有几何背景的综合题的复习探究

几何背景综合题的复习
----------基本图形分析举例
光明初级中学 刘颖颋 教学目标：
1. 通过对一类基本图形进行研究，引导学生在复习中建立各自理解的几何背景，提高学生在解决有几何背景的综合题方面的能力。

2. 通过对基本图形的探究，感悟解几何背景综合题的一般思考方法。

3. 体会多种数学思想方法的综合运用以及透过现象看本质的辨证思维方法。

教学重点及难点：基本图形的分析中规律的探索和合理的运用。

教学过程：
B
例：已知：60MAN = ∠，点B 在射线AM 上， P 为射线AN 上一动点（点P 与点A 不重合），以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是
BPQ △的外心．求证：点O 在MAN ∠的平分线上；
例：在Rt △ABC 中，∠C ＝ 90，AB ＝5,AC ＝4，BC ＝3，点M 是AB 边的中点，用一个直角三角板的直角顶点放在点M 处旋转，使两直角边与原Rt △ABC 的两边
AC 、BC 分别交与E 、F 点，求MF ME
的值。

课堂训练：
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝ 90，AB ＝5,AC ＝4，BC ＝3，点P 、Q 、R 分别是AC 、BA 、BC 上的动点，且CR ＝AP ＝BQ ＝x ，在运动过程中求使得∠PQR ＝ 90的x 的值。

M
C
B
A
R
P
C
B
A
参考资料：
背景1：一个直角三角板的直角顶点放在等腰直
角三角形ABC 的斜边的中点M 处旋转，让两直角边与等腰直角三角形的两直角边交于E 、F 两点。

观察图形，会得到哪些结论？
(i) △CFM ≌△AEM ；△CEM ≌△BFM ； (ii) ME ＝MF ；△MEF 是等腰直角三角形； (iii) ABC CEMF S S △四边形2
1
=
(iv) △CFM ∽△AEM ∽△FDM ∽△CDE ；△CEM ∽△BFM ∽△EDM ∽△
CDF ； (v) MC MD MF ME ∙==22；FD ED CD MD ∙=∙；CM CD CF EC ∙=∙·· (vi) AB AC CF CE 或＝定值+
(vii)
以后我们遇上“直角对直角，并且直角与直角的顶点的连线平分一个直角”。

我们可以“过没有被平分的直角顶点作连线的垂线，补全图形再继续分析”；也可以“过没有被平分的直角顶点作对角两边的垂线，运用背景2的方法再继续分析”
上海市2002年中考压轴题：正方形ABCD 的对角线AC 上有一
点P ，连接BP ，作PE ⊥BP ，PE 交CD 于E ，EF ∥BC 交AB 于F ，已知AB ＝10。

（i ） 求证：△PBE 是等腰直角三角形。

（ii ） 设AP ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并
求出x 的取值范围；
（iii ） 点P 在变化过程中，是否有可能出现△PBE 与正方形ABCD 的面积比为3∶8？如有可能求出x 和y 的值，如不可能，请说出理由。

（iv ） 点P 在变化过程中，是否有可能出现△PCE 为等腰三角形，如果
可能请指出所有可能使△PCE 为等腰三角形的点E 的位置，并指出相应的x 的值，如不可能，请说出理由。

2004年四川凉山中考压轴题： 如图，直线m x y 34
3
+-= 与x
轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为直径的⊙M 过原点O ，垂直于x 轴的直线MP 与⊙M 的下半圆交于点P 。

（i ）求点B 关于直线MP 对称的点C 的坐标；若直线MP 的解析式是6=x ，求过P 、B 、C 三点的抛物线解析式；抛物线上是否存在点E ，使
∠EOP ＝
45？若有求坐标，若无说明理由。

B
P F E
D
C
A M
B
A
背景2：一个 120角的顶点放在等边三角形的BC 边的
中点M 处旋转，与另外两边分别交于E 、F 两点。

观察图形，会得到哪些结论？将这些结论与背景1的结论联系起来看，还会有什么发现或说还会有什么推广？ (i)∵∠EMF ＝ 120；∠BAC ＝ 60∴∠1＋∠2＝∠2＋∠
3⇒∠1＝∠2；加上∠MGF ＝∠MHE ＝
90；MG ＝MH ；
⇒△MGF ≌△MHE ；
（ii ）
ME ＝MF ；△MEF 是顶角为 120的等腰三角形；
（iii ） ABC AEMF S S △四边形4
3
=
（iv ） △AFM ∽△FDM ∽△ADE ；△AEM ∽△BFM ∽△ADF ； （v ）
MA
MD MF ME ∙==22；FD ED AD MD ∙=∙；
AM AD AF EA ∙=∙；AF AE AM AD ∙=∙
（vi ） 周长的一半△＝定值ABC AF AE =+
（vii ） 通过背景1和背景2结论的比较，我们发现这都是“互补的角相
对，并且连线平分其中一个角”。

是不是都有上述特点，还待我们在今后的学习中继续思考。

2007年上海市中考压轴题：如图，∠MAN ＝ 60，点B 是射线AM 上的一点，AB ＝4，点P 是直线AN 上一动点，以BP 为边，以顺时针方向作正△BPQ 。

（i ） 当点P 在射线AN 上时，求证：△BPQ 的外心
O 一定在∠MAN 的角平分线上；
（ii ） 当点P 在射线AN 上且点P 不与A 重合时，联
结AO 交BP 于C ，设AP ＝x ，y AO AC ＝∙，求y 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围。

（iii ）
点D 是射线AN 上一点，AD ＝2时，⊙I 是△ABD 的内切圆，当⊙I 与BP 或BQ 相切时，求AO 的值。

2007年北京市中考压轴题：我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，
N
M
M
C
B
A
设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，
1
2DCB EBC A ∠=∠=∠．
请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探
究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
背景3：一个 120角的顶点放在等边三角形的BC 边的中点M 处旋转，与另
外两边分别交于E 、F 两点。

再将FM 、EM 延长与AB 、AC 相交与P 、Q 。

观察
图形，还会有什么发现或说还会有什么推
广？
(i)∵∠EMF ＝ 120；∠PMQ ＝ 120 又∵∠PBM ＝∠QCM ＝ 120且BM ＝CM
∴△PBM ∽△MCQ ∽△PMQ
(ii)通过上述相似可以推出∠BPM ＝∠MPQ ；
∠CQM ＝∠PQM ⇒点M 是△APQ 的内心。

(iii)根据切线长定理知：PQ ＝PH ＋QG ＝PB ＋BH ＋QC ＋CG ＝PB ＋QC ＋BE ＋CF ＝PE ＋QF ·····
1999年上海市中考试题：在△ABC 中，AB ＝AC ，半园圆心O 在BC 上，且半园分别切AB 、AC 于点D 、E 。

设∠B ＝α。

（1） 求∠DOE 的度数（用α表示） （2） 延长AB 到F ，过F 作⊙O 的切线FM 和AC 的延长线相交于G ，试判断∠FOG 是否是一个定值。

（3） 设BC ＝m ，cos α＝53
，BF ＝x ，FG
＝y ，写出y 关于x 的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围。

F
A
B O
A D
E
C。