上存在解。

接下来，我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解。

为此，我们可以采用变分法。

我们首先利用变分法将原方程转换成一个绝对最小值问题：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{xx}+u_{yy})+p(x,y)u-f(x,y)\right]^2dxdy$$设$u_1$和$u_2$是方程的两个解，则有：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]^2dxdy=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]^2dxdy$$又因为$u_1$和$u_2$是方程的两个解，所以有：$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]dxdy=\int_{\Omega}\left[(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]dxdy$$从而可以得到$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})-(u_{2xx}+u_{2yy})\right]dxdy=0$$这表明$u_1$和$u_2$在$\Omega$上的二阶偏微分是相等的，因此$u_1=u_2$，即方程在$\Omega$上只有一个解。

广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性

广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性白定勇;左敏贤【摘要】利用锥上的不动点理论讨论一类含参广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性,给出了参数λ的显式开区间.已有文献在多解性研究中,通常要求非线性项在正半轴恒正.本文改进这一基本假设条件,允许非线性项在正半轴的某些子集上恒为零.%A generalized p -Laplacian boundary value problem with a parameter is concerned. By using the fixed-point theorem in cones, some results of existence and multiplicity of positive solutions for the problem are established with the parameter belonging to corresponding explicit intervals. In the existed literatures about multiplicity of positive solutions, the nonlinear terms are usually required to be positive for all positive real numbers. This condition is relaxed in the present paper, more precisely, the nonlinear terms can vanish on some subset.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(052)001【总页数】6页(P40-44,50)【关键词】广义p-Laplace边值问题;参数;正解;锥【作者】白定勇;左敏贤【作者单位】广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室(广州大学),广东广州 510006;广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室(广州大学),广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O175考虑如下边值问题其中，λ是个正参数。

有界区域上p（x）-laplacian问题解的存在性

理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x赵辉哈尔滨工业大学2006年6月国内图书分类号：O175.9国际图书分类号: 517.9理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x硕士研究生：赵辉导师：付永强教授申请学位：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2006年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O175.9U.D.C.: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS FOR ()x p-LAPLACIAN PROBLEMSON A BOUNDED DOMAINCandidate：Hui ZhaoSupervisor：Prof. Yongqiang Fu Academic Degree Applied for：Master of Science Specialty：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：June, 2006Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文- I -摘要本文的主要研究内容是在空间()x p L 和()x p k W ,的基本理论体系的基础上，研究−)(x p Laplacian 问题多重解的存在性。

随着弹性力学的发展，对非标准增长条件−)(x p Laplacian 问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。

−)(x p Laplacian 方程来源于许多物理背景，例如，非Newton 流体问题（Newton 流体问题对应于2=p ），非线性弹力问题等。

因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。

带P-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解

带P-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解李耀红;卜兵【摘要】利用Leggett-Williams不动点定理,获得了带p-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题:(Φ,(u(m-1)(t)))'+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),在一定边值条件下多重正解的存在性.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2011(026)002【总页数】3页(P4-6)【关键词】p-Laplacian算子;奇异边值问题;多重正解;Leggett-Williams不动点定理【作者】李耀红;卜兵【作者单位】山东大学数学学院,山东济南,250100;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91本文考察带p-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解(SBVP):(1)其中Φp(s)是p-Laplacian算子,即在t=0或t=1处允许奇异,0<η1<η2<…<ηm<1,αi>0(i=1,2,…,m)。

由于有广泛的数学和物理应用背景,近年来,带p-laplacian算子的边值问题受到特别的关注[1-3]。

通过应用上下解方法、Krasnoselskill不动点定理或不动点指数理论,许多优秀的结果已经被获得[4-7]。

最近,文[8]通过定义一个包含Green函数的新算子,利用不动点指数理论,获得了奇异边值问题SBVP(1.1)存在至少1个或2个正解的存在性结果，其结果改进和推广了文[4-7]的结果。

本文利用Leggett-Williams不动点定理,获得了奇异边值问题SBVP(1)至少存在3个正解的条件。

所用方法不同于相关参考文献,所得结果改进了文[8]的结论。

下文中,我们假设下列条件成立:(H1)f∈C([0,+∞),[0,+∞))(H2)0<α(t)dt<∞且α(t)≠0,t∈[η1，1]1 预备知识和引理定义1.1 若u满足：(1)u(t)∈C[0,1]∩ Cn(0,1);(2)(Φp(u(n-1)(t)))′=-α(t)f(u(t)),t∈(0,1)成立;(3)对所有t∈(0,1),u(t)>0且边值条件(1)成立。

p-Laplacian方程组大解的存在性

在光滑有界区域ｎＲ和整个Ｑ＝Ｒ空间正的
边界爆破弱解的存在性。关于有界区域上单个方程
形如
究，常用的方法有不动点法，变分法，上下解法，运用山路引理等。各类方法各有其特殊性和优势，同时也有其局限性。关于椭圆型ＰＬｐａｉ —ａｌａｃｎ方程的大解，国内外许多学者已经运用不同的方法进行
引理２９（个方程的上下解原理）ｌ单椭圆型方程非线性
』Ｖ “ Ｍ＝（ｕ ∈ Ｎｆ（ｌ）ｍ）ｄ１ｉ一 “ Ｒ
ｄ（ｉＩｖ）＝ｎ “ （）
（）１
ｄ（ｉ１ｖ
ｌＭ，）＝０ ∈Ｒ（）一）＋Ｍ，４
讨论Ｒ上一类椭圆型方程组大解的存在性及需要满足的条件。关键在于通过一组不等式的可解性，寻求可解的条件，从而得到方程组大解存在需要满足的条件，即（Ｐ＋１（ —ｑ）＜ｃａ— ）ｅ＋１ｂ。
关键词：非线性椭圆型ｐＬｐｃｎ－ａｌｉ方程组；比较原理；上下解；大解ａａ
ｅｒｌｐｉＰＬｐａｉｎｓｓｍｉｏｔｉｅ，ｈｃａ－ａｌｔ－ａｌｃｙｔｂａｎｄｗｉｉｅｉｃａｅｓｎｈｓ（ｐ＋１（ｑ＋１ｂ．）ｅ— ）＜ｃ
Ｋｅｒ：ｑａｉｎａｌｉｔＬａｌｃａｓｓｅ；ｗｅｋｃｍｐａｉｏｒｎｉｌｙｗｏｄｓｕｓｌｅｒｅｌｐｉＰ— ｐａｉｎｙｔｍｉｃａｏｒｓｎｐｉｃｐｅ；ｓｂ—ｕｅｏｕｉｎ；ｕｓｐｒｓｌｔｏｓ

一类非局部(p,q)-Laplace方程非负解的存在性

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一类p-Laplace方程的无穷多解

一类p-Laplace方程的无穷多解周正【摘要】本文考虑了一类p-Laplacian方程：-Δp u + u p-2 u = f( x,u),x∈RN ,其中奇函数f( x,u)满足一定的增长性条件,同时F( x,u)在u =0附近具有局部超线性,使得能量泛函( PS)列具有紧性；利用变分方法以及应用Clark定理,得到了其无穷多解的存在性。

%The following p-Laplace equation was studied -Δpu+V( x) u pu = f( x, u) , x∈RN. Since f( x, u) is odd and satisfies some increasing condition on u, and F( x, u) is superlinear on u near 0 in some ball in RN. Then the ( PS) condition is satisfied. By variational method and using the Clark theorem, the existence of infinitely many solutions were obtained.【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】p-Laplace方程;Clark定理;变分方法;无穷多解【作者】周正【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O175.29Clark定理[1]首先被D.C.Clark提出，它是研究临界点理论的一个重要工具，经常被用于研究带有对称性的次线性微分方程.H.P.Heinz随后给出了另一种形式的Clark定理：定理1 设X为Banach空间, Φ∈C1(X,R) . 假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N, 都存在X的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0, (其中，则Φ存在一列临界值ck<0并且当k→μ时ck→0[2].由定理1引发一个问题，那就是是否存在一列临界点uk使得当k→∞时有Φ(uk)→0并且→0呢？随后Liu与Wang在文献[3]中进行了深入研究，得到了如下Clark定理：定理2 设X为 Banach 空间,Φ∈C1(X,R).假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N,都存在X 的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0,(其中，则如下至少有一个结论成立.ⅰ)存在一列临界点uk满足Φ(uk)<0，并且(k→).ⅱ)存在r>0使得对任意0<a<r，都存在临界点u使得，并且Φ(u)=0.文献[3]利用定理2，考虑了如下p-Laplace方程：其中u)，p>1.得到了如下结论：定理3 假设方程(1)满足如下条件：(a1)存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有；(a2)V,Q∈C(RN,R1),V(x)≥α0，并且0<Q(x)≤β0对某数α0>0,β0>0成立,且满足M≜).则方程(1) 有无穷多解uk使得(k→).在文献[4-6]中也有类似p(x)-Laplace方程，其(PS)条件往往由类似Ambroseti-Rabinowitz条件保证，而文献[3]中的V满足的条件对紧性有重要影响.注意到：若定理3中的条件(a2)中的M为一常数，比如M=1∉L1(RN)，结论还成立吗？作者因此考虑p>1时一类最特殊情形，即Q(x)=V(x)=1时对应的方程：本文通过对f进行某些限制，采用类似文献[3]的方法，我们得到了如下结果：定理4 假设方程(2)满足如下条件：(*) 存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有.则方程(2) 有无穷多解uk使得(k→).首先定义方程(2)的解：定义1 称u∈W1,p(RN)为方程(2)的解，如果对任意，都有如下等式成立：下面分3步来证明定理4.1)首先构造合适的泛函并得到强制性.首先考虑f(x,u)的截断函数∈C(RN×R,R),关于u为奇函数，当<δ/2时，(x,u)=f(x,u)；当时，关于x∈R一致成立.为应用定理2,先考虑如下方程：它是如下泛函对应的Euler方程其中(x,s)ds,∀(x,t)∈RN×R，X=W1,p(RN)有如下范数：容易证明Φ∈C1(X,R),Φ为偶泛函,且Φ(0)=0.对于u∈X, 利用f的性质，有2)证明极小化序列满足(PS)条件.设为(PS)序列,及Φ(un)有界并且Φ′(un)→0，则{un}有界.假设un在W1,p(RN)范数下弱收敛于u，则在意义下有un→u，且Φ′(u)→0,从而〈Φ′(un)-Φ′(u),un-u〉→0.即：首先证明I2→0.其中为常数.很显然当p≥2时，p，接下来我们将证明当1<p<2时，2.对任意w,v∈X,有如下不等式成立：即令，代入(5),(6)可得：当1<p<2时，.综上，当p>1时，条件成立.3)方程(3)有无穷多解.事实上,对任意K > 0,存在δ=δ(K)>0，当且时,则有,所以这就意味着对任意的k∈N,如果Xk是(Br(x0))的k-维子空间，当ρk>0充分小时便有supXk∩SρkΦ<0(其中).利用定理2，方程(3)有无穷多解{uk}，并且(k→).接下来将证明(k→)，便有f.当1<p<N,记.设u为方程(3)的解，α>0,T>0为给定常数.定义 uT(x)=max{-T,min{u(x),T}}.将方程(3)两边同乘以可得：结合Sobolev不等式有其中C≥1不依赖于u,α.设α0=p*.即由(8)迭代得：其中.令T→，然后k→得其中，而为某正数.当p≥N时，p*=时证明更容易.综上，当k充分大时uk为式(2)的解，且(k→).【相关文献】[1]CLARK D C.A variant of the Lusternik-Schnirelman theory[J].Indiana Univ Math J，1972，22:65-74.[2]HEINZ H P.Free Lusternik-Schnirelman theory and the bifurcation diagrams of certain singular nonlinear systems[J].J Diff Eqn,66(1987),263-300.[3]LIU Z,WA NG Z Q.On Clark’s theorem and its applications to partially sublinear problems[J].Ann I H Poincar C AN,2014,108:18-213.[4]ZHIKOV V V.Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticitytheory[J].Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat,1986,50(4):675-710.[5]ACERBI E,MINGIONE G.Regularity results for stationary electro-rheological fluids[J].Arch Ration Mech Anal,2002,164(3):213-259.[6]LIU Z,WANG Z Q.Schrödinger equations with concave and convex nonlin-earities[J].Zangew Math Phys,2005,56:609-629.。

局部超线性常微分p-Laplacian系统的多重周期解

（Ａ）ＶＥＲ，Ｆ（ｔ，）可测；对ａ．ｅ．ｔ ∈［０，Ｔ］，Ｆ（ｔ，）连续可微；且ａ∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），ｂ∈Ｌ。（０，；
Ｒ）使得
１准备知识
记＝｛：ｌ０，ＴＪ— Ｒ”在【０，ＴＪ上绝对连
Ｖ“∈畔，设
对所有ＩＩ ≥Ｍ和ｔ ∈［０，Ｔ］成立．
（ＡＲ）条件的作用是保证问题（１）对应的能量
泛函的所有（ＰＳ）序列是有界的，这对变分方法是十分重要的，条件（ＡＲ）可以推出非线性项ＶＦ（ｔ，）
研究引．当Ｐ＝２时，在Ｐ．Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ给出的超线性
条件（ＡＲ）：］＞２，Ｍ＞０，使得
０＜／ｚＦ（ｔ，）≤ （ＶＦ（ｔ，），），
［ＩｕｌＩ＝（ＩＩｄ＋』ＩＩｄ）．
ｌｌ）／４］．文献［７．８］将条件（ＡＲ）推广为更广泛的
（Ｉ㈤
≤
．（２）
在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间
上定义泛函如下：
超线性条件．１ｉＦ（ｔ，ｕ）／ｌｌ＝＋∞，对ｔ∈ ［０，
收稿日期：２０１３－０２－２５
（）＝＿Ｉ（）Ｉｄｔ — Ｆ（ｔ，ｕ（））ｄｔ，
基金项目：国家自然科学基金（３１２６００９８），中央高校基本科研业务费专项（３１９２０１３０００４）和西北民族大学中青年科研

非自治常p-Laplacian系统的多重周期解

ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳＮ．１６７２－７９８３．２０１３．０２．０１１
非自治常ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ系统的多重周期解
张申贵
（西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州，７３００３０）
河北科技师范学院学报
第２７卷第２期，２０１３年６月
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏ１．２７Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１３
中图分类号：０１７５．２５文献标志码：Ａ文章编号：１６７２－７９８３（２０１３）０２－００４８－０５
考虑非自治常Ｐ — Ｌａｐｌａｃｉａｎ系统
１【ｕ（ｏ）一Ｍ（）＝ｈ（ｏ）一五（）＝０，
（３）
２期
张申贵
非自治常Ｐ — Ｌａｐｌａｅｉａｎ系统的多重周期解
４９
－
则问题（１）在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间
州 ≥ 等等（）ｄｒ）
对所有 ∈Ｒ和ａ．ｅ．ｔＥ［０，Ｔ］成立。且Ｆ满足Ａｈｍａｄ — Ｌａｚｅｒ — Ｐａｕｌ型强制性条件
１
，
．ｒ
寺Ｊ。＋１个不同的周期解。

一类p-Laplacian椭圆方程的多重解

本文考虑如下的ｐＬｐａｉｎ椭圆方程：－ａｌａｃ
— —
此后人们转向考虑非径向对称的解。已经找到当户２一（时算子 △ Ｐ就是 △ 算子）６ｒ和，ｚ，）足一定的增此，（）（ “满
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现代商贸工业第１第６期９卷
ＭｏｅｎＢｓｅｓｒｄｄｓｙｄｒｕｉｓＴａｅＩｕｔｎｎｒ２００７年６月
一
类ｐＬａｃａ－ｌｉｎ椭圆方程的多重解ｐａ
△“ ｇ（）一 “ （）２
其中：Ｅｗ（）ｕＱ
在假设非线性项了，（ “ 是超线性且次临界的条件ｚ，）
ｓｌｔｎ。Ｂｒｃｏｕｉ）ａｔｈ和Ｌｕ把临界点理论推广到Ｂｎｃｏｓｉａａｈ空
后，对中心思想作进一步描述和说明，是段落的主体。是它结论句是对发展句中的内容作小结，而深化主题句。抓从虑方程：（）展课外阅读活动。要提高学生的阅读能力和自２开
・
３零ｅｅａ和Ｓｕｋｎ运用环绕性Ｚｌｉ这里ｇ “ ：Ｒ是连续且关于Ｕ的奇函数。Ｂｒｓｙ— 程（）边值问题的变号解。Ｐｒｒ（）Ｒ— ｅｅｔｃ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｋ、ｉｎ和ＳｒｗｉＬｏｓｔｕｅ在假设ｇ “ 一ｇ（）关于Ｕ是增函数质和上同调指标得到方程（）平凡解的存在性。Ａｌｅ（） “ Ｕ３非ｏｓ考和ｇ（）Ｏ，到方程（）穷多径向对称解的存在性。Ｏ＜下得２无是主题句。说明文、论文的每一段落一般都有主题句，议而

p-laplacian方程

下面我来详细地解释一下p -Laplacian方程以及相关的求解方法。

p -Laplacian方程是一类非线性偏微分方程，其形式如下：\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) = f(x,u,\nabla u)其中u 是未知函数，f(x,u,\nabla u) 是已知函数，\nabla u 表示u 的梯度。

p -Laplacian方程的解的性质比较复杂，因为当p 取不同的值时，它具有不同的性质。

例如，p=2 的情况下，p -Laplacian方程就是Laplace 方程，又称为调和方程；而p=1 的情况下，p -Laplacian方程就是具有线性耗散性的对流扩散方程。

通常情况下，有限元方法是求解p -Laplacian方程的常用方法之一。

其主要思路是通过离散化来将方程转化为一个线性代数方程组，再对该方程组进行求解。

具体来说，可以将空间域离散化为若干个小单元，每个小单元内部的u 可以用一些基函数（如线性三角形函数）来表示。

这样，将方程在每个单元上进行离散，并使用有限元法的基函数来表示u 的数值近似解，就可以得到一个线性代数方程组。

解这个线性代数方程组得到的数值解可以近似地代表p -Laplacian方程的解。

当然，为了保证数值解的精度，需要在离散化和求解过程中采用一定的技巧，比如选择合适的网格或子区域，或者使用高阶的基函数等。

另外，还有其他方法可以用来求解p -Laplacian方程，比如有限差分法、保费-加拉金方法等。

这些方法各有优劣，应根据实际问题的需求选择合适的方法。

好的，下面继续讲述p -Laplacian方程。

p -Laplacian方程是一类非线性的偏微分方程，其解的性质十分复杂。

但是，在一定的条件下，可以得到一些关于p -Laplacian方程解的基本性质。

首先，我们可以得到p -Laplacian方程解的唯一性。

具p-Laplacian算子的非线性边值问题正解的存在性

具p-Laplacian算子的非线性边值问题正解的存在性
本文研究一类带p-Laplacian算子的四阶非线性奇异微分方程边值问题和一类三阶脉冲微分方程多点边值问题解的存在性和多重性.得到了若干充分条件.本文由三章构成:第一章,对本文的研究背景、研究现状和本文的主要工作进行了简单介绍,并阐述了本文所用到的基础知识.第二章讨论一类带P-LaPLACIAN算子的四阶非线性奇异微分方程边值问题一个或多个正解的存在性.在非线性项连续的前提下,运用不动点指数理论或Leggett-Williams不动点定理得到了上系统一个或多个正解存在的充分条件;在非线性项可变号的条件下,利用不动点指数定理给出了微分方程正解的存在性结果;在非线性项下半连续时,运用法图引理、勒贝格控制收敛定理和线性逼近方法,得到了边值问题正解存在的新结论.第三章研究一类三阶脉冲微分方程多点边值问题的解的存在性,利用
Leggett-Williams不动点定理得到了系统正解存在的新的充分条件.。

p-Laplace共振问题的非平凡解的开题报告

p-Laplace共振问题的非平凡解的开题报告一、研究背景p-Laplace方程是一个类似于 Laplace 方程的偏微分方程，它在物理学、工程学及数学物理学中有着广泛的应用。

p-Laplace方程对于p的取值有所不同，其解的性质也会有所不同。

当p=2时，p-Laplace方程就变成了 Laplace 方程，其解的性质非常熟知；当p不等于2时，p-Laplace 方程的解往往会表现出很多奇异的特性，这使得其研究具有一定的挑战性。

其中，p-Laplace共振问题是p-Laplace方程的一个典型模型，它在材料科学、控制理论、计算流体力学等领域中都有着应用。

该问题的研究主要关注于寻找其非平凡解，以及其解的性质。

二、研究目的本课题的主要研究目的是探究p-Laplace共振问题的非平凡解，以及解的性质。

具体包括以下几点：1. 探究p-Laplace共振问题的意义和背景，介绍其在现实生活中的应用和影响。

2. 研究p-Laplace共振问题的数学模型和求解方法，包括常见的变分方法和拓扑方法。

3. 针对p-Laplace共振问题的贡献，主要在于对其非平凡解的研究和性质分析。

相关的数学理论和方法包括共振理论、不动点定理、分枝技巧等。

4. 最后，通过对非平凡解的探究和性质分析，得出p-Laplace共振问题解的一些新的性质和规律。

三、研究方法本课题的研究方法主要包括以下几个方面：1. 文献综述：首先，通过对p-Laplace共振问题的相关文献进行阅读，了解其基本概念和背景，进而了解其数学模型、求解方法和已有的理论成果等信息。

2. 理论分析：本课题的核心研究是探究p-Laplace共振问题的解的性质，需要运用共振理论、不动点定理、分枝技巧等数学理论和方法，对其进行系统分析和研究。

3. 数值模拟：本课题还将运用数值模拟方法，对p-Laplace共振问题的解进行可视化处理。

通过数值模拟，可以更直观地得到其解的性质和规律。

非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解

非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解孙旸;张申贵【摘要】研究一类非局部p-Laplace方程Neumann问题的可解性.当非线性项满足广义p-次线性条件时,利用变分方法和临界点理论,得到了该问题非平凡解存在的充分条件.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)007【总页数】5页(P13-17)【关键词】非局部p-Laplace方程;Neumann边值问题;临界点【作者】孙旸;张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.25本文研究p-Kirchhoff方程Neumann边值问题(1)其中，ν(x)为外法向量，u，有界区域Ω是RN中带有光滑的边界.令Δpu=div(|u|p-2u)为p-Laplacian算子.设f(x,u)∈C(Ω×R,R)及M(t)∈C(R+,R+).令存在常数m0>0，θ≥1，满足：M(t)≥m0，∀t≥0,(2)∀t≥0.(3)问题 (1) 的特点是带有非局部系数这导致问题(1)中的微分方程不是逐点成立的恒等式,此类问题被称为非局部问题.带有非局部系数的微分方程有着广泛的应用,例如一些描述热能辐射过程，种群增长规律或电流分布和运动的数学模型可以归结为此类方程.近年来，临界点理论已用于研究带有非局部系数的微分方程的可解性，见文献 [1-8].本文中，首先将问题的(弱)解转化为索伯列夫空间W1,p(Ω)上能量泛函的临界点，当非线性项满足一类广义p-次线性条件时，然后将利用文献 [9]建立的零点局部环绕定理证明能量泛函至少两个非平凡临界点，从而得到问题(1)至少存在两个非平凡解的充分条件.1 准备知识记W1,p(Ω)为索伯列夫空间，定义范数为根据索伯列夫嵌入定理，存在常数C>0，使得(4)(5)及(6)对所有u∈W1,p(Ω)成立.记那么⊕R，且存在η>0，使得(7)在W1,p(Ω)上定义能量泛函其中 F(x,u)=f(x,s)ds，则u是泛函Φ的临界点当且仅当u∈W1,p(Ω)是问题⑴的解.且Φ连续可微，及u∀v∈W1,p(Ω).文献[9]中给出了下面临界点定理：引理1[9] 设E是巴拿赫空间,E=E1⊕E2，dimE2<+.若以下两个条件成立：(i) 设泛函Φ∈C1(E,R)下方有界且满足(PS)条件，即{un}是E中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在E中有收敛子列.(ii) 设泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即存在常数δ>0,使得Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ；Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.若infEΦ<0，则Φ至少有两个非平凡临界点.2 主要结果假设控制函数H(u):[0,+)→[0,+)连续，存在Ki>0，i=1,2,3，使得(H1) H(t)≤H(s)，∀t≤s，t,s∈[0,+);(H2) H(t+s)≤K0[H(t)+H(s)]，∀t,s∈[0,+);(H3) 0≤H(t)≤K1sα+K2，0<α<p-1，∀t,s∈[0,+);.定理1 假设(2)，(3)成立，存在常数L1>0，L2>0，有|f(x,u)|≤L1H(|u|)+L2，(8)对所有u∈R和x∈Ω成立.且,(9)其中及(10)对所有x∈Ω一致成立.设存在δ1>0，使得F(x,u)≥0,(11)对所有u∈R，|u|≤δ1和x∈Ω成立.则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解. 证明记验证问题(1)对应的能量泛函Φ满足引理1的所有条件. 第1步验证 (i) 成立.利用(2)式和(4)式，得(12)由条件(H1)-(H3)，对s∈[0,1]，有(13)由(13)式，(5)式，(6)式，及Young不等式，得(14)由(12)式，(14)式，得(15)注意到‖u‖→+⟹，及当时，有，则当‖u‖→+时，有Φ(u)→+，(16)即泛函Φ是强制且下方有界的.现在验证泛函Φ满足(PS)条件，即{un}是W1,p(Ω)中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在W1,p(Ω)中有收敛子列.首先，证明{un}在W1,p(Ω)中有界，反设{un}在W1,p(Ω)中无界，由(16)式，当‖u‖→+时，有Φ(u)→+，这与{Φ(un)}有界矛盾！故{un}在W1,p(Ω)中有界，取{un}的子列仍记为{un}，则存在u∈W1,p(Ω)，使得{un}弱收敛于u.利用索伯列夫嵌入定理，有(n→).由于Φ′(un)(un-u)→0，(n→)，可得un(un-u)dx→0，(n→)，利用(2)式，有un(un-u)dx→0，(n→).定义uvdx，∀u,v∈W1,p(Ω)，则A:W1,p(Ω)→W1,p(Ω)*连续.由文献[4]知,映射A具有性质(S+)，所以{un}在W1,p(Ω)中有强收敛子列.第2步验证 (ii) 成立，令则E=E1⊕E2.由(H3)，(8)式和(10)式，对∀ε>0，存在常数C1>0，有|F(x,u)|≤ε|u|p+C1|u|α+1，(17)对所有u∈R和x∈Ω成立.由(4)式，(6)式，(10)式和(12)式，对有令‖u‖充分小，注意到0<α<p-1，存在常数δ1>0，对∀当时，有对∀存在常数δ1>0，当时，有则存在常数0<δ<min{δ1,δ2},使得泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ;Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.(18)第3步若infEΦ<0，由引理1知，Φ至少有两个非平凡临界点，从而问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解.若infEΦ≥0，结合(18)式，有infE2Φ=0，∀u∈E2=R,‖u‖≤δ成立.由此可知,对∀u∈E2=R,‖u‖≤δ均为Φ的临界点.则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)有无穷多个解.证完.注1 令M(t)=a+bpt，其中a>0,b>0.取m0=a，θ=p，则满足(2)式，(3)式.注2 当H(u)=|u|α，条件(7)可退化为经典的次线性条件，即|f(x,u)|≤L1|u|α+L2，令则F满足定理1中条件(7)，但不满足经典的次线性条件.参考文献:Nontrivial Solutions for Nonlocal p-Laplace Equation with Neumann Boundary ValueSUN Yang，ZHANG Shengui(College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities,Lanzhou Gansu 730030)Abstract In this paper,we investigate the solvability of a class of nonlocal p-Laplacian equation with Neumann boundary value.If the nonlinear term satisfies generalized p-sublinear growth condition,some sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions for this problem are proved by variational methods and critical point theory.Key words Nonlocal p-Laplacian equation；Neumann boundary value problem；Critical point.【相关文献】[1] Zhang Yongyang,Ji Hui.Existence results for a class of nonlocal problems involving p-Laplacian [J].Boundary value problems,2011，(1)：1-8.[2] Dai Guowei,Ma Ruyun.Solutions for a p(x)-Kirchhoff type equation with Neumann boundary data [J].Nonlinear Analysis.RWA,2011,12(1):2666-2680.[3] Chung N T.Multiple solutions for a class of p(x)-Kirchhoff type problems with Neumann boundary conditions[J].Advances in Pure and Applied Mathematics,2013,4(2)：165-177.[4] Molica G,Rădulescu V. Applications of local linking to nonlocal Neumann problems [J].Communications in Contemporary Mathematics,2015,17(1)：1-17.[5] Cabanillas L,Barahona M.Existence of Solutions for Semilinear Integro-differentialEquations of p-Kirchhoff Type [J].Armenian Journal of Mathematics,2015,6(2)：53-63. [6] Bisci G，Radulescu V.Mountain pass solutions for nonlocal equations[J].Ann.Acad.Sci.Fenn,2014,39(1)：579-592.[7] Wang Fanglei,Ru Yuanfang,An Tianqing.Nontrivial solutions for a fourth-order elliptic equation of Kirchhoff type via Galerkin method [J].Journal of Fixed Point Theory and Applications,2018，20(2):71-90.[8] 张申贵.一类Kirchhoff方程Neumann边值问题的可解性[J].宁夏师范学院学报,2015,36(6):13-18.[9] Brezis H,Nirenberg L,Remarks on finding critical points[J].Commun.PureAppl.Math,1991,44(1)：939-963.。

四阶P-Laplacian算子方程正解的存在性与多解性

四阶P-Laplacian算子方程正解的存在性与多解性
陈顺清
【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(042)002
【摘要】利用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了一类非线性四阶p-Laplacian算子方程正解的存在性与多解性,得到了新的结果.
【总页数】6页(P223-228)
【作者】陈顺清
【作者单位】达县师范高等专科学校数学系,四川达州,635000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶P-Laplacian算子系统正解的存在性及多解性 [J], 陈顺清
2.含有p-Laplacian算子的四阶奇异边值问题正解的存在性 [J], 陈永鹏;靳宝霞
3.四阶奇异微分方程边值问题正解的存在性及多解性 [J], 周友明
4.一类双参p-Laplacian方程正解的存在性与多解性 [J], 蒋飞达
5.带p-Laplacian算子四阶边值问题
多重正解的存在性 [J], 钟文颖;宋常修
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是定义在有界集上有界的Ｃｒｔ６ｄｒａａｏｏｙ函数。和ｈ
收稿日期：０２０ — ２２１— ３１基金项目：州机器智能创新人才团队资助项目（科￣．０８９）贵黔［０１９号２作者简介：丽，，陈女贵州黔西人，贵州民族学院理学院讲师，士，要从事非线性分析研究。硕主
陈丽，昌木储
（州民族学院理学院，州贵阳５０２）贵贵５０５
摘
要：用上下解方法获得了不带增长条件ｐＬｐａｉｎ方程两个非平凡解的存在性。－ａｌｃａ文献标识码：Ａ文章编号：０９３８（０２一３Ｏ７— ３１０ — ５３２１）ｏ一ｏ９０
第ｌ４卷第３期
遵义师范学院学报
２１０２年６月
ｕ分别是问题（）个下解和一个上解，１的一且在Ｑ上
这意味着一Ａ一Ｋ是强制的。因此，一一△
讨论，这些文献基本要求非线性项满足次临界或临界增长条件，目的是方便应用变分法、其度理论和
Ａ
一
ｆ（，则称为问题（的一个上解；ｘ），１）若
Ｕ∈Ｗ（ｎ（满足桕 ≤０且一ＡＰＱ）Ｑ）ｕ
考虑如下ｐＬｐａｉ－ａｌｃａ圆方程ｎ椭
首先，虑如下ｐＬｐａｉ考－ａｌａ圆方程ｃｎ椭
一
ｆ△ ｆｘ）一ｐ＝（，，
【＝，Ｕ０
∈ ，
Ｘ， ∈
的有界区
△ ＝Ｉ一ｐＩ “ ，ｐ
∈ ，（Ｑ２）
算子。ｆ：ＲＲ是定义在有界集上有界的ＱＸ
Ｃｒｈｏｏ函数，Ｖ ∈ ｆｘ）０。ａｔｄｒａ６ｙ且对，（，＝０正特向满Ｉｌ＝Ｉｘ的征量足，Ｉ＝其中ｄ为（Ｑ）上通常的Ｌｂｓｕｅｅｇｅ范数。由ｆｘ）０故ｕ是问１于（０三，兰０题（的一个平凡，）
Ｍｏｓｒｅ理论等来寻求问题（）１的解。然而，很大一类有
函数不具备这些增长条件。因此，本文将讨论一类不带增长条件的ｐＬｐａｉｎ方程的非平凡解。－ａｌｃａ
ｆ（，），ｘｕ则称ｕ问题（的一个下解。１）
引理１见文献【中定理３１（－Ｏｌ．）设ｆ：ＲＲＱ×
第１４卷第３期
２１年６月０２
遵义师范学院学报
ＪｕａｆｕｙｒｌＣｌｇｏｒｌｏｎｉｎＺＮｏｍａｏｌｅｅ
Ｖｏ．４，Ｎｏ３１１．
Ｊｎ２１ｕ．０２
不带增长条件的ＰＬｐａｉ－ａｌａ程非平凡解的多重性ｃｎ方
解。因此，这里主要讨论问题ｆ的非平凡解。年来，１１近
人们对问题（非平凡解的存在性和多重性展开广泛１）
在给出相关假设和结果之前，先给出上下解的定义。若 ∈Ｗｌ（ｎ（，Ｑ）Ｑ）满足ｐ０且
一
Ｘ， ∈
Ｉ＝０ “ ，
其中ＱＲⅣ 是具有光滑边界ｃ
的特征值问题。众所周知，问题（）２的第一个特征值
域，＞ｌＡＵｉ１ｐｕ表示ｐＬｐｃｎＰ，＝ｄｖ（ＶＩ２）－Ｖ－ａｌｉａａ
＞０，且为单重孤立特征值［此外，有一个９】。
ｗｉｕ一ｏ－ＣｏｄｔｏｓｔｏｔＧｒｗｔ～ｎ … ｉｎ＿ｈｈｉ
ＣＨＥＮ．ＣＵａｇＭｕＬｉＨＣｈｎ —
（ｏｌｇｆｃｅｃ，ｉｈｕＵｎｖｒｉｏａｉｎｌｉｓＧｕｙｎ５０５ＣｉａＣｌｅｏｉｎｅＧｕｚｏｉｅｓｔｆｒＮｔａｉｅ，ｉａｇ５０２，ｈｎ）ｅＳｙｏｔ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关键词：－ａｌｉｐＬｐａａｃｎ方程；下解方法；上非平凡解中图分类号：７．０１６３
ＭｕｔｐｅＮｏｔｉｉｌＳｌｔｏｓｆｒｔｅＰ－ａｌｃａｕｔｎｌｌｎｒｖａｏｕｉｎｏｈ・ｐａｉｎＥｑａｉｓｉ－Ｌｏ
Ａｂｔｃ：Ｕｉｇｔｅｕｐｒｌｗｅｏｕｉｎ￣ｏ，ｗｅｏｔｉｈｘｓｅｃｆｔｏｎｎｒｉｌｓｌｔｎｏｈＬｐａｉｎｅｌｔｓａｔｓｎｈｐｅ — ｏｒｓｌｔｓｍｅｄｒｏｂａｎｔｅｅｉｔｎｅｏｗｏｔｉａｏｕｉｓｆｒｔｅＰ— ａｌｃａｌｉｉｖｏｐｃｅｕｔｎｉｏｔｏｎｈｃｎｉｏｓｑａｉｓｗｔｕ、ｏｄｔｎ．ｏｈｉＫｙＷＯＳｐＬｐａｉｎｅｕｔｎ；ｕｐｒｌｗｒｓｌｔｎｔｏ；ｏｔｖａｏｕｉｎｅ￣：－ａｌｃａｑａｉｓｐｅ－ｏｅｏｕｉｓｍｅｈｄｎｎｒｉｌｌｔｓｏｏｉｓｏ