2016-2017学年高中数学苏教版选修4-4学业分层测评：第四章 参数方程 11 Word版含答案
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化
4．4．4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化1．参数方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，就叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的范围保持一致．[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t ，y ＝2t＋2－t (t 为参数)． [对应学生用书P19] [对应学生用书P19][思路点拨] 分析参数方程的结构特征，恰当地选择方法消去参数． [精解详析] (1)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16.它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x 5)2＋(y4)2＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1. 它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)∵x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，∴y 2－x 2＝4.又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法，但要注意等价性，要先由参数范围求出x ，y 范围后再消参．2．普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x ，y 中之一的函数关系，对同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.2．根据下列条件求椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程：(1)设y ＝sin θ，θ为参数； (2)设x ＝2t ，t 为参数．解：(1)把y ＝sin θ代入椭圆方程，得到x 24＋sin 2θ＝1，于是x 2＝4(1－sin 2θ)＝4cos 2θ，即x ＝±2cos θ，由于θ具有任意性，sin θ与cos θ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x ＝2cos θ.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(2)把x ＝2t 代入椭圆方程，得到4t 24＋y 2＝1.于是y 2＝1－t 2，即y ＝±1－t 2.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－t 2，(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－1－t 2，(t 为参数).[例2] 求经过点0[思路点拨] 写出直线的普通方程，选择恰当参数得参数方程． [精解详析] 如图，由题意知，直线的普通方程是y ＋1＝(x －2)tan α，直线方程可化为y ＋1sin α＝x －2cos α.令y ＋1sin α＝x －2cos α＝t ，选择t 为参数， 得直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．其中参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量．1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．对于上述参数方程要注意以下几点：(1) 参数方程中α、x 0、y 0都是常数，t 是参数且α是直线的倾斜角．(2)参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量，|t |表示直线上的动点M 到定点M 0的距离．(3)若令a ＝cos α，b ＝sin α，则直线方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，(t 为参数)且a 2＋b 2＝1，b ≥0.3．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角．解：法一：直线的斜率k ＝－cos 20°sin 20°＝－sin 70°cos 70°＝－tan 70°＝tan 110°. ∴倾斜角为110°.法二：将方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝－(x －3)tan 70°，即y ＝(x －3)tan 110°， ∴倾斜角为110°.法三：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋(－t )cos 110°，y ＝(－t )sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°(t ′为参数)．∴直线的倾斜角为110°.4.(湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解：先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意.[例3](1)x 2＋y 2＝9；(2)(x －2)2＋(y －3)2＝9.[思路点拨] 联想三角函数选择角为参数可求参数方程．[精解详析] (1)如图，设M (x ，y )为圆上任一点，射线Ox 轴逆时针旋转到OM 形成的角为α，取α为参数．则圆x 2＋y 2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数 )．(2)设x －2＝cos α，y －3＝sin α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α. 因此圆(x －2)2＋(y －3)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．1．圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．2．圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．3．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，可以根据条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：由x 2＋y 2－x ＝0，得⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， 即圆的半径r ＝12.∵OP ＝2r ·cos θ＝cos θ， ∴x ＝OP ·cos θ＝cos 2θ，y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．6.如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹的参数方程．解：设点M (x ，y )．∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2，(θ为参数)．即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)．1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数． [对应学生用书P21]解：直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆的普通方程为x 2＋y 2＝32， 圆心到直线的距离d ＝22＜3， 故直线与圆的交点个数是2.3．已知A ＝{(x ，y )|x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，α为参数}，B ＝{(x ，y )|x ＝t ＋3，y ＝3－t ，t 为参数}，且A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，得x 2＋(y －m )2＝2cos 2α＋2sin 2α＝2. 所以A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －m )2＝2}．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t ，得x ＋y ＝6， 所以B ＝{(x ，y )|x ＋y －6＝0}． 因为A ∩B ≠∅，所以|m －6|2≤2，解得4≤m ≤8.4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，求此直线的倾斜角α.解：直线化为：y ＝x ·tan α， 圆化为：(x －4)2＋y 2＝4，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于2，如图， ∴sin α＝24＝12，α＝π6或56π.5．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围．解：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ即为圆(x －2)2＋y 2＝1.∵直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点， ∴圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1. 解得2－2<b <2＋ 2.即b 的取值范围为(2－2，2＋2)．6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由x ＝1＋2t ，得t ＝x －12，代入y ＝t 2，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .7．圆的方程是x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0. (1)若a 是参数，θ是常数，求圆心的轨迹； (2)若θ是参数，a 是常数，求圆心的轨迹． 解：将方程x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0配方，得(x －a cos θ)2＋(y －a sin θ)2＝a 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，①y ＝a sin θ.②(1)若a 是参数，θ是常数，当cos θ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ表示直线x ＝0.当cos θ≠0，由①，得a ＝xcos θ .③把③代入②，得y ＝xcos θ·sin θ＝tan θ·x .所以轨迹是过原点，斜率为tan θ的直线． (2)若θ是参数，a 是常数， ①2＋②2，得x 2＋y 2＝a 2.由于a ≠0，所以轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．解：法一：由题设可知l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，设P (2cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎡⎦⎤4－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值，此时θ＝2k π＋π4(k ∈Z )，所以2cos θ＝2cos π4＝2，sin θ＝sin π4＝22.所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫2，22. 法二：设与直线l 平行的直线l 1方程为x ＋2y ＝m ，当l 1与C 只有一个公共点且l 1与l 距离最小时，l 1与C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.将x ＋2y ＝m 代入此方程，消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.由题意，Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，解得m ＝±2 2.l 1与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P的坐标为⎝⎛⎭⎫2，22.。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程
选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源”与“流”设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)，求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ； 第二步，根据角θ的正切值tan θ＝yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． [解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， 得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．[考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcosθ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式， 得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. [全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡 1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 第二节 参数方程突破点(一) 参数方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与普通方程的互化1．参数方程化为普通方程本节主要包括2个知识点：1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0.当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： 第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k 1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6， 所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y－3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．[考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1， 所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0.(2)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32. 6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. [课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2017·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝。
高中数学苏教版高二选修4-4学业分层测评：第四章参数方程12有答案
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值． 【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得 s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. AB ＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OP A ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P 与A 不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)，b 2a 2＝cos θ1＋cos θ，c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)， 所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ， 令y ＝0， 则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， 令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|.∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116， 故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值． 【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈0,2π)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122sin (θ＋π4)＋18|5＝122sin (θ＋π4)＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225.能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】 直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6sin (θ－π4)＋362∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26， 当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.3 参数方程的应用
4．4.3 参数方程的应用1．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆＋＝1(a >b >0)的一个参数方程是(Æ为参数)．2．圆心为(a ，b )、半径为r 的圆的参数方程为(¸为参数)．3．过定点M (x 0，y 0)倾斜角为±的直线的参数方程为(t 为参数)．4．利用曲线的参数方程可解决变量的范围或最值问题；利用参数思想可解决求曲线、轨迹方程的问题．利用参数方程研究最值或范围问题[例1]P 到直线l 的距离的最大值．[思路点拨] 化直线参数方程为普通方程，设出椭圆的参数方程后建立距离d 的函数关系，利用三角知识求最值．[精解详析] 直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0.因为P 为椭圆＋y 2＝1上任一点，所以可设P (2cos ¸，sin ¸)，其中¸∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝＝，所以当¸＝k À＋，k ∈Z 时，d max ＝.由于椭圆或圆上点的坐标都能描述为参数¸的三角函数，故涉及椭圆、圆有关的最值问题，可以利用参数方程设出曲线上点的坐标，进而转化为三角函数求最值问题，利用三角函数的有界性求解．1．(新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线l ：(t 为参数)．[对应学生用书P22][对应学生用书P23](1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为(¸为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ¸，3sin ¸)到l的距离为d＝|4cos ¸＋3sin ¸－6|.则|PA|＝＝|5sin(¸＋±)－6|，其中±为锐角，且tan ±＝.当sin(¸＋±)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(¸＋±)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.2．已知直线l：(t为参数，±为倾斜角，且±≠)与曲线＋＝1交于A，B两点．(1)写出直线l的普通方程及直线l通过的定点P的坐标；(2)求PA·PB的最大值．解：(1)∵(t为参数，±为倾斜角且±≠)，∴＝＝tan ±，∴直线l的普通方程为x tan ±－y－2tan ±＝0.直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．(2)把代入椭圆的方程＋＝1，得3(2＋t cos ±)2＋4(t sin ±)2－48＝0，即(3＋sin2±)t2＋12cos ±·t－36＝0.设A(2＋t1cos ±，t1sin ±)，B(2＋t2 cos ±，t2sin ±)，则PA＝|t1|，PB＝|t2|∴PA·PB＝|t1t2|＝.∵0≤±< À，且±≠，∴0≤sin2±<1，∴PA·PB的最大值为12.参数法求轨迹方程[例2] 如图，已知圆的方程为x2＋y2＝，椭圆的方程为＋＝1，过原点的射线交圆于A点，交椭圆于B点，过A、B分别作x轴和y轴的平行线，求所作两直线交点P的轨迹方程．[思路点拨] 根据A在圆上，B在椭圆上，设出A，B的坐标，得到P的坐标(用参数表示)，消去参数得P的轨迹方程．[精解详析] 设A，B(5cos ¸，4sin ¸)，P(x，y)．则由O、A、B三点共线，知k OA＝k OB，从而得tan ±＝tan ¸.③由①得tan2¸＝.④由②得tan2±＝.⑤将③两边平方得tan2±＝tan2¸.⑥把④⑤代入⑥化简整理得所求轨迹方程为：8x2＋9x2y2＋400y2＝200.在求曲线的轨迹方程时，常根据需要引入一个中间变量即参数，将x，y表示成关于该参数的函数，这种方法是参数法．特别是当动点的轨迹由圆锥曲线上的点来决定时，则可以利用椭圆、圆的参数方程表示出这一点的坐标，从而建立动点与该点的联系，求得动点的参数方程，最后消去参数即得动点的轨迹方程．3．求由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹．解：将方程变形为(x－2t)2＋(y－t)2＝4，∴这组圆的圆心坐标为(2t，t)．令⇒x－2y＝0.故轨迹为直线x－2y＝0.4．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝±与t ＝2±(0<±<2 À)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程．(2)将M到坐标原点的距离d表示为±的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P(2cos ±，2sin ±)，Q(2cos 2±，2sin 2±)，因此M(cos ±＋cos 2±，sin ±＋sin 2±)．故M的轨迹的参数方程为(±为参数，0<±<2 À)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<±<2 À)．当±＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.参数方程在实际问题中的应用[例3] 在一次军事演习中，一轰炸机以150 m/s的速度作水平直线飞行，在离地面飞行高度为490 m时向目标投弹(不计空气阻力，重力加速度g＝9.8 m/s2，炸弹的初速度等于飞机的速度)，求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程．[思路点拨] 炸弹离开飞机后作平抛运动，可以选择时间作为参变数，将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来．[精解详析] 如图，建立平面直角坐标系，设A为投弹点，B为轰炸目标，由于已知炸弹运动的水平速度和垂直速度，所以可以以时间t为参数，建立参数方程．设曲线上任意一点的坐标为(x，y)，其对应的时刻为t，则有又由y≥0，得t≤10，所以参数方程为(t为参数，0≤t≤10)．1．某些实际问题中，动点的坐标x，y之间的关系不易直接得到，但可发现x，y的变化受另一变量(如时间、速度、角度等)的制约，这时可选择这一变量为参数，求轨迹的参数方程，消去参数即可得普通方程．2．对于实际问题中的有关计算，我们可以利用坐标法，建立曲线的参数(普通)方程，利用曲线的参数(普通)方程和几何性质进行推理、运算．解答中常采用“建模、运算、回答”三步走．5.某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由．解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的参数方程为(t为参数)．由于点(3，－3)在抛物线上，代入参数方程可解得t＝－1，p＝－，所以抛物线参数方程为(t为参数)．又箱宽3米，故当x＝1.5时，y＝－0.75，即B(1.5，－0.75)，那么B点到底的距离为5－0.75＝4.25米，而车与箱的高为4.5米，故不能通过．6．已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)．(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．解：(1)令y＝0，即2t sin－gt2＝0，∴t1＝0，t2＝≈0.204，即从发射到落地需0.204.(2)y＝2t sin －gt2＝－x2＋x，是开口向下的抛物线，∴y max＝≈0.051，即最大高度为0.051.[对应学生用书P25]1．已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，试求z＝2x－y的最大值．解：设点P(4cos ¸，2sin ¸)，则z＝2x－y＝8cos ¸－6sin ¸＝10sin(¸＋±)≤10，所以z max＝10.2．直线与抛物线y2＝4x交于两个不同的点P，Q.已知A(2,4)，求：(1)AP＋AQ的值；(2)PQ的长．解：已知直线的斜率为－1，故直线的倾斜角为135°，故(t′为参数)，代入y2＝4x，得t′2＋12t′＋16＝0.故有t1′＋t2′＝－12，t1′t2′＝16.(1)AP＋AQ＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t′2|＝12.(2)PQ＝|t1′－t2′|＝＝4.3．已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心的轨迹方程．解：由于动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为(6cos ¸，3sin ¸)，由于点C不与A，B重合，故¸∈∪.设△ABC的重心G的坐标为(x，y)．依题意，知A(6,0)，B(0,3)，由三角形的重心坐标公式，得即(¸为参数)．其中¸∈∪，这就是重心G的参数方程，消去参数¸，得＋(y－1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外，所以△ABC的重心的轨迹方程为＋(y－1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外．4．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值．解：设(0≤¸≤2 À)，于是u＝x2＋2xy－y2＝4cos2¸＋8cos ¸sin ¸－4sin2¸＝4cos 2¸＋4sin 2¸＝8sin.所以，当¸＝，x＝，y＝1时，或¸＝，x＝－，y＝－1时，u max＝8；当¸＝，x＝－1，y＝时，或¸＝，x＝1，y＝－时，u min＝－8.5．经过点M(，0)作直线l，交曲线C：(±为参数)于A，B两点，若MA，AB，MB成等比数列，求直线l的方程．解：根据题意，设直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C：化成普通方程得x2＋y2＝4，将代入x2＋y2＝4得(＋t cos ¸)2＋t2sin2¸＝4，化简整理得t2＋2t cos ¸＋6＝0，设A(＋t1cos ¸，t1sin ¸)，B(＋t2cos ¸，t2sin ¸)，则t1＋t2＝－2cos ¸，t1t2＝6.由题意得AB2＝MA·MB，而AB2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝40cos2¸－24，MA·MB＝|t1t2|＝6，∴40cos2¸－24＝6，解得cos ¸＝±，∴sin ¸＝±，k＝tan ¸＝±，所求直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋，即x－y－＝0或x＋y－＝0.6.已知椭圆＋y2＝1和点P，过点P作椭圆的弦AB，使点P是此弦的一个三等分点，求弦所在直线的方程．解：设直线AB的方程为(t为参数)，代入方程＋y2＝1，化简得(1＋sin2±)t2＋t cos ±－＝0.(*)由t的几何意义知，方程(*)的两根t1，t2满足因为P是AB的一个三等分点，所以t1＝－2t2.③由①和③，解得t2＝，由②和③，得t1t2＝－2t.所以－＝，所以7(1＋sin2±)＝8cos2±，即7(sin2±＋cos2±＋sin2±)＝8cos2±.因为cos ±≠0，所以tan2±＝，所以k＝tan ±＝±.所以弦AB的方程为y＝±.7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为(t为参数)，当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？解：由题知椭圆的标准方程为＋x2＝1.由直线l的参数方程(t为参数)，得令t′＝t，则得直线的参数方程的标准形式(t′为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m)的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t′2＋4mt′＋5m2－20＝0.设方程的两根分别为t′1，t′2，则根据根与系数的关系，有t′1＋t′2＝－，t′1·t′2＝.∴弦长为|t′1－t′2|＝＝，∴m2＝，解得m＝±.8．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(¸为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到C3：(t为参数)距离的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，设Q(8cos ¸，3sin ¸)，故M.C3的参数方程化为普通方程是x－2y－7＝0，C3是一条直线，则M到C3的距离d＝|4cos ¸－3sin ¸－13|＝|5cos(¸＋Æ)－13|.从而当cos(¸＋Æ)＝1时，d取最小值.。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学苏教版高二选修4-4学业分层测评：阶段综合测评1有答案
阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－9π5，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，11π5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，4π5，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，6π5的四点中，与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π5表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3)3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 35．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2 312．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0， 故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855.【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【导学号：98990025】【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ).所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ)＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2，当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)． 弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ）A ．3)4πB ．5()4π-C ．5(3,)4πD ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是（ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是 。
高中数学(苏教版 选修4-4)学业分层测评4 曲线的极坐标方程的意义 Word版含答案
学业分层测评(四)(建议用时：分钟)[学业达标]．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：()射线＝(≤)；()圆＋＋＝(≠)．【解】()将＝ρθ，＝ρθ代入＝，得ρθ＝ρθ，∴θ＝，∴θ＝或θ＝.又≤，∴ρθ≤，∴θ＝，∴射线＝(≤)的极坐标方程为θ＝(ρ≥)．()将＝ρθ，＝ρθ代入＋＋＝，得ρθ＋ρθ＋ρθ＝，即ρ(ρ＋θ)＝，∴ρ＝－θ，∴圆＋＋＝(≠)的极坐标方程为ρ＝－θ.．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：()ρ＝θ)；()ρ＝θ.【解】()由ρθ＝，得＝. ()＋＝(≠)，即(＋)－＝(≠)．又在极坐标方程ρ＝θ中，极点()也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是(＋)－＝.．已知曲线的极坐标方程为ρ＝θ，曲线的极坐标方程为θ＝(ρ∈)，曲线，相交于，两点．()把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；()求弦的长度．【导学号：】【解】()曲线：θ＝(ρ∈)表示直线＝；曲线：ρ＝θ化为直角坐标方程，即＋＝，即(－)＋＝.()因为圆心()到直线的距离＝，＝，所以弦长＝.．求点到直线：ρ＝－的距离．【解】(，)的直角坐标为(，)，：ρ(θ－)＝－，ρ( θ－θ)＝－.即：－－＝.故(，)到：－－＝的距离为＝.．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线的极坐标方程为ρ＝，、分别为与轴，轴的交点．()写出的直角坐标方程，并求、的极坐标；()设的中点为，求直线的极坐标方程．【解】()由ρ(θ－)＝得ρ( θ＋θ)＝，即＋＝，当θ＝时，ρ＝，所以()．当θ＝时，ρ＝，所以(，)．()∵的直角坐标为()，的直角坐标为(，)．∴的直角坐标为(，)，的极坐标为(，)．所以直线的极坐标方程为θ＝(ρ∈)．．在平面直角坐标系中，已知点()，是圆＋＝上的一个动点，且∠的平分线交于点，求点的轨迹方程．【解】以圆心为极点，轴正方向为极轴，建立极坐标系，设(ρ，θ)，(θ)．因为△＋△＝△.即··ρ·θ＋··ρ·θ＝···θ.整理得：ρ＝θ.．在极坐标系中，圆：ρ＝θ和直线：ρθ－ρθ－＝相交于、两点，求线段的长．【解】分别将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程：圆：＋＝，即(－)＋＝，圆心()；。
2016-2017学年高中数学苏教版选修4-4学业分层测评4 曲线的极坐标方程的意义 含解析
学业分层测评（四）(建议用时：45分钟）[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1）射线y＝3x（x≤0）；（2)圆x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）．【解】(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x，得ρsin θ＝错误!ρcos θ，∴tan θ＝错误!，∴θ＝错误!或θ＝错误!。
又x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ＝错误!，∴射线y＝错误!x(x≤0)的极坐标方程为θ＝错误!（ρ≥0）．（2）将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0,∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程:（1)ρ＝错误!；（2）ρ2＝tan θ。
【解】（1）由ρcos θ＝5,得x＝5。
（2）x2＋y2＝错误!（x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0）．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点（0，0）也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x（x2＋y2）－y＝0。
3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ＝错误!（ρ∈R），曲线C1,C2相交于A,B两点．（1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦AB的长度．【导学号：98990011】【解】(1）曲线C2：θ＝π4（ρ∈R）表示直线y＝x；曲线C1:ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x,即(x－3)2＋y2＝9。
(2)因为圆心C1（3，0）到直线的距离d＝错误!,r＝3,所以弦长AB ＝3错误!。
4．求点A错误!到直线l：ρsin错误!＝－2的距离．【解】A（2，错误!）的直角坐标为（1,错误!），l：ρsin（θ－错误!）＝－2,ρ(错误!sin θ－错误!cos θ)＝－2.即: x－错误!y－4＝0。
苏教版数学高一苏教版选修4-4测试 4.4 参数方程 2
《参数方程》平行性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎫2016，5π3表示的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（2） 在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线方程是 （A ）ρsin θ＝1 （B ）ρsin θ＝ 3（C ）ρcos θ＝1 （D ）ρcos θ＝ 3（3） 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为 （A ）抛物线的一部分 （B ）一条抛物线（C ）双曲线的一部分 （D ）一条双曲线（4） 极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（5） 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为 （A ）2 （B ）9π42+ （C ）9π12+（D ） 3 （6） 已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7） 若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于 （A ）2或－8 （B ）6或－4（C ）－2或8 （D ）4或－6（8） 已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（A ） 2 （B ）－ 2 （C ）0 （D ）± 2（9） 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，点P 在该直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，则在参数方程中点P 对应的t 值为（A ）±1 （B ）0 （C ）±12 （D ）±32（10） 如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（A ）(－22，0) （B ）(0，22)（C ）(－22，0)∪(0，22) （D ）(1，22)（11） 已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为（A ）13 （B ）15 （C ）－13 （D ）－15（12） 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为（A ）[5，5] （B ）[－5，5]（C ）[－5，－5] （D ）[－5，5] 二、填空题：本大题4小题，每小题5分．（13） 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB是等边三角形，则a 的值为________．（14） 极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．（15） 在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点P 是曲线ρsin 2θ＝4cos θ上任意一点，设点P 到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值为________．（16） 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，且点M 的横坐标是3，则p 等于________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） （本小题满分10分） 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ (θ为参数)，直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π． （Ⅰ）写曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．（18） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (-1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；（Ⅱ）设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．（19） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρ＝1cos θ－2asin θ． （Ⅰ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值；（Ⅱ）点P 在圆C 上移动，Q 为线段OP 的中点，求点Q 的轨迹的极坐标方程．（20） （本小题满分12分） 已知椭圆C ：1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2||||||OR OP OQ =⋅．当点P 在l 上移动时，求直角坐标下，动点Q 的轨迹方程．（21） （本小题满分12分）曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6．（Ⅰ）求曲线C 2的普通方程和直线l 的直角坐标方程．（Ⅱ）若P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值和最大值．（22） （本小题满分12分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3π,2(． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标．（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．《坐标系与参数方程》平行性测试卷参考答案一、选择题（1） D ．解析：由于x ＝ρcos θ＝2016cos 5π3＝1008，y ＝ρsin θ＝2016sin 5π3＝－10083， 故点(1008，－10083)位于第四象限．（2） A ．解析：先将极坐标化成直角坐标表示，由P (2，π6)得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1．（3） A ．解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0，1]，y ∈[－1，1]，∴是抛物线的一部分．（4） C ．解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π．ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线．（5） D ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧ x ＝2cos π3，y ＝2sin π3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可知点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)与点(1，3)之间的距离为3．（6） D ．解析：将抛物线的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4．（7） C ．解析：将曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程，得x 2＋y 2＝5，因为直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，所以|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8． （8） D ．解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2． （9） A ．解析：由题意知－4＋t ＋42＋t －02＝2，解得t ＝1或t ＝－1．（10） C ．解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0．（11） D ．解析：⊙C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1，1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15． （12） D ．解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos φ＋35sin φ＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]． 二、填空题（13） 3．解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A ⎝⎛⎭⎫±a 3，a ，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3． （14） 1．解析：由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1．因为ρcos θ＝－2，所以x ＝－2，易知圆心(0，1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，所以|AB |min ＝1．（15） 2．解析：依题意，点A 的直角坐标是(0，1)，曲线ρsin 2θ＝4cos θ的直角坐标方程是y 2＝4x ，该抛物线的焦点F (1，0)，准线方程是x ＋1＝0；直线ρcos θ＋1＝0的直角坐标方程是x ＋1＝0，它是抛物线y 2＝4x 的准线；因此点P 到直线x ＋1＝0的距离d ＝|PF |，结合图形可知，|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝2，当点P 是线段AF 与抛物线y 2＝4x 的交点时取等号，因此|PA |＋d 的最小值是2．（16） 2．解析：由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，p >0， 可得曲线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)，∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为－p 2，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为3－p 22，与F 的横坐标p 2相同． ∴3－p 22＝p 2，∴p ＝2． 三、解答题（17） 解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)， 得普通方程为(x -1)2+(y -2)2=16，即x 2+y 2-2x -4y -11=0．………………………3分直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π， 所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235,213(t 是参数)．…………………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入x 2+y 2-2x -4y -11=0，整理，得t 2+(2+33)t -3=0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=3．……………10分（18） 解：（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程ρ2-6ρcos θ+5=0化为直角坐标方程为x 2+y 2-6x +5=0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin ,cos 1t y t x (t 为参数)，将其代入x 2+y 2-6x +5=0， 整理得t 2-8t cos α+12=0．………………………………………………………3分因为直线l 与曲线C 有公共点，所以Δ=64cos 2α-48≥0，解得cosα≥23或cosα≤23-， 又因为α∈)π,0[，所以α的取值范围是π),65π[)6π,0[ ．……………6分 （Ⅱ）曲线C 的方程x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4，其参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 23y x (θ为参数）．……………………………8分 因为M (x ，y )为曲线C 上任意一点，所以x +y =3+2cos θ+2sin θ=)4πsin(223++θ， 所以x +y 的取值范围是]223,223[+-．……………………………12分（19） 解：（Ⅰ）将圆C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝2cos αy ＝2＋2sin α化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的圆心为C (0，2)，半径为2．………………………………2分将直线l 的极坐标方程ρ＝1cos θ－2asin θ化为直角坐标方程为x －2ay －1＝0． ………………………………………………………………………………4分由直线l 与圆C 相切得，圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－22a －1|1＋4a 2＝2， 解得a ＝28．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (x ，y )，因为Q 为线段OP 的中点，则P (2x ，2y )在圆C 上，……8分所以4x 2＋(2y －2)2＝2，即x 2＋y 2－2y ＝0，…………………………………10分将其化为极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………………………………12分（20） 解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程为：θθρ222sin 3cos 248+=，……………3分 直线l 的极坐标方程为：θθρsin 3cos 224+=．………………………………6分 （Ⅱ）在极坐标系下设点),(θρQ ，则ρ=||OQ ，θθsin 3cos 224||+=OP ，θθ222sin 3cos 248||+=OR ，………8分 由2||||||OR OP OQ =⋅， 得θθθθρ22sin 3cos 248sin 3cos 224+=+⋅，…………………………………10分 即)sin 3cos 2(2)sin 3cos 2(222θθρθθρ+=+，亦即0sin 6cos 4sin 3cos 22222=--+θρθρθρθρ，化为直角坐标方程，得0643222=--+y x y x ．……………………………12分 （21） 解：（Ⅰ）依题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 2y x (θ为参数)，…………2分所以C 2的普通方程为13422=+y x ；…………………………………………4分 直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6化为直角坐标方程为x -2y -6=0．……………………6分 （Ⅱ）设点P (2cos θ，3sinθ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离5|6)6πsin(4|5|6sin 32cos 2|---=--=θθθd ，……………………9分 所以当1)6πsin(-=-θ时，552m in =d ； 当1)6πsin(=-θ时，52max =d ． 故点P 到直线l 的距离的最小值为552，最大值为52．………………12分 （22） 解：（Ⅰ）由曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，所以曲线C 2是圆心在极点，半径为2的圆，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π，所以5π(2,)6B ，…………………………………………3分 由对称性得，直角坐标分别为)3,1(A ，)1,3(-B ，)3,1(--C ，)1,3(-D ．……………………………………………………6分（Ⅱ）由于P 为曲线C 1：2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩上任意一点，可设P (2cos φ，3sin φ)，则|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |22222)1sin 3()3cos 2()3sin 3()1cos 2(-+++-+-=ϕϕϕϕ22)3sin 3()1cos 2(++++ϕϕ22)1sin 3()3cos 2(++-+ϕϕ…………9分 .sin 203216sin 36cos 16222ϕϕϕ+=++=因为0≤sin 2φ≤1，得32≤32+20sin 2φ≤52，所以|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围是]52,32[．…………………………12分。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4单元测试4.4参数方程
单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内）1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A.(2,-7) B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1), 再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A.⎩⎨⎧==t y t x |,|B.⎩⎨⎧==ty t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x ∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B 中x=cost ∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=t t 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y-1=±21(x+2) B.y=±21xC.y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x-2) 思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcosθ+ysinθ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( ) A.2π-α B.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α. 答案：B8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( ) A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k ∈Z ).而x=3φ-3sinφ=6kπ.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x (a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-bλcosθ-aλsinθ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cotθ(x -at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________. 思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________. 思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36.答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sinφ=0,φ=2kπ(k ∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k ∈Z ),又r>0,所以k ∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值. v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cosθ=165时,|AC|取最小值为4153,cosθ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cosθ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cosθ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7. 15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A 、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF ⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程. 解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcosα)22)sin 1(2αt +=1, 即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cosα+2sinα)t+5=0.并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.由于M 是中点,所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0, 所以tanα=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。
2016-2017学年高中数学选修4-4学业分层测评 2.3 参数方程化成普通方程 含解析
学业分层测评（八)(建议用时:45分钟）[学业达标］一、选择题1。
将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为( ）A.y＝x－2 B。
y＝x＋2C。
y＝x－2（2≤x≤3）D。
y＝x＋2(0≤y≤1)【解析】把②式代入①式得x＝2＋y，即x－y－2＝0（2≤x≤3）.【答案】C2。
参数方程错误!（θ为参数）表示的曲线是（）A。
直线 B.圆C。
线段D。
射线【解析】由条件知x＋y＝1，又0≤cos2θ≤1，0≤sin2θ≤1,∴参数方程表示的曲线为线段。
【答案】C3。
参数方程错误!（0≤t≤5）表示的曲线是（)A。
线段B。
双曲线的一支C。
圆弧 D.射线【解析】消去t，得x－3y－5＝0。
∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24。
【答案】A4.参数方程错误!(α为参数）的普通方程为（）A。
y2－x2＝1B.x2－y2＝1C.y2－x2＝1(|x|≤错误!)D.x2－y2＝1（|x｜≤错误!）【解析】x2＝错误!2＝1＋sin α。
y2＝2＋sin α，∴y2－x2＝1.又x＝sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!∈[－错误!,错误!］,即｜x|≤2。
故应选C。
【答案】C5。
椭圆错误!（φ为参数)的焦点坐标为（)【导学号:12990029】A。
(－2,0）,（2，0) B.（0，－2），(0，2)C。
(0，－4),(0，4) D。
（－4,0)，(4,0)【解析】利用平方关系化为普通方程错误!＋错误!＝1，c2＝16,c ＝4,焦点在x轴上，∴焦点为（－4,0）,（4，0)，故选D.【答案】D二、填空题6.参数方程错误!（θ为参数）所表示的曲线的普通方程为________.【解析】y＝cos 2θ＝1－sin2θ＝1－2x2，y＝－2x2＋1（－1≤x≤1,－1≤y≤1)。
【答案】y＝－2x2＋1（－1≤x≤1,－1≤y≤1)7。
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为错误!（t为参数）错误!（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为________.【解析】C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)，C2的普通方程为x2＋y2＝2.由错误!得错误!∴C1与C2的交点坐标为（1,1）.【答案】（1,1）8。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4同步测控4.4.3参数方程的应用
同步测控我夯基,我达标1.已知动圆x 2+y 2-2axcosθ-2bysinθ=0（a 、b 是正常数，且a≠b ，θ为参数,θ∈［0,2π)），则圆心的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线的一部分D ．椭圆 解析：把圆的方程化为标准方程：(x-acosθ)2+(y-bsinθ)2=a 2cos 2θ+b 2sin 2θ，其圆心坐标为（acosθ,bsinθ），于是动圆圆心的轨迹方程为⎩⎨⎧==.sin ,cos θθb y a x 消去参数θ,可得2222b y a x +＝1，轨迹为椭圆． 答案：D2.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333,211(t 为参数）和圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,-3)B ．(-3,3)C ．(3,-3)D ．(3,-3) 解析：(1+21t)2+(-33+23t)2=16，得t 2-8t+12=0.∴t 1+t 2=8,221t t +=4，中点为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+-=⨯+=,42333,4211y x 即⎩⎨⎧-==.3,3y x 答案：D3.过点（1，1），倾斜角为135°的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长为（ ） A.522 B.524 C.2 D.523 解析：由题意，可设直线的参数方程为⎩⎨⎧+=-=,1,1t y t x 代入椭圆方程中，整理得到5t 2+6t ＋1＝0，|t 1-t 2|=54514)56(4)(221221=⨯--=-+t t t t ，故所求弦长为2|t 1-t 2|=524． 答案：B4.抛物线x 2-2y-2mx+m 2＋２＝6m 的顶点的轨迹方程是_______________．解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足⎩⎨⎧+-==,13,m y m x 消去参数m ，可得y=-3x+1，即3x+y －１＝0． 答案：3x+y －１＝0 5.求椭圆1162522=+y x 的内接矩形的最大面积． 思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解．解法一：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 4,cos 5(参数t ∈［0,2π)),设第一象限内椭圆上一点M(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t ．当t=4π时，面积S 取得最大值40．此时x=5cos 4π=225,y=4sin 4π=22． 因此，矩形在第一象限的顶点为（252,22）时,内接矩形的面积最大为40． 解法二：设点M(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则162522y x +=1，且x ＞０，y ＞０,即１＝(5x )2+(4y )2≥2×5x ×4y ， ∴xy≤10，当且仅当45y x =时取等号．由椭圆的对称性知内接矩形的面积为S=4xy≤40，也就是内接矩形的面积的最大值为40．6.求椭圆1812522=+y x 上的点到直线3x+4y －64＝０的最大、最小距离． 思路分析：利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．解：将椭圆普通方程化为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 9,cos 5y x （０≤θ<2π）,则椭圆上任一点P 的坐标可设为P(5cosθ,9sinθ)，于是点到直线3x+4y －６４＝０的距离为5|64sin 94cos 53|-⨯+⨯=θθd 5|64)sin(39|-+=ϕθ,其中tanφ=125, ∴d max =5103，此时sin(θ+φ)＝－１；d min ＝５，此时sin(θ+φ)＝１． 7.如图，已知点P 是圆x 2+y 2＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）,当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？思路分析：由于点M 为线段PA 的中点，点A 的坐标已知，点P 在已知圆上，故而点P 的坐标可以用参数θ表示，所以点M 的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段PA 的中点M 的轨迹方程，进而知道其轨迹．解：设点M 的坐标为(x,y)．由于圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 4y x (参数θ∈［0,2π))，故可设点P 的坐标为(4cosθ,4sinθ)．由线段中点的坐标公式,得点M 的轨迹参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 26y x (参数θ∈［0,2π)). ∴线段PA 的中点的轨迹是以点（６，０）为圆心、２为半径的圆．我综合,我发展8.已知A 、B 分别是椭圆193622=+y x 的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．思路分析：△ABC 的重心G 取决于△ABC 的三个顶点的坐标，为此需要把动点C 的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．解：由题意知A （6,0)、B(0,3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为（6cosθ,3sinθ），点G 的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=,3sin 330,3cos 606θθy x 即⎩⎨⎧+=+=.sin 1,cos 22θθy x 消去参数θ得到4)2(2-x +(y-1)2＝1. 9.过点P(210,0)作倾斜角为α的直线与曲线x 2+12y 2=1交于点M 、N ，求|PM|·|PN|的最大值及相应的α的值．思路分析：设出直线的参数方程，把|PM|·|PN|表示成α的函数．解：设直线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin ,cos 210t y t x (t 为参数),代入曲线x 2+12y 2=1中，整理得 (1+11sin 2α)t 2+(10cosα)t+23=0， 于是|PM|·|PN|=|t 1t 2|=α2sin 11123+． 所以当sin 2α=0，即α=0时，|PM|·|PN|的最大值为23，此时α=0． 10.已知点P(x,y)是圆x 2+y 2=2y 上的动点，（1）求2x+y 的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析：因为所求问题中涉及到圆x 2+y 2=2y 上动点P 的坐标x 与y 的关系，而二者的关系可用参数θ表示出来，故可设出圆的参数方程，从而把（1）求2x+y 取值范围的问题转化为求关于θ的函数的值域问题；对于（2）x+y+a≥0恒成立a≥-(x+y)恒成立a≥max{-(x+y)}. 解：（1）x 2+y 2=2y 化为标准方程为x 2+(y-1)2=1.设圆的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 1,cos y x (参数θ∈［0,2π)), 则2x+y=2cosθ+sinθ+1=5sin(θ+φ)+1,其中tanφ=2．∵－1≤sin(θ+φ)≤1，∴-5+1≤5sin(θ+φ)+1≤5+1．∴2x+y 的取值范围为［-5+1,5+1］．（2）x+y+a≥0恒成立a≥-(x+y)恒成立a≥max{-(x+y)}．而-(x+y)=-(cosθ+sinθ)-1=-2sin(θ+4π)-1, ∵－1≤sin(θ+4π)≤1， ∴-2-1≤-2sin(θ+4π)-1≤2-1, 即-(x+y)的最大值为2-1．由a≥-(x+y)恒成立，可知a≥2-1．11.已知点A （１，２），过点（５，－２）的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，试探讨△ABC 的形状．思路分析：直线与圆锥曲线的相交问题常常设出交点坐标，利用整体代入法解决问题． 解：由抛物线的参数方程，可设B(t 2,2t),C(s 2,2s),s≠t,s≠１,t≠1，则直线BC 的斜率为t s t s t s +2=--2222, 方程为y-2t=ts +2(x-t 2)． 因直线BC 过点（5，－2），代入上式，并整理得到（s+1）（t ＋１）＝－４． 因为k AB ·k AC =1222--t t ·1222--s s =)1)(1(4++t s =-1,所以AB ⊥AC ，从而△ABC 是直角三角形． 12.直线l ：y=2x+b 与椭圆12322=+y x 交于A 、B 两点，当b 变化时，求线段AB 中点M 的轨迹．解：设AB 中点M(x 0,y 0),直线l 的方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00t y y t x x (tanθ＝２，t 为参数）．代入椭圆方程,有2)sin (3)cos (2020θθt y t x +++＝１，可得 (2cos 2θ+3sin 2θ)t 2+2(2x 0cosθ+3y 0sinθ)t+220x +320y -6=0.设A 、B 对应的参数值分别为t 1、t 2，则有t 1+t 2＝０.又∵t 1+t 2=θθθθ2200sin 3cos 2)sin 3cos 2(2++y x ∴2x 0cosθ+3y 0sinθ＝０．又∵tanθ＝２，∴２x 0＋６y 0＝０，即x+3y ＝０．∴M 点的轨迹是直线x+3y ＝０在椭圆2322y x +＝１内部的一条线段． 13.已知椭圆方程为12222=+by a x ，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x （θ为参数，且0≤θ<2π），则P 点坐标为（acosθ,bsinθ），由题意知cosθ≠1，sinθ≠0．∵P Ak 1=αθθ+cos sin a b ，P A k 2=a a b -θθcos sin ， ∴Q A k 1=P A k 11-=θθsin )1(cos b a +-,Q A k 2=PA k 21-=θθsin )1(cos b a --． ∴A 1Q 的方程为y=)(sin )1(cos a x b a ++-θθ, ① A 2Q 的方程为y=θθsin )1(cos b a --(x-a). ② ①×②得y 2=)()(sin )1(cos 222222222a x ba a xb a --=--θθ． 化简整理得24222b ay a x +＝１即为所求的轨迹方程． 我创新，我超越14.当s 和t 取遍所有实数时，(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是多少？思路分析：观察所求式的结构，可以把它看作点（s ＋５，s ）与点（3|cost|,2|sint|）的距离的平方，而这两个点的轨迹都可以用参数方程的形式写出来．故本题可考虑数形结合，并利用参数方程求解．解：已知式可看作是点A （s ＋５，s ）到点B （3|cost|，2|sint|）的距离的平方，由点A （s＋５，s ）得⎩⎨⎧=+=.,5s y s x 消去参数s 得直线l ：x-y －５＝０．由点B(3|cost|,2|sint|)，得⎩⎨⎧==.|sin |2|,cos |3t y t x 消去参数t ，得曲线C ：4922y x +＝１（x≥０，y≥０）．作l 和C 的图象如图，可知 |AB|min 2=(22)1(1|53|-+-)2＝２．。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4自我小测4.4.3参数方程的应用
自我小测1．过点M (2,1)作曲线C ：4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线方程为__________．2．如图，由圆x 2＋y 2＝9上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，则点P 的轨迹的参数方程是__________．3．点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为________，最小值为________．4．椭圆x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(φ为参数)的焦距是__________．5．参数方程4sin 5cos x y θ,θ=⎧⎨=⎩(θ为参数)表示的曲线为__________． 6．直线cos sin x t y t θ,θ=⎧⎨=⎩(θ为参数，θ∈[0，π))和圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________.7．已知A ，B 分别是椭圆221369x y +=的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹的参数方程是__________．8．如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的值．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．10．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．参考答案1答案：2x＋y－5＝0解析：把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，∴过点M的弦与线段OM垂直．又12 OMk=，∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2答案：3cos3sin2xyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)解析：圆x2＋y2＝9的参数方程为3cos3sinxyθθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)．∴设M(3cos θ，3sin θ)，P(x，y)，则N(3cos θ，0)．∴3cos3cos3cos23sin3sin22xyθθθθθ+⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，(θ为参数)．3解析：因为P点在椭圆2214yx+=上，所以可设P点的坐标为(cos θ，2sin θ)，即x＝cos θ，y＝2sin θ，所以x＋y＝cos θ＋2sin θ(θ＋φ)，其中1tan2ϕ=.因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y4答案：解析：根据参数方程，可知a=b=，∴c===∴焦距为2c=5答案：椭圆解析：参数方程4sin5cosxyθ,θ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，可化为sin ,4()cos 5x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. ①② ①2＋②2，得2211625x y +=，所以曲线为椭圆． 6答案：π6或5π6解析：直线的参数方程化为普通方程为y ＝x tan θ，圆的参数方程化为普通方程为(x －4)2＋y 2＝4.由直线与圆相切得圆心到直线的距离2d ==，得tan 3θ=±， ∴π6θ=或5π6. 7答案：22cos π1sin 2x y θ,θθ0θθ=+⎧⎛⎫≠≠⎨ ⎪=+⎝⎭⎩为参数，且 解析：由于动点C 在该椭圆上运动，故可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)，由重心坐标公式可知有606cos 22cos 3033sin 1sin 3x y θθθθ++⎧==+⎪⎪⎨++⎪==+⎪⎩，π2θθ0θ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且. 8解：设M (2cos φ，sin φ)，由题意得B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为sin 112cos y x ϕϕ++=， 令y ＝0，则2cos sin 1x ϕϕ=+，即2cos ||1sin OP ϕϕ=+. MB 2的方程为sin 112cos y x ϕϕ--=，∴2cos ||1sin OQ ϕϕ=-. ∴2cos 2cos ||||41sin 1sin OP OQ ϕϕϕϕ⋅=⋅=+-. 9解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)，则cos sin cos sin x y θθ, θθ '=+⎧⎨'=⎩①②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21'22x y ⎛⎫'=+⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线2122x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一部分1||||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121=cos cos sin cos cos sin ,=sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程，整理得2211111.222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴所求点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以2为半径的圆． 10证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1,tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭. 1d =2d =， 22121tan 1cos 22d d αα-⋅==， 故d 1与d 2的乘积是常数．。
2016-2017学年高中数学选修4-4学业分层测评6 参数方程和普通方程的互化 含解析
学业分层测评(六）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．曲线错误!(θ为参数)的方程等价于( ）A．x＝错误!B．y＝错误!C．y＝±错误!D．x2＋y2＝1【解析】由x＝｜sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1。
故选A。
【答案】A2．参数方程错误!（0≤t≤5)表示的曲线是( )A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线【解析】消去t，得x－3y－5＝0。
∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24。
【答案】A3．直线y＝2x＋1的参数方程是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!【解析】由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t,知C正确．【答案】C4．若x，y满足x2＋y2＝1,则x＋3y的最大值为（)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由于圆x2＋y2＝1的参数方程为错误!（θ为参数)，则x ＋错误!y＝错误!sin θ＋cos θ＝2sin错误!,故x＋错误!y的最大值为2。
故选B。
【答案】B5．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( ）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!【解析】对A，可化为x2＋y＝1(y∈［0，1］)；对B,可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0);对D，可化为y2＝4x2－4x4（x∈[－1,1］）．【答案】B二、填空题6．已知曲线C的参数方程是错误!（α为参数）,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是________。
【导学号:91060020】（α为【解析】曲线C的参数方程为｛x＝1＋5cos αy＝2＋5sin α参数），它表示以点（1,2）为圆心，以错误!为半径的圆，则曲线C的标准方程为(x－1)2＋（y－2）2＝5，化为一般方程即x2＋y2－2x－4y ＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ得ρ＝2cos θ＋4sin θ。
2016-2017学年高中数学苏教版选修4-4阶段综合测评1 含解析
阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分，请把答案填在题中横线上）1．极坐标为M错误!,N错误!，P错误!，Q错误!的四点中，与点A错误!表示同一点的有________个．【答案】32．已知点P的直角坐标为（－错误!，3），其极坐标为________．【答案】（2错误!，错误!）3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________．【答案】x2＋(y＋2）2＝44．在极坐标系中,曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A、B，则AB＝________。
【解析】平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x2＋(y＋2）2＝4和直线x＝1，作图易知AB＝2 3.【答案】2错误!5．极坐标方程ρ＝错误!表示的曲线是______．【答案】椭圆6．以(1，π）为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．【答案】ρ＝－2cos θ7．（北京高考）在极坐标系中，点错误!到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】极坐标系中点错误!对应的直角坐标为(错误!，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y＝2。
故所求距离为1。
【答案】18．已知点M的柱坐标为错误!，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为（ρ，θ，z），球坐标为（r，φ，θ)，由错误!得错误!由错误!得错误!即错误!所以点M的直角坐标为（－错误!,错误!,错误!)，球坐标为（错误!，错误!，错误!）．【答案】(－错误!，错误!π，错误!π）（错误!π，错误!,错误!π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．【答案】相切10．极坐标方程sin θ＝－错误!表示的曲线是______．【答案】两条直线11．（天津高考）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为错误!,则｜CP｜＝________.【解析】由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x,即（x－2）2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为（2，0)．又点P的直角坐标为（2,2错误!），因此｜CP｜＝2错误!。
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学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
1．已知直线l 经过点P (1，－33)，倾斜角为π
3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.
【解】 ∵l 过点P (1，－33)，倾斜角为π
3， ∴l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos π
3，
y ＝－33＋t sin π
3(t 为参数)，即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋12t ，y ＝－33＋3
2t
(t
为参数)．
代入y ＝x －23，得－33＋32t ＝1＋1
2t －23， 解得t ＝4＋23，
即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝PQ ，∴PQ ＝4＋2 3.
2．求直线⎩⎨⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t
(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长．
【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t 代入圆的方程x 2＋y 2＝9，得5t 2＋8t －4＝0，t 1＋t 2
＝－85，t 1t 2＝－4
5.
|t 1－t 2|2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6425＋165＝144
25， 所以弦长＝
22＋1|t 1－t 2|＝5·125＝125
5.
3．已知椭圆x 216＋y 2
4＝1和点P (2,1)，过P 作椭圆的弦，并使点P 为弦的中点，求弦所在的直线方程．
【解】 设弦所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆
方程x 216＋y 2
4＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)·t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，所以t 1＋t 2＝－4(cos α＋2sin α)cos 2
α＋4sin 2
α
，因为P 是弦的中点，所以t 1＋t 2＝0，
即－
4(cos α＋2sin α)cos 2α＋4sin 2α
＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－1
2.又P (2,1)在椭圆
内，所以弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的普通方程．
【解】 由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA 的方程为y ＝kx ，
则OB 的方程为y ＝－1
k x ，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2p
k 2，
y ＝2p k .
所以A
点坐标为(2p k 2，2p
k )．同理可求得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )．设AB 中点M 的坐标为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝p (1k 2＋k 2
)，y ＝p (1k －k ).消去k 得y 2＝px －2p 2.所以点M 的轨迹方程为y 2＝px
－2p 2.
5．(湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参
数)与曲线C 2：⎩⎨⎧
x ＝a sin θ，
y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，试求a 的
值．
【导学号：98990034】
【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.
又⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，
消去参数θ得x 2a 2＋y 2
9＝1. 方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得9
4a 2＝1.又a >0，∴a ＝3
2.
6．已知直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为α＝π
6.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)设直线l 与椭圆x 2＋4y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．
【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π
6，y ＝t sin π6，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋32t ，y ＝12t
(t 为参数)．
(2)联立直线与圆的方程得
(1＋32t )2＋4(t 2)2＝4，∴7
4t 2＋3t －3＝0， 所以t 1t 2＝－127，即|t 1||t 2|＝12
7. 所以P 到A 、B 两点的距离之积为12
7.
7．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点．
(1)求AB ；(2)求AB 的中点M 的坐标及FM . 【解】 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋1
5t ，y ＝25t
(t 为参数)，
其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝2
5
，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.
则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)AB ＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2
＝
(25)2＋80＝10.
(2)由于AB 的中点为M ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 2
2＝5， ∴M (3,2)，FM ＝|t 1＋t 2
2|＝ 5.
能力提升]
8．如图4-4-6所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3，直线l 和抛物线y 2
＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：
图4-4-6
(1)P ，M 间的距离PM ； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长．
【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3，设直线l 的倾斜角为α，则 tan α＝43，cos α＝35，sin α＝4
5， ∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋35t ，y ＝45t
(t 为参数)．(*)
∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得
8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.
设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝15
8，t 1t 2＝－254.
由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝15
16
. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝15
16，
将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋35×1516＝41
16，y ＝45×1516＝34，
即M (4116，34)． (3)AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2
＝5
873.。