天津市南开区2017-2018学年八年级下《勾股定理》课后练习含答案
初二下学期勾股定理练习题(含答案)
—、基础达标：6. △ ABC 中,AB= 15,AC= 13,高 AD- 12,则厶ABC 勺周长为（）A . 42B . 32C . 42 或 32D . 37 或 337. ※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周 长为（）（A ） . d 2S 2d （B ） d 2_S _d（C ） 2 d 2 S 2d（D ） 2-d 2S d8在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是（3,4）,则OP 勺长为（ ）A : 3B : 4C : 5D :7勾股定理练习题1. 下列说法正确的是（A. 若 a 、B. 若 a 、C. 若 a 、D. 若 a 、 b 、 b 、b、 2. 3. )c是厶 ABC 的三边，贝S a 2+ b 2= c 2; 2 2 2c 是Rt △ ABC 的三边，贝y a + b = c ; c 是 Rt △ ABC 的三边，.A =90 訂则 a 2+ b 2= c 2;c 是 Rt △ ABC 的三边，.c=90:，贝S a 2+ b 2= c 2. b 、c,则下列各式成立的是( )C. a b ：： cD. a 2b 2=c 22 k -1, 2k (k >1 ),那么它的斜Rt △ ABC 勺三条边长分别是a 、 A . a b =c B. a b c如果Rt △的两直角边长分别为 边长是（）A 、2kB 、k+1 cABC 三边,)2 2CC k - 1D k+1且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2) = 0,则A.直角三角形 C.等腰直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为 三角形的周长为（ ）A . 121B . 120 B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 9,另两边为连续自然数，则直角C . 90D.不能确定9.若厶ABC中, AB=25crpAC=26cn高AD=24贝卩BC的长为( )A. 17B.3C.17 或3D. 以上都不对10. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a —6）2十応N+|c-10 I = 0则三角形的形状是（）A：底与边不相等的等腰三角形 B :等边三角形C:钝角三角形 D :直角三角形11. 斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是_______ .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为_______ .13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为___________14. _____________________________________________ 一个三角形三边之比是10：8：6，则按角分类它是________________ 三角形.15. 一个三角形的三边之比为5：12：13,它的周长为60,则它的面积是_____ .16. 在Rt △ ABC 中，斜边AB=4 贝卩AW+BC+ AC二.17. 若三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则这个三角形三个角度数分别是_______ ，另外一边的平方是_____ .18. 如图，已知ABC 中，• C =90 , BA-15, BAC =12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ____ . f ' r、19. 一长方形的一边长为3cm,面积为 C A12cm2,那么它的一条对角线长是 ______ .、综合发展：1如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长. 厂…、2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC 沿/ CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？E3. 一个三角形三条边的长分别为15cm , 20cm , 25cm，这个三角形最长边上的高是多少？4.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m棚宽a=4m棚的长为12m 现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？观测点5.如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴 在离该树12m 高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻 以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几 秒才可能到达小树和伙伴在一起？ ____________________________________15. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上 行驶速度不得超过70 km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直 道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 30m 处，过 了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m 这辆小汽车超速 了吗？小汽车小汽车BCA答案：一、基础达标1. 解析：利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案:D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理答案：B.3. 解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1 ）利用勾股定理可得方程，可以求出x.然后再求它的周长•答案：C.4•解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解•答案：C.5. 解析：勾股定理得到：172-82 =152，另一条直角边是15,1 215 8 = 60cm 2所求直角三角形面积为2.答案：60cm.6. 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边，反过来也是成立. 答案:a2-b2=c2，c,直角，斜，直角.7. 解析：本题由边长之比是10：8：6可知满足勾股定理，即是直角三角形.答案：直角.& 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数，断定是直角三角形.答案：30、60、90，3・9. 解析：由勾股定理知道：BC2二AB2- AC 2= 152- 122= 92，所以以直角边BC = 9 为直径的半圆面积为10.125 n.答案：10.125 n.10. 解析：长方形面积长X宽，即12长X 3,长二4，所以一条对角线长为5. 答案：5cm.二、综合发展11. 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案：5m.12解析：因为152 2。
2017-2018学年度新人教版初中数学八年级下册勾股定理单元检测题及答案解析版5-精品试卷
《第17章勾股定理》（A卷）一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，则c= ．2．△ABC，AC=6，BC=8，当AB= 时，∠C=90度．3．等边三角形的边长为6cm，则它的高为cm．4．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB= ．5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．6．等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为．7．若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面积为．8．等腰三角形的两边长为2和4，则底边上的高为．9．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．10．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是cm2．11．已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+c2﹣26c+169=0，则△ABC是三角形．12．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是，不同之处：．13．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．14．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，1216．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．417．已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形18．直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm三、解答题（共60分）19．如图，每个小正方形的边长是1．①在图①中画出一个面积是2的直角三角形；②在图②中画出一个面积是2的正方形．21．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？22．在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据，求出隧道BC的长（精确到0.1 km）．23．如图，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°．求BC的长．24．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）27．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．（1）图中有个直角三角形；A、0B、1C、2D、3（2）若AD=12，AC=13，则CD= ；（3）若CD2=AD•DB，求证：△ABC是直角三角形．28．小明把一根长为160cm的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC，已知风筝的高AD=40cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？29．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路．如图中线段AB，经测量，在A地北偏东60°方向，B地西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？30．（8分）学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较=a2+b2c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较a2+b2c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．《第17章勾股定理》（A卷）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，则c= 15 ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可解决．【解答】解：根据勾股定理，得c==15．【点评】主要是考查了勾股定理，熟记9，12，15勾股数．2．△ABC，AC=6，BC=8，当AB= 10 时，∠C=90度．【考点】勾股定理．【分析】由已知得，这是一个直角三角形，则根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵∠C=90°∴AB为斜边∴AC2+BC2=AB2，∴AB=10【点评】本题利用了勾股定理来求解，是基础知识比较简单．3．等边三角形的边长为6cm，则它的高为3cm．【考点】等边三角形的性质；勾股定理．【分析】作底边上的高．根据等腰三角形的三线合一，以及勾股定即可求解．【解答】解：底边的一半是3．再根据勾股定理，得它的高为=3cm．【点评】考查了等腰三角形的三线合一性质以及勾股定理．4．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB= 1：：2 ．【考点】勾股定理．【分析】根据直角三角形各角的度数判断出其所对边的长短，再根据直角三角形的性质及勾股定理解答．【解答】解：∵∠A=30°，∴BC为最短边，设其为1，∵∠C=90°，∴AB为最长边，∴AB=2BC=2，∴AC==，∴BC：AC：AB=1：：2．【点评】需注意：在求30°的直角三角形的各边之比时，应设最短边为1，再根据勾股定理解答．5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，则斜边长=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，可得：斜边的高=．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．6．等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为12+6．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质可分别求得腰长和底边的长，从而不难求得三角形的周长．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，∴腰长=6，底边的一半=3，∴周长=6+6+2×3=12+6．故答案为：12+6．【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质的综合运用．7．若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面积为96 ．【考点】勾股定理．【分析】首先根据比值设出两直角边，利用勾股定理即可求出直角边的长，代入面积公式求解即可．【解答】解：根据题意，设两直角边是3x、4x，则（3x）2+（4x）2=202，解得x=4，所以两直角边为12，16；×12×16=96，所以它的面积是96．【点评】根据比值设出两直角边利用勾股定理求解是本题的考查点．8．等腰三角形的两边长为2和4，则底边上的高为．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据已知确定底边与腰，从而根据勾股定理求得底边上的高．【解答】解：∵等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合，∴底边上的高与腰长，底边的一半构成直角三角形，∵底边长是2，∴底边的一半是1，∴底边上的高==．【点评】本题应根据三角形三边关系先得到此等腰三角形的腰长与底边的值．然后利用勾股定理求解．9．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．【考点】等腰直角三角形．【分析】利用勾股定理，设直角边为a，则2a2=4求解即可．【解答】解：∵三角形为等腰直角三角形，∴设两直角边为a，则a2+a2=22解得a=【点评】本题需注意根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理进行解答，还要注意，三角形的边长是正值．10．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是30 cm2．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据三角形花坛的三边长可知符合勾股定理的逆定理的表达式，根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形，再代入直角三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵52+122=132，∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为5cm和12cm，∴花坛面积=×5×12=30（cm2）．【点评】本题主要是根据勾股定理的逆定理推出此三角形为直角三角形，再根据直角三角形的面积解答．11．已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+c2﹣26c+169=0，则△ABC是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方．【分析】根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状．【解答】解：∵（a﹣5）2+（b﹣12）2+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c2﹣26c+169）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．12．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是A，不同之处：A不是直角三角形，B，C，D是直角三角形．【考点】勾股定理．【专题】网格型．【分析】可以设正方形小格的边长是1．根据勾股定理计算各个三角形的三边，看三边的平方是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．【解答】解：（1）在A图中三角形的三个边的长为、、，由勾股定理的逆定理可知5+10≠17，故A不是直角三角形；（2）在B图中三角形的三个边的长为2，4，，由勾股定理的逆定理可知22+42=（）2，所以B是直角三角形；（3）根据（2）的计算方法，同理可求得C，D也是直角三角形．【点评】综合运用了勾股定理及其逆定理．13．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需2+2米．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题．【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可．【解答】解：已知直角三角形的高是2米，根据三角函数得到：水平的直角边是=2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，则地毯的长是（2+2）米．【点评】正确计算地毯的长度是解决本题的关键．14．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是5或．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=；所以第三边的长为5或．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，12【考点】勾股定理的逆定理．【分析】符合勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．【解答】解：根据勾股定理的逆定理知，三角形三边满足c2=a2+b2，三角形就为直角三角形，四个选项，只有D中不满足，故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．16．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．4【考点】勾股定理．【分析】利用两次勾股定理即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∵AB=3，BD=2，∴AD==∵DC=1∴AC==．故选B．【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．17．已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由已知得其有两条边相等，并且符合勾股定理的逆定理，从而可判断三角形的形状．【解答】解：由题意设三边长分别为：x，x，x∵x2+x2=（x）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系满足a2+b2=c2，三角形为直角三角形．18．直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm【考点】勾股定理．【分析】设斜边长为x，表示出一直角边为（x﹣2）cm，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设斜边长为x，则直角边为（x﹣2）cm，由勾股定理得，x2=（x﹣2）2+62，解得x=10，所以，它的斜边长为10cm．故选C．【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并列出方程是解题的关键．三、解答题（共60分）19．如图，每个小正方形的边长是1．①在图①中画出一个面积是2的直角三角形；②在图②中画出一个面积是2的正方形．【考点】作图—代数计算作图．【分析】面积是2的直角三角形只需两直角边长为2，2即可；面积是2的正方形的边长为，是直角边长为1，1的两个直角三角形的斜边长．【解答】解：．【点评】直角三角形的两直角边的积等于面积的2倍；边长为无理数应先找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长．21．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【考点】勾股定理的应用．【专题】探究型．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度=AB+BC即可解答．【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC===10m，∴旗杆的高=AB+BC=2.8+10=12.8m．答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．22．在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据，求出隧道BC的长（精确到0.1 km）．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据三角形的内角和定理的推论求得∠BCD=90°；再根据直角三角形的性质求得CD 的长，最后运用勾股定理求得BC的长即可．【解答】解：在直角△BCD中，∵∠ABD=150°，∠D=60°，∴∠BCD=90°∠CBD=30°，∴CD=BD=16，∴BC===16≈16×1.732≈27.7km．【点评】综合运用了三角形的内角和定理的推论“30°角所对的直角边是斜边的一半”及勾股定理．23．如图，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°．求BC的长．【考点】勾股定理．【分析】在解决三角形问题时常需构成直角三角形来解决．∠A=60°应在这个直角三角形中．然后利用勾股定理来进行解答．【解答】解：过B作BD⊥AC于D．∴∠BDA=∠BDC=90°∵∠A=60°∴∠ABD=30°∵AB=15 cm∴AD=AB=cm，∴BD=cm，CD=AC﹣AD=cm，∴BC===21cm【点评】本题的难点在于作辅助线，要求是构造直角三角形，所给的特殊角在直角三角形中．24．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．【考点】勾股定理．【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形．AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长．求得BD长，再根据勾股定理求得AD长．【解答】解：设BD=x，则CD=14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，在Rt△ADC中，AD2=152﹣（14﹣x）2，所以有132﹣x2=152﹣（14﹣x）2，132﹣x2=152﹣196+28x﹣x2，解得x=5，在Rt△ABD中，AD==12．【点评】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．27．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．（1）图中有 C 个直角三角形；A、0B、1C、2D、3（2）若AD=12，AC=13，则CD= 5 ；（3）若CD2=AD•DB，求证：△ABC是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据直角三角形的判定定理，△ACD和△BCD是直角三角形；（2）根据勾股定理求出CD的值；（3）再通过给出的条件CD2=AD•DB，推出△ABC的三边关系，判定它是直角三角形．【解答】解：（1）C；（2）CD==5；（3）AC2=AD2+CD2①BC2=CD2+BD2②①+②得AC2+BC2=2CD2+AD2+BD2=2AD•BD+AD2+BD2=（AD+BD）2=AB2∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形的判定与及勾股定理等内容．28．小明把一根长为160cm的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC，已知风筝的高AD=40cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】设出腰的长，则底边的长可表示出来，又已知等腰三角形的高，在Rt△ABD中运用勾股定理可解得腰长．【解答】解：设腰长AB=AC=xcm，则BC=160﹣2x，BD=BC=80﹣x，在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即x2=（80﹣x）2+402，解之得：x=50，∴AB=AC=50cm，BC=160﹣2×50=60cm．所以小明在先量取铁丝50cm弯折一次，再量取60cm弯折一次，然后与铁丝的两端点对接即可得到等腰三角形风筝的边框ABC．【点评】本题考查正确运用勾股定理．29．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路．如图中线段AB，经测量，在A地北偏东60°方向，B地西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】应用题．【分析】本题要求的实际上是C到AB的距离，过C点作CD⊥AB，CD就是所求的线段，由于CD 是条公共直角边，可用CD表示出AD，BD，然后根据AB的长，来求出CD的长．【解答】解：过C点作CD⊥AB于D，由题可知：∠CAD=30°，设CD=x千米，tan∠CAD=，所以AD==x，由CD⊥AB，得到∠CDB=90°，又∠CBD=45°，所以△CDB为等腰直角三角形，则BD=CD=x，∵AB=2，∴x+x=2，∴x====﹣1＞0.7．∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．【点评】解直角三角形的应用关键是构建直角三角形，如果有共用直角边的，可以利用公共边来进行求解．30．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= 6 mm；b= 8 mm；较长的一条边长c= 9 mm．比较=a2+b2＞c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= 6 mm；b= 8 mm；较长的一条边长c= 11 mm．比较a2+b2＜c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．【考点】勾股定理的证明．【专题】阅读型．【分析】熟悉勾股数，然后根据大边对大角，小边对小角，确定第三边的长，从而保证三角形的形状．如取较小的两边是6，8，若是直角三角形，则第三边应是10．故要保证它是锐角三角形，只需取9．要保证它是钝角三角形，只需取11．证明的时候，充分运用勾股定理结合完全平方公式即可分析证明．【解答】解：（1）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=9mm．比较=a2+b2＞c2；（2）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=11mm．比较a2+b2＜c2；（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x．根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0；∴a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时，理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD2=a2﹣x2，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2，即a2+b2+2bx=c2．∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2+b2＜c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，在给定三角形的三边的时候，还要注意三角形的三边关系．注意勾股定理的熟练运用以及完全平方公式的灵活变形．。
2017-2018学年度新人教版初中数学八年级下册勾股定理单元检测题及考点答案解析-精品试卷
《第17章勾股定理》一．选择题1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=52．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2 B．C．D．44．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：1695．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．46．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= ．12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有米．三．做一做14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．四．解答题（1题4分，2、3题各6分，4、5、6各8分，共40分）15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？《第17章勾股定理》参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选D．【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2 B．C．D．4【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设正方形的对角线为x，∵正方形的面积是4，∴边长的平方为4，∴由勾股定理得，x==2．故选C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．4．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：169【考点】勾股定理．【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜边的长，然后根据三角形面积的不同表示方法，求出斜边上的高．进而可得出斜边与斜边上的高的比例关系．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5k，BC=12k，根据勾股定理有：AB==13k，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==，∴AB：CD=13：=169：60，即斜边上的高与斜边的比=60：169，故选D．【点评】本题考查了勾股定理得运用，能够根据已知条件结合勾股定理求出直角三角形的三边．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．此结论在计算中运用可以简便计算．5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．4【考点】勾股定理．【分析】利用两次勾股定理即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∵AB=3，BD=2，∴AD==∵DC=1∴AC==．故选B．【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里【考点】勾股定理的应用；方向角．【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故选D．【点评】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折的性质可得AE=CE，设BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．【解答】解：根据翻折的性质得，AE=CE，设BE=x，∵长方形ABCD的长为8，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2=AB2+BE2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，所以，BE的长为3．故选A．【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后对应线段相等，然后用BE 的长度表示出AE是解题的关键．二．填空题9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为cm ．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】由已知直角三角形的两直角边，利用勾股定理即可求出斜边的长．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边的长分别为：a=1cm，b=2cm，∴根据勾股定理得：斜边长c===cm．故答案为：cm．【点评】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= 50 ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= 2．【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求出其边长．【解答】解：设正方形的边长为x，则x2+x2=42得：x=．故答案为2．【点评】此题考查正方形的性质的运用．12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为24 ．【考点】勾股定理．【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，解得x=8，∴x+2=10，∴周长为：6+8+10=24．故答案为24【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，需注意连续偶数应相隔2个数，熟练掌握勾股定理的应用．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有24 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．三．做一做14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．【考点】勾股定理；实数．【分析】连接AB，根据勾股定理，AB==2．故AB长度是无理数；根据勾股定理，CD==5．故CD的长度是有理数．【解答】解：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．∵△ABE是直角三角形，∴AB==2，同理，CD═CD==5，故答案为：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD【点评】本题考查了无理数、有理数和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．四．解答题（1题4分，2、3题各6分，4、5、6各8分，共40分）15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理得出斜边长，进而利用圆的面积公式得出答案．【解答】解：由题意可得：半圆的直径为：=10，则阴影部分的半圆的面积是：π×52=×3×25=．【点评】此题主要考查了勾股定理以及圆的面积求法，正确掌握圆的面积公式是解题关键．16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】先在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值，再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB，即可得到△ABD为直角三角形．【解答】解：△ABD为直角三角形．理由如下：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．【解答】解：（1）根据勾股定理可得：a==20；（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°，∴∠B=30°，∴c=2b，根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，解得b=，则c=2．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20﹣4=16，再根据勾股定理就可求解．【解答】解：如图所示，根据题意，得AC=20﹣4=16，BC=12．根据勾股定理，得AB=20．则小鸟所用的时间是20÷4=5（s）．【点评】此题主要是勾股定理的运用．注意：时间=路程÷速度．19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°∴S△BDC=×5×12=30cm2∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，故AC===2米，在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，故EC===1.5米，故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．。
天津市南开区2017年八年级下《勾股定理》单元测试题含答案
勾股定理单元测试题一、选择题：1.下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形3.如图,在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A.75B.100C.120D.1254.若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（）A.3.6B.4C.4.8D.55.三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a﹣b)=c2，则( ）A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形7.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续偶数,则该三角形周长为（）A.20B.22C.24D.268.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（）米A.4米B.5米C.7米D.8米9.在一个直角三角形中,若斜边的长是13,一条直角边的长为12,那么这个直角三角形的面积是( )A.30B.40C.50D.6010.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A.米B.米C.(+1)米D.3米11.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）A.3：4B.5：8C.9：16D.1：212.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，点M,N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A.6B.7C.8D.9二、填空题：13.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为__________.14.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .15.一个直角三角形的周长为60，一条直角边和斜边的长度之比为4：5，这个直角三角形三边长从小到大分别为_______．16.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．17.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕，则EB=.18.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为．三、解答题：19.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a:b=3:4,c=75cm,求a、b；(2)若a:c＝15:17,b=24,求△ABC的面积；(3)若c-a=4,b=16，求a、c；(4)若∠A=30°,c=24,求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．20.如图,∠B=∠OAF=90°,BO=3cm,AB=4cm,AF=12cm,求图中半圆的面积．21.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.22.已知在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2＋n2,其中m,n是正整数,且m>n.试判断:△ABC是否为直角三角形？23.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．24.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB BD，ED BD，连结AC、EC，已知线段AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值.参考答案1.D2.B3.B4.D5.C6.A7.C8.C9.A10.C11.B12.C13.答案为：2.4cm；14.3615.答案为：15，20，25；16.答案为：少走了4步.17.答案为：1.518.答案为：126或66．19. (1)a=45cm．B=60cm； (2)540； (3)a=30，c=34；(4)6； (5)12．20.解：如图，∵在直角△ABO中，∠B=90°，BO=3cm，AB=4cm，∴AO==5cm．则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO==13cm，∴图中半圆的面积=π×（）2=π×=（cm2）．答：图中半圆的面积是cm2．21.22.∵a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，∴a2+b2=(m2-n2)2+4m2n2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=(m2+n2)2=c2．∴△ABC是为直角三角形．23.24.。
天津市八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )A ．1，2，5B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CD 、GH D ．AB 、CD 、EF 3．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3B ．ABC 中，222AB BC AC +=C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ===4．ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC =+∠∠∠B ．::1:1:2A BC ∠∠∠= C ．222b a c =+D ．::1:1:2a b c =5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（ ）A 35 B 51- C 5 1 D 51+ 6．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,3 7．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．8，16，17D ．7，24，25 8．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．19．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 11．代数式()224129x x ++-+的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1112．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14二、填空题13．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．若2DC =，1AD =，则BE 的长为__________．14．如图，已知点A ，点B 分别为y 轴和x 轴正半轴上两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点A ，点B ，点C 按顺时针方向排列，若4,AB AOB =∆的面积为3，则点C 的坐标为_________．15．如图，已知ABC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，AC 的垂直平分线交AC 于F ，交BC 于G ，若3BE =，4EG =，12BC =，则ABC 的面积为______．16．已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．△，则P点17．如图，A点坐标为(3,0)，C点坐标为(0,1)，将OAC沿AC翻折得ACP坐标为_________．18．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为_____尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）19．已知：直角三角形两直角边a，b满足a+b=17，ab=60，则此直角三角形斜边上的高为__________；20．如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 ________ .三、解答题21．如图，在中，，是上的中线，的垂直平分线交于点O ，连接并延长交于点E ，，垂足为H ．（1）求证：． （2）若，，求的长； （3）如图，在中，，，D 是上的一点，且，若，请你直接写出的长．22．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．23．在ABC 中，90,6,10C AC AB ∠===，小明用尺规作图的方法作AB 的垂直平分线与BC 的交点P ，请你根据如图所示作图方法求出图中线段PC 的长．24．如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AD 于点E ．（1）△AOB 与△DOC 全等吗?请说明理由；（2）若OA=3，AD=4，求△AOD 的面积．25．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：OA 12＝1；222(1)OA =+1＝2；223(2)OA =+1＝3224(3)OA =+1＝4；… S 1＝12；S 2＝22；S 3＝32；… 1010（2）直接用含n （n 为正整数）的式子表示OA n 的长和S n 的值；（3）求S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．26．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ． （1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A、∵2221255+==，∴以1、25为三边的三角形是直角三角形，A不符合题意；B、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；C、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C不符合题意；D、∵22213107+=≠，∴以1、37为三边的三角形不是直角三角形，D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2．B解析：B【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13．因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度. 3．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．【详解】解：A 选项：ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，ABC ∴是直角三角形．C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，又180A B C ︒∠+∠+∠=，12180x ︒∴=,345x ︒=，460x ︒=，575x ︒=，ABC ∴不是直角三角形．D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===222AB BC AC ∴+=，ABC ∴是直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．4．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理可判断A 和B ，根据勾股定理可判断C 和D ．【详解】A.A B C ∠=∠+∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A ∴∠=︒，∴90A ∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故A 错误；B.::1:1:2A B C ∠∠∠=，A B ∴∠=∠，2C A ∠=∠，又∵180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A A A ∴∠+∠+∠=︒，45A ∠=︒，290C A ∴∠=∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故B 错误；C.222b a c =+，ABC ∴是直角三角形，不符合题意，故C 错误；D.::1:1:2a b c =， b a ∴=，2c a =，222a b c ∴+≠，ABC ∴不是直角三角形，符合题意，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中．5．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴12AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 6．A解析：A【分析】先过点A 作AD ⊥OB ，根据△ABC 是等边三角形，求出AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，再根据点B、C的坐标，求出CB的长，再根据勾股定理求出AD的值，从而得出点A的坐标．【详解】过点A作AD⊥OB，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，∵点B的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，点C的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴BC=2，OC=12∴CA=2，∴CD=1，∴2222=1=32CA CD--∵OD=CD-CO∴OD=1-12= 1 2∴点A的坐标是132⎛⎝．故选A．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．7．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 9．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.10．C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ； 故选：C ．【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 11．B解析：B 【分析】建立直角坐标系，设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，则AB 的长即为代数式()224129x x ++-+ 的最小值，然后根据Rt △ABC ，利用直角三角形的性质可求得AB 的值．【详解】解：如图所示：设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，∴BC=3－(-2)=5，AC=12()()()()2222002203x x ⎡⎤+--+-+-⎣⎦-1， ()()22002x ⎡⎤+--⎣⎦-AP ()()22203x -+-1BP ，∴()224129x x +-+=AP ＋BP 根据两点之间线段最短AB ()224129x x +-+ 的最小值 ∴AB 22BC AC +13．()224129x x +-+的最小值为13．【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．12．C解析：C【分析】=，根据三角形的周长公式计算，得到答案．根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB【详解】解：DE是AB的垂直平分线，∴=，DA DB∆的周长为17，ACDAC CD AD∴++=，17AC CD DB AC BC∴++=+=，17AC=，5BC∴=-=，17512由勾股定理得，13AB==，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据是的垂直平分线得到BD=CDBE=CE推出∠DBC=∠C根据BD平分推出∠ABD=∠CBD=∠C求出∠C=得到DE=1利用勾股定理求出CE即可得到BE【详解】∵是的垂直平分线∴BD=CD【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到BD=CD，BE=CE，推出∠DBC=∠C，根据BD平分∠，推出∠ABD=∠CBD=∠C，求出∠C=30，得到DE=1，利用勾股定理求出CE即可ABC得到BE．【详解】∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD,BE=CE，∴∠DBC=∠C，∠，∵BD平分ABC∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠C，∵∠ABD+∠CBD+∠C=90︒，∴∠C=30，∵2DC =，∴DE=1，∴BE=CE=223CD DE -=，故答案为：3．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．14．或【分析】过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点M 使根据勾股定理解得ACBC 的长再证明由全等三角形对应边相等解得再根据设用加减消元法解得x 的值最终得到点C 的坐标【详解】解：过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点 解析：()1,1-或()1,1-【分析】过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，根据勾股定理解得AC 、BC 的长，再证明()NAC BCM AAS ≅，由全等三角形对应边相等解得NC BM =，再根据3AOB S =△，设=,NC BM x ON AN CM y ====，用加减消元法解得x 的值，最终得到点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，Rt ABC 为等腰直角三角形，222AC BC AB ∴+=22AC BC ∴==90NAC ACN ∠+∠=︒90BCM ACN ∠+∠=︒NAC MCB ∴∠=∠()NAC MCB AAS ∴≅NC BM ∴=设=,NC BM x ON AN CM y ====AO y x ∴=-在t R CMB 中，2228x y BC +==① 3AOB S = 1()()32x y y x ∴+-= 226y x -=②①-②得，21x =1x ∴=±(1,1)C ∴-或(1,1)C -故答案为：()1,1-或()1,1-．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．18【分析】连接AEAG 根据中垂线的性质求出AEAG 的长结合勾股定理的逆定理推出进而即可求解【详解】连接AEAG ∵DE 垂直平分AB ∴∵FG 垂直平分AC ∴∵∴在中∴为直角三角形∴∴故答案是：18【点睛解析：18【分析】连接AE 、AG ，根据中垂线的性质，求出AE ，AG 的长，结合勾股定理的逆定理，推出AE BC ⊥，进而即可求解．【详解】连接AE 、AG∵DE 垂直平分AB ，∴3AE BE ==，∵FG 垂直平分AC ，∴AG CG =，∵3BE =，4EG =，12BC =，∴5CG AG ==，在AEG ∠中，29AE =，216EG =，225AG =，∴AEG △为直角三角形，∴AE BC ⊥， ∴111231822ABC S BC AE =⋅=⨯⨯=△． 故答案是：18【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂线的性质定理，添加合适的辅助线，是解题的关键．16．B 【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2BC2AC2的值然后根据勾股定理的逆定理即可解答【详解】解：∵A （43）B （12）C （3-4）∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10AC2=（3-4）2解析：B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB 2、BC 2、AC 2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．【详解】解：∵A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），∴AB 2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC 2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC 2=（3-1）2+（-4-2）2=40， ∴AC 2=AB 2+BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B ．故答案为B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．17．【分析】在Rt △COA 中根据OA=和OC=1根据勾股定理可得AC=2得到根据翻折性质可得继而可得在Rt △PAG 中根据所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长利用勾股定理可求出PG 的长从而得到P 点坐标解析：32⎫⎪⎪⎝⎭【分析】在Rt △COA 中，根据和OC=1，根据勾股定理可得AC=2，得到30CAO ∠=︒，根据翻折性质可得CAO PAC ∠=∠，继而可得60PAO ∠=︒，30GPA ∠=︒，在Rt △PAG 中，根据30所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长，利用勾股定理可求出PG 的长，从而得到P 点坐标．【详解】如下图，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，∵3，OC=1，∴22+2OA OC =， ∴12OC AC =， ∴30CAO ∠=︒， ∵△AOC 沿AC 翻折得到△APC ，∴CAO PAC ∠=∠，∴=60PAO ∠︒，=30GPA ∠︒，3， ∴1322AG AP ==，2232PG PA GA =-=， ∴3-32=32, ∴点P 的坐标为332⎫⎪⎪⎝⎭，， 故答案为：3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查折叠的性质、含30︒角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30︒角的直角三角形及勾股定理是解题的关键．18．6【分析】设长方形门的宽x 尺则高是（x+68）尺根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：设长方形门的宽x 尺则高是（x+68）尺根据题意得x2+（x+68）2＝102解得：x ＝28或﹣96（舍去）则宽是解析：6．【分析】设长方形门的宽x 尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：设长方形门的宽x 尺，则高是（x +6.8）尺，根据题意得x 2+（x +6.8）2＝102，解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：门的高是9.6尺；故答案为：9.6．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．19．【分析】设此直角三角形的斜边为c斜边上的高为h先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c再利用三角形的面积求解即可【详解】解：设此直角三角形的斜边为c斜边上的高为h则因为此直角三角形的面积=所以故答案解析：60 13【分析】设此直角三角形的斜边为c，斜边上的高为h，先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c，再利用三角形的面积求解即可．【详解】解：设此直角三角形的斜边为c，斜边上的高为h，则13c=====，因为此直角三角形的面积=1122ab ch=，所以6013abhc==．故答案为：60 13．【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式等知识，正确变形、掌握解答的方法是关键．20．4【分析】作A关于OM的对称点A´A关于ON的对称点A´´根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´BAC=A´´COA=OA´=OA´´=4再由勾股定理求得A´A´´长由三角形周长公式结合解析：【分析】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案．【详解】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，如图，∴AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，∵∠MON=45°∴∠AOA´´=90°∴A´A´´=22=42（cm）44∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=42（cm）即△ABC的周长最小值为42故答案为：42．【点睛】本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据题意利用中线的性质和垂直平分线的性质，即可解答（2）根据题意和由（1）得到AH=EH，再利用勾股定理得到AH=，最后利用全等三角形的性质，即可解答（3）作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H，可得，设DH=x，则AD=2x，利用勾股定理即可解答【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC上的中线∴AD⊥BC又∵AH⊥BE∴∠ADB=∠H=90°∵MN是AB的垂直平分线∴AO=BO∴∠OAB=∠ABO又∵AB=BA∴在与中∴（2）解:∵AB=AC， AD是BC上的中线，∠BAC=30°∴∠BAD=15°由（1）知，∠ABO=15°∴∠AEH=∠ABO+∠BAC=45°∵AH⊥BE∴∠EAH=45°∴AH=EH由AE=4可得AH=∵∴BD=AH∴BC=2BD=2AH=（3）如图，作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H仿（1）可得且∠ADH=60°∴AH=BE=设DH=x，则AD=2x在RtΔAHD中得（负值舍去）∴AD=【点睛】此题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线22．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=解得x =∴在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2∴CD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．23．74【分析】连接AP ，根据作图痕迹得到PQ 垂直平分AB ，继而得到AP=BP ，设PC=x ，表示出BP 即为AP ，在直角三角形ACP 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：如图，连接AP ，∵由作图痕迹可得：直线PQ 垂直平分AB ，∴AP=BP ，∵90,6,10C AC AB ∠=︒==，∴BC=22106-=8，设PC=x ，则有AP=BP=BC-PC=8-x ，在Rt △ACP 中，AC=6，根据勾股定理得：（8-x ）2=x 2+62，整理得：64-16x+x 2=x 2+36，解得：x=74， 则PC=74．【点睛】此题考查了勾股定理，线段垂直平分线定理，熟练掌握各自的定理是解本题的关键． 24．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为5【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=12AD=2，由勾股定理得到225OE AO AE =-=【详解】（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B CAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；（2）因为△AOB ≌△DOC ，所以AO ＝DO ，因为OE ⊥AD 于点E ．所以AE 12=AD ＝2，所以OE ==所以S △AOD 142=⨯= 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）OA 10102S =；（2）n OA =2n S =；（3）554 【分析】（1）根据前面几个线段的值平方得出规律221n OA n =+=，即可求出10OA 的长，根据前面几个三角形的面积得到规律2n S =10S 的值；（2）根据规律发现221n OA n =+=，2n S = （3）根据（2）中的规律得原式的值为()1123104⨯++++，即可求出结果． 【详解】（1）∵22212OA =+=，22313OA =+=，22414OA =+=…，∴2210110OA =+=，∴10OA =∵12S =，22S =，32S =…，∴n S =10S =；（2）由（1）可知，221n OA n =+=，即n OA =2n S = （3）222212310123104444S S S S ++++=++++()1551231044=⨯++++=． 【点睛】 本题考查找规律，解题的关键是总结出题目中式子之间的规律进行计算求解． 26．（1）12；（2）84．【分析】（1）在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得；（2）先根据勾股定理的逆定理可得ACD △是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积等于Rt ABC 的面积与Rt ACD △的面积之和即可得．【详解】（1）AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；（2）15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD 的面积为1122Rt ABC Rt ACD S S AC BC AC AD +=⋅+⋅， 1112512922=⨯⨯+⨯⨯， 84=，即四边形ABCD 的面积为84．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理练习(含答案)
第十七章勾股定理一、单选题1．在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）A．34B．35C．45D．1252．下列各组数中，不是勾股数的为（）A．3，4，5B．6，8，10C．5，12，13D．5，7，103．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2；（3）23，24，25；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，点A表示的实数是（）A B C．1D．15．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD△AC于点D．则BD的长为（）A B C D6．如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，△BAC=90°，点E 为AB 中点，沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕现交于点F ，已知EF=32，则BC 的长是（ ）A ．2B ．C ．3D ．7．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm ．A ．14B ．15C ．16D ．178．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为4米．如果竹竿的顶端A 沿墙下滑1米，竹竿底端B 外移的距离BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上都不对 9．如图，在四边形ABCD 中，12AB =，17BC =，8CD =，9AD =，15BD =，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．122B ．114C ．110D ．10010．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）A ．0.8米B ．2米C ．2.2米D ．2.7米二、填空题 11．直角三角形的两条直角边分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的周长为________cm ． 12．在直角坐标系中，已知点A （0，2），B （1，3），则线段AB 的长度是_____． 13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于____．14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB 的长为__，BC 的长为__，CD 的长为__，AD 的长为__；（2）连接AC ，通过计算△ACD 的形状是__；△ABC 的形状是__．三、解答题15．已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，垂足为D ，交AB 于点E ，且222BE AE AC -=．（1）求A ∠的度数；（2）若3DE =,4BD =，求AE 的长．16．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A ′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？17．如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留到0.1km ≈1.414）；（2）确定C 港在A 港的什么方向．18．如图，把一块三角形()ABC △土地挖去一个直角三角形()90ADC ∠=︒后，测得6CD =米，8AD =米，24BC =米，26AB =米．求剩余土地(图中阴影部分)的面积．答案1．D2．D3．B4．B5．A6．B7．B8．A9．B10．D11．24．1213．2π14．（15，，（2）等腰三角形，直角三角形15．（1）90°（2）1.416．(1) 这个梯子的顶端距地面有24米；(2) 梯子的底端在水平方向滑动了8米17．（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．96m 18．剩余土地(图中阴影部分)的面积为2。
初中数学天津市南开区八年级下《勾股定理》课后练习含答案.docx
xx 学校xx 学年xx 学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型 选择题 填空题 简答题 xx 题 xx 题xx 题 总分 得分一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）试题1:如果三角形的三边长分别为5，m ，n ，且满足(m+n)(m －n)=25，那么这个三角形是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断试题2:已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或25试题3:在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=12，b=16，则c 的长为（ ）A.26B.18C.20D.21试题4:在平面直角坐标系中有一点P （﹣3，4），则点P 到原点O 的距离是（ ）A.3B.4C.5D.6试题5:如图，在△ABC 中，∠B=40°，EF ∥AB ，∠1=50°，CE=3，EF 比CF 大1，则EF 的长为（）A.5B.6C.3D.4评卷人 得分试题6:若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。
试题7:如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1，S2+S3之间的关系是（）A.S1>S2+S3B.S1=S2+S3C.S1<S2+S3D.无法确定试题8:如图，已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里[来源试题9:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE 重合，则CD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm试题10:如图，Rt△A BC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，则AC＋BC等于( ).A.5B.C.D.试题11:已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为 .试题12:已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边是 .试题13:、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米.试题14:已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为 .试题15:、如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是 .试题16:我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=15，则S2的值是.试题17:下图是单位长度为1的正方形网格.（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形.图1 图2试题18:如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上. （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）五边形ACBB′C′的周长为；（3）四边形ACBB′的面积为；（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 .试题19:将长为2.5米的梯子AC斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5米（即图中BC的长）. （1）求梯子的顶端与地面的距离；（2）若梯子顶端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移动了多少米？试题20:如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长.试题1答案:、C试题2答案:D试题3答案:C.试题4答案:C.试题5答案:A试题6答案:C试题7答案: B试题8答案: D试题9答案: B.试题10答案: B试题11答案: 13.试题12答案: 5或.试题13答案: 10.试题14答案: 或2.试题15答案:试题16答案: 5.试题17答案: （图略）.试题18答案:(1)略；(2)；(3)7；(4) 连接CB’交l于P,；试题19答案:（1）AB=(2分)==2；(2) 设点A下滑到点，点C移动到点，则=2－1.3=0.7，==2.4，=0.9.试题20答案:。
南开区2017年3月11日八年级下《勾股定理》周测题及答案
2017年八年级数学下册勾股定理周测题 3.11一、选择题:1、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.，，B.1,，；C.6，7，8；D.2，3，4；2、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、有一块边长为24米正方形绿地,如图,在绿地旁边B处有健身器材,由于居住在处居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍?”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当数字是（）.A.23米B.24米C.25米D.26米4、在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C对边,已知a：b=3：4,c=10,则△ABC面积为( )A.24B.12C.28D.305、△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a-b)=c2，则( )A.△ABC是锐角三角形B.c边的对角是直角C.△ABC是钝角三角形D.a边的对角是直角6、若△ABC的三边长a、b、c满足(a－b)(a2＋b2－c2)=0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7、如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm第7题图第8题图8、如图，有一长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放一根细木条（木条的粗细忽略不计）要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm9、如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是( )A.垂直B.相等C.平分D.平分且垂直第9题图第10题图第11题图10、如图,△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D.则BD长为( )A. B. C. D.11、如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是△ABC内一点,OA=6,OB=4，OC=10，O/为△ABC外一点,且△CBO≌△ABO/,则四边形AO/BO的面积为（）A.10B.16C.40D.8012、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得△AFB,连接EF.下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积：③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠DAC=22．5°，其中正确的是 ( )A.①③④B.③④⑤C.①②④D.①②⑤二、填空题:13、如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC为边的正方形的面积为25，则AB长为．14、一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是．15、若一个三角形的三边长分别是6、8、a，如果这个三角形是直角三角形，则三角形面积为__________．16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________．第16题图第17题图第19题图17、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和为cm2．18、已知a、b、c是△ABC三边长,且满足关系+|a﹣b|=0,则△ABC形状为．19、如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，则OA10的长度为．20、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
天津市南开翔宇学校八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试(答案解析)
一、选择题1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CD 、GH D ．AB 、CD 、EF2．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．17cmD ．94cm 3．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺4．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．15．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．18 6．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③8．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ） A 32 B ．237C ．25 D ．无法确定9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．610．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．311．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④12．给出下列说法： ①在直角三角形ABC 中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90︒∠=C ；③ABC ∆中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；④ABC ∆中，若::1:2:3a b c =其中，错误的说法的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，ABC 中，AB 5=，BC 6=，BC 边上的中线AD 4=，则ADC ∠=________．14．如图，已知OA OB =，若点A 对应的数是a ，则a 与52-的大小关系是a ____52-．15．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．16．如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 的中点，8AB =，点P 为AB 上一动点，则PC PD +的最小值为__________．17．如图，已知点A ，点B 分别为y 轴和x 轴正半轴上两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点A ，点B ，点C 按顺时针方向排列，若4,AB AOB =∆的面积为3，则点C 的坐标为_________．18．如图，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC＝BC，则AB的长是_____．19．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的最小值__，h的最大值__．20．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．三、解答题中，∠BAC=45°．21．在锐角ABC（1）如图1，BD⊥AC于D，在BD上取点E，使DE=CD，连结AE，F为AC的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM、BM．①求证：△AEF≌△CMF；②若BC=2，求线段BM 的长．AB=），AC=3，求2PA+PB+PC（2）如图2，P是△ABC内的一点，22AB=（即28的最小值，并求此时∠APC的度数．22．已知：如图，AB=12cm，AD=13cm，CD=4cm，BC=3cm，∠C=90°．求△ABD的面积．23．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．∠是直角，请补全他的思路；（1）小明发现ABC小明的思路AB，BC=_______，AC=_______．从而可得先利用勾股定理求出ABC的三条边长，可得10AB、BC、AC之间的数量关系是_____________________，根据____________________________，∠是直角．可得ABC24．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45︒，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60︒，求CD的高度（结果保留根号）25．亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则①∠AEB的度数为；②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系：（3）如图3，△ABC中，若∠A＝90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE2＋CF2＝EF2．26．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系a +|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．40【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度. 2．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．3．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 4．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 5．A解析：A【分析】 根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =， ∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒， ∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．7．A解析：A【分析】①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ， 因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．故②正确．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，． 因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯． 故③正确．对于④，因为CE BF =， 又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 8．B解析：B【分析】作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则CE=a ，BE=2a ，在Rt △BCE 中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．【详解】解：如图①，作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB=90°， ∴12CF AB AB =≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°， ∴223,BC BE CE a =-在Rt △ABC 中，()()2222237,AB BC AC a a a =+=+=∴AC ：BC ：AB=237237.a a a =故选：B ．【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．9．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．10．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ； 故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 11．B解析：B【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知42x y CE -===，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为144492xy ⨯+=， 即2449xy +=，故③正确； 由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误； 故正确的是①②③．故选：B ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．12．A解析：A【分析】分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况，根据勾股定理即可判断①；根据勾股定理的逆定理即可判断②④；根据三角形的内角和定理即可求出三角形的三个内角，进而可判断③；从而可得答案．【详解】解：若4为直角三角形ABC 5=，若4为直角三角形ABC=，故①错误；三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90C ∠=︒，故②正确；△ABC 中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，所以11801512A ∠=︒⨯=︒，51807512B ∠=︒⨯=︒，61809012C ∠=︒⨯=︒，所以ABC 是直角三角形，故③正确；△ABC 中，若::1:2a b c =,2,a k b k c ===，因为)()222222242a c k k k b +=+===，所以这个三角形是直角三角形，故④正确．综上，错误的说法是①，有1个．故选：A ．【点睛】 本题考查了三角形的内角和、勾股定理及其逆定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数【详解】∵边上的中线∴∵∴【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用掌握相应的性质定理是解答此题的关键解析：90【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出ADC ∠的度数．【详解】∵AB 5=，BC 6=，BC 边上的中线4AD =，∴BD 3=，∵222345+=，∴ADC ADB 90∠∠==．【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，掌握相应的性质定理是解答此题的关键． 14．＞【分析】根据勾股定理求出OB 长确定点A 表示的数再用估算法比较大小即可【详解】解：由图可知∴则点A 表示的数为∵∴∴故答案为：＞【点睛】本题考查了勾股定理实数在数轴上的表示和实数大小的比较熟练的运用勾 解析：＞【分析】根据勾股定理求出OB 长，确定点A 表示的数，再用估算法比较大小即可．【详解】解：由图可知，OB = ∴OA OB ==A 表示的数为∵225()2<，∴52<，∴52>-， 故答案为：＞．【点睛】 本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示和实数大小的比较，熟练的运用勾股定理求出OB 长，确定A 点表示的数，能够利用算术平方根与被开方数大小之间的关系是解题关键．15．【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A解析：217 【分析】 根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AC ＝22221068AB BC -=-=，∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，∴FC ＝AC ﹣AF ＝2， ∴CE ＝222282217EF FC +=+=， 故答案为：217．【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理得到BC 由中点的定义求出BD 作点C 关于AB 对称点C′则PC′=PC 连接DC′交AB 于P 连接BC′此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45解析：10【分析】根据勾股定理得到BC ，由中点的定义求出BD ，作点C 关于AB 对称点C′，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 8AB =，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AC=BC=2422AB = ∵D 为BC 的中点，∴BD=2．作点C 关于AB 对称点C′，交AB 于点O ，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵点C 关于AB 对称点C′，∴∠C′BA=∠CBA=45°，'42BC BC ==∴∠'90CBC =， ∴()()2222''2242210DC BD BC =+=+=，故答案为：10【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．17．或【分析】过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点M 使根据勾股定理解得ACBC 的长再证明由全等三角形对应边相等解得再根据设用加减消元法解得x 的值最终得到点C 的坐标【详解】解：过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点 解析：()1,1-或()1,1-【分析】过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，根据勾股定理解得AC 、BC 的长，再证明()NAC BCM AAS ≅，由全等三角形对应边相等解得NC BM =，再根据3AOB S =△，设=,NC BM x ON AN CM y ====，用加减消元法解得x 的值，最终得到点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，Rt ABC 为等腰直角三角形，222AC BC AB ∴+=22AC BC ∴==90NAC ACN ∠+∠=︒90BCM ACN ∠+∠=︒NAC MCB ∴∠=∠()NAC MCB AAS ∴≅NC BM ∴=设=,NC BM x ON AN CM y ====AO y x ∴=-在t R CMB 中，2228x y BC +==① 3AOB S =1()()32x y y x ∴+-= 226y x -=②①-②得，21x =1x ∴=±(1,1)C ∴-或(1,1)C -故答案为：()1,1-或()1,1-．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E 易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD 解析：17 【分析】 过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=，∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB 2=AC 234=⨯=217．故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE ＝CD 是解答本题的关键．19．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．20．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8解析：6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】设第三边长为x，当第三边是斜边时，则x2=82+102=164;∴x=当第三边是直角边时，则斜边长为10，∴x2+82=102，解得：x=6，（负值舍去）故答案是：6【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．三、解答题21．（1）①见解析；②2，此时∠APC=90°【分析】（1）①根据SAS证明△AEF≌△CMF即可；②证明△BCM是等腰直角三角形，由勾股定理求解即可；（2）将△APB绕点A逆时针旋转 90°得到△AFE，连接FP、CE，推荐FP=，∠EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于H ，求得EH =AH =2，CH =5，在Rt △EHC 中，可得29CE =，由点C、P 、F 、E 四点共线时，2PA +PB +PC 的最小值为CE ，故可得结论．【详解】（1）①∵F 为AC 的中点，∴AF =CF在△AEF 和△CMF 中EF FM AFE CFM AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△CMF②由（1）得△AEF ≌△CMF ，∴AE =CM ，∠DAE =∠FCM ，∵BD ⊥AC ，∠BAC =45°，∴AD =BD在△AED 和△BCD 中90DE DC ADE BDC AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BCD ，．∴AE =BC ，∠DAE =∠DBC ，∴BC =CM ，∠FCM =∠DBC ，∵∠BCF +∠DBC =90°，∴∠BCF +∠FCM =90°，∴△BCM 是等腰直角三角形，由勾股定理得，22448(22)BM BC CM =+=+=或（2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，易知△AFP 是等腰直角三角形，∴2FP AP ，∠EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于 H ．在Rt △ EAH 中，228AE AB == ，∵∠H =90° ， ∠EAH =45°，∵222EH AH AE +==8，∴EH =AH =2，∴CH =5，在 Rt △EHC 中，CE ==∵+PC =FP +EF +PC ≥CE ，∴点C 、P 、F 、EPA +PB +PC 的最小值为CE ，此时，∠AFP+∠AFE=90°，∠BPC +∠APF=180°，∵∠AFP=∠APF=45°，∴∠AFE=∠BPC=135°，∴∠APB=∠BPC=135°∴∠APC =360°-135°-135°=90° ∴+PB +PC ，此时∠APC =90°【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键．22．230cm【分析】先利用勾股定理，求得BD=5；再利用勾股定理的逆定理，证明三角形ABD 是直角三角形，利用面积公式计算即可.【详解】4CD cm =，3BC cm =，90C ∠=︒，5BD cm ∴==，12AB cm =，13AD cm =，222BD AB AD ∴+=，90ABD ∴∠=︒， ∴211·1253022ABD S AB BD cm ∆==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键.23．（1，222AB BC AC +=，勾股定理逆定理；（2）见解析．【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理逆定理即可填空．（2）作如图所示的图，根据图易证()ADB BEC SAS ≅，推出ABD BCE ∠=∠．继而推出90ABD EBC ∠+∠=︒，即可得出结论90ABC ∠=︒．【详解】（1）先利用勾股定理求出ABC 的三条边长，可得10AB ，BC =AC =AB 、BC 、AC 之间的数量关系是222AB BC AC +=，根据勾股定理逆定理，可得ABC ∠是直角．（2）作图如图，由图可得：AD BE =，BD CE =，90ADB BEC ∠=∠=°．在ADB △和BEC △中，AD BE ADB BEC BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB BEC SAS ∴≅，ABD BCE ∴∠=∠．在BEC △中，18090BCE EBC BEC ∠+∠=︒-∠=︒，90ABD EBC ∠∴+=∠︒．∵D 、B 、E 三点共线，180ABD EBC ABC ∴∠+∠+∠=︒，180()90ABC ABD EBC ∴∠=︒-∠+∠=︒．【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练利用勾股定理和勾股定理逆定理，三角形全等的判定和性质等知识是解答本题的关键．24．(90303)m +【分析】由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x ，表示出BD ，CD 和AC 的长，利用AB=60得到方程，求出x ，最后根据3得到结果．【详解】解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD 是等腰直角三角形，设BC=x ，∴BD=2x ，∴22BD BC -3x=AC ，∴33）x=60，解得：31-=)3031， ∴390303+ 答：塔高约为(90303)m +．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．25．（1）见解析；（2）①90°，②2AE BE CM =+；（3）见解析【分析】（1）利用AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得到BD=AE ，AD=CE ，即可得到结论成立；（2）①由等腰直角三角形的性质，得∠CDE=∠CED=45°，则∠ADC=135°，由全等三角形的性质，∠BEC=135°，即可求出∠AEB 的度数；②由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得到AD=BE ，CM=DM=EM ，即可得到AE=BE+2CM ；（3）延长ED 到点G ，使DG=ED ，连结GF ，GC ，证明△DBE ≌△DCG ，得到BE=CG ，根据勾股定理解答．【详解】解：（1）如图1，∵∠BAC ＝90°，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE DA AE CE BD =+=+；（2）如图2，①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-45°=135°，∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC -∠CED=135°-45°=90°；②∵△DCE 均为等腰直角三角形，CM 为△DCE 中DE 边上的高，∴CM=DM=EM ，∵AD=BE ，∴AE=AD+DM+EM=BE+2CM ；故答案为：①90°；②2AE BE CM =+；（3）延长ED 到点G ，使DG=ED ，连结GF ，GC ，如图，∵ED ⊥DF ，DG=ED ，∴EF=GF ，∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，在△BDE 和△CDG 中，ED GD BDE GDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△DCG （SAS ），∴BE=CG ，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵△DBE ≌△DCG ，EF=GF ，∴BE=CG ，∠B=∠GCD ，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，∴Rt△CFG中，CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．△ABC是直角三角形；理由见解析．【分析】先求出a、b、c的值，再通过计算得到a2+c2＝b2，根据勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形．【详解】解：△ABC是直角三角形．理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，解得：a＝40，c＝9，b＝41，∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题关键．。
天津市八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典练习(含答案解析)
一、选择题1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b ＋c5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 6．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA7．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒8．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA9．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20° 10．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D 1011．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 12．下列说法正确的是（ ）A ．两个长方形是全等图形B ．形状相同的两个三角形全等C ．两个全等图形面积一定相等D ．所有的等边三角形都是全等三角形 13．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1214．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD 15．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．17．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．18．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．19．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．20．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．21．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．22．已知点A、E、F、C在同一条直线l上，点B、D在直线l的异侧，若AB=CD，AE=CF，BF=DE，则AB与CD的位置关系是_______．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若23．如图，ABC ADE∠=________︒．∠=︒，10B∠=︒，30120EAB∠=︒，则CFDCAD24．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝_____．25．如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE ≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠DAF=∠CBD．其中正确的结论有_____．（填序号）26．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．29．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．30．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．。
天津市南开区2018年八年级下《勾股定理》单元测试卷有答案
2018年八年级数学下册勾股定理单元测试卷一、选择题：1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（）3.如果△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1,其中m为大于1的正整数,则（）A．△ABC是直角三角形,且斜边为m2-1 B．△ABC是直角三角形,且斜边为2mC.△ABC是直角三角形,且斜边为m2+1 D．△ABC不是直角三角形4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．米B．米C．(+1)米D．3米5.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．286.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4，则S=（）A．25 B．31 C．32 D．408.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．689.如图,一圆柱高8cm,底面半径为2 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定10.在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或3311.如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点,在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长的最小值为（）A．2B．2C．2+2 D．2+212.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3,），点C的坐标为（0.5,0）,点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题：13.在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)若a：b=3：4，c=10，则a=_______，b=_______；(2)若a=6，b=8，则斜边c上的高h=_______．14.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．16.三角形中两条较短的边为a＋b，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．17.如图，圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A．B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A．B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.18.如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数三、作图题：19.如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．四、解答题：20.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）21.如图，A．B两点都与平面镜相距4米，且A．B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B点到入射点的距离.22.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长.23.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．24.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断△ABC的形状.25.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，请你说明AB2=AC2+BC·BD.参考答案1.B2.C3.C4.C5.D6.D7.B.8.A9.D10.C11.C.12.C.解：13.答案为： (1)6 8 (2)4.814.答案为：8115.答案为：（6+2）a．16.17.答案为：1518.19.解：（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．20.解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC===10m，∴旗杆的高=AB+BC=2.8+10=12.8m.答：这根旗杆被吹断裂前有12.8米高.21.解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点.因为B′D=DB.所以B′D=AC.∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO所以△B′DO≌△ACO(SSS)则OC=OD=0.5AB=0.5×6=3米.连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).所以点B到入射点的距离为5米.22.解：连接AD．因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。
天津市八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典练习(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ）A ．112B ．32C ．94D ．3C 解析：C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可．【详解】∵E 是AB 中点，DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，则6DA DB AC CD CD ==-=-，在Rt CDB 中，∠C=90°，BC=3，∴222CD CB DB +=，即()22236CD CD +=-， ∴94CD =． 故选：C ．【点睛】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．2．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC ，灰色部分面积记为1S ，黑色部分面积记为2S ，白色部分面积记为3S ，则（ ）A ．12S SB ．23S S =C ．13S S =D ．123S S S =- A 解析：A【分析】由勾股定理，由整个图形的面积减去以BC 为直径的半圆的面积，即可得出结论．【详解】Rt △ABC 中，∵AB 2+AC 2＝BC 2∴S 2＝222111*********ABC AB AC BC S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()22218ABC AB AC BCS π∆+-+＝S 1．故选A ．【点睛】 本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ．其中11S =，23S =，52S =，64S =，则34S S +=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7A解析：A【分析】 由题意可得S 1+S 2=S 3， S 5+S 6=S 4，然后根据S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4，然后求出S 3+S 4的值即可．【详解】解：如图：∵S 1=a 2，S 2=b 2，S 3=c 2，∴a 2+b 2=c 2，即S 1+S 2=S 3，同理可得：S 5+S 6=S 4，∵S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4∴S 3+S 4=（1+3）+（2+4）=4+6=10．故答案为A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用以及正方形的面积、圆的面积的解法，审清题意、灵活运用数形结合的思想成为解答本题的关键．4．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米B解析：B 【分析】 把圆柱沿着点A 所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A 所在母线展开，如图所示，作点A 的对称点B ，连接PB ，则PB 为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.5．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．52D ．2B解析：B【分析】 过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．【详解】解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF =∴2ADF S ∆=∴3ADE ACD S S ∆∆==∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD ==∴224GC GD DC =+=+=在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =+=∴5AE AC ==∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，若30B ∠=︒，3AC =，2AD =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．3A解析：A【分析】 根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D 作DE ⊥AB ，证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得AE=AC=3，再证明Rt △BED ≌Rt △AED ，得BE=AE=3，最后利用三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：∵30B ∠=︒，90C ∠=︒，∴∠BAC=90゜-30゜=60゜∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD=1302BAC ∠=︒ 在Rt △ACD 中，由AD=2∴CD=1；过点D 作DE ⊥AB ，如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，∴DE=DC=1又AD=AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AE=AC=3 在Rt △ADE 和Rt △BDE 中DAE DBE AED BED DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BED ≌Rt △AED∴BE=AE=3∴AB=AE+BE=23∴11123322ABD S AB DE ∆=⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．7．如图，以AB 为直径的半圆O 过点C ，4AB =，在半径OB 上取一点D ，使AD AC =，30CAB ∠=︒，则点O 到CD 的距离OE 是（ ）A 2B ．1C ．2D ．22解析：A【分析】 在等腰ACD ∆中，顶角30A ∠=︒，易求得75ACD ∠=︒，根据等边对等角，可得30OCA A ∠=∠=︒，由此可得45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形，则2OE =【详解】∵AC AD =，30A ∠=︒，∴75ACD ADC ∠=∠=︒，∵AO OC =，∴30OCA A ∠=∠=︒，∴45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形． 在等腰Rt OCE ∆中，2OC =，因此 2OE =．故选：A ．【点睛】 本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用． 8．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12C解析：C【分析】 首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：2222121620AB AC BC =+=+=，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④D解析：D【分析】 根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．【详解】①∵ABC 为直角三角形，∴22225x y AB +==，故①正确；②由图可知：11x y CE -===，故②正确；③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，由此可得：141252xy ⨯+=，即：2125xy +=， 故③正确；④由①③相加可得：222150xy x y +++=，即()249x y +=，故7x y +=，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．10．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）A ．296cmB ．248cmC ．224cmD ．232cm B 解析：B【分析】如图：作AD ⊥BC 于D ，先根据等腰三角形的性质求得BD ，然后运用勾股定理求得AD ，最后运用三角形的面积公式解答即可 ．【详解】解：如图：作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC=10，∴BD=DC=12BC=8cm ， ∴22221086AC CD -=-=∴S △ABC =12BC·AD=48cm 2． 故答案为B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．二、填空题11．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角解析：13或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴226AB BD +=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线 ∴BE=DE=12AD=3 ∴CE=BE －BC=2在Rt △CDE 中，2213CE DE +=若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =，∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2∴2DE 2=()232解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，CD=225CE DE +=；综上：CD=13或5．故答案为：13或5．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键．12．如图，数轴上点C 表示的数的平方为______． 5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2AB=1AB ⊥OBOC=OA ∴由勾股定理可知：故答案为5【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理解析：5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答 ．【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2，AB=1，AB ⊥OB ，OC=OA ，∴由勾股定理可知：222222215OC OA OB AB ==+=+=，故答案为5．【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理的综合运用，熟练掌握常见图形的作图方法及勾股定理的应用是解题关键．13．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．【分析】作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作根据AAS 证明△得到由得出从而得出OMON 的长最后由勾股定理可求出MN 【详解】解：作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作MK ⊥AB 于点K 作∵四边形ABCD 是矩形∴M 解析：262【分析】作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．【详解】解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴MK//AD//BC∴∠90KMM KMQ '=∠=︒∴M '、M 、Q 三点共线，∵∠90MPN =︒，∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒∴∠M PM PNN ''=∠又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =∴△M PM N NP ''≅∆∴10PN MM ''==，NN M P ''=又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+∴24NN '=∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=在Rt OMN ∆中，222214341352262()MN ON OM mm =+=+== 故答案为：262．【点睛】此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 14．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：3【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒，∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中， 2264164843EC AB AC -=-=故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接解析：25【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得22422 5.DC '=+=故答案为：25．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．16．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD17【分析】过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB 2=234==17．故答案为：217．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE＝CD是解答本题的关键．17．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．18．如图所示的网格是正方形网格，则CBD ABC ∠+∠=______°（点A ，B ，C ，D 是网格线交点）45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 先证明再证明△BDE 为等腰直角三角形得到∠DBE=45°问题得证【详解】解：如图做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 则∠ABC=∠EBC ∴根据解析：45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，先证明CBD ABC DBE ∠+∠=∠，再证明△BDE 为等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，问题得证．【详解】解：如图，做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，则∠ABC=∠EBC ，∴CBD ABC CBD EBC DBE ∠+∠=∠+∠=∠， 根据勾股定理得221526BD =+=222313BE =+=，222313DE +，∴BE=DE ，222=26=BE DE BD +∴∠BED=90°，∴△BDE 为等腰直角三角形，∴∠DBE=45°，∴45CBD ABC ∠+∠=︒．故答案为：45【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理在网格中应用，根据题意作出线段BA 关于BC 的对称线段BE 是解题关键．19．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上 解析：12537 【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边， 由勾股定理得：第三边长22435=+=∴斜边上的高为341255⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3， 由勾股定理得：第三边长22437=-，∴3737⨯= 故答案为：12537． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用． 20．如图，教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上．若5PA AB ==米，点P 到AD 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是______米．【分析】可将教室的墙面ADEF 与地面ABCD 展开连接PB根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可【详解】解：如图过P 作PG ⊥BF 于G 连接PB ∵AG=3AP=AB=5∴∴BG=8∴故这只蚂蚁的最短行程 解析：45【分析】可将教室的墙面ADEF 与地面ABCD 展开，连接PB ，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P 作PG ⊥BF 于G ，连接PB ，∵AG=3，AP=AB=5， ∴224PG AP AG ==-，∴BG=8， ∴2245P GB GP B +=故这只蚂蚁的最短行程应该是5故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 三、解答题21．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．解析：（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3）12【分析】（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论； （2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．【详解】解：（1）证明BE 平分ABC ∠，,ABE DBC ∴∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=,BEC BCE ∴∠=∠180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒； ()2BEC BCE =∠∠．理由：BE 平分ABF ∠，,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=BEC BCE ∴∠=∠．()3连结AD ，AB BC ⊥，45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒， ABE DBC ∆≅∆，,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，45,ABE ACD ∴∠=∠=︒由()2得BE BC =，22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，,AB BD =22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒,BEC BDA ∴∠=∠,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠1,CD = 221,112AD AE AC ∴===+=，12EC ∴=+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．22．在△ABC 中，AB =AC =10， AD 是BC 边上的高，点E 在边BC 上，连接AE ．(1)当AD =6时，①求△ABC 的面积．②若AE 平分∠BAD ，求CE 的长．(2)探求三条线段AE ， BE ，CE 之间的等量关系．解析：（1）①△ABC 的面积=48；②CE=11；（2）2100AE BE CE =-⋅．【分析】（1）①利用等腰三角形三线合一和勾股定理可求得BC=16，再计算面积即可；②作EF ⊥AB ，与AB 相交于F ，根据角平分线的性质可得EF=ED ，利用等面积法即可求得ED ，从而求得EC ；（2）在Rt △AED 和Rt △ADC 利用勾股定理可得等量关系式，再借助线段的和差和等量代换即可得出AE ， BE ，CE 之间的等量关系．【详解】解：（1）①∵AB =AC =10， AD 是BC 边上的高，∴DC=BC=2BD,AD ⊥BC ，∵AD =6，在Rt △ABD 中，根据勾股定理22221068BD AB AD =-=-=，∴BC=16，△ABC 的面积=111664822BC AD ⋅=⨯⨯=； ②作EF ⊥AB ，与AB 相交于F ，∵AD ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，∴EF=ED ，∵AD =6，AB=10， ∴111()8222ABD S AB FE AD ED ED AB AD ED =⋅+⋅=⋅+=， 11862422ABD S BD AD =⋅=⨯⨯=， ∴3ED =， ∴CE=DC+ED=8+3=11；（2）在Rt △AED 中222AE AD ED =+，在Rt △ADC 中，222221()2AD AC DC AC BC =-=-， 12DE BD BE BC BE =-=-， ∴222211()()22AE AC BC BC BE =-+-=22221144AC BC BC BC BE BE -+-⋅+ =22AC BC BE BE -⋅+=2()AC BE BC BE --=2AC BE CE -⋅=100BE CE -⋅,故2100AE BE CE =-⋅．【点睛】 本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．（1）中掌握等面积法是解题关键；（2）中能借助勾股定理列出等量关系式建立线段之间的联系是解题关键．23．已知，等腰Rt△ABC，∠BAC=Rt∠，在直角边AB的左侧直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F．（1）依题意，在图1中补全示意图：当∠PAB=18°时，求∠ACF的度数；（2）当0°<∠PAB<90°且∠PAB≠45°时，求∠AFB的度数；（3）如图2，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．解析：（1）27°；（2）135°或45°；（3）FE2+FC2=2AB2，证明见解析【分析】（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出∠EAP=∠PAB=18°，得出∠EAC= 126°，证出AE=AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果（2）分两种情况：当0°<∠PAB<45°时，当45°<∠PAB<90°时分别求解即可（3）作CG⊥AP于G，由AAS证明ΔACG≌ΔBAM，得出CG=AM，证出点A是ΔBCE的外∠BAC=45°，得出ΔEFM和ΔCFG是等腰直角三角形，由勾股定理接圆的圆心，∠BEC=12即可得出结论【详解】解：（1）补全示意图如图所示连接AE，设AP与BE交于点M，如图：由轴对称的性质得AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°∴∠EAP=∠PAB=18°∴∠EAC=90°+2×18°=126°∵ΔABC是等腰直角三角形∴AB=AC∴AE=AC∴∠ACF=∠AEC=1(180°−126°)=27°2（2）当0°<∠PAB<45°时，如图：由（1）得∠AEC=∠ACE，∠EAP=∠PAB，∠CAB=90°在ΔAEC中∠AEC+∠ACE+∠EAF+∠BAF+∠BAC=180°∴2∠AEC+2∠EAF=90°∴∠AEC+∠EAF=45°∴∠AFE=135°∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴ΔAFE≌ΔAFB∴∠AFB=∠AFE=135°当45°<∠PAB<90°时，如图：∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴ΔAFE≌ΔAFB∴∠FEA=∠FBA∵AE=AB=AC∴∠FEA=∠FCA∴∠FCA=∠FBA即∠FCG=∠ABG在ΔABG与ΔFCG中∠FCG =∠ABG ，∠AGB =∠FGC∴∠CFG =∠BAG =90°∴∠AFB =∠AFE =45°由上可知，∠AFB 的度数为135°或45°（3）FE 2+FC 2=2AB 2，理由如下：由（2）得：FE=FB ，∠BFC =90°∴FB 2+FC 2=BC 2∴FE 2+FC 2=BC 2∵在ΔBAC 中BC 2=2AB 2∴FE 2+FC 2=2AB 2【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键24．利用所学的知识计算：（1）已知a b >，且2213a b +=，6ab =，求-a b 的值；（2）已知a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边长，若222568a b a b ++=+，求Rt △ABC 的周长．解析：（1）1；（2）12或7【分析】(1)根据完全平方公式变形解答；(2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为22(3)(4)0a b -+-=，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c ，即可得到周长．【详解】（1）∵2213a b +=，6ab =，∴222()213261a b a b ab =+-=-⨯=-，∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；（2）222568a b a b ++=+2225680a b a b ++--=22698160a a b b -++-+=22(3)(4)0a b -+-=∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，当a 与b 都是直角边时，5=，∴Rt △ABC 的周长=3+4+5=12；当a 为直角边，b 为斜边时，=，∴Rt △ABC 的周长=7【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝42cm，BC＝25cm，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为ts，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；解析：（1）2；（2）4或6＋42﹣25【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH＝x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P与H 重合时，CP⊥AB，此时t＝2；（2）由题意易知分两种情形①如图2中，当点Q与H重合时，BP＝2BQ＝4，②如图3中，当CP＝CB＝25时，CQ⊥PB，然后根据题意求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH＝x，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝∠CHA＝90°，∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，∴（2）2﹣（6﹣x）2＝（52﹣x2，解得x＝2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t＝2．（2）由（1）可得：BH=2，CH=4，∴点P的运动路程为1×t=t，∴如图2中，当点Q与H重合时，则有BP＝2BQ＝4，此时t＝4；如图3中，当CP ＝CB ＝25时，CQ ⊥PB ，此时t ＝6＋（42﹣25）＝6＋42﹣25．综上所述：当t ＝4或64225+-，△BCQ 是直角三角形．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．26．如图，ABC 中，AC=2AB=6，BC=33．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM+MN 的最小值为 ．解析：（1）3BE =2）33【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE CE =，在Rt ABE △中利用勾股定理列出方程即可求解；（2）根据题意画出图形，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：（1）连接AE ，，∵26AC AB ==，33BC =，∴222AC AB BC =+，∴ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，∵DE 垂直平分AC ，∴AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，∴()222333BE BE -=+，解得3BE =；（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANC ACB CAN AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC ≌CNA ，∴33AN BC ==【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．27．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角△PCQ ，其中∠PCQ ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图 1，若点P为线段AB 上一动点时，①求证：△ACP≌△BCQ；②试求线段PA，PB，PQ 三者之间的数量关系；（2）如图 2，若点P 在AB 的延长线上，求证：BQ⊥AP；（3）若动点P满足13PAPB,请直接写出PCAC的值．解析：（1）①见解析；②PA2+PB2=PQ2；（2）见解析；（31010【分析】（1）①在Rt△ABC和Rt△PCQ中，可证得∠ACP=∠BCQ，从而证明全等；②把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；（2）连接BQ，由（1）中①的方法，可证得结论；（3）分点P在线段AB上和线段BA的延长线上，分别利用PAPB=13，可找到PA和CD的关系，从而可找到PD和CD的关系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分别找到PC、AC和CD的关系，从而可求得PCAC的值．【详解】解：（1）①∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ；②连接BQ，∵△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∠CBE=∠A=45°，∴∠PBQ=90°，∴PB2+BQ2=PQ2，即PA2+PB2=PQ2；（2）证明：连接BQ，∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，∵∠ACP=∠ACB+∠BCP，∠BCQ=∠PCQ+∠BCP，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ=∠A=45°，∵∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，∴BQ⊥AP；（3）过点C作CD⊥AB于点D，∵PA PB =13， ∴点P 只能在线段AB 上或在线段BA 的延长线上，①如图3，当点P 在线段AB 上时，∵ PA PB =13， ∴PA =14AB =12CD =PD ， 在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP =22CD DP += 2212CD CD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=52CD ， 在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC = 22AD CD +=22CD =2CD ，∴PC AC =522CD CD =104； ②如图4，当点P 在线段BA 的延长上时，∵ PA PB =13， ∴PA =12AB =CD ， 在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP 22CD DP +()222CD CD +5，在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC 22AD CD +22CD 2CD ， ∴PC AC 52CD CD10 综上可知PC AC 1010． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，注意分类思想的理解与运用．28．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A C B A ---运动．设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）求AC 的长及斜边AB 上的高．（2）当点P 在CB 上时，①CP 的长为______________（用含t 的代数式表示）．②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为______________．（3）在整个运动过程中，直接写出BCP 是等腰三角形时t 的值．解析：（1）125；（2）①24t -；②83；（3）t 的值为0.5或4.75或5或5.3． 【分析】 （1）直接利用勾股定理即可求得AC 的长，再利用等面积法即可求得斜边AB 上的高； （2）①CP 的长度等于运动的路程减去AC 的长度，②过点P '作P 'D ⊥AB ，证明Rt △AC P '≌Rt △AD P '得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt △BD P '利用勾股定理即可求得t 的值；（3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，②当点P 在线段AB 上时，又分三种情况：BC=BP ；PC=BC ；PC=PB ，分别求得点P 运动的路程，再除以速度即可得出答案．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，∴在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=．∴AC 的长为4．设斜边AB 上的高为h ． ∵1122AB h AC BC ⨯⨯=⨯⨯， ∴1153422h ⨯⨯=⨯⨯， ∴125h =． ∴斜边AB 上的高为125． （2）已知点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动， ①当点P 在CB 上时，点P 运动的长度为：AC+CP=2t ，∵AC=4，∴CP=2t-AC=2t-4．故答案为：2t-4．②当点P '在∠BAC 的角平分线上时，过点P '作P 'D ⊥AB ，如图：∵A P '平分∠BAC ，P 'C ⊥AC ，P 'D ⊥AB ，∴P 'D=P 'C=2t-4，∵BC=3，∴B P '=3-（2t-4）=7-2t ，在Rt △AC P '和Rt △AD P '中，AP AP P D P C ''''=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AC P '≌Rt △AD P '（HL ），∴AD=AC=4，又∵AB=5，∴BD=1，在Rt △BD P '中，由勾股定理得：2221(24)(72)t t +-=- 解得：83t =， 故答案为：83； （3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，∴此时CP=BC=3，∴AP=AC-CP=4-3=1，∴2t=1，∴t=0.5；②当点P 在线段AB 上时，若BC=BP ，则点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3=10，∴2t=10，∴t=5；若PC=BC ，如图2，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则BP=2BH ，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，∴AB•CH=AC•BC ，∴5CH=4×3， ∴125CH =， 在Rt △BCH 中，由勾股定理得：22123() 1.85BH =-=， ∴BP=3.6， ∴点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，∴2t=10.6，∴t=5.3；若PC=PB ，如图3所示，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则30.52BQ CQ BC ==⨯=，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°，∴PQ ∥AC ，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2， 在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：223()2 2.52BP =+=， 点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，∴2t=9.5，∴t=4.75．综上，t 的值为0.5或4.75或5或5.3．【点睛】本题考查勾股定理，HL 定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．。
人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 课时训练(含答案)
人教版 八年级数学 第17章 勾股定理 课时训练一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数．．．，则点D 的个数共有( )A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个3. 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204. 三角形的三边为a b c ，，，由下列条件不能判断直角三角形的（ ） A ．::8:16:17a b c = B ．222a b c -=C ．()()2a b c b c =+-D ．::13:5:12a b c =如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<6. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定7. 已知ABC∆的三边为a、b、c，且4a b+=，1ab=，14c=，则ABC∆是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，GH D．AB，CD，EFFHGEDBCA二、填空题9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．10. 已知直角三角形两边x，y的长满足224560x y y-+-+=______________．11.大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为12. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．13.对边分别是，且满足的形状是15.的正方形的边长为7cm _______cm 2.三、解答题16.的一点，且18. 在ABC∆中，90,,A AB AC D∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD+=.D CBA人教版八年级物理第17章勾股定理课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选D. 2. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD 之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．3. 【答案】C【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得斜边为5.选C.4. 【答案】A5. 【答案】C【解析】a= 10,b=5,c= 13. 选D.6. 【答案】C【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C.7. 【答案】B【解析】∵4a b+=，1ab=，∴()()2222221621414a b a b ab c+=+-=-===，故ABC∆是直角三角形．8. 【答案】BB．二、填空题9. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.10.11.12.,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.13.【解析】14. 【答案】15..49cm2.三、解答题ACB =2.。
2017-2018年人教版八年级下《勾股定理》期末复习试卷含答案
勾股定理一、填空题(每小题3分，共18分)1．如果三角形的三边分别为2，6，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．2．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．a－b＝0，则△ABC的形状为3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系c2－a2－b2＋||____________．4．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△CDF，△DAE和△BCG是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于____________．5．(滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为____________．6．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20 cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为______ cm.二、选择题(每小题3分，共30分)7．在Rt△ABC中，已知两直角边长分别为1和3，则斜边的长为( )A．1 B．2.4 C．2 2 D.108．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③9 cm，40 cm，41 cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有( )A．②B．①②C．①③D．②③9．下列各命题的逆命题成立的是( )A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等10．下列选项中，不能用证明勾股定理的是( )11．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对12．在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是( ) A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．1∶4∶9 D．1∶3∶213．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 314．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是( )A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3 15．如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与起点B 的距离是( ) A.113 B ．8 C ．9 D ．1016．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( ) A ．4 B ．5 C ．2 3 D.833三、解答题(共52分)17．(8分)如图，已知某山的高度AC 为800米，在山上A 处与山下B 处各建一个索道口，且BC ＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18．(10分)在△ABC 中，a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2，其中m ，n 是正整数，且m ＞n ，试判断△ABC 是否是直角三角形．19．(10分)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示．图1 图2(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积．20．(12分)如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？21．(12分)在△ABC中，AB＝25，AC＝4，BC＝2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．参考答案1.90°2.83.等腰直角三角形4.105.(10，3)6.101326 7．D 8.D 8.C 10.D 11.A 12.D 13.D14.D 15.D 16.D17．根据已知，可得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝8002＋1 5002＝1 700(米).1 700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶．18．∵m ，n 是正整数，且m ＞n ，∴c ＞b ，c ＞a.∴a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4.又∵c 2＝(m 2＋n 2)2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．19．(1)这个零件符合要求．∵AB 2＋AD 2＝32＋42＝25，BD 2＝52＝25，∴AB 2＋AD 2＝BD 2.∴∠A ＝90°.又∵BD 2＋BC 2＝52＋122＝169，DC 2＝132＝169，∴BD 2＋BC 2＝DC 2.∴∠DBC ＝90°. (2)由(1)知∠A ＝90°，∠DBC ＝90°，∴这个零件的面积为12×3×4＋12×5×12＝36.20．分两种情况：(1)如图1，当∠B ＝90°时，设BC ＝ cm ，则AC ＝(70－) cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－)2＝502＋2，解得＝1207，则AC ＝70－＝3707.即该点将绳子分成长度分别为1207 cm 和3707cm 的两段．(2)如图2，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm 和40 cm.21．∵AC＝4，BC＝2，AB＝25，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ACB为直角三角形，即∠ACB＝90°.分三种情况：(1)如图1，过点D作DE⊥CB，垂足为点E.易证△ACB≌△BED.易求CD＝210；(2)如图2，过点D作DE⊥CA，垂足为点E.易证△ACB≌△DEA.易求CD＝213；(3)如图3，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F.易证△AFD≌△DEB，易求CD＝3 2.。
【三套打包】天津市人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理单元试卷及答案(2)
八年级数学下册第17章章末复习勾股定理人教版八年级数学下第十七章勾股定理章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．a＜c＜b D．c＜a＜b2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为()A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝____________．知识点2勾股定理的应用4．(哈尔滨中考)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)()A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是____________km；若A地在C地的正东方向，则B 地在C地的____________方向．7．(烟台中考)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____________．知识点3逆命题与逆定理8．命题“互为相反数的两个数和为0”的逆命题是____________________________________.9．“同旁内角互补”的逆命题是________________．它是____________命题．知识点4勾股定理的逆定理10．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形11．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°02中档题13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 c人教版八年级数学下册第十七章勾股定理复习检测试题一、选择题：1、下列命题中是假命题的是( )A.△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形2、下列各组数中，以a，b，c为三边的三角形不是直角三角形的是（）A.a=1.5，b=2，c=3B.a=7，b=24，c=25C.a=6，b=8，c=10D.a=3，b=4，c=53、如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式( )A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.c＜a＜bD.c＜b＜a4、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A.4B.8C.2D.46、若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（）A.20B.30C.40D.607、如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A.﹣1﹣B.1﹣C.﹣D.﹣1+8、如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A.6B.C.2πD.129、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A.6B.7C.8D.910、如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.52B.42C.76D.7211、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )A.(11－2)米B.(11－2)米C.(11－2)米D.(11－4)米12、如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A.3B.C.5D.二、填空题:13、如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8.则△ABC的周长为.14、如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________.15、在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=12，DC=EC=5.当点A、C、D在同一条直线上时，AF的长度为 .16、如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.17、如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点4出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的是长为__________________.18、一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为 m2.三、解答题:19、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点. （1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=；（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.20、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2.21、如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？22、中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船.（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长.23、如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上.（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，①求证：EF=EG.②求AF的长.24、在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法.（1）△ABC的面积为： .（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积.（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17；①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积.参考答案一、选择题。
(人教版)天津八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典测试卷(答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．643．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 4．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°5．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 6．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等7．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 8．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 9．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( ) A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点10．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 11．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL 12．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 13．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．314．下列命题，真命题是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等15．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．18．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．19．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．20．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D＝20°，则∠A＝_____．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．22．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝_____．23．如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动，同时，点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，x的值为_____________24．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，∠A=∠F，AC=FE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）25．如图，△ACB和△DCE中，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ADC＝∠BEC，若AB＝17，BD＝5，则S△BDE＝_______．26．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是_____．三、解答题=，连接27．如图，已知点D，E分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BD CE∠的度数．⊥于点H，求FAHAD，BE相交于点F，AH BE28．如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC．AD BC，E为AC的中点，连接DE并延长，交BC 29．如图，在四边形ABCD中，//于点F．（1）求证：DE EF =．（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．30．已知：直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点G ，H ，并且180AGE DHE ∠+∠=︒（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，点M 在直线AB ，CD 之间，连接GM ，HM ，求证：M AGM CHM ∠=∠+∠；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH 是BGM ∠的平分线，在MH 的延长线上取点N ，连接GN ，若N AGM ∠=∠，12M N FGN ∠=∠+∠，求MHG ∠的度数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天津市南开区2017-2018学年八年级下《勾股定理》课后练习含答案
2018年八年级数学下册勾股定理课后练习卷
一、选择题：
1、如果三角形的三边长分别为5，m，n，且满足(m+n)(m－n)=25，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法判断
2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为（）
A.26
B.18
C.20
D.21
4、在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
5、如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（）
A.5
B.6
C.3
D.4
6、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A.等腰三角形；
B.直角三角形；
C.等腰三角形或直角三角形；
D.等腰直角三角形。
7、如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1，S2+S3之间的关系是（）
A.S1>S2+S3
B.S1=S2+S3
C.S1<S2+S3
D.无法确定
8、如图，已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里[来源
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上且与AE重合，则CD等于（）
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
10、如图，Rt△A BC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，则AC＋BC等于( ).
A.5
B.
C.
D.
二、填空题:
11、已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为 .
12、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边是 .
13、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米.
14、已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为 .
15、如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是 .
16、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=15，则S2的值是.
三、作图题:
17、下图是单位长度为1的正方形网格.
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形.
图1 图2
四、解答题：
18、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上. （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）五边形ACBB′C′的周长为；
（3）四边形ACBB′的面积为；
（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 .
19、将长为2.5米的梯子AC斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5米（即图中BC的长）. （1）求梯子的顶端与地面的距离；
（2）若梯子顶端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移动了多少米？
20、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长.
参考答案
1、C
2、D
3、C.
4、C.
5、A
6、C
7、B
8、D
9、B.
10、B
11、答案为：13.
12、答案为 5或.
13、答案为：10.
14、答案为：或2.
15、
16、答案为：5.
17、（图略）.
18、(1)略；(2)；(3)7；(4) 连接CB’交l于P,；
19、（1）AB=(2分)==2；
(2) 设点A下滑到点，点C移动到点，
则=2－1.3=0.7，==2.4，=0.9.
20、。