一个具有竞争关系的Lotka_Volterra模型全局结构分析

对种间竞争中的Lotka-Volterra模型的理解

对种间竞争中的Lotka-Volterra 模型的理解竞争，这一自然法则，不论是在人类社会，还是在自然世界，都是普遍存在的。

竞争也是生物学家一直研究的一个课题，从达尔文在《物种起源》中提到“物竞天择，适者生存”的概括性阐述，再到lotka-volterra 模型的提出乃至后来的发展，人类对竞争的了解也越来越微观、理性。

在这篇文章中，主要是阐述本人对种间竞争中的Lotka-Volterra 模型的理解。

20世纪40年代，美国学者Lotka （1925）和意大利学者Volterra （1926）分别独立的提出了描述种间竞争的模型，奠定了种间竞争关系的理论基础，这个模型对现代生态学理论的发展有着重大影响。

一、Lotka-Volterra 模型假定：两个物种，单独生长时其增长形式符合Logistic 模型，方程为物种1： dN1 / d t = r 1 N1 (1- N1/K1 )物种2： dN2 / d t = r 2 N2 (1- N2/K2 )(1-N/K)项可理解为尚未利用的“剩余空间”项，而N/K 是“已利用空间项”。

即：当两物种竞争或共同利用空间时，已利用空间项除N 1外还要加上N 2，即：式中：α是种2的一个个体对种1的阻碍系数（竞争系数） β是种1的一个个体对种2的阻碍系数。

α和β是物种2和物种1的竞争系数，其和环境容纳量K1和K2决定两个种的竞争结果或者说:α表示每个N2个体所占的空间相当于α个N1个体;β表示每个N1个体所占的空间相当于β个N2个体。

若α=1，每个N2个体对N1种群产生的竞争抑制效应，与每个N1对自身种群所产生的相等；若α＞1，物种2的竞争抑制效应比物种1（对N1种群）的大；若α＜1，物种2的竞争抑制效应比物种1（对N1种群）的小；β同理。

（a ）图表示物种1的平衡条件① 全部空间为N1所占，即N1=K1，N2=0；② 全部空间为N2所占，即N1=0，N2=K1／α；两端点连线代表所有的平衡条件。

lotka-volterra模型的假设

lotka-volterra模型的假设
Lotka-Volterra模型，又称为Lotka-Volterra方程或LV方程，是一组描述两个或两个以上相互竞争或相互捕食的种群动态的微分方程。

这个模型由意大利科学家Vito Volterra和Albert Lotka在20世纪初独立提出，用于分析生态学中的种群增长问题。

Lotka-Volterra模型基于以下几个基本假设：
1. 种群恒定：假设每个种群的个体数量在短时间内保持恒定，即出生率和死亡率在短期内平衡。

2. 密度无关：假设种群的增长率与种群密度无关，即种群的增长不受密度效应的影响。

3. 资源充足：假设生态系统中的资源（如食物、空间等）是充足的，不会成为限制种群增长的因素。

4. 没有迁移：假设种群之间没有个体的迁移，每个种群都是封闭的。

5. 没有疾病和天敌：假设没有疾病和天敌的影响，即种群的生存率是100%。

6. 指数增长：假设种群的增长遵循指数增长规律，即每代的增长率是恒定的。

7. 二维生态位：假设种群之间存在生态位分化，每个种群占据一个生态位，相互之间不存在竞争。

Lotka-Volterra模型简化了实际的生态过程，因此在应用时需要谨慎，并考虑到模型假设与实际情况之间的差异。

在现实世界的生态系统中，这些假设往往并不完全成立，因此Lotka-Volterra模型通常需要通过实验数据进行校正，或者与其他生态模型结合使用，以更准确地描述种群动态。

Lotka-Volterra模型

20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra （1926）奠定了种间竞争关系的理论基础，他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。Lotka-Volterra模型（Lotka-Volterra种间竞争模型）是对逻辑斯蒂模型的延伸。现设定如下参数：
N1、N2：分别为两个物种的种群数量
K1、K2：分别为两个物种的环境容纳量 r1、r2 ：分别为两个物种的种群增长率
依逻辑斯蒂模型有如下关系： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1）其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利用空间项”），则（1-N/K）可以理解为尚未利用的空间（称为“未利用空间项”）当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还应该加上N2种群对空间的占用。则： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1 - αN2 / K1） ——（1）其中，α：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用的空间相当于α个N1个体所占用空间。则有，β：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有： dN2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - βN1 / K2） ——（2）
何为平衡呢，就是N1和N2种群的数量都不发生变化，即： 1/dt = r1 N1（1 - N1/K1 - αN2/K1）= 0 ———（1） 2/dt = r2 N2（1 - N2/K2 - βN1/K2）= 0 ———（2）满足两个方程时，两种种群平衡，则显然焦点既是平衡点。那么，对于结果1和结果2，两个种群的平衡线没有焦点，则不可能达到平衡，总是有一方最终被完全排挤掉。结果3虽然存在一个平衡点，但是很不稳定，只要自然条件的微小波动造成偏离平衡点，那么其中占优的一方就会最终取得生存竞争的胜利。结果4是一个稳定的平衡，无论N1和N2种群数量的组合（N1，N2）落在直角坐标系内哪一区域，最终都将使得N1 种群和N2种群的数量趋向平衡点

基于LotkaVolterra模型的中国农村金融市场竞争关系分析

（3）竞争主体的动态变化趋势与其自身属性和外部环境有关。某些竞争主体可能具有较好的成长性，能够在竞争中逐渐获得优势；而另一些竞争主体则可能因为各种原因出现衰退迹象，导致市场份额逐渐缩小。
结论
本次演示基于Lotka-Volterra模型对中国农村金融市场的竞争关系进行了分析。结果表明，农村金融市场的竞争关系具有动态变化和复杂性等特点。各竞争主体在竞争中呈现出不同层次和不同类型的竞争关系，且其动态变化趋势与自身属性和外部环境密切相关。为提高农村金融市场的竞争水平，应以下几个方面：
LotkaVolterra模型分析
Lotka-Volterra模型在生态学领域被广泛应用于物种竞争关系的分析。本次演示借鉴该模型，对农村金融市场的竞争关系进行探讨。根据Lotka-Volterra模型的基本原理，我们可以将农村金融市场上的竞争关系视为两个物种之间的竞争。假设有两个竞争主体A和B，A的种群数量为x1，B的种群数量为x2。
三、利率与农村金融市场
利率作为资金的价格，对金融市场的运行起着重要的调节作用。在中国农村小额信市场中，利率的高低直接影响到农村金融机构的运营成本和盈利能力。高利率可能会吸引更多的资金进入市场，但同时也可能增加借款人的负担，增加违约风险。
四、竞争合作与农村金融市场
在农村金融市场中，竞争与合作是推动市场发展的重要动力。竞争可以促使金融机构提高服务质量和效率，降低成本，从而为农民提供更优质的金融服务。而合作则可以实现资源共享，降低运营风险，提高整体的盈利能力。
总结来说，信任、利率和竞争合作是中国农村小额信贷市场中的关键要素。理解并利用好它们之间的关系，对于促进中国农村金融市场的健康发展具有重要意义。未来我们应更深入地研究这三者之间的作用机制和影响效果，以推动我国农村金融市场的持续、稳定和繁荣发展。

集群企业竞争演化的Lotka-Volterra模型及其对策研究

介机构的引导作用等。关键词：ＬｔＶｌｒ模型；集群企业；竞争演化；演化对策ｏｋａ— ｏｅｒｔａ中图分类号：Ｆ２．２４９文献标识码：Ａ
１集群企业竞争演化的理论诠释
竞争是市场运行的基础，也是集群企业生存和发展的重要动力。从学理层面考察，完全竞争虽然能够满足经济学中的福利最大化定理，但也会造成福利损失，由于完全竞争难以促进创新和技术进步，可能引发消费的单一化，不可能满足消费者对多样化的需求。此外，集群企业竞争演化不仅包括理论模型中的产品竞争，还包括对资源的争夺。新古典经
图１集群企业竞争演化Hale Waihona Puke 的生命周期与风险模型
甚至会走向毁灭。
产业集群与竞争不能共存的观点主要是着眼于集群与外界的竞争，集群与集群外的企业相比，自然有相当的垄断力
争，能够降低企业的垄断力，尤其是在中小企业集群中，企业规模变小和企业功能减少，企业之间竞争更加激烈，导致完全竞争的出现。有学者对集群的生命周期现象进行深入研究，认为，完全竞争的集群企业演化难以长期维持。ＴｃｙＧ（９７ｉｈ１９）借鉴佛农的产品生命周期理论，从时间维度考察了集群企业的竞争演化问题，将集群生命周期划分为起源期、增长期、成熟期和衰退期，如下图１所示。如图１可见，集群企业竞争演化存在许多风险，如企业间更多的是模仿性活动和恶性竞争、打价格战、过度投资等，集群在成长期可能过早夭折而不能进入成熟期；在成熟期可能快速消亡，产业链同一环节上的若干企业经营活动模仿性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性【摘要】本文探讨了Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性问题。

首先介绍了竞争扩散系统的基本原理，然后分别定义和描述了边界平衡点和正平衡点的性质。

接着阐述了行波解的概念，并重点讨论了连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性。

探讨了存在性分析的意义，并展望了进一步的研究方向。

本文通过理论分析和数值模拟，深入探究了竞争扩散系统中行波解的存在性，对于生态学和数学建模领域具有重要的理论意义和应用价值。

【关键词】Lotka—Volterra竞争扩散系统、边界平衡点、正平衡点、行波解、存在性分析、研究展望1. 引言1.1 研究背景在生态学领域，竞争扩散系统是一种重要的研究对象，其中Lotka—Volterra模型是经典的描述种群竞争关系的数学模型。

竞争扩散系统可以模拟不同种群之间的竞争和扩散过程，揭示种群数量和空间分布之间的动态关系。

在实际生态系统中，种群之间的竞争和扩散是普遍存在的现象，对于生态系统的稳定性和可持续发展具有重要意义。

研究Lotka—Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性，不仅可以加深我们对生态系统动态特性的理解，还可以为生态系统的管理和保护提供理论指导。

在实际应用中，行波解的存在性分析可以为预测种群扩散和竞争的趋势提供参考，为生态环境的健康和生物多样性的维护提供科学依据。

探究Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，具有重要的理论和应用意义。

1.2 研究目的研究目的是探讨在Lotka—Volterra竞争扩散系统中连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性问题。

具体来说，我们的目的包括以下几点：1. 确定竞争扩散系统的基本原理，深入理解系统内各种影响因素之间的相互作用关系，从而为后续研究奠定基础。

2. 研究和探讨边界平衡点和正平衡点在竞争扩散系统中的定义和性质，分析它们在系统中的作用和重要性。

基于生态学Lotka-Volterra模型的企业竞争模型分析

基于生态学Lotka-Volterra模型的企业竞争模型分析作者：李一帆吴英垲颜贤斌来源：《商场现代化》2019年第07期摘要：企业生态系统中，竞争关系是企业生存必须面对的企业种间关系之一。

本文运用生态学的理论及方法，以集合论观点定义企业生态系统中的竞争关系，运用生态学Lotka-Volterra竞争方程对企业竞争进行分析，并提出该分析对企业竞争策略的启示。

关键词：生态学;企业生态学;企业竞争经济系统中的大小企业与自然中的万物十分相似。

企业必须依附于一定层次的经济系统才能存活，它们在特定的经济环境中摄取各类资源满足自身发展，同时也与经济系统中的其他经济单位进行着产品、资金、技术等各类资源的交换。

运用生态学理论及方法研究企业竞争关系，对企业科学地应对竞争有着指导意义。

一、企业种间关系生态系统中的两个种群之间存在着相互影响和互不干扰两种关系（尚玉昌，2010：173）。

基于企业仿生观点，企业种间关系也可以得到类似生物种間关系的描述（如下表）。

为更直观地描述这种关系，我们用加号（+）表示有利，用减号（-）表示有害，用0表示无利无害。

二、企业竞争关系及模型分析在集合论观点下，企业生态位是保证企业生存和发展的资源、环境要素的集合。

每个企业独有的企业生态位使企业间的竞争成为必然。

1.企业竞争关系及分类设两个企业的生态位为X1和X2，环境要素作为企业外部影响变量不做讨论。

当X1∩X2≠时，两企业在生存和发展中定会产生相互作用，他们在生态位交集间的相互作用称为竞争（杨忠直，2003）。

在二者交集中，某一企业利用资源量的增加使其利润增加，而另一企业利润减少。

企业种群间的竞争关系可以分为：（1）干扰竞争：某企业（种群）通过直接行为排斥另一个企业（种群），使其无法获得发展所需的资源;（2）利用竞争：某企业（种群）所需资源另一企业（种群）同样需要，但二者在资源争夺的过程中不发生直接接触（李金津，2011）。

2.企业竞争关系模型分析生态系统中的种群增长都是有限的，种群数量的扩大受到食物、空间等资源的限制，也受其他生物的制约。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述种群竞争和迁移的数学模型，它由Alfred J. Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出。

这个系统描述了两个不同种群在空间中的竞争和扩散的动态过程，对于了解生态系统中物种之间的相互作用具有重要意义。

在Lotka-Volterra竞争扩散系统中，连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性是一个重要问题，对于我们理解这个系统的稳定性和动态行为具有重要的意义。

让我们来了解一下Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本形式。

该系统的基本描述是由一对常微分方程组成，考虑两个种群的竞争和扩散过程。

假设有两个物种，分别用u(x, t)和v(x, t)表示它们在空间位置x和时间t上的密度。

那么Lotka-Volterra竞争扩散系统可以用如下的方程描述：∂u/∂t = d₁∇²u + r₁u(1 - u - α₁v)∂v/∂t = d₂∇²v + r₂v(1 - v - α₂u)d₁和d₂分别表示两个种群的扩散系数，r₁和r₂分别表示两个种群的增长率，α₁和α₂表示两个种群之间的竞争系数。

这个系统描述了种群的扩散和竞争，其中扩散项描述了种群在空间中的迁移，而竞争项描述了种群之间的相互作用。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解是指在这个系统中，当种群的密度在空间和时间上变化时，存在一种特殊的解，它以一定的速度向着某个方向传播，并且在这个速度下保持稳定。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性意味着在这个系统中，存在着一种特殊的动态行为，种群可以在空间中形成稳定的结构，即使在竞争和扩散的作用下也能够维持一定的稳定形态。

关于连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性，已经在过去的研究中得到了一些结论。

一些研究表明，在一些特定的参数范围内，Lotka-Volterra竞争扩散系统确实存在连接边界平衡点和正平衡点的行波解，而这些行波解对于了解种群的空间动态行为具有重要的意义。

具有竞争种群的Lotka-Volterra微分代数模型的复杂性分析

具有竞争种群的Lotka-Volterra微分代数模型的复杂性分析牛宏;王一丹;王贺【摘要】研究了 Lotka-Volterra食饵-捕食生物模型,考虑当捕食者数量过多时引入与捕食者形成一种简单竞争关系且不具有捕食食饵能力的物种来抑制捕食者的增长,根据守恒关系建立微分代数生物系统模型.然后,应用微分代数系统的稳定性分析方法和相关判据,讨论参数在一定范围内变化时生物模型稳定性问题.最后,结合分析结果应用 Matlab软件对模型进行数值仿真.仿真结果表明,系统在参数取某一定值时出现极限环,所建立的微分代数生物系统模型产生复杂的非线性动力学现象.%The Lotka-Volterra predator-prey biological model is mainly studied in this paper by introducing the new population which has no ability to prey the other population to form a simple competition between predator and prey when the number of predators is excessive.Based on above condition,differential algebraic biological model is established according to the conservation.Then,the stability of biological model is discussed when the parameters change in a certain range by applying the stability analysis method and the related criteria of differential algebraic system.Finally,the model is the simulated numerically by considering the results of the analysis and using the Matlab software,and the simulation results show that the system has a limit cycle when the parameters vary a certain value,which proved that the complex nonlinear phenomena exist in the differential algebraic biological model.【期刊名称】《辽宁石油化工大学学报》【年(卷),期】2018(038)002【总页数】4页(P90-93)【关键词】微分代数模型;极限环;稳定性;Lotka-Volterra食饵-捕食系统【作者】牛宏;王一丹;王贺【作者单位】辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学化学化工与环境学部,辽宁抚顺113001【正文语种】中文【中图分类】O175.12Lotka-Volterra模型是生物学领域较为经典的模型，由美国生物学家、数学家A.Lotka于1925年首先独立提出，适用于两个互相作用种群的动力学系统。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，它由Alfred Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出，并被广泛应用于生态学、生物学和数学领域。

在生态系统中，不同种群之间存在着资源的竞争和空间的扩散。

这种竞争扩散系统的动力学特性对生态系统的稳定性和多样性具有重要影响。

在过去的研究中，人们主要关注于Lotka-Volterra竞争扩散系统内部正平衡点的存在性和稳定性，但对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性研究相对较少。

本文将重点讨论Lotka-Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，探讨这一问题在生态系统稳定性和多样性中的重要意义。

我们将介绍Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型和数学表达式，然后分析连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，最后讨论这一研究对生态学和数学的意义和应用。

1. Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型Lotka-Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，其基本形式可以表示为：\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_u\Delta u+ru(1-\frac{u}{K})-auv\\\frac{\partial v}{\partial t} = d_v\Delta v+sv(1-\frac{v}{L})-buv\end{cases}u和v分别表示两个种群的密度，t表示时间，d_u和d_v表示扩散系数，r和s分别表示种群的增长率，K和L分别表示种群的最大容纳量，a和b分别表示种群之间的竞争强度。

上式中的第一项表示扩散项，第二项表示种群的自我增长，第三项表示种群之间的竞争作用。

这个模型描述了种群在空间中的扩散和竞争，可以用来研究生态系统中种群的动态演变和空间分布。

基于Lotka-Volterra种间竞争模型的能源产业竞争系统及实证分析

污染能源产业和清洁能源产业。污染能源产业主要包括石油、煤炭等行业，清洁能源产业主要包括天然气、水电和风能、生物能、核能等新能源行业。分别取污染能源产业和清洁能源产业的累积产量表征它们的规模量。
行实证检验分析。
［关键词］能源产业；竞争系统；Ｌｔａｏｅａ间竞争模型ｏ —Ｖｌｒ种ｋｔｒ
ＡｂｔａｔｎｔｉｐｐｒｈｕｏｉｌｄａｃｓｔｅｃｍｐｔｉｎｍｄｌｆｅｅｅｇｎｕｔｅｙｍｏｉｉｈＪｌｓｃ：Ｉｈｓａｅ．ｔｅａｔｒｍａｎｙａｖｎｅｈｏｅｉｏｏｅｎｒｙｉｄｓｉｓｂｄｆｎｔｅＩｔａ— Ｖｈｒａｍｏｅ．Ｔｅｒｈｔｏｔｈｒｙｇ０【ｏｅｒｄ１ｈ
种２的相应的环境的容纳量；１ｋ和ｌｋ分别反映了物种１／／２和物种２的种内竞争强度；ｎ和ｒ是内禀系数；ａ是度量物２１２种１对物种２影响的竞争系数，而ａ则是度量物种２２对物种１
影响的竞争系数。由于生物体和企业的相似性，在经济领域，ｏａｏｅａＬｔ —Ｖｈｒｋｒ
种间竞争模型常用于分析市场上普遍存在的竞争关系，尤其是企业之间。本文主要在对Ｉ —Ｖｈｒ种间竞争模型改进和Ｊａｏｅａ０ｒ扩展的基础上建立能源产业竞争系统模型并进行实证分析。
２２能源产业竞争动力系统模型．２２１变量说明．．如本文引言所述，能源产业根据污染程度可划分为两类：

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性1. 引言1.1 背景介绍Lotka—Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中物种之间相互作用的数学模型，它结合了Lotka—Volterra竞争模型和扩散方程，能够更全面地描述物种之间的竞争和扩散行为。

在生态学中，理解物种之间的竞争对于生态系统的稳定和演化具有重要意义。

研究Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，对于深入理解生态系统动态过程具有重要意义。

在过去的研究中，人们已经开始对Lotka—Volterra竞争扩散系统进行了一些探究。

对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，仍然存在一定的研究空白。

本文旨在通过数学模型分析和数值模拟的方法，探讨Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，以期为生态系统动态过程的理解提供新的视角和研究途径。

1.2 研究目的本研究旨在通过探讨Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，深入理解这一系统在生态学领域的重要性和影响。

具体而言，我们的研究目的包括以下几个方面：2. 探究正平衡点行波解的存在性：分析在系统中是否存在正平衡点行波解，并研究其在生态学中的实际意义和应用价值。

3. 提出数学模型分析和数值模拟方法：通过建立相应的数学模型和进行数值模拟，揭示系统的特征和行为规律，从而更好地理解Lotka—Volterra竞争扩散系统的内在机制。

通过对以上研究目的的探讨和实证分析，本研究旨在为生态学领域的相关研究提供新的理论和方法支持，促进生态系统的可持续发展和管理。

1.3 文献综述在过去的几十年中，关于Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性的研究取得了一系列重要进展。

许多学者对这一领域展开了深入的探讨，提出了许多重要的理论和结论。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性1. 引言1.1 研究背景研究如何将Lotka-Volterra竞争扩散系统与边界条件结合起来，探讨边界平衡点和正平衡点的性质以及它们之间的连接行波解的存在性是一个具有挑战性和重要意义的课题。

通过对这些问题进行深入研究，不仅可以丰富我们对竞争扩散系统的理解，还可以为生态学和地理学领域提供新的理论基础和实际应用价值。

本文旨在探讨Lotka-Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性问题，为相关领域的研究提供新的思路和方法。

1.2 研究目的本文旨在探讨Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

具体地，我们将通过对系统中边界平衡点和正平衡点的定义和性质进行分析，揭示它们之间的联系与特点。

我们希望能够证明在这样的竞争扩散系统中，存在连接边界平衡点和正平衡点的行波解。

通过对这一问题的研究，我们可以更深入地理解竞争扩散系统的演化过程，揭示其中蕴含的规律和机理。

这对于生态学和数学建模领域具有重要的理论意义，并且具有一定的应用价值。

通过揭示行波解的存在性，我们可以为解释生态系统中物种竞争与扩散的相互作用提供新的视角和方法，为未来研究提供新的思路和方向。

1.3 相关工作相关工作部分主要回顾了之前在Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解存在性方面的研究成果。

早期的相关工作主要集中在竞争扩散系统的理论分析和数值模拟方面，较少涉及到连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性证明。

Jin等人（2010）通过数值模拟研究了Lotka—Volterra竞争扩散系统中行波解的形成机制，但并未深入探讨存在性证明。

Li和Wang （2015）对竞争扩散系统中的边界平衡点和正平衡点行波解进行了理论分析，提出了一些重要的结论，但仍存在一些待解决的问题。

近年来，越来越多的研究者开始关注连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性证明问题。

种内竞争与种间竞争相互作用的Lotka-Volterra模型

种内竞争与种间竞争相互作用的Lotka-Volterra 模型Lotka-Volterra 模型（Lotka-Volterra 种间竞争模型）是logistic 模型（阻滞增长模型）的延伸。

现设定如下参数：N 1、N 2：分别为两个物种的种群数量 K 1、K 2：分别为两个物种的环境容纳量 r 1、r 2：分别为两个物种的种群增长率从逻辑斯蒂模型可以得知： dN 1/dt=r 1N 1（1-N 1/K 1）上式中：N/K 表示在某区域内的种群生活空间（即已利用空间项），那么（1-N/K ）就表示在该区域内种群生活没有涉及到的空间（即未利用空间项）。

如果不同物种的已利用空间项出现了重叠，那么“已利用空间项”还要将N2种群占用的空间计算在内，那么可以得到：dN 1/dt=r 1N 1（1-N 1/K 1-αN 2/K 1）（7）上式中，α代表物种2对物种1的竞争系数，也就是α个N 1个体所需要的生存空间和一个N2个体所需要的生存空间是相等的。

那么，β代表物种1对物种2的竞争系数，也就是β个N 2个体所需要的生存空间和一个N1个体所需要的生存空间是相等的。

则另有：dN 2/dt=r 2N 2（1-N 2/K 2-βN 1/K 2）（8）如我们所知：如果在某一区域能够容纳K 1个N 1种群数量时，那么该种群每个个体给种群数量上升产生的负面作用即为1/K 1；同样的道理，N2种群内各个体对自身种群的增长抑制作用是21/K 。

同时，由（1）、（2）方程和α、β的定义中可知： N2种群内各个体对N1种群的影响：1α/K N1种群内各个体对N2种群的影响：2β/K由此可见，当物种2可用于抑制物种1时，可得出，物种2对物种1的影响超过了物种2对本身的影响，也就是211/K >α/K 。

整理后得：K 2>K 1/α，同理有：物种2不能抑制物种1：K 2<K 1/α 物种1可以抑制物种2：K 1>K 2/β 物种1不能抑制物种2：K 1<K 2/β如此一来，竞争时，K1、K2、α以及β存在不同数值，便会造成下列四在N2种群达到怎样的密度之下，令N1种群能维持超过0水平，也就是说，各种群需要达到何种密度才将阻上止其他种群的增长？结论是，N2种群达到K1/α，N1就再也不能增长换言之，N1种群达到/βK2，N2便不再增长可以得到两个物种的各自的平衡线如下：叠合两平衡线，会得到四类结局：平衡指的是N1与N2的种群数量不会产生改变，也就是：N 1/dt=r1N1（1-N1/K1-αN2/K1）=0 （9）N 2/dt=r2N2（1-N2/K2-βN1/K2）=0 （10）合乎上述两个方程时，则种群之间达到平衡，焦点也就是平衡点。

随机Lotka-Volterra竞争系统下的市场结构的演进

随机Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ竞争系统下的市场结构的演进木
付桐林
（陇东学院数学与统计学院，７４５０００，甘肃省庆阳市）
摘要：避开市场处于均衡态的假设和边际成本等于边际收益的条件，研究了ｎ维具有Ｍａｒｋｏｖ转换的
的依据，并以此来确定市场结构．孔东民避开市场处于均衡态的假设和边际成本等于边际收益的条件，研究了Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒａ系统下市场结构的演进．这些研究都是借用确定性Ｌｏｔｋａ — Ｖｏｌｔｅｒｒａ系统对经济领域的问题加以讨论．事实上，当多种同类的竞争性产品投放市场后，会受到各种微小的随机因素的干扰，这些随机因素的来到时刻也具有很强的随机性．我们用Ｍａｒｋｏｖ链来描述这种突然地强度很大的随机干扰 ’ ，采用具有具有Ｍａｒｋｏｖ转换的Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ系统描述市场结构，这样更加贴近现实．
中图分类号：０２１１．６７
文献标识码：Ａ文章编号：１００１－５３３７（２０１３）０２－００４７－０４
１引言
Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒ近年来在经济研究中开始有所应用，Ｂｒａｎｄｅｒ和Ｔａｙｌｏｒ等 … 在一个简单的一般均衡体系下采用Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型讨论了社会文明的动态过程，Ｄｅｌｉｆｎｏ和Ｓｉｍｍｏｎｓ嵋利用Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｈｅｒｒａ系统研究了

基于Lotka-Volterra的微博群体竞争模型

ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒｍａｋｅｓａｌｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｍｉｃｒｏ—ｂｌｏｇａｎｄｓｐａｃｅｓｇｒｏｕｐｃｏｍｐｅｔｉｉｔｏｎ，ｒｅｆｅｒｒｉｎｇｔｏｔｈｅＬｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａｍｏｄｅｌｉｎｇａｐ — ｐｒｏａｃｈ．ＢａＲｄｏｎｈｅｔｍｉｃｒｏ－ｂｌｏｇｎｄａｓｐａｃｅＳｇｒｏｕｐｃｏｍｐｅｔｉｉｔｏｎｍｏｄｅｌ。ｔｈｅｐａｅｒｐｄｅｉｎｆｅｓｈｅｔｃｏｍｐｅｉｔｉｔｖｅｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｈｅｔｃｏｍｐｅｔ・ｉｉｔｖｅｎｅｓｓ，ｓｔｕｄｉｅｓｈｅｔｏｐｉｎｉｏｎｌｅａｄｅｒｓａｎｄｈｅｔＩｎｔｅｍｅｔｍａｒｋｅｔｅｒｓｃｏｍｐｅｉｔｉｏｔｎｍｏｄｅｌａｓｗｅｌｌａｓｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｈｅｔｍｏｄｅｌ＇ｓｅｑｕｉｌｉｂｉｕｒｍ。ａｎｄｉｌ — ｌｕｓｔｒａｔｅｓｈｅｔｆｏｕｒｃｏｍｐｅｉｔｉｔｖｅｍｏｄｅｌｓｏｆｍｉｃｒｏ —ｂｌｏｇｎｄａｓｐａｃｅｔｈｒｏｕｇｈｈｅｔＭＡＴＬＡＢｎｕｍｅｉｃｒｌａｓｉｍｕｌａｉｔｏｎ．Ａｔｌａｓｔ，ｓｔｒａｅｇｔｉｅｓｆｏｒｐｕｂｌｉｃＯ・ｐｉｎｉｏｎｓｏｆｈｅｔｍｉｃｒｏ— ｂｌｏｇａｌｅｃｏｎｃｌｕｄｅｄ．ｉｎ０ｒｄｃｒｔＯｐｒｏｖｉｄｅａｅｆｒｅｒｅｎｃｅｆｏｒｈｅｔｇｏｖｅｒｎｍｅｎｔｔＯｅａｒｌｉｚｅｉｃｍｍ— ｂｌｏｇｎｅｔｗｏｒｋｐｕｂｌｉｃｏｐｉｎｉｏｎ

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka—Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中不同种群之间相互作用的数学模型，它可以用来研究物种之间的竞争、捕食和共生关系。

在生态学中，该模型在探讨种群之间的竞争、扩散和边界效应方面具有重要的应用价值。

本文将讨论关于Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

我们来介绍一下Lotka—Volterra竞争扩散系统的基本形式。

通常情况下，该系统可以用如下的方程组来描述：\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_1\Delta u + r_1u(1-\frac{u}{K_1})-a_{12}uv \\\frac{\partial v}{\partial t} = d_2\Delta v + r_2v(1-\frac{v}{K_2})-a_{21}vu\end{cases}\]在这个方程组中，\(u\)和\(v\)分别代表两个种群的密度，\(t\)代表时间，\(d_1\)和\(d_2\)分别代表两个种群的扩散率，\(r_1\)和\(r_2\)分别代表两个种群的增长率，\(K_1\)和\(K_2\)分别代表两个种群的环境容量，\(a_{12}\)和\(a_{21}\)代表两个种群之间的竞争系数。

在这个模型中，我们可以发现扩散项对空间中种群密度的变化起着重要作用，而种群之间的相互作用则由竞争项和共生项来描述。

这种具有扩散和竞争的复杂关系使得该模型在描述生态系统中不同种群之间的相互作用时具有较强的适用性。

接下来，我们将讨论与Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

在实际生态系统中，通常会存在一些边界以及一些适宜生存繁衍的区域，我们将通过研究连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性来揭示生态系统中种群的空间分布规律。

基于Lotka-Volterra模型的社交平台的流量之争分析

I G I T C W技术分析Technology Analysis80DIGITCW2024.04随着信息技术的加速迭代，社交媒体平台开始步入全面勃兴的新阶段。

不同的社交平台之间存在竞争关系，而占用活跃用户数量越多的应用将会获得越多的市场份额，在市场中处于优势地位。

因此分析不同社交媒体之间的竞争关系，以期达到资源的合理利用是相当重要的。

1 预备知识一个经典的描述两个种群互相竞争的L o t k a -Volterra 模型为[1]（1）式中，分别表示种群x 和种群y 数量的净增长率，分别表示种群y 对x 和种群x 对y 的影响因子，分别代表环境资源容许的种群x 和种群y 的最大数x 和y 的种内作用系数。

2 模型建立2.1 单一社交软件情况根据Malthus 模型[2]，假设只考虑单一社交软件，而忽略不同社交软件之间的竞争，在没有限制的情况下，该社交软件的用户数量每年以一定的倍数增长，将此常数表示为r 。

在t 到t +Δt 时间内该社交软件的用户群体数量x =x (t )的增长量为：（2）满足微分方程：（3）在实际情况中，根据Logistic 模型[2]，由于用户规模总是受到政策、用户使用偏好等因素的限制，不可能呈现指数增长趋势，为此引入环境容量，用k 表示，此时，用户数量增长情况模式可修正为：（4）而在一定区域内所能提供的用户数量是有限的，即各个区域的市场大小是有限的，它也会影响这个社交软件用户规模的增长，为此再引入区域最大市场容量N ，得到：（5）式中，随着x 可知环境容量和区域市场对该社交软件用户规模的增长有阻滞效应，且为该模型的平衡点。

2.2 引入竞争社交软件的情况[3]在单一社交软件系统的情况下，再引入同类的竞争性社交软件，这两种社交软件分别表示为x 、y ，对它基于Lotka-Volterra模型的社交平台的流量之争分析凌世祎（东北大学秦皇岛分校数学与统计学院，河北秦皇岛 066099）摘要：文章以抖音与微信活跃用户数量作为研究对象，在Lotka-Volterra模型的基础上加以改进，建立抖音与微信社交软件平台之间的用户数竞争模型并进行全面的动力学行为分析，得出抖音和微信市场规模达到正平衡点可实现资源的合理利用，实现最大经济效益。

基于生态学Lotka-Volterra模型的企业竞争模型分析

其中，是种群瞬时增长量，r 是种群增长率，N 是种群大
小，是 logistic 系数。在 logistic 模型的基础上，引入两个或更多企业间的竞争系
数，构成 Lotka-Volterra 竞争方程。现有两个发生竞争的物种 1 和 2，它们各自的环境承载量为 K1 和 K（2 在不发生竞争的情况下），每个物种的增长率为 r1 和 r2，两个物种相互竞争时的增长情况
经营管理
基于生态学 Lotka-Volterra 模型的企业竞争模型分析
■李一帆吴英垲颜贤斌北京林业大学外语学院
基金项目：北京林业大学“国家级大学生创新创业训练计划”（项目编号：201810022060）
摘要：企业生态系统中，竞争关系是企业生存必须面对的企业种间关系之一。本文运用生态学的理论及方法，以集合论观点定义企业生态系统中的竞争关系，运用生态学 Lotka-Volterra 竞争方程对企业竞争进行分析，并提出该分析对企业竞争策略的启示。
一、企业种间关系
. Al生l态系R统ig中h的t两s个R种e群s之er间v存e在d.着相互影响和互不干扰两
种关系（尚玉昌，2010：173）。基于企业仿生观点，企业种间关系也可以得到类似生物种间关系的描述（如下表）。为更直观地描述这种关系，我们用加号（+）表示有利，用减号（-）表示有害，用 0 表示无利无害。
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经营管理
用微分方程描述如下：
以①式为例，作出以 NA 为 X 轴，NB 为 Y 轴的边界线图(图 1):
其中，12 和 21 为竞争系数，12 是物种 2 的竞争系数，表示物种 2 中的每个个体对物种 1 种群的竞争抑制作用；同理，21 是物种 1 的竞争系数，表示物种 1 中的每个个体对物种 1 种群的竞争抑制作用。

基于Lotka_Volterra模型的股指期货市场竞争分析

密度的上升 (下降 ) 对产品增长所造成的自身阻滞
(促进 ) 效应 ,由一阶条件可知 ,均衡点为 x ( t) = k.
再引入同类 (不要求无差异 ) 的竞争性产品 2, 显然 ,若不存在竞争 , 两种产品的扩散过程分别
长 ,当 x ( t) 与 k相等时 ,停止增长. 为简化起见 , 假定该阻力和 f ( x) 呈线性关系 ,用减去产品密度
的一个线性因子来描述产品的增长. 不失一般性 ,
令该因子为 rx ( t) / k.
因此 ,单一产品的扩散行为可表示为
x′( t) = rx ( t) ( k - x ( t) ) / k ≡ xf ( x) ( 1) 易知 , ( k - x ( t) ) / k = 1 - x ( t) / k表示产品
本文综述了关于相同或者相似标的物下的两个不同的金融衍生产品之间的竞争关系的研究以及 Lotka2Volterra模型在经济学方面的应用 ,给出两种竞争产品的扩散系统的 Lotka2Volterra模型 , 描述了本文所选取的样本和数据 ,并实证分析了摩根台指与台湾股指期货的竞争互动过程.
1 两种竞争产品的扩散系统模型
Abstract: China Financial Futures exchange is set up in Shanghai in 2006. The Singapore Ex2 change ( SGX) has launched FTSE Xinhua China A50 index futures before the launch of Shanghai2 Shen zhen 300 index futures. The early launch of FTSE Xinhua China A50 index futures may have an effect on Shanghai2Shenzhen 300 index futures, the competitive relations between Shanghai2Shen zhen 300 index futures and FTSE Xinhua China A50 index futures are concerned by all parties in the market. This paper investigates the competitive relations between SGX M SC I(Morgan stanley cap ital international indices) Taiwan index futures and TA IFEX ( Taiwan futures exchange) weighted index futures based on Lotka2Volterra dynam ic system model. The emp irical results show that two markets are more likely to be recip rocal at the beginning, and the competitive relations always change w ith competitive power of contracts and capacity of the market.