第5讲 多种函数交叉综合问题(含答案)
吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类
吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．三．反比例函数的应用（共1小题）3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．四．二次函数综合题（共2小题）4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．五．四边形综合题（共3小题）6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是 ．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC 或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为 ．8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．七．解直角三角形的应用（共2小题）10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O 作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（ ）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB× （填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400× （填相应的三角函数值）≈ （km）（结果取整数）．八．条形统计图（共1小题）12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 ．（3）下列推断合理的是 （填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．九．折线统计图（共1小题）13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 %．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为 万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是 （填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．一十．列表法与树状图法（共1小题）14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．【答案】每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．【解答】解：设每箱A种鱼的价格每箱x元，B种鱼的价格每箱y元，由题意得，，解得，答：每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【答案】（1）0.5，40．（2）y＝x+15（40≤x≤100）．（3）5万人．【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．三．反比例函数的应用（共1小题）3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【答案】（1）ρ＝；（2）该气体的密度为1kg/m3．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．四．二次函数综合题（共2小题）4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x﹣．（2）y最小值为﹣2，y最大值为．（3）①m＜．②﹣2≤m＜，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当m＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）或．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），∴c＝1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，∴2m＝1，解得：；（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，x Q＝2m＝2，∴m＝1，则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，∴P（1，2），Q（2，1），∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，x P＝m＝2，x Q＝2m＝4，则﹣42+2×4+1＝﹣7，∴P（2，1），Q（4，﹣7）；∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，则0＜2m＜1，∴0＜m，∵P（m，﹣m2+2m+1），∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），∴＝﹣m2+2m，h2＝y Q﹣y A＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，解得：或m＝0（舍去）；②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则2m≥1，m≤1，即，则h2＝2﹣1＝1，∴1+m2﹣2m＝m 1，解得：（舍去）或（舍）；③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝0 方时，即1＜m＜2，∵h1＝2﹣1＝1，，∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，解得：或m＝0（舍去）；④当p在直线y＝1上或下方时，即m≥2，，∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，解得：m＝1（舍去）或m＝0（舍去），综上所述，或．五．四边形综合题（共3小题）6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）1cm．（2）（x﹣3）．（3）y＝．【解答】解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1cm．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤2时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD 于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1cm．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠BDC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1）cm，∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2）cm，∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2）cm2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+ x﹣）cm2（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x）cm，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是 两组对边分别相平行的四边形是平行四边形 ．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为 80 ．【答案】【操作发现】两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】80．【解答】【操作发现】解：如图①，四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；故答案为：两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】证明：∵四边形纸条ABCD和EFGH是平行四边形，∴MN∥EF，EN∥FM，∴四边形EFMN是平行四边形，∵∠B＝∠FEH，∴AB∥NF，∵AN∥BE，∴四边形ABEN是平行四边形，∴AB＝EN，∵AB＝EF，∴EN＝EM，∴▱EFMN是菱形；【结论应用】解：∵将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，∴四边形GFCP是平行四边形，∴PG＝CF，PG∥CF，∵DM∥CF，∴DM∥PG，∴四边形PDMG是平行四边形，∵MD＝MG，∴四边形PDMG是菱形，∴PG＝PD，由【探究提升】知▱EFMN是菱形，∴FM＝EF，∴EF＝CD，∴CE＝CP，∴四边形ECPH是菱形，∵四边形ECPH的周长为40，∴HE＝PC＝10，∴FG＝HE＝10，过G作GQ⊥BC于Q，∵sin∠EFG＝＝，∴GQ＝8，∴四边形ECPH的面积为CE•GQ＝10×8＝80．故答案为：80．8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．【答案】（1）a；（2）四边形ADFC是菱形，理由见解答；（3）45°或135°．【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解答．【解答】解：如图：图①△ABC即为所求锐角三角形；图②△ABD即为所求直角三角形；图③△ABCF为所求钝角三角形．七．解直角三角形的应用（共2小题）10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】点A到CD的距离AE的长度约88cm．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（ 两直线平行，内错角相等 ）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB× cos B （填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400× 0.72 （填相应的三角函数值）≈ 27648 （km）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．【解答】解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．八．条形统计图（共1小题）12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 833.6 亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 28.0% ．（3）下列推断合理的是 ② （填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．【答案】（1）833.6；（2）28.0%；（3）②．【解答】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．九．折线统计图（共1小题）13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 62.71 %．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为 141260×64.72% 万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是 ① （填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【答案】（1）62.71；（2）141260×64.72%；（3）①．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．一十．列表法与树状图法（共1小题）14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．第31页（共31页）【答案】．【解答】解：根据题意列表如下：AB C AAA BA CA BAB BBCB C AC BC CC共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员有3情况，∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为：＝．。
高中数学选择性必修二 5 3 2 3函数极值与最值的综合应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.3.2.3函数极值与最值的综合应用题型一利用导数证明不等式【例1】设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.【解析】(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝e x－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.【方法归纳】待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．【跟踪训练1】已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x.【解析】(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减；当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，故g(x)在R上单调递增．所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<e x.题型二导数与函数的零点问题探究1确定函数的零点个数【例2】已知函数f (x )＝ln x －x ＋2sin x ，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)求证：f ′(x )在(0，π)上存在唯一零点； (2)求证：f (x )有且仅有两个不同的零点．【证明】(1)设g (x )＝f ′(x )＝1x－1＋2cos x ，当x ∈(0，π)时，g ′(x )＝－2sin x －1x2<0，所以g (x )在(0，π)上单调递减，又因为g ⎝⎛⎭⎫π3＝3π－1＋1>0，g ⎝⎛⎭⎫π2＝2π－1<0， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫π3，π2上有唯一的零点α，所以命题得证．(2)①由(1)知：当x ∈(0，α)时，f ′(x )>0，f (x )在(0，α)上单调递增， 当x ∈(α，π)时，f ′(x )<0，f (x )在(α，π)上单调递减；所以f (x )在(0，π)上存在唯一的极大值点α⎝⎛⎭⎫π3<α<π2， 所以f (α)>f ⎝⎛⎭⎫π2＝ln π2－π2＋2>2－π2>0， 又因为f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝－2－1e 2＋2sin 1e 2<－2－1e 2＋2<0， 所以f (x )在(0，α)上恰有一个零点． 又因为f (π)＝ln π－π<2－π<0，所以f (x )在(α，π)上也恰有一个零点．②当x ∈[π，2π)时，sin x ≤0，f (x )≤ln x －x ，设h (x )＝ln x －x ，h ′(x )＝1x－1<0，所以h (x )在[π，2π)上单调递减，所以h (x )≤h (π)<0， 所以当x ∈[π，2π)时，f (x )≤h (x )≤h (π)<0恒成立， 所以f (x )在[π，2π)上没有零点．③当x ∈[2π，＋∞)时，f (x )≤ln x －x ＋2，设φ(x )＝ln x －x ＋2，φ′(x )＝1x－1<0，所以φ(x )在[2π，＋∞)上单调递减，所以φ(x )≤φ(2π)<0， 所以当x ∈[2π，＋∞)时，f (x )≤φ(x )≤φ(2π)<0恒成立， 所以f (x )在[2π，＋∞)上没有零点． 综上，f (x )有且仅有两个零点． 【方法归纳】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g (x )(要求g ′(x )易求，g ′(x )＝0可解)，转化确定g (x )的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g (x )的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数． 探究2 根据函数的零点个数求参数范围【例3】若函数f (x )＝e x －ax 2，a ∈R 在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解析】由f (x )＝0可得1a ＝x 2ex ，令k (x )＝x2ex (x ∈(0，＋∞))，则函数f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y ＝1a与函数k (x )的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，k ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，令k ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，k ′(x )>0，当x ∈(2，＋∞)时，k ′(x )<0，所以k (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以k (x )在(0，＋∞)上的最大值为k (2)＝4e2，因为k (0)＝0，并且当x >2时，x2ex >0，所以当0<1a <4e 2时，k (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝1a 有两个不同的交点，即当a >e24时，函数f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点．所以，若函数f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞.【方法归纳】已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．【跟踪训练2】若函数g (x )＝e x (x －2)－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．【解析】g (x )＝e x (x －2)－m ，函数g (x )＝e x (x －2)－m 有两个零点，相当于曲线u (x )＝e x ·(x －2)与直线y ＝m 有两个交点．u ′(x )＝e x ·(x －2)＋e x ＝e x (x －1)， 当x ∈(－∞，1)时，u ′(x )<0， 所以u (x )在(－∞，1)上单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0所以u (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以x ＝1时，u (x )取得极小值u (1)＝－e ，又x →＋∞时，u (x )→＋∞；x <2时，u (x )<0，所以－e<m <0. 题型三 导数在解决实际问题中的应用【例4】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x 千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(2＋x )x 万元．设余下工程的总费用为y 万元． (1)试将y 表示成关于x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y 最小？【解析】(1)设需要新建n 个增压站，且(n ＋1)x ＝720，即n ＝720x－1，则y 关于x 的函数关系式为 y ＝f (x )＝108n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝108×⎝⎛⎭⎫720x －1＋⎝⎛⎭⎫720x －1＋1(2＋x )x ＝77 760x＋720x ＋1332；(2)由(1)知，f (x )＝77 760x＋720x ＋1332，f ′(x )＝－77 760x 2＋360x，令f ′(x )＝0，得x 32＝216，解得x ＝36，当0<x <36时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,36)内为减函数， 当36<x <720时，f ′(x )>0，f (x )在区间(36,720)内为增函数， 所以f (x )在x ＝36处取得最小值，此时n ＝72036－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y 最小．【方法归纳】利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加的销售额为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．【解析】(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元)，则f (t )＝－t 2＋5t －t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)．所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x )(百万元)，则由此两项所增加的收益为g (x )＝－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3.对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当0<x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0,2)上单调递增； 当2<x <3时，g ′(x )<0，即g (x )在(2,3]上单调递减， 所以当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253.故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元．一、单选题1．设函数()y f x =在区间D 上的导函数为fx ，fx 在区间D 上的导函数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 为常数，()4323126x mx f x x =--，若对满足1m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，则b a -的最大值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】由题设知对任意1m ≤，在(),a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立，转化为一次函数2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立求x 的范围，进而确定b a -的最大值.【解析】由题设，32()632x mx f x x '=--，则()26g x x mx =--，∴对任意1m ≤，在(),a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立， 令2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立，∴22(1)60(1)60h x x h x x ⎧-=+-<⎪⎨=--<⎪⎩，可得22x -<<， ∴2,2a b ≥-≤，故b a -的最大值为4. 故选：A2．已知函数()2ln ,013,22xx e xf x x x ee e ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，若,a b c <<且()()()f a f b f c ==，则ln ln b a c a b ⋅的取值范围是（ ） A ．(),3e e B ．()3,e e -- C ．()1,3e D ．()3,1e --【答案】B 【分析】利用导数和绝对值的性质，结合一次函数的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【解析】当01x <<时，'2ln ln 1()()0,()x x f x f x f x x x -=-⇒=<单调递减， 当1x e ≤≤时，'2ln 1ln ()()0,()x x f x f x f x x x -=⇒=>单调递增，且(1)0f =， 当x e >时，函数单调递减，1()f e e=所以函数的图象如下图所示：因为,a b c <<设()()()f a f b f c k ===， 所以方程()f x k =有三个互不相等的实数根， 由图象可知：1a b e c <<<<，1k e<<0 因此有2ln ln 322a b c a b e e-==-+， 即ln ln b a a b =-，因此ln ln b ac c a b⋅=-， 因为()f c k =， 所以2310322c e c e e e e<-+<⇒<<，满足e c <，即3e c e <<， 因此3e c e -<-<- 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，运用数形结合思想进行求解是解题的关键. 3．已知()f x 为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或2【答案】A 【分析】构造函数()()1g x xf x =+，讨论0x ≠、0x <或0x >，利用导数判断函数()g x 的单调性，从而求出()g x 的最值，进而得出()F x 的零点个数. 【解析】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'， 此时，函数()g x 单调递减，则()()01g x g >=； 当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>， 此时，函数()g x 单调递增，则()()01g x g >=. 所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<； 当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>. 综上所述，函数()F x 的零点个数为0. 故选：A.4．设函数()ln 3()g x x x a a R =+-∈，定义在R 上的连续函数()f x 使得()y f x x =-是奇函数，当0x <时，()1f x '<，若存在0{|()2(2)2}x x f x f x x ∈+≤-+，使得()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞C ．[),e +∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】由题设，应用导数可证()y f x x =-在R 上递减，利用单调性解()2(2)2f x f x x +≤-+，即知：存在0{|1}x x x ∈≥使()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，将问题转化为在[1,)x ∈+∞上()g x x =有解，再构造中间函数，利用导数研究单调性，并结合零点存在性定理求a 的取值范围. 【解析】由题设，()2(2)2f x f x x +≤-+等价于()(2)(2)f x x f x x -≤---， ∴当0x <时，()1f x '<，即()10f x '-<，∴()y f x x =-在(,0)-∞上递减，又()f x x -是奇函数， ∴y 在(0,)+∞上递减，又()f x 连续， ∴y 在R 上递减，则2x x ≥-，可得1≥x . 又()g x 的定义域为(0,)+∞，且1()30g x x'=+>，即()g x 在定义域上递增， ∴题设条件为：存在0{|1}x x x ∈≥使()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，即使()00g x x =，∴在[1,)x ∈+∞上()g x x =有解，则()()ln 2h x g x x x x a =-=+-在[1,)x ∈+∞上有零点，由1()20h x x '=+>，即()h x 递增，又()(1)2h x h a ≥=-，且x →+∞时()h x →+∞，∴只需20a -≤，即2a ≥即可. 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先由已知条件判断()y f x x =-的单调性，进而确定0x 的范围，并将问题转化为[1,)x ∈+∞上()g x x =有解求参数范围.5．方程()()f x f x '=的实数根叫做函数()f x 的“新驻点”.如果函数()ln 2g x x =+的“新驻点”为a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【分析】根据定义，将问题转化为求1()ln 2h x x x=-+且0x >零点所在区间，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断“新驻点”a 的取值范围. 【解析】 由题设，1()g x x '=，则1ln 2x x+=的根为()g x 的“新驻点”， 若1()ln 2h x x x=-+且0x >，即()h x 的零点为()g x 的“新驻点”，∴211()0h x x x'=+>，即()h x 单调递增，11()ln 022h =<，(1)10h =>，根据零点存在性定理知：()h x 的零点在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内， ∴()g x 的“新驻点”范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B6．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e，根据()1f e =，求得()2x f x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解. 【解析】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x c e=+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<，又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B7．已知函数()()211x f x x e kx =--+()k Z ∈，若对任意的[)0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则k 的最大值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【分析】运用导数分析函数的单调性，明确了单调性，再根据条件即可得出答案. 【解析】()()2x f x x e k '=-，当[)0,x ∈+∞时，1x e ≥，①当12k ≤且k Z ∈时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()min 000f x f ==≥，()0f x ≥成立； ②当12k >且k Z ∈时，1k ，ln 20k >，令()0f x '>，解得ln2x k >；令()0f x '<，解得ln2x k <，故()f x 在[)0,ln2k 上单调递减，在()ln 2,k +∞上单调递增，故()()()2min ln 2ln 21110f x f k k k ⎡⎤==--++<⎣⎦，故12k >不合题意. 综上12k ≤，又k Z ∈，所以k 的最大值为0. 故选:A .8．已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【分析】令()()g x lnx f x =对函数求导可得到函数()g x 单调递减，再结合()10g =，和()f x 的奇偶性，通过分析得到当0x >，()0f x <，0x <，()0f x >，故不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩，求解即可.【解析】令()()g x lnx f x =，则1()()()0g x f x lnx f x x'=+'<， 故函数()g x 单调递减，定义域为()0,∞+，g （1）0=，01x ∴<<时，()0>g x ；1x <时，()0<g x ．01x <<时，0lnx <；1x >时，0lnx >．∴当0x >，1x ≠时，()0f x <，又f （1）0<．∴当0x >，()0f x <，又()f x 为奇函数， ∴当0x <，()0f x >．不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩解得1x >或者0x < 故答案为：D.二、多选题9．定义()f x ''是()y f x =的导函数()y f x '=的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.可以证明，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（ ） A ．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B ．函数()32335f x x x x =--+的对称中心也是函数tan2y x π=的一个对称中心 C ．存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()00,x h x 为函数()y h x =的对称中心D ．若函数()321153212g x x x =--，则123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C 选项；求出()32335f x x x x =--+的对称中心，可以验证此点()1,0是tan2y x π=的一个对称中心，即可判断B ；求出函数()321153212g x x x =--的对称中心，可得()()11g x g x +-=-，进而求得123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而判断出D.【解析】解：对于A.设三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，易知()y f x ''=是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B.由()32335f x x x x =--+，得()()2363,66f x x x f x x '''=--=-，由660x -=，得1x =，函数()f x 的对称中心为()1,0， 又由,22k x k Z ππ=∈，得,x k k Z =∈，∴()f x 的对称中心是函数tan 2y x π=的一个对称中心，故B 正确； 对于C.设三次函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠，所以()()232,62h x ax bx c h x ax b '''=++=+联立2000320,620,ax bx c ax b ⎧++=⎨+=⎩得230ac b -=，即当230ac b -=时，存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()00,x h x 为函数()y h x =的对称中心，故C 正确.对于D.∴()321153212g x x x =--，∴()()2,21g x x x g x x '''=-=-，令()210g x x ''=-=，得12x =，∴32111115123222122g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴函数()321153212g x x x =--的对称中心是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()()11g x g x +-=-，设12320202021202120212021T g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12020220192020122020202120212021202120212021T g g g g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选:BCD.10．已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中可能成立的是（ ）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<【答案】ACD 【分析】将()2244log log x y y x -=-转化为222log 4g 2lo x x y y =++，令()()2222log ,4log f x x x g y y y =+=+，由()(),f x g y 都在0,上递增，将比较x ，y 的大小，转化为比较()g x 与()g y 的大小，由()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+，令()222log h x x x x +=-，利用导数法求解. 【解析】()2244log log x y y x -=-可转化为222log 4g 2lo x x y y =++，令()()2222log ,4log f x x x g y y y =+=+，则()(),f x g y 都在0,上递增，且()()()(),11f x g y f g ==，当1x >时，()1f x >，()1g y >，1y >， 当1x <时，()1f x <，()1g y <，1y <，要比较x ，y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+，令()222log h x x x x +=-，则()212ln 2h x x x '=-+， 则()2220ln 2h x x ''=--<， 所以()h x '在0,上递减，又()()21110,230ln 2ln 2h h ''=->=+-<+， 所以存在()01,2x ∈，有()00h x '=，当()00,x x ∈时()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<， 又()10h =，()()010h x h >=，()412480h =-+=-<， 所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，即1x y <<； 当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，1,1x y y x >>>>均有可能；所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，故选：ACD11．关于函数()e xf x =，()lng x x =，下列说法正确的是（ ）A ．对x ∀∈R ，()1f x x ≥+恒成立B ．对0x ∀>，()11g x x≥-恒成立C ．函数()()y xf x x g x =--的最小值为e 1-D ．若不等式()()g x f ax a≥对0x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e【答案】ABD 【分析】利用导数证明()()10h x f x x =--≥恒成立，判断A ，A 中不等式绝对值变形的转换可判断B ，利用导数求出函数()()y xf x x g x =--的最小值判断C ，把不等式()()g x f ax a≥进行变形转化为不等式ax e x ≥恒成立，然后求得a 的范围判断D ． 【解析】设()()1h x f x x =--e 1x x =--，()e 1x f x '=-，0x <时，()0h x '<，()h x 递减，0x >时，()0h x '>，()h x 递增，所以min ()(0)0h x h ==，所以()1(0)0f x x h --≥=，即()1f x x ≥+恒成立，A 正确； 在()1f x x ≥+中令ln x t =，则1ln t t ≥+，ln 1t t -≥-，1ln 1t t ≥-，再令1x t=得1ln 1x x ≥-，B 正确；设()()()ln e xp x xf x x g x x x x =--=--，定义域为(0,)+∞，11()e e 1(1)(e )x x x p x x x x x'=+--=+-， 定义域内10x +>恒成立，令1()e xq x x =-是增函数，1()202q =<，(1)e 10q =->， 所以()q x 在1(,1)2即在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，001e 0x x -=，00e 1xx =，00x x <<时，()0q x <，即()0p x '<，()p x 递减，0x x >时，()0q x >，即()0p x '>，()p x 递增，所以0min 0000()()e ln xp x p x x x x ==--000011ln11e x x x x =--=-+=，C 错；不等式()()g x f ax a≥为ln e axx a ≥，e ln ax a x ≥，0x >，所以e ln ax ax x x ≥，即e ln e ln ax ax x x ≥，令()ln s t t t =，则()ln 1s t t '=+，10et <<时，()0s t '<，()s t 递减，1e t >时，()0s t '>，()s t 递增，min 11()()e e s t s ==-， 因为0,0a x >>，所以e 1ax >，因此不等式e ln e ln ax ax x x ≥恒成立，则e ax x ≥恒成立，ln ax x ≥，即ln xa x≥， 设ln ()x u x x =，21ln ()xu x x -'=， 0e x <<时，()0u x '>，()u x 递增，e x >时，()0u x '<，()u x 递减，所以max 1()(e)e u x u ==，所以1ea ≥，即a 的最小值是1e ，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．已知函数()e ,0()32,0x x a x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩在1x =处取得极值，且函数()y f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为___________ 【答案】(e,2)-- 【分析】求导根据极值点得到2a =，求导得到函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到范围. 【解析】容易知当0x <时，()f x 递增，当()()()''0()e (e )e 1x x xx f x x a x a x a ≥=-⋅+-⋅=-'+，，1x =为极值点，(1)e(11)0f a ∴-+'==，得2a =，此时()(2)e x f x x =-，()(1)e x f x x '=-，而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上递增，在[0,1)上递减，在[1,)+∞上递增，(0)2f =-，(1)e f =-，画图可知，使函数()y f x m =-有三个零点，即函数与y m =的图像有三个交点， 则实数m 满足(1)(0)f m f <<，即(e,2)m ∈--. 故答案为：(e,2)--.13．已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的奇函数和偶函数，对[0,1]x ∀∈不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】0a ≤ 【分析】对()()()F x g x h x =+中，用x -代替x ，结合函数的奇偶性可以算出()g x ，()h x ，在带入不等式(2)()0g x ah x -≥来解决. 【解析】由题知，()()()x F x g x h x e =+=，用x -代替x 得到()()x g x h x e --+-=，又()g x ，()h x 分别是R 上的奇函数和偶函数，于是()()x g x h x e --+=，那么根据 ()()()()x xg x h x e g x h x e -⎧-+=⎨+=⎩，解得(),()22x x x xe e e e h x g x --+-==，由(2)()0g x ah x -≥得 22022x x x x e e e e a ---+-⋅≥，即()()022x x x x x x e e e e e e a ---+-+-⋅≥，显然又指数函数性质可知02x xe e -+>，约去后可得x x a e e -≤-，记(),()0x x x x H x e e H x e e --'=-=+>，于是()H x 在[0,1]上递增，由[0,1]x ∀∈，()x x a e e H x -≤-=恒成立，只需要(0)0a H ≤=. 故答案为：0a ≤14．函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，()f x '为其导函数，()()22xf x f x x '-=，且()10f =，若()f x a =恰有两个零点，则a 的取值范围为________．【答案】1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，构造方程()2ln f x x cx =+，得到()22ln f x x x cx =+，根据()10f =，得到()2ln f x x x =，利用导数求得函数()f x 的单调性和最值，即可求解. 【解析】由()()22xf x f x x '-=，可得()()321xf x f x x x'-=，构造方程()2ln f x x c x=+，可得()22ln f x x x cx =+， 因为()10f c ==，所以()2ln f x x x =，可得2ln 2ln 1fx x x x x x ，当120,x e -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦单减，12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单增， 且1212f e e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()10f =，当0x →时，()0f x →，因为()f x a =有两个零点，所以102a e-<<， 即实数a 的取值范围为1(,0)2e-. 故答案为：1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.四、解答题15．已知函数()e (2)(0)x f x a x a =-+>． （1）当1a =时，求()f x 的最小值； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】 （1）1-（2）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，直接求导判断单调性，即可求解；（2）根据题意，求导判断单调性，结合函数图象的走势，即可求解. （1）当1a =时，()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =． 因此当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 的最小值为(0)1f =-． （2）根据题意，()x f x e a '=-，令()0f x '=，解得ln x a =， 当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，因此()f x 的最小值为(ln )(ln 2)(1ln )f a a a a a a =-+=-+． ∴当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞． ∴要使()f x 有两个零点，只需(ln )0f a <即可． 又∴0a >，∴1ln 0a +>，解得1e>a ．故若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．16．设函数2()(2)ln f x x m x m x =---， （1）求()f x 的单调区间； （2）设2312,()()(21)2m g x f x x m x <<=-+--，求证：[]12,1,x x m ∀∈，恒有()()1212g x g x -<. （3）若0m >，函数()f x 有两个零点()1212,,x x x x <，求证2102x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭'.【答案】 （1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，讨论0m >、0m ≤时，解不等式()0f x '>和()0f x '<即可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用导数分析函数()g x 在区间[]1,m 上的单调性，利用导数证明出()()max min 12g x g x -<，即可证得结论成立；（3）分析得出要证明122x x m +>，由已知条件得出()22212121212ln ln x x x x m x x x x -+-=-+-，要证明12x x m +>，分析得出等价于证明()2211221221212ln 1x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令211x t x =>，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数证明出()0h t >，即可得出12122x x x x m +>+>，进而可证得结论成立.（1）函数()()22ln f x x m x m x =---的定义域为()0,∞+，()()()()()2222122x m x m x m x m f x x m x x x----+'=---==且0m >， 当0m >时，由()0f x '<可得02m x <<，由()0f x '>可得2mx >，因此函数()f x 的单调递减区间为0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0m ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()0,∞+，综上所述：当0m >时，()f x 的单调递减区间为0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+. （2） ()()()()2231211ln 22g x f x x m x x m x m x =-+--=-++，[]1,x m ∈， 所以()()()()()2111x m x m x x m m g x x m x x x-++--'=-++==， 因为12m <<，所以当()1,x m ∈时，()0g x '<，函数()g x 在区间[]1,m 上单调递减， 当[]1,x m ∈时，()()max 112g x g m ==--，()()2min 1ln 2g x g m m m m m ==--，所以()()2max min 11ln 22g x g x m m m -=--，其中12m <<， 构造函数()211ln 22m m m m ϕ=--，其中12m <<，()ln 1m m m ϕ'=--，则()1110m m m mϕ-''=-=>，所以函数()m ϕ'在()1,2上单调递增， 则()()10m ϕϕ''>=，所以函数()m ϕ在()1,2上单调递增，()()3122ln 222m ϕϕ<=-<， 所以对于1x ∀、[]21,x m ∈，恒有()()()()12max min 12g x g x g x g x -≤-<； （3）因为()()22m f x x m x '=---，则()220mf x x''=+>， 所以函数()f x '单调递增，且02m f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，要证2102x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭'，即证2122x m f x f ⎛⎫⎛⎫'+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即证2122x mx +>，即证122x x m +>， 因为函数()f x 有两个零点()1212,,x x x x <，由题意可得()()211122222ln 02ln 0x m x m x x m x m x ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩，上述两个等式作差得()22212121212ln ln x x x x m x x x x -+-=-+-，下面先证明12x x m +>，只需证：()2221211221212ln ln x x x x x x x x x x -+-+>-+-，整理得()()()122112ln ln 2x x x x x x +->-，即证()2211221221212ln 1x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，设211x t x =>，不妨设()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h t h >=，因为1>0x ，所以12122x x x x m +>+>，故原不等式2102x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭'成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.17．已知函数()ln ()a f x x a x a =-∈R .（1）求f （x ）的最小值；（2）当a =2时，证明：存在实数123x x x <<，使得()()()k k f f x f x =对k =1，2，3均成立，且231ln x x x ->.注：e =2.71828…是自然对数的底数.【答案】（1）1（2）证明见解析；【分析】（1）利用切线放缩即可求解.（2）先对()f x 求导，得到单调区间，再令2()()2ln g x f x x x x x =-=--，对()g x 求导，得到单调区间，得到其中一个零点和另一个零点所在区间，问题转化为证明：11ln t x ->，即可求证.（1）由0x >，知0a x >，于是()ln (1)1a a a a f x x x x x =-≥--=,等号在1x =取到.min ()1f x =.下证ln 1a a x x ≤-，令()ln 1h x x x =-+，1()x h x x -'=， 故()h x 在0,1上单调递增，在1,单调递减，()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ,得证. （2）2222(1)()2ln ,()2,x f x x x f x x x x -'=-=-= 故()f x 在0,1上单调递减，在1,单调递增，(1)1f =，记()(),k f x t f t t =⇒=记2()()2ln g x f x x x x x =-=--.22222()21(x x g x x x x x x x --'=--==,则()g x 在单调递减，在)+∞单调递增，且(1)0g =,(1)0,(2)22ln 20g g g <==->,于是()0g x =有零点11,2)t ∈ 于是()1k f x =或()1k f x t =12311x x x t ⇒<=<=，()11f x t =. 下面只需证：111ln t x ->，即111t x e-<. 由11111t t e->⇒<，只需证111()()t f f e x -> 即()11122222211112(1)221t t t t e t t e t e --->-⇔->⇔->-，由111t e t -≥，只需证：2211111(2)1(1)(1)0t t t t t ->⇔--->，只需证2111t t -<，21111()02ln 0g t t t t =⇒--=，只需证112t e <.由()y g x =在)+∞单调递增，1213122e >+=> 于是只需证112221()()0(1)1g t g e e e e e <⇔<---<⇔， 由22(1) 1.7 2.89,e e ->=>得证.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对不等式的合理变形和转化.。
第五讲多种函数交叉综合问题(含解析)
第五讲多种函数交叉综合问题(含解析)第五讲多种函数交叉综合问题【前言】初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。
二次函数差不多上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数差不多可不能涉及。
因此如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。
这类题目本身并可不能太难，特别少作为压轴题出现，一般基本上作为一道中档次题目来考察考生关于一次函数以及反比例函数的掌握。
因此在中考中面对这类问题，一定要做到幸免失分。
【例1】2017，西城，一模将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>ky x x交于点B 、⑴求直线AB 的解析式；⑵假设点B 的纵标为m ，求k 的值〔用含有m 的式子表示〕、【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目特别常见，一模中有多套题基本上如此考法。
题目一般不难，设元以后计算就能够了。
此题先设平移后的直线，然后联马上可。
比较简单,看看就行.【解析】将直线x y 4=沿y 轴向下平移后通过x 轴上点A 〔0,49〕，设直线AB 的解析式为b x y +=4、那么0494=+⨯b 、 解得9-=b 、∴直线AB 的解析式为94-=x y 、图3〔2〕设点B 的坐标为(),B x m ，∵直线AB 通过点B ， ∴94-=B x m 、∴49+=m x B 、 ∴B 点的坐标为9,4m m +⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点B 在双曲线ky x=()0x >上， ∴49+=m km 、 ∴492m m k +=、【例2】2017，丰台，一模如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象相交于A 、B 两点、 〔1〕求出这两个函数的解析式；〔2〕结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <【思路分析】第一问直截了当看图写出A ，B 点的坐标〔－6,－2〕(4,3)，直截了当代入反比例函数中求m ，建立二元一次方程组求k,b 。
2020中考数学：压轴题常见的6种类型
2020中考数学：压轴题常见的6种类型其实压轴题难度也是有约定的：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。
第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。
而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不可怕。
我给听课的6000多名讲了几种中考数学常考的压轴题类型，课后很多同学都反映很有用，今天我就分享给大家，希望对数学有困难的同学有帮助。
(1)线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
(2)一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
(3)多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
(4)列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 导数与三角函数交汇问题C辑(解析版)
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 导数与三角函数交汇问题C 辑（解析版）1．已知函数2()2ln (,)cos 22f x x x ππθθ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦在[)1,+∞上单调递增，函数()()mx g x x x=∈-R ． （1）求θ的值；（2）若存在[]01,x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）0θ=（2）2(,22)m e e ∈--∞- （1）∵22222(cos 1)()cos cos x f x x x x θθθ-'=-+=∵()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立．∴cos 10x θ-≥恒成立，即()min cos 1x θ≥ ∵1x ≥，cos 0θ>， ∴cos 1θ=，(,)22ππθ∈-∴0θ=．（2）令2()()()2ln ([1,])m h x g x f x x x x e x+=-=--∈ 2222222()1m x x m h x x x x+-++'=+-=∵1x e ≤≤，∴2212222m x x m e e m +-++-+≤+≤ 当10m +≥时，即1m ≥-；()h x 在[]1,e 上单调递增， ∴max 2()()20m h x h e e e+==--> ∴2122m e e --≤-≤当2220e e m -+≤+时，即222m e e -+-≤，()h x 在[]1,e 上单调递减， ∴()()max 110h x h m ==--> ∴222m e e -+-≤当2221e e m -+-<<-时，存在()11,x e ∈使得()h x 在()11,x 上单调递减，在()1,x e 上单调递增 ∴()()(){}max max 1,h x h h e =∴(1)102()20h m m h e e e =-->⎧⎪+⎨=-->⎪⎩，解得2221e e m -+-<<- 综合上述：m 的取值范围是2(,22)e e -∞-- 2．已知函数()()1cos f x x a a x =++.（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）若1a =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x m x ≥恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）y x =；（2）(],3-∞.（1）由()()1cos f x x a a x =++，得()1cos sin f x a a x ax x '=++-， 所以()f ππ=，()1f π'=.所以曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为y x ππ-=-，即y x =.（2）当1a =时，()()2cos f x x x =+，则0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos sin x x m x +≥恒成立.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 0x x +≥，sin 0x ≥， 当0m ≤时，()sin f x m x ≥恒成立；当0m >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos sin x x m x +≥恒成立等价于sin 02cos x x m x -≥+. 令()sin 2cos x x g x m x =-+，则()()2112cos 2cos x g x m x +'=-+，设cos t x =，则[]0,1t ∈，()()2122th t t +=+，()()()()()()3422121022t t t h t t t -+---'==≥++，所以()h t 在[]0,1上递增，所以()h t 的值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，①当113m ≥，即03m <≤时，()0g x '≥，()g x 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，所以()()00g x g ≥=，符合条件；②当1104m <≤，即4m ≥时，()0g x '≤，()g x 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， 所以当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g <=，不符合条件，舍去；③当11143m <<，即34m <<时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，且()00,x x ∈时，()0g x '<，此时()()00g x g <=，不符合条件，舍去综上，所求的m 的取值范围为(],3-∞. 3．已知函数cos ()sin cos ,()xf x x x xg x x=+=． （1）判断函数()f x 在区间(0,3)π上零点的个数；（2）设函数()g x 在区间(0,3)π上的极值点从小到大分别为12,,,n x x x ⋯，证明()()()120n g x g x g x ++⋯+<成立【答案】（1）3；（2）详见解析．解（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()(0)1,()x f x f x f f x '>∴>∴>=无零点；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '<∴<∴单调递减 又330,0,()2222f f f x ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一零点； 当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '>∴>∴单调递增又33550,,()2222f f f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=∴⎪⎪⎝⎭⎝⎭有唯一零点； 当5,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '<∴<∴单调递减又55,(3)1()22f f f x πππ⎛⎫==-∴ ⎪⎝⎭有唯一零点； 综上所述：()f x 在(0,3)π有3个零点. （2）22sin cos ()()x x x f x g x x x+'=-=-， 由（1）知：()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭无极值点；在3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有极小值点，即为1x ， 在35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极大值点即为2x ，在5,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭有极小值点3x ， 又330,()10,02222f f f πππππ⎛⎫⎛⎫=>=-<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (2)10f π=>，55,(3)122f f πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，可知123135,,,2,,3222x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由sin cos 0n n n x x x +=得cos 1sin ,tan ,n n n n nx x x x x =-=-120x x <<，()1121211,tan tan tan x x x x x π∴-<-+=<，而1233,2,,222x x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有12x x π+<()()()1212121212cos cos sin sin sin sin x x g x g x x x x x x x π∴+=+=--=+- sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，()12sin sin 0x x π∴+-<，即()()120g x g x +<()3335,3sin 02x g x x ππ⎛⎫∈∴=-< ⎪⎝⎭()()()1230g x g x g x ∴++<.4．已知函数()f x x =，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[11]-，上的减函数. (1)求λ的最大值；(2)若2()1g x t t λ<++在[11]-，上恒成立，求t 的取值范围； (3)讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数. 【答案】（1）1- （2）1t ≤- （3）见解析 【解析】(1) ()sin g x x x λ=+又()g x 在[]1,1- 上单调递减 ()cos 0g x x χ'=+≤在[]1,1-恒成立()min cos 1x λ∴≤-=- 故λ 的最大值为1-(2)()()max 1sin1g x g λ=-=--只需21sin1t t λλ++>-- 在[]1,1-上恒成立，令()()()21sin111h t t λλλ=++++≤- ，则需()10{10t h +≤->又2sin10t t -+>恒成立 所以 1t ≤- (3) 令()()212ln ,2xf x f x x ex m x==-+ ，()121ln xf x x -'=所以当()0,x e ∈ 时，()'10f x > ， ()1f x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()'10f x <，即()1f x 单调递减.所以()1max 1f x e=又 ()()222f x x e m e =-+-∴当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解；当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个解；当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个解.5．已知函数()()sin f x x ax a R =-∈.（1）当12a =时，求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最值； （2）若对一切()0,x ∈+∞，不等式()36x f x >-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）min ()6f x π=+，max ()6f x π=；（2）1a ≤. 解：（1）当12a =时，1()sin 2f x x x =-，则1()cos 02f x x =-='，解得：3x π=±，所以在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上()(),,x f x f x '的变化情况表如下：所以min ()()36f x f ππ=-=+，max ()()36f x f ππ==.（2）由于3(0,),sin 06x x x ax ∀∈+∞-+>恒成立，设3()sin 6x g x x ax =-+，2()cos 2x g x x a '=+-，设()()h x g x '=，则()sin h x x x '=-+， 设()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x '=-≥， 所以()u x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0u x u ∴>=，即()0h x '>，()(0,)h x ∴+∞在上单调递增， 则()(0)1g x g a ''>=-①当10a -≥时，即1a ≤，()0g x '>，在(0,)+∞，()(0)0g x g >=符合题意； ②当10a -<时，即1a >，存在0(0,)x ∈+∞，使00()g x '=，在0(0,)x 上，()0,()g x g x '<是减函数，所以0(0,)x 上，()(0)0g x g <=不符题意， 综上得，实数a 的取值范围为：1a ≤.6．已知函数()(sin cos )e x f x x x x =+-，()'f x 为()f x 的导函数． （1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间； （2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-． 【答案】（1）()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，；单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z ；（2）证明见解析. （1）由已知，()(1cos sin )e (sin cos )e (12sin )e x x x f x x x x x x x x '=++++-=++， 所以()()()(1sin cos )e x g x f x f x x x '=-=++，()(12cos )e x g x x '=+， 令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得2π2π2π2π,33k x k k -+<<+∈Z ， 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得2π4π2π2π,33k x k k +<<+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，； 单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z . （2）要证()1f x x ≥-，只需证：0()1f x x +-≥．设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )e 1x h x f x x x ''=-=++-．记()()(12sin )e 1x t x h x x x '==++-，则()(22sin 2cos )e x t x x x x '=+++． 当[0,π]x ∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '； 当(π,)x ∈+∞时，πx >，2sin 2x ≥-，所以2sin π20x x +>->， 又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '． 综上，当0x ≥时，()0t x '恒成立， 所以()t x 在[0,)+∞上单调递增．所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥， 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕．7．已知21()cos 2f x x x x k =-+--．（1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ； （2）求使得()0f x >有解的最大整数k ． 【答案】（1）1k =-；（2）0. 解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-=()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g = 所以0t =，从而()00f =得1k =-（2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，从而()h x '单减，而22220,12022333h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减 则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++=所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++- ()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0．8．已知函数()xf x e =，()sing x x ax =-.（1）若()()()h x f x g x =+在[)0,+∞单调递增，求a 的取值范围；（2）若12a =，证明：当0x >时，()()2112g x f x ->⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦. (参考公式：函数2x y e =的导数：()222x x y e e ''==)【答案】（1）(],2-∞；（2）证明见解析.（1）依题意有：()sin x h x e x ax =+-，x ∈R ，()cos xh x e x a '∴=+-.函数()y h x =在[)0,+∞单调递增，()0h x '∴≥对[)0,x ∈+∞恒成立.即：cos 0x e x a +-≥对[)0,x ∈+∞恒成立(*)令()cos x x e x a ϕ=+-，0x ≥，则()sin xx e x ϕ'=-，当[)0,x ∈+∞时，1x e ≥，1sin 1x -≤-≤，sin 0x e x ∴-≥，()0x ϕ'∴≥，∴函数()y x ϕ=在[)0,+∞单调递增， ()()min 020x a ϕϕ∴==-≥，解得2a ≤. 因此，实数a 的取值范围是(],2-∞；（2）当12a =时，要证：当0x >时，()()2112g x f x ->⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦. 即要证：当0x >时，()22sin 11xx x e -+>.构造函数：()()()22sin 10xF x x x ex =-+>，则()()()()2221324sin 2cos 12cos 22sin xx x F x x e x x e x x x e '=-=+-+-+-，先证：当0x >时，sin x x >，要证：sin x x >，即要证：sin 0x x ->，构造函数：()()sin 0x x x x μ=->，则()1cos x x μ'=-， 当()0,x ∈+∞时，1cos 1x -≤≤，1cos 0x -≥，()0x μ'∴≥，则函数()y x μ=在()0,∞+单调递增. ()()00x μμ∴>=，即sin 0x x ->，sin x x ∴>，()()()222324sin 2cos 32sin cos 304x xx F x x x x e x x e x e π⎡⎤⎛⎫'∴=+-->-+=-+>⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，∴函数()y F x =在()0,∞+单调递增，()()001F x F e ∴>==， 即：当0x >时，()22sin 11xx x e-+>，故原不等式成立.9．已知函数()()cos xf x ae x a R -=+∈.（1）若函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，0x 为函数()f x 在()0,π上的零点，求证：()000012sin cos x x e x x π-<-.【答案】（1）4a π-≥；（2）证明见解析. （1）()sin xf x ae x -'=--.当函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()0f x '≤在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≥-.设()sin xg x e x =-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()sin cos sin 4x xg x e x x x π⎛⎫'=-+=+ ⎪⎝⎭.∵,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以444x πππ-<+<. ∴当,24x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.∴()4max42g x g ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故42a π-≥.（2）因为1a =-时，()cos xf x e x -=-+，当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0xf x e x -=-+<，故00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可知()sin xf x e x -'=-，令()()sin x x f x e x ϕ-'==-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0xx e x ϕ-'=--< ∴()x ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.即()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又()010f '=>，404f e ππ-⎛⎫'=< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一的10,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=，∴()f x 在()10,x 单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()00f =，4042f e ππ-⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，202f e ππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴函数()cos xf x e x -=-+在()0,π上的零点0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即001cos x x e =，要证()000012sin cos x x e x x π-<-，即证()0000sin cos cos 02x x x x π⎛⎫---< ⎪⎝⎭. 设()()sin cos cos 2h x x x x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()cos sin sin cos sin cos sin cos 22h x x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫'=+---+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0h x '>在,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()h x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()02h x h π⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故原不等式得证.10．已知函数()()cos xf x ae x a R -=+∈.（1）若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，0x 为函数()f x 在()0,π上的零点，求证：()000012sin cos x x e x x π-<-. 【答案】（1）42a π-≥或0a ≤.（2）见解析（1）()sin xf x ae x -'=--，当函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()0f x '≤在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≥-，设()sin xg x e x =-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()sin cos sin 4x xg x e x x x π⎛⎫'=-+=+ ⎪⎝⎭.因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以444x πππ-<+<.当,24x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以()4max4g x g ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故42a π-≥.当函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增时，则()0f x '≥在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin x a e x ≤-，由上可知()()min 00g x g ==，故0a ≤.综上所述，实数a 的取值范围为4a π-≥或0a ≤.（2）当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0x f x e x -=-+<，故00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()sin x f x e x -'=-，由于x y e -=-和cos y x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()cos xf x e x -''=--在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()202f x f e ππ-⎛⎫''''<=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.又()010f '=>，4042f e ππ-⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，∴存在唯一的10,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=，∴()f x 在()10,x 单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.又()00f =，4042f e ππ-⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，202f e ππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴函数()cos xf x e x -=-+在()0,π上的零点0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即001cos x x e=. 要证()000012sin cos x x e x x π-<-，即证()0000sin cos cos 02x x x x π⎛⎫---< ⎪⎝⎭.设()()sin cos cos 2h x x x x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()cos sin sin cos sin cos sin cos 22h x x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫'=+---+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0h x '>在,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()h x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()02h x h π⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故原不等式得证.11．已知函数()2sin f x x a x =-，()cos g x x x =，x ∈R ．（Ⅰ）当4a =时，求函数()f x 在(0,2)π上的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()0F x f x g x =+>对任意的0x >恒成立，求正整数a 的最大值．【答案】（Ⅰ）()f x 在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭、5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；（Ⅱ）3．（Ⅰ）显然()24sin f x x x =-，(0,2)x π∈，则令()24cos 0f x x =-='，解得：3x π=或53x π=． 当5(,)33x ππ∈时，()0f x '>，当5(0,)(,2)33x πππ∈时，()0f x '<，于是()f x 在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭、5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）由()(2cos )sin 0F x x x a x =+->知sin 02cos a xx x->+，令()h x =sin 2cos a x x x -+，则222[cos (2)]3()(2cos )x a a a h x x --+-'=+，当230a a -≥ 即03a <≤时，()0h x '≥，()h x 是增函数，于是()(0)0h x h >=．另一方面，当3a >，则令2x π=，()2F a ππ=-，若4a ≥，()02f π<，不满足题意． ∴正整数3a ≤．综上所述，正整数a 的最大值为3．12．已知21()12xf x e x x =---，2()cos221g x x x =+-.（1）证明：0x ≥时，()0f x ≥； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）证明：0x ≥时，21sin 22sin sin 2x xe x x x +≥+.【答案】（1）证明见解析；（2）递减区间为,0，递增区间为0,；（3）证明见解析.（1）()1x f x e x '=--，令()()x f x ϕ'=，则()1xx e ϕ'=-，因为0x ≥，所以()e 10x x ϕ'=-≥，所以()ϕx 在[)0,+∞单调递增，所以()()00x ϕϕ≥=，所以()f x 在[)0,+∞单调递增，则()()00f x f ≥=.（2）()2sin 24g x x x '=-+，令()()h x g x ='，则()4cos240h x x '=-+≥，所以()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以0x <时，()()00h x h <=，函数()g x 单调递减；0x >时，()()00h x h >=，函数()g x 单调递增.所以，()g x 的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,.（3）证明：要证21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+，即证()2e sin 2cos sin x x x x x ≥-+.①当x π≥时，e e 3x x ππ≥>，而()2sin 2cos sin 3x x x -+≤（以[],2x ππ∈为例，[]sin 0,2cos 1,3,x x ≤-∈故()sin 2cos 0x x -≤，所以()2sin 2cos sin 3x x x -+≤）所以不等式成立.②当0πx <<时，sin 0x >，由（2）知：0x ≥时，2cos 212x x ≥-，所以221cos 12122x x x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，212cos 12x x -≤+所以只需证221e sin 1sin 2x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭. 令()sin p x x x =-（0x ≥），则()cos 10p x x '=-≤，所以()p x 在[)0,+∞单调递减，所以()()00p x p ≤=，即sin x x ≤.故只需证221e 12x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，即证：21e 12xx x ≥++.由（1）知，上述不等式成立.③当0x =时，不等式等号显然成立综上，当0x ≥时，21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+.13．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）3π42e a =或πe a >()(cos sin )e (sin cos )e sin (2e )sin x x x f x x x x x a x a x '=++--=-⋅.（1）[0,π]x ∈时，sin 0x ≥恒成立，令2e 0x a -=，得ln 02ax =≥. ①当ln 02a =，即2a =时，2e 0x a -≥在[0,]π上恒成立， 则()0f x '≥在[0,]π恒成立，()f x 在[0,π]上单调递增； ②当ln π2a ≥,即π2e a ≥时,2e 0x a -≤在[0,π]上恒成立， 则()0f x '≤在[0,]π恒成立,()f x 在[0,]π上单调递减； ③当0ln π2a <<，即π22e a <<时，若[0,ln ],2e 02x a x a ∈-≤，即[0,ln ]2ax ∈时,()0f x '≤，()f x 单调递减；若(ln ,π],2e 02x a x a ∈->，即(ln ,π]2ax ∈时，()0f x '>,()f x 单调递增.综上所述,当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增；π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减；当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增；（2）①当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增，而(0)10f a =-+>，此时()f x 无零点；②当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增.若函数()f x 在[0,]π上有唯一零点，则有(ln )02af =或(π)0f <.ln 2(ln )0[sin(ln )cos(ln )]e cosln [sin(ln )cos(ln )]02222222a a a a a a a af a =⇒-+=+=,解得3π43πln 2e 24a a =⇒=.π(π)0e 0f a <⇒-<，解得πe a >，故ππe 2e a <<.③当π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减，(0)0,(π)0f f ><，()f x 在[0,]π上存在唯一零点.综上可知，3π42e a =或πe a >.14．已知函数()()22ln 12sin ,0f x ax x x a =++->.（1）若1a ≥，证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求正实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）01a << （1）由题知()222cos 1f x ax x x'=+-+，()00f '=， 令()() h x f x '=，则()()21'2sin 1h x a x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 若1a ≥，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()22112sin 21sin 011h x a x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=-+≥-+>+ +⎪⎝⎭⎝⎭，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00h x h >=，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以()()00f x f >=.（2）①若1a ≥，由（1）知：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；因此0x =不可能是()g x 的极大值点.②若01a <<，令()()()212sin 1x h x a x x ϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'==+⎭-+， 因为当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()342cos 01x x x ϕ'=+>+，所以()x ϕ即()h x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又因为()()'0210(0)h a ϕ==-<，212102212h a ππϕπ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥'==+-> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦， 因此存在0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足：()0h a '=，所以当()1,x a ∈-时，()()0a h x h ''<=， 所以()()f x h x '=在()1,a -上单调递减，()()000f h '==，所以当()1,0x ∈-时，()0f x '>；当()0,x a ∈时，() 0f x '<； 所以()f x 在()1,0-上单调递增；在()0,a 上单调递减； 综上，当0x =是()f x 的极大值点时，01a <<.15．已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点； （2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >. 【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析. （ⅰ）因为()2sin cos f x x x x ax =--，所以()()2cos cos sin cos sin f x x x x x a x x x a '=---=+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1， 所以()01f '=，即11a -=，故0a =. 经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+. 设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=. 令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减.又()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>，此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ，且易知当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x .综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=. 令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=.且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减.当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1f a π'=--.（i ）当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥. 此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔（ii ）当()10f a π'=--<，即11a -<≤时，因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭ ， 所以，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减.又因为()00f =，()()10f a ππ=-≥，所以此时()0f x >. 由（i ）（ii ）可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >.16．已知函数()()1cos 0ax f x e x a -=⋅>．（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）若a =()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的极大值点；（2）（i ）证明()f x 在⎛⎫⎝上单调递增； （ii ）求关于x 的方程()1a f x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．【答案】（1）3π；（2）（i ）证明见解析，（ii ）当01a <<时，方程()1a f x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数为1，当1a ≥时，方程()1a f x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数为2.（1）()111cos sin cos (tan )ax ax ax f x ae x e x x e a x ---'=⋅-⋅=⋅-.当a =()1cos tan )f x x x -'=⋅.所以函数()f x 的极大值点为3π. （2）（i ）因为0a >，所以在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a=. 所以()00,x x ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为减函数.要证明()f x 在⎛⎫⎝0x ≤即可. 又因为0tan x a =00sin sin x x ===，即证00sin x x ≤即可.设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤，所以()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭为减函数.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()(0)0g x g <=，00sin 0x x -<，即00sin x x <，即证0x <，所以()f x 在⎛⎫⎝上单调递增. （ii ）先证明0x ≥时，1x e x ≥+.设()1x h x e x =--，0x ≥，()1xh x e '=-，因为0x ≥，所以()0h x '≥，()h x 在[)0,+∞为增函数. 所以()()00h x h ≥=，即1x e x ≥+. 再证明函数()f x 的最大值()10af x e ->.因为0tan x a =，所以0cos x =，0sin x =因为1x e x ≥+，所以0100sin ax eax a x -≥>.所以()02100002cos sin cos 1ax a f x ex a x x a-=⋅>⋅⋅=+. 下面证1221a a e a->+，令1t a =-，则0t <， 即证211t e t>+，()0t <，()2110t t e +-<，()0t <. 设()()211t F t t e =+-，()()210tF t t e '=+≥，所以函数()F t 为增函数.当0t <时，()()00F t F ≤=，即()2110tt e +-<.即证：()10af x e ->.设()11cos ax aG x x ee --=⋅-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()00G x >，102a G e π-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且()G x 在0,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，所以()G x 在0,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点. 当[]00,x x ∈时，()110a G e e-=-，()00G x >，且()G x 在[]00,x 为增函数.①当01a <<时，11a e e->，即()00G >，所以()G x 在[]00,x 上没有零点.②当1a ≥时，11a e e-≤，即()00G ≤，所以()G x 在[]00,x 上有唯一零点.综上所述：当01a <<时，方程()1af x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数为1，当1a ≥时，方程()1af x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数为2.17．（1）求函数()sin x f x x e -=+在3[,2]2ππ的最大值； （2）证明：函数1()sin 2x g x x x e -=-+在(0,2)π有两个极值点12,x x ，且121()()2g x g x +>π-. 【答案】（1）2e π-；（2）证明见解析. （1）()cos x f x x e -'=-，则()f x '在3[,2]2ππ上单调递增， 又3()0,(2)02f f ππ''<>， 所以()f x '在3(,2)2ππ有唯一的零点t .当3(,)2x t π∈时，()()0,f x f x '<单调递减； (,2)x t π∈时，()()0,f x f x '>单调递增.又3223()10(2)2f e f e ππππ--=-+<<=，所以()f x 在3[,2]2ππ的最大值为2e π-.（2）1()cos 2x g x x e -'=--，则当(0,)2x π∈时，()g x '单调递增，又4211()0,()04222g e g e ππππ--''=--<=->， 所以()g x '在(0,)2x π∈有唯一的零点0(,)42x ππ∈，此时，0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(,)2x x π∈时，()0g x '>，所以0x 是极小值点，不妨令01x x =.当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，所以2111()cos 0222x xg x x e e e π---'=-->->->；当3(,2)2x ππ∈，设()(),()sin ()x h x g x h x x e f x -=''=+=. 由（1）知， ()h x '有唯一的零点3(,2)2t ππ∈， 则3(,)2x t π∈时，()0,()h x h x '<单调递减，即()g x '单调递减； (,2)x t π∈时，()0,()h x h x '>单调递增，即()g x '单调递增又7243711()0,()0,(2)02422g g e g e πππππ--'''>=-<=--<， 所以()g x '在3(,2)2x ππ∈有唯一的零点337(,)24x ππ∈，此时33(,)2x x π∈时，()0g x '>；3(,2)x x π∈时，()0g x '<， 所以3x 是极大值点，即32x x =，所以()g x 在(0,2)π有两个极值点12,x x ，其中1(,)42x ππ∈，237(,)24x ππ∈， 且12121cos 21cos 2x x x e x e --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，由于12x x e e -->，所以122cos cos cos(2)x x x π<=-. 因为1(,)42x ππ∈，22(,)42x πππ-∈，所以122x x π>-，即122x x π+>.又1(,)42x ππ∈，所以111sin cos )4x x x π+=+<同理222sin cos )04x x x π++<，所以1212112211()()sin sin 22x x g x g x x x e x x e --+=-++-+.12112211()(sin cos )(sin cos )1122x x x x x x ππ=+-+-++>>-. 18．已知函数()sin cos f x x x x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,2)π上零点的个数，并说明理由． （2）当0πx <<时，①比较1x -与ln x 的大小关系，并说明理由；②证明：()()cos ln[]1cos xf x e f x x +≤⋅-．【答案】（1）有唯一一个零点，理由详见解析；（2）①1ln x x -≥，证明详见解析；②证明见解析．（1）因为()sin cos f x x x x =-，所以()sin f x x x '=．当(0,)x π∈时，()sin 0,0x f x '>>，函数()f x 在(0,)π上单调递增，所以()()00f x f >=，且()0f ππ=>，故()f x 在(0,)π上无零点；当(,2)x ππ∈时，()sin 0,0x f x '<<，函数()f x 在(,2)ππ上单调递减， 又由()0,(2)20f f ππππ=>=-<，故()f x 在区间(,2)ππ上有唯一零点；综上，函数()f x 在区间(0,2)π上有唯一一个零点．（2）①1ln x x -≥，证明过程如下：设函数()1ln g x x x =--，则()1,(0)x g x x x π-'=<<， 令()0g x '<，即10x x -<，解得01x <<； 令()0g x '>，即10x x->，解得1x π<<， 所以函数()y g x =在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，π）上单调递增． 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值()10g =，即ln 10x x --≥，综上可得，1ln x x -≥成立；②要证：ln [f （x ）]+1≤e cosx f （x ）﹣cosx 成立，即证明ln （sinx ﹣xcosx ）≤（sinx ﹣xcosx ）e cosx ﹣cosx ﹣1成立，因为f （x ）在（0，π）上单调递增，()()00f x f >=，即sinx ﹣xcosx ＞0，所以（sinx ﹣xcosx ）e cosx ＞0，由①知1ln x x -≥，即有1ln x x ≥+，有（sinx ﹣xcosx ）e cosx ≥1+ln [（sinx ﹣xcosx ）e cosx ]成立， 当12x π=时，11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222e e πππππππ-⋅≥+-⋅成立， 由11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222e e πππππππ-⋅=+-⋅成立， 此时能取等号，即有cos (sin cos )1ln[(sin cos )cos ]x x x x e x x x x -⋅≥+-+成立，即()()cos ln[]1cos x f x e f x x +≤⋅-成立.19．已知函数()()1x x f x ae e a x -=++-，()()1cos g x a x =+．（1）当0a =时，直线y kx =与函数()f x 的图象相切，求k 的值；（2）若()()f x g x ≥在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1k e =--（2）1a ≥（1）0a =时，()x f x e x -=-，所以()1x f x e -'=--设切点为()000,x A x e x --，所以()001x k f x e -'==--所以切线方程为：()01x y ex -=--，将A 点代入得：01x =- 所以1k e =-- （2）()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立即：()()11cos x x ae e a x a x -++-≥+在[)0,x ∈+∞上恒成立设()()()11cos x x G x ae e a x a x -=++--+，[)0,x ∈+∞，即()0G x ≥恒成立 由()222210002222G ae e a a e e a ππππππππ-⎛⎫⎛⎫=++-≥⇒+≥->⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()'11sin x x G x ae e a a x -=-+-++①若1a ≥，当[]0,x π∈时，0x x ae e --≥，10a -≥，()1sin a x +，∴()'0G x ≥ 所以()G x 在[]0,π递增；当(),x π∈+∞时，()()'11sin 20x x x x G x ae e a a x e e --=-+-++≥-->所以()G x 在[),π+∞递增.综上，()G x 在[)0,+∞递增.所以()()00G x G ≥=恒成立②若01a <<，则()'0220G a =-< ()()'112x x x x G x ae e a a ae e --≥-+--+=--令20x xae e x ---=⇒='1ln 0G a ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以0x ⎛∃∈ ⎝⎦，使()'00G x =，且当()00,x x ∈时，()'0G x < 所以()G x 在()00,x 递减，所以()00,x x ∈时，()()00G x G <=，所以01a <<不成立.综上，1a ≥.20．已知f （x ）=e x +sin x +ax （a ∈R）.（Ⅰ）当a =﹣2时，求证：f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减；（Ⅱ）若对任意x ≥0，f （x ）≥1恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若f （x ）有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）a ≥﹣2；（Ⅲ）a ＜0.（Ⅰ）解：a =﹣2，f '（x ）=e x +cos x ﹣2，当 x ＜0时，e x ＜1，cos x ≤1，所以 ()cos 20x f x e x '=+-<所以f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减.（Ⅱ）解：当x =0时，f （x ）=1≥1，对于a ∈R，命题成立，当 x ＞0时，设g （x ）=e x +cos x +a ，则()sin x g x e x '=-.因为 e x ＞1，sin x ≤1，所以 ()sin 110x e x g x =>'--=，g （x ）在（0，+∞）上单调递增.又g （0）=2+a ，所以g （x ）＞2+a .所以()f x '在（0，+∞）上单调递增，且()f x '＞2+a .①当a ≥﹣2时，()f x '＞0，所以 f （x ）在（0，+∞）上单调递增.因为 f （0）=1，所以f （x ）＞1恒成立.②当a ＜﹣2时，()0f '=2+a ＜0，因为()f x '在[0，+∞）上单调递增，又当 x =ln （2﹣a ）时，()f x '=﹣a +2+cos x +a =2+cos x ＞0，所以 存在x 0∈（0，+∞），对于x ∈（0，x 0），()f x '＜0恒成立.所以 f （x ）在（0，x 0）上单调递减，所以 当x ∈（0，x 0）时，f （x ）＜f （0）=1，不合题意.综上，当a ≥﹣2时，对于x ≥0，f （x ）≥1恒成立.（Ⅲ）解：a ＜0.21．已知函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值； （Ⅱ）若对一切[],0x π∈-，不等式()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值12π-；（Ⅱ）2(,]π-∞. （Ⅰ）由函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈，则()cos sin f x x x a '=--，当1a =时， 可得())14f x x π'=--令()0f x '>，即sin()42x π-<，解得04x π-≤<；令()0f x '<，即sin()42x π->-，解得02x π<≤； 所以()f x 在[,0)4π-递增，在(0,]2x π∈递减，所以max ()(0)1f x f ==， 又(),()144224f f πππππ-==-<，所以min ()()122f x f ππ==-， 所以()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12π-. （Ⅱ）由函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈，则()11f a ππ-=-+≤，解得2a π≤，又由())4f x x a π'=--，因为0x π-≤≤，则5444x πππ-≤-≤-，可得1sin()4x π-≤-≤所以)[4x π-∈-，（i ）当1a ≤-时，())04f x x a π'=--≥，所以()f x 在[,0]π-递增， 所以()(0)1f x f <=恒成立；（ii ）当21a π-<≤时， 当4x ππ-≤≤-时，()'f x 单调递增；当04x π-≤≤时，()'f x 单调递减，所以()10f a π'-=--<，()04f a π'-=>，(0)10f a '=->， 所以(,)4παπ∃∈--，使得()0f α'=，所以当x πα-≤<时，()0f x '<；当0x α<≤是，()0f x '>，所以()f x 在[,)πα-单调递减，在(,0]α单调递增，又因为()11,(0)11f a f ππ-=-+≤=≤，所以()1f x ≤，所以2a π≤，即实数a 的取值范围是2(,]π-∞. 22．（1）已知实数a >0，若关于x 的不等式sin cos 0a x x x -≥在0≤x ≤2π上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若02x π<<，求证：2221141sin x x π-<- 【答案】（1）13a ≥（2）证明见解析； 证明：（1）设sin ()cos a x f x x x=-，对()f x 求函数导数得： 12cos cos sin cos (sin )()1cos a a a x x x x x f x xα-⋅-⋅⋅-'=- 121cos sin cos 1a a x x x α---=+-，(0)0f '=，而 ()(1)cos (sin )af x a x x -''=-⋅-122[2sin cos cos sin (1)cos sin ]a a a x x x x a x x ----+⋅⋅+⋅+⋅⋅2sin cos [(31)(1)tan ]a x x a a a x -=⋅⋅-++ ①在13a ≥时，有()0f x ''≥，则()f x '在02x π≤≤为增函数，而(0)0f '=， ()(0)0f x f ''∴≥=，因此()f x 在02x π≤<为增函数，有()(0)0f x f ≥=，从而()0f x ≥，所以13a ≥符合要求.。
大一数学分析重点（共5篇）
大一数学分析重点（共5篇）以下是网友分享的关于大一数学分析重点的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
高一数学的重难点分析篇1高一年级数学学习常见问题及重难点一．函数的基本性质在函数的基本性质中，需首先掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性最值问题。
重点需灵活掌握函数单调性及奇偶性的综合应用和最值问题。
1、函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是A．1C．5解析：依题意可得对称轴x＝a－1＝1，4B．3 D．－12、函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是A．a≤2C．－2≤a≤2 B．a≥－2 D．a≤－2或a≥2解析：由已知y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，f(a)≤f(2)⇔f(|a|)≤f(2)⇔|a|≥2⇔a≤－2或a≥2.二、指数函数与对数函数指数函数与对数函数的图像及性质既是高考的重点也是难点，应注意相关知识的综合应用。
a1．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．2解：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.a∴a2－a.即a(2a－3)＝0. 233∴a＝0(舍)或a＝∴a. 22当0在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2.a1∴a－a2.∴a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍)或a＝22113∴a. 综上可知，a＝a＝. 222 2．在同一坐标系内，函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是解析：A图中，由y＝x＋a的图象可知a>1，由y＝logax的图象可知0B图中，由y＝x＋a的图象可知01，故矛盾；C图中，由y＝x＋a的图象可知01，故矛盾．答案：C三、概率在概率的学习中，需注意对立事件与互斥事件的概念的区分，及古典概型和几何概型的应用。
初中数学知识点考点归纳及分值分析
数学知识内容考点及分值分析一、教材设置初中数学共学习6册书，中考数学难易比例5:3:2。
数学授课方式：先讲后练(基础差型学生）先练后讲(基础好型学生）初一：1、上册：有理数、整式的加减、一元一次方程、图行的初步认识。
（1）有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3—6分,多以选择题，填空题,计算题的形式出现，难易度属于简单。
考察内容:复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。
（2)整式的加减：中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主，难易度属于易.考察内容：①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值②完全平方公式，平方差公式的几何意义③利用提公因式发和公式法分解因式。
（3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有(归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。
中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题,难易度为易。
考察内容：①方程及方程解的概念②根据题意列一元一次方程③解一元一次方程。
题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式.（4）几何：角和线段,为下册学三角形打基础2、下册:相交线和平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。
（1）相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点.通常以填空，选择题形式出现。
分值为3-4分,难易度为易.考察内容:①平行线的性质（公理)②平行线的判别方法③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。
（2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主,难易度属于易.考察主要内容：①考察平面直角坐标系内点的坐标特征②函数自变量的取值范围和球函数的值③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析.（3）三角形：是初中数学的基础，中考命题中的重点。
中考试题分值约为18—24分，以填空，选择，解答题,也会出现一些证明题目。
中考数学压轴题：9种题型+5种策略,一篇全面攻破!
中考数学压轴题：9种题型+5种策略，一篇全面攻破！导读：本文中考数学压轴题：9种题型+5种策略，一篇全面攻破！，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
篇一：九种题型1线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合5多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
高考数学《函数与方程综合问题》专题复习
第五讲函数与方程综合A 组一、选择题1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x f x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象， 如图所示，xy–1–2123–1–2123O由图可知，1≤-a ，解得1-≥a ，故选C ．2.已知实数a ，b 满足23a=，32b=，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A. ()21--，B.()1,0-C.()0,1D.()1,2 【解析】23a =，32b =，∴1a >，01b <<，又()x f x a x b =+-，∴()1110f b a-=--<，()010f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点．故选B.3.已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+2【答案】B【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．4.设函数1()ln 3f x x x =-，则函数()f x ( ） A ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e内有零点，在(1,)e 内无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点，在((1,)e 内有零点 【解析】1()ln 3f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'11()3f x x=-，故()f x 在(0,3)上递减，又 1()0,(1)0,()0f f f e e>><，故选D. 5. 已知函数()f x 满足：()()1fx f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2，又()f x 是偶函数，且[]0,1x ∈时，()2f x x =，故可示意()f x 在[1,3]-上图象，()()k kx x f xg --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点，由图象知1(0,]4k ∈，故选C.6.已知方程923310x xk -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A.2[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3+∞ D.[1, ＋∞)【解析】设3xt =，原题转化为函数2()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点（可以相同），则44(31)020310k k --≥⎧⎪>⎨⎪->⎩解得12(,]33k ∈，故选B.7.（2016高考新课标2卷理）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）A. 0B. mC. 2mD. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.（客观上函数()y f x =与1x y x+=有共同的对称中心(0,1)，所以它们的所有交点 关于(0,1)对称 二、填空题8．（2018年全国卷Ⅲ）函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．10．若函数f (x )=21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题，画图，可得1m <-或2m >.11．设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= . 【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+，作出函数2sin()3y x π=+的图象，再作直线y a =，从图象可知 函数2sin(x )3y π=+在[0,]6π上递增，在7[,]66ππ上递减，在7[,2]6ππ上递增，只有当3a =时，才有三个交点，1230,,23x x x ππ===，所以123x x x ++=73π.12.（2016高考山东卷理）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >.13.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．(2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．B 组一、选择题 1.设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是( )A ．120x x +>，120y y +>B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +< 【解析】依题意，示意图象，可知120x x +>，且12,x x 异号，而1212120x x y y x x ++=<，故选B.2.已知函数()1xf x xe ax =--,则关于()f x 的零点叙述正确的是( ) A.当0a =时,函数()f x 有两个零点 B.函数()f x 必有一个零点是正数 C.当0a <时,函数()f x 有两个零点 D.当0a >时,函数()f x 只有一个零点 【解析】函数()1xf x xe ax =--的零点可转化为函数xy e =与1y a x=+图象的交点情况研究，选B. 3.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D.(,0)-∞【解析】依题意，0m =不符；0m <时，则对于[0,)x ∀∈+∞，当x →+∞时，显然()0f x <，不符；0m >时，则对于(,0]x ∀∈-∞，()0f x >，由(0)10f =>，需对称轴：024>-=m m x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-08)4(40242m m mm， 解得(0,8)x ∈，故选B.4.函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为 ( )A. 9B. 10C. 11D. 12 【解析】示意函数lg(||1)y x =+与y sin 2x =的图象可确定选D.5.已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A.5(0,)5 B.5(,1)5C.3(,1)3D.3(0,)3 【解析】依题意，需要()f x 在y 轴左侧图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2xy x π=-->，需要其图象与()f x 原y 轴右侧图象至少有3个公共点，1a >不能满足条件，只有01a <<，如图，此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得505a <<. 6.已知实数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A ．]2,(--∞ B ．),1[+∞ C ．]1,2[- D ．),1[]2,(+∞--∞【解析】做出函数)(x f 的图象，如图所示，由图可知，当1≥m 时直线m y =与)(x f 的图象有两个交点，当1<m 时直线m y =与)(x f 的图象有一个交点，题意要求方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则方程20m m t ++=必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当011=++t ，即2-=t 时，方程022=-+m m 的两根为1和2-，符合题意；当011<++t ，即2-<t 时，方程20m m t ++=有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由2-≤t .7.(2018年江苏卷)若函数)(12)(23R a ax x x f ∈+-=在()+∞,0内有且只有一个零点，则)(x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，8. 设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩.（1）若1a =，则()f x 的最小值为______；（2）若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】（1）当1a =时，若1x <，()(1,1)f x ∈-；当时1x ≥，223()4(32)4()12f x x x x =-+=--，则32x =时，min () 1.f x =- （2）0a ≤时，()f x 无零点；不符；102a <<时，()f x 有一个零点；112a ≤<，符合；12a ≤<，()f x 有3个零点；2a ≥，符合. 综上得112a ≤<或 2.a ≥ 9.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【解析】由题意，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组13b a b a b a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a b a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .10.已知函数23f xx x ，R x ∈．若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________ ． 【解析】在同一坐标系中画23f xx x 和1g x a x 的图象（如图），问题转化为xy13O tyO 91f x 与g x 图象恰有四个交点．当1ya x 与23yx x （或1ya x 与23yx x ）相切时，f x 与g x 图象恰有三个交点．把1y a x 代入23yx x ，得231x xa x ，即230x a xa，由0=∆，得2340aa，解得1a或9a ．又当0a 时，f x 与g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >． 三、解答题11.设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 【解析】（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，2'42221()()x x x e xe f x k x x x -=--+322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--= 由0k ≤可得0xe kx ->， 所以当(0,2)x ∈时，'()0f x <，函数()y f x =单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点； 当0k >时，设函数(),[0,)xg x e kx x =-∈+∞， 因为'ln ()xxkg x e k e e=-=-，当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，'()0xg x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，'()0g x <，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，'()0g x >，函数()y g x =单调递增， 所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-， 函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩， 解得22e e k <<，综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e .C 组一、选择题1.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【解析】按D 考虑，则由2142222223321132123408064161604,,0a a a a a a aa a a aa ⎧-<⎪⎪-<⎪⇒=<=⇒-<⎨⎪=⎪>⎪⎩，故选D. 2.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】依题,0a b pab q p q +=⎧⎪=⎨⎪>⎩得0,0a b >>，则,,2a b -这三个数适当排序排成等比数列必有4ab =，,,2a b -这三个数适当排序后成等差数列应有2222a b b a -=-=或，解得4114a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 则5,4p q ==，故9p q +=，选D.3.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 故选D. 8642246815105510154.定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数()g x =()(1)f x k x --，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） .A [)1,2 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34【解析】∵对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立，且当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(， ∴()2,(,2]f x x b x b b =-+∈.由题意得()(1)f x k x =-的函数图象是过定点(1,0)的直线，如图所示红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合），∴可得k 的范围为423k ≤<.5.设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上'()f x x <，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,2]-B ．[2,)+∞C ． [0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】设21()()2g x f x x =-，依题()()0g x g x -+=，则()g x 是奇函数，又在(0,)+∞上'()f x x <，可判断()g x在R 上递减，不等式(4)()84f m f m m --≥-可转化为(4)()g m g m -≥，则4m m -≤，得2m ≥， 故选B.6.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，13log (1),[0,2)()14,[2,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．31a- B ．13a- C ．31a-- D ．13a --【解析】由题意得：133log (1)(1,0],[0,2)1|4|(,1],[2,)()log (1)(0,1),(2,0)|4|1[1,),(,2)x x x x f x x x x x +∈-∈⎧⎪⎪--∈-∞∈+∞=⎨⎪-∈∈-⎪+-∈-+∞∈-∞-⎩，所以当01a <<时()y f x =与y a =有五个交点，其中1|4|,[2,)y x x =--∈+∞与y a =的两个交点关于4x =对称，和为8；|4|1,(,2)y x x =+-∈-∞-与y a =的 两个交点关于4x =-对称，和为-8；3log (1),(2,0)y x x =-∈-与y a =的一个交点，值为13a -；因此 所有零点之和为13a -，故选B. 二、填空题7.（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是 ___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞8.已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x ，则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为 个．【解析】函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数等价于函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象的交点的个数．由已知条件作出函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象，如下图．由图可知，函数()y f x =的图象与直线21=y 的图象有6个交点．9.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 .【解析】令32310ax x -+=，得313()a xx =-+，设1t x=，即33a t t =-+，原问题转化为直线y a =与函数 3()3f t t t =-+只有一个交点且此交点的横坐标为正，由'2()330f t t =-+=，得1t =±，且()f t 在(,1)-∞-递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增，可知(2)(1)2f f =-=-，由图象得2a <-.10. 函数ln ,0()2ln ,x x ef x x x e⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为 ．【解析】示意()f x 图象，由,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，不妨令a b c <<，应有211a b e c e e<<<<<<得 ln ln 2ln a b c -==-得1ab =，2c ae =，则 21(1)a b c e a a ++=++，可判断函数21()(1)g a e a a =++在1(,1)a e ∈上递增，故 21(2,2)a b c e e e ++∈++三、解答题11. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时， y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
交叉知识综合问题 讲义及练习
交叉知识综合问题-教师版一.综述求空间图形中的点的轨迹既是一个难点,也是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.导数是高中阶段研究函数性质的重要工具,尤其是求最值,求切线.圆锥曲线中的一些切线问题和最值问题可以借助导数来处理. 二.例题精讲 破解规律例1. 如图，正方体的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( ). A . 圆 B . 抛物线 C . 双曲线 D . 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。
解：设于点F ，过点P 作于点E ，连结EF ，则平面PEF ，，即。
因为，且，所以.由抛物线定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，故应选B .点评: 将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理规律总结: 从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化.现学现用1: 如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）1111ABCD A B C D -1311AD 11PFA D ⊥PE AD ⊥AD ⊥∴AD EF ⊥1//EF AA 221PF PM -=22221PF PF EF PE-=-=PE PM=P 1111ABCD A B C D -P BC 11C D PA .B .C .D .解析:在平面BCC 1B 1上，P 到直线C 1D 1的距离为|PC 1|，∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，∴点P 到点C 1的距离与到直线BC 的距离相等， ∴轨迹为抛物线,且点C 1为焦点，BC 为准线；故排除C ，D ，同理可得，在平面ABB 1A 1上，点P 到点B 的距离与到直线C 1D 1的距离相等， 从而排除A ，本题选择B 选项.例2.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，与共线。
中考数学知识内容考点及分值分析
中考数学知识内容考点及分值(Zhi)分析一、教材设(She)置初中数(Shu)学共学习(Xi)6册(Ce)书，中考数学难易比例(Li)5:3:2。
数(Shu)学授课方式：先讲后练（基础差型学生）先练后讲（基础好型学生）初(Chu)一：1、上册：主要包括四章内容，第一章有理数、第二章整式的加减、第三章一元一次方程和第四章图行的初步认识。
前三章属于数与代数的内容，最后一章属于空间与图形的内容。
（1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。
考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。
（2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。
考察内容：①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值②完全平方公式，平方差公式的几何意义③利用提公因式发和公式法分解因式。
（3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。
中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。
考察内容：①方程及方程解的概念②根据题意列一元一次方程③解一元一次方程。
题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。
（4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础2、下册：主要包括六章内容，分别是：相交线和平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。
（1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。
通常以填空，选择题形式出现。
分值为3-4分，难易度为易。
考察内容：①平行线的性质（公理）②平行线的判别方法③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。
（2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。
考察主要内容：①考察平面直角坐标系内点的坐标特征②函数自变量的取值范围和球函数的值③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。
中考复习-多种函数交叉综合问题(答案)
中考数学专题5 多种函数交叉综合问题一、选择题1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a y x=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xa y =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0，对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－a b 2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数xa y =的图象在第二四象限， 正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限．故选B ．点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值．2、（2011•宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=3m x-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。
A 、B 、第12题 Ox yO y x A O y x B O y x D O y x CC 、D 、分析：因为直线y=x+2与双曲线y=3m x-在第二象限有两个交点，联立两方程求出m 的取值范围即可，然后在数轴上表示出m 的取值范围． 解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=3m x -在第二象限有两个交点， 即x+2=3m x-有两根， 即x 2+2x+3﹣m=0有两解，△=4﹣4×（3﹣m ）＞0，解得m ＞2，∵双曲线在二、四象限，∴m ﹣3＜0，∴m ＜3，∴m 的取值范围为：2＜m ＜3．故在数轴上表示为．故选B ．点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m 的取值范围．3、（2011贵州毕节，9，3分）一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=k xk y 在同一直角坐标系中的图象大致是( )考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
海南中考数学6种常考的压轴题类型,你了解吗？
海南中考数学6种常考的压轴题类型，你了解吗？关于中考数学，压轴题往往是是考生最怕的。
专门多考生都以为它一定专门难，不敢碰它。
事实上，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发觉，事实上也不是专门难。
微信上常常有专门多家长跟我说，“小孩关于数学考试专门头疼，选择题和填空题都还将就能做完，可关于大题就有点束手无策，专门是最后的压轴题，压根儿没碰过！”事实上压轴题难度也是有约定的：历年中考，压轴题一样都由3个小题组成。
第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一样依旧属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。
而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率稳固在0.5与0. 6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不可怕。
我给听课的6000多名讲了几种中考数学常考的压轴题类型，课后专门多同学都反映专门有用，今天我就分享给大伙儿，期望对数学有困难的同学有关心。
（1）线段、角的运算与证明问题中考的解答题一样是分两到三部分的。
第一部分差不多上差不多上一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往确实是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松把握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是关于整个做题过程中士气，军心的阻碍。
（2）一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰巨。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，然而对考生的运算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式显现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
然而在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
第五讲多种函数交叉综合问题(含答案)
中考数学重难点专题讲座第五讲 多种函数交叉综合问题【前言】初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。
二次函数根本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数根本不会涉及。
所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到防止失分。
【例1】2022，西城，一模将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>ky x x交于点B ．⑴求直线AB 的解析式；⑵假设点B 的纵标为m ，求k 的值〔用含有m 的式子表示〕．【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。
题目一般不难，设元以后计算就可以了。
此题先设平移后的直线，然后联立即可。
比拟简单,看看就行.【解析】将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A 〔0,49〕， 设直线AB 的解析式为b x y +=4． 那么0494=+⨯b ． 解得9-=b ．∴直线AB 的解析式为94-=x y ． 图3〔2〕设点B 的坐标为(),B x m ， ∵直线AB 经过点B ， ∴94-=B x m ． ∴49+=m x B ．∴B 点的坐标为9,4m m +⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点B 在双曲线ky x=()0x >上， ∴49+=m km ． ∴492m m k +=．【例2】2022，丰台，一模如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象相交于A 、B 两点． 〔1〕求出这两个函数的解析式；〔2〕结合函数的图象答复：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y < 【思路分析】第一问直接看图写出A ，B 点的坐标〔－6,－2〕(4,3)，直接代入反比例函数中求m ，建立二元一次方程组求k,b 。
数学北师大版高中选修2-2与函数交汇型综合试题解析
与函数交汇型综合试题解析 廖东明函数与导数、不等式、数列交汇，研究函数的单调性、最值，研究不等式有解或不等式恒成立时实参数的取值范围，是高考的一大热点．此择三道模拟考试压轴题凸显破解方法．一、函数与数列、数列不等式证明的综合例1 已知函数223()32x xf x x x+=--（01x <<）的反函数为1()f x -，设1()f x -在点1(,())n f n -（n N *∈）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，11()n n a f a -+=（n N *∈）．（１）求数列{}n a 的通项公式；（２）在数列2{}n n nb a a λ+中，仅当5n =时，2n n nb a a λ+取得最小值，求λ的取值范围；（３）令函数12()()(1)g x f x x -=+，数列{}n c 满足112c =，1()n n c g c +=（n N *∈），求证：对于一切2n ≥的正整数，都满足：1211111c c <+++11n c ++<2+．分析：本例涉及的知识点多，但根据条件和待求，循规蹈矩推进，思路即显．第（３）问显然要利用放缩技巧．解：（１）(3)()(1)(3)x x f x x x +=-+1x x=-（01x <<）．由1x y x =-111x =-+-（01x <<），知当0x →时，y 为正数且0y →，当1x →时，y →+∞，所以函数()f x 的值域为(0,)+∞．∴()f x 的反函数为1()1x f x x -=+（x >0），∴11()n n a f a -+=1n na a =+，得1111n n a a +=+，即1111n na a +-=，∴数列1{}n a 是以２为首项１为公差的等差数列，∴111(1)1n n a a =+-⨯1n =+，即11n a n =+． （２）121[()](1)f x x -'=+，∴函数1()f x -在点1(,())n f n -（n N *∈）处的切线方程为：121()()(1)y f n x n n --=-+，令0x =，得21(1)nn nb n n =-++22(1)n n =+．∴2n n nb a a λ+＝2(1)n n λ++22()24n λλλ=++-．函数22()24y x λλλ=++-的对称轴为2x λ=-，由于当5n =时取得最小值，只需4.5 5.52λ<-<，解得11λ-<<-9．故λ的取值范围是(11,9)--．（３）∵12()()(1)g x f x x -=+(1)x x =+，故1()n n c g c +=(1)n n c c =+．又112c =，∴n c >0，则111(1)n n n c c c +=+111n n c c =-+，即11111n n nc c c +=-+，∴121111c c +++11n c +++＝1211()c c -2311()c c +-111()n n c c +++-1111n c c +=-<2．∵2113(1)4c c c =+=，∴121111c c +++11n c +++121111c c >+++2437=+2621=>1．故1211111c c <+++11n c ++<2+．点评：夯实基础，积累解题经验，解答本例这样的综合问题是容易入手和比较畅达的．第（２）问，逆用二次函数的最值知识结合5n =这个条件取得来确定对称轴2x λ=-的位置范围，需要采用数形结合和图象运动（含对称轴）的策略． 二、函数与导数、解不等式的综合例 2 已知函数()x x f x xe e -=+（x R ∈）．（1）若函数()f x 在区间(1,1)k k -+上不是单调函数，求实数k 的取值范围；（２）若关于x 的不等式2()42f x a a +-+<0有解，求实数a 的取值范围．分析：（１）令2(1)1()0x xx e f x e+-'==求出极值点，让极值点属于区间(1,1)k k -+即可得到k 的取值范围．但是()0f x '=这个方程我们无法求解．直觉观察(0)0f '=，是否还有其它的极值点难以判断．注意到xe >0，转化为研究2()(1)1x g x x e =+-的单调区间，将区间(,)-∞+∞依据()g x 的结构特点划分为几个区间，使()g x 亦即()f x '在各个子区间上的值的正或负容易判断，进而找出全部的极值点．（２）关于x 的不等式2()42f x a a +-+<0即2()(42)f x a a <--+有解，只需()y f x =的图象至少有一点在直线2(42)y a a =--+的下方．解：（１）由已知得()xxxf x e xe e -'=+-2(1)1x xx e e+-=．当1x ≤-时，()f x '<0；当x >-1时，令2()(1)1xg x x e =+-，则由于1y x =+>0为增函数，2x y e =>0且为增函数，知()g x 在(1,)-+∞上为增函数，又(0)0g =，所以，当10x -<<时，()g x <0，()f x '<0；当0x >时，()g x >0，()f x '>0．因此函数()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．由函数()f x 在区间(1,1)k k -+上不是单调函数，得101k k -<<+，由此解得11k -<<，即实数k 的取值范围是(1,1)-．（２）由（１）得函数()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数，所以min ()(0)1f x f ==，由关于x 的不等式2()42f x a a +-+<0有解，得2m i n ()42f x a a +-+<0，即2142a a +-+<0，解得13a <<，即实数a 的取值范围是(1,3)．点评：第（１）问采用“分类讨论，各个击破，积零为整”的策略，第（２）问采用通过数形结合实现等价转化的策略，直线2(42)y a a =--+的最高位置是2y =，向下可无限接近直线1y =．三、函数与导数、不等式恒成立问题的综合例３ 已知函数2()ln(23)2m f x x x =++在13x =处取得极值．（１）求()f x 在[0,1]上的单调区间；（２）若对任意11[,]63x ∈，不等式|ln |a x -ln[()3]f x x '++>0恒成立，求实数a 的取值范围．分析：（１）()f x 在[0,1]上连续，由1()03f '=可求出m ，进而利用导数()f x '求解()f x 在[0,1]上的单调区间；（２）探明()3f x x '+的解析式，利用复合函数的单调性得到ln[()3]f x x '+的值域，进而利用max |ln |ln[()3]}a x f x x '->{-+即利用m i n|l n |l n [()3]}a x f x x '->-{+求解，但要注意与利用“()f x a <max ()f x a ⇔<”的细微差别，谨防思维定势步入陷阱．解：（1）函数()f x 的定义域为2{|}3x x >-，3()23f x mx x '=++232332mx mx x++=+．又()f x 在13x =处取得极值，所以1()03f '=，解得3m =-，此时3(1)(31)()23x x f x x -+-'=+．所以在[0,1]上，当0x 1≤<3时，()f x '>0，()f x 单调递增；当113x <≤时，()f x '<0，()f x 单调递减．所以()f x 在13x =处取得极大值．所以()f x 在[0,1]上的增区间为1[0,]3，减区间为1[,1]3（开闭区间均可）．（２）由（１）知，3()323f x x x '+=+，易知323y x=+在区间[0,)+∞上为单调递减函数，根据复合函数的单调性知函数ln[()3]y f x x '=+在11[,]63也是单调递减函数，6ln[()3][0,ln ]5f x x '+∈，当且仅当13x =时ln[()3]f x x '+=0．因此对任意11[,]63x ∈，不等式|ln |a x -ln[()3]f x x '++>0恒成立，等价于min |ln |ln[()3]}a x f x x '->-{+，即1|ln |3a ->0，所以1ln 3a ≠，即实数a 的取值范围是11(,ln )(ln ,)33-∞+∞．点评：既着眼整体，又细观局部（在[0,1]上32x +>0）可降低()f x '>0或()f x '<0的难度；抓住“当且仅当13x =时ln[()3]f x x '+=0”，原不等式恒成立问题只需|ln |0a x -≠，获得正确的转化．解题既要宏观把握，也不能遗漏一些细节．。
第五讲-多重共线性、异方差、自相关
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
112884 15264.0
19497
1775.8Leabharlann 108845 22705.3
20913
X2 0.01
1.00 -0.45 -0.04 0.18
X3 0.64 -0.45 1.00 0.69 0.36
X4 0.96 -0.04 0.69 1.00 0.45
X5 0.55
0.18 0.36 0.45 1.00
❖ 发现： X1与X4间存在高度相关性。
3、找出最简单的回归形式
分别作Y与X1， X3 ，X2，X4，X5间的回归：
11 12 .. 1T
Var(
)
=
2
=
2
21
.
T1
22
.
T2
... ... ...
2T
.
TT
2 I.
当误差向量 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时， 称该随机误差系列存在异方差，即误差向量 中的元素取
2、判明存在多重共线性的范围
如果存在多重共线性，需进一步确定究竟由哪些 变量引起。
(1) 判定系数检验法 使模型中每一个解释变量分别以其余解释变量
为解释变量进行回归，并计算相应的拟合优度。 如果某一种回归 Xji=1X1i+2X2i+kXki
的判定系数较大，说明 X j 与其他X间存在共线性。
广东省广州市白云区中考数学中考数学专题《多种函数交叉综合问题》测试题(无答案)
【例1】将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>k y x x交于点B ． ⑴求直线AB 的解析式；⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）．【例2】如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m y x=的图象相交于A 、B 两点． （1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <BA O yx-2-6413【例3】已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【例4】已知：y ax =与3b y x+=两个函数图象交点为()P m n ，，且m n <，m n 、是关于x 的一元二次方程()22730kx k x k +-++=的两个不等实根，其中k 为非负整数． （1）求k 的值；（2）求a b 、的值；（3）如果()0y c c =≠与函数y ax =和3b y x+=交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），线段32AB =，求c 的值．【例5】已知：如图，一次函数3y m +与反比例函数3y =的图象在第一象限的交点为(1)A n ，． （1）求m 与n 的值；（2）设一次函数的图像与x 轴交于点B ，连接OA ，求BAO ∠的度数．-2-1-2-132121yx BAO发散思考【思考1】如图，A 、B 两点在函数()0m y x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
2021版新高考数学：函数性质的综合问题含答案
第四节函数性质的综合问题(对应学生用书第24页)考点1函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．3．(20xx·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f （x ）－2f （－x ）5x＜0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图象关于原点对称，且过点(1，0)和(－1，0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图象如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3f （x ）－2f （－x ）5x ＜0可化为f （x ）x ＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图象可知x ∈(－1，0)∪(0，1).]考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 021)＝________．－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ). 所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 021)＝f (673×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，那么函数的周期是2|b －a |.③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，那么函数的周期是4|b －a |.(2)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系①函数f （x ）是偶函数；②函数图象关于直线x ＝a 对称；③函数的周期是2|a|.①函数f(x)是奇函数；②函数图象关于点(a ，0)对称；③函数的周期是2|a|.①函数f （x ）是奇函数；②函数图象关于直线x ＝a 对称；③函数的周期是4|a|.。
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中考数学重难点专题讲座第五讲 多种函数交叉综合问题【前言】初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。
二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。
所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
【例1】2010，西城，一模将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>ky x x交于点B ．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）．【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。
题目一般不难，设元以后计算就可以了。
本题先设平移后的直线，然后联立即可。
比较简单,看看就行.【解析】将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A （0,49），设直线AB 的解析式为b x y +=4． 则0494=+⨯b ． 解得9-=b ．∴直线AB 的解析式为94-=x y ．图3（2）设点B 的坐标为(),B x m ， ∵直线AB 经过点B ， ∴94-=B x m ． ∴49+=m x B ． ∴B 点的坐标为9,4m m +⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点B 在双曲线ky x=()0x >上， ∴49+=m k m ． ∴492m m k +=．【例2】2010，丰台，一模如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象相交于A 、B 两点． （1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <【思路分析】第一问直接看图写出A ，B 点的坐标（－6,－2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m ，建立二元一次方程组求k,b 。
继而求出解析式。
第二问通过图像可以直接得出结论。
本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。
比如不给图像，直接给出解析式求12y y <的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。
数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。
【解析】解：（1）由图象知反比例函数2my x=的图象经过点B(4，3)， ∴34m=． ∴m=12． － ∴反比例函数解析式为212y x=． 由图象知一次函数1y kx b =+的图象经过点A(－6，－2) ， B(4，3)，∴624 3.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． －－ ∴一次函数解析式为1112y x =+． （2）当0<x<4或x<－6时，12y y <．【例3】2010，密云，一模已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。
第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。
第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM 的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM 和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.【解析】解：（1）将()3,2分别代入y ax =中ky x=， 得23a =，23k =， ∴23a =，6k =． ∴反比例函数的表达式为：6y x=； 正比例函数的表达式为23y a =．（2）观察图象得，在第一象限内，当03x <<时， 反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM DM =． 理由：∵6n m=， ∴132m n ⋅⋅=，即3BMO S =△．∵AC OC ⊥，∴13232AOC S =⨯⨯=△．∴33612OCDB S =++=．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积） ∴1243BO ==． ∴632BM BO ==． ∴332DM BM BM =-==【例4】2010，石景山，一模 已知：y ax =与3b y x+=两个函数图象交点为()P m n ，，且m n <，m n 、是关于x 的一元二次方程()22730kx k x k +-++=的两个不等实根，其中k 为非负整数．（1）求k 的值； （2）求a b 、的值；（3）如果()0y c c =≠与函数y ax =和3b y x+=交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），线段32AB =，求c 的值． 【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。
第一问直接用判别式求出k 的范围，加上非负整数这一条件得出k 的具体取值。
代入方程即可求出m ，n ，继而求得解析式。
注意题中已经给定m<n,否则仍然注意要分类讨论。
第三问联立方程代入以后将A,B 表示出来，然后利用32AB =构建方程即可。
【解析】（1）()()227430k k k ∆=--+> 4940k <∵k 为非负整数，∴01k =，∵()22730kx k x k +-++=为一元二次方程 ∴1k =(2)把1k =代入方程得2540x x -+=, 解得1214x x ==，∵m n < ∴14m n ==，把14m n ==，代入y ax =与3b y x+= 可得41a b ==，(3)把y c =代入4y x =与4y x=可得4c A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，4B c c ⎛⎫⎪⎝⎭，，由32AB =，可得4342c c -= 解得1228c c ==-，，经检验1228c c ==-，为方程的根。
∴1228c c ==-，【例5】2010，海淀，一模已知：如图，一次函数y m =+与反比例函数y =的图象在第一象限的交点为(1)A n ，．（1）求m 与n 的值；（2）设一次函数的图像与x 轴交于点B ，连接OA ，求BAO ∠的度数．【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。
比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。
第一问比较简单，不说了。
第二问先求出A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO 即可。
解：（1）∵点(1,)A n在双曲线y =上，∴n =又∵(1A在直线y x m =+上， ∴m =. （2）过点A 作AM ⊥x 轴于点M.∵ 直线y=+x轴交于点B ， ∴0x +=. 解得 2x =-. ∴ 点B 的坐标为-20（，）.∴ 2OB =.∵点A的坐标为(1， ∴1AM OM ==.在Rt △AOM 中，90AMO ∠=︒, ∴tan AMAOM OM∠=∴60AOM ∠=︒.－ 由勾股定理，得 2OA =. ∴.OA OB =∴OBA BAO ∠=∠.∴1302BAO AOM ∠=∠=︒.－【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。
无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y 的比较，3，夹杂进其他几何问题。
除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。
例如y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。
总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。
第二部分 发散思考【思考1】2009，北京 如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。
第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。
保险起见直接用1－6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。
【思考2】2009，宣武，一模如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交()3,1(2)A B n -、，于两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于D C 、两点．（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求ADCD的值．【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。
第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。
但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。
【思考3】2009，崇文，一模已知：关于x 的一元二次方程kx2+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）． （I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =xb的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式． 【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。
第一问求根，直接求根公式去做。
第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。
【思考4】2009，东城，一模 如图，反比例函数8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1．（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。
但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。
第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B 点，代入即可。
第三部分 思考题解析【思考1解析】（1）由图象可知，函数my x=（0x >）的图象经过点(16)A ，， 可得6m =．设直线AB 的解析式为y kx b =+．∵(16)A ，，(61)B ，两点在函数y kx b =+的图象上， ∴66 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得17.k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为7y x =-+．（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．【思考2解析】（1）把3x =-，1y =代入my x =，得：3m =-． ∴反比例函数的解析式为3y x=-．把2x =，y n =代入3y x =-得32n =-．把3x =-，1y =；2x =，32y =-分别代入y kx b =+得31322k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， （第16题答图）解得1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴一次函数的解析式为1122y x =--．（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ．A 点的纵坐标为1，1AE ∴=．由一次函数的解析式为1122y x =--得C 点的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，12OC ∴=． 在Rt OCD △和Rt EAD △中，Rt COD AED ∠=∠=∠，CDO ADE ∠=∠， ∴Rt Rt OCD EAD △∽△．2AD AE CD CO ∴==．【思考3解析】解：（I ） kx2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．∴9)3(4)32(2=---=∆k k k由求根公式，得k k x 23)23(±-=． ∴1-=x 或13-=k x （II ） 0<k ，∴113-<-k． 而21x x >，∴11-=x ，132-=kx ． 由题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-.1)13(,31)13(b kk b k k k 解之，得⎩⎨⎧-=-=85b k ． ∴一次函数的解析式为816--=x y ，反比例函数的解析式为xy 8-=．【思考4解析】（１）由题意，设B (2,)(0)a a a ≠，则 82a a= 2.a ∴=± ∵B 在第一象限，2.a ∴=B(４,２)∴矩形OABC 对角线的交点Ｅ为(2,1)（２）∵直线2y x m =+平分矩形OABC 必过点(2,1)（第22题）∴1=2x2+m m=－3。