人教版初中数学28锐角三角函数练习题-答案
人教版九年级下数学第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
《锐角三角函数》单元练习题一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．3．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米4．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m，则树的高度BD为（）A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（）A．B．C．D．6．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．7．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（）A．m B．m C．m D．m8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD 的值为（）A．B．C．D．9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8B．12C．13D．1811．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．18米B．4.5米C．米D．米．12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm二．填空题13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sin B的值是．14．已知∠A是锐角，且cos A＝，则tan A＝．15．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．18．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．三．解答题19．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．20．如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）21．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．22．如图，已知：R t△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A 作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠F AE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）24．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）25．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：项目内容课题测量郑州会展宾馆的高度的仰角是α，前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平测量数据∠α的度数∠β的度数EC的长度，40°45°53米……请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）参考答案一．选择题1．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．2．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∴tan A＝＝，故选：A．3．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．4．【解答】解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，∴，∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．答：树的高度为9.6m．故选：B．5．【解答】解：如图，由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），∴PQ＝4，OP＝5，则tanα＝＝，故选：C．6．【解答】解：如右图所示，∵网格中小正方形的边长都为1，∴CE＝＝2，AC＝＝，AE＝3，CD＝4，作AH⊥CE于点H，∵，∴，解得，AH＝，∵AC＝，AH＝，∠AHC＝90°，∴CH＝＝，∴cos∠ACH＝，即cos∠ACB＝，故选：D．7．【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB．设AB＝x（米），∵CD＝14，∴BC＝x+14．∴x+14＝x∴x＝7（+1）．即铁塔AB的高为7（+1）米．故选：B．8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC＝7，∵CD是斜边AB上的高，，∴CD＝＝，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴cos∠BCD＝＝＝，故选：B．9．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，AC＝，BC＝，∵m＝AC﹣BC，∴m＝﹣，∴PC＝＝，故选：A．10．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，∴＝，∴AB＝13，∴BC＝＝12，故选：B．11．【解答】解：如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝9米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝18米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝9（米）．故选：D．12．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，所以sin B＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：∵∠A为锐角，且cos A＝，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．∴cos A＝＝．设AC＝5k，则AB＝13k．根据勾股定理可得：BC＝12k．∴tan A＝＝．故答案为：．15．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，故答案为：2．17．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•t an45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．18．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2＝1+2﹣3＝0．20．【解答】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC＝＝，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC＝PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．21．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．22．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．23．【解答】解：延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，设BC＝xm，由题意得，∠DGA＝∠DAG＝30°，∴DG＝AD＝6，∴DH＝3，GH＝＝3，∴GA＝6，在Rt△BGC中，tan∠BGC＝，∴CG＝＝x，在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由题意得，x﹣x＝6，解得，x＝≈14，答：大树的高度约为14m．24．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴＝，∴＝，∴DH＝≈23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS＝＝10，∴A′B＝10+10，∵BG＝＝10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．25．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN＝x，则tan40°＝＝≈0.84，解得：x＝278.25，故AB＝278.25+1.5≈280（m），答：郑州会展宾馆的高度为280m．。
人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数 全章测试含答案
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。
【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒． 故选：C ． 【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD， 则535x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是()535m -； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ， 则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得． 【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ． 【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =， 解得，AC ＝33， 由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米， 在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=， 解得，3x =（米)，故选：B ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论． 【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1） 故选D ． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可． 【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3． 故答案为：3或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)
第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)
人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练一、选择题（本大题共10道小题）1. (2019•湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=A．30°B．45°C．60°D．90°2. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是A．10 B．8C．4D．23.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A. 斜坡AB的坡度是10°B. 斜坡AB的坡度是tan10°C. AC＝1.2tan10°米D. AB＝1.2cos10°米4. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+30)nmile5.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是( )A. 12B. 1 C. 3D. 26. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A. B. C. D.7. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是A．∠BDC=∠αB．BC=m•tanαC．AO D．BD8.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A.11－sinαB.11＋sinαC.11－cosαD.11＋cosα9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A. 12B.22C.32D.3310. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为A．米B．米C．米D．米二、填空题（本大题共7道小题）11.如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是________．12. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.13.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC ＝2，则tan D＝________．14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)15. （2020·苏州）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________.16.（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC ．若，则________．17. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝ADc，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．所以c sin∠B＝b sin∠C，即bsinB＝csinC，进一步即得正弦定理：a sinA＝bsinB＝csinC.(此定理适合任意锐角三角形)．参照利用正弦定理解答下题：在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．19.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)20.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．21. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=，∴∠α=30°．故选A ．2. 【答案】D【解析】∵∠C=90°，cos ∠BDC=，设CD=5x ，BD=7x ，∴BC=2x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，∴AD=BD=7x ，∴AC=12x ， ∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故选D ．3. 【答案】B 【解析】∵斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；∵AC ＝ 1.2tan10° 米，∴选项C 是错误的；∵AB ＝ 1.2sin10° 米，∴选项D 是错误的．4. 【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=，∴CD=AC •cos ∠ACD=60×=30．在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．所以此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30+30)nmile ．故选D ．5.【答案】D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE,则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE ＝2.6. 【答案】B【解析】过点B 作BD ⊥AC 于D 点D ， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt △ABD 中，sin∠BAC=,故选B ．7. 【答案】C【解析】A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ，∴AO=OB=CO=DO ，∴∠DBC=∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα，即BC=m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC，即AO，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=m，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt△DCB 中，BD，故本选项不符合题意；故选C．8. 【答案】A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝PCPB′，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝P A，而PB′＝P A，∴P A＝11－sinα.9. 【答案】A 【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝1 2.10. 【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，则BD0.3，∵cosα，∴cosα，解得AB米，故选B．二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】9 2【解析】如解图，过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB＝3，AB＝t，在Rt△ABO中，tanα＝ABOB＝t3＝32，解得t＝92.12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin45°＝4×2 2＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin60°＝4×3 2＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m.13. 【答案】22【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝AB2－AC2＝62－22＝42，∵∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝BCAC＝422＝2 2.14. 【答案】103＋1【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×3＝10 3 m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(103＋1)m.15. 【答案】【答案】16. 【答案】【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC ＝＝＝，因此本题答案为．17. 【答案】【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，∴DC BD，∴．故答案为:．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：∵sin C ＝AD AC ＝AD b ，∴AD ＝b sin C ，(2分)由正弦定理得：BC sinA ＝AB sinC ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°，∴∠A ＝60°，(5分)∴2sin60°＝AB sin45°，(7分)∴AB ＝2×22÷32＝263.(9分)19. 【答案】解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，(1分) ∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，(2分)第12题解图由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ，∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°，(3分)在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°，∵tan ∠DCE ＝DE CE ，(4分)∴CE ＝10tan30°＝103，(5分)在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°，∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，(6分)∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )．(7分)答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．(8分)20. 【答案】解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分) 又∵AC＝60 m，在Rt△ABC中，sin B＝ACAB，即12＝60AB，∴AB＝120 m.答：A，B之间的距离为120 m．(4分)(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)∴四边形AA′EC为矩形，∴A′E＝AC＝60 m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD，即5＝60CD，∴CD＝20 3 m，(8分)∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝303＋203＝50 3 m，(10分)∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝A′EDE＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为235.(12分)21. 【答案】解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OCBC＝33，∴OC＝33BC，(2分)∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴33BC40≈0.97，(6分)∴BC≈67.1(cm)．(8分)。
人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题(含答案)
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元练习题（含答案）一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于()A．B．C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．4B．2C．D．3.已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()A．cos A＝cos A′B．cos A＝5cos A′C．5cos A＝cos A′D．不能确定5.Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，那么BC等于()A．8 cmB．cmC．cmD．cm6.在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos B的值等于()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．B．4C．2D．58.已知∠A为锐角，且sin A＜，那么∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜90°分卷II二、填空题9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.10.若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．11.在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝3，则cos A＝__________.12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tan A＝3，则cos B的值为__________．15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A 的值是__________．16.△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.三、解答题17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．19.已知Rt△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tan A 的值．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)第二十八章《锐角三角函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5.∴cos A＝＝，故选D.2.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.3.【答案】C【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝，锐角的正切值随角增大而增大，又1＜＜，∴45°＜∠A＜60°.故选C.4.【答案】【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∴cos A＝cos A′.故选A.5.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，∴tan A＝＝＝，解得BC＝8，故选A.6.【答案】A【解析】设BC＝2x，∵tan A＝，∴AC＝x，∴AB＝3，∴cos B＝＝，故选A.7.【答案】B【解析】∵cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝6×＝4.故选B.8.【答案】A【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∴0°＜A＜30°，故选A.9.【答案】60°【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，∴AC＝，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝60°.10.【答案】20°【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝，∴x＋10°＝30°，∴x＝20°.11.【答案】【解析】由tan B＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k，则根据勾股定理，得斜边是k＝k，故cos A＝.12.【答案】30【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°，∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15(海里)，则在Rt△ACD中，AC＝＝15×2＝30(海里)．13.【答案】100m(100－100)m【解析】设CD＝x m，则∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°，∴AE＝CE·tan 45°＝100.∴AB＝100＋x.在Rt△ADB中，∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，∴tan 60°＝，∴AB＝BD，即x＋100＝100，∴x＝100－100，即楼高100－100 m，塔高100m.14.【答案】【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，设a＝3x，b＝x，则c＝x，∴cos B＝＝＝.解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．又∵tan A＝＝3，∴sin A＝3cos A.又sin2A＋cos2A＝1，∴cos A＝.∵A、B互为余角，∴cos B＝sin (90°－B)＝sin A＝.15.【答案】【解析】作BD⊥AC于点D，∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，∴＝，即＝，解得BD＝，∴AD＝＝＝2，∴tan A＝＝＝.16.【答案】3【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，∴cos A＝＝＝0.3，∴AC＝3.17.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．18.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；(2)∵tan A＝，cot A＝，∴tan A·cot A＝·＝1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．19.【答案】解设a＝2k，c＝3k.由勾股定理得b＝＝＝k.则tan A＝＝＝.【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．20.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．21.【答案】解(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，∵DE∥MN，∴∠DCP＝∠ADE＝76°，则在Rt△CDP中，DP＝CD sin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)，答：椅子的高度约为39厘米；(2)作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，又∵CP＝CD cos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)，BQ＝＝≈24.4(cm)，∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)，答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CD sin ∠DCP可得答案；(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2. 下列式子错误的是( D )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1 C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30°3. 如图所示，AB 为斜坡，D 是斜坡AB 上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE)∶EC ；③i ＝tan α＝DE BE；④AC ＝i ·BC.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 （ A ） A.米B.米C. 15米D. 10米5.△ABC 在网格中的位置如图K －17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( C )图K－17－2A．sinα＝cosα B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ D．tanα＝16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是( B )A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定7. 如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。
人教版九年级数学下《第二十八章锐角三角函数》单元练习题含答案
第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元综合练习(含解析)
人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合练习（附答案）1．若锐角α满足cos α＜且tan α＜，则α的范围是（ ）A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，cos A ＝，则sin A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．cos45°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，则下列等式正确的是（ ）A ．sin A ＝B ．cos A ＝C ．tan A ＝D ．cos A ＝6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，sin B ＝，AC ＝2，则BC 长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．已知△ABC 是锐角三角形，若AB ＞AC ，则（ ）A ．sin A ＜sin BB ．sin B ＜sin CC ．sin A ＜sin CD ．sin C ＜sin A8．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点都是格点，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）A．6B．2C．2D．910．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A．B．C．D．11．角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（ ）A．0＜sinα＜B．0＜tanβ＜1C．cosβ＜sinαD．sinβ＜cosα12．下列各式中正确的是（ ）A．sin46°＞cos44°B．2sin40°＝sin80°C．cos44°＜cos46°D．sin244°+sin246°＝113．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD 与AB的长度之比为（ ）A．B．C．D．14．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B 在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（ ）A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米15．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．16．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m 17．比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝ ．19．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）20．用科学计算器计算：tan16°15′≈ （结果精确到0.01）21．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为 ．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝ ．23．计算：2cos45°＝ ．24．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米．（参考数据：sin20°≈0.34）25．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．26．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．27．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系 ．28．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为 ．29．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝ ．30．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝ ．31．在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则cos A＝ ．32．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m （结果保留根号）；33．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．34．计算：sin60°•tan30°+．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，tan A＝，BC＝6，求AC的长和sin A的值．36．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（2）题评分）（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝．当c＝2，a＝1时，求cos A．38．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）若∠α＝45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．参考答案1．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．2．解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A是锐角，∵cos A＝＝∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，∴sin A＝＝，故选：A．4．解：cos45°＝．故选：D．5．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，sin B＝，则＝，解得，BC＝6，故选：C．7．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sin B＜sin C．故选：B．8．解：作CD⊥AB于D，由图形可知BC＝2，由勾股定理得，AC＝＝，AB＝＝3，由三角形的面积公式可得，×2×3＝×3×DE，解得，DE＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：D．9．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝2，故选：B．10．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ＝．故选：A．11．解：0°＜α＜β＜45°，A、0＜sinα＜，是真命题，不符合题意；B、0＜tanβ＜1，是真命题，不符合题意；C、cosβ＞sinα，是假命题，符合题意；D、sinβ＜cosα，是真命题，不符合题意；故选：C．12．解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；故选：D．13．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．14．解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝60，解得x＝＝30（），答：这段河的宽约为30（）米．故选：B．15．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．故选：A．16．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．17．解：∵tan30°＝，cos30°，＜，∴tan30°＜cos30°，故答案为：＜．18．解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．19．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，∴∠BAC＞∠EAD；解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，＝PN，PN＝，Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．20．解：tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．21．解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝，故答案为：．22．解：由sin A＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．∴tan A＝＝＝．23．解：原式＝2×＝．故答案为：．24．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∵sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68米，在Rt△BCG中，∵sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142米，∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，故答案为：21025．解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．26．解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED＝km，∴CD＝2+（km）．故答案为：（2+）km．27．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，即cos A＝，∴余弦的定义为cos A＝；∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，∴cos20°＞cos40°＞cos50°，∴sin70°＞cos40°＞cos50°，故答案为：cos A＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．28．解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，设小正方形的边长为1，则AE＝3，BE＝4，所以tan∠ABC＝＝，故答案为：．29．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，故答案为：．30．解：tan∠ABC＝＝，故答案为：．31．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝cos A，所以cos A＝，故答案为：．32．解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝45m．tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，解得：AD＝45（m），∴AB＝45m．故答案为：45．33．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．34．解：原式＝＝+＝1．35．解：∵△ABC中，tan A＝，BC＝6，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝36．解：（1）原式＝135××0.224 95≈135×3.605×0.225≈371293×3.605×0.225≈301165.0；（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3；故答案为：（1）301165.0；37．解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1，∴b＝＝，∴cos A＝＝．38．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．。
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定将各边长度都扩展为原来的2倍，那么∠A 的正弦值( D )A ．扩展2倍B ．增加2倍C ．扩展4倍D ．不变2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝45，那么AC ∶BC ∶AB ＝( A )A ．3∶4∶5B ．4∶3∶5C ．3∶5∶4D ．5∶3∶43. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假定AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 的值为( A ) A.53 B.255 C.52 D.234．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，那么tan A ＝( D )A.35B.45C.34D.435．计算sin30°·tan45°的结果是( A )A.12B.32C.36D.246．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 7．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，那么拉线AC 的长为( D )A.6sin52°米B.6tan52°米 C ．6·cos52°米 D.6cos52°米 8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，那么斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米9．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，那么cos B 的值是( C ) A.45 B.34 C.35 D.4310．如图，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正西方向飞行了12海里抵达B 处，在B 处看到灯塔C 在正南方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( D )A ．123海里B ．63海里C ．6海里D ．43海里11．如图，为测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，那么B 点到河岸AD 的距离为( B )A ．100米B ．503米 C.20033米 D ．50米 12．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B )A ．(600－2503)米B ．(6003－250)米C ．(350＋3503)米D ．5003米13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝3，AB ＝5，那么cos B 的值是 __45__． 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，那么AC 的长是__5__． 15．如图，在空中上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，那么树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示),第13题图) ,第14题图) ,第16题图) ,第17题图)16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，那么△ABC 的面积是__12__cm 2.17．在△ABC 中，假定∠A ，∠B 满足|cos A －12|＋(sin B －22)2＝0，那么∠C ＝__75°__．18．长为4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角，作业时调整为60°角(如下图)，那么梯子的顶端沿墙面降低了__(23－22)__m.19．如图，在修建平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，平台CD 的高度为5 m ，那么大树的高度为3)__m ．(结果保管根号)20．规则：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判别以上等式成立的是__②③④__．(写出一切正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ； ④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 21．计算：(1)sin 230°＋cos 245°＋3sin60°·tan45°；解：94(2)cos 230°＋cos 260°tan60°·tan30°＋sin 245°. 解：3222．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，c ＝20，解这个直角三角形． 解：∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝10 323．假设是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此结构出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米．求∠ACD 的余弦值．解：衔接AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝152千米，在Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝15，∴∠ACD 的余弦值为1524．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD .求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝12，∴AC ＝4.设AD ＝x ，那么BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2.解得x ＝5.∴cos ∠ADC ＝DC AD＝3525．如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示衔接缆车站的钢缆．A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1区分为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 区分与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC 的总长度．(结果准确到1米)解：依据题意知BD ＝400－160＝240米，CB 2＝1000－400＝600米，在Rt△ADB 中，sin30°＝BD AB ，∴AB ＝BD sin30°＝480米，在Rt △BB 2C 中，sin45°＝CB 2BC ，∴BC ＝CB 2sin45°＝6002米，AB ＋BC ＝(480＋6002)米≈1329米 26．如图，某高速公路树立中需求确定隧道AB 的长度．在离空中1500 m 的高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A ，B 两点处的俯角区分为60°和45°.求隧道AB 的长．(3≈1.73) 解：∵OA ＝1500×tan30°＝5003，OB ＝OC ＝1500，∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635(m)。
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人教版初中数学28锐角三角函数练习题【答案】一、客观题1. C2. B3. C4. B5. B6. A7. B8. B9. A 10. C11. C 12. A 13. D 14. D 15. C16. A 17. C 18. A 19. B 20. C21. B 22. A 23. A 24. D 25. D26. B 27. A 28. B 29. D 30. B31. D 32. B 33. B 34. B 35. A36. A 37. A 38. C 39. A 40. C41. A 42. C 43. C 44. C 45. A46. B 47. B 48. B 49. C 50. C51. A 52. A 53. A 54. C 55. B56. A 57. D 58. A 59. A 60. D61. D 62. C 63. D 64. B 65. B66. C 67. A 68. B 69. A 70. B71. A 72. B 73. A 74. B 75. A76. B 77. A 78. A 79. C 80. D81. C 82. D 83. A 84. B 85. B86. C 87. D 88. D 89. B 90. C91. B 92. B 93. D 94. B 95. B96. B 97. C 98. B 99. B 100. D101. C 102. D二、主观题103.104. (-2，0)或(4，0)105.106.107.108.109.110.111.112. 60113.114. ±2115.116.117. 5;118. 60°≤∠A＜90°119.120.121.122. 1123. -4124. 30125. 45126. 60;127. 105128. 75129. 8130.131. ( )132. 6133. 5134.135. 24136.137.138.139. 6;8; ;5x;4x; ; ; ;36°52′12″;53°7′48″140.141.142. 5143. 75°144. 10米145. 82.0米．146. 3.7(米)147. bsinα148. 6149. 1150. 30° 3151. 20152. (10+3 )153.154. cm155. 5.5156. 12157. 75°158. 0.433;91.2159. 2( )160. 6161. 15162. 8.7163. 250164. 解：过A作AD⊥BC于点D．∵S △ABC= BC•AD=33，∴×11×AD=33，∴AD=6．又∵AB=10，∴BD= = =8．∴CD=11-8=3．在Rt△ADC中，∴= =2．165. 解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠A=∠ACD=45°，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=CD=1，∴AC=AB= ，．在直角△BCD中，．166. 解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；∴∠B=∠AEF；(1分)∴∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°∴；(2分)设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；∵EC=1，∴k=1；(3分)∴BE=4，AB=5；∴AE=3；(4分)在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∵，(5分)∴．(6分)167. 证明：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB= ，∴AD=ABsinB，在Rt△ADC中，sinC= ，∴AD=ACsinC，∴ABsinB=ACsinC，而AB=c，AC=b，∴csinB=bsinC，∴= ．168. 解：(1)原式=2×-1+3=3．(2)去分母得：2-x+3(x-3)=-2，化简得2x=5，解得x= ．经检验，x= 是原方程的根．∴原方程的根是x= ．169. 解：原式= ×+ ×-3=1+ -3=- ．170. 解：原式=1-3+2- +3×=- +=0．171. 解：原式= -1-2×+1+= -1- +1+= ．172. 解：原式= ×=xy-3．∵(x- ) 2+|y-cos30°|=0，∴原式= = ．173. 解：原式= = ．174. 解：∵，∴tanB= ，sinA= ，∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形．175. 解：原式= (4分)= (7分)= = (10分)176. 解：原式=-(3.14-π)+3.14÷1-2×+ +(-1)=π-3.14+3.14- + -1=π- + +1-1=π．177. 解：原式=4-3 +1-5+4×=- ．178. 解：原式=1-2 -2+6×，=1-2 -2+2 ，=1-2，=-1，179. 解：原式=3 -3×+1+9(4分)=2 +10．(5分)故答案为：2 +10．180. 解：，= ，= ．181. 解：原式=9-2×+1+ -1=9．182. 解：原式=( - )• = • =a+1(3分)把a=sin60°= 代入(1分)原式= = (1分)183. 解：原式=2- -1+2×+ =2．184. 解：原式=1-2 ×+9=10-3=7．185. 解：原式=2-2+1+2 ×=1+2=3．186. 解：原式= + ×= +=2．187. 解：原式可化为：x 2- x+ =0，∴，∴x 1=x 2= ，∴∠A=∠B=45°．188. 解：2sin45°+sin60°-cos30°+tan 260°．= ，= ．故答案为：+3．189. 解：原式=4×-( ) 2-( ) 2+1-=2 - - +1-= ．190. 解：在Rt△BCD中，sinB= ，∴BC= = =12，在Rt△ABC中，cosB= ，∴AB= = =8 ．191. 解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD= AB=4，BD= AD=4 ．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=4 +4．192. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4．193. (1)证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB= ，cos∠DAC= ，又∵tanB=cos∠DAC，∴= ，∴AC=BD．(2)解：在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD= =5k，∵BC=BD+CD，又AC=BD，∴BC=13k+5k=18k由已知BC=12，∴18k=12，∴k= ，∴AD=12k=12×=8．194. 解：∵CD⊥AB于D，∠A=30°，sinB= ，AC= ，∴，∴CD= ，∵AC 2=CD 2+AD 2，= +AD 2，∴AD=3，∵sinB= = = ，∴BC= ，∵BC 2=CD 2+DB 2，解得：BD=2，∴AB之长为：BD+AD=2+3=5．195. 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，∴BC=BD+DC=2 +1；(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，∴tan∠DAE= = - ．196. 解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵c=8 ，sin60°= = = ，∴a=12，∵cos60°= = = ，∴b=4 ；(2)同理得：∠B=30°，b=9 ，c=6 ．197. 解∵△ABC中，∠C=90°∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，AD= =2．198. 解：作AF⊥BC于F．在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，．（5分）在Rt△AEF中，∵∠β＝45°，∴AF＝EF，（7分）于是．即AC的长度为．（10分）199. 解：（1）过点P作PC⊥MN于点C，在Rt△APC中，∠PAC＝32°，PA＝30．，∴PC＝PA·sin∠PAC≈15.9．答：船P到海岸线MN的距离为15.9海里．（2）在Rt△BPC中，∠PBC＝55°，PC≈15.9，，．船A的时间：，船B的时间：．答：船B先到．200. 解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°．在R t△BAC中，cosB＝，t anB＝，∴BC＝，AC＝AB·t anB＝2 t an60°＝∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝2+4+＝．201. 解：如图：过C作CD⊥AB于D，CD为最近的简易公路．设CD= x，依题意得：在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°．∵=tan30°，∴AD=同理：BD= ．∵AD－BD=6，∴－=6，解得：x= ，x≈5.20(千米)．5.20×16 000=83200(元)．答：这条最近的简易公路长为5.20千米，修建简易公路的最低费用为83200元．202. 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴DE＝AB＝123．在R t△ADE中，t an∠DAE＝，∴AE＝．在R t△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝．∴CD＝CE+DE＝．答：乙楼CD的高度约为335.8 m．203. 解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°在R t△ACD和R t△BCD中，设AC＝x，则AD＝x sin65°，BD＝CD＝x cos65°．∴100+ x cos65°＝x sin65°．∴x＝(米)．∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米．204. 解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形．∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设DE＝x，在Rt△CDE中，.在Rt△ABC中，∵，AB=2，∴.在Rt△AFD中，DF＝DE＝EF＝x－2，∴∵AF＝BE＝BC+ CE，∴.解得x＝6．答：树DE的高度为6米．205. 解：设CD= x．在Rt△ACD中，tan37°= ，则．∴AD= x．在Rt△BCD中，tan48°= ，则= ，∴BD= x．∵AD+BD=AB，∴x+ x=80．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．206. 解：如图所示延长AB交DE于C．设CD的长为x米．由图可知，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°.∠DCB＝90°，则∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝x米．在Rt△ACD中，∠A＝30°，DC＝x，∴即，∴.∴AC－BC＝AB，AB＝20(米)∴，解得.∴.答：这棵古松的高是28.82米．207. 解：（1）如图，作AD上BC于点D，Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×= ．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD= ≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米．（2）结论：货物MNQP应挪走．在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2 ，在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=4 ×=2 ，∴CB=CD－BD=2 －2 =2( －)≈2.1．∵PC=PB－CB≈4－2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．208. 解：（1）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意知，四边形EFCD是矩形，∴ED＝FC＝12，DC＝EF＝1.6．在Rt△BED中，∠BED＝45°，∴BD＝ED＝12．∴BC＝BD+ DC＝12+1.6＝13.6．答：建筑物BC的高度为13.6 m．（2）在Rt△AED中，∠AED＝52°，∴AD＝ED·tan∠AED＝12×tan52°，∴AB＝AD－BD＝12×tan52°－12≈12×1.28－12＝15.36－12＝3.36≈3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．209. 解：（1）30．（2）由题意得∠PBH＝60o，∠APB＝45o．∵∠ABC＝30o，∴∠ABP＝90o．在Rt△PHB中，，在Rt△PBA中，．答：A，B两点间的距离约34.6米．210. 解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，∵AD+BD= + =1000，解得CD= 366 m．211. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°．AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4212. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC·tan30°，BC=PC·tan45°，∵AC+BC=AB，∴PC·tan30°+PC·tan45°=100，∴( )PC=100，∴PC=50( )≈50×(3-1.732)≈63.4＞50，答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 213. 考查学生利用三角函数解决实际问题的能力，通过作垂线构造直角三角形是解决问题的关键.214. 解：在Rt△ACE中，∠ACE＝30°CE＝BD＝15∴tan∠ACE＝∴AE＝CE·tan∠ACE＝15·tan30°＝5∴AB＝AE＋BE＝5 ＋1.5＝8.6＋1.5＝10.1215. 解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H.∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH EG，故四边形EGHD是矩形．∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH·tan∠ADH＝10×tan 45°＝10(米)，在Rt△FGE中，i＝1∶＝，∴FG＝＝(米)．∴AF＝FG+GH－AH＝+3－10＝(米)．（2）设防洪堤长为l，×l＝(3+ －7)×10×500＝－10 000(立方米)．加宽部分主体的体积V＝S梯形AFED答：加固后坝底增加的宽度为( )米，需土石( －10 000)立方米．216. 在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以可利用解直角三角形的知识求出AD；类似地，可以求出AC.解：在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以AD＝＝3(m)．在Rt△ACD中，AD＝3 m，∠ADC＝60°.所以AC＝ADtan∠ADC＝3×tan60°＝3×＝(m)．所以路况显示牌BC的高度为( －3) m.217. （1）如题图，在Rt△ABC中，＝sin 30°，∴BC＝＝10(米)．（2）收绳8秒后，绳子缩短了4米，只有6米，这时船离岸的距离为(米)．9．题型：解答题；其它备注：主观题；分值：6；$$在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，∠ABC＝45°，求BC的长．218. 解：在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝，∠ADC＝60°，因为sin∠ADC＝，即，所以AD＝2.由勾股定理得DC＝＝1，BD＝2AD＝4，BC＝BD+DC＝5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5，由勾股定理得AB＝＝，所以Rt△ABC的周长为AB+BC+AC＝+5+ .219. 解：存在的一般关系有：（1）sin 2A+cos 2A＝1，（2）ta n A＝.（1）证明：∵sin A＝，cos A＝，a2+ b2＝c 2，∴sin 2A+cos 2A＝＝1.（2）证明：∵sin A＝，cos A＝，∴ta n A＝＝.220. 解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，∴AD＝.在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 30°＝80 ×＝80，∴BC＝CD－BD＝240－80＝160(米)．答：这栋大楼的高为160米．221. 解:分别过B、C两点作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则四边形BCFE为矩形,∴BE=CF,BC=EF.(1)在Rt△BAE中,i=1∶3,tanα= ≈0.333 3,∴α≈18°26′.(2)在Rt△ABE中,i=1∶3,BE=23,∴AE=3BE=3×23=69(米).在Rt△CDF中,i=1∶2.5,CF=BE=23,∴DF=2.5×23=57.5(米).∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=69+6+57.5=132.5(米),AB= ≈72.7(米).答:坡角α为18°26′,坝底AD为132.5米,斜坡AB约为72.7米.222. 解:如图1-2所示，过点A作AD⊥BD于点D,易知:AC=BC=24,∠DAC=30°.图12∴AD=24·cos30°=24×≈20.78＞20.答:货轮继续向西航行，没有触礁危险.223. 解：∵BD=AB，∴∠A=∠ADB=30°×=15°，∠BDC=60°.∴∠ADC=75°.设DC=1，则BD=AB=2，BC= ，∴tan75°=.224. 解:过A作BC的垂线,垂足为D.在Rt△ADB中,∠B=60°,∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°= AD.在Rt△ADC中,∠C=45°,∴CD=AD.又∵BC=200,∴BD+CD= AD+AD=200.∴AD= ≈126.8(米).答:这段河宽约为126.8米.225. 解:如图,过点A作AE⊥CD,在Rt△ABD中,∠ADB=β,AB=24,∴BD= .在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD= ,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).226. 解：设AB=x米，∴AD=xcos60°= ，在直角三角形EAC中，∠EAC=90°,∠C=45°，∴AE=AC，即x+30= +40，∴x= （米）.227. 解：过C作CD⊥AB，垂足为D，可求得CD=136.5 m.∵CD=136.5 m＞120 m，∴船继续前进没有浅滩阻碍的危险. 228. 解:过C作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x m,在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AD=CD=x.在Rt△CBD中,∠CBD=60°,∴cos60°= .∴BD= .∵AB=AD-BD,∴20= .∴x= .答:气球离地面的高度是( ) m.229. 解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝60°.设CD＝x m，则BD＝x m，AD＝CDtan 60°＝x(m)．∵AB＝50×20＝1 000(m)，∴x+ x＝1 000.∴x＝≈366.因此，建筑物C到公路的距离约为366 m.230. 解：∵l∥BC，∴∠ACB＝∠α＝8°.在Rt△ABC中，∵tan α＝，∴BC＝＝42(cm)．根据题意，得h2+42 2＝( h+6) 2，∴h＝144(cm)．答：铅锤P处的水深约为144 cm.231. 解：作CE⊥AB，垂足为E，根据题意，得CE=3 m，∠BCE=30°，∠ACE=60°.在Rt△CBE中，tan30°= ，∴BE=CE·tan30°=3×（m）.在Rt△CAE中，tan60°= ，∴AE=CE·tan60°=3×（m）.∴AB=AE+BE=≈4×1.73=6.92（m）＜8 m.因此可判断该保护物不在危险之内.232. 答：该船所在B处距离灯塔有浬.233. 解：在Rt△AED中，有AE=DE·cot60°=20×；在Rt△BFC中，有；∴BF=20×1.2=24;又EF=DC，∴AB= +6+24=30+11.53≈41.5（米）.答：坝底宽约为41.5米.234. 解：过点C作AB的垂线，交点为D，设BD=x.在Rt△BCD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x.在Rt△ACD中,∵tanA= ,∠A=30°,∴( )x=1 000.∴x=500( )≈1 366(m).答：飞机再向前飞行1 366 m与地面控制点距离最近.235. 解:如图,作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ADC中,AD=AC·sinC=8.在Rt△ADB中,AB= .236. 解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20 m．在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD．在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝，得BC＝BD．又BC－AB＝AC，∴BD－BD＝20，∴BD＝≈27.3.∴古塔BD的高度约为27.3 m.237. 解：（1）在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝，∠CAD为锐角，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°.∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.（2）在Rt△ABC中，∵sin B＝，∴AB＝＝16.又cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝16×.238. 解：第一次观察到的影子长为5×cot45°=5(米)；第二次观察到的影子长为5×cot30°=5 (米)．两次观察到的影子长的差=5 -5(米)．答：第二次观察到的影子比第一次长5 -5米．239. 解：如图，过点A作AD⊥BD于点D，∵∠EBA=60°，∠FCA=30°，∴∠ABC=∠BAC=30°．∴AC=BC=24，∠DAC=30°．∴AD=AC•cos30°=12 ≈20.78＞20．答：货轮继续向西航行，没有触礁危险．240. 解：作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=30°∠CBA=60°∠ACB=90°∴∠DCB=30°∴在Rt△ABC中，BC= AB=30在Rt△DBC中，CD=BCcos30°= =答：这条公路不经过该区域．241. 解：如图，作CD⊥AB于点D．在Rt△CDA中，AC=30m，∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°．∴CD=AC•sin∠C AD=30•sin60°=15 m．AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15m．在Rt△CDB中，∵BC=70，BD 2=BC 2-CD 2，∴BD= =65m．∴AB=BD-AD=65-15=50m．答：A，B两个凉亭之间的距离为50m．242. 解：在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AD=50，∴CD=AD•cot45°=50；在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=50，∴BD=AD•cot30°=50 ；∴BC=BD-CD= -50≈36.6(m)；答：河宽为36.6米．243. 解：延长过点A的水平线交CD于点E则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt△AED中，tan∠EAD=∴ED=36×tan30°=∴CD=CE+ED=36+12答：楼CD的高是(36+12 )米．244. 解：由题意得∠CAO=60°，∠CBO=45°，∵OA=1500×tan30°=1500×=500 ，OB=OC=1500，∴AB=1500-500 ≈634(m)．答：隧道AB的长约为634m．245. 解：过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E．则∠AEC=∠BDC=90度．∵∠EAC=45°，AE=BD=20，∴EC=20．∵tan∠ADB=tan∠EAD= ，∴AB=20•tan60°=20 ，CD=ED-EC=AB-EC=20 -20≈14.6(米)．答：树高约为14.6米．246. 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C． (1分)由题意，得∠PAB=30°，∠PBC=60°．∵∠PBC是△APB的一个外角，∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°． (3分)∴∠PAB=∠APB，(4分)故AB=PB=400． (6分)在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴PC=PB•sin60°=400× = 米． (10分)247. 解：如图，设光线FE影响到B楼的E处．作EG⊥FM于G，由题知：四边形GMNE是矩形，∴EG=MN=30米，∠FEG=30°，在Rt△EGF中，FG=EG×tan30°=MN×tan30°=30×=10 =17.32(米)．则MG=FM-GF=20-17.32=2.68(米)，因为DN=2，CD=1.8，所以ED=2.68-2=0.68(米)，即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．248. 解：设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC= ．(3分)∴AC-BC=10，即( )x=10，∴x= =5( +1)，答：船与小岛的距离是5( +1)海里．(8分)249. 解：过B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．在Rt△BDE中，tan∠BDE= ．∴BE=DE•tan∠BDE．在Rt△ABE中，tan∠BAE= ．∴BE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan∠BDE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan60°=(DE+82)•tan30°．∴DE=(DE+82) ，即3DE=DE+82．∴DE=41．∴AC=BE=41 (米)．∴BC=AE=41+82=123(米)．250. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴= ，∴AD=3 m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，∴AB=AD+BD=3 +9(m)．答：旗杆的高度是(3 +9)m．251. 解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°= ，∴CA=3 ．∴BC=CA-BA=(3 -3)米．答：路况显示牌BC是(3 -3)米．252. 解：过点P作PC⊥AB于C点，根据题意，得AB=18×=6(海里)，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°，∴PC=BC在Rt△PAC中tan30°= =即，解得PC=( +3)海里，∵+3＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．253. 解：过点M作直线AB的垂线MC，垂足为C，设CM=x海里，在Rt△AMC中，AC= x；在Rt△BMC中，BC= x由于AC-BC=AB得：x- x=14，解得：x=7 ，BC= x=7在Rt△BMC中，BM=2BC=14．答：灯塔B与渔船M的距离是14海里．254. 解：在Rt△DBC中，DB=3，∴BC=BD÷cos30°=2 ；在Rt△ABC中，BC=2 ，∠CAB=30°，∴AB=BC÷sin30°=4 ．∵8＞4 ，∴距离B点8米远的保护物不在危险区内．255. 解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，∴AC=2AB，DB=AB．设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x，∵tan∠ACB=tan30°，∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°．∴x=(50+x)• ．解得：x=25(1+ )，∴AC=50(1+ )(米)．答：缆绳AC的长为50(1+ )米．256. 解：在直角△BCD中，sin∠CBD= ，∴CD=BC•sin∠CBD=30×sin60°=15 ≈25.95．∴CE=CD+AB=25.95+1.5=27.45≈27.5(米)．答：此时风筝离地面的高度是27.5米．257. 解：过点A作BC的垂线，垂足为D点． (1分)由题意知：∠CAD=45°，∠BAD=60°，AD=60．在Rt△ACD中，∠CAD=45°，AD⊥BC，∴CD=AD=60． (3分)在Rt△ABD中，∵，(4分)∴BD=AD•tan∠BAD=60 ． (5分)∴BC=CD+BD=60+60 (6分)≈163.9(m)． (7分)答：这栋高楼约有163.9m． (8分)(本题其它解法参照此标准给分)258. 解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20× ≈17.3(米)．答：宣传条幅BC的长是17.3米．259. 解：(1)正确画出示意图；(2)①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上)，测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．260. 解：由题意知，DE=CB=10米．在Rt△ADE中，tan∠ADE= ，∵DE=10，∠ADE=40°，∴AE=DEtan∠ADE=10tan40°≈10×0.84=8.4，∴AB=AE+EB=AE+DC=8.4+1.5=9.9．答：旗杆AB的高为9.9米．261. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，∴PC=100，∴PC=50(3- )≈50×(3-1.732)≈63.4km＞50km．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．262. 解：由矩形BCEF得到CE=BF，BC=EF，(2分)得到∠CAB=55°，(2分)得到BC=ACtan55°，(2分)BC=17.9米．(1分)答：两楼间距至少17.9米．263. 解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意可得：EC⊥AC，FA⊥AC，∠ECB=60°，∠FAB=45°，∴∠BCD=30°，∠BAD=45°，在Rt△ABD中，AB=20(海里)，∴BD=AB•sin45°=20× =10 (海里)，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BC=2×10 =20 ≈28(海里)，∴护渔舰需小时可以到达该商船所在的位置C处，∴×60=28(分钟)，答：护渔舰约需28分钟就可到达该渔船所在的位置C处．264. 解：作CD⊥AB于D，依题意，AB=1000，∠DAC=30°，∠CBD=45°，设CD=x，则BD=x，Rt△ACD中，tan30°= = = ，整理得出：3x=1000 + x，(3- )x=1000 ，x= = =500( +1)≈1366米，即黑匣子C离海面约1366米．265. 解：∵两条水平线是平行的，∴∠B=30°，∠PAO=60°．∵PO=30，∠POA=90°，∴OB= =30 ，OA= =10 ．∴AB=OB-OA=20 ．266. 解：(1)在Rt△ABD中，AD=ABsin45°= ，(2分)∴在Rt△ACD中，AC= =2AD=8，即新传送带AC的长度约为8米．(4分)(2)结论：货物MNQP不需挪走．(5分)在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=在Rt△ACD中，CD=ACcos30°= ∴CB=CD-BD=∵PC=PB-CB=5-( )=9- ≈2.2＞2∴货物MNQP不需挪走．(8分)267. 解：(1)分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，sin∠B= ，∴在矩形AFGD中，AF=16×=8 ，DG=8 米∴S △DCE= ×CE×DG= ×8×8 =32需要填方：150×32 =4800 (立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=16 米，∴GC= =24米，∴GE=GC+CE=32米，坡度i= = = ．268. 解：(1)已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6× =3 ，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6 ．答：调整后楼梯AD的长为6 m；(2)CD=AD•cos30°=6 ×=3 ，∴BD=CD-BC=3 -3 ．答：BD的长为3 -3 (m)．269. 解：如图，在△ABD中，∠A=45°，∠D=90°，AD=300∴AB= =300 ，BD=AD•tan45°=300，在△BCD中，∵∠BCD=60°，∠D=90°，∴BC= ，∴=100 ．1号救生员到达B点所用的时间为=150 ≈210(秒)2号救生员到达B点所用的时间为≈191.7(秒)3号救生员到达B点所用的时间为=200(秒)∵191.7＜200＜210，∴2号救生员先到达营救地点B．270. 解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC，∴CE= BC=0.5．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵tan78°= ，∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．又∵sinα= = ，DF= •AE= ×AE≈1.007．∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴他安装比较方便．271. 解：根据题意得：∠A=30°，∠PBC=60°所以∠APB=60°-30°，所以∠APB=∠A，所以AB=PB在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450，所以PB=所以AB=PB=300 ≈520(米)答：A、B两个村庄间的距离520米．272. 解：易知四边形ABCD为矩形．∴CD=AB=1.5米．(1分)在等腰直角三角形ADE中，AD=DE÷tan45°=14.5-1.5=13米．(2分)在直角三角形ADF中，DF=AD•×tan55°．(4分)∴13+EF=13×1.4．∴EF=5.2≈5(米)．(6分)273. 解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=50(m)．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴(m)．∴BC=BD+CD= = (m)．答：这栋楼约高136.6m．274. 解：在Rt△CEB中，sin60°= ，∴CE=BC•sin60°=10× ≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，答：风筝离地面的高度为10m．275. 解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°= ，得，解得AC= ≈27.32(海里)，因为27.32＞25，所以轮船不会触礁．276. 解：解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°，∴∠ACB=∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴=∵AB=CB=8∴BD=4，AD=12．∴=∴CD=4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．277. 解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，CD=BF，设AB=x米，在Rt△ABE中，∠AEB=∠BAE=45°，∴BE=AB=x，在Rt△ADF中，∠ADF=30°，AF=AB-BF=x-3，∴DF= = (x-3)，∵DF=BC=BE+EC，∴(x-3)=x+15，解得x=12+9 ，答：塔AB的高度(12+9 )米．【解析】1.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5；∴sinA= = ．故选C．2.解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4，∴cos∠B= = ．故选B．3.解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，则sinA= ，cosB= ．∴sinA=cosB．故选C．4.解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2 ．∴cos∠ABC= = ．故选B．5.解：∵点P(3，4)，根据点的坐标的意义可知，∠α的对边是4，邻边为3，斜边为=5，则sinα的值为．故选B．6.解：由题意得，AO⊥BO，AO= AC=5cm，BO= BD=3cm，则tan =tan∠BAO= = ．故选A．7.解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE= ，∴sin∠AOB= = = ．故选B．8.解：如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴cosB= = ．故选B．9.解：利用三角函数的定义可知tan∠A= ．故选A．10.解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB= ．故选C．11.解：过点A向BC引垂线，与BC的延长线交于点D．在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，∴AB= =2 ，sin∠ABC= = ．故选C．12.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB= ，sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB=2．故选A．13.解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6 = ．故选D．14.解：由勾股定理得，AB= = =5．由同角的余角相等知，∠BCD=∠A．∴cos∠BCD=cos∠A= = ．故选D．15.解：A、错误，无法计算；B、错误，sin60°= ，2sin30°=2×=1；C、正确，符合互余两角的三角函数关系；D、错误，cos30°= ＞cos60°= ．故选C．16.解：tanA= ，∵AC=2BC，∴tanA= ．故选A．17.解：在△ABC中，∵∠C=90°，c=3b，∴cosA= = = ．故选C．18.解：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∴∠E=∠ABC=60°，∴cosE=cos60°= ．故选A．19.解：cot∠A= ，∴AC=BC•cotA=a•cotA，故选B．20.解：过点O作OM⊥AB于M，在直角△AOM中，OA=2．根据OC⊥AB，则AM= AB= ，所以cos∠OAM= ，则∠OAM=30°，同理可以求出∠OAC=45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45-30=15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30=75°．故选C．21.解：连接BD，由AB是直径得，∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠CPD=∠APB，∴△CPD∽△APB，∴CD：AB=PD：PB=cosα．故选B．22.解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立．故选A．23.解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB= = =3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B= = ，故选A．24.解：如图，过点A作AD⊥BC于D．在△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=3，BD=4，∴AB=5，∴sinB= = ，故A正确，不符合题意；cosB= = ，故B正确，不符合题意；tanB= = ，故C正确，不符合题意；∵tan∠BAD= = ，∠A＜∠BAD，∴tanA＜，故D错误，符合题意．故选D．25.解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，∴AC= =12，∴cosA= = ，故选：D．26.解：根据题意，由三角函数的定义可得sinA= ，则sinA= ；故选B．27.解：在Rt△ABC中，设a=2m，则c=3m．根据勾股定理可得b= m．根据三角函数的定义可得：tanB= = ．故选A．28.解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB= = ．故选B．29.解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA= ，∴设BC=x，则AC=3x．故AB= x．sinB= = = ．故选D．30.解：∵cos40°= ，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选B．31.解：∵关于x的方程(b+c)x 2-2ax+c-b=0有两个相等的实根，∴(-2a) 2-4(b+c)(c-b)=0，化简，得a 2+b 2-c 2=0，即a 2+b 2=c 2．又∵sinB•cosA-cosB•sinA=0，∴tanA=tanB，故∠A=∠B，∴a=b，所以△ABC的形状为等腰直角三角形．故选D．32.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，∴c= =5，∴cosA= = ，故选B．33.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，cosB= = ．故选B．34.解：∵点P的坐标为(3，4)，∴OP=5．∴sinα= ．故选B．35.解：设AD=x，则CD=x-3，在直角△ACD中，(x-3) 2+ =x 2，解得，x=4，∴CD=4-3=1，∴sin∠CAD= = ；故选A．36.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，由勾股定理可知AC= ，则cosA= = ．故选A．37.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，b= c，∴sinB= = = ．故选A．38.解：由点A(3，0)，点B(0，-4)，∴tan∠OAB= = ．故选C．39.解：根据锐角三角函数的概念知：把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，那么它们的余弦值不变．故选A．40.解：∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．41.解：原式=3×= ．故选A．42.解：A、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，AD∥BE，故正确；B、由菱形的性质知，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD，故正确；C、∵△ABC≌△CED，∴AB=BC=CE=DE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠ECD=60°，∴△ACD也是等边三角形，有AD=AB=BC=CD，∴四边形ADCB是菱形，∴S ABCD=2S △ABC=2××AB×BC×sin60°=2 ，故错误；D、∵AD∥BE，AB=DE，∴四边形ABED是等腰梯形，故正确．故选C．43.解：因为cos30°= ，所以C正确．故选C．44.解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°= ．故选C．45.解：cos60°= ．故选A．46.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，sinA= ．故选B．47.解：sin30°= ．故选B．48.解：sin45°= ．故选B．49.解：∵关于x的方程x 2- +cosα=0有两个相等的实数根，∴△=0，即-4×1×cosα=0，∴cosα= ，∴α=60°．故选C．50.解：原式= + - = ．故选C．51.解：∵sin45°= ，cos45°= ，∴sin45°+cos45°= + = ．故选A．52.解：∵sin30°= ，cot45°=1，∴sin30°•cot45°= ×1= ．故选A．53.解：∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°，∴tanB=tan60°= ，tanA=tan30°= ，cosB=cos60°= ，sinA=sin30°= ．故选A．54.解：∵sin60°= ，∴a-10°=60°，即a=70°．故选C．55.解：原式=5×+2×-3= ．故选B．56.解：∵α为锐角，tan(90°-α)= ，∴90°-α=60°，∴α=30°．故选A．57.解：∵tan(α+20°)=1，∴tan(α+20°)= ，∵α为锐角，∴α+20°=30°，α=10°．故选D．58.解：∵∠A为锐角，sinA= ，∴∠A=30°．故选A．59.解：∵sinA= ，∴∠A=30°；又∵tanB= ，∴∠B=60°．∴∠C=180°-30°-60°=90°．故选A．60.解：∵|sinA- |+(cosB- ) 2=0，∴sinA= ，cosB= ，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°．故选D．61.解：∵正弦函数在30°到90°中是单调递增的，且sin30°= ，sin90°=1，∴＜sinA＜1．故选D．62.解：如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC= BC=3，在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，∴cosB= = ．故选C．63.解：在直角三角形中，根据cosB= ，求得AB= ．再根据中心对称图形的性质得到：BB′=2AB= ．故选D．64.解：如图，作底边上的高AD．∠B=30°，AB=6cm，AD为高，则AD=ABsinB=ABsin30°=3，BD=ABcosB=6×=3 ．∴BC=2BD=6 ，S △ABC= = ×3×6 =9 ．故选B．65.解：如图，过A点作AC⊥x轴于点C，∵∠AOB=30°，∴AC= OA，∵OA=6，∴AC=3，在Rt△ACO中，OC 2=AO 2-AC 2，∴OC= =3 ，∴A点坐标是：(3 ，3)，设反比例函数解析式为y= ，∵反比例函数的图象经过点A，∴k=3×3 =9 ，∴反比例函数解析式为y= ．故选B．66.解：在Rt△ABC中，cosB= ，∴BC=AB•cosB=7cos35°．故选C．67.解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC= = ，∴= ，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．68.解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA= = ，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6 ．∴AE+BE=5AE+AE=6 ，∴AE= ，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD= AE=2．故选B．69.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=∴c= ．故选A．70.解：∵∠C=30°，∠BAC=105°，∴∠BAD=∠ABD=45°．在Rt△ADB中，BD=AD，在Rt△ADC中，CD=cot∠CAD= AD，∴BC=(1+ )AD=2+2 ．解得：AD=2．故选B．71.解：设CD=x，则AC= = x，∵AC 2+BC 2=AB 2，AC 2+(CD+BD) 2=AB 2，∴( x) 2+(x+2) 2=(2 ) 2，解得，x=1，∴AC= ．故选A．72.解：∵cosB= ，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选B．73.解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD．∴tanA= =tan∠BCD= ，∴CD 2=AD•BD=4，∴CD=2．故选A．74.解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵sinA= ，∴CD=ACsinA=ACsin30°=2 ×= ，∵cosA= ，∴AD=ACcos30°=2 ×=3．∵tanB= = ，∴BD=2．∴AB=AD+BD=2+3=5．故选B．75. 本题考查用三角函数解决实际问题的能力，难度中等．因为，解得，故选A．76. 本题考查三角函数的计算与推理，难度中等．，AB＝4，．由勾股定理可得，∵AB×斜边上的高＝AC×BC，，故选B．77. 本题直接考查了锐角三角函数的定义。