_2020年太原市高三二模考试数学文科及其答案
2020年山西省高三第二次模拟考试数学(文)试题-含答案
2.若
z
1
2i
，则
z
4i z 1
A.1
B. 1
C. i
D. i
3.已知命题 p : n N , n2 2n ，则 p 为
A. n N , n2 2n B. n N , n2 2n
4.函数
f
x
ex
ex x2
的图象大致为
C. n N , n2 2n
D. n N , n2 =2n
5.设等比数列an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a1=
A.1 B. 2
C. 1 5
D. 1
6.已知单位向量 a ， b 满足 a + b =1，则 a 与 b 的夹角为
A.
B. 5
C.
D. 2
6
6
3
3
7.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 1 ， 3
则 cos
A. 1
B. 7 9
已知函数 f x ex x 1. .
（1）证明 f x 0 ；
（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n， 1
1 2
1
1 22
1
1 2n
m
，求
m
的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
我所选择的题号是： 22
23
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 高三数学（文科）答题卷 第 2 面 （共 2 面）
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】一、选择题1.已知集合()(){}210A x x x =-+<，{}11B x x =-≤≤，则AB =（ ） A. {}11x x -<≤ B. {}11x x -≤≤ C. {}12x x -<≤ D. {}12x x -≤≤ 【答案】A【解析】【分析】计算集合A ，根据交集的定义，与集合B 进行交集运算即可. 【详解】{}{}(2)(1)012A x x x x x =-+<=-<<,{}11B x x =-≤≤ {}11A B x x ⋂=-<≤故选：A【点睛】本题考查集合的运算，涉及一元二次不等式的解及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题2.设复数z 满足()1i z i -⋅=，则z =（ ） 22 C. 2 D. 12【答案】B【解析】【分析】 先求出复数z ，然后利用复数模的计算公式求复数的模.【详解】由()1i z i -⋅=，有()()()111112i i i i z i i i ⋅+-+===--+ 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解z 时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ）A. 18B. 10C. -14D. -22 【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q -==-①，()313161a q S q -==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()5515212122112a qS q ⎡⎤----⎣⎦∴===---- 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．4.已知5log 2a =，0.25b =，0.20.5c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】先将a ，b ，c 的大小与比较，得到1,1,1b a c ><<，再对a ，c 进行变形，判断a ，c 之间的大小即可.【详解】因为55log 2log 51a =<=，0.20551=>=b ，0.200.50.51=<=c ， 而522111log 2log 5log 42==<=a ，150.25110.5222⎛⎫===> ⎪⎝⎭c ， 所以a c <，所以a c b <<.故选：B【点睛】本题主要考查指、对、幂比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.5.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A. 11B. 13C. 14D. 17【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡继续执行循环：()12,120mod3,n =≡继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡继续执行循环：()15,150mod3,n =≡继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡跳出循环，输出17n =故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知sin （π4x -）14=，则sin2x 的值为（ ） A. 58 B. 68 C. 78 D. 38【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设4x y π-=,则1sin 4y =，217sin2sin2212124168x y cos y sin y π⎛⎫=-==-=-⨯= ⎪⎝⎭,选C. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.7.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设()1ln ,0=-->f x x x x ，用导数法可得ln 1x x <-，从而有()ln 1,1+<>-x x x ，可得()0f x >确定选项【详解】设()1ln ,0=-->f x x x x ，所以()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()()10f x f >=，所以ln 1x x <-，所以()ln 1,1+<>-x x x ，所以()()10ln 1=>-+f x x x ，排除B ，C ，D. 故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( ) A. 4M N B. ()4N M N - C. 2M N N + D. 42M N N+ 【答案】B【解析】【分析】首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.【详解】学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以1a b +>，22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，1a b +> 所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对， 由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N -=，故选：B .【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.9.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A. 12B. 35C. 12-D. 3 【答案】B【解析】【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a b a b θ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5a a b a ab θ⋅===⋅ 故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.10.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB 的面积为42|AB |=( )A. 2B. 4C. 23D. 8 【答案】D【解析】【分析】设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 22.【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |21t =+y 1﹣y 2|21t =+221212 ()41y y y y t +-=+21616t +△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 22 21616t +=2t =±1，则|AB |11=+ 1616+=8，故选：D .【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11.对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到()cosx sinx cosx f x sinx sinx cosx ≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx ≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误；当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，△PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为6-三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】由已知作出图象，找出二面角P AC B --的平面角，设出AB BC AC ，，的长，即可求出三棱锥P ABC -的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC 长度的字母表示），再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求. 【详解】如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED AC ⊥交AC 于点D ，连接PD ， 则PDE ∠为二面角P AC B -的平面角的补角，即有63cos PDE ， 易知AC ⊥面PDE ，则AC PD ⊥，而△PAC 为等边三角形，∴D 为AC 中点， 设22AB a BC b AC a b c ，，，则3PE PDsin PDE =∠=c 32c =， 故三棱锥P ABC -的体积为：1132V ab =⨯2231121212224c a b c abc c +⨯=≤⨯=， 当且仅当2a b ==时，体积最大，此时B D E 、、共线. 设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，由已知，248R ππ=，得2R =.过点O 作OF PE ⊥于F ，则四边形ODEF 为矩形， 则22()2c OD EF ==- 362ED OF PDcos PDE ==∠==，2c PE =， 在Rt △PFO 中22222()()(2())2222c c c =+-，解得2c = ∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为：332124243c ==. 故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.二、填空题13.若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________ 【答案】12e + 【解析】【分析】先将1x =代入切线方程求出切点坐标，然后代入曲线方程得m ，n 的一个方程①，然后求出曲线在1x =处的导数，令其等于e ，得另一个关于m ，n 的一个方程②，联立①②求解即可.【详解】解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1x f x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②. 联立①②解得：12m =，2e n =， 故11222e e m n ++=+=. 故答案为：12e +. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，若12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，则双曲线的离心率为______. 13+【解析】 【分析】在12PF F △中利用余弦定理可得2||PF ，再利用双曲线的定义可得,a c 关系，即可得到答案； 【详解】12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，∴2222221||(2)(2)2(2)(2)()12||232PF c c c c c PF c =+-⋅⋅⋅-=⇒=，∴223113223c c c a e a ⇒===--=， 故答案为：13+【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.已知ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，6a c +=，sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，则ABC面积的最大值是______. 【答案】22【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本关系式的应用求出结果. 【详解】解：因为sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，所以sin (3cos )sin (1cos )B A A B -=+， 整理得3sin sin cos sin sin cos B B A A A B -=+,所以3sin sin cos sin sin cos sin()sin sin sin B B A A A B A B A A C =++=++=+，由正弦定理得，3b a c =+， 因为 6a c +=，所以2b =，因为6a c +=，所以6a c =+≥2ac ，整理得ac ≤9，（当且仅当3a c ==时等号成立），所以2222()2416cos 22a c b a c ac ac B ac ac ac+-+---===， 所以24sin 1cos 216B B ac ac=-=- 所以1421622162ABCSac ac ac ac=⨯-=-2291622⨯-= 当且仅当3a c ==时等号成立， 所以ABC 面积的最大值为22 故答案为：22【点睛】此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用，基本不等式的应用，考查运算能力和转换能力，属于中档题.16.中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为()*,,,,,a b c a b c a b c N >>∈，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分4a =分； ②甲可能有一场比赛获得第二名； ③乙有四场比赛获得第三名； ④丙可能有一场比赛获得第一名. 则以上说法中正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据总分得到8a b c ++=，根据甲得分得到5a ≥，计算5a =，2b =，1c =，得到每个选手的得分情况，得到答案.【详解】根据题意：()626111148a b c ++=++=，故8a b c ++=，88215a c b =--≤--=，甲不是全部得到第一，故626a >，故133a >，即5a ≥，故5a =，2b =，1c =. 故甲有5个第一，0个第二，1个第三；乙有1个第一，1个第二，4个第三；丙有0个第一，5个第二，1个第三.对比选项知：③正确. 故答案为：③.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，1311n n a a ，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =， 当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--， 则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴1311n na a ，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. （2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=， ∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴111111221 (2233411)n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18.按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d 的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm ）：d[18,20)[20,22) [22,24) [24,26) [26,28)等级 三级品 二级品一级品 特级品特级品 频数 1m 29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个. （1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B 种植户的收益更高，详见解析. 【解析】 分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解方程求得n =51后，即可得解；（2）分别计算出选择两个方案的的收益，比较大小即可得解.【详解】（1）由题意1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解得m =12，n =51，所以特级品的频率为51+7=0.58100， 所以可估计这批水果中特级品的比例为58%；（2）选用方案A ，种植户的收益为20000 6.5130000⨯=（元）； 选用方案B ，由题意可得种植户的收益为：1112295820000203+4+5+820100100100100⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭132000=； 由132000130000>可得选择B 方案种植户的收益更高.【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，考查了利用频率估计样本总体的应用，关键是对于题意的理解，属于基础题.19.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，点F 在AB 上，且4AB AF =.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求点F 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】 【分析】（1）过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，根据2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，利用平面几何的知识，得到12DH =，再结合4AB AF =，即12AF =，得到FH DC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到DC ⊥面EFH 即可.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，将点F 到平面ADE 的距离转化为点H 到平面ADE 的距离，根据侧面PCD ⊥底面ABCD ，得到AD ⊥侧面PDC ，设点H 到平面ADE 的距离为d ，利用等体积法由H ADE A DEH V V --=求解.【详解】（1）如图所示：过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，因为2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点， 所以33,cos302===CE CH CE ， 所以12DH =， ∵底面ABCD 是正方形，4AB AF =，即12AF =， ∴AFHD 是矩形， ∴FH DC ⊥， 又EH DC ⊥，EH FH H =，∴DC ⊥面EFH ， 又∵EF ⊂面EFH ， ∴DC EF ⊥.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD DE ⊥，在三棱锥H ADE -中，设点H 到平面ADE 的距离为d ， 由于H ADE A DEH V V --=， ∴1133DEH ADE S AD S d ⋅⋅=⋅⋅， 在侧面PCD 中，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 中点， ∴1DE =，3EH =11113232∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅DH EH AD AD DE d ∴111311221322232⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯d ， ∴3d =， 即点F 到平面ADE 3【点睛】本题主要考查线面垂直与线线垂直的转化，点到面的距离以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3一个顶点为()0,1M ，直线l 交椭圆于,A B 两点，且M A M B ⊥.（1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及性质，列出方程组，求解即可；（2）设出直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，将M A M B ⊥转化为数量积为0，求出m 的值，即可证明直线l 过定点.【详解】解：（1）由题意得222222341c a b e a a b ⎧-===⎪⎨⎪=⎩解得24a =，21b =所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）依题意，直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-= 得122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+所以()12122y y k x x m +=++，()22121212y y k x x mk x x m =+++∵M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=，即()()1212110x x y y +--=代入整理得222222444210141414m m k mk k k --+-+=+++即25230m m --=，解得35m =-，1m =（舍） 所以直线l 过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中直线过定点问题，属于中档题. 21.已知()2ln 1af x x x=++. （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，对任意满足()()1221f x f x m ==+的正实数1x ，()212x x x <，都有121x x +>.【答案】（1）320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由()f x 求导得到()2222a x af x x x x-'=-=，再分0a ≤和0a >两种情况结合零点存在定理讨论求解.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得到112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，然后两式相减解得1212112ln x x x x x -=，2122112ln x x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=，然后构造函数()12ln h t t t t =--，用导数法证明()0h t >即可.【详解】（1）()f x 的定义域是0x >，()2222a x af x x x x -'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点； ②当0a >时，由()220x a f x x -'==，得02a x =>， 当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在定义域上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 的定义域上单调递增； ∴2ax =时，()f x 取得极小值. 因为()f x 有两个零点，所以02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，解得3202a e -<<， ∵()30a f e e =+>，∴()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一实数根： 取2022a ax e =<，设()21ln 2a g a a a -=-，()()2222111022a a g a a a a -+'=-=-<， 所以()g a 在()0,1上递减， 所以()()10g a g >=，即21ln 2a a a->，则()22222012324ln 34302e a e a e a f x a a a a a-+--=-+>⋅-+=>，∴()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一实数根. 综上，a 的取值范围是320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，两式相减得：()1221122ln ln 0x x x x x x --+=， 则1212112ln x x x x x -=，2122112lnx x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=， 设()12ln h t t t t=--，()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，∴()h t 在()1,+∞上为增函数，()()10h t h >=， 又()2ln 01t t >>，∴112ln t t t ->， 即121x x +>.【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论的思想和转化求解问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线1(0)2πθββ=<<与曲线C 2交于O ，P 两点，射线22πθβ=+与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值.【答案】（Ⅰ）10x y -+=，4cos ρθ=；（Ⅱ）22【解析】【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数t ，即得曲线C 1的普通方程. 由曲线C 2的参数方程消去参数α，得曲线C 2的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.曲线C 1的普通方程化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ-+=，则点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭.由112POQ S OP OQ =⨯⨯=，求出β，即求OP 的值. 【详解】（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数），消去参数t ，得曲线C 1直角坐标方程为：10x y -+=.曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α， 得直角坐标方程为2240x y x +-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）由曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.由于直线C 1的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，可得点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭， 114cos 12cos sin POQ S βββ∴=⨯⨯=+， cos sin ,4πβββ∴=∴=. ∴|OP |＝4cos 22β=【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.23.已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】证明：（Ⅰ）1111112221118a b c b c a c a b bc ac ab a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a=b=c ”时取等号； （Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 22113(333222b c a c a b b c a c a b≥+++-=⨯-=+++，当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．。
山西省太原市2020届高三年级数学文科模拟试题(三) (含答案)
．．'4已知等差数列｛αn｝的前h项和为S斗，且α2＝一2，α8= 10，则s9=太原市2020年高三年级模拟试题（三）B.42D. 36土豆J E；工1b=2b否C.3共60分）第I卷（选择题D.2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符•干棘7.已知sinα－cosα＝）豆，αε（0，τ），则ta nα＝合题目要求的．空斟半生，D. 1v2C.一－2B.( I'1)A. (-1, +oo)'lT8＇.已知向量e,,e2是夹角为一的两个单位向量，贝Ua=2e,+e2与b=-3e1 +2e2的夹角为3D. (I' +oo)c. (f,2)'lTB-3'lTA.-62.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们D.三主6c.主主3的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，'lT9.把函数f( x) = si r巾的图象向右平移一个单位后，得到函数y=g(x）的图象．则g（川的解12B. 10其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=A.9析式是D. 13c. 12B.g(x)= _..!_co s j2x -王\ 12A.g(x)＝圳市＋主123.设复数z满足I z -11 = I z -i IC i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（坷，y），则D.g(x）＝争巾1－2＋C仲）＝－±叫2x-iB.y = xD.(x + 1)2 +( y + 1)2 = 1高三数学（文｝第2页（共8页）第1页（共8页）高三数学（文）A. 455.''x>1”是“l o g2x＞。
”的c.25学试卷（文科）数.A.充分不必要条件c.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的α，b分别为3,1，则输出的n等于B.必要不充分条件A.5B.4注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第E卷5至8页。
山西省太原市2020届高三年级模拟试题(二)数学(文科)试卷含答案
太原市2020年高三年级模拟试题（二）数学试卷（文科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0)1)(2(<+−=x x x A ，{}11≤≤−=x x B ，则AB ∩= A ．{}1x x −＜≤1 B ．{}1x x −≤≤1C ．{}1x x −＜≤2D ． {}1x x −≤≤22．设复数z 满足(1－i)·z=i ，则z =A B ．2C ． 2D ．123．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2S =2，3S =－6，则5S = A ．－22 B ．－14 C ．10 D ．184．已知2.02.055.052log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b 5．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N(modm)表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4(mod6)．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．176．已知1sin()44x π−=，则sin 2x = A ．1516 B ．916 C ．78 D ．1516±7．函数)1ln(1)(+−=x x x f 的图象大致为8．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N N M +2 C ．N M N )(4− D ．NNM 24+ 9．已知a ，b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +−⊥，且=a b a b +−2，则cos θ=A ．12 B ．35 C ．1-2 D ．-210．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．811．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(−−+=．有下列说法： ①f （x ）的值城为[-1，1]；②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③12．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36−，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为A ．1B ．2C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若曲线n me x f x+=)(在点))1(,1(f 处的切线方程为ex y =，则n m += .14．已知双曲线)00(12222>>=−b a by a x ，的左、右焦点分别为21F F 、，点P 是双曲线上一点，若21F PF ∆为等腰三角形，12021=∠F PF ，则双曲线的离心率为 .15．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，a+c=6，AAB B cos 3sin cos 1sin −=+，则△ABC 面积的最大值是 .16．中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为a ，b ，c （a>b>c ，a ，b ，c *N ∈），选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分a=4分；②甲可能有一场比赛获得第二名； ③乙有四场比赛获得第三名； ④丙可能有一场比赛获得第一名. 则以上说法中正确的序号是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足323−+=n a S n n （Ⅰ）求证：数列{}1−n a 是等比数列；（Ⅱ）若nn n n b c a a a b 1).1(log )1(log )1(log 32313=−++−+−= .求数列{}n c 的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）按照水果市场的需要等因素，水果种植户把这种成熟后的水果按其直径d 的大小分为了不同的等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售，为了了解这种水果的质量等级情况，随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表：（单位：mm ）用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品中共抽取6个，其中一级品2个. （Ⅰ）估计这批水果中特级品的比例；（Ⅱ）已知样本中这种水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果代售，商家提出两种收购方案；方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，∠PDC=120°，E 是PC 的中点，点F 在AB 上，且AB=4AF.（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；（Ⅱ）求点F 到平面ADE 的距离.20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的离心率为23，一个顶点为)1,0(M ，直线l 交椭圆于A ，B 两点，且MA ⊥MB.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）证明：直线l 过定点.21．（本小题满分12分）已知函数1ln 2)(++=xa x x f （Ⅰ）若函数)(x f 有两个零点，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当1=a 时，对任意满足12)()(21+==m x f x f 的正实数)(2121x x x x <，，都有121>+x x .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=112,1t t y t t x （t 为参数） ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x （α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线)20(1πββθ<<=与曲线C 2交于O ，P 两点，射线βπθ+=22与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a+b+c= 1，证明：8)11)(11)(11(≥−−−cb a ；（Ⅱ）证明：23≥+++++b a c c a b c b a。
【6月太原五中高考二模文数】2020年6月27日太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试文数试卷含答案
高三数学第1页,共6页高三数学第2页,共6页密封线学校班级姓名学号密封线内不得答题太原五中2019-2020学年度6月份月考试题（二）高三数学(文)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1.已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则B A ⋂（）A ．{|2}x x ≥-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|22}x x -≤≤2.已知复数i ai z -+=12是纯虚数，则实数a 等于().A 5.B 2.C 3.D 23.等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若473a a =，则410a S 的值为（）.A 15.B 20.C 25.D 404.2020年全球“新冠”疫情暴发，严重影响了人们的常态生活.某市据统计得到5月份居民消费的各类商品及服务价格环比（与4月份相比）变动情况如下图：则下列叙述不正确的是（）.A 八大消费价格环比呈现四涨四平.B 其他用品和服务价格环比涨幅最大.C 生活用品服务和医疗保健价格环比涨幅相同.D 5月份居民消费平均价格环比持平5.下列有关命题说法错误的是（）.A 若“ q P ∨”为假命题，则P 与q 均为假命题.B “1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件.C “21sin =x ”的必要不充分条件是“6π=x ”.D 若命题:p ,0R x ∈∃020≥x ，则命题:P ⌝0,2<∈∀x R x6.函数x x x f 1cos 3)(+=的部分图象大致是（）7.执行如图所示的程序框图，如果输入的t x ,均为2，则输出的M 等于().A 21.B 23.C 25.D 278.如图（1）所示某宾馆地毯上的图案，它是一个轴对称图形，可以从中抽象出一个正八边形，且在该正八边形中有一个边长和该正八边形边长相等的正方形，如图（2）所示，若向图（2）的正八边形中任意地投掷一个点，则该点落在该正方形内的概率是（）o x y A o x yB o x y D o x yC 0.10.00.20.5饮食烟酒0.0衣着0.0居住0.0生活用品及服务交通和通信0.1教育文化娱乐0.3医疗保健0.1其他用品服务0.40.00.30.4高三数学第3页,共6页高三数学第4页,共6页密封线内不得答题.A 723-.B 21-2.C 31-2.D 1424-9.定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且当1≥x 时，)(x f 为增函数，则)2(log 3f a =，)21log (3-=f b ，)3(f c =的大小关系正确的是（）.A c b a >>.B a c b >>.C b a c >>.D ab c >>10.已知F 为抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点，过F 的直线l 交C 于A 、B 两点，与C 的准线交于点M，若0=+AM AB 等于().A p 43.B p 2.C p 3.D p4911.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C是该平面上不共线的三个点，动点P满足ACABOA OP ++=λ，),0[+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC∆的（）.A 重心B .垂心.C 外心.D 内心12.已知在ABC ∆中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足AQ C AC B AB =⋅+⋅sin sin，且AC AH 21=等于（）.A 774.B 74.C 334.D 72第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量非零向量a 、b 的夹角为32π，且满足：2=3=，则=+14.若),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x ，设A (3,4),则y x z 2-=的最大值与最小值之和为15.已知正三棱锥ABC P -，32=AB ，52=PA ，则此三棱锥外接球的体积为16.设函数)(x f 是定义在R 上的函数，其导函数为)(x f '，若1)()(>'+x f x f ，2020)0(=f ，则不等式2019)(+>x x e x f e 的解集为三、解答题（每小题12分，共60分）17.（满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,.（1）证明：2cos 2sin 2sin sin C A C A C A -+=+；（2）若c b a ,,成等差数列，且ac b c a 23222=-+，求2cos C A -的值.18.（满分12分）如图在四棱锥ABCD S -的侧面SAD 为正三角形，DC AB //，且AD AB ⊥，,42==CD AB E 是SB 的中点.（Ⅰ）//CE 平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，SB =24，求多面体SACE 的体积.S A B C D E 图（1）图（2）。
2020届山西省太原市高考数学二模试卷(含解析)
2020届山西省太原市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果复数m2+i是纯虚数，那么实数m等于()1+miA. 1B. 0C. 0 或 1D. 0 或−12.如果集合，，，那么()等于()A. B. C. D.3.对于程序：试问，若输入m=−4，则输出的数为()INPUT mIF m>−4THENm=2∗m+1ELSE m=1−mEND IFPRINT mENDA. 9B. −7C. 5或−7D. 54.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则向量a⃗−b⃗ 在向量a⃗+b⃗ 上的投影是()D. −3A. −√3B. √3C. √335.若实数满足，则曲线与曲线的A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等6.将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是()A.B.C.D.7.下面是2015年至2018年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状图：注：人口出生率=年出生人口年平均人口×100%人口死亡率=年死亡人口年平均人口×100%人口自然增长率=人口出生率−人口死亡率下面说法正确的是()A. 2016年我国二孩政策的全面实施后，人口出生率不断提升B. 2015年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降C. 2016年以来，我国人口增速逐渐放缓D. 2018年人口较2017年减少8.cos39°cos(−9°)−sin39°sin(−9°)等于()A. 12B. √32C. −12D. −√329.若棱长为√2的正四面体的4个顶点都在一个球面上，则该球的体积为()A. √3πB. √32π C. √34π D. √36π10.直线y=2x与直线y=2x+5间的距离为()A. 52B. √5 C. 5 D. √5211.直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是()A. B.C.D.12. 实数x ，y 满足{y ≥0x −y ≥02x −y −2≥0，则t =y−1x+1的取值范围是( ) A. [−12,1)B. [−12,+∞)C. [−1,13]D. [−12,13]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 4、将3封信投入到两个信箱，则每个信箱都有信的概率为 ．14. 由三条直线x =0，x =2，y =0和曲线y =x 3所围成的图形的面积为______ ． 15. sin347°cos148°+sin32°cos13°= ______ ．16. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x =−2对称，当x ∈[0,2]时，f(x)=2x −1，则f(−6)= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是首项为19，公差为−4的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(Ⅰ)求通项a n 及S n ；(Ⅱ)设{b n −a n }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB//CD ，AB =2AD =2CD =2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20∼10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20∼9：40记作区间[20,40)，9：40∼10：00记作[40,60)，10：00∼10：20记作[60,80)，10：20∼10：40记作[80,100].例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20∼10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20∼10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20∼10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数(结果保留到整数)．参考数据：若T∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<T≤μ≤σ)=0.6827；②P(μ−2σ<T≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<T≤μ+3σ)=0.9973．20.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l：x+y=0的一个交点的横坐标为4．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，若|AF|=3，求线段AB的长．e−2x21.已知函数f(x)=1+ax1−x(1)若函数y=f(x)在x=2时有极值，求a的值；(2)若对任意x∈(0,1)时，f(x)>1恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(4+5sin 2θ)=36． (1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)设P(−2,0)，l 和C 相交于A ，B 两点，若|PA|⋅|PB|=4，求sinα的值．23. 直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作于。
2020年太原市高三二模考试数学文科参考答案
太原市2020年高三年级模拟试题（二）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 1 14.15. 16. ③ 三、解答题（共70分） （一）必考题17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =， ..................................1分 当2n ≥时，113(1)32n n S a n --=+--， 则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+， 即132n n a a -=-， ..................................4分1n a ∴-=13(1)n a --, ..................................5分 ∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. ...................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得13nn a -=， .................................7分31323(1)log (1)log (1)...log (1)123 (2)n n n n b a a a n +∴=-+-++-=++++=，.....9分 12112()(1)1n n c b n n n n ∴===-++， ...................................10分 111111122(1...)2233411n nT n n n ∴=-+-+-++-=++. ...................................12分 18.（本小题满分12分）解（Ⅰ）由已知得1297100,74,292m n n ++++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ ...................................2分解得12,51m n ==， ...................................3分 所以特级品的频率为517100+=0.58， 所以这批水果中特级品的比例为58%. ...................................5分 （Ⅱ）选用方案A ，种植户的收益为20000×6.5=130000 （元）， ...................................7分 选用方案B ，种植户的收益为 13124295588200002020100100100100⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯+++⎢⎥⎣⎦132000=， ...................................11分132000130000>，所以选用方案B. ...................................12分19.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）过E 作EH ⊥DC 于H ，连结FH ，可得DH=12，....................2分 ∵底面ABCD 是正方形，AB=4AF ，即，∴AFHD 是矩形， ∴FH ⊥DC ， ...................................3分 又EH ⊥DC ，EH∩FH=H ，∴DC ⊥面EFH ， ...................................5分又∵EF ⊂面EFH ，∴DC ⊥EF ． ...................................6分 （II ）由（I ）知，FH ∥平面ADE ，∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ...................................7分 ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD ⊥DE ，在三棱锥H ﹣ADE 中，设点H 到平面ADE 的距离为d ， 由于V H ﹣ADE =V A ﹣DEH ， ∴=， ...................................9分在侧面PCD 中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E 是PC 中点，∴DE=1，EH =∴12212d =⨯⨯， ...................................11分∴d =F 到平面ADE． ...................................12分HMA MB ⊥0MA MB ∴⋅=，即代入整理得22224414m k k k --++即2520m -，解得m =-所以直线l 3 21.（本小题满分12分） 解（Ⅰ）()f x 的定义域是，2222()a x a f x x x x -'=-=， ................................1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；...........2分 x fx分()f e =3，取202a x e =则0()4ln f x = 综上，a 分（Ⅱ）当1a =时，由12()()21f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩两式相减得1221122(ln ln )0x x x x x x --+=，则1212112ln x x x x x -=，2122112lnx xx x x -=,【选修4-4：坐标系与参数方程】22.（本小题满分10分）解（Ⅰ）由,121,1t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩消去参数t 得曲线1C 普通方程为10x y -+=， ........................2分由22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α得曲线2C 的直角坐标为2240x y x +-=，得曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ..................................5分 （Ⅱ）由4cos ρθ=得点P 坐标为(4cos ,)P ββ(0)2πβ<<，又直线10x y -+=的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 得点1(,)cos sin 2Q πβββ++， .......................................7分114cos 12cos sin OPQ S βββ∆=⋅⋅=+， ..................................8分cos sin ββ=，4πβ=，OP =4cos β=..................................10分【选修4-5：不等式选讲】 23.（本小题满分10分） 证明（Ⅰ）111111(1)(1)(1)a b c b c a c a ba b c a b c a b c---+++---=⋅⋅=⋅⋅8≥= . ..................................5分 （Ⅱ）(1)(1)(1)a b c a b c a b c a b cb c a c a b b c a c a b++++++++=-+-+-++++++1111[()()()]()32b c a c a b b c a c a b=+++++++-+++2132≥-2133322=⨯-=. ..................................10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西省太原市高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数4+3i3−4i=()A. 45+35i B. 425+325i C. −i D. i2.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，则A∩B=()A. [1,3]B. [3,5]C. [5,6]D. [1,6]3.阅读如图所示程序框图，若输入x=8，则输出的结果为()A. 3B. 4C. 5D. 64.已知|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅b⃗ =3,则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. π3C. π4D. π65.若双曲线t2y2−x2=t2(t≠0)经过点(2,√2)，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √56.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 37.为防止某种疾病，今研制一种新的预防药，任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：患病未患病总计服用药154055没服用药202545总计3565100K2的观测值为3.2079，则在犯错误的概率不超过()的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”．参考数据：P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A. 0.025B. 0.05C. 0.010D. 0.108.若sinαsinβ=1，则cos(α−β)的值为()A. 0B. 1C. ±1D. −19.在三棱锥D−ABC中，已知AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D−ABC外接球的表面积为()A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π10.P、Q分别为直线3x+4y−10=0与6x+8y+5=0上任意点，则|PQ|的最小值为()A. 95B. 52C. 3D. 611.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为A. √6B. √3C. 6D. 312.若实数x，y满足{2x−y≥0,y≥x,y≥−x+b,且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为()A. 1B. √2C. 94D. 52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为______．14.在平面直角坐标系xOy中，直线x=a(a>0)与曲线y=√x及x轴所围成的封闭图形的面积为23，则a=______ ．15.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足，S△ABC=√32，则A=________，________16.设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x≤3,−3x+1,x>3，若函数y=f(x)−m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n(a n+1),n∈N∗,a2=3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1(a n+1+1)(a2n+1)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠ABC=90°，△ADP是边长为2的等边三角形，且AD=AB，BP=3，AD⊥PB，E为AD的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面PBE；(Ⅱ)求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．19.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M、N是C上关于焦点F对称的两点，C在点M、)．点N处的切线相交于点(0 , −12(1)求C的方程；(2)直线l交C于A、B两点，k OA⋅k OB=−2且△OAB的面积为16，求l的方程．21.已知f(x)=xlnx．(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)−ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是曲线E：{x=cosθy=2+2cosθ(θ为参数)上的一点，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以C为圆心的圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，求线段PC长的最大值．23.设函数f(x)=|x−1|+|x−a|，a∈R．(1)当a=4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：化简可得4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i) (3−4i)(3+4i)=12+12i2+16i+9i9−16i2=25i25=i故选：D．分子分母同乘以分母的共轭复数3+4i，化简可得．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．2.答案：B解析：解：∵A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}；∴A∩B=[3,5]．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析变量值满足的条件，可得答案．【解答】解：∵x=8>1，，故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查向量的数量积以及向量的夹角公式，属于简单题．根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅b⃗ =3,则．故选B．5.答案：D解析：【分析】根据已知求出双曲线的标准方程，进而得到a，c的值，代入可得双曲线的离心率．本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知求出双曲线的标准方程是解答的关键．【解答】解：因为双曲线t2y2−x2=t2(t≠0)经过点(2,√2)，所以2t2−4=t2，所以t2=4，=1，所以双曲线的标准方程为y2−x24所以a=1，b=2，c=√5，=√5，所以双曲线的离心率为e=ca故选：D．6.答案：D解析：【分析】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．【解答】解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选D．7.答案：D解析：解：根据参考数据：P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 2∵K2=3.2079>2.706，∴则在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”．故选：D．根据K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．本题考查独立性检验的应用，考查学生的分析能力，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由sinαsinβ=1得cosαcosβ=0，再根据两角和与差的余弦公式即可求出答案．【解答】解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，∴cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1．9.答案：A解析：解：∵AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=。
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(文)试题
解：将 代入 ，得切点为 ，
①，
又 ，
， ②.
联立①②解得： ， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
在 中利用余弦定理可得 ，再利用双曲线的定义可得 关系，即可得到答案；
【详解】
为等腰三角形， ，
【点睛】
本题主要考查指、对、幂比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.
【详解】
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
跳出循环，输出
故选：D
【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.
A．1B．2C．3D．4
12．三棱锥 中， ，△ 为等边三角形，二面角 的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .则三棱锥体积的最大值为（）
A． B． C． D．
13．若曲线 在 处的切线方程为 ，则 __________
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 是双曲线上一点，若 为等腰三角形， ，则双曲线的离心率为______.
15．已知 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边， ， ，则 面积的最大值是______.
16．中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分 场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为 ，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为 分，乙和丙最后得分都为 分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：
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太原市2020年高三年级模拟试题（二）
数学试题（文）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 1 14. 15. 16. ③ 三、解答题（共70分）
（一）必考题
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当1n =时，1113132S a a ==
+-，得14a =， ..................................1分 当2n ≥时，113(1)32
n n S a n --=+--， 则1133122
n n n n n a S S a a --=-=-+， 即132n n a a -=-， ..................................4分 1n a ∴-=13(1)n a --, ..................................5分 ∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. ...................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得13n
n a -=， .................................7分 31323(1)log (1)log (1)...log (1)123...2n n n n b a a a n +∴=-+-++-=++++=
，.....9分 12112()(1)1
n n c b n n n n ∴===-++， ...................................10分 111111122(1...)2233411
n n T n n n ∴=-+-+-++-=++. ...................................12分 18.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由已知得1297100,74,29
2m n n ++++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ ...................................2分
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解得12,51m n ==， ...................................3分 所以特级品的频率为517100
+=0.58， 所以这批水果中特级品的比例为58%. ...................................5分 （Ⅱ）选用方案A ，种植户的收益为
20000×6.5=130000 （元）， ...................................7分 选用方案B ，种植户的收益为
13124295588200002020100100100100⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯+++⎢⎥⎣⎦
132000=， ...................................11分 132000130000>，
所以选用方案B. ...................................12分
19.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）过E 作EH ⊥DC 于H ，连结FH ，可得DH=
12
，....................2分 ∵底面ABCD 是正方形，AB=4AF ，即， ∴AFHD 是矩形， ∴FH ⊥DC ， ...................................3分
又EH ⊥DC ，EH∩FH=H ，
∴DC ⊥面EFH ， ...................................5分
又∵EF ⊂面EFH ，
∴DC ⊥EF ． ...................................6分
（II ）由（I ）知，FH ∥平面ADE ，
∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ...................................7分 ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，
∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD ⊥DE ，
在三棱锥H ﹣ADE 中，设点H 到平面ADE 的距离为d ，
由于V H ﹣ADE =V A ﹣DEH ， ∴
= ， ...................................9分 在侧面PCD 中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E 是PC 中点，∴DE=1
，EH =
∴12212d =⨯⨯， ...................................11分
∴d =
F 到平面ADE
． ...................................12分
H
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MA MB ⊥0MA MB ∴⋅=，即代入整理得22224414m k k k --++即2520m -，解得m =-所以直线l 3 21.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）()f x 的定义域是，22
22()a x a f x x x x -'=-=， ................................1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；...........2分 x f x
第 4 页 共 5 页 分 ()f e =3，取202a x e =
则0()
4ln f x = 综上，a 分 （Ⅱ）当1a =时，由12()()21f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩
两式相减得1221122(ln ln )0x x x x x x --+=，则1212112ln x x x x x -
=，2122112ln x x x x x -=,
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.（本小题满分10分） 解（Ⅰ）由,121,1t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
消去参数t 得曲线1C 普通方程为10x y -+=， ........................2分 由22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨
=⎩消去参数α得曲线2C 的直角坐标为2240x y x +-=，
第 5 页 共 5 页 得曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ..................................5分 （Ⅱ）由4cos ρθ=得点P 坐标为(4cos ,)P ββ(0)2π
β<<，
又直线10x y -+=的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 得点1(,)cos sin 2
Q πβββ++， .......................................7分
114cos 12cos sin OPQ S βββ
∆=⋅⋅=+， ..................................8分
cos sin ββ=，4π
β=，
OP
=4cos β=..................................10分
【选修4-5：不等式选讲】
23.（本小题满分10分） 证明（Ⅰ）111111(1)(1)(1)a b c b c a c a b a b c a b c a b c
---+++---=
⋅⋅=⋅⋅
8≥= . ..................................5分 （Ⅱ）
(1)(1)(1)a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++++=-+-+-++++++
1111[()()()]()32b c a c a b b c a c a b
=+++++++-+++
2132≥-
2133322
=⨯-=. ..................................10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。