两辆平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题1.0
数学建模论文题目：两辆铁路平板车的装货问题小组成员：李航纪俊吉刘骏萍两辆铁路平板车的装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。
包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。
每个装箱策略都会产生不同的浪费。
本文讨论的就是怎么样装箱，使浪费最小。
本文首先建立一个整数规划模型，考虑问题所给的约束条件，使得包装箱装到两辆铁路平板车，并且使得浪费的空间最小。
求解时运用LINGO软件和建立在线性规划求解的单纯基础上的分支界限法求的最优解。
在求得本问题的最优目标后，进一步运用C语言，求得了本问题的所有最优解，一共有30种。
并进一步分析，在实际装货过程中可能遇到的问题，比如在相同的空间利用率的情况下，装货的总重量问题，在30组解中进一步优化，求得最终的结果。
关键字：整数优化 LING最优解装货问题一、问题重述：有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上。
包装箱的高和宽是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（g，以千克计）是不同的。
下表给出来了每种包装箱的厚度，重量以及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可以用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7厚度（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0重量（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数（件） 8 7 9 6 6 4 8二、问题分析：七种包装箱的重量和W= 89t，而两辆平板车只能载2*40=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题题目：两辆铁路平板车的装货问题摘要：在现代物流运输中，铁路平板车被广泛应用于货物运输。
在铁路货运过程中，如何高效地装货是一个重要的问题。
本文通过数学建模的方法，研究了两辆铁路平板车的装货问题。
根据问题的具体要求和约束条件，我们建立了一个优化模型，旨在最大化装货效率和减少装货时间。
我们采用整数规划模型，并使用数值实例进行了求解和验证。
关键词：铁路平板车；装货问题；数学建模；优化模型1. 引言近年来，物流运输行业日益发展，货物运输效率成为一个关键问题。
铁路平板车是一种常用的货物运输工具，它具有运能大、运输距离长、安全可靠等优点。
然而，如何高效地装货是一个需要解决的问题。
2. 问题描述假设有两辆铁路平板车，它们需要装载一批货物。
货物的重量和体积不同，平板车的装载能力也有限制。
问题要求确定如何合理地将货物装载到平板车上，使得装货效率最大化，并且尽量减少装货时间。
3. 模型建立我们首先将问题进行数学抽象，定义相关的变量和参数。
然后根据问题的具体要求和约束条件，建立一个优化模型。
在模型中，我们考虑了货物的重量、体积以及平板车的装载能力等因素，并在保证装货的合理性的前提下，最大化装货效率。
4. 模型求解为了求解优化模型，我们采用整数规划的方法，并使用数学软件进行求解。
通过数值实例的求解和验证，我们得出了合理的装货方案，并评估了装货效率和装货时间等指标。
5. 结论与展望本文研究了两辆铁路平板车的装货问题，通过数学建模的方法，建立了一个优化模型，并采用整数规划进行求解。
通过数值实例的验证，我们证明了模型的合理性和有效性。
然而，由于时间和资源的限制，本文的研究还有一定的局限性。
未来的研究可以进一步考虑更多的因素和约束条件，以提高装货效率和减少装货时间。
两辆铁路平板车的装载方法研究
两辆铁路平板车的装货问题的探讨37组杨艳林周旭斌刘汇川周旭斌：论文大体框架的编写杨艳林：算法模型的建立，使用VB编写程序刘汇川：算法模型的建立，使用C语言和Lingo编写程序（河海大学）摘要：针对两辆铁路平板车的装货问题，我们将问题分成以下四种情况进行讨论求解：1）平板车只能装下一排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;2）平板车能装下两排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;3）平板车只能装下一排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;4）平板车能装下两排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;我们采用了约束优化和部分穷举法的方法对问题进行了求解，并用空间浪费率来表示空间浪费情况。
得到最优解的所有包装箱装车组合后，我们又考虑到一次运输能够放入的包装箱数量最多最多、载重最多和最安全的问题，得出了相应的最优装车组合。
我们得到的结果为：第一种情况下下两辆平板车可完全装满，空间浪费率为0；第二种情况下两辆平板车不能装满，两辆平板车浪费的空间总和为0.6cm,空间浪费率0.03%；第三种情况下，两辆车的空间浪费率为29.32%；第四种情况下两辆车的空间利用率为50.01%；相应的最优装车组合由于每种情况不止一种，我们将在模型解答中给出详细情况。
关键词：约束优化装箱设计穷举法1 问题重述：有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
平板车装货问题
平板车装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间装最多的货物，使空间浪费最少。
题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。
这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数max f。
根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.6cm，第一辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：7、2、5、3、1、0、0，第二辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：1、5、4、3、2、3、0。
这样我们便得到了给两辆平板车装包装箱最多，并且占用空间最小的方法。
关键字：线性规划问题、最大占用空间。
问题提出：本文是求在两辆平板车上装包装箱，使得装的包装箱的个数最多同时占用空间最小的问题，并且对平板车的长度和重量给出了限制，对每一种包装箱的厚度、重量和数量给出了限制，还有对个别种类的包装箱来说总的占用厚度又有限制，在上述的条件约束之下，求占用平板车的总空间大，装的包装箱个数最多的方法。
问题的分析：题目求的是在装的包装箱个数最多的情况下，浪费平板车空间最小的方法。
我们可以把求浪费空间最小的问题转化成求装包装箱占用空间最大的问题。
因此，我们就把装货问题看成了线性规划问题：在约束条件之下求最大占用空间的问题。
根据题意装可以从已知条件中找到约束条件，根据题意可知已知条件为：每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量取正整数。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]两辆铁路平板车的装货问题2014摘要：将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题，实质上就是整数线性规划问题。
建立整数线性规划模型，并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。
然而由于LINGO软件的缺陷性，我们发现仍然存在其他多组最优解。
通过对原始数据的分析论证，我们得到一个结论：对任意一组最优解，两辆车的总包装箱种类和数量是确定的（即浪费空间最小的情况下，装载包装箱的厚度和重量一定）。
在此结论的基础上，通过穷举法，并利用Java高级计算机语言进行编程，大大减少了计算量，加快了运算速度，最终求解出24组等价最优解。
关键词：装货问题整数线性规划穷举法 LINGO Java语言1、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。
表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
表一2、问题分析优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最低[]1。
在此问题中，要求浪费的空间最小，且存在车长、载重40t 、货运限制C5，C6，C7类的包装箱的总数≤三个约束条件，并且自变量（包装箱的数量）取整数值才有意义，所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。
其一般形式为：∑==nj jj x c z 1min⎪⎩⎪⎨⎧⋯=⋯==∑=),,2,1(),,2,1(..1n j x m i b x a t s j i nj jij 为非负整数。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。
根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。
根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。
使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。
若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。
关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。
二、问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。
题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。
案例+平板车的装载问题
编程算出所有的最优解(前四种箱数约束事实上 可以用等式,第五,六种各三个,第七种为零). 我们今后会看到,即使我们利用计算机处理一 些问题,进行必要的数学处理和具体问题的分析 对我们解决问题往往很有帮助.特别是参加数学 建模竞赛时更是如此.
探索题：如果你多运行几次,观察结果有什么 不同?
问题二 投资效益问题及分支定界法
问题分析题中所有包装箱共重89吨总厚度达到27495cm而两辆平板车只能载24080吨2040cm因此不能全装下究竟在两辆车上装哪些种各多少个箱子才合适必须有评价的标准
两辆铁路平板车的装载问题
(88年MCM之 B题)
要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上, 包装箱的宽和高都是相同的,但厚度(t,以厘米计) 及重量(w,以吨计)却不同.下表给出了它们的厚 度、重量及数量
(0,1,1/3,1,1,1), 3.0 x3 1 x3 0
(2/5,1,0,1,1,1), 3.0
x1 0
x1 1
(0,1,1,0,1,1), 2.9
(0,1,0,1,1,1) 2.8 (1,1,0,1/4,1,1) 2.925 x4 1 x4 0 × (1,1,0,0,1,1) 2.8 × (1,1,0,1,1,5/8) 2.925 x6 0 x 1
图1
(0,1,1/3,1,1,1), 3.0
x3 0
x3 1
(2/5,1,0,1,1,1), 3.0
(0,1,1,0,1,1), 2.9
由于x3=0 的解中x1=2/5 , 我们进一步增加约束x1=0 或 x1=1 来考察,即将变量取0,1的值的约束改为x3=0, x1=0 或x3=0, x1=1 来求解. 对于约束x3=0, x1=0 ,满足投资总额不超过22的解为 (0,1,0,1,1,1),对应的年收益为2.8,虽然它是原问题的一个 可行解,但是由于其年收益不到2.9,不可能为最优解. 对于约束 x3=0, x1=1 , 有两组最优解(1,1,0,1,1,5/8)和 (1,1,0,1/4,1,1),对应的年收益都是2.925,
平板车装货问题
两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文将铁路平板车的装货问题抽象简化为整数线性规划问题，经过合理假设，建立了优化问题模型，然后利用matlab软件求出一组最优解，考虑到变量较多以及变量权值的特殊（如C2、C6长度相等）我们猜想可能存在多组解，我们再参考matlab求出的一组最优解，根据C语言编译程序求得所有符合条件的60组最优解，经过去重后最终得到30组最优解。
本文鉴于题中给出的C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制条件“这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm”存在两种理解方式，对该问题分两种情况讨论，分别建立模型得出最优方案。
第一种理解认为对每辆平板车而言C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
对此我们建立了整数线性规划模型一并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为得到了包装箱所浪费的最小空间为0.6cm，参考此最优解进而用C语言求出最终6组最优解（详见表一）。
第二种理解认为两辆平板车C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）累计不能超过302.7cm。
对此我们建立了整数线性规划模型二并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为（3，5，0，5，2，3，0，5，2，9，1，1，0，0），得到了包装箱所浪费最小空间为0cm，参考此最优解进而用C语言求出最终30组最优解（详见表二）。
关键词：整数线性规划分类讨论最优解一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
平板车装货安全管理制度
平板车装货安全管理制度一、概述为加强平板车装货过程中的安全管理，有效预防事故的发生，保障人员和财产安全，特制定本安全管理制度，明确责任、规范操作，确保装货作业安全顺利进行。
二、装货前准备1. 司机应提前了解货物的情况，包括货物性质、数量、重量、尺寸等，并对装货过程做出合理安排。
2. 装货地点应选择平坦、牢固的地面进行，确保装货操作过程中无人员和财产遭到损害。
3. 平板车必须经过日常维护和检查，保证车辆设备完好，无故障。
三、装货操作规范1. 司机在装货前，应将车辆停稳并拉起手刹，将车辆挂上档，保持车辆在停靠时稳定状态。
2. 装货时，应确定货物的重心和稳定性，合理分配货物位置，以避免车辆发生不稳定的情况。
3. 确保货物牢固地固定在车辆上，并使用绳索等装拴工具，防止货物在运输过程中滑动或倾斜。
4. 装卸作业时，司机和工作人员穿着符合要求的安全防护装备，如安全鞋、手套等。
5. 禁止超载装货，严格按照车辆载重标准进行装载。
6. 禁止在装货时饮酒、抽烟、使用手机等不利于安全的行为。
7. 使用专业的装卸设备及工具进行操作，杜绝野蛮操作和人为过失。
四、车辆装货后1. 确保所有货物牢固安全之后，司机进行货物的最后一次检查，确认货物状态无异常并合理摆放。
2. 关上车厢门、蓬布等装载货物的部件，并锁好，保证在行车途中不会因为车辆颠簸等原因导致装载货物散落或造成其他危险。
3. 确认车厢门、蓬布等装载货物的部件处于良好状态，无损坏、渗漏等情况。
五、装货后运输中的安全管理1. 在行车途中，司机应根据实际情况避开路况复杂的区域，选择平稳的路段行驶，以保证货物在运输过程中不受外力影响。
2. 在行车途中遇到突发情况或交通堵塞时，司机应及时报告公司调度中心，寻求支持和指导。
3. 车辆在行车途中需确保车速稳定，避免急转弯和急刹车等操作，以免影响货物的稳定状态。
4. 行车途中，司机需保持警惕，注意观察车辆周围情况，避免与其他车辆发生碰撞或刮擦，保护装载货物的安全。
练习二：平板车装箱问题
练习二：平板车装箱问题摘要据题目给出的信息，两辆车的载重量为80吨，而数据中的所有货物的总重量为89吨，所以必然会有货物剩余；另外，由于货运限制，对765,,c c c 三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米，我们假设“为两辆车上765,,c c c 类的包装箱的总厚度不超过302.7cm ”，据此建立了整数规划模型。
关键字：整数线性规划一、问题重述要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、重量与数量。
每辆平板车有10.2米长的地方装箱（像面包片那样），载重40吨。
由于货运限制，对765,,c c c 三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。
试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。
二、问题分析据题目给出的信息，我们知道：两辆车的载重量为80吨，而数据中的所有货物的总重量为89吨，所以必然会有货物剩余；由于货运限制，765,,c c c 三种包装箱对于两辆车所占总空间不超过302.7cm 。
考虑到变量较多以及变量权值的特殊性（如2c 、7c 的长度相等，均为52.0cm ），本题属于整数型线性规划问题。
三、模型假设1、每辆平板车上恰好只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况2、包装箱之间的间隙可忽略不计3、两辆平板车完全相同，不考虑两车先后次序问题4、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列四、符号说明五、模型建立与求解根据假设，装箱时每辆平板车上只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况，同时有包装箱之间的间隙可忽略不计。
此时，设第i 种包装箱装在j 辆平板车上的数量为ij C 。
车的总长为2040cm ，所以浪费的空间为：∑∑==-=21712040j i i ij t C u由于两辆平板车均有各自的长度限制，所以在两辆平板车上的包装箱总厚度不应超过两辆平板车各自的长度限制。
实验5--平板车的装货问题
平板车的装货问题一、问题重述：有七种规格的包装箱有装到两辆铁路平板车上(如图所示).包装箱的高和宽相同,但厚度及重量不同,具体如表所示.每辆平板车载重40吨,并有10.2米的地方用来装箱.由于当地货物的限制,对x5,x6,x7类包装箱要求其总共所占空间(厚度)不能超过302.7厘米,试把包装箱装到平板车上使得浪费的空间最小.二、模型分析：本模型属于优化问题。
包装箱的长和宽均相等，厚度不一，本题假设厚度一定时（小于等于302.7厘米），求所装货物所占的最小空间。
三、符号说明：四、模型建立：目标函数：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));约束条件：两辆平板车的载重限制：2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;平板车长度的限制：48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020; 对处，x5,x6,x7三类包装箱所占空间的限制：48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;且各变量均为整数。
五、模型求解运用lingo软件进行模型求解，所编程序如下：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020;2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;x1+y1<=8;x2+y2<=7;x3+y3<=9;x4+y4<=6;x5+y5<=6;x6+y6<=4;x7+y7<=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(y1)；@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7)；运行结果：Global optimal solution founy at iteration: 213097Objextive value: 0.6000000Variable Value Reyuxey XostX1 6.000000 -48.70000X2 2.000000 -52.00000X3 5.000000 -61.30000X4 3.000000 -72.00000X5 1.000000 -48.70000X6 1.000000 -52.00000X7 0.000000 -64.00000Y1 2.000000 -48.70000Y2 5.000000 -52.00000Y3 4.000000 -61.30000Y4 3.000000 -72.00000Y5 2.000000 -48.70000Y6 2.000000 -52.00000Y7 0.000000 -64.00000Row Slaxk or Surplus Yual Prixe1 2039.400 1.0000002 0.6000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.6000000 0.0000005 9.500000 0.0000006 2.500000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 3.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 8.000000 0.000000 最优解为：平板车1的装货数量为：6 2 5 3 1 1 0平板车2的装货数量为：2 5 4 3 2 2 0此时平板车所浪费的空间最小。
几个优化案例
2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 3 3 2 3
0 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4
0 7 6 5 3 2 2 1 1 0 0 7 7 6 6 5 5 4
2
t
j5
7
j
x ij 3 . 027
20.4-3.027=17.373m，而前4类货物的总长度恰为17.373m。因此在满
足约束条件的情况下，应尽量将C1~C4四类箱子装完，以保证两辆车 浪费的空间最小。所以在求解时将前四类箱子的数量约束改成等式。
在Lindo6.1中输入程序代码：
max 0.487x11+0.52x12+0.613x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17 +0.487x21+0.52x22+0.613x23+0.72x24+0.487x25+0.52x26+0.64x27 st 包装箱可 x11+x21=8 供装车数 x12+x22=7 量的限制 x13+x23=9 x14+x24=6 平板车载 x15+x25<6 重限制 x16+x26<4 厚度限 x17+x27<8 制 2x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17<40 2x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27<40 0.487x11+0.52x12+0.613x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17<10.2 0.487x21+0.52x22+0.613x23+0.72x24+0.487x25+0.52x26+0.64x27<10.2 0.487x15+0.52x16+0.64x17+0.487x25+0.52x26+0.64x27<3.027 end 特殊限制 gin 14 整数
最佳平板车装载安排
最佳平板车装载安排由于要使平板车浪费的空间最小，等价于使装载货物箱的厚度和达到最大。
模型假设装载时相邻的量货物箱之间的间隙可以忽略。
首先，对符号进行说明,其中,,i i i t w n 分别表示第i 种货物箱的厚度、重量和库存量,i i x x '分别表示第i 种货物箱在两平板车上的装载数s 表示装载两车上的货物箱的厚度和()71i i i i s t x x ='=+∑由两辆车装载空间的限制和载重量的限制可得771177111020,102040,40i ii i i i i ii i i i t xt x w xw x ===='≤≤'≤≤∑∑∑∑货物箱库存量的限制为()1,2,3,4,5,6,7i i i x x n i '+≤= 关于第5、6、7这3种货物箱的限制可写为:71()302.7iiii t x x ='+≤∑又由题知,i i x x '为非负整数，故这是一个整数规划模型。
故此整数规划模型为：max ()71i i i i s t x x ='=+∑s.t. ()1,2,3,4,5,6,7i i i x x n i '+≤=7140i ii w x=≤∑7140i i i w x ='≤∑711020i ii t x=≤∑711020i i i t x ='≤∑71()302.7iiii t x x ='+≤∑同时，,i i x x '为非负整数即,0i i x x '≥()1,2,3,4,5,6,7i = 通过lingo 求解可知，{}{}4,7,4,3,0,0,0,4,0,5,3,3,3,1x x '== 同时2039.4s =，则此时浪费0.6cm 。
此时应在其中一辆平板车上装第一种箱子4箱，第二种箱子7箱，第三种箱子4箱，第四种箱子3箱，其余三种不装。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题郁舒阳，刘冲，孙屹（河海大学）摘要本文将铁路平板车的装载排列问题抽象为线性规划问题中的整数规划问题，经过合理的假设，建立了问题的最小化模型，然后分别通过Matlab软件和Lingo 软件的解得的结果比较，得到了包装箱所占最大空间为2039.4cm（也即浪费的空间最小）。
该模型简单直观，可推广应用于集装箱装货问题，仓库装货问题等相似领域。
关键词优化排列整数规划最大空间1.问题的重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 82.问题的分析由于包装箱的宽和高是一样的，但厚度和重量是不同的额，所以在解决问题的过程中可以忽略包装箱的宽和高，而仅仅考虑包装箱的厚度、重量以及数量。
并且在本问题中还对两辆车的容量（有10.2米长的地方可用来装包装箱），载重（40吨），对C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制（厚度不能超过302.7cm），还有包装箱Ci的数量限制，使得本问题变为一个线性规划问题中的整数规划问题，从而使本问题的解决思路变得明朗起来。
3.模型的假设1）不考虑包装箱之间的装配间隙。
2）不考虑包装箱的变形，即认为包装箱至始至终体积不变。
3）假设平板车能容纳包装箱的宽和高。
4）假设每种包装箱完全一样。
牺牲空间算法求解平板车装货问题
（ 成都工业学院 教务处 ， 成都 ６ １ ０ ０ ３ １ ）
摘要： 以 ２辆平板车的装 货问题 为例， 提 出了一种牺牲 空间算法 ， 即适 当地增加算 法的空间复杂度 ， 从 而大大减 少了时间复杂
度。并通过 与其他 ２种算法的比较 ， 得 出牺牲 空间复杂度算法对于求解组 合、 优 化问题 具有操作 简单、 运 算速度 快、 实用性强 等优 点。最后 ， 以该算法求解 了平板 车的装货 问题 ， 验证 了该算法的实用性 。
ｌ 问题 分 析
“ ２辆 铁路 平板车 的装 货问题 ” 即在 包装箱 的宽 和 高相 同 ， 但 重 量和 厚 度不 同 ， 且 每种 包 装箱 的厚 度 、 重 量 以及 数量 为 已知 的前 提下 ， 把 ７种 规格 的包装 箱 （ Ｃ 表 示第 ｉ 种规格 ， 具体 见表 １ ） 装到 ２辆平 板 车上 去并 使 所 占的空 间最小 。如 图 １ 所示 ， 每辆平板 车有 Ｌ ｉ ｎ长 的地方 可 用来装 包 装箱 ， 载重为 Ｔ ｔ 。 由于 当地货 运 的限制 ， 对Ｃ 、 Ｃ 、 Ｃ 类 的包 装箱 的总 的长度 不能超 过 Ｍ Ｃ ｎ。 ｉ
第１ ６卷 第 １ 期
２ ０１ ３年 ３月
成都工业学院学报
ＯＵ Ｒ Ｎ ＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＥ Ｎ Ｇ ＤＵ Ｔ ＥＣ ＨＮＯ Ｌ ＯＧ Ｉ Ｃ Ａ Ｌ Ｕ ＮＩ Ｖ ＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ Ｌ １ ６ ， Ｎ ｏ ． １
Ｍａ ｒ ｃ ｈ ．。 ２ ０１ ３
牺 牲 空 间算 法 求解 平板 车 装 货 问题
ＰＡＮＧ Ｘｉ ａ ｏ ｑ ｉ
（ Ｄｅ ａ ｎ’ Ｓ Ｏｆ ｆ ｉ ｃ ｅ ，Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ ０ ０ ３ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
平板车装货问题
装箱设计问题摘要本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。
根据平板车装货问题的条件和要求，本文将原问题抽象、简化为整形规划数学模型，考虑具体问题的细节，进一步简化为一个规划模型，通过利用Lingo 及Matlab软件求解所建模型，完整地解决了该问题。
由已知条件，可得两辆车的装货的三个约束条件：重量约束、厚度约束、特别限制条件约束，同时装在两辆车上的同种包装箱总数不能超过题目中给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件下对目标函数进行求解，利用LINGO 软件编程求解。
最后得到，第一辆车上应装的包装箱种类及件数为C11件,C26件,C35件,C41件,C51件,C62件,C72件，第二辆车上应装的包装箱种类及件数为C14件,C21件,C34件,C45件,C50件,C62件,C71件的装配方式。
此模型总是用空间为2039.9cm，浪费了0.1cm，空间利用率为99.995%。
这样我们便得到了给两辆平板车上装包装箱最多且空间浪费最少的装配方式。
关键词：整数规划LINGO软件最优解一．问题重述将7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。
如下表所示给出了每种包装箱的厚度、重量及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样）,载重量为40吨。
由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7m，把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 t 48.7 52 61.3 72 48.7 52 64 w 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 件数8 7 9 6 6 4 8二、模型假设1、这7种规格的包装箱不会因挤压因素等发生变形。
2、这7种规格的包装箱之间紧密排列，不留空隙。
数学建模平板车装货问题
吉林财经大学管理科学与信息工程学院2013-2014学年度第二学期《数学建模》期末论文题目____关于平板车装货问题的讨论____作者____________哈啊哈_____________专业__________计算机1217___________学号___________1401121788___________任课教师___________于卓熙__________2014年6月25日关于平板车装货问题的讨论摘要本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题，建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，通过LINGO软件方便快捷地求出了平板车不同种类包装箱装运件数一组最优解。
货运的限制针对于一次货运，在本题中则为两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过2.7m。
针对该情况，我们建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，并用LINGO求得24组最优解（详见表一）为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
关键词：整数线性规划LINGO局限性模型最优解<Abstract>This paper addresses the problem of railway flat car two units shipped packagingbox, integer programming model is established for the rail flat car shipmentpacking box, through the LINGO software is convenient and fast for the vehicle of different package shipment of a group of optimal solutions.Freight restrictions on a freight, in this case is two car C5, C6, total thickness ofpacking box of the C7 class does not exceed 2.7m. In view of this situation, the integer programming model we built the railway flat car shipment packing box,and use LINGO to obtain the 24 optimal solutions (Table1) for twocars shippedC1, C2,... Thenumberof C7packing box, respectively (3, 2, 9, 1, 3, 0, 0; 5, 5, 0,5, 0, 3, 0), the residual thickness of 0.6cm.Keywords: integer linear programming LINGO limitations目录一、问题重述 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (3)四、符号说明 (4)五、模型建立与求解 (4)5.1模型一的建立与求解 (4)5.1.1模型一的建立 (4)5.2.2模型二的求解........................... 错误!未定义书签。
两辆铁路平板车的装货问题的讨论
两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文鉴于对题中" C5,C6,C7类的包装箱的总数的特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm"的不同理解，分对一辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总数限制和两辆车上的总数限制两种情况讨论，分别得出了各自情况下的满足题意的最优方案。
对一辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总数限制情况，为整数线性规划问题，建立模型一，并用LINGO求的最优解（仅为多组解中一组），用枚举法得出了6组（见表一），最优解为两辆车浪费总空间为0cm。
并用VB验证模型一的建立以及分析思路的正确性。
对两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总数限制情况，仍为整数线性规划问题，建立模型二，并用LINGO求的最优解（仅为多组解中一组），两辆车浪费的总空间为0.6cm。
同时我们发现规律：所有最优解必须满足前四种包装箱厚度达到最大（即全部用上），后三种包装箱的厚度在满足约束条件下达到最大。
对于后三种包装箱占用空间达到最大的问题，我们通过建立模型三，并应用LINGO求得新约束条件c5 =3,c6=3, c7=0，两辆车的总厚度为2039.4cm，总重量为67吨。
由此，可得到简化的A车上装货情况，即模型四，满足约束条件之后把剩余部分装到B车上，B车也满足题目要求，用VB求得30组最优解（见表二），大大提高了计算速度，克服了枚举法的效率低下。
关键词：整数线性规划 LINGO 最优化 VB 平板车装货一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
数学建模：两辆平板车的装货问题
问题一：两辆平板车的装货问题有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。
如下表所示给出了每种包装箱的厚度、重量及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样）,载重量为40吨。
由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm，试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
解：假设包装箱的宽和高完全一样，假设为使浪费的空间最小，每辆车可以随意选择货型进行装车，假设两辆车相互独立。
x为装入i车的Cj型号包装箱的数量，则可得到线性规划如下：设ij目标函数：max f=max{0.487(x11+x21)+0.52(x12+x22)+0.61(x13+x23)+0.72(x14+x24)+0.487(x15+x25)+0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27)}约束条件：0.487x11+0.52x12+0.61x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17≤10.20.487x21+0.52x22+0.61x23+0.72x24+0.487x25+0.52x26+0.64x27≤10.20.487(x15+x25) +0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27) ≤3.0272x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17≤402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27≤40x11+x21≤8x12+x22≤7x13+x23≤9x14+x24≤6x15+x25≤6x16+x26≤4x17+x27≤8x11，x12，x13，x14，x15，x16，x17，x21，x22，x23，x24，x25，x26，x27≥0 利用LINGO数学软件包求解该线性规划，具体如下：model:max=0.487*(x11+x21)+0.52*(x12+x22)+0.613*(x13+x23)+0.72*(x14+x24)+0.487*( x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27);0.487*x11+0.52*x12+0.613*x13+0.72*x14+0.487*x15+0.52*x16+0.64*x17<10.2;0.487*x21+0.52*x22+0.613*x23+0.72*x24+0.487*x25+0.52*x26+0.64*x27<10.2;0.487*(x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27)<3.027;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27<40;x11+x12<8;x12+x22<7;x13+x23<9;x14+x24<6;x15+x25<6;x16+x26<4;x17+x27<4;得出结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 20.40000 Total solver iterations: 10Variable Value Reduced CostX11 8.000000 0.000000X21 0.000000 0.000000X12 0.000000 0.000000X22 7.000000 0.000000X13 9.000000 0.000000X23 0.000000 0.000000X14 0.4444444 0.000000X24 5.555556 0.000000X15 0.000000 0.000000X25 0.000000 0.000000X16 0.8980769 0.000000X26 0.000000 0.000000X17 0.000000 0.000000X27 4.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 20.40000 1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 0.0000005 12.98162 0.0000006 12.22222 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 6.000000 0.00000012 3.101923 0.00000013 0.000000 0.000000有上述结果可知：第一辆车装载情况如下：第一辆车：10.2—8*0.487—9*0.613—1*0.72=0.067（m）第二辆车：10.2—7*0.5 2—5*0.72—4*0.64=0.0.4 （m）。
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两辆平板车的装货问题
有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，
但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。
如下表所示给出了每
种包装箱的厚度、重量及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像
面包片那样）,载重量为40吨。
由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装
箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm，
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1C2C3C4C5C6C7
t48.752.061.372.048.752.064
w200030001000500400020001000
件数8796648
一、模型分析
7种包装箱的重量和W=89吨，两辆平板车最多只能装2*40=80吨，故不能装下所有的包装箱，应给两辆车上装哪类包装箱，各装多少。
而厚度是影响装那类包装箱和各装多少的决定因素。
只有使平板车上所装包装箱的厚度和尽可能的大，才能使浪费的空间最小。
二、模型假设
1、每件货物撞到两辆平板车上的概率相等。
2、每件货物之间紧密的靠在一起，它们之间的缝隙忽略不计。
3、假定每一辆车上对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的
空间（厚度）不能超过302.7cm。
三、约束条件
（X1—X7表示第1辆车上各包装箱的个数，X8—X14表示第2辆车上各包装箱的个数）箱子个数的约束X1+X8<=8
X2+X9<=7
X3+X10<=9
X4+X11<=6
X5+X12<=6
X6+X13<=4
X7+X14<=8
平板车载重量的约束2000X1+3000X2 +1000X3+500X4+4000X5+ 2000X6 +1000X7<=40000 2000X8+3000X9 +1000X10+500X11+4000X12+ 2000X13 +1000X14<=40000
厚度约束48.7X1+52.0X2+61.3X3+72.0X4+48.7X5+52.0X6+64.0X7<=1020
48.7X8+52.0X9+61.3X10+72.0X11+48.7X12+52.0X13+64.0X14<=1020
对C5、C6、C7的约束48.7X5+52.0X6+64.0X7+48.7X12+52.0X13+64.0X14<=302.7
目标函数
MAXL=
48.7X1+52.0X2+61.3X3+72.0X4+48.7X5+52.0X6+64.0X7+48.7X8+52.0X9+61.3X10+72.0X11+
48.7X12+52.0X13+64.0X14
四、模型建立与求解
用LINGO 软件确定目标函数的最优解。
程序如下：
model:
max=48.7*(x1+x8)+52*(x2+x9)+61.3*(x3+x10)+72*(x4+x11)+48.7*(x5+x12)+ 52*(x6+x13)+64*(x7+x14);
2*x1+3*x2+1*x3+0.5*x4+4*x5+2*x6+1*x7<=40;
2*x8+3*x9+1*x10+0.5*x11+4*x12+2*x13+1*x14<=40;
48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020;
48.7*x8+52*x9+61.3*x10+72*x11+48.7*x12+52*x13+64*x14<=1020;
48.7*(x5+x12)+52*(x6+x13)+64*(x7+x14)<=302.7;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
@gin(x5);
@gin(x6);
@gin(x7);
@gin(x8);
@gin(x9);
@gin(x10);
@gin(x11);
@gin(x12);
@gin(x13);
@gin(x14);
x1+x8<=8;
x2+x9<=7;
x3+x10<=9;
x4+x11<=6;
x5+x12<=6;
x6+x13<=4;
x7+x14<=8;
end
运行结果：
Feasible solution found.
Objective value: 2039.400
Extended solver steps: 40962
Total solver iterations: 70640
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -48.70000
X8 8.000000 -48.70000
X2 7.000000 -52.00000
X9 0.000000 -52.00000
X3 6.000000 -61.30000
X10 3.000000 -61.30000
X4 4.000000 -72.00000
X11 2.000000 -72.00000
X5 0.000000 -48.70000
X12 3.000000 -48.70000
X6 0.000000 -52.00000
X13 3.000000 -52.00000
X7 0.000000 -64.00000
X14 0.000000 -64.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 2039.400 1.000000
2 11.00000 0.000000
3 2.000000 0.000000
4 0.2000000 0.000000
5 0.4000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 3.000000 0.000000
11 1.000000 0.000000
12 8.000000 0.000000
13 0.6000000 0.000000
从上述数据可知，七类包装箱在两辆平板车上的厚度之和达到最大值20.394米，空间利用率最大，即平板车浪费的空间最小，满足目标函数最优解为 2039.4厘米。
此时第1辆平板车上装 C1 0件
C2 7件
C3 6件
C4 4件
C5 0件
C6 0件
C7 0件
第2辆平板车上装 C8 8件
C9 0件
C10 3件
C11 2件
C12 3件
C13 3件
C14 0件。