10.1计数原理
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【高考导航】考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．【复习指导】复习时要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系，这是解排列组合问题的基础。
基础梳理1．分类加法计数原理 2．分步乘法计数原理考向一 分类加法计数原理【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )．A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．【训练1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．答案 40考向二 分步乘法计数原理【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样 问题1：分类计数原理和分布技术原理有何区别？ 问题2：用两个计数原理解决问题时，要注意哪些问题？自主探究的四位数共有________个(用数字作答)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．【训练2】由数字1,2,3,4，(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条规范解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.【示例】►(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1 23 4在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个计数原理分析解决问题．【试一试】(2011·湖北)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)[尝试解答](1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43(种)．答案2143。
计数原理与排列、组合(讲解部分)
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
高教版中职数学基础模块下册10.1计数原理
南通工贸技师学院
教案首页
课题：§10.1 计数原理
教学目的要求：
1.掌握分类计数原理与分步计数原理的概念和区别；
2.能利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
3.通过对一些应用问题的分析，培养自己的归纳概括和逻辑判断能力.
教学重点、难点:两个原理的概念与区别
授课方法：任务驱动法小组合作学习法
教学参考及教具（含多媒体教学设备）：《单招教学大纲》、课件授课执行情况及分析：
板书设计或授课提纲
教学内容、方法和过程附记
2、上题5个数可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？
【例3】在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图（1）、（2），
要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？
分析：思考电灯发光是一步可以完成还是需要分步完成.
解：图（1）电灯发光，只要其中的一个电键闭合即可，做完这件事只需一步，故用分类计数原理，共有N=2+3=5种方法.
图（2）电灯发光，分两步完成，第一步先闭合电键组A中的一个电
键，第二部闭合电键组B中的一个电键，故用分步计数原理，共有N=2
×3=6种方法.
【举一反三】
某农户有3种西瓜种子，5种香瓜种子，2中丝瓜种子.
（1）现任取一种瓜种试种，共有多少种不同的方法？
（2）现各取一种瓜种试种，共有多少种不同的方法？
是分步
计数原理还
是分类计数
原理关键看
做这件事是
一步可以做
完还是分步
才能做完.。
10.1 分类计数原理和分步计数原理
4. 当A={1,2}时,B=Ø或{1}或{2}或{1,2},得4组解 时 或 或 或 得 组解 由加法原理,共有 由加法原理 共有1+2+2+4=9组解 共有 组解 为两个“ 需将两种元素(1与 装 法2: 设A,B为两个“口袋”,需将两种元素 与2)装 为两个 口袋” 需将两种元素 任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事: 入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事 任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事 步装“ 可装入 不装入B,也可装入 可装入A不装入 也可装入B不装入 第1步装“1”,可装入 不装入 也可装入 不装入 步装 A,还可既装入 又装入 有3种装法 还可既装入A又装入 种装法; 还可既装入 又装入B,有 种装法 步装“ 同样有 种装法.由乘法原理 同样有3种装法 由乘法原理,共有 第2步装“2”,同样有 种装法 由乘法原理 共有 步装 3 × 3=9 种装法
N=10×10×10×10=104 × × ×
个四位数字号码。 答：可以组成10000个四位数字号码。 可以组成 个四位数字号码 本题的特点 数字可以重复使用，例如0000 特点是 0000， 本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等 与分步计数原理比较， 等等， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 m=10， n=4个步骤 个步骤, 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数
N＝m1 ＋m2 ＋L ＋mn ＝
高教版中职数学(基础模块)下册10.1《计数原理》ppt课件1
自我反思 目标检测
双色球一等奖的概率?
(双色球玩法:从33个红球不重复选择6个球,从16个篮球选一个,都选中为一等奖)
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继续探索 活动探究
读书 部分 阅读教材
书面 教材习题10．1 A组（必做）
作业
10．1 B组（选做）
作业
实践 用分类或者分步计数原理解释 调查 生活中的实例
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成这件事的方法共有
N k1 k2 kn（种）．
上面的计数原理叫做分类计数原理．
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动脑思考 探索新知
一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有
k1种方法，完成第2个步骤有 k2 种方法，……，完成第n个步骤有 kn
种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成 这件事的方法共有
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运用知识 强化练习
1. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球．从中 取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？
2. 大连市电话号码为八位数字，问电话86674802 (归属8667支局)所在支局 共有多少个电话号码？
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创设情境 兴趣导入
由大连去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机． 如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个 班次，那么，每天由大连去北京有多少种不同的方法？
解决这个问题需要分类进行研究．由大连去北京共有三类方案．第一类 是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机， 有6种方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从大连到北京）．所以 每天从大连到北京的方法共有
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3．两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不 同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要 分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务， 当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
第十六页，共25页。
类型二 两个原理的综合应用
第十五页，共25页。
有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选 人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各 自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
语文版中职数学基础模块下册10.1《计数原理》word教案.pdf
【课题】10．1 计数原理
【教学目标】
知识目标：掌握分类计数原理和分步计数原理． 能力目标：培养学生的观察、分析能力．
情感目标：让学生在数学学习中感悟生活，在轻松的氛围中获得知识。
【教学重点】掌握分类计数原理和分步计数原理． 【教学难点】区别与运用分类计数原理和分步计数原理． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】1课时． 【教学过程】
n k +（种）上面的计数原理叫做分类计数原理
1
分类计数原理有些教科书上写作加法原则．
2本章中，袋子中的球除了颜色不同外，外形、重量等完全相同。
每个球都有编号，任意两个同色球都是不同的球。
k•（种）
n
分步计数原理
板书设计：
计数原理
一、n
k +（种）各类办法间相互独立
总结：一步到位，分类计数，类类相加 n k •（种）各类办法间相互依存
总结：分步完成，步步相乘
总结：分类和分步的区别：看是否能一步完成，能就是分类，需多步就是分步计数 【教学反思】
007
遥望远方，思绪蔓延。
妹妹，你在哪里啊？你在哪里？你可听到远方姐姐的呼唤！望断天涯，路漫漫，既已相遇，何忍分离。
10.1计数原理(第二课时)
【教案】10.1.2 计数原理知识目标：灵活运用分类计数原理和分步计数原理；能力目标：培养学生的归类能力、分析能力．学习重点：运用分类计数原理和分步计数原理．学习难点：理解分类计数原理和分步计数原理．一、复习旧知1、分类计数原理（加法原理）2、分步计数原理（乘法原理）二、提出问题分类计数原理与分步计数原理有什么区别呢？（教师引导、学生思考）结论：分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）．分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不能到位）．解题方法：第一步：在选择加法原理和乘法原理前，先自问做什么事，能“一步到位”吗，能“一次性完成”吗？第二步：确定适用分类计数原理还是分步计数原理．三、典例共研例1、由数字1，2，3，4，5（1）可以组成多少个3位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）可以组成多少个没有重复数字并且是偶数的三位数？例2、体育场东侧有4个大门，南侧有3个大门，西侧有2个大门，北侧有2个大门，（1）某学生到该体育场练跑步则他进门的方案有____________种;（2）某学生到该体育场练跑步则他出门的方案有____________种;（3）某学生到该体育场练跑步则他进、出门的方案有____________种。
例3、从A地到B地有2条路可通，从B地到C地有3条路可通，从A地到D 地有4条路可通，从D地到C地有2条路可通，从A地到C地共有多少种不同的走法？四、当堂练习1、某学生去书店买书，发现3本好书，决定至少买其中一本的购买方式有多少种？2、已知a∈{−1,0,1,2}，b∈{1,2,3,4}，则坐标(a,b)表达不同的坐标点数有几个？3、某校学生会有高一学生10人，高二学生6人，高三学生4人.(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？(3)推选出其中2人去校外参观学习，要求这两人来自不同年级，有多少种不同选法？五、课堂小结1、由学生总结本节课的收获；2、教师再次强化解题方法：确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断完成一件事情能否“一次完成、一步到位”．六、作业布置七、教学反思。
10.1分类计数原理与分步计数原理(1)
例2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书 架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种 不同的方法？
问题剖析 要我们做什么事情
(2)
从书架上每层拿一本书 有三个步骤 不能 6种、7种、10种 6×7×10=420种
完成这个事情有几个步骤 每个步骤能否独立完成这件事情
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整 整数个数 数等等．
有0
0重复9×8×6
无0 9×8×7×3×3
0不重复3×3×9×8
例10.自然数2520有多少个约数？ 解：2520＝23×32×5×7 分四步完成： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 第二步：取30，31，32有3种； 第三步：取50，51有2种； 第四步：取70，71有2种。 由分步计数原理，共有4×3×2×2＝48种 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（1张不取，即0元0分0角不计在内） 元：0，1，2，3，4，5 角：0，1，2，3，4 分：0，2，4，5，7，9 6×5×6－1＝179
每个步骤中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
例3.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现想现 从１，２，３层中某两层，各取一本，有多少种不同 方法？
6×7＋6×10＋7×10＝172 注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步” 可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般 是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类 计数原理和分步计数原理．
5 种 方
a3 a4 a5
10.1分类加法记数原理与分步乘法计数原理
【解析】分类完成此事，如果选女生，有3种选法；如果选男
生，有2种选法.由分类加法计数原理可知，共有3+2=5种选法.
答案：5
4．将4封信投入3个邮箱，有______种不同的投法.
【解析】分四步：每一封信都有3种不同的投法，由分步乘法 计数原理，共有3×3×3×3＝81(种). 答案：81
考向 2
分步乘法计数原理
【典例2】(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不
相邻的选法共有(
(A)8种
)
(C)16种 (D)20种
(B)12种
(2)用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区
域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻
区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方
法？
【思路点拨】(1)可分两步完成此事，第一步选两个不相邻的
涂B有４种方法；涂C有3种方法； 涂D有3种方法(D与A可以同色). 由分步乘法计数原理得，共有5×4×3×3=180(种).
【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需 要几个步骤，且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定 的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这 是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积 就是完成事件的方法总数.
区别一
区别二
各步之间是相互依存 各类办法之间是互斥的、 的，并且既不能重复 并列的、独立的 也不能遗漏
2.应用两个计数原理的“两个”注意点
(1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步 .在 分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列 出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化 .
10.1分类计数原理和分步计数原理
强调:1 加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但 也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互 斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选 择其中的一类办法中的某一种方法.若完成某件事 情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全 集. 强调:2乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去 C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少 种不同的走法?
北 北
中 南
A村
B村
南
C村
从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不 同的方法。
例题2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数
字的两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
课堂练习: 2.如图,一条电路在从A处到B处接通时,共有 多少条不同的线路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三 类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
甲地 乙地
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
丁地
丙地
请同学们回答下面的问题 1. 本节课学习了那些主要内容？ 答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同 点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共 有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式 不同, 加法原理是“分类完成”, 即任何一类办 法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原 理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个 步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这 件事情。这也是本节课的重点。
§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数理
变式训练 3
如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并 使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用,求 不同的染色方法总数. 方法三 按所用颜色种数分类． 第一类:5种颜色全用,共有 A 5 种不同的方法; 5 第二类:只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C, 或B 与D),共有2× A 5 种不同的方法；
r
n r
b
r
对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和 C
0 2 1
0 n
Cn 2
n
n
Cn Cn Cn Cn 2
3
n1
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要点梳理
忆一忆知识要点
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的 区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法 相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事; 分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
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主页
预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!
A组
专项基础训练题组
一、选择题
题号 答案
二、填空题
4. 48
5. 40
1 C
2 C
3 D
6. 2880
主页
三、解答题
变式训练 3
解:方法二 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点 染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法 计数原理即可得出结论． 由题设, 四棱锥S—ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不 相同,它们共有5×4×3＝60(种)染色方法． 当S, A, B染好时,不妨设其颜色分别为1, 2, 3, 若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法； 若C染4，则D可染3或5，有2种染法； 若C染5，则D可染3或4，有2种染法． 可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法， 故不同的染色方法有60×7＝420(种)．
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：基本计数原理
§10.1基本计数原理考试要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识梳理基本计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事，如果有n 类办法，且：第一类办法中有m 1种不同的方法，第二类办法中有m 2种不同的方法……第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n 个步骤，且：做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．常用结论两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)教材改编题1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A．16B．13C．12D．10答案C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种)．2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种答案B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．3．由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有()A．10条B．8条C．6条D．4条答案C解析由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法．所以所求路线共有3×2＝6(条)．题型一分类加法计数原理例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种)．(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．答案240解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．思维升华使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．跟踪训练1(1)(2023·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有()A．3种B．6种C．7种D．8种答案C解析由题意得，三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆．一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种)．(2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．答案9解析对子集A分类讨论：当A是二元集{1,2}时，B可以为{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4种情况；当A是三元集{1,2,3}时，B可以为{1,2,4}，{1,2}，共2种情况；当A是三元集{1,2,4}时，B可以为{1,2,3}，{1,2}，共2种情况；当A是四元集{1,2,3,4}时，B取{1,2}，有1种情况．根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．题型二分步乘法计数原理例2(1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有()A．12种B．24种C．72种D．216种答案A解析先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法．(2)(多选)(2022·武汉模拟)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是()A．共有43种不同的安排方法B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种答案ABD解析对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确．思维升华利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．跟踪训练2(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种答案D解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法．(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是()A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种答案AD解析对于A，B，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，D，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有4种选择，第3个社团有4种选择，根据分步乘法计数原理知共有43种结果，D正确，C错误．题型三基本计数原理的综合应用例3(1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()A．14B．23C．48D．120答案C解析分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48.(2)(2023·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________．答案80解析5日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)用车方案，共计12＋8＝20(种)用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.思维升华利用基本计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．跟踪训练3(1)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12(种)选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14(种)选择方式．(2)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为()A．480B．600C．720D．840答案C解析依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(种)，若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(种)，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(种)．课时精练1.小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．9B．21C．12D．8答案D解析由图形可以看出，从A→B，可以分成两种情况，A→D→B或A→C→B，这两类方法中各自包含的单位时间内通过的信息量分别是5,3，根据分类加法计数原理可知，传递的最大信息量为5＋3＝8.2．(2023·济宁模拟)某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有()A．4种B．6种C．8种D．12种答案B解析根据题意得，分两步进行分析：①小明必选化学，则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3×2＝6(种)．3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8答案D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．4．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为()A．8B．10C．15D．20答案B解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一个位置有5种排列方法，不妨假设是金，则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放，有2种选择，不妨假设排的是水，则第三个位置只能排木，第四个位置只能排火，第五个位置只能排土，因此，总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10.5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有() A．360种B．50种C．60种D．90种答案B解析第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)；第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．6．(2023·宿州模拟)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为()A．12B．24C．36D．48答案C解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．7．用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为()A．180B．240C．420 D.480答案C解析以末位数字进行分类：当末位数字为0时，共有6×5×4＝120(个)；当末位数字是2,4,6中的某个数时，共有3×5×5×4＝300(个)，故共有120＋300＝420(个)不同的数字．8．(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是()A．选1人为负责人的选法种数为34B．每组选1名组长的选法种数为5400C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种答案AD解析对于A,4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，A对；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040(种)，B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同的选法有64－27＝37(种)，D对．9.如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．答案40解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形，共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形，共有8个．由分类加法计数原理可知，共有32＋8＝40(个)．10．(2023·保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：数字123456789方式纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，知“”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．答案62114解析由题意，结合表格中的数据和图形，知“”表示的三位数为621；共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，①当个位数为5时，不符合题意；②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，若百位有1根，十位有4根，则共有1×2＝2(个)三位数；若百位有2根，十位有3根，则共有2×2＝4(个)三位数；若百位有3根，十位有2根，则共有2×2＝4(个)三位数；若百位有4根，十位有1根，则共有2×1＝2(个)三位数；若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数．所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(个)三位数．11.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是()A．48B．54C．72D．108答案C解析设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区．第一步给①区涂色，有4种涂色方法．第二步给②区涂色，有3种涂色方法．第三步给③区涂色，有2种涂色方法．第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法．若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(种)涂色方法．12．(2022·怀化模拟)世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为________．答案64解析因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝48，因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因此比赛进行的总场数为48＋16＝64.13．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有() A．23种B．24种C．32种D．33种答案D解析不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得G>A>B，且G，A，B 在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28(种)排法；(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类加法计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28＋5＝33(种)．14．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时，各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理可知，值为1942的“简单的”有序数对的个数为2×10×5×3＝300.。
10.1分类计数原理与分步计数原理⑵
解答问题的一般思维程序: 解答问题的一般思维程序: 怎样才算完成这件事
完成这件事是方法的分类,还是过程的分步. 完成这件事是方法的分类,还是过程的分步.
选择加法原理或乘法原理进行解答
2010-5-9
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
5
例题讲解 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位 例1.在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位 在所有的两位数中 数共有多少个? 数共有多少个? 解法1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成 类,在每一类 分成8类 在每一类 解法 按个位数字是 分成 中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 , 则根据 则根据分类计 个 个 个 个 个 个 说明:本题是用分类计数原理解答的, .则根据分类计 说明:本题是用分类计数原理解答的个结合本题可加深 数原理共有 数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个). 做一件事,完成之可以有n类办法 个 类办法"的理解, 对"做一件事,完成之可以有 类办法"的理解,所谓
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探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
发现新知
分类计数原理: 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案 中有种不同的方法，在第2类方案中有种不 同的方法. 那么完成这件事共有
N mn
种不同的方法.
知识应用
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业那么他共有多少种选择呢？ 变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
综合应用
例4. 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本 不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取 法？ ②从书架的第 1 、 2 、 3 层各取 1 本书，有多 少种不同的取法？
当堂检测
1、一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品 有7种，要买1台这种型号的电视机，有（ ）种不同的选法. A 、4 B、7 C、11 D、28 2、4名同学报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的 报名方法种数（ ） A．24 B ．4 C． 4 3 D． 3 4 3、一只青蛙在三角形ABC的三个顶点之间跳动，若此青蛙从A点起 跳，跳4次后仍回到A点，则此青蛙不同的跳法的种数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 4、教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有 （ ） 25 种 A．10种 B． Ｃ．5 2种 Ｄ．2 4 种
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 1步选男 生．第2步选女生．
三、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问 题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类” 问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相 互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何 一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事， 是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分 步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤 相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件 事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事， 是合作完成.
10.1计数原理
一、分类加法计数原理
（1）提出问题 问题1.1：某职校14电子商务1班有65人，14电子商务2班有
64 人，现在要从两个班当中选一名同学，把老师手上唯一一 张电影票送给他，一共有多少种选法？
问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果
一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工 具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
一般归纳：分类计数原理 完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法 中有种不同的方法，在第2类办法中有种不 同的方法……在第n类办法中有种不同的方 法.那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
种不同的方法，它又称为加法原理。
例2.某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小 组，甲组9人，乙组11人，丙组10人，丁 组9人，现要求该班选派一人参加某项活动， 问有多少种不同的选法？
5、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班， 有 种不同的选法. 6、某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中 前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数 字，那么这个电话局最多有 个. 7、用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16 中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数. 8、有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓 球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数 是 . 9、将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．
二、 分步乘法计数原理
（1）提出问题 问题2.1：从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到
丙地，再从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有 3班，汽车有2班，那么从甲地到乙地共有多少种 不同的走法？
分析：这个问题与问题1.1不同，在问题1.1中，采用乘火车或乘
汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地。而在这个问题中，必 须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地。
发现新知
分步计数原理： 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1 步有种不同的方法，做第2步有种不同的方 法……做第n步有种不同的方法.那么完成 这件事共有 N m1 m2 mn
种不同的方法.它又称为乘法原理。
例3.设某班有男生30名，女生24名. 现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛， 共有多少种不同的选法？