江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

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【数学】江苏省南通第一中学2015届高三上学期期中考试

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）一、填空题：1.i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ．2.设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则 = ▲ ．3.已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：()//k +a b c 考点：向量平行的坐标表示4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5.函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．7.已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ．【答案】247- 【解析】试题分析：由题意得: 4cos 5α=，33sin 54αα=-，tan =-,22tan 24tan 2.1tan 7ααα==-- 考点：二倍角公式 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位.9.设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ．（填．充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件）10.已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝1()2x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲ 【答案】124【解析】试题分析：因为22+log 3(3,4)∈，所以2log 2422211(2+log 3)(3log 3)(log 24)()224f f f =+===考点：函数值11.在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113B A B C B D B A B C B D+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．【解析】试题分析：因为AB =DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为113BA BC BD BA BC BD+=，所以平行四边形ABCD为菱形，且120ABC∠=,因此sin120 3.ABCDS=考点：向量加法平行四边形法则12.给出下列四个命题（1）命题“x R∀∈，cos0x>”的否定是“x R∃∈，cos0x…”；（2）若2()21f x ax x=++只有一个零点，则1a=；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x，有()()f x f x-=，()()g x g x-=-，且当0x>时，()0f x'>，()0g x'>，则当0x<时，()()f xg x''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

【解析】江苏省南通市启东中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷Word版含解析

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= ．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．3．函数y=定义域．（区间表示）4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= ．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为．10．函数f（x）=1﹣的最大值是．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为．（用区间表示）14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= {x|2＜x＜3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= 4 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先由B⊆A知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可．解答：解：已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，即集合B是集合A的子集．则实数m=4．故填：4．点评：本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．3．函数y=定义域（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．（区间表示）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣2且x≠﹣1，即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= 0 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式，进行转化即可．解答：解：∵f（1﹣x）=x2，∴f（1）=f（1﹣0）=02=0，故答案为：0点评：本题主要考查函数值的计算，比较基础．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为15 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．解答：解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为（﹣∞，] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=﹣+，可得函数的增区间．解答：解：由于函数f（x）=x（1﹣x）=﹣+，故函数的增区间为（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论．解答：解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1），∴，∴．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．点评：本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为 3 ．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：先根据f（x）在[1，b]上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b ﹣1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案．解答：解：∵函数的定义域和值域都是[1，b]，且f（x）在[1，b]上为增函数，∴当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b﹣1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），∴b的值为3，故答案为：3．点评：本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在[1，b]上的单调性求解．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为0或1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．解答：解：当k=0时，A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时，要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1点评：本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．10．函数f（x）=1﹣的最大值是 1 ．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由观察法可直接得到函数的最大值．解答：解：∵≥0，∴1﹣≤1，即函数f（x）=1﹣的最大值是1．故答案为：1．点评：本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围[0，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．点评：本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．解答：解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴，即，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2] ．（用区间表示）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出当x∈[0，2]时，解集为（1，2]，再由函数的奇偶性求出当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，即可求出不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集．解答：解：当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1＞0，即有x＞1，解集为（1，2]，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，综上所述，不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2]，故答案为：解集为（1，2]．点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题．14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意确定函数的解析式为f（x）=，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．解答：解：由 2x﹣1≤x﹣1 可得 x≤0，由 2x﹣1＞x﹣1 可得 x＞0．∴根据题意得f（x）=．即 f（x）=，画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．再根据函数的极大值为f（）=，可得m的取值范围是（0，），故答案为（0，）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；分类讨论．分析：已知B⊆A，分两种情况：①B=∅，②B≠∅，然后再根据子集的定义进行求解；解答：解：显然集合A={﹣1，1}，对于集合B={x|ax=1}，当a=0时，集合B=∅，满足B⊆A，即a=0；当a≠0时，集合，而B⊆A，则，或，得a=﹣1，或a=1，综上得：实数a的值为﹣1，0，或1．点评：此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意B=∅，这种情况不能漏掉；16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明．解答：解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，，故f（x）=，定义域是R，设任意x，则，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）先设月产量为x台，写出总成本进而得出利润函数的解析式；（2）分两段求出函数的最大值：当0≤x≤400时，和当x＞400时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可．解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：先求出集合A与集合B，从而求出A∩B，讨论a的正负，根据条件C⊆A∩B建立不等关系，解之即可．解答：解：依题意得：A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞1或x＜﹣3，}∴A∩B={x|1＜x＜4}（1）当a=0时，C=Φ，符合C⊆A∩B；（2）当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆A∩B，则，解得：1≤a≤2；（3）当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，∵a＜0，C∩（A∩B）=Φ，∴a＜0不符合题设．∴综合上述得：1≤a≤2或a=0．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．解答：解：（1）二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以故答案为：①当t=1时，②当0＜t＜1时，③当1＜t＜2时，④当t＜0时，⑤当t＞2时，（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，③当t＞2时，点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由单调性易求f（x）max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）f（x）＜f（x2），由函数单调性性质知，x＜x2，而﹣1≤x≤1，﹣1≤x2≤1故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0}．（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由f（x）在[﹣1，1]上的单调递增知，f（x）max=f（1）=2，所以2≤2m2﹣2am+3，即0≤2m2﹣2am+1，又对a∈[0，]恒成立，则有，解得m≤或m≥1，故实数m的取值范围为m≤或m≥1．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．。

数学上学期期中试题-南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试数学试题及答案卷高三(理)

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ． 2．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则M⋂N = ▲ ．3．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ▲ ．4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5．函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．．7．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位。

9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ．（填．充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件）10．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲11．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ． 12．给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若角135°的终边上有一点(一4，a )，则a 的值是 ▲ ．42．若()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π，其中0>ω，则ω的值是 ▲ ．23．化简：sin13cos17sin17cos13︒︒+︒︒= ▲ ．124．已知向量(14,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ▲ ．4π 5．已知sin tan 0θθ⋅<,那么角θ是第 ▲ 象限角.二或三6．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=-a b a b ，则n = ▲ ．2- 7． ()()1tan11tan 44+︒+︒的值为 ▲ ．28．下把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的函数图象解析式为f (x )=▲ ．3sin 2x9．函数在()sin f x x a =-，[,]3x ππ∈上有2个零点，则实数a 的取值范围 ▲ ． 10．已知函数()sin tan 1f x a x b x =++，满足()73f π=，则()3f π-= ▲ ．-511. 在ΔABC 中，有命题：①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形； ④若ΔABC 为直角三角形，则0AC AB ⋅=. 上述命题正确的是 ▲ （填序号）．②③12．已知函数tan 2xy =则函数的定义域是 ▲ ．{}44x x x π-≤≤≠±且13．已知2a =,2b =,a 与b 的夹角为45︒,且()b a a λ-⊥,则实数λ的值为 ▲ ．2 14．在ΔABC 中， 512B π∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且2AC + 22BC AD -=2BD DC AC CB ⋅-⋅，则A ∠等于 ▲ ．6π二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知向量=(cos ,1)a α－，(2,1sin )b α=+，且1a b ⋅=-.(1)求αtan 的值； (2)求2sin 3cos 4sin 9cos αααα--的值.解：(1)因为()1sin 1cos 2-=+-=⋅ααb a ，即cos 2sin =αα．显然，0cos ≠α，所以2tan =α． (2)2sin 3cos 4sin 9cos αααα--=2tan 322314tan 9429αα-⨯-==--⨯-； 16．（本小题满分14分）已知(1,2)a =，(3,2)b =-, 当k 为何值时 (1)ka b +与3a b -垂直？(2)ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=- (1)()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +·(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-=，19k =(1)()//ka b +(3)a b -，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反.17．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示(1)求出函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图像向右移动3π个单位得到函数 ()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.解：（1） 6(2)42A --== 6(2)22b +-== 42()2233T πππ=--= 4T π= 12ω= 1()4sin()223f x x π=++（2） 1()4sin()226g x x π=++增区间 1222262k x k πππππ-+≤+≤+ k ∈Z424433k x k ππ⇒-+π≤≤+πk ∈Z ；增区间 42[4,4]33k k ππππ-++k ∈Z126x k ππ+= k Z ∈； 23x k ππ=-+k ∈Z 对称中心(2,2)3k ππ-+k ∈Z18．（本小题满分16分）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且7||a b -=. (1)求()()sin cos 2sin cos 22ππαπβπαβ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若1cos 7α=，且02πβα<<<，求β的值．22211||,(cos cos )(sin sin )77122(cos cos sin sin ),713cos().14a b αβαβαβαβαβ-=-+-=-+=-=解：(1)由条件得即所以故(2)0,(0,)22113cos ,cos()714sin )sin sin[()]sin cos()cos sin()131147(0,),.23ππβααβααβααββααβααβααβππββ<<<∴-∈=-=∴=-==--=---=-∈∴=19．（本小题满分16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD ，AB =50米，BC= 步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE 、EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°．(1)设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α. 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sin α. 又∠EOF=90°，∴EF==25cos sin αα, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即25(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴225(sin cos 1)25(1)501cos sin 12t l t t αααα+++===--由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤≤-，当π4α=，即BE=25时，min 1)l =, 所以当BE =AF =25米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元. 20．（本小题满分16分）如图，已知扇形OAB 的周长2+23π，面积为3π，并且1OA OB +=.(1)求AOB ∠的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若,OC xOA yOB =+其中x 、 y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC DO =．问BC 与AD 的夹角θ取何值时，BC ⋅AD 的值最大？并求出这个最大值．解：（1）设扇形半径为r ，圆心角AOB α∠=由22223123r r r αππα⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得123r πα=⎧⎪⎨=⎪⎩或36r παπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又当3r π=、6απ=时，1OA OB +=不成立；当1r =、23πα=时，1OA OB +=成立，所以23AOB π∠=（2）如图所示，建立直角坐标系，则A （1，0），B 12⎛- ⎝⎭，C ()cos ,sin θθ．由,OC xOA yOB =+得cos 2yx θ=-，sin y θ=．即cos ,x y θθθ=+=．则21cos sin(2)363xy πθθθθ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又20,3θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max xy +()min 100xy =+=．。

【恒心】2015届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(含附加题)试题及参考答案【纯word版】

某某省某某中学2014-2015学年度第一学期期中考试高三政治试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()UA B =．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α=．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a +=． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为.8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++=． 10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值X 围是． 12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知FE A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x.(1) 若1,a =且p q ∧为真, 某某数x 的取值X 围； (2) 若p 是q 的必要不充分条件, 某某数a 的取值X 围.16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f ，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），某某数a 的取值X 围．20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ．（1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DCB 11第22题23．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值X 围；（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为．答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α=．答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a +=．答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为. 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．答案：3159．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++=．答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值X 围是．答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是． 713．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a =．答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p实数x满足22430x ax a-+<, 其中0a>；:q实数x满足23x.(1) 若1,a=且p q∧为真, 某某数x的取值X围；(2) 若p是q的必要不充分条件, 某某数a的取值X围.所以实数x的取值X围是23x<<. ………………………7分(2) p是q的必要不充分条件，即q⇒p,且p⇒/q，设A={}()x p x,B={}()x q x, 则A⊃≠B，………………………10分又(2,3]B=，A=(,3)a a；所以有2,33,aa≤⎧⎨<⎩解得12;a<≤所以实数a的取值X围是12a<≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝2AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B 的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．因为F为C1B的中点，所以FG＝∥12C1C．在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∥C1C，且E为A1A的中点，ABCDEC1 A1B1F（第16题）所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． …………………………4分因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． …………………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． …………………………9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．………………………12分因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． …………………………14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f ，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 30x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即3tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()123cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），某某数a 的取值X 围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．…………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数，………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值X 围为1(0,][e,)e a ∈∞+．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==--．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a =k a 2+22+k a ，而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=，所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=，所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分（3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分（ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+==， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-， 212(1)k k ka a k k q +==+，所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==-， 22222111311222()()()(21)3531222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----， 212(21)(23)k k ka a k k q +==--，所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．…………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0CP a a =≤≤ ，则2CQ a =，(2,2,0),(22,0)P a Q ∴-1(2,2)B Q=--,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥, ∴110B Q D P ⋅=，∴240a --+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分(2)设平面1C PQ 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角, 故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值X 围；（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．DCB 11第22题解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=． ∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+．令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值X 围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，Ⅲ12-ⅠyxⅡO Ⅳ。

2014-2015年江苏省南通市海安县实验中学高一上学期数学期中试卷带答案

2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=．2．（5分）若，则=．3．（5分）下列对应中，表示函数的有．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是和．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=．9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第象限．11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是．12．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有个．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N={0，1，2} ．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}2．（5分）若，则=．【解答】解：∵，∴，解得=．则=．故答案为：．3．（5分）下列对应中，表示函数的有①③．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．【解答】解：①x→，x∈N；满足函数的定义，①正确；②x→，x∈R；当x=﹣1时，没有意义，不满足函数的定义，②不正确；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；满足函数的定义，③正确；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．函数的值域与实际相矛盾，④不正确．故答案为：①③．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=﹣3．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣6=0．f（f（2））=f（0）=﹣3．故答案为：﹣3．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．【解答】解：向左平移1个单位，可得函数y=﹣的图象，而函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），可知函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【解答】解：由f（x）=x5+ax3+bx﹣8，可令g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx，可知：g（﹣x）=f（﹣x）+8=﹣g（x），∴f（﹣2）+8=﹣[f（2）+8]，∴f（2）=﹣16﹣10=﹣26．故答案为﹣26．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点（1，5）．【解答】解：因为指数函数恒过（0，1），所以在函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）中，当x=1时，f（1）=4+a0=5．∴函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，5）．故答案为：（1，5）．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=1﹣2x．【解答】解：由题意，设x＞0，则﹣x＜0，代入已知式子可得f（﹣x）=1﹣2x，又因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=1﹣2x，故当x＞0时，f（x）=1﹣2x．故答案为：1﹣2x9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第一象限．【解答】解：当0＜a＜1，b＜﹣1时，函数y=a x+b的图象如下图所示：由图可得函数的图象必定不经过第一象限，故答案为：一11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是1．【解答】解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1故答案为：112．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有9个．【解答】解：由题意，与解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”的定义域可以为：{1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{1，﹣1，﹣2}，{1，﹣2，2}，{﹣1，﹣2，2}，{﹣1，1，2，﹣2}共9个．故答案为：9．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有a＞1且2﹣a＞0，解得1＜a＜2，又当x＜1时，（2﹣a）x+1＜3﹣a，当x≥1时a x≥a，因为f（x）在R上单调递增，所以3﹣a≤a，解得a≥综上：≤a＜2故答案为：．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．【解答】解：若f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，则当x∈[0，+∞）时，f（x+10）≤f（x），即﹣|x+10﹣m2|+m2≤﹣|x﹣m2|+m2即|x+10﹣m2|≥|x﹣m2|，则m2≤5，解得m∈[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）解出集合A中的绝对值不等式得到﹣3≤x≤3，所以c U A={x|x ＞3或x＜﹣3}当m=3时，集合B={x|2＜x＜7}，所以（C U A）∩B={x|3＜x＜7}；（2）由A∪B=A得到A⊇B，当B=∅，即m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当B≠∅，即有m＞﹣2，且m﹣1≥﹣3且2m+1≤3，解得m＞﹣2且m≤1，所以实数m的取值范围为m≤1．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．【解答】解：（1）原式=；（2）∵，∴两边平方：，∴x+x﹣1=2，两边平方得：x2+x﹣2=2，两边平方得：x4+x﹣4=2，∴原式=．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）设，则，…2分原函数可化为，所以y≤4…5分所以原函数的值域为（﹣∞，4]…7分（2）由题意得得…9分又因为f（x）是奇函数，所以f（x﹣3）＜﹣f（x2﹣3）=f（3﹣x2）…11分又f（x）在（﹣3，3）上是减函数所以x﹣3＞3﹣x2，即x2+x﹣6＞0解得x＞2或x＜﹣3…13分综上得…15分．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480﹣40（x﹣1）=520﹣40x＞0，所以0＜x＜13，则利润y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200=﹣40（x﹣6.5）2+1490，其中0＜x＜13，所以当x=6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，∴，∴，3m=9，∴m=2．（2）（ⅰ）令x2=t，∵x∈[1，2]，∴t∈[1，4]．则．于是原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．①当，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时；②当，即1≤a≤16时，；③当，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．综上，；（ⅱ）由①得当a＞0时，g（a）＞1，∴要使g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣mt ﹣1≤1，即t2﹣mt﹣2≤0对所有的m∈[﹣1，1]恒成立．令h（m）=t2﹣mt﹣2，则，即，解得﹣1≤t≤1．∴实数t的取值范围是[﹣1，1]．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则AB = ▲ ．2．下列四个图像中，是函数图像的是 ▲ ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 ▲ ．5．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ． 6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． 11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)，则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求A B ，A B R ð．16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg 5lg 54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .高一数学期中考试参考答案（考试时间120分钟，满分160分）3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ．(){}2,2--4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 ▲ ．()1,25．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．4- 6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．2()1f x x =-7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．2-或168．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．3()2xf x x =--9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．{}2-10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． [1,0]-11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．44,55-⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ． []0,213．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)，则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．[2,1)(0,1)--14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．{}012x x x ≤≤=或二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A ＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，A B R ð．解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎡⎭⎫34，＋∞.……………………………7分 (2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．解 (1) 0m = ……………………………………………………………6分(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………14分17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)2a =- ……………………………………………………………6分 (2) a 的取值范围为38,85⎡⎫⎪⎢⎣⎭………………………………………………14分18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．……8分……16分19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg 5lg 54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若 A =∅，求集合B .解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数（Ⅲ）22()()11h x x ax b x ax b =++=++--若存在x ，使()h x x ≤，则由2() 1 (,)h x x ax b a b =++-∈R 开口向上，因此存在x ，使()h x x >，于是()f x x =有实根∵A =∅ ∴()h x x >∴()()h h x h x x >>⎡⎤⎣⎦，于是()h h x x =⎡⎤⎣⎦无实数根即B =∅．………………………………………………………………16分 20．（本题满分16分）函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1. ∵f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1＜0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．……………………3分又任取12112x x <<<，∵()()21122112122()11()1()0n n n nf x x x x x x f x x x x x =+--+-=⎡⎤⎛⎫⎢⎥--+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．………………………………………………8分(2)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. ………………………10分据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. ……………………………………………………………16分注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．。

试题

2014～2015学年度高一年级第一学期期中考试数学试题卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题（共12小题每题5分）1、1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U C M N 等于 A.｛0， 4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ∅ 2、设集合{}1->∈=x Q x A ，则（）A ．A ∅∈ BA C．A ∈ D．A3、下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()()f x g x x == B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==．()(),f x x g x ==4、已知log 83a =，则a 的值为 A 、12B 、2C 、3D 、4 5、函数2()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图像恒过定点 A 、（0,1） B 、（0,2） C 、（2,1） D 、（2,2）6.已知3,(1)()222,(1)x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 那么1[()]2f f 的值是（） A. 54 B. 34 C. 94 D. 14-7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．若函数)(x f 对任意0>a 且1≠a ，都有)()(x af ax f =，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是( )A. x x f -=)(B. 1)(+=x x fC. x x f =)(D. x x x f -=)(9.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（）A ． 0a b <<B ． 1b a >>C ．01b a <<<D ．01a b <<< 9. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）A ． 3(0,)4B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A . )()(x g x f 是偶函数B . )(|)(|x g x f 是奇函数C . |)(|)(x g x f 是奇函数D . |)()(|x g x f 是奇函数10、已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，3()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=A 、1-B 、3-C 、 1D 、311．已知)(x f 满足)()(x f x f -=-，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的表达式为（）A ．2)(+=x x x fB ．2)(-=x x x fC ．2)(+-=x x x fD ．2)(--=x x x f 12、已知函数(2)f x +的定义域为[]2,2-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2- C ．[]1,3 D ．[]1,5-卷Ⅱ（非选择题，共90分）13、如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则1()(3)f f 的值等于 14、求函数|21|()3x f x -=的单调递增区间14、若集合{}2,12,4a a A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;15、设25abm ==，且112a b+=则m 等于 16.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数c ，使)(c f ＞0 ，则实数p 的取值范围是_____________。

0456 数学-南通中学2014届高三上学期期中考试数字(理)试题

南通中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知集合{|22}=-<<A x x ，{|13}=<≤B x x ，则A B = ▲ ． 2．命题“∀∈x R ，3x a >”的否定是 ▲ ． 3．2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+= ▲ ．4．已知||2=a ，||1=b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角大小为 ▲ ．5．已知曲线cos 1y x x =+在点π(,1)2处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数a = ▲ ．6．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆ 是 ▲ 三角形．7．已知,αβ均为锐角，且π1tan()43α-=，5sin 5β=，则αβ+= ▲ ．8．若()f x 是偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，且(2)0f -=，则不等式(2)(1)0x f x -->的解集是 ▲ ．9．直角三角形ABC 中，π2C =，2AC =，4BC =．已知()CP AB AC λ=+ ，则PA PB ⋅ 的最小值为 ▲ ．10．若函数()f x 对于任意的两个不相等的实数12,x x A ∈都有1212()()01f x f x x x -<<-成立，则称()f x 在区间A 上为“0-1函数”．则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有 ▲ （请填写相应的序号）．（1）ππsin ,[,]22y x x =∈-；（2）ln ,1y x x =>；（3）e ,x y x =∈R ；（4）223,01y x x x =++<<． 11．如图所示的是定义域为R 的函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0ω>，[π,π)ϕ∈-）的部分图象，则不等式()3f x >的解集为 ▲ ．12．若[1,1]x ∃∈-，使不等式212731x x a -⋅+>成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．-2（第11题图）O xy 37π1213．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．则“对于任意的(0,)x ∈+∞有()1f x ≤恒成立”的充要条件是 ▲ ．14．已知函数41()(sin cos )cos 42f x m x x x =++在π[0,]2x ∈时有最大值为72，则实数m 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合2{|320}A x x x =-+<，集合22{|(32)2310}B x x m x m m =--+-+<．（1）若1m =，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()2cos 23sin cos f x a x a x x b =-+的定义域为R ，且2b ≤．又{}π(),[0,]2y y f x x =∈[1,4]=．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的对称轴方程；（3）求函数2log [()3]y f x =-的单调增区间．已知函数222(1)log 2mx f x x -=-，其中1m >．（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）解关于x 的不等式2()(1)23f x f x≥-+．18．（本小题满分16分）锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ．已知m =(2,)c a b -， n =(cos ,cos )B C ，且||||+=-m n m n ．又3b =．（1）求三角形ABC 的面积S 的最大值；（2）求三角形ABC 的周长l 的取值范围．已知某工厂生产并销售某种产品，每月生产该产品的成本()C x （单位：万元）与产品数量x （单位：吨）之间的函数关系为21()ln 2a C x x x -=+，每吨该产品的销售价为a 万元．且为保证设备的正常运转，每月至少生产1吨该产品．（1）若2a =，且每月的生产能力不超过5吨，求()C x 的变化范围；（2）若需要保证在该产品的生产销售中不出现亏本，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．高三数学试卷（理科Ⅱ）本卷共4题，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=，直线l 的方程为72πsin()42ρθ+=，求圆C上任意一点P 到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 的作用下，点(1,3)P 变化为点1(10,6)P ，点(2,1)Q 变化为1(5,2)Q ．求二阶矩阵M ．23．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ，2PA =，点M ，N 分别为边P A ，BC 的中点．建立如图所示的直角坐标系A-xyz ．（1）求异面直线AN 与MD 所成角的余弦值；（2）求点B 到平面MND 的距离．24．（本小题满分10分）已知1221201212(12)x a a x a x a x +=++++ ．（1）求1212a a a +++ 的值；（2）求01231112a a a a a a -+-+-+ 的值；（3）求1212212a a a +++ 的值．PMNAB CD （第23题图）xyz。

高三数学月考试题及答案-南通第一中学2014—2015学年度第一学期高三阶段考试

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期阶段考试卷高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为___▲___． 2．设复数z 满足（i 为虚数单位），则=___▲___．3．若命题“存在R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是___▲_ _．4．设向量(2,1)x -，(1,4)x +，则“3x =”是“∥”的___▲___的条件．（从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）5．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 ▲ ． 6．已知函数（）的部分图象如下图所示，则的函数解析式为 ▲ ．7．已知函数的导数()f x '＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知实数,x y 满足1310x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤+，则222x y x -+的最小值是 ▲ ．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则 a 8a 2＋a 5的值是 ▲ ． 10．设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．i 12i z =+||z x ∈(x ==-a b ,1),(3,x ==-a b a b ()cos ()f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><)(xf ()f x11．在直角三角形中，90,2,ACB AC BC ∠=== 点是斜边上的一个三等分点，则 ▲ ．12．已知函数3[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧, ∈⎪=⎨- ∈⎪⎩，当[0,1]m ∈时，(())[0,1]f f m ∈，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．已知直线2y ax =+与圆22230x y x ++-=相交于A 、B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为 ▲ ．14．给出定义，若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；②函数()y f x =在开区间(0,1)是增函数；③函数()y f x =的图象关于直线2kx =（k ∈Z ）对称； ④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点．其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设命题p ：关于x 的不等式12x a -⋅≥0在(,0]x ∈-∞上恒成立；命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域是实数集R ．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．（本小题满分14分）在中，分别为角的对边，，且. （1）求角的大小；（2）求的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，有一块边长为2（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ 始终为45°（其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上），设∠P AB ＝θ，tan θ＝t ．（1）用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值；（2）问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少（平方百米）？18．（本小题满分15分）若半径为r 的圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的距离为d ，其中222D E F +=，且0F >．（1）求F 的范围；（2）求证：22d r -为定值；（3）是否存在定圆M ，使得圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ．ABC ∆,,a b c ,,A B C 1sin(2)22C π-=222a b c +<C a bc+（1）当m ＝－1时，求f (x )的最大值；（2）若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在D 上为减函数，求实数m 的取值范围；（3）当m ＞0时，若曲线C ：y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值．20．（本小题满分16分）在数列中，，且对任意的k ∈*N ，成等比数列，其公比为．（1）若= 2（k ∈*N ），求13521k a a a a -++++；（2）若对任意的k ∈*N ，,,成等差数列，其公差为，设． ① 求证：成等差数列，并指出其公差； ②若=2，试求数列的前项的和．江苏省南通第一中学2013—2014学年度第一学期阶段考试{}n a 11a =21221,,k k k a a a -+k q k q k a 212+k a 22+k a k d 11k k b q =-{}k b 1d {}k d k k D高三数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．0 23．(1,)+∞ 4．充分不必要 5．(0,1) 6．7．(－1,0) 8．1 9． 10． ⎣⎡⎭⎫π3，π2 11．4 12．37[log ,1]3 13．3(1,0)(0,)5- 14．①③④二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．解：若命题p 为真，即1()2x a ≤在(],0x ∈-∞上恒成立，∴ 1a ≤． ……………5分若命题q 为真，即20ax x a -+>在R 上恒成立，①若0a =，则 0x ->在R 上恒成立，显然不可能，舍去； ②若0a ≠，则2140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >． ………………………10分∵ 命题p 和q 有且仅有一个正确，∴ p 真q 假或者p 假q 真， ……………………12分而由p 真q 假，可得12a ≤；由p 假q 真，可得1a >，综上可得，所求a 的取值范围为()1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦． ………………………14分16．解：（1）（法一）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． ………………………2分因为，32222C πππ<-<，所以5226C ππ-=，解得23C π∠=． 6分（法二）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． 2分所以22C ππ<<，又cos 2sin(22C C π=--)，所以1cos 22C =-，解得423C π=，即23C π∠=． ………………………6分（2）（法一）由（1）得，,033B A A ππ∠=-∠ <<，根据正弦定理得，3cos()24x y π=+12222a b c +<1sin(2)22C π-=222a b c +<sin sin()sin sin 3sin sin A A a b A B c C Cπ+-++== ………………………8分1sin )])23A A A A π=+-=+， ………………………11分因为2333A πππ<+<sin()13A π<+≤，从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………………………14分（法二）由（1）得，23C π∠=，根据余弦定理得， 2222222cos3c a b ab a b ab π=+-=++ …………………………8分22223()()()()24a b a b ab a b a b +=+-≥+-=+，所以24(),3a b a b c c ++≤ ≤ ………………………………………11分又,a b a b c c ++>>1，从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………14分17．解：（1）BP ＝t ，CP ＝1－t ，0≤t ≤1，∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t1＋t， (2)分CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t，PQ ＝CP 2＋CQ 2＝＝1＋t 21＋t ，………………………………5分所以△CPQ 的周长l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2，故△CPQ 的周长l 为定值． (8)分（2）S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t (11)分＝2－12⎝⎛⎭⎫t ＋1＋2t ＋1≤2－2，当且仅当t ＝2－1时，取等号． …………………………………………14分答：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2－2(平方百米)．…………………………………………15分 18．解：（1）因为，又，且，所以且，解得． …………………………………………4分（2）易得圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以． …………………………………………8分（3）存在定圆：满足题意， …………………………………………9分下证之：1 因为M (0，0)到直线1R ==，所以圆与直线相切；2 因为F CM =，且11R +，事实上，，故1CM R >+，所以圆与圆相离．由1，2得，存在定圆：满足题意． ………………………………15分19．解：（1）当m ＝－1时f (x )＝－x 2－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－(21)(1)x x x-+，所以当0＜x ＜12，f ′(x )＞0；当x ＞12，f ′(x )＜0，因此当x ＝12 时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－34－ln 2． ………………………………4分（2）f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1≤0在(0，＋∞)上有解，①当m ≤0显然成立；②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ≥0⇒m ≤18，所以0＜m ≤18，而当m = 18 时，2×18x 2－x ＋1=（12x ）2－x ＋1=（12x －1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，不适合题意， ………………………………8分综上，m 的取值范围是m ＜18． (9)分(3)因为f (1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，所以切线方程为y －m ＋1＝2m (x －1)，即y ＝2mx －m －1 从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解．令g (x )＝mx 2－（1＋2m ）x ＋ln x ＋m ＋1，则224+>D E F 222D E F +=0F >24,>F F 0F >4>F C ()D E C --, rC l 22F d-==2222212F d r --=-=M 221x y +=l M l ()2241140224F F F F -⇔->⇔>M C M 221x y +=g ′(x )＝2mx －（1＋2m ）＋1x ＝(21)(1)mx x x --， (11)分所以①当m ＝12，g ′(x )≥0所以y ＝g (x )在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g (1)＝0，所以mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1只有一解．②当0＜m ＜12，x ∈(0,1)，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，12m ，g ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞，g ′(x )＞0，由g (1)＝0及函数单调性可知g ⎝⎛⎭⎫12m ＜0，因为g (x )＝mx ⎝⎛⎭⎫x －⎝⎛⎭⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1，取x ＝2＋1m，则g ⎝⎛⎭⎫2＋1m ＞0，因此在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意； ③当m ＞12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12m ，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，1，g ′(x )＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＞0 同理在⎝⎛⎭⎫0，12m 方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解，不符题意，综上所述m ＝12. …………………………………………16分20．解：（1）因为= 2，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项为1，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143k kk a a a a --++++==--， ………………………4分（2）①因为,,成等差数列，所以2=+，而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++= =⋅，所以112k k q q ++=，即111k k k q q q +--=， …………7分得1111111k k k k q q q q +==+---，即111111k k q q +-=--，所以11k k b b +-=，所以成等差数列，且公差为1． ………………………………………………9分②因为=2，所以，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-， ……………10分当22a =时，q 1= 2，所以b 1=1，则b k =1+（k —1）= k ，即11k k q =-，得1k k q k +=，所以221211)k k a k a k+-+=(，则2222212132112123112)))11)11k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(+-，……………12分k q k a 212+k a 22+k a 12+k a k a 222+k a {}k b 1d则2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++，所以2121k k k d a a k +=-=+，故(3)2k k k D +=， ……………………………………14分当21a =-时，q 1= -1，所以b 1=12-，则b k =12-+（k —1）= k 32-，即1312k k q =--，得12123232k k k q k k --==--，所以2212121)23k k a k a k +--=(-，则2222212132112123121231)))11)23251k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(2----，所以2212(21)(21)(23)2123k k ka k a k k k q k +-===----，则21242k k k d a a k +=-=-，故22k D k =，综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． (16)分。

江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)

2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4．若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5．函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7．已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷：吴勇贫审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．答案若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4．解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5．解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案－1e6．答案0,1，－12；7．解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞，当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤，综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分（2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分（2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根；则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭，只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==，故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。

江苏省南通中学2014-2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷Word版含答案解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．2．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则c=解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2×=3，解得c=．点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3．在等差数列{an}中，a5+a6=35，则S10= 175 ．解：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，∴S10==5×35=175，故答案为：175．点评：本题考查等差数列的性质、前n项和公式的合理运用，是基础题．4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．已知数列{an}中，，则该数列 {an}的前10项和为．解：设数列{an}的前n项和为Tn，∵，∴T n=1×+2×+…+n•，①2Tn=1+2×+…+n•，②②﹣①得，Tn=1+++…+﹣n•；故Tn=1+++…+﹣n•=2[1﹣]﹣n•；故T10=2﹣=；点评：本题考查了错位相减法求数列的和的应用，属于基础题．6．若不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则a+b= 3 ．解：∵不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴a＜0，﹣1，3为一元二次方程ax2+（b﹣2）x+3=0的两个实数根．∴，解得a=﹣1，b=4．则a+b=3．点评：考查一元二次不等式解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．7．（5分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得os∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=点评：主要考查余弦定理和正弦定理的应用，属基础题．8．（5分）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则的最小值是9解：∵2x+y=1，∴==5+∵x，y为正实数，∴≥2=4∴5+≥9∴的最小值为9点评：考查均值不等式求最值，做题时应细心观察，找到变形式子，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是．解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，∴如图：xsin45°＜2＜x，解得，∴x的取值范围是，点评：本题主要考查三角形存在个数的条件，以及数形结合思想，比较基础．10．（5分）若数列{an}的前n项和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则数列{nan}中数值最小的项是第 3 项．解：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣10n﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11，上式对于n=1时也成立．∴an=2n﹣11．∴nan=n（2n﹣11）=2n2﹣11n=，因此当n=3时，数列{nan}中数值取得最小值﹣15．故答案为3．点评：熟练掌握j及其二次函数性质是解题的关键．11．（5分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为an（n∈N*），51221324560a50= 2700考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．解：由表格可知：an=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．点评：考查等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．12．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），不等式恒成立，则λ的取值范围是[1，+∞）．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．解：∵二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴，a＞0，a=，∴+=+==≤=1，∴λ≥1点评：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．13．（5分）由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的个数为①②③④．①第2列a12，a22，a32必成等比数列②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列③a12+a32＞a21+a23④若9个数之和等于9，则a22＜1．考点：三阶矩阵；等差数列的性质．解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②正确；对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，∴b+m+a+d+c+n=3，∴b+m=3﹣（a+d+c+n）≤3﹣2 =3﹣2（b+m），∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；故答案为：①②③④．点评：考查等比数列性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，属于中档题．14．（5分）已知等比数列{an}的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为．考点：等比数列的前n项和．解：∵等比数列{an}的首项为，公比为，∴Sn==令t=，则，Sn=1﹣t，∴∵Sn﹣的最小值为﹣，最大值为，∴对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为=．点评：考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3，T2=3，求Tn．考点：等差数列与等比数列的综合．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a，∵a4=6，a6=10，∴解得（5分）∴数列{an}的通项公式an=a1+（n﹣d）d=2n﹣2．（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）∵an=2n﹣2，∴a3=4，∵a3=b3，∴b3=4 即解得或舍（10分）∴．点评：考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，难度不大．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC ∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：考查综合应用三角函数有关知识的能力．17．（15分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式．解：（Ⅰ）由条件知，∵b≥2，∴，∴2≤a≤4∴S（a）=（32﹣2a）（18﹣b）即：（2≤a≤4）（Ⅱ）∵当，即时，上式取“=”号，则S（a）≤﹣4×48+592=400即时，S（a）取得最大值，最大值为400．答：当人行道的宽度a、b分别为米和3米时，草坪的面积达到最大，最大面积是400平方米点评：考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．18．（15分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，得 c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．点评：考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．（16分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．（1）求cosC的取值范围；（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；三角函数的最值．解：（1）当cosC=0时，sinC=1，原不等式即为4x+6≥0，显然对一切实数x不恒成立，当cosC≠0时，应有化简可得，解得，或cosC≤﹣2（舍去），∵C是△ABC的内角，∴；（2）∵0＜C＜π，∴∠C的最大值为，此时，∴≥，∴ab≤4（当且仅当a=b时取“=”），∴S△ABC=ab≤（当且仅当a=b时取“=”），∴△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形．点评：三角形形状的判断，涉及三角函数的最值和基本不等式，属中档题．20．（16分）定义：若数列{An}满足则称数列{An}为“平方递推数列”，已知数列{an}中，a1=2，点{an，an+1}在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n 的正整数．（1）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；（3）记，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．证明：（Ⅰ）由条件得：an+1=2an2+2an，an＞0．∴2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2，∴{2an+1}是“平方递推数列”．由lg（2an+1+1）=2lg（2an+1），且2an+1＞1，∴lg（1+2an）＞0，∴，∴{lg（2an+1）}为等比数列．解：（Ⅱ）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=lg5•2n﹣1，∴∴∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1），=，∴（Ⅲ），∴==．由Sn＞2008，得2n﹣2+2＞2008，n+（）n＞1005，当n≤1004时，n+（）n＜1005，当n≥1005时，n+（）n＞1005，∴n的最小值为1005．点评：本题关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．。

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则AB = ▲ ．2．下列四个图像中，是函数图像的是 ▲ ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 4．函数()110,1x y a a a -=+>≠过定点 ▲ ．5．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． 11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是▲ ．12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)，则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）已知集合A＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，AB R ð．16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg 5lg 54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若 A =∅，求集合B .高一数学期中考试参考答案（考试时间120分钟，满分160分）3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ．(){}2,2--4．函数()110,1x y a a a -=+>≠过定点 ▲ ．()1,25．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．4- 6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．2()1f x x =-7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．2-或168．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．3()2xf x x =--9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．{}2-10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． [1,0]-11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．44,55-⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[]0,213．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)，则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．[2,1)(0,1)--14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．{}012x x x ≤≤=或二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）已知集合A ＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，AB R ð．解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎡⎭⎫34，＋∞.……………………………7分 (2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．解 (1) 0m = ……………………………………………………………6分(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………14分17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)2a =- ……………………………………………………………6分 (2) a 的取值范围为38,85⎡⎫⎪⎢⎣⎭………………………………………………14分 18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．……8分……16分19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg 5lg 54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若 A =∅，求集合B .解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数（Ⅲ）22()()11h x x ax b x ax b =++=++--若存在x ，使()h x x ≤，则由2() 1 (,)h x x ax b a b =++-∈R 开口向上，因此存在x ，使()h x x >，于是()f x x =有实根 ∵A =∅ ∴()h x x >∴()()h h x h x x >>⎡⎤⎣⎦，于是()h h x x =⎡⎤⎣⎦无实数根即B =∅．………………………………………………………………16分 20．（本题满分16分）函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1.∵f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1＜0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．……………………3分又任取12112x x <<<，∵()()21122112122()11()1()0n n n nf x x x x x x f x x x x x =+--+-=⎡⎤⎛⎫⎢⎥--+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．………………………………………………8分(2)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. ………………………10分据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. ……………………………………………………………16分注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．。