柯西不等式学生
柯西不等式好题-学生版
1. 求证：ac+bd ≤22b a+柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121或1ni ii a b=≤∑其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 一、 证明不等式1. 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥2. 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>−+−++−+−++a a a a a a a a n n n3. 求证：()().22221122212221y x y x y y x x +++≥+++4.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 5.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++6.若a >b >c 求证：ca cb b a −≥−+−411 7.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 8. 已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：9. 设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：,121221⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a10. 若n 是不小于2的正整数，试证：11. 设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n ³2)且， 求证： 二、求解最值12. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 13. 设非负实数n ααα⋅⋅⋅21,满足,121=+⋅⋅⋅++n ααα求1213`122111_1−++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++n n n nααααααααααα的最小值。
柯西不等式教案
柯西不等式教案教案标题：柯西不等式教案教案目标：1. 理解柯西不等式的概念和原理。
2. 掌握柯西不等式的应用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教材：包含柯西不等式相关知识点的数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色笔、计算器等。
3. 学生资源：学生课本、笔记本、作业本等。
教学过程：步骤一：导入1. 利用黑板或白板，写下柯西不等式的定义和公式。
2. 向学生提问：“你们对柯西不等式有什么了解？它在数学中的应用是什么？”步骤二：概念讲解1. 通过讲解，向学生介绍柯西不等式的概念和原理。
2. 强调柯西不等式的重要性和应用领域，如线性代数、概率论等。
3. 通过示例，帮助学生理解柯西不等式的具体应用。
步骤三：应用演练1. 提供一些简单的柯西不等式应用题，让学生尝试解答。
2. 引导学生分析解题思路和方法，帮助他们逐步掌握解题技巧。
3. 鼓励学生在解题过程中提出问题、讨论和交流，促进他们的思维发展。
步骤四：拓展练习1. 提供一些较难的柯西不等式应用题，挑战学生的解题能力。
2. 引导学生运用柯西不等式解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进合作学习和互相学习。
步骤五：总结和归纳1. 通过讨论和总结，概括柯西不等式的关键概念和应用方法。
2. 强调柯西不等式的重要性，鼓励学生在数学学习中灵活应用该不等式。
步骤六：作业布置1. 布置与柯西不等式相关的作业题目，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提高他们的问题解决能力。
教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，教师可以适当调整教学步骤和难度。
在教学过程中，要注重启发学生的思维，激发他们的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，教师还应根据学生的学习情况进行及时的巩固和复习，以确保他们对柯西不等式的理解和应用能力的提高。
柯西不等式高中
柯西不等式高中柯西不等式在高中数学中的应用引言：柯西不等式是数学分析中的经典不等式之一，它以法国数学家Augustin-Louis Cauchy的名字命名。
柯西不等式是数学中的一个基本定理，有着广泛的应用，特别是在线性代数和函数分析中。
在高中数学教学中，柯西不等式也是一个重要的概念，它具有简单的形式和直观的几何意义，可以帮助学生更好地理解和应用各种数学知识。
本文将详细介绍柯西不等式在高中数学教学中的应用。
一、柯西不等式的表述柯西不等式的一般形式如下：若a1，a2，...，an和b1，b2，...，bn为任意实数，则有：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2二、柯西不等式在向量的长度和夹角之间的应用在高中数学中，向量是一个重要的概念。
通过柯西不等式，我们可以得出向量长度和夹角之间的重要关系。
设有两个向量a和b，它们的长度分别为|a|和|b|，夹角为θ。
根据柯西不等式，我们有：|a||b| ≥ |a · b|其中，|a · b|表示向量a和b的点积。
由此可知，在任意情况下，两个向量的点积不会超过它们的长度的乘积。
当夹角θ为0时，两个向量的点积达到最大值，即|a · b| = |a||b|。
三、柯西不等式在解析几何中的应用柯西不等式在解析几何中也有着重要的应用。
考虑平面上两条直线L1和L2，它们的方程分别为ax + by + c1 = 0和ax + by + c2 = 0。
设点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)分别是直线L1和L2上的两个点，则根据柯西不等式，我们可以得到下面的结论：(x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) ≥ (x1x2 + y1y2)^2这个不等式告诉我们，对于直线L1和L2上的任意两个点P1和P2，它们的坐标的平方和的乘积不会小于它们的坐标的乘积的平方。
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
柯西不等式在高中数学中的运用(学生论文)
柯西不等式在高中数学中的运用南充一中高2014级9班 尹超 指导老师：蒲有顺在不等式的世界中，可以说是千变万化，在这里我想与大家分享柯西不等式带来的无穷快乐。
一、通过构造二次函数恒不小于零来解决问题 f(x)=(a 1x-b 1)2+(a 2x-b 2)2+、、、+(a n x-b n )2≥0f(x)=（a 21+a 22+、、、+a 2n ）x 2-2(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )x+(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥0 欲使其恒成立，那么∆=4(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2-4（a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≤0则 （a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2 当且仅当x=11b a =22b a =、、、=nn b a 时，取“=”成立 大家请看这就是最原生态的柯西不等式了哦二、下面请跟随我一起来体验柯西不等式的乐趣吧！ 例题1：已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1,求a1+b4+c9的最小值。
解答：根据上述的方法可以构造如下： f(x)=(a1x-a )2+(b2x-b )2+(c3x-c )2=（a1+b4+c9）x 2-12x+(a+b+c)≥0恒成立，那么∆=144- 4（a1+b4+c9）(a+b+c)=144- 4（a1+b4+c9）≤0 则a1+b4+c9≥36当且仅当a=61,b=31,c=21时，取“=”成立 故（a1+b4+c9）min =36这办法超前意识很好，具有很强的操作性，值得大家学习。
在以后的学习中希望不断探索。
（此题也可以用均值定理） 例题2：已知a,b,c 都是正实数，比较cb a+2+ac b+2+ba c+2与2cb a ++的大小证明：根据题中的特点可以构造如下函数： f(x)=(cb a +x-c b +)2+(c a b +x-c a +)2+(ba c +x-b a +)2≥0那么f(x)=(cb a+2+a c b+2+b a c+2)x 2-2(a+b+c)x+2(a+b+c) ≥0则∆=4(a+b+c)2-4（cb a+2+ac b+2+ba c+2）∙2(a+b+c) ≤0又因为a,b,c 都是正实数故cb a+2+ac b+2+ba c+2≥2cb a ++小试牛刀设a,b,c,d 都是正实数，且a+b+c+d=1,比较14+a +14+b +14+c +14+d 与6的大小。
高中数学柯西不等式教学
高中数学柯西不等式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的核心任务是使学生深入理解和掌握高中数学中的重要不等式——柯西不等式。
通过该不等式的学习，学生将掌握其数学表达形式、证明过程、应用场景，并培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养。
此外，通过柯西不等式的学习，学生将认识到数学知识的内在联系，激发他们对数学美的追求。
2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。
他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数、几何知识，具备了一定的逻辑推理能力和解题技巧。
在此基础上，学生对柯西不等式的学习将更具挑战性和深度，有助于他们在数学领域取得更好的成绩。
同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解柯西不等式的概念，掌握其数学表达形式和证明方法；（2）掌握柯西不等式在不同数学问题中的应用，如求解最值问题、不等式证明等；（3）能够运用柯西不等式解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力；（4）通过柯西不等式的学习，提高代数运算能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法（1）采用探究式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式发现柯西不等式的证明过程；（2）通过典型案例分析，培养学生运用柯西不等式解决问题的方法；（3）设计多样化的练习题，帮助学生巩固柯西不等式的知识，提高解题技巧；（4）组织课堂讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，互相启发，共同提高。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学知识的兴趣，培养他们勇于探索、追求真理的精神；（2）通过柯西不等式的学习，让学生体会到数学美的内涵，提高他们的审美素养；（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们认识到数学知识的重要性；（4）引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应付考试，更是为了提高自己的综合素质，为未来的发展奠定基础。
在教学过程中，注重知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观的有机统一，使学生在掌握柯西不等式知识的同时，提升自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实基础。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用以《柯西不等式在中学数学中的应用》为标题，写一篇3000字的中文文章柯西不等式是一种数学定理，在数学理论中发挥着重要作用。
它可以广泛应用于中学数学教学中。
本文旨在通过分析柯西不等式的定义、应用范围及其在中学数学教学过程中的重要作用，对中学教师及学生对柯西不等式的运用提供建议。
首先，我们先了解柯西不等式的定义。
柯西不等式是一种数学定理，它指出：如果x和y是实数，则|x+y| |x|+|y|。
由此可见，该定理的含义是，当x和y的绝对值相加时，其和的绝对值不会超过它们的绝对值之和。
它可以帮助学生更加深入地理解绝对值的概念。
其次，柯西不等式可以广泛应用于中学数学教学中。
柯西不等式可用于证明一些数学定理，例如：如果a和b是实数，则a+b≥|a|+|b|。
此外，柯西不等式还可用于处理复数，复数属于公认的中学数学教学范围之内。
柯西不等式可以帮助学生更好地理解复数概念。
最后，柯西不等式在中学数学教学过程中发挥重要作用。
教师可以利用柯西不等式的定理来教授中学数学中的一些基本概念，例如求解几何问题、探究分数概念及学习向量等。
此外，柯西不等式还可以用于教授学生求解不等式，以便解决实际问题。
通过以上分析，可以看出柯西不等式在中学数学教学中十分重要，教师应该充分利用它的定理，引导学生更好地理解和运用它。
学生应根据教师的指导和练习，掌握柯西不等式的基本概念，用它解决实际问题。
只有这样，中学学生才能有效地运用柯西不等式，取得更好的数学成绩。
综上所述，柯西不等式对中学数学教学有着重要意义，学生与教师都应充分运用它，从而提高学生的数学素养，取得理想的数学成绩。
三元柯西不等式公式证明
三元柯西不等式公式证明咱们先来说说三元柯西不等式，这可是数学里挺有意思的一部分呢！三元柯西不等式是这样的：(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²。
要证明这个不等式，咱们可以从简单的思路入手。
想象一下，咱们在一个三维的空间里，有两个向量，一个是 (a₁, a₂, a₃) ，另一个是(b₁, b₂, b₃) 。
咱们先来看看向量的模长。
向量 (a₁, a₂, a₃) 的模长的平方就是a₁² + a₂² + a₃²，向量 (b₁, b₂, b₃) 的模长的平方就是 b₁² + b₂² +b₃²。
那这两个向量的数量积呢？就是 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
咱们知道，两个向量的数量积不会超过它们模长的乘积。
也就是说，|a·b| ≤ |a|×|b| 。
把这个放到咱们的三元柯西不等式里，两边平方一下，不就得到了(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²嘛！再给您举个例子来理解。
比如说，有个小朋友在做搭积木的游戏。
他有三种不同形状的积木，分别用长度 a₁, a₂, a₃来表示，另一个小朋友也有三种不同形状的积木，长度是 b₁, b₂, b₃。
然后他们比谁搭的积木长度总和更长。
按照三元柯西不等式，如果第一个小朋友的积木长度平方和乘以第二个小朋友的积木长度平方和，那肯定比他们两个积木长度对应相乘再相加的平方要大或者相等。
就好像第一个小朋友的积木组合方式特别多，可能性更丰富，总的长度可能性的范围也就更大。
咱们再从代数的角度来证明一下。
将 (a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) 展开，得到：a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₁²b₃² + a₂²b₁² + a₂²b₂² + a₂²b₃² + a₃²b₁² +a₃²b₂² + a₃²b₃²然后把 (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²展开，得到：a₁²b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ + 2a₁b₁a₃b₃ + a₂²b₂² + 2a₂b₂a₃b₃ +a₃²b₃²用前面展开的式子减去后面展开的式子，通过一系列的化简和整理，最终可以得到一个非负的式子，这就证明了前面的式子大于等于后面的式子。
4.柯西不等式(学生版)
柯西不等式一、整式配凑1．（2019•镜湖区校级模拟）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；（Ⅱ）求a2+b2+c2的最小值．2．（2019•香坊区校级三模）关于x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为3（m为整数）．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4＝m，求a2+b2+c2的最大值．3．（2019•南京四模）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2＝1，x+2y+3z＝，求证：x+y+z ＝．4．（2019春•东安区校级期中）若实数x+y+z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为（）A．1B．C．D．115．（2019春•鄂州期末）已知2x+3y+4z＝1，则x2+y2+z2的最小值是（）A．B．C．D．6．（2017•江苏模拟）若实数x，y，z满足4x+3y+12z＝1，求x2+y2+z2的最小值．．7．（2017春•思南县校级期中）实数x、y满足3x2+4y2＝12，则z＝2x+的最小值是（）A．﹣5B．﹣6C．3D．48．（2017秋•历城区校级期中）设x，y，z∈R，若x2+y2+z2＝4，则x﹣2y+2z的最小值为．9．（2018春•唐山期末）实数x，y，z满足x2+y2+z2+4x+2z﹣7＝0，则x+y+z的最大值为3．10．（2017秋•綦江区期中）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；（Ⅱ）求的最小值．11．（2018春•兴庆区校级期末）已知：x ，y ，z 是正实数，且x +2y +3z ＝1．（1）求++的最小值； （2）求证：x 2+y 2+z 2≥．12．（2019春•工业园区校级月考）设a 、b 、(0,)c ∈+∞，且22cos sin a b c θθ+<，求证：22θθ．二、根式配凑1．（2017春•工农区校级期末）函数（ ）A ．6B ．2C ．5D ．22．（2017春•黄陵县校级期末）函数y ＝5+的最大值为 3 ，此时x ＝（利用柯西不等式）3．（2017秋•正定县校级月考）设a ，b ＞0，a +b ＝4，则的最大值为 4 ．4．（2019春•城关区校级月考）设a ，b ∈R +，a +b ＝1，则+的最小值为（ ） A ．2+B ．2C ．3D ．。
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五单元《不等式》的第三节，主要讲述二维形式的柯西不等式。
柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它揭示了实数向量内积的几何意义，并广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
本节课的具体内容包括：柯西不等式的表述、二维形式的柯西不等式证明、柯西不等式的应用等。
二、教学目标1. 理解柯西不等式的表述，掌握二维形式的柯西不等式证明；2. 能够运用柯西不等式解决实际问题，提高解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学学科的兴趣。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二维形式的柯西不等式的证明及应用；2. 教学重点：柯西不等式的表述和二维形式的柯西不等式证明。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：笔记本、彩笔、剪刀、胶水。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个实际问题为例，引导学生思考如何运用数学知识解决问题；2. 讲解柯西不等式的表述，让学生理解柯西不等式的基本含义；3. 分组讨论二维形式的柯西不等式证明，引导学生思考并发现证明过程中的关键步骤；5. 随堂练习：让学生运用柯西不等式解决实际问题，巩固所学知识；6. 作业布置：布置相关的练习题目，巩固课堂所学知识。
六、板书设计1. 柯西不等式的表述；2. 二维形式的柯西不等式证明过程；3. 柯西不等式的应用实例。
七、作业设计1. 题目：已知向量a=(2,3)，向量b=(x,y)，且a与b的内积为4，求x+y的值。
答案：x+y=10。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对柯西不等式的理解和应用还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和练习；2. 拓展延伸：柯西不等式在数学其他领域的应用，如概率论、线性代数等，可以作为课后研究课题，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析一、教学难点与重点重点和难点主要集中在二维形式的柯西不等式的证明及应用。
柯西不等式学生版
柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++222222222222222)()(bd)(ac ))((:bd ac bc ad c b d a d b c a d c b a +≥-++=+++=++证明二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++ 三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++（3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：c a c b b a -≥-+-411 （4）添项： 例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。
柯西不等式(一般) 选修IB
补充练习
1在 ABC 中, 设其各边长为 a , b , c , 外接圆半径为 R , 1 1 1 2 2 2 2 ) ≥ 36 R 求证 : ( a + b + c )( + + 2 2 2 sin A sin B sin C
2.设a , b, c为正数 , 且a + b + c = 1, 1 2 1 2 1 2 100 求证 : (a + ) + (b + ) + (c + ) ≥ a b c 3
α β ≥ α β , 将空间向量的坐标代入 ,
化简后得
2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 + a3 ) (b1 + b2 + b3 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + a3b3 )2
当且仅当 α , β 共线时 , 即 β = 0 , 或存在一个数 k , 使得 a i = kb i ( i = 1, 2 , 3 )时 , 等号成立 .
证明 : (a + + c + d )(b + c + d + a )
2 2 2 2 2 2 2 2
≥ (ab + bc + cd + da )2 a b c d ∵ a , b, c , d是不全相等的正数 ,∴ = = = 不成立 b c d a ∴ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )2 > (ab + bc + cd + da )2 即 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用孟德尔公式、勒贝格不等式、黎曼不等式，这些非常熟悉的不等式名称都与着名的克劳德柯西有关。
从美国科学家卡耐基到莫比乌斯，他们把柯西不等式应用到物理、生物、金融等多个领域，柯西不等式对科学研究发挥着重要作用。
在中学数学中，柯西不等式也被广泛应用。
大多数学生接触到柯西不等式是在小学阶段，而且这一点被有效地巩固了，所以学生在高中在应用柯西不等式时就感到很熟悉了。
在数学中，柯西不等式的作用是十分的重要的，下面将会阐述柯西不等式在高中数学学科中的应用。
首先，柯西不等式在函数分析领域中被广泛使用。
以求解函数最大值最小值为例，首先要确定函数的一阶导数为 0，然后再根据柯西不等式来判断最大值最小值的情况。
还有一个更为简单的应用，就是在求解函数极值时，利用乘积为正负少数的性质来判断最大最小值的情况，这也是由柯西不等式衍生出的结论。
此外，柯西不等式在三角函数中的应用也很常见。
比如，在复合三角函数的解析图中，通常需要用到柯西不等式，来判断函数变化的趋势。
如果仅仅是求解函数图像的最大值最小值，使用柯西不等式就可以实现，无需复杂的几何计算。
另外，柯西不等式也很常见的应用到空间解析几何中，比如曲线的求积分，以及面积的计算等。
在求积分过程中，由于柯西不等式作为优化的一种方法，可以用柯西不等式来优化积分和计算面积，提高计算效率，减少出错的几率。
总而言之，柯西不等式是在中学数学中一个非常重要的概念，它在很多数学问题中都有着广泛的应用。
它不仅可以解决如函数最大值最小值、求积分等问题，而且还能帮助学生更好地理解数学概念，更好的证明数学概念。
柯西不等式的了解和应用是学习数学的基础，更是学习数学的关键，是学习数学的进阶环节。
柯西不等式在2014年高考中的应用
柯西不等式在2014年高考中的应用柯西不等式在2014年高考中的应用一、柯西不等式的基本概念柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪提出，并且在不同领域都有着广泛的应用。
柯西不等式的一般表达式如下：若a₁, a₂, ..., aₙ为任意实数, b₁, b₂, ..., bₙ为任意实数, 则有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)其中，等号成立的充要条件是a₁/b₁ = a₂/b₂ = ... = aₙ/bₙ或者至少其中一组的值为0。
二、柯西不等式的几何意义从几何的角度来看，柯西不等式可以用来描述向量的内积。
对于两个n维向量a = (a₁, a₂, ..., aₙ)和b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的内积满足以下不等式：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示a与b的内积，||a||表示向量a的模长。
这个不等式表示了两个向量之间的夹角与它们的长度之间的关系，即夹角越小，则内积也就越大，而当夹角为零时，内积达到最大值。
三、柯西不等式在2014年高考中的应用在2014年高考数学考试中，柯西不等式被广泛地应用在各个题目中。
其中，一道关于不等式的题目给出了a, b, c为实数，求证不等式a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac的解法。
在解答这道题目时，学生们可以运用柯西不等式来完成证明过程。
将不等式a² + b² + c² ≥ ab + bc +ac展开得到(a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (a² - 2ac + c²) ≥ 0，然后将其转化为(a - b)² + (b - c)² + (a - c)² ≥ 0，根据平方的非负性得到不等式成立。
简单形式的柯西不等式青苗教育
定理1 简单形式的柯西不等式若a,b, c, d
都是实数,则 a2 b2 c2 d 2 ac bd2,
当且仅当ad bc时,等号成立.
思考 你能简明地写出定理1的证明吗?
中小学
4
定理 1(简单形式的柯西不等式)
若 a, b, c, d 都 是实 数,则 (a2 b2 )(c2 d2 )≥(ac bd)2 .
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:
柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，
感受数学的美妙，提高数学素养.
由于a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
ac bd2 ad bc2,
即 a2 b2 c2 d2 ac bd2 ad bc2,
而ad bc2 0,因此
a2 b2 c2 d 2 ac bd2. ①
① 式中每个括号内都是两项式,通过后面的学
习会进一步认识二维形式的含义.
P1, P2在原点O两旁时,③ 式中的等号成立.
不等式 叫做二维形式的三角不等式(triang
le inequality).
中小学
12
简单形式的柯西不等式的一些变式
变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等
号成立)
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
显然，等号成立的条件是：向量 (a,b)与 (c, d) 共线。
将Ⅱ式用坐标表示，可得： a2 b2 c2 d 2 ac bd
高中数学一般形式的柯西不等式
典例精讲 例3 已知x 2 y 3z 1 ， 求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当 ，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1， 求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ： 已知a 、 b、 c、 d 0， ， 且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ， 即64 4e 64 16e e
二维形式的柯西不等式知识点梳理(经典系统全面知识点梳理)
课题：二维形式的柯西不等式1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用.2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用.3、学生必须掌握的内容：1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.注意：1．二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．4、容易出现的问题：在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置的对应易出错。
【3-代数】7.柯西不等式【学生版】
自招竞赛 数学讲义柯西不等式学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位不等式问题在高考考察的范围内相对比较简单基础，然而自招竞赛中占了很大的比例，而且对于没有系统知识储备与训练的人来说，较难的不等式问题是让人束手无策的。
因而,掌握一些基本不等式及其推论是十分必要的。
本节我们将学习柯西不等式，在各校自招中，柯西不等式作为经典不等式经常需要配合使用来帮助求证（求解），而竞赛中虽然没有直接使用柯西不等式即可证毕的不等式问题，柯西不等式也常常作为一个关键环节在解答中出现。
知识梳理柯西不等式1. 柯西不等式对两组实数：n x x x ...,,21和n y y y ...,21，则成立不等式：222112222122221)...()...)(...(n n n n y x y x y x y y y x x x ++≥++++++即222111()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑，“=”成立当且仅当nn y x y x y x === (22)11 2. 柯西不等式常用的变形（1）22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（2）22122221)...()...(n n x x x x x x n +++≥++（3）22121)1...11)(...(n x x x x x x nn ≥++++++ （4）n a a a ...,21均为正数，则nn n n a a a x x x a x a x a x ++++++≥+++...)...( (21221222)2121（5）参数柯西不等式：对于任意的一组实数1λ，2λ.......n λ均有：()2222211222221122211)1...11()...(...n nn n n n b b b a a a b a b a b a λλλλλλ+++⋅++≤+++例题精讲【试题来源】【题目】设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。
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柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++
练习：
① 已知122=+b a ，求证：1sin cos ≤+θθb a
② 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x
③已知1=+y x ，求2232y x +的最小值
④求函数x x y 21015-+-=的最大值
⑤已知R y x ∈,，则()2
22⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-++y x y x 的最小值为________
例题：
①已知+∈R c b a ,,，若1=++c b a ，求证：91
1
1≥++c b a
②若1=++c b a ，求证：31
222≥++c b a
③若+∈R c b a ,,，1=++c b a ，求证：41
1112
2
2
≥+++++c c b b a a
④若+∈R c b a ,,，求证：
c
b a a
c c b b a ++≥+++++9222
⑤若+
∈R c b a ,,，求证：c b a a c c b b a ++≥++2
22
巩固练习
1， 设+∈R c b a ,,且1=++c b a ，则
c b a 1694++之最小值为
2， 设+∈R c b a ,,，且232=++c b a ，则
c
b a 321++之最小值为_____，此时=a _____。
3，设R c b a ∈,,，且满足5222=++z y x ，则z y x 32++最大值为
4，设R c b a ∈,,，若4222=++z y x ，则z y x 22+-最小值为 ，()z y x ,,=
5，设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。
6，设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则2
22z y x ++最小值为
7，设R c b a ∈,,，0822=+++z y x ，则()()()222321-+++-z y x 最小值为
8，设R c b a ∈,,，若332=+-z y x ，则2
22)1(z y x +-+最小值为______，又此时=y ____
9，设R c b a ∈,,且14
)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x ，求x + y + z 之最大值，最小值。
10，△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ， 求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)(
(R C B A c b a ≥++++
11，+∈R c b a ,,求证：
23≥+++++b a c a c b c b a
12，已知正数x,y,z 满足x+y+z=xyz,且不等式
x
z z y y x +++++111≤λ恒成立,求λ的取值范围
13设,,a b c R +∈，求证：555333a b c a bc b ca c ab ++≥++
14设,,a b c R +
∈，求证：222
222)b c a a b c a b c ++≥++。