【大学课件】数值方法 - 数值模拟的基本知识-PPT精品文档
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大学课件数值方法数值模拟基本知识
数值方法
1
大纲
数值模拟运算与分析要用到的数值方法
差分法与数值误差的估算 空间的微分与积分 时间的积分
认识计算机运算的极限
迭代法与机器误差估算 随机数生成器 求根 内差与分散 总结
2
差分法与数值误差估算
差分法：
中央差分法、前差分法、后差分法 中央差分法：一般空间的微分与积分 前差分法：快速流问题 后差分法：对时间的积分
先将 yi 对 xi+(1/2) 这点展开，再将 yi+1 对 xi+(1/2) 这点展开， 两式结果相减，保留五项，其余为余数，可得
yi1 yi
0 h fi(1/ 2) 0
(h /2)3 3
fi(1/ 2) 0 O(h5 f (4))
将 fi(1/ 2) ( fi1 2 fi(1/2) fi) /(h /2)2 代入上式，得
Forward Difference
fi
f i1 x
fi
2 f i
f i2 2 f i1 (x) 2
fi
3 ห้องสมุดไป่ตู้i
fi3 3 fi2 3 f i1 fi (x)3
Backward Difference
f i
f i f i1 x
2 fi
f i 2 f i1 (x) 2
fi2
3 fi
如果容许百分之一以下的误差， 四阶积分法 比 一阶积分法 快 10 倍
For s=0.0001, s(-3/4)/3 is about 300
如果只容许万分之一以下的误差， 四阶积分法 比 一阶积分法 快 300 倍
计算效率评估： 高阶差分法远高于低阶差分法
但是如果只算一次，用高阶差分法运算，写程序所用的时间，可能比运 算所省下来的时间还多！
1
大纲
数值模拟运算与分析要用到的数值方法
差分法与数值误差的估算 空间的微分与积分 时间的积分
认识计算机运算的极限
迭代法与机器误差估算 随机数生成器 求根 内差与分散 总结
2
差分法与数值误差估算
差分法：
中央差分法、前差分法、后差分法 中央差分法：一般空间的微分与积分 前差分法：快速流问题 后差分法：对时间的积分
先将 yi 对 xi+(1/2) 这点展开，再将 yi+1 对 xi+(1/2) 这点展开， 两式结果相减，保留五项，其余为余数，可得
yi1 yi
0 h fi(1/ 2) 0
(h /2)3 3
fi(1/ 2) 0 O(h5 f (4))
将 fi(1/ 2) ( fi1 2 fi(1/2) fi) /(h /2)2 代入上式，得
Forward Difference
fi
f i1 x
fi
2 f i
f i2 2 f i1 (x) 2
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3 ห้องสมุดไป่ตู้i
fi3 3 fi2 3 f i1 fi (x)3
Backward Difference
f i
f i f i1 x
2 fi
f i 2 f i1 (x) 2
fi2
3 fi
如果容许百分之一以下的误差， 四阶积分法 比 一阶积分法 快 10 倍
For s=0.0001, s(-3/4)/3 is about 300
如果只容许万分之一以下的误差， 四阶积分法 比 一阶积分法 快 300 倍
计算效率评估： 高阶差分法远高于低阶差分法
但是如果只算一次，用高阶差分法运算，写程序所用的时间，可能比运 算所省下来的时间还多！
数值模拟培训教程(ppt 179页)
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物质平衡方程
: 孔隙度
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: 密度 S : 饱和度 t : 时间 : 流体速 度
井流量
q : 注入/产出量
i : i相
流入量
流出量
质量随时间的改变量
模型与实际油藏的联系
o 模型与实际油藏不完全一样 o 进行近似处理 o 验证数据的有效性 o 数据的调整和修改必须是合理、可行的
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GRID
Put only GRID section keywords here
数值模拟步骤.pptx
上述迭代求解后的结果是离散后的各网格节点上的数值,这样的结果不直观。因 此需要将求解结果的速度场、温度场或浓度场等用计算机表示出来，这也是 CFD 技术 应用的必要组成部分。
利用 CFD 方法进行仿真模拟可以对分离器的结构设计及参数选择作出指导，保证 设计的准确度，也可以为分离器样机的试验提供理论参考。由于 CFD 仿真模拟的广泛 使用及其重要性，国内外很多学者，如 Mark D Turrell、M.Narasimha、师奇威等都 对其进行了研究，尤其是 A.F. Nowakowski 及 Daniel J.SUASNABAR 等人]对 CFD 技术 在旋流器模拟方面的应用做了详细的介绍，这些工作对 CFD 技术的发展起到了积极的 促进作用。
气相浓度场分布如图所示：
学海无 涯 三种情况速度场分布如图所示：
学海无 涯
2）固定液相浓度为 0.003%,变入口速度分别为：1m/s、3m/s、5m/s。气相浓度场 分布如图所示：
学海无 涯 三种情况速度场分布如图所示
生项不仅与流动有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。故 RNG k-ε 模型
可以更好的处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。
3、网格划分
借助 gambit 软件对直管段划分结构网格，对非直管段划分非结构网格。四种结 构的网格划分如图所示：
结构一 结构二
结构三 结构四
5、模型的选择及边界条件的确定 应用多相流中的欧拉模型；控制方程采用 RNG k-ε 模型；入口边界条件设置为
速度入口，出口边界条件设置为自由出流；由于入口两相中含夜体积分数极小，湍动 粘度影响远大于重力，固忽略重力的影响；湍流强度设置为 10%,水力直径为圆管内流 道截面直径。
6 模拟结果分析
学海无 涯 6.1 结构一的模拟
利用 CFD 方法进行仿真模拟可以对分离器的结构设计及参数选择作出指导，保证 设计的准确度，也可以为分离器样机的试验提供理论参考。由于 CFD 仿真模拟的广泛 使用及其重要性，国内外很多学者，如 Mark D Turrell、M.Narasimha、师奇威等都 对其进行了研究，尤其是 A.F. Nowakowski 及 Daniel J.SUASNABAR 等人]对 CFD 技术 在旋流器模拟方面的应用做了详细的介绍，这些工作对 CFD 技术的发展起到了积极的 促进作用。
气相浓度场分布如图所示：
学海无 涯 三种情况速度场分布如图所示：
学海无 涯
2）固定液相浓度为 0.003%,变入口速度分别为：1m/s、3m/s、5m/s。气相浓度场 分布如图所示：
学海无 涯 三种情况速度场分布如图所示
生项不仅与流动有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。故 RNG k-ε 模型
可以更好的处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。
3、网格划分
借助 gambit 软件对直管段划分结构网格，对非直管段划分非结构网格。四种结 构的网格划分如图所示：
结构一 结构二
结构三 结构四
5、模型的选择及边界条件的确定 应用多相流中的欧拉模型；控制方程采用 RNG k-ε 模型；入口边界条件设置为
速度入口，出口边界条件设置为自由出流；由于入口两相中含夜体积分数极小，湍动 粘度影响远大于重力，固忽略重力的影响；湍流强度设置为 10%,水力直径为圆管内流 道截面直径。
6 模拟结果分析
学海无 涯 6.1 结构一的模拟
数值模拟基础
电磁学
总结词
数值模拟在电磁学领域的应用包括电磁场、电磁波的传播和散射等问题的研究。
详细描述
数值模拟通过建立电磁场和电磁波的数学模型，利用数值算法进行求解，可以模 拟和分析电磁波的传播、散射、吸收等过程，为电磁设备的设计和优化提供支持 。
传热学
总结词
数值模拟在传热学领域的应用涉及温 度场、热流场的模拟和分析，以及热 能转换和热能利用的研究。
的应用范围。
06
数值模拟案例研究
案例一：流体动力学中的湍流模拟
总结词
湍流模拟是流体动力学中一个重要的数值模拟任务，用于研究流体在高速流动状态下的 复杂行为。
详细描述
湍流模拟涉及流体在高速流动时产生的复杂、无规则的流动现象。通过数值模拟，可以 模拟和分析湍流在不同条件下的表现，为工程设计和优化提供依据。常用的湍流模拟方
05
数值模拟的挑战与解决 方案
网格生成技术
总结词
网格生成是数值模拟中的关键步骤，它决定了计算精度和计算效率。
详细描述
网格生成技术是数值模拟的基础，它涉及到将物理问题离散化为有限个网格点，以便进行数值计算。网格的生成 需要考虑计算精度、计算效率以及物理问题的特性。对于复杂形状和边界条件的处理，需要采用复杂的网格生成 技术，如适应性网格生成技术。
数值模拟的重要性
解决实际问题
数值模拟能够解决许多实际问题，如流体动力学、气 候变化、材料科学等。
预测与优化
数值模拟能够预测系统的行为，优化设计方案，提高 产品性能。
科学研究和教育
数值模拟在科学研究和教育领域也具有重要应用，如 物理、化学、生物等学科的模拟实验。
数值模拟的基本步骤
建立数学模型
根据实际问题建立数学模型， 包括物理方程、边界条件和初
数值模拟讲课PPT2
应用软件：
一、数值模拟方法与软件简介
FLAC，MIDAS，PLAXIS，ANSYS，ABAQUS 比较 软件 优点 不足
FLAC MIDAS PLAXIS ANSYS ABAQUS 1.岩土工程方面专业; 2. Fish语言，开放性好; 1.中文界面，建模能力强; 2.可视化能力强； 1.专业定制，精度高; 2.操作简单，上手快； 1.通用软件，资源丰富; 2.参数化语言； 1.非线性计算，界面好; 2.岩土方面高级用户使用； 1.建模能力弱; 2. 界面不友好;
Apply、Fix Initial
Attach face elastic 密度(dengsity) 体积模量(bulk) 剪切模量(shear)
图形绘制及结 果输出
收敛标准 摩尔库伦 材料性质
二、MIDAS、FLAC软件模拟操作
2.6 FLAC 3D 软件操作流程
生成网格单元
30
设置边界条件
定义材料性质 设置初始条件 初始地应力平衡 加载及连续建模 求解 结果输出
建立分析模型：根据工程资料，建立三维模型； 根据组力学参数，定义材料性质； 根据坐标的位置，限制模型的边界； 12种本构模型：1个开挖模型（null空模型）；3个 弹性模型；8个弹塑性模型。 常用模型：空模型、mohr模型、弹性(elastic)模型
加载及连续建模：模拟施工扰动通过模型组的材料 特性以及本构模型的改变来实现，主要表现为材料 的开挖、单元节点载荷变化或压力的增减等。
几何 曲面 建立 平面
16
各线段闭合，才能产生平面
二、MIDAS、FLAC软件模拟操作
2.1 MIDAS中实体模型的建立
几何 生成几何体 扩展
17
①只有在平面基础上才能进行扩展； ②进行扩展时，确定好扩展的方向以及扩展长度。
第3讲_数值模拟方法
31
把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化
Finite element
32
sparse: 稀疏的，linear system of equations: 线性方程组
33
有限元
•整个区域划分的基本子区域，称为有限元，场方程被应用到每个基元。 •不像时域有限差分法，网格单元（有限元）不一定是长方形的，可能是
3
x
x 3v
x 而一般取： t 2c
c：为光速，自由空间中： c
min(x, y, z ) 当△ x, △ y, △z不相等时： t 2c
16
• 在给定位置x0处的 f(xi,tn)≡fin 的泰勒级数展开:
• 因此，对空间导数，我们有:
对空间离散
•同样，对时间导数，我们有:
…
Hale Waihona Puke 所有方法都是通过一定的技巧解麦克斯韦方程
•有很多方法和有用的商业软件
•但是没有一种方法（软件）可以解决所有的问题！ •用户需要很熟悉这些软件，这些技巧的原理和局限性，以及需 要分析的问题。
5
frequency-domain: 频域，time-domain: 时域，discretization: 离散化，aperiodic: 非周期性的
29
Fourier transform: 傅立叶变换，dense: 密集的，resolve: 分辨
3. 有限元法(FEM)
• FEM:一种求解偏微分方程组的数值方法
•最初应用于结构力学和热力学理论，可以追溯到1950年代
•1960年代末其应用首次出现在电磁学著作中，但1980年代前并 未被广泛采用。
这些方法各有优缺点，在应用时要根据实际场合合理地选用！
数值模拟的原理与技术特点PPT文档18页
数值模拟的原理与技术特点
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的9、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的9、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
数值模拟的概念与方法ppt课件
?有限单元法通过刚度矩阵的形式求解每一单元的应力与应变而在有限差分中空间离散点处的控制方程组中每一个导数直接由含场变量的代数表达式替换通过显式的方式逐步求解每一单元的应力与应变
讲授内容
土木工程数值模拟技术与运用
第1讲 数值模拟的概念与方法
许多工程分析问题，都可转化为在给定边境条件下求解 其控制方程的数学问题
载荷 约束
节点 单元
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
构造 DOFs
构造分析常用的有限元单元
以ANSYS软件为例，常用构造分析有限元单元有如 下几种：
质点元〔MASS〕 杆单元 〔LINK〕 梁单元〔BEAM〕 实体元〔SOLID〕 壳元〔SHELL〕 接触元〔CONTACT〕 衔接元〔COMBINATION〕
其经过结点之间插值， 把边境积分方程转变 为线性代数方程组， 由此解出各边境单元 的结点处待定的边境 值，再利用把边境值 与域内函数值联络起 来的解析公式，求得
➢软计件算：区E域xa内mi任ne一2D点、的Examine3D 函数值。
C 离散单元法〔DEM〕
岩体往往为众多的节理或构造面所切割，在某 些情况下，岩体不能视为延续介质，具有明 显的不延续性，很难用延续介质力学方法如 有限单元法来处置。
约束
有限单元法的根本思想早在上世纪40年代 初期就有人提出，但真正用于工程中那么 是在电子计算机出现后。
“有限单元法〞这一称号是1960年美国的 克拉夫(Clough. R. W)在一篇题为“平面 应力分析的有限单元法“论文中首先运用 的。
由于单元可以被分割不同的外形和大小，所以它能很好的 顺应复杂的几何外形、复杂的资料特性和复杂的边境条件。
90年代，运用领域扩展，前后处置功能加强，大型商用软 件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等；
讲授内容
土木工程数值模拟技术与运用
第1讲 数值模拟的概念与方法
许多工程分析问题，都可转化为在给定边境条件下求解 其控制方程的数学问题
载荷 约束
节点 单元
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
构造 DOFs
构造分析常用的有限元单元
以ANSYS软件为例，常用构造分析有限元单元有如 下几种：
质点元〔MASS〕 杆单元 〔LINK〕 梁单元〔BEAM〕 实体元〔SOLID〕 壳元〔SHELL〕 接触元〔CONTACT〕 衔接元〔COMBINATION〕
其经过结点之间插值， 把边境积分方程转变 为线性代数方程组， 由此解出各边境单元 的结点处待定的边境 值，再利用把边境值 与域内函数值联络起 来的解析公式，求得
➢软计件算：区E域xa内mi任ne一2D点、的Examine3D 函数值。
C 离散单元法〔DEM〕
岩体往往为众多的节理或构造面所切割，在某 些情况下，岩体不能视为延续介质，具有明 显的不延续性，很难用延续介质力学方法如 有限单元法来处置。
约束
有限单元法的根本思想早在上世纪40年代 初期就有人提出，但真正用于工程中那么 是在电子计算机出现后。
“有限单元法〞这一称号是1960年美国的 克拉夫(Clough. R. W)在一篇题为“平面 应力分析的有限单元法“论文中首先运用 的。
由于单元可以被分割不同的外形和大小，所以它能很好的 顺应复杂的几何外形、复杂的资料特性和复杂的边境条件。
90年代，运用领域扩展，前后处置功能加强，大型商用软 件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等；
(第一讲)数值模拟基本知识及数模需要收集的资料
7）研究注水速度对产油量和采收率的影响；
8）研究油藏平面和层间非均质性对油藏动态的影响； 9）验证油藏的面积和地质储量；
10）检验油藏数据资料；
11）为谈判和开发提供必要的数据资料。
求实 创新 超越
REALITY，INNOVATION,TRANSCENDENCY
油藏数值模拟的作用
数值模拟工程师
地质工程师
求实 创新 超越
REALITY，INNOVATION,TRANSCENDENCY
油藏数值模拟的作用
——有效的油田开发科学决策工具！
在理论上：探索多孔介质中各种复杂渗流问题的规律； 在工程上：作为开发方案设计、动态监测、开发调整、反求参数、提高 采收率的有效手段，能为油气田开发中的各种技术措施的制 定提供理论依据。
REALITY，INNOVATION,TRANSCENDENCY
油藏数值模拟的方法原理
单/多相流公式
离散化
线性化
开采 过程
非线性偏 微分方程
非线性 代数方程
②建立数值模型
线性 代数方程
①建立数学模型
Ａ、通过质量/能量守恒方程、状 态方程、运动方程、辅助方程建立 基本方程组。 B、根据所研究的具体问题建立相 应的初始和边界条件。
z
x x
vy
y
vz
z
vx v y vz q x y z t
（h KK ro o ( s o o ) P) h o t
KA Q p 运动方程：达西定律。 L
流动方程：
3）选择注水方式；
4）对比不同产量效果； 5）对油藏和流体性质的敏感性研究。
求实 创新 超越
第3讲_数值模拟方法
10
temporal: 时间的，evolution体)研究中最常用的方法
优势： −将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到传播 光子的本征频率，准确，高效的 −计算资源的成本低：成本低内存的台式电脑 缺点： −复杂结构或有缺陷体系是一个挑战 −如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的 本征方程，这种情况下根本无法求解形式 有限时域差分法作为电磁场数值计算的经典方法之一，也可以用 来进行光子晶体能带计算，但由于没有考虑晶格的具体形状，遇 到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确求解。
23
对电磁波不反射
FDTD (Yee) 运算法则的执行
FDTD中的迭代过程
设置波源频率、偏振、传播方向等初始信息
由此，场的空间和时间演变 就可以被模拟出来了。
24
iteration: 迭代
FDTD算法的复杂度和可并行性
• 时间复杂度 – 与网格个数成正比 • 空间复杂度 – 自由空间中也是与网格个数成正比 • 并行的可行性 – 串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况 下，可以同时计算多个点的场值 – 每一步计算只与附近的点有数据依赖关系
31
把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化
Finite element
32
sparse: 稀疏的，linear system of equations: 线性方程组
33
有限元
•整个区域划分的基本子区域，称为有限元，场方程被应用到每个基元。 •不像时域有限差分法，网格单元（有限元）不一定是长方形的，可能是
20
spatial: 空间的
重新整理和完成时间导数的有限差分，我们得到：
对 TE problem (Ez, Hx, Hy): Hx are stored at (i, j+1/2) Hy are stored at (i+1/2, j) Ez are stored at (i, j)
temporal: 时间的，evolution体)研究中最常用的方法
优势： −将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到传播 光子的本征频率，准确，高效的 −计算资源的成本低：成本低内存的台式电脑 缺点： −复杂结构或有缺陷体系是一个挑战 −如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的 本征方程，这种情况下根本无法求解形式 有限时域差分法作为电磁场数值计算的经典方法之一，也可以用 来进行光子晶体能带计算，但由于没有考虑晶格的具体形状，遇 到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确求解。
23
对电磁波不反射
FDTD (Yee) 运算法则的执行
FDTD中的迭代过程
设置波源频率、偏振、传播方向等初始信息
由此，场的空间和时间演变 就可以被模拟出来了。
24
iteration: 迭代
FDTD算法的复杂度和可并行性
• 时间复杂度 – 与网格个数成正比 • 空间复杂度 – 自由空间中也是与网格个数成正比 • 并行的可行性 – 串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况 下，可以同时计算多个点的场值 – 每一步计算只与附近的点有数据依赖关系
31
把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化
Finite element
32
sparse: 稀疏的，linear system of equations: 线性方程组
33
有限元
•整个区域划分的基本子区域，称为有限元，场方程被应用到每个基元。 •不像时域有限差分法，网格单元（有限元）不一定是长方形的，可能是
20
spatial: 空间的
重新整理和完成时间导数的有限差分，我们得到：
对 TE problem (Ez, Hx, Hy): Hx are stored at (i, j+1/2) Hy are stored at (i+1/2, j) Ez are stored at (i, j)
数值模拟基础及操作83页PPT
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
数值模拟基础及操作
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
ห้องสมุดไป่ตู้
安
。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
数值模拟基础及操作
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露
凝
无
游
氛
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天
高
风
景
澈
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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南
窗
以
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傲
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审
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膝
之
易
ห้องสมุดไป่ตู้
安
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1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
【大学课件】数值方法 - 数值模拟的基本知识69页PPT
y i 1 y i h f i O ( h 2 f ) （ 長條圖積分：一階準確）
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 y i 1 y i 0 h f i ( 1 / 2 ) 0 O ( h 3 f )
y i 1 y i h f i 1 2 f i O ( h 3 f ) （梯形法積分：二階準確）
7
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得
df dx xxi
fi
fi1 fi1 2x
fi
fi1 x
fi
fi
fi
fi1 x
d2 f dx2
xxi
2 fi
fi1 2 fi (x)2
fi1
2 fi
fi2
2 fi1 (x)2
fi
2 fi
fi
2 fi1 (x)2
fi2
d3 f dx3
xxi
3 fi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
3 fi
fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3
3 fi
fi 3fi1 3fi2 fi3 (x)3
常用差分符號的定義： f i n jk f( x i x ,y j y ,z k z ,t n t )
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 y i 1 y i 0 h f i ( 1 / 2 ) 0 O ( h 3 f )
y i 1 y i h f i 1 2 f i O ( h 3 f ) （梯形法積分：二階準確）
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差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得
df dx xxi
fi
fi1 fi1 2x
fi
fi1 x
fi
fi
fi
fi1 x
d2 f dx2
xxi
2 fi
fi1 2 fi (x)2
fi1
2 fi
fi2
2 fi1 (x)2
fi
2 fi
fi
2 fi1 (x)2
fi2
d3 f dx3
xxi
3 fi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
3 fi
fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3
3 fi
fi 3fi1 3fi2 fi3 (x)3
常用差分符號的定義： f i n jk f( x i x ,y j y ,z k z ,t n t )
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差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
x i 1 x i
Give y ( x ) f ( x ) and y , fin y y f ( x ) d i i 1 i
Байду номын сангаас
x x x 將 yi+1 對 xi 這點展開，可得下式，其中 h i 1 i
第二類型，比較難：trace a curve of a given field f(x,y)
If y ( x ) f [ x , y ( x )] th y ( x ) y ( x ) ? i 1 i
•以下將用第一類型的積分問題，說明如何估算數值誤差以及計算效率。 •第二類型的微分方程，為數值模擬中，最常遇到的問題形態。
疊代法與機器誤差估算 亂數產生器 求根 內差與分散 總結
2
差分法與數值誤差估算
• 差分法：
– – – – 中央差分法、前差分法、後差分法 中央差分法：一般空間的微分與積分 前差分法：快速流問題 後差分法：對時間的積分
• 差分法的數值誤差估算：
– 直覺的看法：微積分的定義 – 進一步的探究：Taylor series expansion
3
微積分的定義
df (x ) f (x x ) f (x ) lim 前差分法 x 0 dx x f[x( x/2 )] f[x( x/2 )] lim 中央差分法 x 0 x f (x ) f (x x ) lim 後差分法 x 0 x
2 y y h f O ( h f ) （長條圖積分：一階準確） i 1 i i
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 3 y y 0 h f 0 O ( h f ) i 1 i i ( 1 / 2 )
2019 Laser-Plasma Summer School 中研院原分所浦大邦講堂 July 16, 2019
數值方法
呂凌霄 中央大學 太空科學研究所
1
大綱
數值模擬運算與分析要用到的數值方法 • • • • • • • • • 差分法與數值誤差的估算 空間的微分與積分 時間的積分
認識電腦運算的極限
Backward i D ffere nce fi fi fi1 x fi 2 fi1 fi2 (x)2
xxi
fi
fi1 fi1 2x fi1 2 fi fi1 (x)2
2 fi
xxi
2 fi 3 fi
3 fi
4
利用差分法求空間微分
Der ivatives df dx d2 f dx2 d f dx3
3
Ce ntral Differe nce
Forward Differe nce fi 2 fi 3 fi fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3 fi1 fi x fi2 2 fi1 fi (x)2
3 ( h / 2 ) 5 ( 4 ) y y 0 h f 0 f 0 O ( h f ) i 1 i i ( 1 / 2 ) i ( 1 / 2 ) 3
將
2 f ( f 2 f f ) /( h / 2 ) 代入上式，得 i ( 1 / 2 ) i 1 i ( 1 / 2 ) i
– 如果容許百分之一以下的誤差， 四階積分法 比 一階積分法 快 10 倍
• For s=0.0001, s(-3/4)/3 is about 300
– 如果只容許萬分之一以下的誤差， 四階積分法 比 一階積分法 快 300 倍
x xi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
fi 3 fi1 3 fi2 fi3 (x)3
f ( x i x , y j y , z k z , t n t ) 常用差分符號的定義： f i j k
n
Q:算算看各項係數和是多少？
n f ( x , y , z , t i j k)
5
求積分
第一類型，比較簡單：求曲線下的面積，曲線函數為f(x)
x i 1
Gi y ( x ) an y y ( x ), f y y ( x ) i i i i 1 i 1
If y ( x ) f ( x ) then y ( x ) y ( x ) f ( x ) d i 1 i x i
4 15 1 ( 4 ) y y h ( f f f ) O ( h f ) i 1 i i i ( 1 / 2 ) i 1 6 6 6 （The 4th order Simpson’s rule 積分法：四階準確）
8
計算效率評估
• • • • • 考慮：長條圖積分（一階）與 The 4th order Simpson’s rule 積分法 每一個積分步驟： 四階積分法 比 一階積分法 多3倍 欲達到準確度 s： 一階積分法 比 四階積分法 多走s(-3/4) 倍 故一階積分法 比 四階積分法 慢 s(-3/4)/3 倍 For s=0.01, s(-3/4)/3 is about 10
f f 3 i 1 i y y h O ( h f ) （梯形法積分：二階準確） i 1i 2 7
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
x i 1 x i
Give y ( x ) f ( x ) and y , fin y y f ( x ) d i i 1 i
Байду номын сангаас
x x x 將 yi+1 對 xi 這點展開，可得下式，其中 h i 1 i
第二類型，比較難：trace a curve of a given field f(x,y)
If y ( x ) f [ x , y ( x )] th y ( x ) y ( x ) ? i 1 i
•以下將用第一類型的積分問題，說明如何估算數值誤差以及計算效率。 •第二類型的微分方程，為數值模擬中，最常遇到的問題形態。
疊代法與機器誤差估算 亂數產生器 求根 內差與分散 總結
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差分法與數值誤差估算
• 差分法：
– – – – 中央差分法、前差分法、後差分法 中央差分法：一般空間的微分與積分 前差分法：快速流問題 後差分法：對時間的積分
• 差分法的數值誤差估算：
– 直覺的看法：微積分的定義 – 進一步的探究：Taylor series expansion
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微積分的定義
df (x ) f (x x ) f (x ) lim 前差分法 x 0 dx x f[x( x/2 )] f[x( x/2 )] lim 中央差分法 x 0 x f (x ) f (x x ) lim 後差分法 x 0 x
2 y y h f O ( h f ) （長條圖積分：一階準確） i 1 i i
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 3 y y 0 h f 0 O ( h f ) i 1 i i ( 1 / 2 )
2019 Laser-Plasma Summer School 中研院原分所浦大邦講堂 July 16, 2019
數值方法
呂凌霄 中央大學 太空科學研究所
1
大綱
數值模擬運算與分析要用到的數值方法 • • • • • • • • • 差分法與數值誤差的估算 空間的微分與積分 時間的積分
認識電腦運算的極限
Backward i D ffere nce fi fi fi1 x fi 2 fi1 fi2 (x)2
xxi
fi
fi1 fi1 2x fi1 2 fi fi1 (x)2
2 fi
xxi
2 fi 3 fi
3 fi
4
利用差分法求空間微分
Der ivatives df dx d2 f dx2 d f dx3
3
Ce ntral Differe nce
Forward Differe nce fi 2 fi 3 fi fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3 fi1 fi x fi2 2 fi1 fi (x)2
3 ( h / 2 ) 5 ( 4 ) y y 0 h f 0 f 0 O ( h f ) i 1 i i ( 1 / 2 ) i ( 1 / 2 ) 3
將
2 f ( f 2 f f ) /( h / 2 ) 代入上式，得 i ( 1 / 2 ) i 1 i ( 1 / 2 ) i
– 如果容許百分之一以下的誤差， 四階積分法 比 一階積分法 快 10 倍
• For s=0.0001, s(-3/4)/3 is about 300
– 如果只容許萬分之一以下的誤差， 四階積分法 比 一階積分法 快 300 倍
x xi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
fi 3 fi1 3 fi2 fi3 (x)3
f ( x i x , y j y , z k z , t n t ) 常用差分符號的定義： f i j k
n
Q:算算看各項係數和是多少？
n f ( x , y , z , t i j k)
5
求積分
第一類型，比較簡單：求曲線下的面積，曲線函數為f(x)
x i 1
Gi y ( x ) an y y ( x ), f y y ( x ) i i i i 1 i 1
If y ( x ) f ( x ) then y ( x ) y ( x ) f ( x ) d i 1 i x i
4 15 1 ( 4 ) y y h ( f f f ) O ( h f ) i 1 i i i ( 1 / 2 ) i 1 6 6 6 （The 4th order Simpson’s rule 積分法：四階準確）
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計算效率評估
• • • • • 考慮：長條圖積分（一階）與 The 4th order Simpson’s rule 積分法 每一個積分步驟： 四階積分法 比 一階積分法 多3倍 欲達到準確度 s： 一階積分法 比 四階積分法 多走s(-3/4) 倍 故一階積分法 比 四階積分法 慢 s(-3/4)/3 倍 For s=0.01, s(-3/4)/3 is about 10
f f 3 i 1 i y y h O ( h f ) （梯形法積分：二階準確） i 1i 2 7
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得