【精品】2018学年新疆乌鲁木齐七十中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2017-2018学年新疆乌鲁木齐七十中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）2．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x的值为1，则输出的x的值为（）A．4 B．13 C．40 D．1213．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤 B．9斤 C．9.5斤D．12斤4．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，75．（5分）直线l：4x﹣5y=20经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．48．（5分）已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．9．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）下列命题正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥011．（5分）在正四面体P﹣ABC体积为V，现内部取一点S，则的概率为（）A． B．C． D．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2二.填空题（共4题；共20分）：请把正确答案写在答题卡对应的题号横线上13．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．14．（5分）在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是．15．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为y=kx，则k=．16．（5分）已知下列命题：①∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．其中真命题是．（将所有真命题序号都填上）三.解答题（共6题；共70分）（解答要有详细的过程，过程不详会有适当扣分）17．（10分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．（12分）某制造商3月生主了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位mm），将数据分组如下：（1）请将上表中补充完成频率分布直方图（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表．据此，估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．19．（12分）2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（Ⅰ）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程； （Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）参考公式：回归直线的方程是=x +，其中=，=﹣．20．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数x满足命题r：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0（1）若a=1，且r∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬r的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程．22．（12分）已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e=．（I）若P是椭圆C上任意一点，求||||的取值范围；（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若=0，且||=||，求直线l的方程．2017-2018学年新疆乌鲁木齐七十中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2∴=1∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选：B．2．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x的值为1，则输出的x的值为（）A．4 B．13 C．40 D．121【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=4，n=2满足条件n≤3，x=13，n=3，满足条件n≤3，x=40，n=4，不满足条件n≤3，输出x的值为40．故选：C．3．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤 B．9斤 C．9.5斤D．12斤【解答】解：此问题是一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5=4，∴中间3尺的重量为3a3=×3==9斤．故选：B．4．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．5．（5分）直线l：4x﹣5y=20经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：l与坐标轴交于点F（5，0），B（0，﹣4），从而c=5，b=4，a=3，双曲线C的离心率．故选：A．6．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．7．（5分）椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c===2，则其焦距为4．故选：D．8．（5分）已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵线性回归方程为，又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故选：A．9．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）下列命题正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥0【解答】解：选项A，若p∨q为真命题，则p与q有一个为真，但p∧q为不一定为真命题，故不正确；选项B，“x=5”能得到“x2﹣4x﹣5=0”，“x2﹣4x﹣5=0”不能推出“x=5”，则“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件，故正确；选项C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，故不正确；选项D，已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故不正确．故选：B．11．（5分）在正四面体P﹣ABC体积为V，现内部取一点S，则的概率为（）A． B．C． D．【解答】解：作出P在底面△ABC的射影为O，若V S﹣ABC=V S﹣ABC，则高OS=OP，分别取PA、PB、PC上的点E、F、D，并使SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如图并连结EF、FD、DE，则平面EFD∥平面ABC．当点S在正四面体P﹣EFD内部运动时，即此时S在三棱锥V P﹣ABC的中垂面DEF上，满足V S﹣ABC ＜V P﹣ABC的点P位于在三棱锥V P﹣ABC的中垂面DEF以下的棱台内，同理，V S﹣ABC ＞V P﹣ABC的S在距离ABC为OS的平面以上的棱锥内，所以满足的棱台体积为（1）﹣（1﹣）=；由几何概型，满足“”的概率为，故选：A．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，则+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，∴2×﹣（t+1）×+2t=0，解得：t=2，故选：A．二.填空题（共4题；共20分）：请把正确答案写在答题卡对应的题号横线上13．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：1814．（5分）在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是．【解答】解：在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，共有=6种方法，其中，满足其和大于积的取法有：（1，2）、（1，3）、（1，4）共三种，故其和大于积的概率是=，故答案为．15．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为y=kx，则k=±．【解答】解：椭圆C1：+=1的离心率为，双曲线C2的离心率为，则由题意可得，×=，解得，a=，∴k=±=±．故答案为：±．16．（5分）已知下列命题：①∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．其中真命题是①②④．（将所有真命题序号都填上）【解答】解：对于①∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；满足命题的否定形式，正确；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x）；函数是奇函数，正确；③若f（x）=x+，x+=1，可得x2+x+1=x+1，解得x=0，所以∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；不正确；④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．在三角形中大角对大边，∵A＞B，∴a ＞b，由正弦定理可得从而a=2RsinA，b=2RsinB，∴2RsinA＞2RsinB，∴sinA＞sinB．所以④正确．故答案为：①②④．三.解答题（共6题；共70分）（解答要有详细的过程，过程不详会有适当扣分）17．（10分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【解答】解：（1）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，由频率分布图得：应从第3组抽取：6×=3名志愿者，应从第4组抽取：6×=2名志愿者，应从第5组抽取：6×=1名志愿者．（2）该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，基本事件总数n==15，第4组至少有一名志愿者被抽中包含的基本事件个数m==9，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p=．18．（12分）某制造商3月生主了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位mm），将数据分组如下：（1）请将上表中补充完成频率分布直方图（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表．据此，估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．【解答】解：（1）根据所给的频数和样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，画出对应的频率分步直方图，（2）误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97，40.03]范围内的概率为0.2+0.5+0.2=0.9（3）整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20=40.00（mm）19．（12分）2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（Ⅰ）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）参考公式：回归直线的方程是=x+，其中=，=﹣．【解答】解：（Ⅰ）由数据可得：，…（1分），…（2分），，…（4分），…（6分）…（7分）故y关于x的线性回归方程为．…（8分）（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为8万辆时，即x=8时，．故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度为67微克/立方米．…（10分）（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，…（11分）故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…（12分）20．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数x满足命题r：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0（1）若a=1，且r∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬r的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）命题q：实数x满足，解得：，2＜x≤3．命题r：a=1时，实数x满足x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3．∵r∧q为真，∴，2＜x＜3．∴实数x的取值范围（2，3）．（2）命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2．命题r：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．由¬p是¬r的充分不必要条件，∴r是p的充分必要条件．∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．21．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程．【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形．则|OA|=|OF2|，即b=c．∴a==c，椭圆的离心率e==；（2）由题知2c=2，c=1，则A（0，b），F2（1，0），设B（x，y），由=2，即（1，﹣b）=2（x﹣1，y），∴，解得x=，y=﹣．代入椭圆=1，即解得a2=3．b2=a2﹣c2=2，∴椭圆方程为．22．（12分）已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e=．（I）若P是椭圆C上任意一点，求||||的取值范围；（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若=0，且||=||，求直线l的方程．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知椭圆C方程为，设椭圆上焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，得，又椭圆C的离心率，所以，又a2=b2+c2，求得a2=4¬b2=3．椭圆C方程为，所以1≤|PF1|≤3，设，=﹣（t﹣2）2+4，t=2时，最大值为4，t=1或3时，最小值为3，取值范围是[3，4]．…（5分）（Ⅱ）设直线l的斜率为k，则直线l方程y﹣2=kx，设B（x B，y B），A（x A，y A），由，得（3k2+4）x2+12kx=0，则有x A=0，，所以，所以，，由已知，所以，解得，，，y M=1，MH的方程，联立，，解得，所以直线l的方程为．…（13分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。