初二第5讲--图形变换与证明

第5讲 图形变换与证明
◆ 【基本考点、方法梳理】
◆1 图形的全等变换：对称翻折、平移、旋转
◆2 解决图形变换类问题关键要抓住变换前后各部分之间的等量关系，常与勾股定理、方程相结合；
◆3 注意全等基本模型的识别与运用：对称型、平移型、旋转型、叠合型；
◆ 几何中的最短距离问题基本原理：
（1）两点之间，线段最短； （2）垂线段最短；
（3）将军饮马问题---解决线段之和最小，线段之差最大；
◆4 猜想三条线段之间的数量关系主要类型有：
（1）和差关系---截长补短法； （2）倍分关系---关注特殊三角形中的边角关系；
（3）平方关系---构造直角三角形的边；（4）等积关系---相似
◆ 【考点题型1】---图形变换的有关计算
【例1】（13宁夏）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A α∠=，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转后得到EDC ∆，此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为 ．
2、（13铁岭）如图，在ABC ∆中，2AB =， 3.6BC =，60B ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到ADE ∆，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 ．
3、（13郴州）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点．将Rt ABC
∆沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的/B 处，则/
ADB ∠等于（ ） A 、25︒ B 、30︒ C 、35︒ D 、40︒
【例2】（1）AOC ∆沿x 轴向右平移得到OBD ∆，则平移的距离是 个单位长度；AOC ∆与BOD ∆关于直线对称，则对称轴是 ；AOC ∆绕原点O 顺时针旋转得到DOB ∆，则旋转角度可以是 度；
（2）连结AD ，交OC 于点E ，求AEO ∠的度数．
◆ 【考点题型2】---图形变换与最值问题
【例3】1、（13资阳）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，点D 是BC 边上的点，1CD =，将ABC ∆沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则PEB ∆的周长的最小值是 ；
2、Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B
的坐标为（3，点C 的坐标为（
12
，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA PC +的最小值为（ ）
A B 31 C 319+
D 、3、（湖北黄石）如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动
点，M N ，分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC ∆的周长是（ ） A 、2 B 、23 C 、4
D 、4+
4、（13沈阳）已知等边ABC ∆的高为4，该三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是
【例4】（12南充）在Rt POQ ∆中，4OP OQ ==，M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与Rt POQ ∆的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MB MA =
（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB ∆的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。

请说明理由。

A B C P M N
C1
◆【考点题型3】---三角形的有关计算与证明
【例5】1、如图，将ABC
∆沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①、//
EF AB且
1
2
EF AB
=；②、BAF CAF
∠=∠；③、2
BDF FEC BAC
∠+∠=∠，④、
=
ADFE
S
四边形
ABC
∆
2
1
；其中正确的个数是（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、1个
2、（13遂宁）如图，在ABC
∆中，90
C
∠=︒，30
B
∠=︒，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D。

下了说法：①、AD是BAC
∠的平分线；
②、60
ADC
∠=︒；③、点D在AB的中垂线上；④、:1:3
DAC ABC
S S
∆∆
=；其中正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、（淮安）如图，在Rt ABC
∆中，90
ABC
∠=︒，30
ACB
∠=︒，将ABC
∆绕点A按逆时针方向旋转15︒
后得到
11
AB C
∆，
11
B C交AC于点D，如果AD=ABC
∆的周长等于；
4、（13凉山）平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP
∆是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为；
5、（13龙岩）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y x
=上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）
A、2
B、3
C、4
D、5
◆【考点题型4】----创新中考
【例6】1、在A B C
∆中，BC
AC
AB,2
,3
2=
=
边上的高为3，则BC的长为；
图7
B 2、（13黔西南）如图7，已知AB
C ∆是等边三角形，点B 、C 、
D 、
E 在同一直线上，且CG CD =，D
F DE =，则_______A ∠=度。

3、（13温州模拟）将一副三角尺如图拼接：含30︒角的三角尺（ABC ∆
）的长直角边与含45︒角的三角尺（ACD ∆）的斜边恰好重合．已知AB =E 是AC 上的一点，当DE BE =时，AE 的长为 ；
【例7】（13烟台）已知，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．
（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
A B C M N
M N A B
C
望子成龙学校家庭作业（5）
姓名 作业等级
第一部分：
1、（13内江）把一块直尺与一块三角板如图放置，若140∠=︒，则∠2的度数为（ ） A 、125︒ B 、120︒ C 、140︒ D 、130︒
2、（13泰州）如图，ABC ∆中，6AB AC cm +=，BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，则ABD ∆的周长为 cm ．
3、如图，在ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，50A ∠=︒，16AB BC cm +=，则BCF ∆的周长和EFC ∠分别为（ ）
A 、16cm ，40︒
B 、8cm ，50︒
C 、16cm ，50︒
D 、8cm ，40︒
4、（13泰安）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 的
垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若
30F ∠=︒，1DE =，则BE 的长是 ．
第二部分：
5、已知：ABC ∆中，AB BC <，AC 的中点为M ，MN AC ⊥交ABC ∠的角平分线于N
（1）如图1，若60ABC ∠=︒，求证：3BA BC BN +=；
（2）如图2，若120ABC ∠=︒，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．。