通用版中考数学二轮复习专题5:折叠问题同步测试(有答案)
2020届中考数学专题复习演练:折叠问题(有答案)
折叠问题一、选择题1.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为()A. 78°B. 7 5°C. 60°D. 45°2.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使DA与对角线DB重合,点A落在点A′处,折痕为DE,则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图,在矩形ABCD中,AB<AD,E为AD边上一点,且AE= AB,连结BE,将△ABE沿BE翻折,若点A 恰好落在CE上点F处,则∠CBF的余弦值为()A. B.C.D.4.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,折叠该纸片,使得AB边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,则线段EF的长为()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,沿DE所在直线折叠,使点B恰好与点A重合,若CD=2,则AB的值为()A. B.4 C.D. 8二、填空题6.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点N是线段BC上的一个动点,将△ACN沿AN折叠,使点C落在点C'处,当△NC'B是直角三角形时,CN的长为________.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2 ,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CEDF的周长不变;③点C到线段EF的最大距离为1.其中正确的结论有________.(填写所有正确结论的序号)8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2 ,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.9.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=6,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,点F为CD上一个动点,把△BCF沿BF折叠,当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时,EF的长为________.10.矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________ cm.11.如图,在▱ABCD中,AB=,AD=4,将▱ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为________.12.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80°,则∠EGC的度数为________14.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为________.15.如图,在矩形中,将绕点按逆时针方向旋转一定角度后,的对应边交边于点.连接、,若,,,则________(结果保留根号).三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠,使顶点A与C重合,折痕为EF.(1)求证:CE=CF;(2)若AB =8 cm,BC=16 cm,连接AF,写出求四边形AFCE面积的思路.17.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.折叠纸片使点B落在AD上,落点为B′.点B′从点A开始沿AD移动,折痕所在直线l的位置也随之改变,当直线l经过点A时,点B′停止移动,连接BB′.设直线l与AB相交于点E,与CD所在直线相交于点F,点B′的移动距离为x,点F与点C的距离为y.(1)求证:∠BEF=∠AB′B;(2)求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9. 10.5.811.3 12.50° 13.80° 14.或15 15.三、综合题16.(1)证明:∵矩形纸片ABCD折叠,顶点A与C重合,折痕为EF,∴∠1=∠2,AD∥BC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴CE=CF.(2)解:思路:连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠,易证四边形AFCE为平行四边形;② Rt△CED中,设DE为x,则CE为16-x,CD=8,根据勾股定理列方程可求得DE,CE的长;③由CF=CE,可得CF的长;运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积.17.(1)证明:如图,由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知,BE=B′E,∠BEF=∠B′EF,∴在等腰△BEB′中,EF是角平分线,∴EF⊥BB′,∠BOE=90°,∴∠ABB′+∠BEF=90°,∵∠ABB′+∠AB′B=90°,∴∠BEF=∠AB′B;(2)解:①当点F在CD之间时,如图1,作FM⊥AB交AB于点M,∵AB=6,BE=EB′,AB′=x,BM=FC=y,∴在Rt△EAB′中,EB′2=AE2+AB′2,∴(6﹣AE)2=AE2+x2解得AE=,tan∠AB′B==,tan∠BEF==,∵由(1)知∠BEF=∠AB′B,∴=,化简,得y=x2﹣x+3,(0<x≤8﹣2)②当点F在点C下方时,如图2所示.设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ,则tanθ==.BK=,CK=BC﹣BK=8﹣.∴CF=CK•tanθ=(8﹣)•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE.在Rt△EAB′中,EB′2=AE2+AB′2,∴(6﹣BE)2+x2=BE2解得BE=.∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3 ∴y=﹣x2+x﹣3(8﹣2<x≤6)综上所述,y=.。
初中数学中考二轮复习重难突破专题04 折叠问题(含答案)
专题04 折叠问题重点分析在中考,这是必考内容,主要考查形式包括:单纯判断对称图形的识别;利用对称图形的性质求点坐标;利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。
难点解读考点:轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后,这两个图形能够完全重合,那么我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,只对一个图形而言;(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系,必须涉及两个图形;(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折,两部分重合;(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”,那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折,两个图形重合;(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形1.常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质:折叠的实质是轴对称,折叠前后的两图形全等,对应边和对应角相等.3.作某点关于某直线的对称点的一般步骤1)过已知点作已知直线(对称轴)的垂线,标出垂足;2)在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段,那么截点就是这点关于该直线的对称点.4.作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1)作出图形的关键点关于这条直线的对称点;2)把这些对称点顺次连接起来,就形成了一个符合条件的对称图形.真题演练1.如图,在矩形中,,将此矩形折叠,使点C与点A重合,点D落在点处,折痕为,则的长为____,的长为____.【答案】①. ②.【解析】由折叠得,,,设DF=x,则AF=8-x,,由勾股定理得DF=,,过作,过D作DM⊥于M,根据面积法可得,,再由勾股定理求出,根据线段的和差求出,最后由勾股定理求出;【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,由折叠得,,设DF=x,则AF=8-x,又Rt中,,即解得,,即DF=∴过作,过D作DM⊥于M,∵∴,解得,∵∴,解得,∴∴∴;故答案为:6;.【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题,勾股定理等知识,正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键.2.如图,在中.,点是边上一动点.连接,将沿折叠,点落在处,当点在内部(不含边界)时,长度的取值范围是___________.【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°,AB=2,BC=4,∴,当点落在AC上时,如图,∵将△ABD沿BD折叠,点A落在处,∴∠ADB==90°,∵,∴,当点落在BC上时,如图,过点D作DH⊥AB于H,∵将△ABD沿BD折叠,点A落在处,∴∠ABD=∠DBC=45°,∵DH⊥AB,∴∠HDB=∠HBD=45°,∴BH=DH,∵,∴HD=2AH=BH,∵AB=AH+BH=2AH+AH=2,∴,,∴,∴当点在△ABC内部(不含边界)时,AD长度的取值范围为.【点拨】本题考查折叠问题,解题的关键是考虑两种极端情况.还可以利用相似来解题.3.如图,长方形ABCD中,AD=BC=8,AB=CD=17,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点,△ADE与△AD′E关于直线AE对称,当△AD′B为直角三角形时,DE的长为______.【答案】或【解析】分两种情况:点E在DC线段上,点E为DC延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】如图1,∵折叠,∴△AD′E≌△ADE,∴∠AD′E=∠D=90°,∵∠AD′B=90°,∴B.D′、E三点共线,又∵ABD′∽△BEC,AD′=BC,∴ABD′≌△BEC,∴BE=AB=17,∵BD′==15,∴DE=D′E=17﹣15=2;如图2,∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°,∴∠CBE=∠BAD″,在△ABD″和△BEC中,∠D″=∠BCE,AD″=BC,∠CBE=∠BAD″,∴△ABD″≌△BEC,∴BE=AB=17,∴DE=D″E=17+15=32.综上所知,DE=2或32.故答案为2或32.【点拨】本题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.4.在菱形ABCD中,∠B=60°,BC=2 cm,M为AB的中点,N为BC上一动点(不与点B重合),将△BMN 沿直线MN折叠,使点B落在点E处,连接DE,CE,当△CDE为等腰三角形时,线段BN的长为_____.【答案】或2【解析】分两种情况:①如图1,当DE=DC时,连接DM,作DG⊥BC于G,由菱形的性质得出AB=CD=BC=2,AD ∥BC,AB∥CD,得出∠DCG=∠B=60°,∠A=120°,DE=AD=2,求出DG=,CG=,BG=BC+CG=3,由折叠的性质得:EN=BN,EM=BM=AM,∠MEN=∠B=60°,证明△ADM≌△EDM,得出∠A=∠DEM=120°,证出D.E.N三点共线,设BN=EN=x,则GN=3-x,DN=x+2,在Rt△DGN中,由勾股定理得出方程,解方程即可;②如图2,当CE=CD上,CE=CD=AD,此时点E与A重合,N与点C重合,CE=CD=DE=DA,△CDE是等边三角形,BN=BC=2(含CE=DE这种情况).【详解】解:分两种情况,①如图1,当DE=DC时,连接DM,作DG⊥BC于G,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD=BC=2,AD∥BC,AB∥CD,∴∠DCG=∠B=60°,∠A=120°,∴DE=AD=2,∵DG⊥BC,∴∠CDG=90°-60°=30°,∴CG=CD=1,∴DG=CG=,BG=BC+CG=3,∵M为AB的中点,∴AM=BM=1,由折叠的性质得:EN=BN,EM=BM=AM,∠MEN=∠B=60°,在△ADM和△EDM中,AD=ED,AM=EM,DM=DM,∴△ADM≌△EDM(SSS),∴∠A=∠DEM=120°,∴∠MEN+∠DEM=180°,∴D.E.N三点共线,设BN=EN=x,则GN=3-x,DN=x+2,在Rt△DGN中,由勾股定理得:(3-x)²+()² =(x+2)²,解得:x=,即BN=;②当CE=CD时,CE=CD=AD,此时点E与A重合,N与点C重合,如图2所示:CE=CD=DE=DA,△CDE是等边三角形,BN=BC=2(符合题干要求);综上所述,当△CDE为等腰三角形时,线段BN的长为或2;故答案为或2.【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握并灵活运用是解题的关键.5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把△PBC沿PC折叠,当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时,BP=__________________________.【答案】或.【解析】分两种情况探讨:①点B落在矩形对角线BD上,②点B落在矩形对角线AC上,由三角形相似得出比例式,即可得出结果.【详解】①点A落在矩形对角线BD上,如图1所示.∵矩形ABCD中,AB=4,BC=3∴∠ABC=90°,AC=BD,∴AC=BD==5.根据折叠的性质得:PC⊥BB′,∴∠PBD=∠BCP,∴△BCP∽△ABD,∴,即,解得:BP=.②点A落在矩形对角线AC上,如图2所示.根据折叠的性质得:BP=B′P,∠B=∠PB′C=90°,∴∠AB′A=90°,∴△APB′∽△ACB,∴,即,解得:BP=.故答案为或.【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理,矩形的性质以及三角形相似的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,由三角形相似得出比例式是解决问题的关键.6.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为_____.【答案】或10【解析】【详解】试题分析:根据题意,可分为E点在DC上和E在DC的延长线上,两种情况求解即可:如图①,当点E在DC上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,易求FP=3,所以FQ=2,设FE=x,则FE=x,QE=4-x,在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=.(2)如图②,当,所以FQ=点E在DG的延长线上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,易求FP=3,所以FQ=8,设DE=x,则FE=x,QE=x-4,在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10,综上所述,DE=或10.7.如图,在矩形纸片中,,,点是的中点,点是边上的一个动点,将沿所在直线翻折,得到,连接,,则当是以为腰的等腰三角形时,的长是________.【答案】或【解析】存在两种情况:当=DC时,连接ED,根据勾股定理可得ED的长,可判断E,A´,D三点共线,根据勾股定理即可得出结论;当=时,证明AEA´F是正方形,于是得出结论.【详解】解:①当=DC时,如图1,连接ED,∵点是的中点,,,四边形是矩形,∴AD=BC=,∠A=90°,∴DE=,∵将沿所在直线翻折,得到,∴A´E=AE=2,A´D=DC=AB=4,∴DE=A´E+A´D=6,∴点E,A´,D三点共线,∵∠A=90°,∴∠FA´E=∠FA´D=90°,设AF=x,则A´F=x,FD=-x,在Rt△FA´D中,,解得x=,∴FD=3;②当=时,如图2,∵=,∴点A´在线段CD的垂直平分线上,∴点A´在线段AB的垂直平分线上,∵点是的中点,∴EA´是AB的垂直平分线,∴∠AEA´=90°,∵将沿所在直线翻折,得到,∴∠A=∠EA´F=90°,AF=FA´,∴四边形AEA´F是正方形,∴AF=AE=2,∴DF=.故答案为或.【点拨】本题考查了翻折变换,矩形的性质,等腰三角形的性质,正方形的判定与性质,勾股定理.分类讨论思想的运用是解题的关键.8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形,应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时,利用勾股定理求出B′E,也就是BE的长,便求出AE.当∠AB′F为直角时,过A作AN⊥EB′,交EB′的延长线于N,构造Rt△B′EF,利用勾股定理便可求出AE.【详解】解:①当B′D⊥AE时,△AB′F为直角三角形,如下图:根据题意,BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中,∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中,∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=,则BE=1,∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时,△AB′F为直角三角形,如下图:连接AD,过A作AN⊥EB′,交EB′的延长线于N.根据题意,BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中,∠AB′N=60°,∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD(H L)∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中,∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上,AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题,涉及到直角三角形全等的判定,30°角的直角三角形的性质,勾股定理等知识.9.如图,在矩形中,,,将点绕点逆时针旋转,点的对应点为.的平分线交于,且.若点落在矩形的边上,则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况:①点B′落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得AB=BE,即可求出a的值;②点B′落在CD 边上,证明△ADB′∽△B′CE,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.【详解】解:分两种情况:①当点B′落在AD边上时,如图1.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在AD边上,∴∠BAE=∠B′AE=∠BAD=45°,∴AB=BE,∴a=;②当点B′落在CD边上时,如图2.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a.∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在CD边上,∴∠B=∠AB′E=90°,AB=AB′=1,EB=EB′=a,∴DB′==,EC=BC−BE=a−a=a.∵∠B′AD=∠EB′C=90°−∠AB′D,∠D=∠C=90°,∴△ADB′∽△B′CE,∴,即,解得a1=,a2=−(舍去).综上,所求a的值为或.故答案为或.【点拨】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键。
2023年中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习(含答案)
中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习一、选择题1.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于 ( )A.50°B.60°C.75°D.85°2.如图,将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在点C/处,BC/交人D于点E,若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°角(虚线也视为角的边)共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图,将矩形ABCD沿EM折叠,使顶点B恰好落在CD边的中点N上.若AB=6,AD=9,则五边形ABMND的周长为( )A.28B.26C.25D.224.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△C EF的面积为( )A.12B.98C.2D.4 5.如图,在矩形ABCD 中,AB =8.将矩形的一角折叠,使点B 落在边AD 上的B ´点处,若AB /=4,则折痕EF 的长度为( )A.8B.4 5C.5 5D.106.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠,BE ,EG ,FG 为折痕,若顶点A ,C ,D 都落在点O 处,且点B ,O ,G 在同一条直线上,同时点E ,O ,F 在另一条直线上,则AD :AB 的值为( )A.65B. 2C.32 D. 37.如图矩形ABCD 中,AB =3,BC =33,点P 是BC 边上的动点,现将△PCD 沿直线PD 折叠,使点C 落在点C 1处,则点B 到点C 1的最短距离为( )A.5B.4C.3D.28.将一张宽为4cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( )A.833cm 2B.8cm 2C.1633cm 2 D.16cm 2二、填空题9.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),连结AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A'处,折痕所在的直线交y轴的正半轴于点C,则直线BC所对应的函数表达式为.10.将正方形纸片ABCD按如图所示对折,使边AD与BC重合,折痕为EF,连接AE,将AE折叠到AB上,折痕为AH,则BH:BC的值是.11.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG =32S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)12.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为.13.一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为.14.如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y 轴上,连接OB,将纸片OABC沿AC折叠,使点B落在D的位置上.若AC=5,OC=2BC,则点D的坐标 .三、解答题15.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.16.将矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长;(3)在(2)的条件下折痕EF的长.17.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.18.小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:操作一:如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得△ACD的周长为;(2)如果∠CAD:∠BAD=4:7,可求得∠B的度数为;操作二:如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,BC=12cm,请求出CD的长.19.矩形AOBC中,OB=8,OA=4.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E.(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;(2)连接EF、AB,求证:EF∥AB;(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.20.将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).(1)如果M为CD边的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5;(2)如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示;若无关,请说明理由.21.如图,抛物线L:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0),已知直线l的解析1式为y=kx﹣5.的解析式、对称轴和顶点坐标.(1)求抛物线L1(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线(4)将抛物线L1剩余的部分组成的新图象记为L2①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;有四个交点时k的取值范围.②直接写出直线l与图象L2答案1.C2.D3.A.4.C.5.C.6.B.7.C.8.B9.答案为:y=﹣12x+32.10.答案为:52﹣12.11.答案为:①③④.12.答案为:53或53.13.答案为:3或24 7.14.答案为:(﹣0.6,0.8)15.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠可知,AD=AF,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°,AB=AF.∴∠B=∠AFG=90°.又∵AG=AG,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.).(2)解:∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6﹣x,∵E为CD的中点,∴EG=x+3,在Rt△CEG中,由勾股定理,得32+(6﹣x)2=(x+3)2,解得x=2,∴BG=2.16.证明:(1)∵矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕为EF,∴OA=OC,EF⊥AC,EA=EC,∵AD∥AC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE,∴OF=OE,∵OA=OC,AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形;(2)①设菱形的边长为x,则BE=BC﹣CE=8﹣x,AE=x,在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2,∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,即菱形的边长为5;②在Rt△ABC中,AC=45,∴OA=12AC=25,在Rt△AOE中,AE=5,OE=5,∴EF=2OE=25.17.解:(1)△AED≌△CEB′证明:∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,又∵∠B′EC=∠DEA,∴△AED≌△CEB′;(2)由折叠的性质可知,∠EAC=∠CAB,∵CD∥AB,∴∠CAB=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=EC=8﹣3=5.在△ADE中,AD=4,延长HP交AB于M,则PM⊥AB,∴PG=PM.∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.18.解:操作一:(1)14 (2)35º操作二:∵AC=9cm,BC=12cm,∴AB=15(cm),根据折叠性质可得AC=AE=9cm,∴BE=AB﹣AE=6cm,设CD=x,则BD=12﹣x,DE=x,在Rt△BDE中,由题意可得方程x2+62=(12﹣x)2,解得x=4.5,∴CD=4.5cm.19.解:(1)∵四边形OACB是矩形,OB=8,OA=4,∴C(8,4),∵AE=EC,∴E(4,4),∵点E在y=kx上,∴E(4,4).(2)连接AB,设点F(8,a),∴k=8a,∴E(2a,4),∴CF=4﹣a,EC=8﹣2a,在Rt△ECF中,tan∠EFC===2,在Rt△ACB中,tan∠ABC==2,∴tan∠EFC=tan∠ABC,∴∠EFC=∠ABC,∴EF∥AB.(3)如图,设将△CEF沿EF折叠后,点C恰好落在OB上的G点处,∴∠EGF=∠C=90°,EC=EG,CF=GF,∴∠MGE+∠FGB=90°,过点E作EM⊥OB,∴∠MGE+∠MEG=90°,∴∠MEG=∠FGB,∴Rt△MEG∽Rt△BGF,∵点E(,4),F(8,),∴EC=AC﹣AE=8﹣,CF=BC﹣BF=4﹣,∴EG=EC=8﹣,GF=CF=4﹣,∵EM =4,∴=,∴GB =2,在Rt △GBF 中,GF 2=GB 2+BF 2,即:(4﹣)2=(2)2+()2,∴k =12,∴反比例函数表达式为y =12x . 20.证明:(1)DE 为x ,则DM =1,EM =EA =2﹣x ,在Rt △DEM 中,∠D =90°,∴DE 2+DM 2=EM 2x 2+12=(2﹣x)2x =34,∴EM =54. (2)设正方形的边长为2,由(1)知,DE =34,DM =1,EM =54∴DE :DM :EM =3:4:5;(3)△CMG 的周长与点M 的位置无关.证明:设DM =x ,DE =y ,则CM =2a ﹣x ,EM =2a ﹣y ,∵∠EMG =90°,∴∠DME +∠CMG =90°.∵∠DME +∠DEM =90°,∴∠DEM =∠CMG ,又∵∠D =∠C =90°△DEM ∽△CMG ,∴△CMG 的周长为CM +CG +MG =. 在Rt △DEM 中,DM 2+DE 2=EM 2即x 2+y 2=(2a ﹣y)2整理得4a 2﹣x 2=4ay ,∴CM+MG+CG==4a.所以△CMG的周长为4a,与点M的位置无关.21.解:(1)∵抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4,∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5对称轴:直线x=3顶点坐标(3,4);(2)∵直线l将线段AB分成1:3两部分,则l经过点(2,0)或(4,0),∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5∴k=52或k=54.(3)如图1,设P(x,﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点,解方程组,解得或不妨设M(0,﹣5)、N(4,3)∴0<x<4过P做PH⊥x轴交直线l于点H,则H(x,2x﹣5),PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x,S△PMN =12PH•x N=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8∵0<x<4∴当x=2时,SPMN最大,最大值为8,此时P(2,3) (4)如图2,A(1,0),B(5,0).由翻折,得D(3,﹣4), ①当x ≤1或3≤x ≤5时y 随x 的增大而增大②当y=kx ﹣5过D 点时,3k ﹣5=﹣4,解得k=13, 当y=kx ﹣5过B 点时,5k ﹣5=0,解得k=1,直线与抛物线的交点在BD 之间时有四个交点,即13<k <1, 当13<k <1时,直线l 与图象L 2有四个交点.。
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习:图形变换(一)—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求:会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算,并能解决相关动态需求数学问题,并能进行图案设计。
图形变换一般包括,折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中,最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时,应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述:三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
(一)三角形的折叠:题型1、一般三角形的折叠:1、如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°﹣α﹣β2、(2019•江西)如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE=°.3、如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为___.题型2、等腰或等边三角形的折叠:4、如图,在△ABC 中,AB =AC ,BC =24,tanC =2,如果将△ABC 沿直线l 翻折后,点B 落在边AC 的中点E 处,直线l 与边BC 交于点D ,那么BD 的长为_____.5、如图,D 是等边△ABC 边AB 上的点,AD=2,DB=4.现将△ABC 折叠,使得点C 与点D 重合,折痕为EF ,且点E 、F 分别在边AC 和BC 上,则CF CE=_______.(利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF)题型3、直角三角形的折叠:6、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,CD 是斜边AB 上的中线,将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置,连接AE .若DE ∥AC ,计算AE 的长度等于.7、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则sin∠BED的值是(二)特殊平行四边形的折叠:题型1、矩形折叠:1、(求角).如图,将矩形沿对角线折叠,点落在处,交于点,已知,则的度为A. B. C. D.2、(求三角函数值)如图,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,如果AB:AD=2:3,那么tan∠EFC值是.3、(求边长)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE 折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为4、(求折痕长)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长为5、(求边的比)如下图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B′处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在EB′与AD的交点C′处.则BC:AB的值为。
(完整版)中考数学几何图形折叠试题典题及解答
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.(德州市)如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于()A.4B.3C.4D.82.(江西省)如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角(虚线也视为角的边)有()A.6个B.5个C.4个D.3个3.(乐山市)如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P 点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC长为()A.20B.22C.24D.304.(绵阳市)当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢?动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图,已知矩形ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:(1)以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在AD 上,折痕与BC交于E;(2)将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A 落在BC上,折痕EF交AD于F.则∠AFE =()A.60°B.67.5°C.72°D.75°5. (绍兴市)学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)~(4)).从图中可知,小敏画平行线的依据有()①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④6.(贵阳市)如图6-1所示,将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条,折成图6-2所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为()A.34cm2 B.36cm2C.38cm2 D.40cm2二、填空题7.(成都市)如图,把一张矩形纸片ABCD沿E F折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G.已知∠EFG=58°,那么∠B EG°.8. (苏州市)如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于____________度.三、解答题9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△P EQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.10. (济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证:△PBE∽△QAB;你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,如不相似请说明理由;如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC 上?为什么?11.(威海市)如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF.已知CE⊥AB.(1)求证:EF∥BD;(2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长.12. (烟台市)生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm,宽为xcm,分别回答下列问题:为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围.(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.(1)求证:△ABE≌△AD′F;(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.14.(孝感市)在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).请解答以下问题:(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP 是什么三角形?请证明你的结论.(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ?(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点)?为什么?15.(邵阳市)如图①,△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C 重合(图②).(1)在图①中画出折痕所在的直线l.设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD.(画图工具不限,不要求写画法)(2)请你找出完成问题(1)后所得到的图形中的等腰三角形.(不要求证明)16.(济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ. 求证:△PBE∽△QAB;你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,如补相似请说明理由;(3)如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么?17.(临安市)如图,△OAB 是边长为的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.(1)当A′E//x轴时,求点A′和E的坐标;(2)当A′E//x轴,且抛物线经过点A′和E时,求抛物线与x轴的交点的坐标;(3)当点A′在OB上运动,但不与点O、B重合时,能否使△A′EF成为直角三角形?若能,请求出此时点A′的坐标;若不能,请你说明理由.18.(南宁市)如图,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上).(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时,y与x 的函数关系式;(2)当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?19.(宁夏回族自治区)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线B D折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE.证明:(1)BF=DF;(2)AE∥BD.参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.648.50°三、9. 解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠OPE+∠APB= 90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA.∴Rt△POE∽Rt△BPA.∴.即.∴.且当x=2时,y 有最大值.由已知,△PAB、△POE均为等腰直角三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c ,则∴y=.由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件.直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),∴该直线为y=x+1.由得∴Q(5,6).故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.10. 证明:(1)∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°,∠PBE+∠PEB=90°,∴∠ABQ=∠PEB.又∵∠BPE=∠AQB=90°,∴△PBE~△QAB.(2)∵△PBE~△QAB ,∴∵B Q=P B,∴.又∵∠ABE=∠BPE=90°,∴△PBE~△BAE.(3)点A能叠在直线EC上.由(2)得,∠AE B=∠CEB,∴EC和折痕AE重合.11. 解:(1)证明:过C点作CH∥BD,交AB的延长线于点H;连结AC,交EF于点K,则AK=CK.∵AB∥CD,∴BH=CD,BD=CH.∵AD=BC,∴AC=BD=CH.∵CE⊥AB,∴AE=EH.∴EK是△AHC的中位线.∴EK∥CH.∴EF∥BD.(2)解:由(1)得BH∥CD,EF∥BD,∴∠AEF=∠ABD.∵AB=7,CD=3,∴AH=10.∵AE=CE,AE=EH,∴AE=CE=EH=5.∵CE⊥AB,∴CH=5=BD.∵∠EAF=∠BAD,∠AEF=∠ABD,∴△AFE∽△ADB.∴.∴.12. 解:(1)由折纸过程知0<5x<26,,0<x <.(2)图④为轴对称图形,∴A M =.即点M与点A的距离是(13-x)cm.13. 证明:⑴由折叠可知:∠D=∠D′,CD=A D′,∠C=∠D′AE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,∠C=∠BAD.∴∠B=∠D′,AB=AD′,∠D′AE=∠BAD,即∠1+∠2=∠2+∠3.∴∠1=∠3.∴△ABE ≌△AD′F.⑵四边形AECF是菱形.由折叠可知AE=EC,∠4=∠5.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠5=∠6.∴∠4=∠6.∴AF=AE.∵AE=EC,∴AF=EC.又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形.∵AF=AE,∴四边形AECF是菱形.14. 解:(1)△BMP是等边三角形.证明:连结AN.∵EF垂直平分AB,∴AN = BN.由折叠知AB = BN ,∴AN = AB = BN,∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°,∠BNM =∠A =9 0°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC ≥BP.在Rt△BNP中,BN = BA =a,∠PBN =30°,∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.(3)∵∠M′BC =60°,∴∠ABM′=90°-60°= 30°.在Rt△ABM′中,tan∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(,2). 代入y=kx中,得k== .设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD 内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′,∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH=∠M′BH-∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中,A′H =A′B =1 ,BH=,∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解:(1)如图.等腰三角形DAC.16.(1)证明:∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°,∠PBE+∠PEB=90°,∴∠ABQ=∠PEB.又∵∠BPE=∠AQB,∴△PBE∽△QAB.(2)∵△PBE∽△QAB,∴. ∵B Q=P B,∴.又∵∠ABE=∠BPE=90°,∴△PBE~△BAE.(3)点A能折叠在直线EC上.由(2)得,∠AEB=∠CEB,∴EC和折痕AE 重合.17. 解:(1)由已知可得∠A'OE=60o , A'E= AE.由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.设A′的坐标为(0,b),则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是(0,1)与(,1).(2)因为A'、E在抛物线上,所以所以函数关系式为y =.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是(-,0)与(,0).(3)不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线,O与A重合,与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解:(1)①当0<x≤3时,由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10(1),重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴,即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0<x≤3).②当3<x<6时,由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如图10(2),重叠部分为梯形EDPQ.∵FH=6-AF=6-x, A'H=A'F-FH=x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.(2)当0<x≤3时,y的最大值;当3<x<6时,由,可知当x=4时,y的最大值y2=9.∵y1<y2,∴当x=4时,y有最大值y最大=9.19. 证明:(1)能正确说明∠ADB=∠EBD(或△ABF≌△EDF),∴BF=DF.(2)能得出∠AEB=∠DBE(或∠EAD=∠BD A),∴AE∥BD.。
中考折叠类问题练习题含答案
中考折叠类问题练习题含答案一、填空题(共10小题;共50分)1. 如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与Cʹ重合.若AB=3,则CʹD的长为.2. 如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AEF,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB=55∘,∠DAF的度数.3. 如图,矩形ABCD中,AB=2cm,BC=6cm,把△ABC沿对角线AC折叠,得到△ABʹC,且BʹC与AD相交于点E,则AE的长为cm.4. 如图,点O是矩形ABCD的对称中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为.5. 如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为.6. 如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P,Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为.7. 折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=6cm,BC=10cm,折痕AE的长.8. 如图,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在AB边上的E处,EQ与BC相交于点F,若AB=6,AD=8,AE=4,则△EBF周长的大小为.9. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,在CD上任取一点E,连接BE,将△BCE沿BE折叠,使点C恰好落在AD边上的点F处,则CE的长为.10. 如图,沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边,使点D落在BC边上一点F处.若AB=8,且△ABF的面积为24,则EC的长为.答案第一部分1. 32. 20∘3. 1034. 2√3【解析】由题意可知,BC=AO=OC,EO⊥AC,∴∠EAC=∠ECA=∠BCE=30∘,∵BC=3,∴CE=2√3.5. 4.8【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠A=∠C=90∘,AD=BC=6,CD=AB=8,根据题意得:△ABP≌△EBP,∴EP=AP,∠E=∠A=90∘,BE=AB=8,在△ODP和△OEG中,{∠D=∠E,OD=OE,∠DOP=∠EOG,∴△ODP≌△OEG(ASA),∴OP=OG,PD=GE,∴DG=EP.设AP=EP=x,则PD=GE=6−x,DG=x,∴CG=8−x,BG=8−(6−x)=2+x,根据勾股定理得:BC2+CG2=BG2,即62+(8−x)2=(x+2)2,解得:x=4.8.∴AP=4.8.6. 3√37. 103√10cm【解析】提示:AB=6,AF=10,BF=8,FC=2.设EF=DE=x,EC=6−x.∵EF2=EC2+FC2,∴EF=10.3∵AE2=AF2+EF2,√10.∴AE=1038. 89. 53【解析】设CE=x.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90∘.∵将△BCE沿BE折叠,使点C恰好落在AD边上的点F处,∴BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD−CE=3−x.在Rt△ABF中,由勾股定理得AF2=52−32=16,∴AF=4,DF=5−4=1.在Rt△DEF中,由勾股定理得EF2=DE2+DF2,即x2=(3−x)2+12,,解得:x=53故答案为5.310. 3。
2019届中考数学专题复习演练:折叠问题含答案
折叠问题一、选择题1.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为()A. 78°B. 75°C. 60°D. 45°2.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使DA与对角线DB重合,点A落在点A′处,折痕为DE,则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图,在矩形ABCD中,AB<AD,E为AD边上一点,且AE= AB,连结BE,将△ABE沿BE翻折,若点A恰好落在CE上点F处,则∠CBF的余弦值为()A. B. C. D.4.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,折叠该纸片,使得AB边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,则线段EF的长为()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,沿DE所在直线折叠,使点B恰好与点A重合,若CD=2,则AB的值为()A. B. 4 C. D. 8二、填空题6.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点N是线段BC上的一个动点,将△ACN沿AN折叠,使点C落在点C'处,当△NC'B是直角三角形时,CN的长为________.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2 ,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CEDF的周长不变;③点C到线段EF的最大距离为1.其中正确的结论有________.(填写所有正确结论的序号)8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2 ,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.9.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=6,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,点F为CD上一个动点,把△BCF沿BF折叠,当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时,EF的长为________.10.矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________ cm.11.如图,在▱ABCD中,AB=,AD=4,将▱ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为 ________.12.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80°,则∠EGC的度数为________14.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为________.15.如图,在矩形中,将绕点按逆时针方向旋转一定角度后,的对应边交边于点.连接、,若,,,则________(结果保留根号).三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠,使顶点A与C重合,折痕为EF.(1)求证:CE=CF;(2)若AB =8 cm,BC=16 cm,连接AF,写出求四边形AFCE面积的思路.17.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.折叠纸片使点B落在AD上,落点为B′.点B′从点A开始沿AD移动,折痕所在直线l的位置也随之改变,当直线l经过点A时,点B′停止移动,连接BB′.设直线l与AB相交于点E,与CD所在直线相交于点F,点B′的移动距离为x,点F与点C的距离为y.(1)求证:∠BEF=∠AB′B;(2)求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9.10.5.811.3 12.50°13.80°14.或15 15.三、综合题16.(1)证明:∵矩形纸片ABCD折叠,顶点A与C重合,折痕为EF,∴∠1=∠2,AD∥BC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴CE=CF.(2)解:思路:连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠,易证四边形AFCE为平行四边形;② Rt△CED中,设DE为x,则CE为16-x,CD=8,根据勾股定理列方程可求得DE,CE的长;③由CF=CE,可得CF的长;运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积.17.(1)证明:如图,由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知,BE=B′E,∠BEF=∠B′EF,∴在等腰△BEB′中,EF是角平分线,∴EF⊥BB′,∠BOE=90°,∴∠ABB′+∠BEF=90°,∵∠ABB′+∠AB′B=90°,∴∠BEF=∠AB′B;(2)解:①当点F在CD之间时,如图1,作FM⊥AB交AB于点M,∵AB=6,BE=EB′,AB′=x,BM=FC=y,∴在Rt△EA B′中,EB′2=AE2+AB′2,∴(6﹣AE)2=AE2+x2解得AE=,tan∠AB′B==,tan∠BEF==,∵由(1)知∠BEF=∠AB′B,∴=,化简,得y=x2﹣x+3,(0<x≤8﹣2)②当点F在点C下方时,如图2所示.设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ,则tanθ==.BK=,CK=BC﹣BK=8﹣.∴CF=CK•tanθ=(8﹣)•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE.在Rt△EAB′中,E B′2=AE2+AB′2,∴(6﹣BE)2+x2=BE2解得BE=.∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3∴y=﹣x2+x﹣3(8﹣2<x≤6)综上所述,y=.。
中考数学复习《折叠问题》真题练习(含答案)
中考数学复习《折叠问题》真题练习(含答案)(2017贵州安顺第7题)如图,矩形纸片ABCD 中,AD =4cm ,把纸片沿直线AC 折叠,点B 落在E处,AE 交DC 于点O ,若AO =5cm ,则AB 的长为( )A .6cmB .7cmC .8cmD .9cm【答案】C .(2017江苏无锡第10题)如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =3,AC =4,点D 是BC 的中点,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,连CE ,则线段CE 的长等于( D )A .2B .54 C .53 D .75(2017新疆乌鲁木齐第9题)如图,在矩形ABCD 中,点F 在AD 上,点E 在BC 上,把这个矩形沿EF 折叠后,使点D 恰好落在BC 边上的G 点处,若矩形面积为43且60,2AFG GE BG ∠==,则折痕EF 的长为( C )A .1B .3 C. 2 D .23(2017重庆A 卷第18题)如图,正方形ABCD 中,AD =4,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,过点E 作EF ⊥ED ,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G ,将△EFG 沿EF 翻折,得到△EFM ,连接DM ,交EF 于点N ,若点F 是AB 的中点,则△EMN 的周长是 .(2017河南第15题)如图,在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,AB AC =,21BC =+,点M ,N 分别是边BC ,AB 上的动点,沿MN 所在的直线折叠B ∠,使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC∆为直角三角形,则BM 的长为 .【答案】1或212+. (2017江苏苏州第18题)如图,在矩形CD AB 中,将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后,C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G .连接'BB 、CC ',若D 7A =,CG 4=,G ''AB =B ,则CC '='BB (结果保留根号).【答案】745. (2017海南第17题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =5,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么cos ∠EFC 的值是 .【答案】35.(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为﹣1.(2016·吉林·3分)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为3a(用含a的式子表示).(2016河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE 折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为或.(2017甘肃兰州第26题)如图,1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:BDF△是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG BE∥,交BC于点G,连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若6AB,8AD,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152.【解析】试题分析: (1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断;(2)①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断;②根据折叠特性设未知边,构造勾股定理列方程求解.试题解析:(1)证明:如图1,根据折叠,∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形;(2)①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴FD∥BG,又∵FD∥BG,∴四边形BFDG是平行四边形,∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形;②∵AB =6,AD =8, ∴BD =10. ∴OB =12BD =5. 假设DF =BF =x ,∴AF =AD ﹣DF =8﹣x .∴在直角△ABF 中,AB 2+A 2=BF 2,即62+(8﹣x )2=x 2, 解得x =254, 即BF =254, ∴FO =222522()54BF OB -=-=154,∴FG =2FO =152.(2017浙江金华第23题)如图1,将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠,使点A 的对称点D 落在BC 边上,再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ,HG 折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ,则操作形成的折痕分别是线段_____,_____;:ABCDAEFG S S=矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ,若5EF =,12EH =,求AD 的长.(3)如图4,四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==.小明把该纸片折叠,得到叠合正方形....请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出,AD BC 的长.【答案】(1)(1)AE ;GF ;1:2;(2)13;(3)按图1的折法,则AD =1,BC =7;按图2的折法,则AD =134 ,BC =374. 【解析】试题分析:(1)由图2观察可得出答案为AE ,GF ,由折叠的轴对称性质可得出答案为1:2;(2)由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度,再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ;再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度;(3)由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.(3)解:本题有以下两种基本折法,如图1,图2所示.按图1的折法,则AD =1,BC =7. 按图2的折法,则AD =134 ,BC =374.(2015年河南3分)如图,正方形ABCD 的边长是16,点E 在边AB 上,AE =3,点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点,把△EBF 沿EF 折叠,点B 落在B ′处,若△CDB ′恰为等腰三角形,则DB ′的长为 ▲ .【答案】16或45.(2015年江苏泰州3分)如图, 矩形ABCD 中,AB =8,BC =6,P 为AD 上一点,将△ABP 沿BP 翻折至△EBP , PE 与CD 相交于点O ,且OE =OD ,则AP 的长为 ▲ .【答案】245. (2015湖北鄂州第8题3分)如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =12,点E 是BC 的中点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点F 处,连接FC ,则sin ∠ECF =( )A .B .C .D .【答案】D .(2015•四川自贡,第10题4分) 如图,在矩形ABCD 中,AB 4AD 6==,,E 是AB 边的中点,F 是线段BC边上的动点,将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是 ( A )B 'EDA BCFA . 2102-B .6C .2132-D .4(2015•绵阳第12题,3分)如图,D 是等边△ABC 边AB 上的一点,且AD :DB =1:2,现将△ABC 折叠,使点C 与D 重合,折痕为EF ,点E ,F 分别在AC 和BC 上,则CE :CF =( B )A .B .C .D .(2015•四川省内江市,第14题,5分)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C =90°,E 为CD 上一点,分别以EA ,EB 为折痕将两个角(∠D ,∠C )向内折叠,点C ,D 恰好落在AB 边的点F 处.若AD =2,BC =3,则EF 的长为.(2015•浙江滨州,第17题4分)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上),折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8),则点E 的坐标为 .【答案】(10,3)。
中考数学几何图形折叠试题典题及解答
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、题目描述:下面是一道关于几何图形折叠的中考数学试题,请根据给出的图形进行折叠并回答相关问题。
二、题目内容:以下是一些典型的几何图形折叠试题,供同学们考试复习参考。
1. 长方形折叠在平面上给出一张长方形纸片,长为12厘米,宽为6厘米。
折叠该长方形纸片,使得长方形的两个对边重叠,然后再剪掉重叠部分。
请问最后得到的图形是什么?计算它的周长和面积。
解答:将长方形纸片对折,让两条边相重合。
然后沿着重合的边将多余的部分剪掉。
最后得到的图形是一个等边三角形。
它的周长为36厘米(等边三角形的三条边长相等,每条边长为12厘米),面积为36平方厘米(等边三角形的面积公式为:面积=(边长^2)×(根号3)/4)。
2. 圆形折叠给出一张半径为8厘米的圆形纸片,折叠该圆形纸片使得圆心与边上的一点重合,然后再剪掉重叠部分。
请问最后得到的图形是什么?计算它的周长和面积。
解答:将圆形纸片对折,使得圆心与边上的一点重合。
然后沿着重合的边将多余的部分剪掉。
最后得到的图形是一个等腰三角形。
它的周长为2πr+2r(其中r为圆的半径,即8厘米),面积为(r^2)×π(等腰三角形的面积公式为:面积=(底边×高)/2,这里的底边等于2r)。
3. 正方形折叠给出一张边长为10厘米的正方形纸片,折叠该正方形纸片使对边重叠,然后再剪掉重叠部分。
请问最后得到的图形是什么?计算它的周长和面积。
解答:将正方形纸片对折,使得对边重叠。
然后沿着重合的边将多余的部分剪掉。
最后得到的图形是一个等腰梯形。
它的周长为2a+2b(其中a和b分别为梯形的上、下底边,都等于10厘米),面积为((a+b)×h)/2(等腰梯形的面积公式为:面积=(上底+下底)×高/2,这里的高等于10厘米)。
4. 直角三角形折叠给出一张直角三角形纸片,已知直角边长为5厘米,斜边长为8厘米。
折叠该直角三角形纸片,使直角边重叠,然后再剪掉重叠部分。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)-综合题专训及答案翻折变换(折叠问题)综合题专训1、(2016连云港.中考真卷) 我们知道:光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如右图,AO为入射光线,入射点为O,ON为法线(过入射点O且垂直于镜面的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON.问题思考:(1)如图1,一束光线从点A处入射到平面镜上,反射后恰好过点B,请在图中确定平面镜上的入射点P,保留作图痕迹,并简要说明理由;(2)如图2,两平面镜OM、ON相交于点O,且OM⊥ON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰好经过点B.小昕说,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外,你还有其它做法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作图痕迹,并简要说明理由;问题拓展:(3)如图3,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=30°,一束光线从点S出发,且平行于平面镜OM,第一次在点A处反射,经过若干次反射后又回到了点S,如果SA和AO的长均为1m,求这束光线经过的路程;(4)如图4,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=15°,一束光线从点P出发,经过若干次反射后,最后反射出去时,光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ(0°<θ<180°),请直接写出满足条件的所有θ的度数(注:OM、ON足够长)2、(2017磴口.中考模拟) 如图,把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠,使点C 落在点E处,BE与AD交于点F.(1)求证:△ABF≌△EDF;(2)若将折叠的图形恢复原状,点F与BC边上的点M正好重合,连接DM,试判断四边形BMDF的形状,并说明理由.3、(2017吉林.中考模拟) 如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE,△ADE 沿DE折叠后得到△FDE,点F在矩形ABCD的内部,延长DF交于BC于点G.(1)求证:FG=BG;(2)若AB=6,BC=4,求DG的长.4、(2019吴兴.中考模拟) 定义:长宽比为:为正整数的矩形称为矩形下面,我们通过折叠的方式折出一个矩形,如图a所示.操作1:将正方形ABEF沿过点A的直线折叠,使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处,折痕为AH.操作2:过点G作CD∥AB,使点D、点C分别落在边AF,BE上.则四边形ABCD 为矩形.(1)证明:四边形ABCD为矩形;(2)点M是边AB上一动点.如图b,O是对角线AC的中点,若点N在边BC上,,连接求的值;连结AC,CM,当△AMC为等腰三角形时,将△CBM沿着CM翻折,点B的对称点为B’,连结AB’求的值.5、(2018龙湾.中考模拟) 如图,以AB为直径作⊙O,点C为⊙O上一点,劣弧CB 沿BC翻折,交AB于点D,过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E.(1)求证:AC=CD;(2)已知tanE= ,AC=2,求⊙O的半径.6、(2016江西.中考真卷) 解方程组与证明(1)解方程组:.(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.求证:DE∥BC.7、(2016郓城.中考模拟) 如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E.(1)求证:△DCE≌△BFE;(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的长.8、(2018荆州.中考真卷) 如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.(1)求证:△AFG≌△AFP;(2)△APG为等边三角形.9、(2018柳州.中考模拟) 如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.(1)求∠2、∠3的度数;(2)求长方形纸片ABCD的面积S.10、(2019仁寿.中考模拟) (本小题满分9分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP 沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC 于点N.(1)求证:AD2=DP•PC;(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若,求的值.11、(2016贵阳.中考模拟) 如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′.(1)若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′=;(2)若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求CE的长;(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求CE的长.12、(2011遵义.中考真卷) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG.(1)求证:△BHE≌△DGF;(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.13、(2020拱墅.中考模拟) 如图1,折叠矩形纸片ABCD,具体操作:①点E为AD边上一点(不与点A,D重合),把△ABE沿BE所在的直线折叠,A点的对称点为F点;②过点E对折∠DEF,折痕EG所在的直线交DC于点G,D点的对称点为H 点.(1)求证:△ABE∽△DEG.(2)若AB=3,BC=5①点E在移动的过程中,求DG的最大值②如图2,若点C恰在直线EF上,连接DH,求线段DH的长.14、(2020.中考真卷) 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B 恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2) P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A′MN,设点P的纵坐标为m.①当△A′MN在△OAB内部时,求m的取值范围;②是否存在点P,使S△A′MN = S△OA′B,若存在,求出满足条件m的值;若不存在,请说明理由.15、(2020湖州.中考真卷) 已知在△ABC中,AC=BC=m,D是AB边上的一点,将∠B 沿着过点D的直线折叠,使点B落在AC边的点P处(不与点A,C重合),折痕交BC边于点E.(1)特例感知:如图1,若∠C=60°,D是AB的中点,求证:AP=AC;(2)变式求异:如图2,若∠C=90°,m=,AD=7,过点D作DH⊥AC 于点H,求DH和AP的长;(3)化归探究:如图3,若m=10,AB=12,且当AD=a时,存在两次不同的折叠,使点B落在AC边上两个不同的位置,请直接写出a的取值范围.翻折变换(折叠问题)综合题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:。
初三中考二轮折叠问题.doc
折叠问题一.考情分析中考分值在近五年无锡屮考屮,有一年考察此知识点,分值为3分,占全卷的2%考查方式此知识点在各种题型中都可以进行考察,虽然无锡中考考察的不多,但在平时的月考、期中考试中,考察次数很频繁,在江苏其它城市的中考中,考察的次数也很多。
相信在以后的无锡中考中,此知识点必将重点考察。
二.知识回顾折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180。
,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用,所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。
根据轴对称的性质可以得到:(1)折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;(2)互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;(3)对称两点与对称轴上任意一点连接所得的两条线段相等;(4)对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等。
折叠的对象有三角形、矩形、正方形、梯形等;在中考中,折叠问题一般分为以下儿类:①求角度;②求线段长或者图形的周长;③求重叠面积;④求折点位置(坐标)。
三.重点突破(-)求角的度数(A)【典型例题1】如图,把一张长方形ABCD的纸片,沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D、C分别落在D,、C,的位置上,若ZEFG = 55°,求Z1、Z2的度数.(B)【典型例题2】(南宁)如图,将矩形纸片ABCD (图1)按如下步骤操作:(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片,使点B恰好落在AD边上,折痕与BC 边交于点E (如图2);(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片,使点A落在BC边上,折痕EF交AD 边于点F (如图3);(3)将纸片展平,那么ZAFE的度数为()A. 60° B・ 67.5° C. 72° D. 75°(C ) 3、(1)观察与发现:小明将三角形纸片ABC (AB>AC )沿过点A 的直线折叠,使得AC 落在AB 边上,折痕为AD,展开纸片(如图1);再次折叠该三角形纸片,使点A 和点D 重合,折痕为EF,展平纸片后得到厶AEF (如图2).小明认为AAEF 是等腰三 角形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处,折痕 为BE (如图3);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE ±的点D 处,折痕为 EG (如图4);再展平纸片(如图5).求图5中Zot 的大小.(二)求线段的长度或图形的周长(B )【典型例题3】如图,将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落 在BC 边中点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN,则线段CN 的长是() (C )【典型例题4】(太原)问题解决如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C 、CF 1 AM D 重合),压平后得到折痕MN.当捲=扌时,求器的值.类比归纳r>C. 5cmD. 6cm于 ________ ;若器=+("为整数),则需的值等于 _____________ ・(用含n 的式 子表示)联系拓广如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C 、D 重合),压平后得到折痕MNo 设(m>l ),寄=£则鸞的值等于 ________ ・(用含m 、n 的式子表示)K 搭配练习U (B ) 3、(北京)如图,正方形纸片ABCD 的边长为1, M 、N 分别是AD 、BC 边上的点,将纸片的一角沿过点B 的宜线折叠,使A 落在MN 上,落点记为AS 折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点,则A r N= ________________ ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边上距D 、C 最近的n 等分点(n^2,且n 为整数), 则A ,N= ________________ (用含有n 的式子表示)(B )4、如图,口ABCD 中,点E 在边AD 上,以BE 为折痕,将厶ABE 翻折, 点A 正好落在CD ±的点F 处,若Z\FDE 周长为8, AFCB 周长为22,则FC在图(1)中,若黑则谓的值等;若 CE_1 CD =4'(B) 5、如图,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合, 则折痕EF的长为emo(三)求重叠面积(C)【典型例题5】(衢州)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为0 (0, 0), A (10, 0), B (8, 2^3), C(0, 2羽),点T在线段OA上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点AJ,折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;(1)求ZOAB的度数,并求当点A,在线段AB±时,S关于t的函数关系式;(2)当纸片重叠部分的图形是四边形吋,求t的取值范围;(3)S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在, 请说明理由。
中考数学折叠问题答案
折叠问题答案一、选择题1. ∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
2.延长DC 与A′D′,交于点M ,∵在菱形纸片ABCD 中,∠A=60°,∴∠DCB=∠A=60°,AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质,可得∠A′D′F=∠D=120°,∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°,∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°,∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。
∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x ,D′F=DF=y , 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。
∴FM=CM+CF=2x+y ,在Rt△D′FM 中,tan∠M=tan30°=D F y 3FM 2x y 3'==+,∴3-1x y 2=。
∴CF x 3-1FD y 2==。
故选A 。
3. ∵将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,∴AB=BE ,∠AEB=∠EAB=45°,∵还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,∴AE=EF ,∠EAF=∠EFA=0452=22.5°。
∴∠FAB=67.5°。
设AB =x ,则AE =EF =2x ,∴an67.5°=tan∠FAB=tFB 2x+x 21AB x ==+。
通用版中考数学二轮复习专题5折叠问题同步测试
二、填空题 3.如图,矩形纸片 ABCD中, AB=5, BC=3,先按图 2操作:将矩形纸片 ABC
D沿过点 A的直线折叠,使点 D落在边 AB上的点 E处,折痕为 AF;再按图 3操作,沿 过点 F的直线折叠,使点 C落在 EF上的点 H处,折痕为 FG,则 A, H两点间的距离为
__ 10__.
25 的长为 __ 8 __.
【解析】由折叠可得,∠ DCE=∠ DFE=90°,∴ D,C,E,F四点共圆,∴ ∠ CDE=∠ CFE=∠ B,又∵ CE=FE,∴∠ CFE=∠ FCE,∴∠ B=∠ FCE,∴ CF=BF
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1 ,同理可得, CF=AF,∴ AF=BF,即 F是AB的中点,∴ Rt△ ABC中, CF=2
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通用版中考数学二轮复习专题 5折叠问题同步测 试
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专题集训5 6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( A )
A.8 cm B.5 2 cm C.5.5 cm D. 1 cm
一点 D,连结 AD,使得∠ DAC=∠ ACD. 如图 3,将△ ACD沿着 AD所在直线折叠,使
得点 C落在点 E处,连结 BE,得到四边形 ABED. 求 BE的长.
解:设 AE与 BD交于点 M,∵ AB= AC,∴∠ ABC=∠C,∵∠ DAC=∠ACD,∴∠ DAC= ∠ABC,∵∠ C= ∠C,∴△ CAD∽△CBA,
CA CD 4 ∴CB=AC,∴ 7
CD
16
33
= 4 ,∴ CD= 7 ,BD=BC-CD= 7 ,∵∠ DAM=∠DAC=∠DBA,∠ ADM=∠ADB
通用版2020年中考数学二轮复习大专题-小突破之折叠(翻折)(35道题 含详细解答)
2020年中考数学二轮复习大专题-小突破之折叠(翻折)解析版一、选择题1.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4,把矩形折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点E 处,则折痕FG 的长为( )A. 2.5B. 3C. √5D. 2√52.如图,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,点C 落在点E 处,BE 交AD 于点F ,已知∠BDC=62°,则∠DFE 的度数为( )A. 31°B. 28°C. 62°D. 56°3.如图,在矩形OABC 中,0A=8,OC=4,沿对角线OB 折叠后,点A 与点D 重合,OD 与BC 交于点E ,则点D 的坐标是( )A. (4,8)B. (5,8)C. ( 245 , 325 )D. ( 225 , 365 )4.如图,将长方形纸片ABCD 折叠,使边DC 落在对角线AC 上,折痕为CE ,且D 点落在对角线D′处.若AB=3,AD=4,则ED 的长为( )A. 32B. 3C. 1D. 435.将直角三角形纸片按如图方式折叠,不可能折出( )A. 直角B. 中位线C. 菱形D. 矩形6.如图,将长BC=8cm ,宽AB=4cm 的矩形纸片ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,则折痕EF 的长为( )A. 4cmB. √17 cmC. 2√5 cmD. 3√5 c7.有一张矩形纸片ABCD ,AB=2.5,AD=1.5,将纸片折叠,使AD 边落在AB 边上,折痕为AE ,再将△AED 以DE 为折痕向右折叠,AE 与BC 交于点F (如图),则CF 的长为( )A. 1 13B. 1C. 23D. 128.如图,△ABC 纸片中,AB =BC >AC ,点D 是AB 边的中点,点E 在边AC 上,将纸片沿DE 折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处.则下列结论成立的个数有( )①△BDF 是等腰直角三角形;②∠DFE =∠CFE ;③DE 是△ABC 的中位线;④BF+CE =DF+DE.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图,在△ABC 中,∠B =50°,点D 为边AB 的中点,点E 在边AC 上,将△ADE 沿DE 折叠,使得点A 恰好落在BC 的延长线上的点F 处,DF 与AC 交于点O ,连结CD ,则下列结论一定正确的是( )A. CE =EFB. ∠BDF =90°C. △EOD 和△COF 的面积相等D. ∠BDC =∠CEF+∠A10.如图,一张矩形纸片ABCD ,其中AD =10cm ,AB =6cm ,先沿对角线BD 对折,使点C 落在点C′的位置,BC′交AD 于点G (图1),再折叠一次,使点D 与点A 重合,得折痕EN ,EN 交AD 于点M (图2),则EM 的长为( )A. 165B. 83C. 85D. 10311.如图,把一张长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠,使C 点落在E 处,BE 与AD 相交于点F ,下列结论:①BD=AD 2+AB 2;②△ABF ≌△EDF ;③ DE AB = EF AF④AD=BD•cos45°.其中正确的一组是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④12.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a =3,b =4,则该矩形的面积为( )A. 20B. 24C.D.13.将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在边CD 上的B′处,折痕为AE ,过B'作B'P ∥BC ,交AE 于点P ,连接BP.已知BC=3,CB'=1,下列结论:①AB=5;②sin ∠ABP= 35 ;③四边形BEB′P 为菱形;④S 四边形BEB'P ﹣S △ECB '=1,其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为()A. 1或2B. 2或3C. 3或4D. 4或515.如图,已知正方形ABCD,E为AB的中点,F是AD边上的一个动点,连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF,延长FH交BC于M,现在有如下5个结论:①△EFM定是直角三角形;②△BEM≌△HEM;AB2,在以上5个结③当M与C重合时,有DF=3AF;④MF平分正方形ABCD的面积;⑤FH•MH=14论中,符合题意的有()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题16.如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F,将△AEF沿EF折叠,点A落在A′处,当△A′BC是等腰三角形时,AP的长为________.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=________.18.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,点M为AB边上一点,AM=2,点N为AD边上的一动点,沿MN将△AMN翻折,点A落在点P处,当点P在菱形的对角线上时,AN的长度为________.19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2 √3,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________或________20.如图,以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若ADBD =23,且AB=10,则CB的长为________.21.如图,将矩形OABC置于一平面直角坐标系中,顶点A,C分别位于x轴,y轴的正半轴上,点B的坐标为(5,6),双曲线y=kx(k≠0)在第一象限中的图象经过BC的中点D,与AB交于点E,P为y轴正半轴上一动点,把△OAP沿直线AP翻折,使点O落在点F处,当点F落在四边形OABC内部时,连接FE,若FE//x轴,则点P的坐标为________ .22.如图,在矩形纸片ABCD中,BM,DN分别平分∠ABC,∠CDA,沿BP折叠,点A恰好落在BM上的点E处,延长PE交DN于点F沿DQ折叠,点C恰好落在DN上的点G处,延长QG交BM于点H,若四边形EFGH恰好是正方形,且边长为1,则矩形ABCD的面积为________.23.如图,O是正方形ABCD边上一点,以O为圆心,OB为半径画圆与AD交于点E,过点E作⊙O的切线交CD于F,将△DEF沿EF对折,点D的对称点D'恰好落在⊙O上.若AB=6,则OB的长为________.24.如图,正方形ABCD的边长为(√2+1),点M、N分别是边BC、AC上的动点,沿MN所在直线折叠正方形,使点C的对应点C'始终落在边AB上,若△NAC'为直角三角形,则CN的长为________.25.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,折痕为FG.若BG=2cm,DE=3cm,则FG的长为________.三、解答题26.如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.(1)求证:AD2=DP•PC;(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若DPAD = 12,求EFAE的值.27.(1)【操作发现】如图①,在矩形ABCD中,E是BC中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G,连接FC,猜想∠GFC与∠GCF的关系,并证明你的结论;(2)【类比探究】如图②,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)【应用】若满足(2)中条件,且∠AGD=80°,则∠FCG=________.28.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=13AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q.(1)求∠ABP的度数;(2)求S△PBFS△PEB的值;(3)若CD边上有且只有2个点G,使△GPD与△GFC相似,请直接写出BCAB的值.29.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴,y轴分别交于点A,点C,过点A作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B.(1)线段AB,BC,AC的长分别为AB=________,BC=________,AC=________;(2)折叠图1中的△ABC,使点A与点C重合,再将折叠后的图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2.请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择()题.A:①求线段AD的长;②在y轴上,是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.B:①求线段DE的长;②在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.30.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形沿直线EF折叠.使得点A恰好落在BC边上的点G处,且点E、F分别在边AB、AD上(含端点),连接CF.(1)当BG=3√2时,求AE的长;(2)当AF取得最小值时,求折痕EF的长;(3)连接CF,当△FCG是以CG为底的等腰三角形时,直接写出BG的长.31.如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线y=k(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.x(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.32.如图,平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A(0,3),C(- 1,0). 将矩形OABC 绕原点顺时针旋转900,得到矩形OA’B’C’.解答下列问题:(1)求出直线BB’的函数解析式;(2)直线BB’与x 轴交于点M、与y 轴交于点N,抛物线y = ax2+ bx + c 的图象经过点C、M、N,求抛物线的函数解析式.(3)将△MON 沿直线MN 翻折,点O 落在点P 处,请你判断点P 是否在抛物线上,说明理由. 33.如图,已知一个三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=8,BC=6,E、F分别是AC、AB边上的点,连接EF.(1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=4S△EDF,求ED的长;(2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;②求EF的长;(3)如图3,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=2,CE= 87,求AFBF的值.34.已知边长为3的正方形ABCD中,点E在射线BC上,且BE=2CE,连接AE交射线DC于点F,若△ABE 沿直线AE翻折,点B落在点B1处.(1)如图1,若点E在线段BC上,求CF的长;(2)求sin∠DAB1的值;=x”,其它条件都不变,试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分(3)如果题设中“BE=2CE”改为“ BECE的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围(只要写出结论,不需写出解题过程).35.已知:如图1,△ABC中,AB=6,AC= 3√3,BC=3,过边AC上的动点E(点E不与点A、C重合)作EF⊥AB于点F,将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A'EF,设CE=x,折叠后的△A'EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S.(1)如图2,当点A'与顶点B重合时,求AE的长;(2)如图3,当点A'落在△ABC的外部时,A'E与BC相交于点D,求证:△A'BD是等腰三角形;(3)试用含x的式子表示S,并求S的最大值.答案一、选择题1.如图,连接BD,交EF于O,则由轴对称的性质可知,FG垂直平分BD,Rt△ABD中,BD= √AD2+AB2=2 √5∴DO= √5,由折叠可得,∠BFO=∠DFO,由AD∥BC可得,∠DFO=∠BGO,∴∠BFO=∠BGO,∴BF=BG,即△BFG是等腰三角形,∴BD平分FG,设BF=DF=x,则AF=4﹣x,在Rt△ABE中,(4﹣x)2+22=x2,解得x= 52,即DF= 52,∴Rt△DOF中,OF= √DF2−DO2=√52,∴FG=2FO= √5.故答案为:C.2.解:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠ADC=90°,∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠FDB=28°,∵矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠FBD=∠CBD=28°,∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°.故答案为:D.3.如图,过点D 作DF ⊥x 轴于点F ,交CB 于点Q ,∵将矩形OABC 沿对角线OB 折叠后,点A 与点D 重合,∴OC=BD=AB=4,CB ∥OA ,∠DOB=∠BOA ,OA=BC=OD∴∠CBO=∠BOA∴∠DOB=∠CBO∴OE=BE设OE=BE=x ,则DE=8-x在Rt △BDE 中,DE 2+BD 2=BE 2 ,(8-x )2+42=x 2解之:x=5∴BE=5,DE=CE=8-5=3,∵S △DEB =12DE·DB=12BE·DQ 即4×3=5DQ解之:DQ=125∴DF=4+125=325在Rt △DEQ 中,EQ 2+QD 2=DE 2 ,∴EQ 2+(125)2=32 ,解之:EQ=95∴CQ=3+95=245∴点D (245 , 325)故答案为:C4.∵AB=3,AD=4,∴DC=3∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得:△DEC ≌△D′EC ,∴D′C=DC=3,DE=D′E设ED=x ,则D′E=x ,AD′=AC ﹣CD′=2,AE=4﹣x ,在Rt △AED′中:(AD′)2+(ED′)2=AE 2 , 即22+x 2=(4﹣x )2,解得:x= 32故答案为:A.5.∵当直角三角形沿斜边中点和直角边中点所在直线折叠,可以得到图形有直角,中位线,矩形,∴不可能折出菱形,故答案为:C.6. 解:连结AC交EF于点O,如图:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,在Rt△ABC中,∵AB=4cm,BC=8cm,∴AC=√AB2+BC2=4√5(cm),又∵折叠矩形是点C与点A重合时,有EF⊥AC,AO=CO=2√5(cm),EO=FO,∵∠EOC=∠ABC=90°,∠ECO=∠ACB,∴Rt△EOC∽Rt△ABC,∴OEOC =ABBC=48=12,∴OE=12OC=√5(cm),∴EF=2OE=2√5(cm).故答案为:C.7.解:如图2,根据题意得:BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1,如图3,AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5,∵BC∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴ABAD =BFBD,即0.51.5=BF1.5,∴BF=0.5,∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1.故答案为:B.8.解:①根据折叠知AD=DF,所以BD=DF,即一定是等腰三角形.因为∠B不一定等于45°,所以①错误;②连接AF,交DE于G,根据折叠知DE垂直平分AF,又点D是AB边的中点,在△ABF中,根据三角形的中位线定理,得DG∥BF.进一步得E是AC的中点.由折叠知AE=EF,则EF=EC,得∠C=∠CFE.又∠DFE=∠A=∠C,所以∠DFE=∠CFE,正确;③在②中已证明正确;④根据折叠以及中位线定理得右边=AB,要和左边相等,则需CE=CF,则△CEF应是等边三角形,显然不一定,错误.故答案为:B.9.解:∵点D为边AB的中点,∴AD=BD,由折叠知,FD=AD,∠DFE=∠A,∴BD=FD,∴∠B=∠DFB,∵∠EFC=∠DFB+∠DFE,∠ECF=∠B+∠A,∴∠EFC=∠ECF,∴CE=EF,故A符合题意;∵BD=FD,∴∠B=∠DFB=50°,∴∠BDF=180°﹣2×50°=80°,故B不正确;由折叠知,EF=AE,∴AE=CE,∵BD=CD,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,AB=2DE,∴△DCE的面积=△DEF的面积,△CFD的面积=△CFE的面积,当DE=CF时,△EOD和△COF的面积相等,故C不正确;∵∠BDC=∠DCE+∠A,当CD∥EF时,∠DCE=∠CEF,∠BDC=∠CEF+∠A,故D不正确;故答案为:A.10.解:∵点D与点A重合,得折痕EN,∴DM=5cm,∵AD=10cm,AB=6cm,在Rt△ABD中,BD=√AD2+AB2=√102+62=2√34cm,∵EN⊥AD,AB⊥AD,∴EN∥AB,∴MN是△ABD的中位线,∴DN=12BD=√34cm,在Rt△MND中,∴MN=√34−25=3(cm),由折叠的性质可知∠NDE=∠NDC,∵EN∥CD,∴∠END=∠NDC,∴∠END=∠NDE,∴EN=ED,设EM=x,则ED=EN=x+3,由勾股定理得ED2=EM2+DM2,即(x+3)2=x2+52,解得x=83,即EM=83cm.故答案为:B。
中考数学二轮复习 专题5 折叠问题课件
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【解析】根据折叠后图形的不变性得出等量关系,对每一选项逐一(zhúyī)进行判断.
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2.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,且 AE=13AB, 将矩形沿直线 EF 折叠,点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处,连结 BP 交 EF 于点 Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF 是等边 三角形.其中正确的是( D )
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14.如图,已知在矩形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,BE=2CE,将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后,点 C,D 分别落在边 BC 下方的点 C′,D′处,且 点 C′,D′,B 在同一条直线上,折痕与边 AD 交于点 F,D′F 与 BE 交于点 G.设 AB=t,那么△EFG 的周长为 2 3t .(用含 t 的代数式表示)
(2)设 DE=x,则 FE=DE=x.∵CD=8,∴EC=8-x. 在 Rt△EFC 中,FC2+EC2=EF2,即 42+(8-x)2=x2, 解得 x=5,∴CE=8-x=3,∴CDEE=35
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16.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将矩形沿直线AC折叠,使点B落在点 E处,AE交CD于点F,连结DE.
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11.在矩形纸片ABCD中,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折 叠,使点B与点P重合,折痕(shéhén)所在直线交矩形两边于点E,F,求EF的长.
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解:如图 1,当点 P 在 CD 上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6, ∵EF 垂直平分 PB,∴四边形 PFBE 是正方形,EF 过点 C,∴EF=6 2; 如图 2,当点 P 在 AD 上时,过 E 作 EQ⊥AB 于 Q,∵PD=3,AD=6, ∴AP=3,∴PB= AP2+AB2= 32+92=3 10,∵EF 垂直平分 PB, ∴∠1=∠2,∵∠A=∠EQF,∴△ABP∽△QEF, ∴EPBF=EAQB,∴3EF10=69,∴EF=2 10, 综上所述:EF 的长为 6 2或 2 10
中考数学复习学案专题复习五图形的折叠问题人教版含答案四川专用
图形的折叠问题折叠 ( 翻折 ) 问题经常出此刻三角形、 四边形、 圆等平面几何问题中, 其本质是轴对称性质的 应用. 解题的重点利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量, 运用三角形的全等、 相像及方程等知识成立相关线段、角之间的联系.种类 1 三角形中的折叠问题(2015 ·宜宾) 如图,一次函数的图象与x 轴、 y 轴分别订交于点 A 、B ,将△ AOB 沿33直线 AB 翻折,得△ ACB.若 C(2, 2 ) ,则该一次函数的分析式为________.【思路点拨】利用翻折变换的性质联合锐角三角函数关系得出CO ,AO 的长,从而得出A 、B 两点的坐标,再利用待定系数法求出直线 AB 的分析式.【解答】连结 OC ,过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ,33∵将△ AOB 沿直线 AB 翻折,得△ ACB ,C( 2, 2 ) ,33∴AO = AC ,OD = 2, DC = 2 ,BO = BC ,则 tan ∠ COD = CD 3= ,OD 3 故∠ COD = 30°,∠ BOC = 60°,∴△ BOC 是等边三角形,且∠ CAD =60°.则 sin60 °=CD DC,则 AC == 1,AC sin60 °故 A(1, 0) ,3CD 2 1 sin30 °= = = .CO CO 2则 CO = 3,故 BO =3, B 点坐标为 (0 , 3) ,设直线 AB 的分析式为 y = kx + 3,把 A(1 , 0) 代入分析式可得 k =- 3.∴直线 AB 的分析式为 y =- 3x + 3.折叠 ( 翻折 ) 意味着轴对称, 会生成相等的线段和角, 这样便于将条件集中. 假如题目中有直角,则往常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.1.(2015 ·绵阳 ) 如图, D 是等边△ ABC 边 AB 上的一点,且 AD ∶DB = 1∶ 2,现将△ ABC 折叠,使点 C 与 D 重合,折痕为 EF ,点 E , F 分别在 AC 和 BC 上,则 CE ∶ CF =( )3456A. B. C. D.45672.(2014 ·德阳 ) 如图,△ ABC中,∠ A= 60°,将△ ABC沿 DE翻折后,点 A 落在 BC边上的点 A′处.假如∠ A′ EC= 70°,那么∠ A′ DE的度数为 ________.3.(2014 ·宜宾 ) 如图,在 Rt △ABC中,∠ B=90°, AB= 3, BC= 4,将△ ABC折叠,使点 B 恰巧落在边 AC上,与点 B′重合, AE为折痕,则 EB′= ________.4.(2015 ·滨州 ) 如图,在平面直角坐标系中,将矩形 AOCD沿直线 AE折叠 ( 点 E 在边 DC上 ) ,折叠后极点 D恰巧落在边 OC上的点 F 处,若点 D的坐标为 (10 ,8) ,则点 E 的坐标为 ________.种类 2四边形及其余图形中的折叠问题(2015 ·南充 ) 如图,在矩形纸片 ABCD中,将△ AMP和△ BPQ分别沿 PM和 PQ折叠(AP> AM),点 A 和点 B 都与点 E重合;再将△ CQD沿 DQ折叠,点 C 落在线段 EQ上点 F处.(1)判断△ AMP,△ BPQ,△ CQD和△ FDM中有哪几对相像三角形? ( 不需说明原因 )3(2)假如 AM= 1, sin ∠ DMF=5,求 AB的长.【思路点拨】 (1) 由矩形的性质得∠ A=∠ B=∠ C=90°,由折叠的性质和等角的余角相等,可得∠ BPQ=∠ AMP=∠ DQC,因此△ AMP∽△ BPQ∽△ CQD;(2)设 AP= x,由折叠关系可得: BP= AP= EP= x, AB= DC= 2x, AM= 1,依据△ AMP∽△ BPQAM AP2AP AMAD= BC= BQ得:=,即 BQ= x ,依据△ AMP∽△ CQD得:=,即 CQ= 2,从而得出BP BQ CD CQ+CQ= x2+ 2,MD= AD-AM= x2+2- 1= x2+1,依据 Rt△ FDM中∠ DMF的正弦值得出x 的值,从而求出 AB的值.【解答】(1) 有三对相像三角形,即△AMP∽△ BPQ∽△ CQD.原因以下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ A=∠ B=∠ C= 90° .依据折叠可知:∠ APM=∠ EPM,∠EPQ=∠ BPQ,∴∠ APM+∠ BPQ=∠ EPM+∠ EPQ=90° .∵∠ APM+∠ AMP= 90°,∴∠ BPQ=∠ AMP,∴△ AMP∽△ BPQ,同理:△ BPQ∽△ CQD.∴△ AMP∽△ BPQ∽△ CQD.(2)设 AP=x,∴由折叠关系,BP=AP= EP=x, AB=DC= 2x.由△ AMP∽△ BPQ 得,AM AP1x =,即=,BP BQ x BQ2得 BQ= x .AP AM x1由△ AMP∽△ CQD 得,=,即=,CD CQ2x CQ得 CQ= 2.2∴AD= BC=BQ+ CQ=x + 2.3∵在 Rt△FDM中, sin ∠ DMF=5,2x31∴x2+1=5.解得x1=3,x2=3(不合题意,舍去).即 AB= 6.矩形中的一次折叠往常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或许利用折叠性质以及勾股定理求线段长度.矩形中的两次或多次折叠往常出现“一线三直角”的模型 ( 如图 ) ,从而结构相像三角形,利用相像三角形求边或许角的度数.1.(2013 ·南充 ) 如图,把矩形ABCD沿 EF 翻折,点B 恰巧落在AD边的B′处,若AE= 2,DE= 6,∠ EFB= 60°,则矩形ABCD的面积是()A. 12B. 24C.123D.1632.(2015 ·泸州 ) 如图,在△ ABC 中, AB=AC, BC=24, tanC= 2,假如将△ ABC沿直线 l 翻折后,点 B 落在边 AC的中点 E 处,直线 l 与边 BC交于点 D,那么 BD的长为()A. 1315C.27B.D. 12223.(2015 ·德阳 ) 将抛物线 y=- x2+ 2x+ 3 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折至 x 轴下方,图象的节余部分不变,获得一个新的函数图象,那么直线 y=x+ b 与此新图象的交点个数的状况有()A.6种 B .5种 C.4种 D.3种4.(2015 ·成都 ) 如图,在□ ABCD中,AB=13,AD= 4,将ABCD沿 AE翻折后,点B 恰巧与点C重合,则折痕AE的长为 ________.5.(2015 ·内江 ) 如图,在四边形 ABCD中, AD∥ BC,∠ C= 90°,E 为 CD上一点,分别以 EA,EB 为折痕将两个角 ( ∠D,∠ C)向内折叠,点 C, D恰巧落在 AB 边的点 F 处.若 AD= 2, BC=3,则 EF的长为 ________.6.(2014 ·南充 ) 如图,有一矩形纸片ABCD,AB= 8,AD= 17,将此矩形纸片折叠,使极点A 落在 BC边的 A′处,折痕所在直线同时经过边AB、 AD(包含端点 ) ,设 BA′= x,则 x 的取值范围是 ________.7.(2014 ·绵阳 ) 如图 1,在矩形 ABCD中, AB= 4, AD= 3,将矩形沿直线 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处, AE 交 CD于点 F,连结 DE.(1)求证:△ DEC≌△ EDA;(2)求 DF 的值;(3)如图 2,若 P 为线段 EC上一动点,过点 P 作△ AEC的内接矩形,使其极点 Q落在线段 AE 上,极点 M、N 落在线段 AC上,当线段 PE的长为什么值时,矩形 PQMN的面积最大?并求出其最大值.参照答案种类 1三角形中的折叠问题1. B提示:∵△ ABC 为等边三角形,∴∠ A=∠ B=∠ C= 60° . 又∵折叠△ ABC,使得点 C 恰巧与边 AB上的点 D 重合,折痕为 EF,∴∠ EDF=∠ C= 60°, CE= DE, CF=DF.∴∠ ADE+∠FDB= 120° . ∴∠ AED=∠ FDB.∴△ AED∽△ BDF.∴AE AD DE==. 设等边△ ABC 边长为 6 个单BD BF FD6- x2x147位, CE=x, CF= y, AE= 6- x,BC= 6- y,∴4=6-y=y,解得 x=5, y=2. ∴ x∶y=4∶5,应选择 B.2.65 °3.1.54.(10 , 3)种类 2四边形及其余图形中的折叠问题1. D 2.A3.B 提示:由题意,易知 y=- x2+2x+ 3 与 x 轴的两个交点坐标分别为(3 ,0) 和 ( -1,0) ,极点坐标为 (1 , 4) ,极点对于x 轴对称点的坐标为(1 ,- 4) .当直线 y=x+ b 过 ( - 1, 0)时,b= 1,此时直线与新的函数图象只有一个交点;当b>1 时,此时直线与新的函数图象无交点;当直线 y= x+ b 过(3 ,0) 时, b=- 3,此时直线与新的函数图象有三个交点;察看图象,易知:当- 3<b<1 时,此时直线与新的函数图象有三个交点;当直线y= x+ b 过(1 ,-4) 时, b=- 5,此时直线与新的函数图象有三个交点;察看图象,易知:当-5≤b<- 3 时,此时直线与新的函数图象有四个交点;察看图象,易知:当 b<- 5 时,此时直线与新的函数图象有二个交点;综上,直线y= x+ b 与此新图象的交点的个数的状况有 5 种,应选B.4.35. 6 提示:作 AH⊥BC 于 H.∵分别以 AE,BE为折痕将两个角 ( ∠D,∠ C)向内折叠,点 C, D 恰巧落在 AB 边的点 F 处,∴ DE= EF, CE= EF, AF= AD=2, BF= CB=3. ∴DC= 2EF, AB=5.∵AD∥BC,∠ C=90°,∴四边形ADCH为矩形,∴ AH= DC= 2EF, HB= BC- CH= BC- AD= 1. 在 Rt△ABH 中, AH=22AB - BH=2 6,∴ EF= 6. 6.2 ≤x≤87.(1) 证明:由矩形的性质可知△ADC≌△ CEA,∴AD= CE, DC= EA,∠ ACD=∠ CAE.CE= AD,在△ CED与△ ADE中,DE= ED,DC= EA,∴△ DEC≌△ EDA.(2) ∵∠ ACD=∠ CAE,∴ AF=CF.设 DF=x,则 AF= CF= 4- x,22222277在 Rt△ADF中, AD+ DF= AF ,即 3 + x =(4-x) ,解得 x=8,即 DF=8.(3) 由矩形 PQMN的性质得PQ∥CA,PE PQ∴=.CE CA又∵ CE= 3, AC=AB2+ BC2= 5.x PQ5设 PE= x(0 < x< 3) ,则3=5,即 PQ=3x. 过 E 作 EG⊥AC 于 G,则 PN∥EG,CP PN∴=.CE EG又∵在Rt△AEC中, EG· AC=AE·CE,解得EG=12.5∴3- x3PN=12,即54PN= 5(3 - x) .设矩形PQMN的面积为S,则S=PQ·PN=-4 243x + 4x=- 3(x-3) 2+ 3(0 <x<3) . 2∴当3x= 2,即3PE=2时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为 3.。
2024海南中考数学二轮专题训练 题型五 折叠双空题 (含答案)
2024海南中考数学二轮专题训练题型五折叠双空题例如图,在矩形ABCD 中,点E 在DC 上,将矩形沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处.(1)若∠DAE =20°,则∠AEF =________°;(2)若AB =8,BC =10,BF =6,则CE 的长为________.例题图【分层分析】第一步:根据折叠的性质可得,∠AEF =__________=________°;第二步:∵∠AFB +∠EFC =∠EFC +∠FEC =90°,∴______=______,∵∠B =∠C ,则△ABF ∽______,则________=__________,即86=__________,解得CE =________.(满分技法)折叠问题的本质是全等变换,折叠前后的图形是全等图形,相关微专题见本书P103(针对训练)1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合.(1)若∠A =35°,则∠CBD 的度数为________;(2)若AC =8,BC =6,则AE AD 的值为________.第1题图2.如图,在正方形ABCD 中,AB =6,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,∠EFC =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上,则∠B ′EF 的度数为________,AE 的长度为________.第2题图3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=6,∠B=50°,点E在BC上,将平行四边形ABCD沿AE折叠,点B恰好与点C重合,则∠ACD=________°,cos∠BAE的值为________.第3题图4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,得到四边形AECF,此时OE=OF.(1)四边形AECF的形状是________;(2)若AB=3,则BC的长为________.第4题图5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E,F分别在边AD,BC上,且AE=3,按以下步骤操作:第一步,沿直线EF翻折,点A的对应点A′恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B′.则线段BF的长为________;第二步,分别在EF,A′B′上取点M,N,沿直线MN继续翻折,使点F与点E重合,则线段MN的长为________.第5题图6.如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿边CE折叠,使得△BEC与△FEC重合,点B的对称点F落在边AD上,G为CD的中点,连接BG,分别与CE,CF 交于点M,N,若BM=BE,MG=1,则BN的长为________,sin∠AFE的值为________.第6题图7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,将∠A,∠B分别沿DE、MN折叠,点A、B对应点都落在AC边上O处,OM∥CN.(1)DEON的值为________;(2)设DE=a,当DM=ON时,△ABC折叠后图形的周长为________(用含有a的式子表示).第7题图参考答案例(1)70;(2)3.【分层分析】∠AED ,70;∠AFB ,∠FEC ,△FCE ,AB BF ,FC CE ,4CE,3.1.(1)20°;(2)45【解析】(1)∵∠A =35°,∠C =90°,∴∠ABC =55°,根据折叠性质可得,∠DBE =∠A =35°,∴∠CBD =∠ABC -∠DBE =20°;(2)∵把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合,∴AD =DB ,AE =BE ,在Rt △ABC 中,AC =8,BC =6,∴AB =AC 2+BC 2=10,∴AE =BE =12AB =5,设CD =x ,则DB =AD =8-x ,在Rt △CDB 中,CD 2+CB 2=BD 2,即x 2+62=(8-x )2,解得x =74,AD =8-74=254,∴AE AD =45.2.60°,2【解析】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB ∥CD ,∠A =90°,∴∠BEF =180°-∠EFC =60°,∵将四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上,∴∠BEF =∠B ′EF =60°,BE =B ′E ,∴∠AEB ′=180°-∠BEF -∠FEB ′=60°,∴∠AB ′E =30°,∴B ′E =2AE ,设AE =x ,则B ′E =2x =BE ,∵AB =6,∴x +2x =6,解得x =2,即AE 的长度为2.3.80,45【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∠B =50°,∴∠BCD =130°,由折叠的性质可得,∠ACB =∠B =50°,∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =80°,∵折叠后点B 恰好与点C 重合,∴AE ⊥BC ,BE =CE ,∵BC =AD =6,∴BE =3,∵AB =5,在Rt △ABE 中,AE =AB 2-BE 2=4,∴cos ∠BAE =AE AB =45.4.(1)菱形;(2)3【解析】(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B =∠D =90°,AD =BC ,根据折叠性质可得∠AOF =∠COE =90°,OA =OC ,∴AC ⊥EF ,∵OE =OF ,∴四边形AECF 是菱形;(2)∵四边形AECF 为菱形,∴∠FCO =∠ECO ,EC =AE ,由折叠的性质可知∠ECO =∠BCE ,又∵∠FCO +∠ECO +∠BCE =90°,∴∠FCO =∠ECO =∠BCE =30°,在Rt △EBC 中,EC =2EB ,又∵EC =AE ,AB =AE +EB =3,∴EB =1,EC =2,∴Rt △BCE 中,BC = 3.5.1;5【解析】如解图①,过点F 作FG ⊥AD 于点G ,设EF 与AC 的交点为O ,∴∠AGF =90°,∵四边形ABCD 为矩形,∴∠BAD =∠B =90°,∠D =90°,∴四边形ABFG 为矩形,由折叠的性质得,∠AOE =90°,∴∠OAE +∠AEO =90°,∵∠OAE +∠ACD =90°,∴∠AEO=∠ACD ,∴tan ∠AEF =tan ∠ACD ,∴GF GE =AD CD=2,∴GE =2,∴BF =AG =AE -GE =1;如解图②,过点F 作FG ⊥AD 于点G ,连接NE 、NF ,由折叠的性质得,MN 为EF 的垂直平分线,∴NE =NF ,设A ′N =x ,则A ′N 2+A ′E 2=B ′N 2+B ′F 2,∴x 2+9=(4-x )2+1,解得x =1,∴NB ′=3,NF =10,∵EF =GE 2+GF 2=25,∴MF =12EF =5,∴MN =NF 2-MF 2= 5.第5题解图6.2;2-1【解析】∵△BEC 与△FEC 关于直线EC 对称,四边形ABCD 是矩形,∴△BEC ≌△FEC ,∠ABC =∠ADC =∠BCD =90°,∴∠EBC =∠EFC =90°,∠BEC =∠FEC ,BE =FE ,BC =FC ,∵BM =BE ,∴∠BEM =∠BME ,∴∠FEC =∠BME ,∴EF ∥MN ,∴∠BNC =∠EFC =90°,∴∠BNC =∠FDC =90°,∵∠BCD =90°,∴∠NBC +∠BCN =90°=∠BCN +∠DCF ,∴∠NBC =∠DCF ,∴△BCN ≌△CFD ,∴BN =CD ,在矩形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴∠BEM =∠GCM ,∵∠BEM =∠BME =∠CMG ,MG =1,G 为CD 的中点,∴∠GMC =∠GCM ,∴CG =MG =1,CD =2,∴BN =2.∵BM =BE =FE ,MN ∥EF ,四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD ,AD ∥BC ,∠A =∠BCG =90°,∠AEF =∠ABG ,∵∠AFE +∠AEF =90°=∠ABG +∠CBG ,∴∠AFE =∠CBG ,∴△AFE ∽△CBG ,∴AE CG =EF BG ,设BM =x ,则BE =BM =FE =x ,BG =x +1,AE =2-x ,∴2-x 1=x x +1,解得x =±2,经检验x =±2是原方程的根,但x =-2不合题意,舍去,∴AE =2-2,EF =2,∴sin ∠AFE =AE EF =2-22=2-1.7.(1)12;(2)(6+23)a 【解析】(1)由题意可知,∠AED =∠OED ,∴DE ⊥AC ,∵AD =OD ,∠AOM =90°,∴D 为AM 中点,∴ED =12OM ,由翻折性质可知,OM =BM ,∠B =∠MON ,又∵OM ∥BC ,∴∠MON =∠ONC ,∴∠ONC =∠B ,∴ON ∥BM ,∴四边形OMBN 为菱形,∴ON=OM,∴DEON=12;(2)如解图所示,∵DM∥ON,又∵DM=ON,∴四边形DMNO为平行四边形,又∵D为AM中点,∴DM=OD,∴四边形DONM为菱形,由(1)可知,四边形OMBN为菱形,∴OM=ON=OD=DM,∴△DOM为等边三角形,∴∠DOM=60°,∠EOD =30°,∵DE=a,∴OE=OC=3a,DM=MN=2a,CN=a,折叠后图形的周长为(6+23)a.第7题解图。
2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究折叠问题 (含答案)
2024甘肃中考数学二轮专题训练几何综合探究折叠问题典例精讲例2(一题多设问)【问题解决】在矩形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上两点,且AF=CE,将矩形ABCD沿EF折叠后,进行以下探究:(1)如图①,当点E与点C重合,点F与点A重合,将矩形ABCD沿AC折叠,点B的对应点为B′,B′C与AD交于点G,求证:△AGC为等腰三角形;【思维教练】要证△AGC为等腰三角形,可结合折叠的性质,通过证三角形全等得到边相等求证.例2题图①(2)如图②,将矩形ABCD沿EF折叠,点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,B′E与AD 交于点H,求证:HF=HE;【思维教练】要证边相等,可结合折叠的性质证明角相等即可.例2题图②(3)如图③,将矩形ABCD沿EF折叠,点A的对应点为A′,点B恰好与点D重合,连接BF,求证:四边形BEDF为菱形;【思维教练】要证四边形BEDF为菱形,可根据题目已知条件,先证明四边形是平行四边形,再结合折叠的性质证明平行四边形是菱形.例2题图③【问题探索】(4)如图④,将矩形ABCD沿EF折叠,点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,A′B′与AD、CD交于点M、P,延长EB′交AD的延长线于点N,若AF=CE,求证:点P在线段EF的垂直平分线上;【思维教练】可通过构造等腰三角形,利用三线合一结合折叠的性质证明求解.例2题图④(5)如图⑤,点E,F分别在BC,AD上,且F为AD的中点,BC=3BE,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点A恰好落在BC边上的点G处,求cos∠EGF的值;【思维教练】结合矩形和折叠的性质,通过作辅助线构造等角,将∠EGF转换到直角三角形中求解.例2题图⑤【拓展应用】(6)如图⑥,将平行四边形ABCD沿EF折叠,点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,A′B′与AD、CD交于H、M,B′E与CD交于点N,若AF=CE,FD=4,点H为FD的中点,求EN的长.【思维教练】通过等角代换结合已知条件,证明三角形全等,得到边相等求解.例2题图⑥针对训练1.【问题解决】(1)如图①,在平行四边形纸片ABCD(AD>AB)中,将纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在AD上的点B′处,折线AE交BC于点E,连接B′E.求证:四边形ABEB′是菱形.【规律探索】(2)如图②,在平行四边形纸片ABCD(AD>AB)中,将纸片沿过点P的直线折叠,点B恰好落在AD上的点Q处,点A落在点A′处,得到折痕FP,那么△PFQ是等腰三角形吗?请说明理由.【拓展应用】(3)如图③,在矩形纸片ABCD(AD>AB)中,将纸片沿过点P的直线折叠,得到折痕FP,点B落在纸片ABCD内部点B′处,点A落在纸片ABCD外部点A′处,A′B′与AD交于点M,且A′M=B′M.已知:AB=4,AF=2,求BP的长.第1题图2.实践与探究操作一:如图①,已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,折痕为AF,则∠EAF=________度;操作二:如图②,将正方形纸片沿EF继续折叠,点C的对应点为点N.我们发现,当点E 的位置不同时,点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时,点N恰好落在折痕AE 上,则∠AEF=______度;在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:(1)设AM与NF的交点为点P,求证:△ANP≌△FNE;(2)若AB=3,则线段AP的长为________.第2题图3.【问题解决】(1)如图①,在矩形纸片ABCD中,E是BC边的中点,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,点B的对应点F恰好落在AD边上,请你判断四边形ABEF的形状,并说明理由;【问题探索】(2)如图②,在矩形纸片ABCD中,E是BC边的中点,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,点B的对应点F在矩形纸片ABCD的内部,延长AF交CD于点G,求证:FG=CG;【拓展应用】(3)如图③,在正方形纸片ABCD中,E是BC边的中点,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,点B的对应点F落在正方形纸片ABCD内,延长AF交CD于点G,若AB=4,求线段FG 的长.第3题图4.综合与实践问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在ABCD中,BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点,连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系,并加以证明;独立思考:(1)请解答老师提出的问题;实践探究:(2)希望小组受此问题的启发,将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C′,连接DC′并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明;问题解决:(3)智慧小组突发奇想,将▱ABCD沿过点B的直线折叠,如图③,点A的对应点为A′,使A′B⊥CD于点H,折痕交AD于点M,连接A′M,交CD于点N.该小组提出一个问题:若此▱ABCD的面积为20,边长AB=5,BC=25,求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题,直接写出结果.第4题图5.【推理】如图①,在正方形ABCD中,点E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠,点C落在点F 处,连接BE,CF,延长CF交AD于点G.(1)求证:△BCE≌△CDG;【运用】(2)如图②,在【推理】条件下,延长BF交AD于点H.若HDHF=45,CE=9,求线段DE的长;【拓展】(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连接CF,延长CF,BF交直线AD于G,H两点,若ABBC=k,HDHF=45,求DEEC的值(用含k的代数式表示).备用图第5题图6.问题情境在综合实践课上,老师让同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展数学活动.如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,AC=4.点D是边BC上一动点,点E在边AB上,将△ABC沿DE折叠,点B的对应点为F.探索发现(1)如图②,当点D与点C重合时,若点E为边AB的中点,连接AF,试判断四边形ADEF 的形状,并说明理由;(2)如图③,当点D为边BC的中点时,若此时点F恰好落在边AB上,求四边形ACDF的面积;解决问题(3)在(2)的条件下,当点F恰好落在∠ACB的平分线上(不与点C重合)时,求折痕DE的长.第6题图参考答案典例精讲例2(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=AB′,∠B′=∠B=∠D=90°,又∵∠AGB′=∠CGD,∴△AGB′≌△CGD,∴AG=CG,∴△AGC为等腰三角形;(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DFE=∠BEF,由折叠可知∠BEF=∠B′EF,∴∠B′EF=∠DFE,∴HF=HE;(3)证明:∠A′DF+∠FDE=90°,∠FDE+∠CDE=90°,∴∠A′DF=∠CDE,又∵A′D=CD,∠A′=∠C,∴△A′DF≌△CDE,∴DF=DE,由折叠可知DE=BE,∴DF=BE,又∵DF∥BE,BE=DE,∴四边形BEDF是菱形;(4)证明:如解图①,连接PN并延长,连接PF,PE,∵AF=CE,∴BE=DF,∴B′E=BE=DF,∠DFE=∠BEF=∠B′EF,∴NF=NE,∴ND=NB′,∠NB′P=∠NDP=90°,NP=NP,∴△NB′P≌△NDP,∴∠B′NP=∠DNP,∴NP平分∠FNE,又∵NF=NE,∴点P 在EF 的垂直平分线上;例2题解图①(5)解:如解图②,连接AE ,∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ∥BC ,AD =BC ,∴∠AFE =∠GEF ,由折叠的性质可知:∠AEF =∠GEF ,AE =EG ,∴∠AFE =∠AEF ,∴AE =AF ,∴AF =EG ,∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AE ∥FG ,∴∠FGE =∠AEB ,设BE =2x ,则AD =BC =6x ,AE =AF =EG =3x ,在Rt △ABE 中,cos ∠AEB =BE AE =2x 3x =23,∴cos ∠EGF =23;例2题解图②(6)解:如解图③,连接AC 交EF 于点O ,∵AF =CE ,∴A ′F =AF =CE ,∵∠DMH =∠B ′MN ,∠B =∠D =∠B ′,∴∠DHM =∠B ′NM ,∵∠A ′HF =∠DHM ,∠CNE =∠B ′NM ,∴∠A ′HF =∠CNE ,在△A ′HF 与△CNE 中,A ′=∠ECNA ′HF =∠CNE ′F =CE,∴△A ′HF ≌△CNE ,∴EN =FH =12FD =2.例2题解图③针对训练1.(1)证明:∵由折叠的性质得△BAE ≌△B ′AE ,∴AB =AB ′,BE =B ′E ,∠AEB =∠AEB ′,∵AD ∥BC ,∴∠B ′AE =∠AEB ,∴∠B ′AE =∠AEB ′,∴AB ′=B ′E ,∴AB =BE =B ′E =AB ′,∴四边形ABEB ′为菱形.(2)△PFQ 是等腰三角形,理由:∵四边形A ′QPF 是由四边形ABPF 折叠而来,∴∠BPF =∠QPF ,∵AD ∥BC ,∴∠BPF =∠QFP ,∴∠QPF =∠QFP ,∴QF =QP ,∴△PFQ 是等腰三角形.(3)解:如解图,延长PB ′交AD 于点N ,∵∠FA ′M =∠NB ′M =90°,∠A ′MF =∠B ′MN ,A ′M =B ′M ,∴△A ′MF ≌△B ′MN (ASA),∴B ′N =A ′F =AF =2,∵A ′M =B ′M =12A ′B ′=12AB =2,∴在Rt △A ′MF 与Rt △B ′MN 中,FM =NM =22+22=22,由(2)得,NP =NF =2MF =42,∴BP =B ′P =NP -NB ′=42-2.第1题解图2.解:操作一:45;【解法提示】由折叠的性质得∠BAE =∠MAE ,∠DAF =∠MAF ,又∵∠BAD =90°,∴∠EAF =12∠BAM +12∠DAM =12∠BAD =45°.操作二:60;【解法提示】由折叠的性质得∠AEB =∠AEF =∠CEF ,∴∠AEF =13×180°=60°.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠DAB =∠B =∠C =∠D =90°.由折叠的性质得∠FNE =∠C =90°,∴∠ANP =∠FNE =90°.由操作一,得∠EAF =45°,∴∠AFN =∠FAN =45°,∴AN =FN .∵∠AMF =∠D =90°,∴∠EFN +∠FPM =90°.∵∠PAN +∠APN =90°,∠APN =∠FPM ,∴∠PAN =∠EFN ,∴△ANP ≌△FNE (ASA);(2)23-2.【解法提示】在Rt △ABE 中,∵∠AEB =60°,AB =3,∴AE =3sin60°=2.在Rt △FEN 中,∵∠FEN =60°,∴FN =NE ·tan60°=3NE ,EF =2NE ,∴AN =3NE ,∵AE =AN +NE ,∴(1+3)NE =2.∴NE =3-1,由(1)知△ANP ≌△FNE ,∴AP =EF =2NE =23-2.3.(1)解:四边形ABEF 是正方形.理由:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =∠B =90°.由折叠的性质可得∠AFE =∠B =90°,∴四边形ABEF 为矩形.∵AB =AF ,∴四边形ABEF为正方形;(2)证明:如解图,连接EG,∵E是BC边的中点,∴BE=CE,由折叠的性质可得EF=EB,∠AFE=∠B=90°,∴EF=EC,∠EFG=90°.∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,∴△ECG≌△EFG(HL),∴FG=CG;第3题解图(3)解:∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=90°,AD=CD=AB=4.由折叠的性质可得AF=AB=4.由(2)可得FG=CG,设CG=FG=x,则DG=4-x,AG=4+x,在Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2,即42+(4-x)2=(4+x)2,解得x=1.∴FG=1.4.解:(1)EF=BF.证法一:如解图①,分别延长AD,BF相交于点M.第4题解图①∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠1=∠C,∠M=∠2.∵F为CD的中点,∴△MDF ≌△BCF (AAS),∴FM =FB ,即点F 为BM 的中点,∴BF =12BM .∵BE ⊥AD ,∴∠BEM =90°,∴在Rt △BEM 中,EF =12BM ,∴EF =BF ;证法二:如解图②,过点F 作FM ⊥EB 于点M ,则∠EMF =90°.∵BE ⊥AD ,∴∠AEB =90°,∴∠AEB =∠EMF ,∴AD ∥FM .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC .∴AD ∥FM ∥BC .∴EM MB =DF FC.∵F 为CD 的中点,∴DF =FC .∴EM =MB .∵FM ⊥EB ,∴FM 垂直平分EB .∴EF =BF ;第4题解图②(2)AG =BG .证法一:如解图③,由折叠的性质可知∠1=∠2=12∠CFC ′,FC ′=FC .∵F 为CD 的中点,∴FC =FD =12CD ,∴∠3=∠4.∵∠CFC ′=∠3+∠4,∴∠4=12∠CFC ′.第4题解图③∴∠4=∠1,∴DG ∥FB .∵四边形ABCD 为平行四边形,∴DC 綊AB .∴四边形DGBF 为平行四边形.∴BG =DF ,∴BG =12CD =12AB ,∴AG =BG ;证法二:如解图④,连接CC ′交FB 于点N .由折叠的性质可知FC ′=FC ,CC ′⊥FB .第4题解图④∴∠C ′NB =90°.∵F 为CD 的中点,∴FC =FD =12CD ,∴FC ′=FD .∴∠1=∠2.∵FC ′=FC .∴∠FC ′C =∠FCC ′.在△DC ′C 中,∠1+∠DC ′C +∠DCC ′=180°.∴∠1+∠2+∠FC ′C +∠FCC ′=180°.∴2∠2+2∠FC ′C =180°.∴∠2+∠FC ′C =90°,∴∠DC ′C =90°,∴∠DC ′C =∠C ′NB ,∴DG ∥FB .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC 綊AB .∴四边形DGBF 是平行四边形.∴BG =DF ,∴BG =12CD =12AB ,∴AG =BG ;(3)223.【解法提示】如解图⑤,过点M 作ME ⊥A ′B 于点E ,∵A ′B ⊥CD ,∴S ▱ABCD =AB ·BH =20,∵AB =5,∴BH =4,∴A ′H =A ′B -BH =1,∵BC =25,∴在Rt △BHC 中,CH =BC 2-BH 2=2,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A =∠C ,∵∠A =∠A ′,∴∠A ′=∠C ,又∵∠A ′EM =∠CHB ,∴△A ′ME ∽△CBH ,∴A ′E ME =CH BH =12,设ME =x ,则A ′E =12x ,∵A ′B ⊥CD ,∴A ′B ⊥AB ,∴∠ABA ′=90°,由折叠的性质可知∠ABM =∠MBE =45°,∴EB =ME =x ,∵A ′B =5,∴12x +x =5,解得x =103.∵∠A ′=∠C ,∠A ′HN =∠CHB ,∴△A ′NH ∽△CBH ,∴A ′H NH =CH BH =12,∵A ′H =1,∴NH =2,∴S 四边形BHNM =S △A ′MB -S △A ′NH =12×5×103-12×1×2=223.第4题解图⑤5.(1)证明:如解图①,∵△BFE 是由△BCE 折叠得到,∴BE ⊥CF ,∴∠ECF +∠BEC =90°,又∵四边形ABCD 是正方形,∴∠D =∠BCE =90°,∴∠ECF +∠CGD =90°,∴∠BEC =∠CGD .又∵BC =CD ,∴△BCE ≌△CDG (AAS);第5题解图①(2)解:如解图②,连接EH ,由(1)得△BCE ≌△CDG ,∴CE =DG =9,由折叠的性质得BC =BF ,CE =FE =9,∴∠BCF =∠BFC ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ∥BC ,∴∠BCG =∠HGF ,又∵∠BFC =∠HFG ,∴∠HFG =∠HGF ,∴HF =HG .∵HD HF =45,DG =9,∴HD =4,HF =HG =5,∵∠D =∠HFE =90°,∴HF 2+FE 2=DH 2+DE 2,∴52+92=42+DE 2,∴DE =310或DE =-310(舍去);第5题解图②(3)解:由已知HD HF =45,可设DH =4m ,HG =5m ,可令DE EC=x ,①当点H 在D 点左边时,如解图③,连接HE ,第5题解图③由(2)知HF =HG ,∴DG =9m .由折叠的性质得BE ⊥CF ,∴∠ECF +∠BEC =90°,又∵∠D =90°,∴∠ECF +∠CGD =90°,∴∠BEC =∠CGD ,又∵∠BCE =∠D =90°,∴△CDG ∽△BCE ,∴DG CE =CD BC,∵CD BC =AB BC=k ,∴9m CE =k 1,∴CE =9m k=FE ,∴DE =9mx k,∵∠D =∠HFE =90°,∴HF 2+FE 2=DH 2+DE 2,∴(5m )2+(9m k )2=(4m )2+(9mx k)2,∴x =k 2+93或x =-k 2+93(舍去),∴DE EC =k 2+93;②当点H 在D 点右边时,如解图④,连接HE ,第5题解图④同理得HG =HF ,∴DG =m ,同理可得△BCE ∽△CDG .可得CE =m k=FE ,∴DE =mx k,∵HF 2+FE 2=DH 2+DE 2,∴(5m )2+(m k )2=(4m )2+(mx k)2,∴x =9k 2+1或x =-9k 2+1(舍去),∴DE EC =9k 2+1.综上所述,DE EC =k 2+93或9k 2+1.6.解:(1)四边形ADEF 是菱形.理由:∵∠ACB =90°,AB =8,AC =4,∴在Rt △ACB 中,BC =AB 2-AC 2=43,∠B =30°.∵点D 与点C 重合,点E 为边AB 的中点,∴DE =BE =AE =AD =4.∴△ADE 是等边三角形,∴∠AED =60°,∴∠DEB =120°.由折叠的性质可知EF =BE =AE ,∠DEF =∠DEB =120°,∴∠AEF =60°.∴△AEF 为等边三角形.∴AF =EF .∴AD =DE =EF =AF .∴四边形ADEF 是菱形;(2)由(1)知∠B =30°,BC =43.又∵点D 为边BC 的中点,∴BD =2 3.由折叠的性质可知DE ⊥AB ,EF =BE ,∴DE =3,BE =EF =3.∴BF =6.∴S 四边形ACDF =S △ABC -S △BDF =12AC ·BC -12BF ·DE =12×4×43-12×6×3=53;(3)如解图,过点E 作EG ⊥BC 于点G ,由题意可知∠BCF =45°,由折叠的性质可知DF =CD =BD ,易得DF ⊥BC ,∴∠EDG =∠EDF =45°.由(1)可知∠B =30°,CD =BD =2 3.设EG =DG =x ,则DE =2x ,BG =3x .∴DG+BG=BD,即x+3x=23,解得x=3- 3.∴DE=32- 6.第6题解图。
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专题集训5 折叠问题
一、选择题
1.如果将长为6 cm ,宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( A ) A .8 cm B .5 2 cm C .5.5 cm D .1 cm
【解析】纸片为长方形,折痕的最大长度为对角线长,52
+62
=61<64=8,所以折痕长不能为8 cm. 2.将抛物线y =-x 2
+2x +3在x 轴上方的部分沿x 轴翻折至x 轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y =x +b 与此新图象的交点个数的情况有( B )
A .6种
B .5种
C .4种
D .3种 二、填空题
3.如图,矩形纸片ABCD 中,AB =5,BC =3,先按图2操作:将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠,使点D 落在边AB 上的点E 处,折痕为AF ;再按图3操作,沿过点F 的直线折叠,使点C 落在EF 上的点H 处,折痕为FG ,则A ,H 两点间的距离为__10__.
【解析】如图3中,连结AH ,由题意可知在Rt △AEH 中,AE =AD =3,EH =EF -HF =3-2=1,∴AH =AE 2
+EH 2
=32
+12
=10.
4.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D ,E 分别在AC ,BC 上,且∠CDE=∠B,将△CDE 沿DE 折叠,点C 恰好落在AB 边上的点F 处.若AC =8,AB =10,则CD 的长为__25
8
__.
【解析】由折叠可得,∠DCE =∠DFE =90°,∴D ,C ,E ,F 四点共圆,∴∠CDE =∠CFE =∠B ,又∵CE =FE ,∴∠CFE =∠FCE ,∴∠B =∠FCE ,∴CF =BF ,同理可得,CF =AF ,∴AF =BF ,即F 是AB 的中点,∴Rt △ABC 中,CF =1
2AB =5,由D ,C ,E ,F 四点共圆,可得∠DFC =∠DEC ,由∠CDE =∠B ,可得∠DEC =∠A ,∴
∠DFC =∠A ,又∵∠DCF =∠FCA ,∴△CDF ∽△CFA ,∴CF 2=CD ×CA ,即52
=CD ×8,∴CD =258
.
三、解答题
5.如图1,在等腰三角形ABC 中,AB =AC =4,BC =7.如图2,在底边BC 上取一点D ,连结AD ,使得∠
DAC =∠ACD .如图3,将△ACD 沿着AD 所在直线折叠,使得点C 落在点E 处,连结BE ,得到四边形ABED .求BE 的长.
解:设AE与BD交于点M,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠DAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ABC,∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,
∴CA
CB
=
CD
AC
,∴
4
7
=
CD
4
,∴CD=
16
7
,BD=BC-CD=
33
7
,∵∠DAM=∠DAC=∠DBA,∠ADM=∠ADB,∴△ADM ∽△BDA,∴
AD
BD
=
DM
DA
,即
16
7
33
7
=
DM
16
7
,∴DM=
162
33×7
,MB=BD-DM=
332-162
7×33
,∵∠ABM=∠C=∠MED,∴A、B、E、D四点共圆,∴∠ADB=∠BEM,∠EBM=∠EAD=∠ABD,∴△ABD∽△MBE,∴
AB
BM
=
BD
BE
,∴BE=
BM·BD
AB
=332-162
7×33
×
33
7
4
=
17
4
6.如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:△BDF是等腰三角形;
(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连结FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的长.
解:(1)如图1,根据折叠,∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形
(2)①菱形,理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴FD∥BG,又∵FD∥BG,∴四边形BFDG是平行四边形,∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形
②∵AB=6,AD=8,∴BD=10.∴OB=
1
2
BD=5.设DF=BF=x,∴AF=AD-DF=8-x.∴在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8-x)2=x2,解得x=
25
4
,即BF=
25
4
,∴FO=BF2-OB2=(
25
4
)2-52=
15
4
,∴FG=2FO=
15
2。