初中数学巧求三角形中线段的比值学法指导
【北师版九年级数学上册教案】4.7第1课时相似三角形中的对应线段之比
4.7 相似三角形的性质第 1 课时相似三角形中的对应线段之比教课目标【知识与能力】1.明确相似三角形对应高的比、对应角均分线的比和对应中线的比与相似比的关系；2.能熟练运用相似三角形的性质解决实质问题.【过程与方法】经历探究相似三角形性质的过程，进一步体验由特别到一般的归纳思想和方法，感悟转变的思想，累积数学活动经验．【感情态度价值观】1. 经过探究相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培育学生的探究精神和合作意识.2. 经过运用相似三角形的性质，加强学生的应意图识.教课重难点【教课要点】1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实质问题.【教课难点】相似三角形的性质的运用.教课方法指引启示式课前准备投电影 .教课过程Ⅰ . 创建问题情境，引入新课［师］在前方我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比率，相似三角形是相似多边形中的一种，所以三对对应角相等，三对对应边成比率. 那么，在两个相似三角形中能否只有对应角相等、对应边成比率这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其余性质.Ⅱ . 新课讲解1. 做一做投电影钳工小王准备依据比率尺为3∶ 4 的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.（ 1）AB,BC,AC各等于多少？AB BC AC（ 2）△ABC 与△A′B′C′相似吗？假如相似，请说明原由，并指出它们的相似比.（ 3）请你在图①中再找出一对相似三角形.（ 4）CD等于多少？你是怎么做的？与伙伴交流.C D图①［生］解：（ 1）AB=BC =AC=3 A B B C A C4（2）△ABC∽△ A′B′C′∵AB=BC=ACAB BC AC∴△ ABC∽△ A′B′C′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△ B′C′D′（.△ADC∽△A′D′C′）∵由△ABC∽△ A′B′C′得∠ B=∠ B′∵∠ BCD=∠ B′C′D′∴△ BCD∽△ B′C′D′（同理△ADC ∽△ A′D′C′）（4）CD=3 C D 4∵△ BDC∽△ B′D′C′∴CD= BC=3CD BC42.议一议已知△ABC∽△ A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为k .（ 1）假如 CD 和 C′D′是它们的对应高，那么CD等于多少？C D（ 2）假如 CD 和 C′D′是它们的对应角均分线 ,那么CD等于多少？假如CD和C′D′是C D它们的对应中线呢？［师］请大家相互交流后写出过程.［生甲］从刚刚的做一做中可知，若△ABC∽△ A′B′C′， CD 、 C′D′是它们的对应高，那么CD=BC=k.CD BC［生乙］如图②，△ABC∽△ A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角均分线，那么CDC D AC==k.A C图②∵△ ABC ∽△ A ′B ′C ′∴∠ A=∠ A ′,∠ ACB=∠ A ′C ′B ′∵ CD 、C ′D ′分别是∠ ACB 、∠ A ′C ′B ′的角均分线 . ∴∠ ACD=∠ A ′C ′D ′∴△ ACD ∽△ A ′C ′D ′∴CD=AC=k.CD AC［生丙］如图③中， CD 、 C ′D ′分别是它们的对应中线，则CD =AC C D=k.A C图③∵△ ABC ∽△ A ′B ′C ′∴∠ A=∠ A ′，AC= AB =k.A CA B∵ CD 、C ′D ′分别是中线1 AB∴ AD2AB=k.A D= 1=A B2 A B∴△ ACD ∽△ A ′C ′D ′∴CD=AC=k.CDAC由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角均分线的比和对应中线的比都等于相似比.3. 例题讲解投电影图④如图④所示，AD 是△ ABC 的高， AD=h , 点 R 在 AC 边上，点S 在 AB 边上， SR⊥ AD,1BC 时，求 DE 的长，假如 SR=1垂足为 E. 当 SR=BC 呢？23解：∵SR⊥AD,BC ⊥AD,∴SR∥ BC.∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ ASR∽△ ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.∴AE SR（相似三角形对应高的比等于相似比），AD BC即 AD DE SR.AD BC1当 SR= BC 时，得21当 SR= BC 时，得3h DE1，解得 DE=h2h DE 1，解得 DE=h31223hhⅢ . 课堂练习假如两个相似三角形对应高的比为 4∶ 5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角均分线的比呢？（都是 4∶ 5） .Ⅳ .课时小结本节课主要依据相似三角形的性质和判断推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角均分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业完成习题Ⅵ .活动与探究图⑤如图⑤， AD ， A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角均分线，且AB BD AD==AB BD AD你以为△ABC∽△ A′B′C′吗？解：△ABC∽△ A′B′C′成立 .∵AB=BD=ADAB BD AD∴△ ABD∽△ A′B′D′∴∠ B=∠ B′,∠ BAD=∠ B′A′D′∵∠ BAC=2∠ BAD ,∠B′A′C′=2∠B′A′D′∴∠ BAC=∠ B′A′C′∴△ ABC∽△ A′B′C′●板书设计4.7相似三角形的性质第 1 课时相似三角形中的对应线段之比一、 1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图⑥， CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高 .图⑥（ 1）则图中有几对相似三角形.（ 2）若 AD =9 cm,CD=6 cm, 求 BD .（ 3）若 AB=25 cm, BC= 15 cm,求 BD. 解：（ 1）∵ CD ⊥AB∴∠ ADC=∠ BDC=∠ ACB=90° 在 △ADC 和 △ACB 中∠ ADC=∠ ACB=90°∠ A=∠ A∴△ ADC ∽△ ACB同理可知， △CDB ∽△ ACB ∴△ ADC ∽△ CDB所以图中有三对相似三角形 .（ 2）∵△ ACD ∽△ CBD∴AD CD CD BD 即 96 6BD∴ BD=4 （cm ） （ 3）∵△ CBD ∽△ ABC∴BC BD .BA BC∴15 BD25 15∴ BD=15 15=9（ cm ） .25。
北师大版九年级上册数学 第1课时 相似三角形中的对应线段之比第1课时 相似三角形中的对应线段之比教
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比教学目标1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力. 重点难点1、探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；2、利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题.教学过程一、情境创设：全等三角形的对应边上的高相等。
相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？二、探索活动：1、如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相比为k ，AD 与A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的高，说明：AD/A ′D ′=k 由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？3、小结相似三角形对应线段的关系。
三、例题教学例1. 课本P107例1例2. 如图△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是什么？四、课堂练习： A ’B ’C ’D ’A B C D D CB A1.课本P107随堂练习第1题和第2题.2.如图：已知梯形两条边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？五、小结与思考：(一)小结 本节课你有什么收获？（二）有一块三角形铁片ABC ，BC=12cm ，高AH=8cm ，按下面（1）、（2）两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG ，且要求矩形的长是宽的２倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些。
请你通过计算判断（1）、（2）两种设计方案哪个更好？六、中考链接：如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积一半，若AB= 2 ，则求此三角形平移的距离AA ′。
相似三角形的中线长度比例分析
相似三角形的中线长度比例分析相似三角形是指两个三角形的对应角相等，而对应边的比例相等。
在相似三角形中，我们可以探讨中线的长度比例，并利用它们解决一系列几何问题。
中线是指连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对任意三角形ABC，我们可以定义三条中线：AM，BN和CP，分别连接顶点A，B，C与对边BC，AC和AB的中点M，N和P。
现在我们来分析相似三角形的中线长度比例。
首先，考虑一个等边三角形ABC，其中所有边的长度相等，为a。
在这种情况下，三个中线的长度也相等，且都是a/2。
因此，我们可以得出中线长度比例为1:1:1。
接下来，我们考虑一个直角三角形ABC，其中直角位于顶点C。
在这种情况下，中线AB即为斜边AC的中线。
根据直角三角形的性质，三角形ABC可以拆分成两个相似三角形：ABM和ACN，其中BM和CN分别是中线AM和AN的长度。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下等式：AB / AC = AM / AN由于直角三角形中，AB = AC /√2 （根据勾股定理），代入上式可得：AC / (√2 * AC) = AM / AN化简得：1 / √2 = AM / AN进一步化简可以得出：AM / AN = √2 / 2所以，在直角三角形中，中线长度比例为1:√2 / 2:√2 / 2。
然后，我们来考虑一般情况下的任意三角形ABC。
利用向量的概念，我们可以表示中线AB为：AB = (AC + BC) / 2同理，中线AC和中线BC可以表示为：AC = (AB + BC) / 2BC = (AB + AC) / 2我们可以利用这些表达式来推导中线长度的比例。
假设中线AB的长度为x，中线AC的长度为y，中线BC的长度为z。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下等式：AB / AC = x / yAC / BC = y / zBC / AB = z / x联立这些等式，可以得到一个关于x、y、z的方程组，解方程组可以得到中线长度的比例。
九年级数学上册《三角形中的平行线分线段成比例》教案、教学设计
4.通过对不同解题方法的学习和比较，培养学生的优化意识，提高解题效率。
（三）情感态度与价值观
1.喜欢数学，认识到数学在生活中的广泛应用和重要性，增强学习数学的积极性；
2.在解决数学问题的过程中，遇到困难和挑战时不轻言放弃，形成坚韧不拔的品质；
九年级数学上册《三角形中的平行线分线段成比例》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握三角形中平行线分线段成比例的定义及表达方式；
2.学会运用综合法和分析法证明该性质，并能熟练运用到解决相关问题中；
3.能够运用该性质解决实际生活中的问题，如平面几何图形的分割、比例计算等；
4.掌握该性质与其他数学知识的联系，如相似三角形、勾股定理等。
b.学习过程中遇到的困难和解决办法；
c.对今后学习的计划和期望。
作业要求：
1.认真完成作业，保持字迹工整，作图规范；
2.对于不懂的问题，及时向同学或老师请教，解决问题；
3.提交作业时，检查答案是否正确，确保作业质量；
4.小组合作题要充分发挥团队协作精神，共同完成任务。
（三）学生小组讨论
1.分组活动
将学生分成若干小组，每组4-6人。为每个小组提供一张含有三角形和平行线的图形，要求他们观察并讨论以下问题：
a.图形中有哪些线段是成比例的？
b.能否运用刚刚学习的性质进行证明？
c.如果遇到困难，可以尝试从哪些方面寻求解决方法？
2.教师引导
在学生讨论的过程中，我会在各小组间巡回指导，关注学生的讨论进度和遇到的问题。针对共性问题，及时给予提示和解答。
2.教师点评
我对学生的总结进行点评，强调本节课的重点和难点，指出学生在学习过程中存在的问题，并提供改进建议。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 第1课时 相似三角形中的对应线段之比教案1
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A ）第二张：（记作§4.7.1 B ）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形.（4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43 ∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k . （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程. ［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC ''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC ''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.∴∠ACD =∠A ′C ′D ′∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= CA AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC ''=k.图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB ''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线 ∴D A AD ''=B A AB ''2121=BA AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC ''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例讲解 投影片（§4.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当S R=21BC时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.∴BCSR AD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSR AD DE AD =-. 当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD ''∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′∴∠BAC =∠B ′A ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD .（3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90°在△ADC 和 △ACB 中∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB 同理可知，△CDB ∽△ACB∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD∴BDCD CD AD = 即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC∴BC BD BA BC =.∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
初三数学直角三角形中成比例的线段知识精讲 浙江版
初三数学直角三角形中成比例的线段知识精讲 某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直角三角形中成比例的线段二. 教学重难点：直角三角形中的比例线段定理在实际计算和证题中有广泛的应用，是学习的重点。
灵活应用射影定理等是学习的难点。
三. 知识回顾：补充：（射影定理）直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。
（一）如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
则AB AD AC 2⋅=，AB BD BC 2⋅=，DB DA CD 2⋅=。
（二）由射影定理可推出以下两个结论：1. 直角边的平方比等于其射影比：BD :AD BC :AC 22=2. 直角边之积等于斜边与斜高之积：CD AB BC AC ⋅=⋅【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC 于D ，BF 平分∠ABC ，交AD 于E 。
求证：CFAF AE DE =。
分析：可利用角平分线的性质定理与射影定理来证明。
证明：∵BF 平分∠ABC∴FCAF BC AB ,ED AE BD AB ==① 又∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC∴BC BD AB 2⋅=即ABBC BD AB =② ∴由①、②知：CF AF AE DE =AB DC E F例2. Rt △ABC 中，CD 为斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥BC 。
求证：BF AE AB CD 3⋅⋅=。
分析：可用射影定理和三角形的面积公式来证明。
证明：∵CD ⊥AB ，DE ⊥AC∴AC AE AD 2⋅=同理，BC BF BD 2⋅=∴两式相乘，得BC BF AC AE BD AD 22⋅⋅⋅=⋅①又CD 为斜边AB 上的高∴BD AD CD 2⋅=②由CD AB CB AC S 2ABC ⋅=⋅=∆③∴将②、③代入①，得CD AB BF AE CD 4⋅⋅⋅=∴BF AE AB CD 3⋅⋅=CA DB E F例3. 如图，△ACB 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ，F 为DC 延长线上一点，BG ⊥AF 于G 。
初中几何求线段比值的方法
初中几何求线段比值的方法初中几何求线段比值那可太有用啦！咱先说说步骤呗。
找到相似三角形那是关键呀，就像在一堆宝藏里找到关键钥匙一样。
通过对应边成比例来求线段比值，这多棒呀！注意事项呢，可得仔细找对相似三角形，要是找错了，那可就全乱套啦，你说是不是？
再讲讲安全性和稳定性。
这求线段比值能有啥不安全的呢？又不是玩杂技走钢丝，嘿嘿。
稳定性嘛，只要方法对，那答案肯定靠谱呀。
应用场景可多啦！比如建筑设计里，要确定不同部分的比例关系，这不就得靠求线段比值嘛。
优势那也是杠杠的，能快速准确地找到线段之间的关系，多厉害呀！
举个实际案例哈，有个三角形ABC，D、E 分别是AB、AC 边上的点，已知三角形ADE 和三角形ABC 相似，AD 比AB 等于1 比3，那AE 比AC 不也是1 比3 嘛。
看，实际应用效果多明显。
初中几何求线段比值真的超棒，是解决很多几何问题的好办法。
初中数学 如何计算三角形的中线
初中数学如何计算三角形的中线在初中数学中，计算三角形的中线是解决与三角形相关问题的重要技巧之一。
三角形的中线是从一个顶点向对边的中点引出的线段，它可以帮助我们计算三角形的面积、判断三角形的形状以及解决几何问题。
本文将详细介绍如何计算三角形的中线。
计算三角形的中线有几种常用方法，下面将介绍三种常见的方法：1. 使用中点定理计算中线：中点定理是指一个三角形的两个中线的交点是第三个中线的中点。
利用这个性质，我们可以计算三角形的中线。
具体步骤如下：（1）已知一个三角形的两条边的长度。
（2）使用中点定理，计算出第三条中线的长度。
例如，已知三角形ABC的边AB = 8 cm，边AC = 6 cm，我们可以使用中点定理计算出三角形ABC的中线。
解：根据中点定理，我们有：中线的比例= 边长的比例中线AB/中线AC = AB/AC中线AB/中线AC = 8/6中线AB = (8/6) × 中线AC因此，通过计算边长比例和已知中线的长度，可以得到三角形ABC的中线的长度。
2. 使用相似三角形的性质计算中线：如果两个三角形相似，它们的对应边长成比例。
利用这个性质，我们可以通过相似三角形的中线比例来计算中线。
具体步骤如下：（1）已知一个相似三角形和它的中线长度。
（2）计算另一个相似三角形的中线长度。
（3）通过对应边长的比例关系，计算出要求的三角形的中线长度。
例如，已知三角形ABC和DEF相似，已知三角形DEF的中线长度为4 cm，我们可以通过相似三角形的性质计算出三角形ABC的中线的长度。
解：根据相似三角形的性质，我们有：中线的比例= 对应边长的比例中线ABC/中线DEF = 边长AB/边长DE中线ABC/4 = AB/DE中线ABC = (AB/DE) × 4因此，通过计算边长比例和已知中线的长度，可以得到三角形ABC的中线的长度。
3. 使用三角形的面积公式计算中线：三角形的面积可以使用以下公式进行计算：面积= 底边长度× 高度的一半如果我们已知三角形的面积和底边长度，我们可以通过面积公式计算出高度，然后再根据中点定理计算出中线的长度。
4.7.1相似三角形中的对应线段之比(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形对应线段之比的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，我应该在课后鼓励学生们自主探索和学习，通过更多的实际问题来巩固他们的知识。同时，我也应该加强与学生的沟通，了解他们在学习中的困惑和需求，以便更好地调整我的教学策略。
最后，今天的课程也提醒我，教学是一个不断学习和成长的过程。我需要不断地更新自己的教学理念和方法，以适应新时代教育的需求，帮助学生们更好地理解和应用数学知识，激发他们对几何学的兴趣。通过这样的教学反思，我相信我可以不断改进教学，为学生们提供更高质量的学习体验。
-利用多媒体和实物模型，进行直观演示，增强学生的几何直观。
-通过小组讨论和合作，让学生在实际操作中探索和发现对应线段之比的应用。
-设计梯度练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握难点的应用。
-及时给予反馈，针对学生的错误和疑惑进行个别辅导，确保学生能够透彻理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成课堂练习，提高沟通能力和协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中对应线段之比的概念，即相似比。
-学会运用对应线段之比解决实际问题，如计算未知长度。
-掌握相似三角形中对应角平分线、对应高、中线等比例关系。
非常巧妙的方法——三角形线段比问题的解法
非常巧妙的方法——三角形线段比问题的解法三角形中的线段比问题是几何中常见的问题之一，求解的一般方法是运用相似三角形对应边成比例.这种解法常常需要添加平行线作为辅助线，不仅具有一定的难度，而且求解过程繁杂.由于三角形具有稳定性，过三角形顶点的所有线段与三角形构成了一个平衡系统，在纵横交错的线段中，任何一条线段都犹如一根平衡的杠杆，每个点的受力大小都满足力学中的平衡原理．因此，根据杠杆平衡原理，把线段比转化为受力大小比，则解法十分巧妙，而且不需要添加任何的辅助线．如图1，设AB是以O为支点的平衡杠杆，记点A、B、O的受力大小分别为fA、fB、fO，则有fO =fA+fB，且OA·fA＝OB·fB，因此可得：AO/OB= fB/fA（*），根据合比定理又可得：AO/AB= fB/fO（**），AB/BO=fO/fA（***）．（*）、（**）、（***）式均表明：平衡线段的端点到支点的距离之比等于端点受力大小的反比．下面举例说明这种方法的巧妙运用．例1 如图2，△ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且AF/FC=1/2，AD和BF相交于点E，则BE/EF= ，AE/AD= ．分析：选择受力最小的一个点，设其受力大小为1，然后根据欲求的线段比，分别求出相关线段端点B、F、E的受力大小即可．解：设fA=1，则由BD＝DC可知fC=fB=1，所以fD=fB+fC=1+1=2，因为AF/FC=1/2，所以fA/fC=2/1，fA=2，所以f,F=fA+fC=2+1=3，fE=fA+fD=2+2=4(或fE=fB+fF=1+3=4)，所以BE/EF= fF/fB=3/1=3，AE/AD=fD/fE=2/4=1/2.例2如图3，△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交于AC于F．则AF/FC=_______，BE/BF= ．解：设fC=1，则由D是BC的中点可知fB=fC=1，所以fD=fB+fC=2，因为E为AD的中点，所以fA=fD=2，所以AF/FC= fC/fA=1/2；因为fE=fA+fD=2+2=4，fF=fE-fB=4-1=3，所以BE/BF= fF/fE=3/4.例3 如图4，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE 交于点F，如果BF/FD=5/4，CF/FE=2，则AE/EB= ，AD/DC= ．解：因为BF/FD=5/4，故可设fB=4，fD=5，所以fF=fB+fD=4+5=9，因为CF/FE=2，所以fE=2fC……①又因为fE+fC=fF=9……②由①②，解得fC=3，fE=6，所以fA=fD- fC=5-3=2，所以AE/EB= fB/fA=4/2=2，AD/DC= fC/fA=3/2.例4如图5，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD/DC=2/3，AE/EC=4/5，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于F，则AF/FB=_______．解：由BD/DC=2/3可设fB=3，fC=2，则fD=5，由AE/EC=4/5= fC/fA=2/fA，得fA=5/2，所以AF/FB= fB/fA=3/(5/2)=6/5.例5 如图6，设点O是△ABC内一点，AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F.如果AO/OD=3/2，BO/OE=2，则CO/OF=_______．解：由AO/OD=3/2，可设fA=2，fD=3，则fO=5，所以fB+ fE=fO=5，由BO/OE=2，得fE/fB=2，联立解之，得fB=5/3，fE=10/3，所以fC= fE-fA =10/3-2=4/3，fF=fA+fB=2+5/3=11/3，所以CO/OF= fF/fC=11/3：4/3=11/4.。
北师大版九年级上册数学 4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比教案1
4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，AH 交DE 于点G .已知DE ＝10，BC ＝15，AG ＝12.求GH 的值.解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . ∴△ADE ∽△ABC .又∵AH ⊥BC ，DE ∥BC ，∴AH ⊥DE .∴DE BC ＝AG AH ，即1015＝12AH . ∴AH ＝18.∴GH ＝AH －AG ＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.探究点二：相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm 和8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm ，则另一条角平分线的长为（42－x ）cm.根据题意，得x 42－x ＝68.解得x ＝18.所以42－x ＝42－18＝24（cm ）. 方法二：设较短的角平分线长为x cm ，则由相似性质有x 42＝614.解得x ＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm ，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23.又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6（cm ）.即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm. 方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.。
北师大版九年级上册数学 4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比教案2
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A ）第二张：（记作§4.7.1 B ）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形.（4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43 ∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k . （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程. ［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC ''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC ''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.∴∠ACD =∠A ′C ′D ′∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= CA AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC ''=k.图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB ''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线 ∴D A AD ''=B A AB ''2121=BA AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC ''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例讲解 投影片（§4.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当S R=21BC时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.∴BCSR AD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSR AD DE AD =-. 当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD ''∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′∴∠BAC =∠B ′A ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD .（3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90°在△ADC 和 △ACB 中∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB 同理可知，△CDB ∽△ACB∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD∴BDCD CD AD = 即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC∴BC BD BA BC =.∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
最新北师大版九年级数学上册：4.7.1-相似三角形中的对应线段之比教案(2)
4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A）第二张：（记作§4.7.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.1 A）钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图①中再找出一对相似三角形.（4）DC CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43 ∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么DCCD''=CBBC''=k.［生乙］如图②，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么DCCD''=CAAC''=k.图②∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.∴∠ACD=∠A′C′D′∴△ACD∽△A′C′D′∴DCCD''=CAAC''=k.［生丙］如图③中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则DCCD''=CAAC''=k.图③∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′，CAAC''=BAAB''=k.∵CD、C′D′分别是中线∴DAAD''=BAAB''2121=BAAB''=k.∴△ACD∽△A′C′D′∴DCCD''=CAAC''=k.由此可知相似三角形还有以下性质. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例题讲解投影片（§4.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.∴BCSR AD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSR AD DE AD =-. 当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且 B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立. ∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′∴∠BAC =∠B ′A ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计 4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD .（3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和 △ACB 中∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD ∴BD CD CD AD = 即BD 669=∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC∴BC BDBA BC =.∴152515BD=∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
九年级数学上册4.7第1课时相似三角形中的对应线段之比教案1北师大版
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7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点）2。
能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。
（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢?本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一:相似三角形对应高的比如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12。
求GH 的值。
解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE.∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!.∴AH＝18.∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差。
探究点二:相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为（42－x)cm.根据题意,得错误!＝错误!.解得x＝18。
所以42－x＝42－18＝24（cm)。
方法二:设较短的角平分线长为x cm，则由相似性质有x42＝614.解得x＝18。
较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm。
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字,只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形。
探究点三:相似三角形对应中线的比已知△ABC∽△A′B′C′，错误!＝错误!，AB边上的中线CD＝4cm,求A′B′边上的中线C′D′。
北师大版九年级上册数学：4.7.1相似三角形中的对应线段之比教案(1)
4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，AH 交DE 于点G .已知DE ＝10，BC ＝15，AG ＝12.求GH 的值.解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . ∴△ADE ∽△ABC .又∵AH ⊥BC ，DE ∥BC ，∴AH ⊥DE .∴DE BC ＝AG AH ，即1015＝12AH . ∴AH ＝18.∴GH ＝AH －AG ＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.探究点二：相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm 和8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm ，则另一条角平分线的长为（42－x ）cm.根据题意，得x 42－x ＝68.解得x ＝18.所以42－x ＝42－18＝24（cm ）. 方法二：设较短的角平分线长为x cm ，则由相似性质有x 42＝614.解得x ＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm ，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23.又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6（cm ）.即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm. 方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.。
北师大版九年级上册数学 4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比教案1
4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，AH 交DE 于点G .已知DE ＝10，BC ＝15，AG ＝12.求GH 的值.解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . ∴△ADE ∽△ABC .又∵AH ⊥BC ，DE ∥BC ，∴AH ⊥DE .∴DE BC ＝AG AH ，即1015＝12AH . ∴AH ＝18.∴GH ＝AH －AG ＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.探究点二：相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm 和8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm ，则另一条角平分线的长为（42－x ）cm.根据题意，得x 42－x ＝68.解得x ＝18.所以42－x ＝42－18＝24（cm ）. 方法二：设较短的角平分线长为x cm ，则由相似性质有x 42＝614.解得x ＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm ，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23.又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6（cm ）.即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm. 方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.。
九年级数学上册 4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A ）第二张：（记作§4.7.1 B ）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解1.做一做 投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',CA AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形.（4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图① ［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43 ∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么DC CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=CB BC ''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC ''=k .图②∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线. ∴∠ACD=∠A′C′D′∴△ACD∽△A′C′D′∴DCCD''=CAAC''=k.［生丙］如图③中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则DCCD''=CAAC''=k.图③∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′，CAAC''=BAAB''=k.∵CD、C′D′分别是中线∴DAAD''=BAAB''2121=BAAB''=k.∴△ACD∽△A′C′D′∴DCCD''=CAAC''=k.由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例题讲解投影片（§4.7.1 B）图④如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当SR=21BC时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.∴BCSR AD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSR AD DE AD =-. 当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD ''∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′∴∠BAC =∠B ′A ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB ∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90°在△ADC 和 △ACB 中∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD∴BDCD CD AD = 即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC∴BC BD BA BC =.∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
三角形重心中线比例证明
三角形重心中线比例证明要证明三角形重心的中线比例，首先我们需要了解什么是三角形的重心和中线。
三角形中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
记为m_a,m_b,m_c。
我们要证明的是：三角形重心处的三条中线比例为2：1首先，我们可以通过向量的方法来推导。
设A、B、C分别是三角形的三个顶点坐标。
向量AG=(x1,y1)，向量BG=(x2,y2)，向量CG=(x3,y3)，其中(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)分别为向量AG、BG、CG的坐标。
根据三角形重心的定义，重心G满足以下条件：AG+BG+CG=0(1)另外，根据中线的定义，m_a的中点坐标为(Ma_x,Ma_y)：Ma_x=(A_x+B_x)/2Ma_y=(A_y+B_y)/2同样地，m_b和m_c的中点坐标分别为(Mb_x,Mb_y)和(Mc_x,Mc_y)。
设向量GMa=(x4,y4)，向量GMb=(x5,y5)，向量GMc=(x6,y6)。
根据向量的性质，重心处任意一条中线的向量等于重心与顶点坐标向量的和的一半，即：GMa=(AG+BG)/2(2)GMb=(BG+CG)/2(3)GMc=(CG+AG)/2(4)将式(2)、(3)、(4)代入式(1)，并将向量展开，得到：(x1+x2+x3+x4+x5+x6)/2=0(5)由式(5)可以得到：x1+x2+x3+x4+x5+x6=0(6)同样的方法我们可以得到：y1+y2+y3+y4+y5+y6=0(7)现在我们需要证明x4=-2x1，y4=-2y1；x5=-2x2，y5=-2y2；x6=-2x3，y6=-2y3首先，我们将x4分开为两部分，得到：x4=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)-(x1+x2+x3+x5+x6)=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)-(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=0同样地，我们可以得到y4，x5，y5，x6，y6均等于0。
所以，GMa=(AG+BG)/2=(x1+x2+x3)/2=-x4=-2x1同样地，我们可以得到GMb=(BG+CG)/2=(x2+x3+x1)/2=-x5=-2x2以及GMC=(CG+AG)/2=(x3+x1+x2)/2=-x6=-2x3因此，我们证明了三角形重心处的三条中线比例为2：1除了向量的方法，我们还可以通过使用解析几何中的坐标来推导。
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初中数学巧求三角形中线段的比值
宗辉
在三角形中已知某些线段的比，求另外某些线段的比往往借助辅助线来完成，但辅助线的作法很多，下面举例说明如何巧选辅助线。
例1. 如图1，在△ABC 中，BD ：DC ＝1：3，AE ：ED ＝2：3，求AF ：FC 。
图1
解：过点D 作DG//AC ，交BF 于点G
所以DG ：FC ＝BD ：BC
因为BD ：DC ＝1：3
所以BD ：BC ＝1：4
即DG ：FC ＝1：4，FC ＝4DG
因为DG ：AF ＝DE ：AE
又因为AE ：ED ＝2：3
所以DG ：AF ＝3：2
即AF DG =
23
所以AF ：FC ＝23DG ：4DG ＝1：6
例2. 如图2，BC ＝CD ，AF ＝FC ，求EF ：FD
图2
解：过点C 作CG//DE 交AB 于点G ，则有EF ：GC ＝AF ：AC
因为AF ＝FC
所以AF ：AC ＝1：2
即EF ：GC ＝1：2 EF GC =12
因为CG ：DE ＝BC ：BD
又因为BC ＝CD
所以BC ：BD ＝1：2
CG ：DE ＝1：2
即DE ＝2GC
因为FD ＝ED －EF ＝21232GC GC GC -
= 所以EF ：FD ＝1232
13GC GC ：：= 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。
请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3. 如图3，BD ：DC ＝1：3，AE ：EB ＝2：3，求AF ：FD 。
图3
解：过点B 作BG//AD ，交CE 延长线于点G 。
所以DF ：BG ＝CD ：CB
因为BD ：DC ＝1：3
所以CD ：CB ＝3：4
即DF ：BG ＝3：4 DF BG =34
因为AF ：BG ＝AE ：EB
又因为AE ：EB ＝2：3
所以AF ：BG ＝2：3
即AF BG =
23
所以AF ：DF ＝233489BG BG ：：=
例4. 如图4，BD ：DC ＝1：3，AF ＝FD ，求EF ：FC 。
图4
解：过点D 作DG//CE ，交AB 于点G
所以EF ：DG ＝AF ：AD
因为AF ＝FD
所以AF ：AD ＝1：2
即EF ：DG ＝1：2 EF DG =12
因为DG ：CE ＝BD ：BC
又因为BD ：CD ＝1：3
所以BD ：BC ＝1：4
即DG：CE＝1：4 CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝4
1
2
7
2 DG DG DG -=
所以EF：FC＝1
2
7
2
DG DG
：＝1：7
练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
图5
2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
图6
答案：1. 1：10；2. 9：1。