福建省永泰县第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

2019-2020学年第一学期永泰一中期中考高中三年数学（理）科试卷完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =I （ ） A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于轴对称，则的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D9. 已知向量ar，br的夹角为135o，且1a=r，2b=rmu r满足4a mb m⋅=⋅=r u r r u r，则mu r= ( )A. 22B. 25C. 42D. 4510. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019xm xf x mx x-⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a满足(),na f n n N*=∈，且{}n a是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A.(]1,3 B.()1,+∞ C.[)3,+∞ D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()1243f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,3]，则实数的取值范围为( )A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e∈，总存在三个不同的实数[]1,4y∈-，使得21ln0yy xe ax x---=成立，则实数的取值范围是（）A．3160,e⎛⎤⎥⎝⎦B．23163,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．23161,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．3163,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

13.已知向量ar与br满足||1a=r，4b=r，且(2)a b a-⊥vv v，则向量ar与br的夹角为__________。

14.已知实数,a b满足0,0a b ab+>>，且,,4a b-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b+的值等于________。

15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a c b S a c +-=-，其中a 、b 、c 是ABC △的内角A ，B ，C 的对边。

若sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC △面积S 的最大值为________。

16.已知定义在上的连续函数()y f x =对任意实数满足(4)()f x f x -=，()2()0x f x '->,则下列命题正确的有 。

①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数；③(2)(sin12cos12)f f >+o o；④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分）已知数列{}n a 为等比数列，且132()n n n a a n N *++=⋅∈。

（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 设21log n n b a =+，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n S .18.(本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且224bc b c +=+。

（1）求角的大小；（2）求2cb的取值范围． 19.(本小题满分12分）在平面四边形ABCD 中，,,232ABC ADC BC ππ∠=∠==．（1）若ABC △的面积为332，求AC ；（2）若AD 4ACB ACD π∠=∠+，求ACD ∠．20.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和为n S ，11a =，0n a ≠，141n n n a a S +⋅=-（n N *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ．21.(本小题满分12分）已知函数()ln 2f x a x x =-+（为大于1的整数）， (1)当2a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)当1a =时,若关于的方程2()2421f x x x m +-=+在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求实数的取值范围.22. (本小题满分12分）已知函数()()212(),()2cos 2xf xg x x x x +==++.（1）当[]1,1x ∈-时，求证：11()3f x -≤≤； （2）若不等式sin ()x a g x ≤⋅对0x ≥恒成立，求的取值范围。

参考答案一、 选择题。

（每小题5分，共60分）二、 填空题。

（每小题5分，共20分） 13. 60︒ 16. ①②④ 三、解答题。

17.（本题共10分） （1）由题意，得1212612a a a q a q +=⎧⎨+=⎩……………2分解得=2，12a =…………………4分所以{}n a 的通项公式为2nn a =………5分（2）由（1）知2nn a =， 21log 21n n b n ∴=+=+………6分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++........................7分 11111111 (2334122224)n nS n n n n ∴=-+-+-=-=++++………………9分 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为24nn S n =+…………………………………10分 18.（本题共12分） 解： （1）2a =Q2224bc a bc b c ∴+=+=+222b c a bc ∴+-=……………2分由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===……………..3分又0A π<<3A π∴=……………..5分（2）由（1）知3A π=由正弦定理得sin sin sin 33a b c A B C ====sin ,sin 33b Bc C ∴==……………..6分 2sin 2sin()23cos sin 33314sin sin 3C B c B B b B B π-+∴====+……………..8分由022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62B ππ<<……………..9分3tan B ∴>……………...10分 从而214cb<<……………...11分 2cb∴的取值范围是（1,4）……………..12分19. （本题共12分）解：（1）在ABC ∆中，因为2BC =，3ABC π∠=，133··sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠=，………..2分 所以333AB =，解得：3AB =.…………….4分 在ABC ∆中，由余弦定理得：22227AC AB BC AB BC COS ABC =+-⋅⋅∠=…………….5分 所以7AC =…………….6分（2）设ACD α∠=，则44ACB ACD ππα∠=∠+=+如图，在Rt ACD ∆中，因为23AD =，所以3sin AD AC α==…………….7分在ABC ∆中，512BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，…………….8分即2325sin 3sin sin 12πααα==⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以5sin sin 12παα⎛⎫-=⎪⎝⎭…………….10分 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以512παα-=…………….11分 所以524πα=，即524ACD π∠=…………….12分 20.（本题共12分）（1）当1n =时，12114141a a S a ⋅=-=-，解得23a =………1分当2n ≥时，1141n n n a a S --⋅=-114n n n n n a a a a a +-∴-=，即11(4)0n n n a a a +---=…………3分又0n a ≠ 114n n a a +-∴-=从而{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项以3为首项，2为公差的等差数列 ………………4分又因为1231,3,5,a a a ==={}n a 是首项为1，公差为2的等差数列…………..5分所以{}n a 的通项公式为21n a n =-……………..6分 （2）2122n n n n a n b -==，..................7分 123234113521...2222113521 (22222)n nn n n T n T +-∴=++++-=++++……………..8分两式相减得12311111221122221121 (212222222212)nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++-=⨯---…………10分 =132322n n ++-……………..11分 2332n nn T +∴=-…. ……………..12分21. （本题共12分）解：'()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=…………1分 (1)当2a =时，'21(1)=11f -=，(1)=1f ……………..3分 所以所求切线方程为： y=0x - ……….…..5分(2) ()22421x x f x m +=-+等价于2ln 5122x x x m -+=-令()2ln 25g x x x x =+-2'1451(1)(41)()45x x x x g x x x x x-+--=+-==............7分 当1x e <<时，'()0g x >，()g x 单调递增 当112x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减 当1x =时()g x 有极小值3-……………..9分 又21ln 22,()1252g g e e e ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭……………..10分 要使方程()21g x m =-在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数解只需()11212g m g ⎛⎫<-≤⎪⎝⎭所以321ln 22,m -<-≤-- 从而的取值范围是 11ln 2.212m -<≤--………………12分 22. （本题共12分） 解：（1）()()23122(1),(2)(2)xx f x f x x x +-'==-++Q ……………..1分[]()1,1,0x f x '∈-∴≥Q ，所以函数()f x 在[]1,1-上递增……………..2分当1x =-时，()f x 取最小值-1， 当1x =时，()f x 取最大值13……………..4分 11()3f x -≤≤；……………..5分（1） 不等式sin ()x a g x ≤⋅等价于sin 2cos xax x≤+令sin ()(0)2cos x x ax x xϕ=-≥+， 则212cos ()(2cos )x x a x ϕ+'=-+由（１）知21211(2cos )3cosx x +-≤≤+……………..6分①当13a ≥时，()0x ϕ'≥，所以函数()x ϕ在[)0,+∞上递增所以 ()(0)0x ϕϕ≥=满足条件 ……………..7分②当0a ≤时，1()0222a ππϕ=⋅-<∴不满足条件……………..8分③当103a <<时，对sin 0,()23x x x ax πϕ<<<- 令sin ()3x h x ax =-， cos ()3xh x a '=- 显然'()h x 在(0,)2x π∈上单调递增又''1(0)0,()0032h a h a π=-<=-> 存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0(0,)x x ∈时，()0h x '≤ ()h x 在0(0,)x 上单调递减， ()(0)0h x h <=0(0,)x x ∈时()0h x < 不满足条件……………..11分综上得，的取值范围13a ≥。