《空间几何体的表面积与体积》导学案
空间几何体的表面积与体积导学案高三数学一轮复习
第八章 第二节 空间几何体的表面积与体积一、学习目标 【课标解读】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 【衍生考点】1.空间几何体的表面积与侧面积2.空间几何体的体积3.与球有关的切、接问题 二、相关知识回顾 1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 ,表面积是侧面积与底面面积之和.【微点拨】当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:【微拓展】球的截面的性质 (1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系为【微思考】如何求不规则几何体的体积?【常用结论】1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.长方体的外接球V 柱体=Sh V 台体=13(S'+ S 'S +S )hV 锥体=13Sh.r=√R 2-d 2.(1)球心:体对角线的交点. (2)半径:r=a 2+b 2+c 22(a ,b ,c 分别为长方体的长、宽、高).3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r= 64a (a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r= 612a (a 为正四面体的棱长).三、考点精讲精练考点一 空间几何体的表面积与侧面积 【典例突破】例1.(1)(2021四川成都三诊)某几何体的三视图如图所示,已知网格纸上的小正方形边长为1,则该几何体的表面积为( )A.(20+8 2)πB.(20+4 2)πC.(24+8 2)πD.(24+4 2)π(2)(2021河南安阳高三三模)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 7∶8,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为( ) A. 32 B.23C. 34D.12对点训练1(1)(2020全国Ⅱ,理10)已知△ABC 是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为(2)(2021陕西西安检测)下图网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.4 10π+4 29π+6πB.4 15π+4 29π+6πC.2 15π+2 29π+6πD.2 10π+2 29π+6π 考点二 空间几何体的体积(多考向探究) 考向1.简单几何体的体积 【典例突破】例2.(1)(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h 降雨量的等级划分如下:在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h 的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h 降雨量的等级是( )9 34A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨(2)(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为( )A.4B.83C.43D.1考向2.不规则几何体的体积 【典例突破】例3.(1)(2021河南开封模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( ) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A.13+2π3B.13+ 2π3C.13+2π6D.1+2π6对点训练2(1)(2021山东莱州高三检测)如图所示,半径为R 的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为 .(2)(2021福建龙岩高三模拟)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是m m 3,则正方体石块的棱长为 .考点三 与球有关的切、接问题(多考向探究) 考向1.几何体的外接球问题 【典例突破】例4.(1)(2021广西玉林模拟)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为( )(2)(2021甘肃兰州月考)已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形,AD=1,AB=2,侧棱P A ⊥底面ABCD ,且直线PB 与CD 所成角的余弦值为 ,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为 .对点训练3(1)(2021四川成都二诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为( )160 0003 2 5532π3(2)(2021河北邯郸三模)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=BB1=CC1=DD1=,AB=2,A1B1=1,则该四棱台的表面积为;该四棱台外接球的体积为.考向2.几何体的内切球问题【典例突破】例5.(1)(2021四川成都石室中学高三)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC 为鳖臑,P A⊥平面ABC, P A=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为()A.9π2B.9π4C.9π16D.9π(2)(2021山东潍坊三模改编)圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的表面积与该圆锥的表面积之比的最大值为.对点训练4(1)(2021广西桂林、崇左二模)有一底面半径与高的比值为12的圆柱,则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为()∶3∶2∶1∶3(2)(2021云南昆明一中高三月考)在封闭的正四棱锥内有一个体积为V的球.若正四棱锥的底面边长为43,侧棱长为215,则V的最大值是()A.36πB.32π3C.9π2D.4π32。
空间几何体的表面积和体积导学案
高三数学导学案【学习目标】（1）了解柱体、锥体、台体的表面积计算方法（不要求记忆公式），掌握其推导过程； （2）能利用所学公式进行简单立体几何图形的表面积和体积的计算；（3）进一步掌握数学转化思想、类比思想，提高分析问题和解决问题的能力；培养空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力；（4）运用运动变化的观点认识图形的和谐、对称、规范； 【重难点】（1）在高考命题中几何体的表面积和体积以中低档题目出现的可能性较大，有时在解答题中占据其中一问，属容易题；（2）从考查形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现；（3）从能力要求上看，重点考查空间想象能力和从立体问题向平面问题转化的能力。
【学习过程】一、知识梳理（复习教材必修2P 25~P 33页有关内容，填空梳理有关知识） 1表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。
2旋转体的面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径 3.球球的定义：_________________________________________________________________________. 球的截面性质：_____________________________________________________________________. 球的大圆：_________________________________________________________________________. 球的小圆：_________________________________________________________________________. 球面距离：__________________________________________________________________________. 地球的经度：________________________________________________________________________. 地球的纬度：________________________________________________________________________. 【热点典例】热点一：几何体的表面积 课堂活动设计例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).4.2.3.6A B C D ++例2、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4πD ．π例3、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( ) A ．16π B ．π C ．4πD ．2π（2）(2010·新课标全国卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A．3πa2B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2【反思】本题做错的是第题问题探究：【错因】【总结】1．在求多面体的侧面面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．4．求球的表面积关键是求出球的半径．热点二：几何体的体积例4、（1）(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 2π+D. 4π俯视图（2） 7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的 主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15（3）下面的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的 直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。
必修二人教版空间几何体的表面积与体积优秀教学导学案
兴洪中学高三数学艺术班导学案8.1空间几何体及其表面积、体积【复习目标】：1、以几何体为线面关系的载体来考查其几何结构特征2、解答题中与空间线面关系相结合考查几何体的表面积、体积【复习重点】：表面积、体积计算公式【知识点梳理】：1．多面体(1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做；棱柱两个底面是，且对应边互相，侧面都是(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做；棱锥底面是，侧面是有一个公共顶点的(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做2．旋转体(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做、、；(2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做，球面围成的几何体叫做，简称34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．【课前自测】：1．以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台．其中正确的命题序号是___ _____．2．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为____ ____ 4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为____ ____ 【例题选讲】：例1、如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．变式：已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．例2、如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M 为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥M—CNP的体积．变式：如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．【课堂小结】：本节复习后你掌握了哪些常见考点？【课后作业】：1、正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，则这个棱台的侧棱长斜高．2、长方体AC1中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是________3、如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.4、已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B′—ABC的体积为________．【课后反馈】：。
2022年初中数学《由三视图确定几何体的表面积或体积》导学案(推荐)
三视图第3课时由三视图确定几何体的外表积或体积一、导学问题：某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图)，请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积〔图中尺寸单位：mm〕.这节课我们研究根据物体的三视图求其平面展开图形的面积问题.能由三视图想象立体图形，由立体图形想象其平面展开图并计算图形面积.3.学习重、难点重点：根据三视图描述根本几何体或实物原型.难点：知识的综合运用.〔1〕自学内容：教材P99~P100例5.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：阅读、理解例题中的分析局部.〔4〕自学参考提纲：①如下列图是一个立体图形的三视图，那么该立体图形是圆锥.②一张桌子摆放假设干碟子，其三视图如下列图，那么这张桌子上共有12 个碟子.③某几何体的三视图如下列图，那么这个几何体可能是〔B〕④某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图)，请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积〔图中尺寸单位：mm〕.由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱.密封罐的高为50 mm，底面正六边形的直径100 mm，边长为50 mm.画出它的展开图：由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为6个侧面与2个底面的面积和，即：6×50×50+2×6×12×50×50sin60°=6×502×〔1+32〕≈27990〔mm2〕⑤某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图，请你按照三视图确定每顶帐篷的外表积(图中尺寸单位：cm).(结果保存π)300×π×200+12×240×300×π=96000π(cm2).二、自学学生结合自学指导进行自学.三、助学1.师助生：〔1〕明了学情：观察学生自学参考提纲的答题情况.〔2〕差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.2.生助生：小组内相互交流、研讨、总结、归纳.四、强化总结交流解决例题的思路：〔1〕由三视图想象实物形状；〔2〕由实物图再结合三视图分析出实物图中各量，并画出其平面展开图；〔3〕根据平面展开图计算外表积.五、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有哪些收获？掌握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：点评学生小组合作、交流、探讨的情况，学习效果和存在的问题等.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕.本节课由学生日常生活中的实例引入，让学生在认识三视图、探索由三视图求物体外表积或体积的过程中，深切体会到数学知识来源于生活、运用于生活.教师引导学生进行合理的探索，培养学生的空间想象能力和整体思维能力.一、根底稳固〔70分〕1.(10分)右图是一个多面体的外表展开图，那么这个多面体是〔C〕B.四棱锥2.(10分)一个几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的侧面积是〔B 〕A.4π cm2B.6π cm2C.8π cm2D.12π cm2第2题图第3题图3.(10分)如图是一个包装盒的三视图，那么这个包装盒的体积是〔C〕3cm33cm33cm33cm34.(20分)根据展开图，画出这个物体的三视图，并求出这个物体的体积和外表积(图中尺寸单位：cm，结果保存π).解：体积：20×π×〔102〕2=500π(cm3).外表积：2×π×〔102〕2+20×10×π=50π+200π=250π(cm2).第4题图第5题图5.(20分)如图是一个几何体的三视图〔图中尺寸单位：cm〕，根据图中所示数据计算这个几何体的外表积.解：4×π×6×12+π×〔42〕2=12π+4π=16π(cm2).二、综合应用〔20分〕6.(20分)根据三视图，画出这个几何体的展开图，并求几何体的外表积.解：20×10×π+12×10×π×〔2255〕+π×〔102〕2=225π+252π=(225+252)π.三、拓展延伸〔10分〕7.(10分)如图是一个几何体的三视图，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积．解：侧面积：32×20×π+〔40×30+40×25〕×2=〔640π+4400〕(cm2).体积：32×π×〔202〕2+40×30×25=(3200π+30000)(cm3).5.3.1 平行线的性质一、新课导入1.导入课题：利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何表达的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.〔板书课题〕2.学习目标：〔1〕能表达平行线的三条性质.〔2〕能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算.3.学习重、难点：重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系.难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P18的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：正确画图、测量、验证、归纳.〔4〕探究提纲：①画图：画两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交〔如图1所示〕.②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等.④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？⑥归纳：a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？b.你还能用符号语言表述该结论吗？2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑.②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.4.强化：〔1〕平行线的性质1及其几何表述.〔2〕经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P19的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：阅读教材，重要的局部做好圈点，疑点处做好记号.〔4〕自学参考提纲：①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？a.结合图2，你能写出推理过程吗？b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？答案：两直线平行，内错角相等.c.你还能用几何语言表述该结论吗？②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.b.试写出用性质1推出性质3的推理过程.c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.②差异指导：对局部感到困难的学生进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：〔1〕平行线的性质1、2、3及其几何表述.〔2〕判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从直线平行得到角相等或互补，就是性质.〔3〕练习：课本P20“练习〞第1题和第2题.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕:这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔60分〕1.〔10分〕如图，由AB∥CD可以得到〔C〕A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠3＝∠4第1题图第2题图2.〔10分〕如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝〔C〕A.180°B.270°C.360°D.540°3.〔10分〕如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.4.〔10分〕如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.第3题图第4题图第5题图5.〔20分〕如图,a∥b,c、d是截线，假设∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°〔两直线平行，内错角相等〕,∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)，∴∠4=110°.二、综合运用〔20分〕6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.解：由题意得：∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°.∴∠6=∠5=58°.三、拓展延伸〔20分〕7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°.〔1〕∠DAB等于多少度？为什么？〔2〕∠EAC等于多少度？为什么？〔3〕∠BAC等于多少度？〔4〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：〔1〕∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°〔两直线平行，内错角相等〕.〔2〕∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等).〔3〕∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.。
(导学案)§8.2 空间几何体的表面积与体积(教师版)
解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝＝2，S球＝4πr2＝12π.故填12π.
∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.
若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．
解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有从而可知圆锥的高h＝＝＝.∴V＝×π×＝π.故填π.
类型一 空间几何体的面积问题
如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
A．2B．3C．6D.
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝，ac＝，bc＝，解得a＝1，b＝，c＝，则长方体的体对角线的长l＝＝.故选D.
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．2π＋2B．4π＋2
C．2π＋D．4π＋
解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝.所以该几何体的体积为2π＋.故选C.
4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为()
A．25πB．50πC．5πD．10π
解：由题设知AC为外接球的直径，∴2R＝＝5，S表＝4πR2＝4π×＝25π.故选A.
5．设M，N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为()
空间几何体的表面积及体积学案
空间几何体的表面积与体积学案【学习目标】1.通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积的求法；2.了解柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积计算公式，能运用柱、锥、台体及球的有关公式进行计算和解决实际问题；3.培养学生空间想象能力和思维能力. 【先学自研】 一、【知识梳理】柱、锥、台和球的侧面积和体积 1．多面体的面积和体积公式表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式二、基础练习1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为（ ）Ａ．81Ｂ．881π Ｃ．81Ｄ．1081π 2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是__________． 3．若球O 1、O 2表面积之比124S S =，则它们的体积之比12VV =________________ 4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233π B ．2 3 C.736π D.733π5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A ．23B ．32C ．6D ．66．已知棱台两底面面积分别为80和245，截得这个棱台的棱锥的高是35，求棱台的体积7．已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2，求底面各边之长.8．设正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.【点拨讲解】例1 、已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积及体积变式1： 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积及体积变式2：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体体积的几分之几？例2、(1)已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.(2)一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．(3)已知球面上过,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球的表面积为例3、（1）长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.（2）记与正方体各个面相切的球为1O ，与各条棱相切的球为2O ，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为（3）半球内有一个内接正方体，，求球的表面积和体积。
人教版数学高一必修二导学案 1.3空间几何体的表面积与体积
1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V= .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V= .特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝25 3.S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1)．旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3 要点二 柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】 注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】 设棱台上底面△A ′B ′C ′的面积为S ′，棱台的高为h . 由题意可知：△A ′B ′C ′≌△DBE .∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S ′. ∴V 台ABC －A ′B ′C ′＝13h ·(S ′＋S ′·4S ′＋4S ′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′， V 柱DBE －A ′B ′C ′＝S ′·h .∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．16 要点三 三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4 【思路启迪】 先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积． 【解析】 由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB ＝1，AA 1＝1. V ABCDEF －A1B 1C 1D 1E 1F 1＝4×1＝4. 【答案】 D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算． 反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的( ) A.152π倍 B.15π倍C.2π倍 D.22π倍2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A 1－BC 1D 的体积为( )A.23B.13C.14D.123．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805．如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH 所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____ ___．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=23，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．考点巩固-答案1、解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝(3r)2－r2＝22r故S 轴＝r ·22r ＝22r 2，S 轴S 底＝22π.答案：D2、解析：三棱锥A 1－BC 1D 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉4个角得到的，其体积V ＝1×1×1－4×13×12×1×1＝13.答案：B3、解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.答案：C 4、解析：由该几何体的三视图得出原型为： S 四边形A1B 1C 1D 1＝4×2＝8， S 四边形ABCD ＝4×4＝16，四边形ADD 1A 1与四边形BCC 1B 1为全等的梯形，面积均为：(2＋4)×42＝12，四边形ABB 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，其中BB 1＝42＋1＝17，∴面积均为：4×17＝417.∴该几何体的全面积S ＝8＋16＋12×2＋417×2＝48＋817. 答案：C5、解析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于三角形AGF 所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，∴AF ＝AG ＝12a ，∴S △AGF ＝12×12a ×12a ＝18a 2，又AH ＝12a ，∴锯掉一角的体积为V ＝13×12a ×18a 2＝148a 3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的148.答案：1486、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则 VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 7、解析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD .如图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形． 在△VBC 中，BC 边上的高 h 1＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝4 2.在△VAB 中，AB 边上的高 h 2＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.8、解：如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题． 3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力． [目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点． 【自主学习】1．球的体积公式是V 球 = (R 为球的半径)． 2．球的表面积公式是S 球 = (R 为球的半径)． 特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆． 【考点突破】要点一 球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数即V =43πR 3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S =4πR 2. 典型例题1、(1)已知球的直径为6cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【思路启迪】 利用条件确定半径R 代入相关公式可求． 【解】 (1)∵直径为6cm ，∴半径R ＝3cm ， ∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)， 体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4， ∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为__ ___． 要点二 球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】 本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA 与球心O 作截面PAE ，交侧面PBC 于PE .∵△ABC 为正三角形，易知AE 既是△ABC 底边BC 上的高，又是BC 边上的中线． 作正三棱锥的高PD ，则PD 过球心O ，且D 是正△ABC 的中心， ∵AB ＝26，∴DE ＝13AE ＝13·32AB ＝ 2.∴PE ＝12＋(2)2＝ 3.∴S 全＝S 侧＋S 底＝3·12·26·3＋34(26)2＝92＋63，即棱锥的全面积为92＋6 3.以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r . 则V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝13r ·S 全＝13h ·S △ABC ，∴r ＝S △ABC ·hS 全＝34·(26)2·192＋63＝6－2，∴S 球＝4πr 2＝4π(6－2)2. 方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4:3B ．3:1C ．3:2D ．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫8＋4π3m 3 B.⎝⎛⎭⎫8＋2π3m 3 C.⎝⎛⎭⎫4＋4π3m 3 D.⎝⎛⎭⎫4＋2π3m 3 4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、解析：设原来球的半径为r ，变化后的球半径为r ′， ∴4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r . ∴V ′V ＝43πr ′343πr 3＝(2r )3r3＝2 2. 答案：B2、解析：作轴截面如图，则PO ＝2OD ，∠CPB ＝30°，CB ＝33PC ＝3r ，PB ＝ 23r ，圆锥侧面积S 1＝6πr 2，球的面积S 2＝4πr 2，S 1:S 2＝3:2. 答案：C3、解析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋2π3＝8＋2π3(m 3)． 答案：B4、解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示． 故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：12π5、解析：设两圆锥高分别为h 1，h 2，(设h 2<h 1)球半径为R ，圆锥底面半径为r ，如图，S 1S 2＝2R ，AO 1＝r ，且∠S 1AS 2＝90°，AO 1⊥S 2S 1，∴AO 21＝S 1O 1·S 2O 1， 即r 2＝h 1h 2，又∵πr 2＝3164πR 2，∴r ＝32R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1h 2＝34R 2h 1＋h 2＝2R∴h 1，h 2分别为32R ，12R ，∴h 2h 1＝13.答案：136、解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3，又h ＝2r所以V 圆锥:V 球:V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h :⎝⎛⎭⎫43πr 3: (πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3:⎝⎛⎭⎫43πr 3: (2πr 3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x .如图所示，∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 8、解：如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3π2R 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝3π2R 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧 ＝11π2R 2＋3π2R 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2. 章末小结【知识框架】。
高三数学一轮复习第9课时空间几何体的表面积与体积导学案苏教版
高三数学一轮复习第9课时空间几何体的表面积与体积导学案苏教版【学习目标】1.熟悉公式，掌握求体积的常用方法2.熟悉常规立体几何中的表面积与体积求解问题。
【重、难点】掌握表面积与体积的相关问题。
【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是________，底面是正多边形的直棱柱叫做______．柱体的体积公式________2.. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是________；锥体的体积为________，其中S为锥体底面积，h为高．3. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是___________；台体的体积公式是______________，其中台体的上下面积分为S′、S，h是台体的高．4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是__________；圆柱的侧面积公式是_______，圆锥的侧面积公式为________，圆台的侧面积公式为____________6. 球体的体积公式是_______，其中R为球的半径.2.基础训练1. (必修2P64习题10改编)用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面面积为________．2. (原创)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.3. 底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为________．4. (原创)棱长为1的正方体外接球的半径为________，内切球的半径为_______．棱长为1的正四面体外接球的半径为________，内切球的半径为_______。
二、互动研讨例1、例1 一个长方体表面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长．例2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝5，AD＝4，AA1＝3，AB⊥AD，∠A1AB＝∠A1AD＝π3.(1) 求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠B AD的平分线上；(2) 求这个平行六面体的体积．例3 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)，问：当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？。
《1.3.1空间几何体的表面积与体积(1)》导学案2
《1.3.1空间几何体的表面积与体积(1)》导学案2学习目标：1.理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式.学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积.学习过程课前预习(预习教材P23~P25，找出疑惑之处)复习：斜二测画法画的直观图中，x'轴与y'轴的夹角为____，在原图中平行于x轴或y 轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？课内探究探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图(下图)，你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：(1)设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆柱的侧面积(矩形)加上底面积(两个圆)，即2222()S r rl r r l πππ=+=+.(2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积(扇形)加上底面积(圆形)，即2()S r rl r r l πππ=+=+.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？(能否看作是个大扇形减去个小扇形呢)你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r '，r ，母线长为l ，则它的表面积等上、下底面的面积(大、小圆)加上侧面的面积(扇环)，即2222()()S r r r l rl r r r l rl ππππ''''=+++=+++.。
高中数学《空间几何体的表面积与体积及点、线、面的位置关系》导学案
空间几何体的表面积与体积及点、线、面的位置关系【知识梳理】一、知识网络1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式空间几何体的表面积与体积公式3．四个公理4．空间直线的位置关系5．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系二、常考点分析1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R ＝3a ；②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2222R a b c =++. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 3．旋转体侧面积问题中的转化思想 4．必会的四个方法(1)求异面直线所成角的方法(2)证明共面问题的两种途径 (3)证明共线问题的两种途径(4)证明共点问题的常用方法【经典例题】例1．如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1 ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64例2．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210C.132D ．310例3．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25C.35 D .45【真题再现】1.(2017·全国乙卷文科·T16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为 .2.(2018·全国卷I 高考文科·T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1、O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ( ) A .12πB .12πC .8πD .10π3.(2018·全国卷I 高考文科·T10)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为 ( )A.8B.62C.82D.834.(2017·全国乙卷文科·T6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )5.(2018·全国卷I高考理科·T12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.326.(2019·全国卷Ⅰ理科·T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )A.86πB.46πC. 26πD.6π【定时演练】1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )A．48(3＋3) B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．33．已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是( )A.7π4B．2πC.9π4D．3π4．点P是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PM·PN的取值范围是( )A．[0,2] B．[0,3]C ．[0,4]D ．[－2,2]5．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．6．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.7．已知三棱锥O ABC 中，∠BOC ＝90°，OA ⊥平面BOC ，其中AB ＝AC ＝7，BC ＝11，O ，A ，B ，C 四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为________．8．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，求球O 的表面积________．9．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( ) A.36 B ．－36 C.33D ．－33. 11.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°12．过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条13.如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面 体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________．。
高中数学必修二导学案3.空间几何体的表面积和体积
．空间几何体的表面积和体积曾劲松学习目标．了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式．．会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积中的应用。
一、夯实基础基础梳理．几何体的表面积（）设直棱柱高为，底面多边形的周长为发，则。
（）设正棱锥底面边长为，周长为，斜高为，则．（）设正棱台下底面边长为，周长为，上底面边长为，周长为，斜高为，则．（）设圆柱底面半么为，母线长为，则，（）设圆锥底面半么为，母线长为，则，（）设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则，．（）设球的半径为，则。
．几何体的体积公式（）柱体的体积（其中为柱体的底面面积，为高）。
特别地，底面半径是，高是的圆柱体的体积。
（）锥体的体积（其中为锥体的底面面积，为高）。
特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积。
（）台体的体积（其中，分别是台体上、下底面的面积，为高）。
特别地，上、下底面的半径分别是、，高是的圆台的体积。
（）球的体积（其中为球的半径）。
基础达标．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为时，该三棱锥的全面积是（）． ． ． ．．表面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的全面积是（ ） ． ． ． ．．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）（3题）俯视图侧视图正视图2． ． ． ． ．某几何体的三视图如上，则它的体积是（ ）2（4题）正视图．．．．．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若水平放置时，液面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，液面的高为多少？（5题图）G A 'C 'B 'HABC E F二、学习指引 自主探究．柱、椎、台的体积公式如下，谈谈它们之间的关系．。
《空间几何体的表面积与体积》导学案
1。
3 《空间几何体的表面积与体积》导学案【学习目标】1。
通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积的求法;2.了解柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积计算公式,能运用柱、锥、台体及球的有关公式进行计算和解决实际问题；3.培养学生空间想象能力和思维能力. 【重点难点】理解计算公式的由来；运用公式解决问题【学法指导】互动合作【知识链接】空间图形的模具【学习过程】一。
预习自学（一)空间几何体的表面积1。
棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是，也就是；它们的侧面积就是 .2。
圆柱、圆锥、圆台的表面积、侧面积圆柱的侧面展开图是，长是圆柱底面圆的，宽是圆柱的设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧= S圆柱表=圆锥的侧面展开图为，其半径是圆锥的，弧长等于, 设为r圆锥底面半径，l为母线长，则侧面展开图扇形中心角为，S圆锥侧= ，S圆锥表=圆台的侧面展开图是，其内弧长等于，外弧长等于，设圆台的上底面半径为r, 下底面半径为R，母线长为l，则侧面展开图扇环中心角为,S圆台侧= ，S圆台表=3。
球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积S=（二）空间几何体的体积1。
柱体的体积公式V柱体=2.锥体的体积公式V锥体=3。
台体的体积公式V台体=4. 球的体积公式V球=二.典型例题题型一：空间几何体的侧面积、表面积和体积的求法例1.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其侧面积、表面积和体积。
变式训练：一个圆台,上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°,求圆台的侧面积、表面积和体积.例2。
已知球的直径是6,求它的表面积和体积.变式训练：已知球的表面积是64π,求它的体积.题型二：侧面展开、距离最短问题例3。
在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1木块上，有一只蚂蚁从顶点A 沿着表面爬行到顶点C 1，求蚂蚁爬行的最短距离？变式训练：圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，圆柱的侧面上从A 到C 的最短距离为CDBA题型三：根据三视图求面积、体积例4。
苏教版数学高一《空间几何体的表面积和体积》 精品导学案
§1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3．1 空间几何体的表面积【课时目标】 1．进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征，了解它们的有关概念．2．了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．3．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．1．常见的几个特殊多面体的定义(1)__________________的棱柱叫做直棱柱． (2)正棱柱是指底面为____________的直棱柱．(3)如果一个棱锥的底面是____________，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱锥被______________的平面所截，______________之间的部分叫做正棱台． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积(1)直棱柱的侧面展开图是____________(矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h)，则S 直棱柱侧＝______；(2)正棱锥的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形(正棱锥底面周长为c ，斜高为h ′)，则S 正棱锥侧＝__________；(3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形，(正棱台的上、下底面周长分别为c ′，c ，斜高为h ′)，则有：S 正棱台侧＝____________．．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____________、________和________．S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆锥侧＝12cl ＝πrlS 圆台侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l一、填空题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为________．2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为__________．3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B ＝__________．4．三视图如图所示的几何体的表面积是__________．5．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．6．正六棱锥的高为4 cm ，底面最长的对角线为4 3 cm ，则它的侧面积为________ cm 2．7．底面是菱形的直棱柱，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．8．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2．9．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．二、解答题10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．11．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)12．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．能力提升13．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．§1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3．1 空间几何体的表面积答案知识梳理1．(1)侧棱和底面垂直 (2)正多边形 (3)正多边形 (4)平行于底面 截面和底面2．(1)一个矩形 ch (2)12ch ′ (3)12(c ＋c ′)h ′3．矩形 扇形 扇环 作业设计 1．8π解析 易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．2．1＋2π2π解析 设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．3．11∶8解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8． 4．7＋ 2解析 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2． 5．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 6．30 3解析 由题意知，底面边长为2 3 cm ， 侧棱长为l ＝16＋12＝27 cm ，斜高h ′＝28－3＝5 (cm )，∴S 侧＝6·12·23·5＝30 3 (cm 2)．7．160解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而l 21＝152－52，l 22＝92－52，而l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160．8．112解析 设底面边长、侧棱长分别为a 、l ，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2＋l 2＝92a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4l ＝7， ∴S 侧＝4·4·7＝112 (cm 2)． 9．(2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2 ＝(2＋2)a 2． 10．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连结OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17，所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817． 11．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20， 同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2．12．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．13．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr(1．2－2r)＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r)＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米． (2)若灯笼底面半径为0．3米， 则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)． 制作灯笼的三视图如图．1．3．2 空间几何体的体积【课时目标】 1．了解柱、锥、台、球的体积公式．2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．1．柱体、锥体、台体的体积柱体：V ＝______，V 圆柱＝________． 锥体：V ＝________，V 圆锥＝________． 台体：V ＝____________，V 圆台＝13πh(r ′2＋r ′r ＋r 2)．其中S 、S ′为底面面积，h 为高，r 、r ′为底面半径． 2．球的表面积和体积S 球＝________，V 球＝__________ 其中R 是球的半径．一、填空题1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍． 2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．5．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m )．则该几何体的体积为________m 3．6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________．7．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．8．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则此几何体的体积是______cm 3．9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．二、解答题10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．11．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如图所示，其中V A＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积与体积．能力提升12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h(S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh ．4．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系．1．3．2 空间几何体的体积 答案知识梳理1．Sh πr 2h 13Sh 13πr 2h 13(S ′＋S ′S ＋S)h2．4πR 2 43πR 3作业设计 1．2 2解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍． 2．1∶3 3解析 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．两球体积之比为a 3：(3a)3＝1∶33． 3．50π解析 外接球的直径2R ＝长方体的体对角线 ＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高)． 4．4∶9解析 设球半径为r ，圆锥的高为h ， 则13π(3r)2h ＝43πr 3，可得h ∶r ＝4∶9． 5．4解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V ＝13×12×3×4×2＝4 m 3．6．a 36解析 连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为22a 的正四棱锥组成，正四棱锥的高为a 2，则八面体的体积为V ＝2×13×(22a)2·a 2＝a 36．7．48 3解析 由43πR 3＝32π3，得R ＝2．∴正三棱柱的高h ＝4．设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43．∴V ＝34(43)2·4＝483．8．144解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V 正四棱台＝13(82＋42＋82×42)×3＝112，V 正四棱柱＝4×4×2＝32，故V ＝112＋32＝144．9．4解析 设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ．解得r ＝4．10．解 截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF －A 1B 1C 1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S ，高为h ，则△AEF 的面积为14S ，由于V 1＝V AEF －A 1B 1C 1＝13·h·(S4＋S ＋S 2)＝712hS ，剩余的不规则几何体的体积为V 2＝V －V 1＝hS －712hS ＝512hS ，所以两部分的体积之比为V 1∶V 2＝7∶5． 11．解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且V A ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连结VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39， S △ABC ＝12×(23)2×32＝33， ∴三棱锥V —ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．点V 在底面ABC 上的射影为H ，则A ，H ，D 三点共线，VH 即为三棱锥V —ABC 的高，VH ＝VD 2－HD 2＝ VD 2－⎝⎛⎭⎫13AD 2 ＝(13)2－12＝23，∴V V —ABC ＝13S △ABC ·VH ＝13×33×23＝6， 所以正三棱锥的体积是6．12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h)2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r ．即容器中水的深度为315r ．13．解 设正方体的棱长为a ．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2， 所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2．③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2．综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．。
立体图形表面积和体积计算导学案
2.我会判。
的圆柱形笔筒，她想给笔筒的侧面和底面贴上彩纸，至少需要用多少彩纸？（保留整数）
把一个圆柱的侧面沿高展开后得到一个正方形。
已知圆柱的高是12.56dm，求圆柱
一个圆柱形铁皮油桶中装满了汽油。
如果将汽油倒出
判断。
）圆锥有无数条高。
（）
）半圆不能围成圆锥。
（）
一个圆锥是由橡皮泥捏成的，要切一刀把它分成两块，（
3.（拓展题）将一个底面直径是36cm，高是8cm的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？
）
）圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。
（）
倍，它们的体积一定相等。
（
求下面图形的表面积。
（单位：厘米）。
立体图形的表面积和体积导学案
理解长方体、正方体、圆柱、圆锥表面积与体积的意义和计算方法。
教学准备
学生：长方体、正方体、圆柱、圆锥模型。
教师：长方体、正方体、圆柱、圆锥模型和课件。
导学过程
学生活动预设
设计意图
揭题并板书：若形容我们平时的数学教学是栽活一棵棵树的话，那为它们灌溉的就是整理复习课，二者结合才能使树苗茁壮成长为一片树林。复习课担负着查漏补缺、系统整理以及巩固发展的重任，是非常重要的一个环节。这节课我们继续复习第六单元--立体图形的表面积和体积。
小学六年级数学第二学期导学案
主备人执教人
学习内容
立体图形的表面积和体积
课时
1
课型
复习课
教材分析
通过填表，整理和复习四种立体图形的表面积，体积的计算公式，形成知识网络。
学习目标
1、学生熟练掌握长方体、正方体、圆柱的表面积与体积和计算方法，掌握圆锥体积的计算方法，并能解决有关问题。2、培养学生空间观念。3、激起学生的创新能力和爱数学的情感。
6、说出已学过的立体图形的体积计算公式。
7、怎样求不规则物体体积？
8、综合练习。
9、反馈作业：第91页----12、14
明确复习的重要性，快速投入课堂。
填表、汇总、比较。
通过填表，整理和复习四种立体图形的表面积，体积的计算公式。
板书设计：
图形与几何
立体图形的表面积和体积问题设计：立体图形的表面积和体积 Nhomakorabea样计算？
活动要求：
1、学生回顾到现在为止学过哪些立体图形？
2、分类。
3、找出长方体和正方体异同。
4、小组互相说一说圆柱和圆锥的异同。
5、长方体、正方体、圆柱的表面积的计算方法。
人教版数学高一-高中数学必修2导学案 1.3空间几何体的表面积和体积(3)
第一章第三节空间几何体的表面积和体积（3）设计教师：田许龙一、温故思考【自主学习·质疑思考】课堂预习：仔细阅读课本27-28页，结合课本知识，完成下述表格中的概念.1. 球的概念（1）球面：半圆以它的直径为，旋转一周所形的。
（2）球体：球面所围成的注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的，而球体不仅包括球的，而且还包括球面所围成的。
（3）球面的另一种定义：（类似于圆的定义）到一定点距离等于定长的所有点的。
球心：大圆的圆心.球的半径：连接球心与球面上任一点的线段。
（如OA、OB）球的直径：连接球面上两点，且过球心的线段.（如AB）球的表示：用它的球心字母来表示。
（球O）2.球的性质:(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（如上左图）：（１）若d=0则r=R.这时截得的圆叫大圆；（２）若0<d<R,则这时截得的圆叫小圆；（３）若d=R，则r=0，和球只有一个公共点，此平面与球相切。
二、新知探究【合作探究·展示能力】. 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么球的表面积为 ,体积为 .说明：球的体积和表面积公式的证明以后证明检测练习：★例1若一个球的体积为3π，则它的表面积为．讨论：）（222dRr-=★例2.球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，两截面间距离为1，求球的体积．★例3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32, （2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
三、总结检测【归纳总结·训练检测】◆挑战题☆1.若点A 、B 、C 是半径为2的球面上三点，且AB ＝2，则球心到平面ABC 的距离最大值为( )A ．22B ．32C ． 2D ． 3 ☆2.正三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为( )A ．1:3B ．)33(:1+C ．3:)13(+D ．3:)13(-四、作业项目【课外作业·开展项目】★课本P35—复习题A 组—1、3、4同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上。
2019高中数学空间几何体的表面积与体积导学案
空间几何体的表面积与体积1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题.2.经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化.3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的能力.2013年6月11号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状是球状的原因.问题1: 直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧= ,底面周长为c,侧棱为h.(2)棱锥侧面积S侧= ,底面周长为c,斜高为h'.(3)棱台侧面积S侧= ,上、下底面的周长分别为c'、c,斜高为h'.问题2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?圆柱:侧面展开图是,长是圆柱底面圆的,宽是圆柱的高(母线), S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.圆锥:侧面展开图为一个,扇形的半径是圆锥的,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为θ=×360°,S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.圆台:侧面展开图是,内弧长等于圆台的,外弧长等于圆台的,侧面展开图的扇环圆心角为θ=×360°,S圆台侧=π(r+r')l,S圆台表=π(r2+rl+r'l+r'2).问题3:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.(1)V柱= ,其中S和h分别是柱体的底面积和高.特别地,V圆柱= ,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.(2)V锥= ,其中S和h分别是锥体的底面积和高.特别地,V圆锥= ,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.(3)V 台=(S++S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.特别地, V圆台=π(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.(4)V球=πR3.问题4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为;当台体上底放大为与下底相同时,台成为.因此只要分别令和便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.(S'、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高)1.圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为().A.πB.2πC.3πD.4π2.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于().A.2B.4C.6D.33.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为.4.一个底面直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面积.棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积已知棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.球的表面积与体积已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.简单组合体的表面积和体积如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°, AB=5, CD=2, AD=2.求四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个三棱锥C-A'DD',求三棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱锥O-ABCD的体积.牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少m2的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到0.01 )1.一个球的大圆面积为9π,则球的表面积和体积分别为().A.9π,27πB.9π,36πC.36π,36πD.36π,48π2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是().A.3πB.3πC.6πD.9π3.长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为.4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .1考题变式(我来改编):答案第4课时空间几何体的表面积与体积知识体系梳理问题1:(1)ch (2)ch' (3)(c+c')h'问题2:矩形周长扇形母线扇环上底周长下底周长问题3:(1)Sh πr2h(2)Sh πr2h问题4:锥柱S'=S S'=0基础学习交流1.C∵l==2, =πr(r+l)=π(1+2)=3π.2.C设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则c=1,ab=2,·c=,=2(ac+bc)=6.∴a=2,b=1,故S侧3.R3设圆锥的底面半径为r,则有πR=2πr,所以r=,所以圆锥高为R,所以=π()2·R=R3.V圆锥4.解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为R,圆柱底面半径为r.则V=πr2h=πR3,R==12.所以球的表面积S=4πR2=4π×144=576π(平方厘米).重点难点探究探究一:【解析】如图,四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点,则SE⊥AB.SE===,∴S侧=4S△SAB=4××AB×SE=2×5×=25,∴S表=S侧+S底=25+25.易知四棱锥的高SO===.∴V=S底h=×25×=.【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直角梯形,将立体问题转化为平面问题解决.探究二:【解析】设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,如图.由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM,连接O1A.设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O 1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O 1A=O1C,∴=-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S 球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.探究三:【解析】过点C作CE⊥AB交AB于点E,将四边形ABCD绕AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台与△CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体.由图计算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,=π·AD2+π(CE+AD)·CD+π·CE·BC=24π+12π;∴S表∴V=π(CE2+CE·AD+AD2) AE+πCE2·BE=π.【小结】首先根据旋转的图象,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求表面积和体积.思维拓展应用应用一:已知长方体可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',设它的底面ADD'A'的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而三棱锥C-A'DD'的底面面积为S,高是h,因此,三棱锥C-A'DD'的体积V C-A'DD'=×Sh=Sh.剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.所以三棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.应用二:如图,连接AC,BD交于点O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO⊥面ABCD,1易求得O 1C=2,又OC=4,∴OO1==2,∴棱锥体积V=×6×2×2=8.应用三:上部分圆锥体的母线长为, 其侧面积为S 1=π××,下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8.S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2).所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约50.03m2的篷布.V=π×()2×1.8+×π×()2×1.2=35.325+7.85≈43.18(m3).这个蒙古包占的体积约为43.18(m3).基础智能检测1.C由球的大圆面积为9π,得到球的半径R=3,∴S表=4πR2=36π,V=πR3=36π.2.A设底面圆半径为r,则(2r)2=,∴r=1,母线l=2,∴S底=πr2=π,S侧=πrl=2π,∴S表=3π.故选A.3.6设长方体的三边长为a,b,c,则则V=abc==6.4.解:设圆台的上底半径为r,下底半径为R.由图知母线l=8,2πr=×16,2πR=×24,所以r=2,R=3,S侧=π××8=40π,所以S表=π×22+π×32+40π=53π,h===3,所以V=(4π++9π)×3=19π.全新视角拓展由题意知,三棱锥F-ADE与三棱柱A1B1C-ABC的高之比为,底面积之比为,故V1∶V2==.思维导图构建S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r+r')l V圆柱=πr2h V圆锥=πr2h V圆台=πh(r2+r'+r'2)S球=4πR2。
人教版数学高一-高中数学必修2导学案 1.3空间几何体的表面积和体积(4)
第一章第三节空间几何体的表面积和体积（4）一、温故思考【自主学习·质疑思考】1. 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么球的表面积为_____,体积为______.球的性质:(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（如上左图）(2)讨论：（１）若d=0则r=R.这时截得的圆叫______；（２）若0<d<R,则这时截得的圆叫______；（３）若d=R，则r=0，和球只有一个公共点，此平面与球_____。
二、新知探究【合作探究·展示能力】.1.如果一个长方体的一个顶点上的棱长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是，体积是。
2.如果是一个球在棱长是4的正方体内，且和正方体的八个面都相切，那么这个球的表面积是，体积是3.如果一个球和棱长为4的正方体的八条棱都相切，那么这个球的表面积是，体积是题目：求棱长为a的正四面体的外接球与内切球的半径外接球半径______ ，内切球半径______.检测练习：例题.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？三、总结检测【归纳总结·训练检测】◆挑战题1.三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( B )A.1倍B.C.2倍D.3倍2.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的表面积为__400___cm2.合作探究：教师点拨：四、作业项目【课外作业·开展项目】书面作业：★课后习题37页复习题B组第3、4题小题写在作业本上。
同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上。
预习下一课时《空间点、直线、平面之间的位置关系》。
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1.3 《柱体、锥体、台体的表面积》导学案
【学习目标】
1.通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积和侧面积的求法；
2.了解柱、锥及台体的表面积和侧面积计算公式，能运用柱、锥及台体的有关公式进行计算和解决实际问题；
3.培养学生空间想象能力和思维能力.
【重点难点】理解计算公式的由来；运用公式解决问题
【学法指导】互动合作
【知识链接】空间图形的模具=
【学习过程】
一.预习自学
空间几何体的表面积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是，也就是；它们的侧面积就是 .
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积、侧面积
圆柱的侧面展开图是，长是圆柱底面圆的，
宽是圆柱的
设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则
S
圆柱侧= S
圆柱表
=
圆锥的侧面展开图为，其半径是圆锥的，弧长等于，设为r圆锥底面半径，l为母线长，则
侧面展开图扇形中心角为，
S
圆锥侧= ，S
圆锥表
=
圆台的侧面展开图是，其内弧长等于，外弧长等于，设圆台的上底面半径为r, 下底面半径为R, 母线长为l, 则
侧面展开图扇环中心角为，
S
圆台侧= ，S
圆台表
=
二.典型例题
题型一：空间几何体的侧面积和表面积的求法
例1.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其侧面积和表面积.
变式训练：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积和表面积.
题型二：侧面展开、距离最短问题
例2.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1木块上，有一只蚂蚁从顶点A 沿着表面爬行到顶点C 1，求蚂蚁爬行的最短距离？
变式训练：
圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，圆柱的侧面上从A 到C 的最短距离为 C
D B
A
三.课堂检测
1.正四棱锥S-ABCD 各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积.
2.三棱锥P-ABC 的侧棱长均为1，且侧棱间的夹角都是400，动点M 在PB 上移动，动点N 在PC 上移动,求AM+MN+NA 的最小值.
四.归纳小结
柱体、椎体、台体的表面积：
1、圆柱、圆锥、圆台
（1）圆柱)(2l r r S +=π
（2)圆锥)
(222rl l r r r S +'++'=π
(3)圆台)(l r r S +=π
2、棱柱、棱锥、棱台展开图各面积之和。
3、所用的数学思想：空间问题转化成平面问题
1.3 空间几何体的表面积与体积答案
二.典型例题
例1. 120S =侧 1203
S =+表 4V =
变式训练：600S π=侧 1100S π=表 7033
V = 例2. 36S π=表 36V π= 变式训练：2563V π=
例3.
例4. 32
S +=表 1 6V ＝ 变式训练：C
例5. （1）27π（2）
92π 变式训练：1.3 2. 32S π=外 ，6S π=内 四.课堂检测
1.S =侧25S =表 V =
2. 3. 4.D 5. 6.C
五.课外作业
1. 2. 3.4 4.A 5.B 6.A 7.D 8.26R π 32R π 9. 20π
10.
= 11.(1)与正视图一样 （2）64000cm 3。