江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测高二数学文科试卷(PDF版)

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2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 (2)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（原创）已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（） A ．{0}M ∈B ．{0}M ∉C ．0M ∈D ．0M ⊆2．（原创）已知函数()y f x =在1x =处的切线与直线30x y +-=垂直，则(1)f '=（） A ．2B ． 0C ．1D ．－13．（原创）设i 为虚数单位，则复数221i i+=+（） A ．iB ．i -C ．2i +D ．2i -4．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点(2,)3π在复平面内对应的复数为（）A．1+B．1-Ci + Di5．（改编）已知a b c R ∈、、，则下列命题中，正确的是（） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d >，则a bc d> 6．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛．该项目只设置一等奖一个，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下22⨯列联表：附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，d c b a n +++=．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）A ．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B ．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 值为5，则输出的值为（） A ．19 B ．35 C ．67D ．1989．（原创）函数()f x =a 的取值范围是（） A ．0a ≥ B ．0a > C ．0a ≤D ．0a <10．（原创）函数()sin ([2,2])2xf x x x ππ=-∈-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．11．（改编）若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（）A ．2B ．1CD ．12．（改编）函数()y f x =是定义在[0,)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是（） A ．()(0)af a e f <B ．()(0)af a e f >C ．()(0)a e f a f <D ．()(0)a e f a f >第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（原创）已知命题“p ：30,3x x x ∀>>”，则p ⌝为__________． 14．（原创）设i 是虚数单位，若复数z 满足3z i i +=-，则z =______．15．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=，===，…．按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =_______． 16．（改编）若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分．17．（原创）（12分）已知集合{|3}A x x =>，2{|560}B x x x =--≤，求：（1）AB ；（2）()R C A B ．18．（原创）（12分）已知命题p ：“24x -<<”是“(2)()0x x a ++<”的充分不必要条件；命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[2,)+∞上是增函数．若p q ∨是真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19．（改编）（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系．（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx ====---⋅==--∑∑∑∑　，a y bx =-．20．（原创）（12分）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．（1）若函数()y f x =在2x =处取得极值1ln 22-，求()y f x =的单调递增区间；（2）当18a =-时，函数()()g x f x bxb =++在区间[1,3]上的最小值为1，求()y g x =在该区间上的最大值．21．（原创）（12分）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）．（1）当1n =时，讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）当2n =时，不等式()22x f x e x m ≤+++在区间(1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（原创）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．23．（原创）（10分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x R ∈时恒成立，求实数m 的取值范围．2017—2018学年度第二学期期末七校联考高二数学（文科）答案1—5 CCBAC6—10 DDCDA 11—12 DA13．03000,3xx x ∃>≤ 14 15．120 16．[2,1]- 17．解：{|||3}{|33}A x x x x x =>=<->或 ………3分2{|560}{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤ ………6分（1）{|36}A B x x =<≤ ……… 8分（2）{|33}R C A x x =-≤≤………10分 (){|36}R C A B x x ∴=-≤≤………12分18．解：1）若p 为真，则{|24}x x -<<≠⊂{|(2)()0}x x x a ++<4a ∴->即4a <-………3分 2）若q 为真，则24a-≤即8a ≥- ………6分3） p q ∨为真且p q ∧为假,p q ∴一真一假………7分 ①若p 真q 假，则488a a a <-⎧⇒<-⎨<-⎩………9分②若p 假q 真，则448a a a ≥-⎧⇒≥-⎨≥-⎩………11分综上所述，8a <-或4a ≥-………12分19．（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-．………8分（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）． ………12分 20．（1）1()2(0)f x ax b x x'=+->．由已知，得11(2)402810(2)ln 242ln 22f a b a b f a b ⎧'=+-=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+-=-⎩⎪⎩………4分1(2)(2) () (0)44x x x f x x x x-+'∴=-=> 由 ()002f x x '>⇒<<∴ 函数的单调递增区间为（0，2） ………6分（2）当18a =-时，21()ln 8g x x x b =-+，1(2)(2)()44x x x g x x x-+'=-=． (1,2)x ∈时，()0g x '>；(2,3)x ∈时，()0g x '<∴ ()g x 在[1，2]单增，在[2，3]单减 ………8分∴ max 1()(2)ln 22g x g b ==-+ 又1(1)8g b =-+，9(3)ln 38g b =-+，(3)(1)ln310g g -=->；∴ min 1()(1)18g x g b ==-+=∴ 98b =∴ 5(2)l n 28g =+ ∴ 函数()g x 在区间[1，3]上的最大值为5(2)ln 28g =+ ………12分21．（1）当1n =时，2()[(2)1]x g x e x m x =+++．2()[(4)(3)](1)[(3)]x x g x e x m x m e x x m '=++++=+++；令()0g x '=，解得1x =-或(3)x m =-+．∴当1(3)m -<-+，即2m <-时，增区间为(,1),(3,)m -∞---+∞，减区间为(1,3)m ---；当1(3)m -=-+，即2m =-时，增区间为(,)-∞+∞，无减区间；当1(3)m ->-+，即2m >-时，增区间为(,3),(1,)m -∞---+∞，减区间为(3,1)m ---．………6分（2）当2n =时，不等式化为2(2)222x x m x e x m +++≤+++；即21x e x m x -≤-在区间(1,)+∞上恒成立．令2()(1)1x e x h x x x -=>-，则2(2)()()(1)x x e x h x x --'=-．令()x k x e x =-，则()10x k x e '=->在区间(1,)+∞上恒成立．所以()(1)10k x k e >=->．∴ 当12x <<时，()0h x '<，()y h x =单减；当2x >时，()0h x '>，()y h x =单增； ∴2()(2)4h x h e ≥=-．∴ 24m e ≤-．………12分22．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=． (6)分（2）圆2C 的圆心为，半径为r =2C 到直线1C 的距离为1d =．所以||AB ==………10分23．（1）原不等式化为：①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或 ②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩ 或③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<．∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<< (6)分（2）令2()|21|f x x x =--，则只须min ()m f x ≤即可．①当12x ≥时，22()21(1)0f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12x <时，22()21(1)22f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．∴ 2m ≤-．………10分。

2017-2018学年(新课标)最新江苏省南通市高二下期末质量调研数学试题(理)有答案-精品试题

江苏省南通市2017-2018学年度高二年级第二学期期末教学质量调研理科数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,6A B =-=，则A B = .2. 复数122iz i+=-（i 为虚数单位）的模为. 3.函数()f x =的定义域为 .4.已知函数()()23,02,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()9f -= .5．已知函数()0xxf x e =，设()1n f x +为()n f x 的导函数， ()()()()10211,2,,xxxf x f x e x f x f x e -'==⎡⎤⎣⎦-'==⎡⎤⎣⎦ 根据以上结果，推断()2017f x = .6.已知正实数,a b 满足2240a ab --=，则3a b -的最小值为 .7.若指数函数()f x 的图象过点()2,4-，则不等式()()52f x f x +-<的解集是 . 8.已知,x y 满足约束条件3020x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2221z x y y =+++的最小值是 .9.已知函数()()21ln 112f x x ax a x =+-++在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是 .10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '-<若()221ln log 52,1log 5ln 2f f f m n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，则,,m n k 的大小关系为 .（用“<”连接） 11.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 .12.若不等式()22212ln 0tx t x x ⎡⎤--+≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数t 的值 .13.已知函数()21,0ln ,0x x ef x x x x⎧--<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若关于x 的方程()f x t =有三个不同的解，其中最小的解为a ，则ta的取值范围为 .14.已知函数()()11x f x a a =->的图象为曲线C,O 为坐标原点，若点P 为曲线C 上的任意一点，曲线C 上存在点Q,使得OP OQ ⊥，则实数a 的取值集合为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知命题p ：方程220x ax a ++=有解；命题q ：函数()()12,0221,0xx f x a x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-->⎩在R 上是单调函数. （1）当命题q 为真命题时，求实数a 的取值范围；（2）当p 为假命题，q 为真命题时，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知集合()(){}|240,A x x m x m =+-+<其中m R ∈，集合1|02x B x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.17.（本题满分14分）已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.18.（本题满分16分）某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC,,2AD AB AD BC ⊥==3AB =百米，广场入口P 在AB 上，且2AP BP =，根据规划，过点P 铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN （小路的宽度不计），点M,N 分别在边AD,BC 上（包含端点），PAM ∆区域拟建为跳舞健身广场，PBN ∆区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设APM θ∠=. （1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路PNM,PN 进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N 的位置，使得小路PM,PN 的美化总费用最低，并求出最小费用.19.（本题满分16分）已知函数()()x x af x e a R e=+∈是定义在R 上的奇函数，其中e 为自然对数的底数. （1）求实数a 的值；（2）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()()220f x x f tx ++-<成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数()2212x x y e mf x e=+-在(),m +∞上不存在最值，求实数m 的取值范围.20.（本题满分16分）已知函数()2ln f x x ax ax =+-，其中.a R ∈（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（3）若对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.数学附加卷21.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵12,101a c M N b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求,,,a b c d 的值22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线():sin 0C a a ρθ=>，若直线:3l πθ=被曲线C 实数a 的值.23.（本题满分10分）已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；（2）当n N *∈时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.24.（本题满分10分）已知函数()21322x f x e mx m +=--，其中,m R e ∈为自然对数的底数（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()f x n ≥对任意的x R ∈恒成立，求mn 的最大值。

2017-2018学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）设i为虚数单位，复数z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，则|z1﹣z2|＝．2．（5分）已知α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，下列命题正确的是．（填上所有正确的序号）①若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；③若α不平行β，则α内不存在与β平行的直线④若m不平行n，则m与n不可能垂直于同一个平面3．（5分）设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z的实部是．4．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，则p＝．5．（5分）若球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，则球O的体积为．6．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，实轴长为2，则双曲线C的方程为．7．（5分）已知一个圆锥底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+3e﹣x（e是自然对数的底数），则曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线方程为．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点M、N在棱A1B1、BB1上，且满足B1M＝1，MN∥平面A1BC1，则三棱锥B1﹣MNC1的体积为．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+a在[0，1]上恰好有两个零点，则实数a的取值范围是11．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）的最小值为．12．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）满足f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0恒成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0的解集为．13．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，则椭圆离心率的取值范围为．14．（5分）若函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5在区间（k，k+1）上有零点（k∈Z），则满足条件的所有k的值的集合为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，已知△AF1B的周长为16，且当1⊥x轴时，AB＝6．（1）求椭圆C的方程；（2）若双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线D的方程．16．（14分）设a∈R，函数f（x）＝+a，x∈R为奇函数．（1）求实数a的值；（2）指出函数f（x）的单调性（不要求证明）；（3）求不等式f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0的解集．17．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：直线A1B∥平面ADC1．18．（16分）如图1，某半径为1m的圆形广告牌，圆心O距墙壁1.5m．为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架，如图2，支架由广告牌所在圆周上的劣弧、线段P A、线段PB构成，其中点P为广告牌的最低点，且为弧的中点，点A，B在墙面上，P A垂直于墙面，兼顾美观及有效支撑，规定弧所对圆心角及PB与墙面所成的角均为θ，θ∈[，]．（1）将所需合金长度f（θ）表示为θ的函数；（2）求所需合金长度的最小值．（参考公式：扇形弧长l＝ar，其中a，r分别为扇形的圆心角和半径）19．（16分）如图，点A、B、F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点和右焦点，M、N为椭圆C上异于A、B的两点，且M，N，F三点共线，若BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线BM，BN的斜率之积为定值；（3）求四边形AMBN面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝x（lnx+a）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝，x∈（1，+∞）．①当a＜0时，求函数g（x）在区间（1，e2]上的最大值（其中e为自然对数的底数）；②若函数g（x）存在极值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，∴z1﹣z2＝（2+i）﹣（﹣1+5i）＝3﹣4i．∴|z1﹣z2|＝5．故答案为：5．2．【解答】解：由α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，知：在①中，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故②正确；在③中，若α不平行β，则α内存在与β平行的直线，故③错误；在④中，若m不平行n，则由线面的性质定理得m与n不可能垂直于同一个平面，故④正确．故答案为：②④．3．【解答】解：由（2﹣i）z＝1+i，得z＝，∴z的实部为．故答案为：．4．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0），∴抛物线抛物线的准线方程为：x＝﹣，抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，∴＝5．解得p＝2．故答案为：2．5．【解答】解：∵球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，∴球半径r＝1，∴球O的体积为V＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由题意实轴长为2，可得a＝1，焦点为（c，0）到渐近线y＝±x 即bx±ay＝0的距离d＝＝b＝2，∴双曲线的方程为：．故答案为：．7．【解答】解：由V＝＝，R＝1得h＝2，∴L＝＝，∴S＝πRL＝＝．故答案为：8．【解答】解：函数f（x）＝e x+3e﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣3e﹣x，曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线的斜率为k＝3﹣3×＝2，切点为（ln3，4），则所求切线方程为y﹣4＝2（x﹣ln3），即为2x﹣y+4﹣2ln3＝0，故答案为：2x﹣y+4﹣2ln3＝0．9．【解答】解：由题意可知：几何体是三棱锥底面面积为：，高为3，三棱锥的体积为：×3＝．故答案为：．10．【解答】解：f′（x）＝x（3x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在[0，）递减，在（，1]递增，若f（x）在[0，1]上恰好有两个零点，则，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．11．【解答】解：当x＜1时，f（x）＝3x﹣2，函数是增函数，3x∈（0，3），所以3x﹣2∈（﹣2，1）当x≥1时，f（x）＝2（x﹣1）（x﹣3），函数的对称轴为x＝2开口向上，所以x＝2时，函数取得最小值．f（2）＝2×（﹣1）×1＝﹣2．所以f（x）的最小值为：﹣2．故答案为：﹣2．12．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝，∵当x∈（0，π）时，f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，π）上递增，不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0等价于＞＝，∴g（x）＞g（），∴＜x＜π，故不等式的解集为（，π），故答案为：（，π）13．【解答】解：设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，离心率为e，椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，可得，可得e2+2e﹣1＞0，解得e＞＝或e＜﹣又∵0＜e＜1，∴解得﹣1＜e＜1，故答案为：（，1）．14．【解答】解：函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5为偶函数，当x＞0时，函数f（x）＝lgx2+x﹣5＝2lgx+x﹣5为增函数，当x＝3时，f（3）＝lg9﹣2＜0当x＝4时，f（4）＝lg16﹣1＞0故函数区间（3，4）上有零点，进而函数区间（﹣4，﹣3）上有零点，故满足条件的所有k的值的集合为{﹣4，3}，故答案为：{﹣4，3}二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得AF1+AF2＝BF1+BF2＝2a，则△AF1B的周长为AB+AF1+BF1＝AF1+AF2+BF1+BF2＝4a＝16，则a＝4，当1⊥x轴时，由x＝c可得y＝±＝±，AB＝6，可得＝3，解得b＝2，则椭圆C的方程为+＝1；（2）双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，可设双曲线的方程为﹣＝1（m＞0，n＞0），可得m2+n2＝4，由椭圆的离心率为，可得双曲线的离心率为2，则＝2，可得m＝1，n＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1．16．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝+a为奇函数，则有f（0）＝+a＝0，解可得a＝﹣1，（2）f（x）＝﹣1＝1﹣，函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0⇒f（log2（x2﹣2））≤﹣f（x）⇒f（log2（x2﹣2））≤f（log2x），又由函数为增函数，则有log2（x2﹣2）≤log2x，则有，解可得：＜x≤2，即不等式的解集为（，2]．17．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，AD⊥CC1，C1D∩CC1＝C1，∴AD⊥平面B1BCC1，∵AD⊂平面C1AD，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，∴直线A1B∥平面ADC1．18．【解答】解：（1）由题意可知，圆的半径OM＝1m，P A＝1.5m，则的长度为θ，PB＝，∴所需合金长度f（θ）＝，（θ∈[，]）；（2）由f（θ）＝，得f′（θ）＝＝＝，由f′（θ）＝0，可得﹣cos2θ﹣cosθ+1＝0，解得cosθ＝（舍），或cos．∵θ∈[，]，∴θ＝arccos．∴当θ∈[，arccos]时，f′（θ）＜0，当x∈[arccos，]时，f′（θ）＞0，∴当θ＝arccos时，f（θ）有最小值为+arccos+1.5＝arccos+1.5＝+arccos+1.5．19．【解答】解：（1）BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．可得a﹣c＝1，﹣c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝，即有椭圆方程为+＝1；（2）证明：由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），F（1，0），设MN的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，k BM•k BN ＝•＝＝＝＝﹣；（3）设直线MN的方程为x＝my+1，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，则四边形AMBN面积S ＝|AB|•|y1﹣y2|＝•4•＝2＝24，设＝t（t≥1），则S＝24•＝24•，由y＝3t +在t≥1递增，可得y≥4，则S≤6，当且仅当t＝1即m＝0，MN垂直于x轴，可得S的最大值为6．20．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+a+1，x＞0．令f′（x）＝0，解得x＝e﹣a﹣1．第11页（共12页）∴函数f（x）在（0，e﹣a﹣1）内单调递减，在（e﹣a﹣1，+∞）内单调递增．（2）①a＜0时，g（x ）＝＝，x∈（1，e2]．g′（x ）＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（1，e2]．则u′（x）＝1﹣＞0，∴u（x）＞u（1）＝﹣a＞0．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（1，e2]上单调递增．∴g（x）max＝g（e2）＝．②g′（x ）＝，x∈（0，+∞）．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（0，+∞）．则u′（x）＝1﹣＝，∴u（x）≥u（1）＝﹣a，若﹣a≥0，即a≤0时，g′（x）≥0，此时函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极值，舍去．当u（1）＝﹣a＜0时，令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1＝0，存在x0∈（0，+∞），使得x0﹣lnx0﹣a﹣1＝0，则函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．此时函数g（x）存在极值．∴实数a的取值范围是（0，+∞）．第12页（共12页）。

2017-2018学年高二下学期期末考试语文试题+Word版含答案

2017—2018学年第二学期高二级期末考试语文试题第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（23分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。

中国传统社会给人两个相互矛盾的印象：一方面，它十分注重平等；另一方面，它又十分注重纲常伦理，表现出严格的等级秩序。

不过，无论如何解释这种印象，它至少说明在中国传统社会中同时存在人与人之间的平等和差异两个问题。

在西方由正义原则加以处理的人与人之间平等与差异的关系问题在中国社会同样存在，而且同样也需要某种协调机制。

概而言之，从功能的角度看，中国传统社会，特别是在儒家思想中，对这一关系的处理，是通过“仁”“礼”“义”三项基本原则彼此支撑、相互为用实现的。

“仁”是对他人之爱，在儒家的价值体系中处于核心地位，所以孔子说：“志士仁人，无求生以害仁，有杀身以成仁。

”“仁”的基础则是对亲人之爱，所谓“仁者人也，亲亲为大”。

孟子进一步指出：“孩提之童，无不知爱其亲者；……亲亲，仁也。

”并且孟子认为，这种爱的基础，是“不忍人之心”，即同情心。

同情即同样的感情，是“人同此心，心同此理”这一心理事实的体现。

因此，“仁”的生发机制，是一个推己及人，由近及远的过程，即把对亲人之爱扩展为对邻人之爱，再扩展到对天下人之爱，也就是孟子所说的：“老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。

”与“仁”所体现的“合和”精神不同，“礼”强调的是人与人之间尊卑贵贱（纵向）、亲疏厚薄（横向）的差秩格局和纲常秩序，反映“别”与“分”的一面。

“礼”在儒家思想中的重要地位是一个众人皆知的事实，“礼，国之干也。

”“礼”提供了一套基本的政治架构，对中国传统社会的稳定有序具有举足轻重的作用，后者因此也被称为“礼治社会”。

儒家强调“礼”治，但目的不是造成一个等级森严、上下隔阂的社会，而是通过“礼”的规范与约束，实现社会的和谐和睦。

用以平衡“仁”与“礼”的就是“义”的原则。

在中国传统文献中，“义”是一个含义比较丰富的概念。

江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学文科试卷Word版含解析

江苏省南通市通州区2018-2019学年下学期期末学业质量监测高二数学文科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置．．．．．．．.1. 某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了__________人。

【答案】27【解析】分析：根据分层抽样的概念得按比例抽样:.详解：因为分层抽样，所以三个年级一共抽取.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.2. 已知命题“，”为假命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据命题真假得恒成立，即得的最大值.详解：因为命题为假命题，所以恒成立，所以的最大值.点睛：根据命题与命题否定的真假性关系进行转化，即特称命题为假命题，则对应全称命题为真命题，再根据恒成立知识转化为对应函数最值问题.3. 若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有种，甲被选中事件数有,所以甲被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4. 如图是一个算法流程图，若输入值，则输出值为2的概率为__________．【答案】【解析】分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结果.详解：因为，所以输出值为2的对应区间为[0,2],因此输出值为2的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．5. 某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．【答案】25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.6. 如图所示的伪代码，最后输出的值为__________．【答案】21【解析】分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S.详解：执行循环得结束循环，输出.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．【答案】2【解析】分析：先化z为代数形式，再根据纯虚数概念得a，最后根据复数模的定义求结果.详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8. 直线：，：.则“”是“与相交”的__________条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)【答案】必要不充分【解析】分析：先根据直线相交得条件，再根据两个条件关系确定充要性.详解：因为与相交，所以所以“”是“与相交”的必要不充分条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 将函数的图象向左平移个单位，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求关系式，解得最小值.详解：因为函数的图象向左平移个单位得，所以因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10. 类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为的正四面体的内切球半径为__________．【答案】【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径.详解：设正四面体的内切球半径为，各面面积为,所以.11. 设向量，，且，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据向量垂直得，再根据两角差正切公式求解.详解：因为，所以,因此点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据对数函数以及二次函数作函数图像，再根据函数图像确定满足条件时实数的取值范围.详解：如图函数图像，所以.13. 设函数，. 若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．【答案】2【解析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值. 详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，. 点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14. 在平面直角坐标系中，原点在圆：内，过点的直线与圆交于点，.若面积的最大值小于2,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据三角形面积公式确定∠ACB范围，再根据垂径定理圆心到直线距离范围，最后结合O 在圆内求实数的取值范围详解：因为面积的最大值小于2,，所以,所以圆心C到直线距离因此点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，三棱柱中，，分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且，求证:平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，所以,因为为的中点，所以为中点.又因为为中点，所以,又面，面所以平面(法三)如图3，取的中点,连结、. 在中，因为、分别为、的中点，所以. 因为面，面所以平面.在三棱柱中，且，又因为、分别为、的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以,又面，面，所以面因为面，面，，面，面，所以面面,又面,所以平面(2)因为，为的中点，所以，因为面面，面面，面，所以面，又面，所以面面点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 在中，已知,,.(1)求内角的大小;(2)求边的长.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据配角公式得，解得A，（2）先根据平方关系得，根据两角和正弦公式求，再根据正弦定理求边的长.详解：解：（1）因为所以，即因为，所以所以，所以(2)因为，所以所以在中，所以，得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. 如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦.(1)当是的中点时，求的值;(2)若，,,且.①,的值;②求的值.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值; ②由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所以在中, ,所以,所以所以（2）①因为所以所以又，且与不共线所以，②因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．18. 如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.【答案】（1）（2）开发区域的面积为【解析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式; (2) 令，化简，再根据三角函数有界性确定t范围，解得最小值，同时求出开发区域的面积.详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以时，取得最小值.此时，，的面积答：开发区域的面积为（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，则因为，所以，所以由，得记因为在上单调递减，所以当时最小此时，即，所以的面积答：开发区域的面积为点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 如图，点,,,分别为椭圆: 的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线过点，与椭圆交于点，已知当直线轴时，.(1)求椭圆的离心率;(2)若当点与重合时，点到椭圆的右准线的距离为上.①求椭圆的方程;②求面积的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】分析：（1）先求当直线轴时，，再根据条件得，最后由解得离心率，（2）设直线为，，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，即得，令，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.详解：解：（1）在中，令可得，所以所以当直线轴时，又，所以所以，所以（2）①因为，所以，椭圆方程为当点与点重合时，点坐标为又，所以此时直线为由得又，所以所以椭圆方程为②设直线为由得即，恒成立设，则，所以令，则且，易知函数在上单调递增所以当时，即的面积的最大值为点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.20. 设,函数,是函数的导函数, 是自然对数的底数.(1)当时,求导函数的最小值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;(3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点.详解：解：（1）当时，记则，由得.当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为（3）记，因为存在极大值与极小值，所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.①当时，，单调递增，此时不存在两个零点；②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由（1）知时，有所以在上单调递增，所以时,因为且，的图像在单调且不间断，所以在上，有且只有一个零点.又在上单调所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.。

江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测数学文科试卷(解析版)

2017-2018学年（下）高二期末质量监测文科数学一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置．．．．．．．.1. 某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了__________人。

【答案】27【解析】分析：根据分层抽样的概念得按比例抽样:.详解：因为分层抽样，所以三个年级一共抽取.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.2. 已知命题“，”为假命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据命题真假得恒成立，即得的最大值.详解：因为命题为假命题，所以恒成立，所以的最大值.点睛：根据命题与命题否定的真假性关系进行转化，即特称命题为假命题，则对应全称命题为真命题，再根据恒成立知识转化为对应函数最值问题.3. 若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有种，甲被选中事件数有,所以甲被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4. 如图是一个算法流程图，若输入值，则输出值为2的概率为__________．【答案】【解析】分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结果.详解：因为，所以输出值为2的对应区间为[0,2],因此输出值为2的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．5. 某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．【答案】25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.6. 如图所示的伪代码，最后输出的值为__________．【答案】21【解析】分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S.详解：执行循环得结束循环，输出.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．【答案】2【解析】分析：先化z为代数形式，再根据纯虚数概念得a，最后根据复数模的定义求结果.详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8. 直线：，：.则“”是“与相交”的__________条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)【答案】必要不充分【解析】分析：先根据直线相交得条件，再根据两个条件关系确定充要性.详解：因为与相交，所以所以“”是“与相交”的必要不充分条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 将函数的图象向左平移个单位，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求关系式，解得最小值.详解：因为函数的图象向左平移个单位得，所以因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.10. 类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为的正四面体的内切球半径为__________．【答案】【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径.详解：设正四面体的内切球半径为，各面面积为,所以.11. 设向量，，且，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据向量垂直得，再根据两角差正切公式求解.详解：因为，所以,因此点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据对数函数以及二次函数作函数图像，再根据函数图像确定满足条件时实数的取值范围. 详解：如图函数图像，所以.13. 设函数，. 若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．【答案】2【解析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14. 在平面直角坐标系中，原点在圆：内，过点的直线与圆交于点，.若面积的最大值小于2,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据三角形面积公式确定∠ACB范围，再根据垂径定理圆心到直线距离范围，最后结合O在圆内求实数的取值范围详解：因为面积的最大值小于2,，所以,所以圆心C到直线距离因此点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，三棱柱中，，分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且，求证:平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，所以,因为为的中点，所以为中点.又因为为中点，所以,又面，面所以平面(法三)如图3，取的中点,连结、. 在中，因为、分别为、的中点，所以.因为面，面所以平面.在三棱柱中，且，又因为、分别为、的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以,又面，面，所以面因为面，面，，面，面，所以面面,又面,所以平面(2)因为，为的中点，所以，因为面面，面面，面，所以面，又面，所以面面点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 在中，已知,,.(1)求内角的大小;(2)求边的长.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据配角公式得，解得A，（2）先根据平方关系得，根据两角和正弦公式求，再根据正弦定理求边的长.详解：解：（1）因为所以，即因为，所以所以，所以(2)因为，所以所以在中，所以，得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.17. 如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦.(1)当是的中点时，求的值; (2)若，,,且.①,的值; ②求的值.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值; ②由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所以在中,,所以,所以所以（2）① 因为所以所以又，且与不共线所以，② 因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．18. 如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.【答案】（1）（2）开发区域的面积为【解析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式; (2)令，化简，再根据三角函数有界性确定t范围，解得最小值，同时求出开发区域的面积. 详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以时，取得最小值.此时，，的面积答：开发区域的面积为（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，则因为，所以，所以由，得记因为在上单调递减，所以当时最小此时，即，所以的面积答：开发区域的面积为点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 如图，点,,,分别为椭圆:的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线过点，与椭圆交于点，已知当直线轴时，.(1)求椭圆的离心率;(2)若当点与重合时，点到椭圆的右准线的距离为上.①求椭圆的方程;②求面积的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】分析：（1）先求当直线轴时，，再根据条件得，最后由解得离心率，（2）设直线为，，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，即得，令，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.详解：解：（1）在中，令可得，所以所以当直线轴时，又，所以所以，所以（2）① 因为，所以，椭圆方程为当点与点重合时，点坐标为又，所以此时直线为由得又，所以所以椭圆方程为② 设直线为由得即，恒成立设，则，所以令，则且，易知函数在上单调递增所以当时，即的面积的最大值为点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.20. 设,函数,是函数的导函数, 是自然对数的底数. (1)当时,求导函数的最小值; (2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值; (3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点. 详解：解：（1）当时，记则，由得.当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为（3）记，因为存在极大值与极小值，所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.①当时，，单调递增，此时不存在两个零点；②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由（1）知时，有所以在上单调递增，所以时,因为且，的图像在单调且不间断，所以在上，有且只有一个零点.又在上单调所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，则集合A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R），若z+＝4，则复数z的模为．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，则f（﹣2）的值为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝6，S4＝30，则S6＝．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．12．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若C＝，且a+b＝6，则边长c的最小值为．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（1，2sinθ），＝（sin（），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．17．（14分）已知等差数列{a n}满足a2+a3＝7，其前9项和为54．设数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（16分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，求直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程．22．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．求过点（2，0）且被圆C截得弦长为2的直线l的极坐标方程．23．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图．按规定，测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格．（1）为了提高体能，将两组学生中成绩优秀及成绩合格的学生任意排成一排互相交流，求成绩合格的学生互不相邻的排法种数；（2）从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取3次，记抽到优秀成绩的次数为X，求X的概率分布及数学期望．24．已知（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1，n∈N*．（1）求A n＝a i；（2）设B n＝2×3n+（n﹣1）2n+2n2，求证：n≥4且n∈N*时，A n＞B n．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，集合A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．【解答】解：∵z＝a+i，∴＝a﹣i，则由z+＝4，得2a＝4，a＝2．∴z＝2+i，则|z|＝．故答案为：3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣[22﹣log22]＝﹣3．故答案为：﹣3．5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：根据双曲线方程可知a＝1，b＝，∴c＝＝2，∴左准线l的方程为x＝﹣，对于抛物线来说＝，∴p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x．故答案为：y2＝2x．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：根据等比数列的性质得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即（S4﹣S2）2＝S2（S6﹣S4），又S2＝6，S4＝30，代入得：（30﹣6）2＝6（S6﹣30），解得S6＝126．故答案为：12610．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．12．【解答】解：△ABC中，C＝，且a+b＝6，∴a2+b2+2ab＝36；又a2+b2≥2ab，∴4ab≤36，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取“＝”；由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3ab≥36﹣3×9＝9，∴c≥3，即边长c的最小值为3．故答案为：3．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）因为⊥，所以•＝0，所以2sinθ+sin（θ+）＝0，即sinθ+cosθ＝0．因为cosθ≠0，所以tanθ＝﹣．（2）由a∥b，得2sinθsin（θ+）＝1，即2sin2θcos+2sinθcosθsin ＝1，即（1﹣cos 2θ）+sin 2θ＝1，整理得，sin（2θ+）＝，又θ∈（0，），所以2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣＝，即θ＝．17．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2+a3＝7，其前9项和为54，可得2a1+3d＝7，9a1+×9×8d＝54，解得a1＝2，d＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*），可得＝+（n﹣1）＝1+（n﹣1）＝（n+1），则S n＝n（n+1），当n＝1时，b1＝1；当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+1）﹣n（n﹣1）＝n，上式对n＝1也成立，综上可得b n＝n，n∈N*；（2）c n＝+＝+＝2+﹣，数列{c n}的前n项和为T n＝2n+1﹣+﹣+…+﹣＝2n+1﹣，由T n+1﹣T n＝2n+3﹣﹣2n﹣1+＝2+﹣＞0，可得T n递增，T n≥T1＝，由对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，可得a≤T1，即a≤．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，∴MN＝＝，设（x，y）为l1上任意一点，两次变换后对应点为（x′，y′），∴＝，∴，∴，∵x+2y＝0，∴x′+y′﹣2x′＝0，即x′﹣y′＝0，∴直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程为x﹣y＝0．22．【解答】解：∵在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．∴圆心C的直角坐标为：（1，），∴圆C的半径r＝＝2，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．设圆心C到直线l的距离为d，则＝4，解得d＝1，极坐标（2，0）化为直角坐标为（2，0），（i）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意，（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，∴＝1，即|k+|＝，解得k＝﹣，此时直线l的直角方程为x＝2或x+﹣2＝0，即x+﹣2＝0，∴直线l的方程为x＝2或x+﹣2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＝2，或．23．【解答】解：（1）两组学生中成绩优秀的学生有4人，成绩合格的学生有2人，所以排成一排互相，成绩合格的学生互不相邻的排法种数：＝480种．（2）由题意，X～B（3，），所以P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．X的分布列：所以X的数学期望E（X）＝3×＝1．24．【解答】（1）解：在（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1中，取x＝﹣1，得a0+a1+a2+…+a n+1＝3n+1．∴A n＝a i＝3n+1；（2）证明：要证A n＞B n，即要证3n+1＞2×3n+（n﹣1）2n+2n2，也就是证3n＞（n﹣1）2n+2n2，以下利用数学归纳法证明：①当n＝4时，左边＝34＝81，右边＝3×24+2×42＝80，左边＞右边，不等式成立；②假设当n＝k（k≥4且k∈N*）时不等式成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，当n＝k+1时，3k+1＝3×3k＞3（k﹣1）2k+6k2，∵[3（k﹣1）2k+6k2]﹣[k•2k+1+2（k+1）2]＝（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2，当k≥4时，（k﹣3）2k＞0，且，∴（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2＞0，∴3（k﹣1）2k+6k2﹣＞k•2k+1+2（k+1）2，∴当n＝k+1时，3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2成立．综合①②可得，n≥4且n∈N*时，∴n≥4且n∈N*时，A n＞B n．。

2017-2018学年度下学期高二第二次阶段测试数学(文科)试卷附答案

2017-2018学年度下学期高二第二次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合B A x x x B x x x A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于（） A ．}21|{<<x x B ．}321|{><<x x x 或 C ．}10|{<≤x x D ．}310|{><≤x x x 或2.下列命题中，真命题是（）A ．,20x x R ∀∈>B ．1,lg 0x x ∃><C ．1,02xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭D ．110,log 0x R x ∀∈< 3. 函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（）． A ．(0,2]- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞- D ．[2,)+∞4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg ||y x = 5.“22a b >”是“11a b <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．下列说法正确．．的是 A ．命题",0"x x R e ∀∈>的否定是",0"xx R e ∃∈>.B ．命题 “已知,,x y R ∈若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题 .C ．“22x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”⇔2min max "(2)()x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”.D ．命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题.7．记函数212131)(23+-=x x x f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ，若M N ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．21≥aB ．21≤aC ．31≥aD ．31≤a 8．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③B ． ①②C ．①③D ． ①②③9.已知)(x f 的定义在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<10．设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2 )0(142)(x 2x x x x x f 的图像上关于原点对称的点有（）对 A. 0 B. 2 C.3 D. 无数个12.已知正实数c b a ,,满足c c a b c ac e ln ln ,21+=≤≤，则a b ln 的取值范围是（） A ．),1[+∞ B ．]2ln 21,1[+ C ．]1,(--∞e D ．]1,1[-e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数2ln(1)34x y x x +=--+ 的定义域为______________． 14.已知函数1223)(--=x x x f ，则=+⋯+++)1110()113()112()111(f f f f . 15.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间[]b a ,上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 .16.已知()**1,11,(,)(,)f f m n N m n N =∈∈，且对任意*,m n N ∈都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+； ②(1,1)2(,1)f m f m +=.则(,)f m n = .三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l2分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数 15 x 5 频数15 3 y （1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写2×2列联表（在答题纸上），并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据与公式：K 2=，其中n=a+b+c+d ．临界值表：P （K 2＞k 0）0.1 0.05 0.01 k 0 2.706 3.841 6.63518.(本小题满分l2分)已知命题:p 关于实数x 的方程224410x mx m -+-=的一根比1大另一根比1小；命题:q 函数1()2x f x m -=-在区间()2,+∞上有零点．（1）命题p q ∨真，p q ∧假，求实数m 的取值范围．（2）当命题p 为真时，实数m 的取值集合为集合M ，若命题：2,10x M x ax ∀∈-+≤为真，则求实数a 的取值范围．19．(本小题满分l2分)已知函数||()(0,1,)x b f x aa ab R +=>≠∈．（1）若()f x 为偶函数，求b 的值；（2）若()f x 在区间[2,)+∞上是增函数，试求,a b 应满足的条件．20．(本小题满分l2分)已知函数21()(,)2f x ax x c a c R =-+∈满足条件：①(1)0f =；②对一切x R ∈，都有()0f x ≥．（1）求,a c 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分l2分)已知函数21()ln ().2f x a x bx b a x =+-+。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)第二次质检数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为．10．已知﹣=，则C8m=．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45=x+32，x=6+45﹣32=19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为2．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：计算题．分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为6．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的公式的性质求解．解答：解：设样本x1，x2，…，x n的平均数为，即=（x1+x2+…+x n ）则样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3x n+5 ）=×3（x1+x2+…+x n ）+5=3 +5；由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差为样本x1，x2，…，x n的方差的32=9倍，即9×4=36，则3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的标准差为=6．故答案为：6．点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为55．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x 的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．已知﹣=，则C8m=28．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．解答：解：根据组合数公式，原方程可化为：﹣=×，即1﹣=×；化简可得m2﹣23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为11．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故答案为：11．点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么．解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，即=2n=64，解得n=6；∴二项式的展开式通项为T r+1=•x6﹣r•=3r••；当r=0时，6﹣r=6，是有理项，当r=3时，6﹣r=2，是有理项，当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项；∴展开式中所有的有理项的项数为3．故答案为：3．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B 袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，∴S=1﹣，当n=2时，B n的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M 的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可．（2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0，化为λ2﹣3λ﹣16=0，解得λ=．（2）直线化为直角坐标方程：，曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．∴x1+x2=，∴x 0==，y0==．∴线段AB中点的直角坐标，∴=，tanθ=，可得θ=，因此极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：综合题．分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．（3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值．解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分）（2）．∵a2+b2=1∴u=又故u是纯虚数．…（8分）（3）=由知，故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）．点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=∅，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率；（2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望．解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为，则P（X=6）=2×=．（2）X的分布列为：X 4 5 6 7P所以，EX=4×+5×+6×+7×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{b n}的通项公式，用数学归纳法证明即可；（2）利用指数幂的运算性质可求得x x与y y，比较可知，二者相等．解答：解：（1）∵b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*），∴=2﹣b1=2﹣=，∴b2=；同理可求，b3=，于是猜想：b n=．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，b1=，结论成立；②假设n=k时，b k=，则n=k+1时，∵+b k=2，∴=2﹣=，∴b k+1=，即n=k+1时结论也成立；综上所述，对任意n∈N*，b n=均成立．（2）∵x==，y==，∴x x==，y y==，∴x x=y y．点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较x x与y y的大小是难点，属于难题．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果．解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）=的通项公式为T r+1=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6•，∴a r=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6 =2r，∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n•C n n x n ﹣1，…②②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•Cn x n，…③，n③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n ﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0．点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．（5分）某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人．现采用分层抽样调查学生的视力情况．已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了人．2．（5分）已知命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，则a的取值范围是．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[﹣1，2]，则输出值为2的概率为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）若复数z＝（a+i）2是纯虚数（i是虚数单位），a为实数，则复数z的模为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）设向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则tan（）的值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a﹣1有三个零点，则实数a的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（15分）在△ABC中，已知sin A﹣cos A＝1，cos B＝，AB＝4+．（1）求内角A的大小；（2）求边BC的长．17．（15分）如图，圆O的半径为2，点P是圆O的一条半径OA的中点，BC是圆O过点P的动弦．（1）当P是BC的中点时，求的值；（2）若＝，λ，μ∈R，且BP＝2PC．①λ，μ的值；②求cos∠BOC的值．18．（15分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（15分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（15分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．【解答】解：由分层抽样的定义得＝＝，得n＝27，即三个年级一共抽取27人，故答案为：272．【解答】解：命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，即为∀x∈R，e x+a≥0为真，由e x＞0，可得0≤a，则a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：格根据程序框图，当x∈[﹣1，0）时，由于x＜0，则输出y＝1，当x∈[0，2]时，由于x≥0，则输出y＝2，根据几何概型公式P＝．故答案为：5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：∵z＝（a+i）2＝（a2﹣1）+2ai是纯虚数，∴，即a＝±1．∴z＝±2i，则|z|＝2．故答案为：2．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．10．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则sinθ﹣2cosθ＝0，∴tanθ＝2，∴tan（）＝＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝a+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝如图：则0＜a+1＜所以实数a的取值范围是﹣2＜a＜．故答案为：（﹣2，）．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）∵，∴2sin（A﹣）＝1，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣＝，∴A＝．（2）∵sin2B+cos2B＝1，cos B＝，B∈（0，），∴sin B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，在△ABC中，．∴＝，解得BC＝5．17．【解答】解：（1）因为P为圆O的弦的中点，所以OP⊥BC，因为P为的OA的中点，所以OP＝OA＝1，在Rt△BPO中，OP＝1，OB＝2，所以∠BOP＝60°，所以∠BOC＝120°，所以＝||•||＝cos∠BOC＝2×＝﹣2．（2）①因为BP＝2PC，所以＝2，所以，又，且与不共线，所以，μ＝．②因为＝，所以＝（）2，即＝++，因为OP＝1，OA＝OB＝2，所以1＝，所以＝﹣．故cos∠BOC＝＝＝﹣．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)第二次质检数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c=．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin （ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=338．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．。

2017-2018年江苏省南通市通州区高二(下)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知物体运动的方程为S=t3﹣t，则t=2时的瞬时速度为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）用反证法证明命题：不是有理数．假设的内容是．4．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第象限．5．（5分）已知复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m+1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为．6．（5分）在三段论式推理中，“函数y=x2+1的图象是一条抛物线”的大前提为．7．（5分）函数f（x）=xe x在区间[﹣2，0]上的值域为．8．（5分）设函数h（x）=，若f（1）=5，f′（1）=3，g（1）=4，g′（1）=1，则h′（1）的值为．9．（5分）已知tan（x+）=，可知函数y=tanx的一个周期为π．类比上述结论，设a为正常数，且f（x+a）=，则函数y=f（x）的一个周期为．10．（5分）函数y=x﹣sinx（x∈[﹣，]）的单调递递减区间为．11．（5分）若复数z满足足|z+1﹣2i|=3，则|z|的最大值为．12．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx在x=1处取得极小值，则实数a 的取值范围是．13．（5分）过点P（0，﹣1）作曲线C：y=lnx的切线，切点为A1，设A1在y 轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，…，依次下去，得到第n（n∈N*）个切点An，则点A n的坐标为．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）在定义域上有3个不同的零点，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位）（1）若z•z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数；（2）若z是关于x的方程x2﹣mx+5=0一个虚根，求实数m的值．16．（14分）已知数列{a n}各项均为正数，且不是常数列．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：+＜2；（2）若数列{a n}是等比数列，求证：1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2不可能成等比数列．17．（14分）如图，在圆O中，P是弦AB的中点，若直线AB与OP的斜率都存在，则直与OP的斜率之积为定值﹣1．类比圆的这一性质，写出椭圆C：+=1（a＞b＞0）中的类似性质，并证明．18．（16分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2﹣ax（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．19．（16分）如图是以O为圆心，半径为2m的圆面一部分．现要在上截取一个矩形ABCD（其中点C，D在圆弧上，点A，B在弦ST上）．过点O作OM⊥ST，于点E，交CD于点F，交圆弧于点M．已知∠SOT=120°，记矩形ABCD面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式①设∠MOC=6（rad），将S表示成O的函数；②设EF=x（m），将S表示成x的函数；（2）当EF为多少时，矩形ABCD的面积S最大？20．（16分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行，求k的值；（2）若对于任意x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，都有恒成立，求k的取值范围．（3）若对于任意，都有f（x）＞3lnx成立，求整数k的最大值．（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟满分：40分）21．已知矩阵A=，B=，且二阶矩阵M满足AB=M，求矩阵M及矩阵M的特征值．22．设z=r（cosθ+isinθ）（r＞0，b∈R），用数学归纳法证明z n=r n（cosnθ+isinn θ）（n∈N*）23．求函数f（x）=﹣ln（2x﹣6）的单调区间及最小值．24．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形的对角线AC与BD交于点O，且AB=2，OP=3．点M在线段PC上，设=λ．（1）若λ=，求直线AM与PB所成角的余弦；（2）若平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知物体运动的方程为S=t3﹣t，则t=2时的瞬时速度为5．【解答】解：∵s=t3﹣t，∴s′=t2﹣1，把t=2代入可得t=2时的瞬时速度为×22﹣1=5，故答案为：5．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）用反证法证明命题：不是有理数．假设的内容是是有理数．【解答】解：命题“不是有理数”的否定是“是有理数”，故答案为：是有理数．4．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第四象限．【解答】解：z====3﹣2i，∴复数z所对应的点（3，﹣2）位于复平面的第四象限．故答案为：四．5．（5分）已知复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m+1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为3．【解答】解：复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m+1）i（i 为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣2m﹣3=0，m+1≠0，解得m=3．故答案为：3．6．（5分）在三段论式推理中，“函数y=x2+1的图象是一条抛物线”的大前提为二次函数的图象是抛物线．【解答】解：根据演绎推理的三段论形式，把“函数y=x2+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论的形式为：大前提：二次函数的图象是抛物线；故答案为：二次函数的图象是抛物线．7．（5分）函数f（x）=xe x在区间[﹣2，0]上的值域为[﹣，0]．【解答】解：由f（x）=xe x，得f′（x）=xe x=e x+xe x=（x+1）e x．∴当x∈（﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0．可得，f（x）在（﹣2，﹣1）上为减函数，在（﹣1，0）上为增函数．而f（﹣2）=，f（﹣1）=，f（0）=0．∴函数f（x）=xe x在区间[﹣2，0]上的值域为[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．8．（5分）设函数h（x）=，若f（1）=5，f′（1）=3，g（1）=4，g′（1）=1，则h′（1）的值为．【解答】解：函数h（x）=，则h′（x）=．那么：h′（1）===，故答案为：．9．（5分）已知tan（x+）=，可知函数y=tanx的一个周期为π．类比上述结论，设a为正常数，且f（x+a）=，则函数y=f（x）的一个周期为4a．【解答】解：∵tan（x+）=，可知函数y=tanx的一个周期为π．设a为正常数，且f（x+a）=，∴f（x+2a）====﹣，∴f（x+4a）=﹣=﹣=f（x）．故函数y=f（x）的一个周期为4a．故答案为：4a．10．（5分）函数y=x﹣sinx（x∈[﹣，]）的单调递递减区间为[﹣，]．【解答】解：根据题意，函数y=x﹣sinx，其导数y′=﹣cosx，若y′=﹣cosx≤0，则cosx≥，又由x∈[﹣，]，则﹣≤x≤，则函数的递减区间为[﹣，]；故答案为：[﹣，]．11．（5分）若复数z满足足|z+1﹣2i|=3，则|z|的最大值为．【解答】解：|z+1﹣2i|=3的几何意义为复平面内动点z到定点（﹣1，2）的距离为3的点的轨迹，如图，由图可知，|z|的最大值为．故答案为：．12．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx在x=1处取得极小值，则实数a 的取值范围是a＞1．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），∵f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx，∴f′（x）=ax﹣（a+1）+=，令f′（x）=0，解得：x=或x=1，若f（x）在x=1处取得极小值，则0＜＜1，解得：a＞1，故答案为：a＞1．13．（5分）过点P（0，﹣1）作曲线C：y=lnx的切线，切点为A1，设A1在y 轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，…，依次下去，得到第n（n∈N*）个切点An，则点A n的坐标为（e n﹣1，n﹣1）．【解答】解：设A1（x1，lnx1），此处的导数值为，故切线方程为y﹣lnx1=（x﹣x1），代入点P（0，﹣1）可得﹣1﹣lnx1=（0﹣x1），解得x1=1，即A1（1，0），B1（0，0），同理可得过点B1再作曲线C的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2），代入点B1（0，0），可得0﹣lnx2=（0﹣x2），可解得x2=e，故A2（e，1），B2（0，1），…依次下去，可得A n的坐标为（e n﹣1，n﹣1）故答案为：（e n﹣1，n﹣1）14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）在定义域上有3个不同的零点，则a的取值范围是（1，e）．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x3﹣3x+2，f′（x）=3x2﹣3，可得f（x）=x3﹣3x+2在（﹣∞，﹣1）递增，（﹣1，1）递减，且f（﹣1）＞0，f（1）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0]上有1个零点．故只需函数f（x）=x2﹣a x在（0，+∞）有两个零点即可．即方程x2﹣a x=0有两个正实根，⇒2lnx=xlna有两个正实根，⇒lna=有两个正实根，令g（x）=，，可得g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，且x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时g（x）→0∴0＜lna＜，∴，则a的取值范围是（1，e）二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位）（1）若z•z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数；（2）若z是关于x的方程x2﹣mx+5=0一个虚根，求实数m的值．【解答】解：（1）∵复数z=1﹣2i（i 为虚数单位），z•z0=2z+z0，∴z0（z﹣1）=2z，∴z0===2+i，∴复数z 0的共轭复数=2﹣i．（2）∵复数z=1﹣2i是关于x 的方程x2﹣mx+5=0一个虚根，∴（1﹣2i）2﹣（1﹣2i）m+5=0，整理，得：2﹣m+（2m﹣4）i=0，解得m=2．16．（14分）已知数列{a n}各项均为正数，且不是常数列．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：+＜2；（2）若数列{a n}是等比数列，求证：1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2不可能成等比数列．【解答】证明：（1）要证+＜2，只要证a 1+a3+2＜4a2，因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3=2a2，只要证＜a 2，只要证a1a3＜a22=（）2，∵数列{a n}各项均为正数，∴a1a3＜a22=（）2成立，∴+＜2；（2）假设1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2可能成等比数列，则（1﹣a n+1）2=（1﹣a n）（1﹣a n+2），即1﹣2a n+1+a n+12=1+a n a n+2﹣（a n+a n+2），∵数列{a n}是等比数列，∴a n+12=1+a n a n+2，∴2a n+1=a n+a n+2，∴数列{a n}是等差数列，∴数列{a n}是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，∴1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2不可能成等比数列．17．（14分）如图，在圆O中，P是弦AB的中点，若直线AB与OP的斜率都存在，则直与OP的斜率之积为定值﹣1．类比圆的这一性质，写出椭圆C：+=1（a＞b＞0）中的类似性质，并证明．【解答】解：在圆O中，P是弦AB的中点，若直线AB与OP的斜率都存在，则中线AB与OP的斜率之积为定值﹣1．类比圆的这一性质，写出椭圆C：+=1（a＞b＞0）中的类似性质为：在椭圆C中，P是弦AB的中点，若直线AB与OP的斜率都存在，则中线AB与OP的斜率之积为定值﹣．证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点P（x0，y0）．则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k AB，k OP=．则+=1，+=1，相减可得：+=0，则+•k AB=0，∴k OP•k AB=﹣．18．（16分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2﹣ax（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x3﹣x，导数为f′（x）=x2﹣1，由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜﹣1；由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，即有f（x）在（﹣1，1）递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）递增，可得f（x）的极小值为f（1）=﹣，极大值为f（﹣1）=；（2）f（x）=x3﹣（a﹣1）x2﹣ax的导数为：f′（x）=x2﹣（a﹣1）x﹣a=（x+1）（x﹣a），若a=﹣1时，f′（x）≥0，f（x）在[﹣1，1]递增，可得f（1）取得最大值，由f（1）=﹣a=，不符题意；若a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]递增，可得f（1）取得最大值，且为﹣a=，可得a=﹣＞﹣1不成立；若a＞1可得f（x）在[﹣1，1]递减，可得f（x）的最大值为f（﹣1），且f（﹣1）=+a=，解得a=2成立；若﹣1＜a≤1可得f（x）在[﹣1，a）递减，（a，1）递增，f（x）的最大值可能为f（﹣1）或f（1），解得a=﹣成立．综上可得a=2或﹣．19．（16分）如图是以O为圆心，半径为2m的圆面一部分．现要在上截取一个矩形ABCD（其中点C，D在圆弧上，点A，B在弦ST上）．过点O作OM⊥ST，于点E，交CD于点F，交圆弧于点M．已知∠SOT=120°，记矩形ABCD面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式①设∠MOC=6（rad），将S表示成O的函数；②设EF=x（m），将S表示成x的函数；（2）当EF为多少时，矩形ABCD的面积S最大？【解答】解：（1）①由图可知，∠MOC=θ，则0°＜θ＜60°，在直角△OET 中，|OT|=2，∠EOT=60°，则|OE|=1，在直角△OFC中，|OC|=2，∠COF=θ，则|CF|=2sinθ，|CD|=4sinθ，|OF|=2cosθ，则|EF|=|OF|﹣|OE|=2cosθ﹣1，故S=|CD|•|EF|=4sinθ•（2cosθ﹣1）（0°＜θ＜60°）．②设EF=x，则由EF=x=2cosθ﹣1，则cosθ=，sinθ=，故由S=|CD|•|EF|=，由图知0＜x＜1，故S=（0＜x＜1）；（2）．S=（0＜x＜1），将4和x都放到根号内，变形得S=，令g（x）=﹣4x4﹣8x3+12x2，则g'（x）=﹣16x3﹣24x2+24x=﹣8x（2x2+3x﹣3），令2x2+3x﹣3=0，得到两根，结合穿根法可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，g（x）有最大值，即此时S=有最大值．综上，当EF=时，矩形ABCD的面积S最大．20．（16分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行，求k的值；（2）若对于任意x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，都有恒成立，求k的取值范围．（3）若对于任意，都有f（x）＞3lnx成立，求整数k的最大值．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）由题意得：f'（x）=lnx﹣k，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行，所以f'（1）=ln1﹣k=3，解得k=﹣3．（2）因为，所以，记，又因为x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，所以在（0，2]上单调递增．所以在（0，2]上恒成立，即在（0，2]上恒成立，记，所以，令，解得，因为当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以当时，f（x）取到最大值，所以．（3）若对于任意，都有f（x）＞3lnx成立，所以（lnx﹣k﹣1）x＞3lnx对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，所以，再令u（x）=3lnx+x﹣3，所以在恒成立，所以u（x）=3lnx+x﹣3在上单调递增，又u（2）=3ln2+2﹣3=3ln2﹣1＞0，，所以必存在唯一的解，使得u（x0）=3lnx0+x0﹣3=0，即，所以当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，因为，所以，又因为k∈Z，所以k+1的最大整数为﹣1，所以整数k的最大值为﹣2．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟满分：40分）21．已知矩阵A=，B=，且二阶矩阵M满足AB=M，求矩阵M及矩阵M的特征值．【解答】解：∵矩阵A=，B=，且二阶矩阵M满足AB=M，∴M=AB==，矩阵M的特征多项式为f（λ）==λ2﹣5λ+6，令f（λ）=λ2﹣5λ+6=0，得矩阵M的特征值λ1=2，λ2=3．22．设z=r（cosθ+isinθ）（r＞0，b∈R），用数学归纳法证明z n=r n（cosnθ+isinn θ）（n∈N*）【解答】解：证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），左边=右边，即n=1等式成立；假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=r k（coskθ+isinkθ），则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]k r（cosθ+isinθ）=r k（coskθ+isinkθ）r k（cosθ+isinθ）=r k+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]=r k+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，即当n=k+1时，等式成立；综上，对n∈N*，z n=r n（cosnθ+isinnθ）23．求函数f（x）=﹣ln（2x﹣6）的单调区间及最小值．【解答】解：根据题意，函数f（x）=﹣ln（2x﹣6），有，解可得x ＞3，则函数的定义域为{x|x＞3}，其导数f′（x）=﹣=﹣==，又由x＞3，则3＜x＜9时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（3，9）为减函数，当x＞9时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（9，+∞）为增函数，则当x=9时，f（x）=﹣ln（2x﹣6）取得最小值，且其最小值f（9）=3﹣ln12；故函数f（x）在（3，9）为减函数，在（9，+∞）为增函数，其最小值f（9）=3﹣ln12．24．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形的对角线AC与BD交于点O，且AB=2，OP=3．点M在线段PC上，设=λ．（1）若λ=，求直线AM与PB所成角的余弦；（2）若平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣，0，0），P（0，0，3），M（﹣，0，），B（0，，0），=（﹣，0，），=（0，，﹣3），设直线AM与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AM与PB所成角的余弦为．（2）设M（a，b，c），则，即（a+，b，c）=（），∴，∴M（，0，3λ），=（﹣，，0），=（，0，3λ），=（﹣，0，3），=（﹣2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），设平面ACP的法向量=（0，1，0），∵平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得λ=．。

精品解析：江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年末学业质量监测高二数学（选修历史）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.在复平面内，复数1-i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限. 【答案】一【解析】【分析】根据共轭复数的概念，即可得到答案.【详解】1i -的共轭复数是1i +，在复平面对应的点为()1,1，故位于第一象限. 【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，难度很小.2.在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________. 【答案】14【解析】【分析】通过计算对应面积，即可求得概率.【详解】该点取自圆内，占有面积为2=4S r ππ=，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：21=S r ππ=，故所求概率为：114S S =. 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.3.根据所示的伪代码，若输入的x 的值为-1,则输出的结果y 为________.【答案】12【解析】【分析】通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案. 【详解】根据伪代码，可知，当10x =-<时，1122y -==，故答案为12. 【点睛】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.4.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________. 【答案】2 【解析】【分析】分别计算出甲，乙的方差，较小的更加稳定，故为答案. 【详解】根据题意，7+8+7+4+9==75x 甲，()()()()()22222277877747971455s -+-+-+-+-==，同理=7x 乙，22s =，故更稳定的为乙，方差为2.【点睛】本题主要考查统计量方差的计算，难度不大.5.己知复数z 和2(1)z +均是纯虚数，则z 的模为________. 【答案】1 【解析】通过纯虚数的概念，即可求得z ，从而得到模长.【详解】根据题意设()z ai a R =∈，则()()()2221112z ai a ai +=+=-++，又为虚数，则210a -+=，故1a =±，则1z =，故答案为1.【点睛】本题主要考查纯虚数及模的概念，难度不大.6.某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________. 【答案】496 【解析】【分析】通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号. 【详解】由于间距为5001050=，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为()650110496+-⨯=，故答案为496. 【点睛】本题主要考查系统抽样的相关计算，难度不大.7.如图所示的流程图中，输出的结果S 为________.【解析】【分析】按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出即可.【详解】经过第一次循环，1,3S i ==；经过第二次循环，4,5S i ==；经过第三次循环，9,7S i ==；经过第四次循环，16,9S i ==；经过第五次循环，25,11S i ==；此时已不满足条件，输出.于是答案为25.【点睛】本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大.8.某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________. 【答案】35【解析】【分析】含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.【详解】质检员从中随机抽出2听共有2615C =种可能，而其中含有不合格品共有1122429C C C +=种可能，于是概率为：93155=. 【点睛】本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.9.已知集合(){}2|(1)20,A x x x a a a =++--∈R 若0A ∈，则a 的取值范围是________.【答案】12a -≤≤ 【解析】【分析】首先可先求出二次方程的两根，由于0A ∈可判断两根与0 的大小，于是可得到答案.【详解】由于()2(1)20x x a a ++--=的两根为2121,2x x a a =-=+-，由于0A∈，所以2220x a a =+-≥，即220a a --≤，解得12a -≤≤，故答案为12a -≤≤.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.10.在平面直角坐标系xOy 中，己知直线1()y kx k =-∈R 与圆22(2)(3)4x y -+-=相切，则k 的值为________. 【答案】34【解析】【分析】通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.【详解】根据题意，可知圆心为()2,3，半径为2，于是圆心到直线的距离22131k d k --=+切，故d r =，因此解得34k =.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.11.在ABC △中，己知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 【答案】0 【解析】【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B =--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.12.已知函数22,()3,x ax a f x x ax x a+<⎧=⎨-+⎩，存在唯一的负数零点，则实数a 的取值范围是________.【答案】{|30}a a a =->或【解析】对0a <，=0a ，0a >三种情况分别讨论可得到取值范围.【详解】当0a <时，而x a <时，max ()30f x a =<，则零点在右段函数取得，故x a 时，2min()3024a a f x f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得)2323a a =-=或舍；当=0a 时，(0)0f =不成立；当0a >时，负零点在左端点取得，于是x a 时，()min ()30f x f a ==>，成立；综上所述，实数a 的取值范围是{}|230a a a =->或.【点睛】本题主要考查分段函数含参零点问题，意在考查学生的分类讨论能力，计算能力，分析能力，难度较大.13.将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC 的两边AB ，AC ，且3ABC π∠=.则当AC 最短时，第三边BC 的长为________米. 【答案】12【解析】【分析】设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.【详解】设AB x =，则1AC x =-，设BC l =，通过余弦定理可得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即()22212cos x x l xl ABC -=+-⋅∠，化简整理得22111115222228x l l l ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭，要使AC 最短，则使AB 最长，故当12l =时，AB 最长，故答案12. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.14.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅的值为________. 【答案】12【解析】通过表示1()2MN AB DC =+，再利用3()2MN AD BC ⋅-=可计算出21CD =，再计算出()2AB CD -可得答案.【详解】由于M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，故1()2MN AB DC =+，AD BC AD CB CD AB -=+=+，所以()()13()22MN AD BC AB CD AB CD ⋅-=-⋅+=，所以223AB CD -=，所以21CD =，而2MN AB CD =-，所以()()222MN AB CD =-，即4412AB CD=+-⋅，故12AB CD ⋅=，故答案为12 【点睛】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中， / / , , A B C D A P A D E =是棱PD 的中点，且AE AB ⊥.（1）求证：CD ∥平面ABE ；（2）求证：平面ABE 丄平面PCD . 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】(1)要证CD ∥平面ABE ，只需说明 /?/? A B C D 即可；（2）要证平面ABE 丄平面PCD ，只需证明AE ⊥平面CDP 即可.【详解】（1）证明：根据题意，/?/?,?AB ,AB CD ABE CD ABE ⊂⊄平面平面,故CD ∥平面ABE ；（2）证明：由于 ,?A P A D E =是棱PD 的中点，故AE PD ⊥，而AE AB ⊥， /?/? A B C D ，因此AE CD ⊥，显然PD CD D ⋂=，故AE ⊥平面CDP ，而AE ⊂平面ABE ，平面ABE 丄平面PCD.【点睛】本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.16.在ABC △中，己知123tan ,cos(),55C A B A B =-=> （1）求sin()A B +的值；（2）求cos2A 的值.【答案】(1) 1213;(2) 6365- 【解析】【分析】（1）通过12tan 5C =，可计算出C 角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案；（2）通过3cos()5A B -=，可得4sin()5A B -=，再利用()()cos 2cos A A B A B ⎡⎤=++-⎣⎦可得答案.【详解】(1) 在ABC △中, 由于12tan 5C =，故22sin 12cos 5sin cos 1C C C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得12sin 135cos 13C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()12sin()sin sin 13A B C C π+=-==；（2）由（1）可知()5cos()cos cos 13A B C C π+=-=-=-，而3cos(),5A B A B -=>，所以4sin()5A B -=，所以 ()()()()()()63cos 2cos cos cos sin sin 65A AB A B A B A B A B A B ⎡⎤=++-=+⋅--+⋅-=-⎣⎦. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右准线:4l x =，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线'l ，椭圆的切线(0)y x mm =-+>与直线',l l 分别交于,M N 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求MFNF的值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）2. 【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式和准线的方程，可得到关于a c 、两个等式，这样可以求出a c 、的值，再利用222a b c =+，可以求出2b ，然后写出椭圆的标准方程；（2）因为(0)y x m m =-+>是椭圆的切线，所以方程组22143y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩有唯一解，利用代入消元法，根据根的判别式为零，可以求出m 的值，而后由题意可以求出M N 、的坐标，利用两点间距离公式可以求出MFNF的值. 【详解】（1）椭圆的离心率为12，所以有122c e a c a ==⇒=，椭圆右准线:4l x =，所以有2244a a c c=⇒=，而2a c =，所以1,2c a ==，而22223a b c b =+⇒=，因此椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）因为(0)y x m m =-+>是椭圆的切线，所以方程组22143y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩有唯一解，把直接方程代入椭圆方程中得：22784120x mx m -+-=，所以有22(8)47(412)0m m ∆=--⨯⋅-=，解得22(8)47(412)0,707m m m m m ∆=--⨯⋅-==±>∴=，所以椭圆的切线方程为7y x =-+，因此椭圆的切线与准线:4l x =的交点为(4,74)M -，因为过椭圆的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线'l 的方程为1x =，所以椭圆的切线与'l 的交点为(1,71)N -，()22222271(41)(74)328728272717171(11)(71)MF NF --+---=====----+-.【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆的切线方程、两点间距离公式，考查了数学运算能力.18.某农场灌溉水渠长为1000m ,横截面是等腰梯形ABCD （如图），//,AD BC AB CD =,其中渠底BC宽为1m ，渠口AD 宽为3m ,渠深3m 4.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD 方向加宽、AB 方向加深，若扩建后的水渠横截面111AB C D 仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm ，若挖掘费为ah 2元/m 3，扩建后的水渠的内壁AB 1，C 1D 1和渠底B 1C 1铺设混凝土费为3a 元/m 2.（1）试用h 表示渠底B 1C 1的宽，并确定h 的取值范围；（2）问：渠深h 为多少时，可使总建设费最少？（注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和）【答案】（1）343h h -，h 的取值范围302h <<；（2）1m 【解析】【分析】（1）通过前后面积是两倍关系可计算出扩建后的面积，通过梯形面积公式可找出关系式，于是可得答案；（2）找出总建设费用关于h 的函数，利用导函数求出极值，于是可得答案.【详解】（1）设11B C x =，由于33tan =sin =45A A ∠∠，，原来的横截面面积()211333242S m +=⋅=，故扩建后的面积为22123S S m ==，扩建后11182tan 3h AD B C x h A =+=+∠，可列方程为：8332x h x h ⎡⎤⎛⎫++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，化简整理得到343x h h =-，而0,0x h >>，故302h <<，故渠底B 1C 1的宽为343h h -，h 的取值范围302h <<；（2）由（1）可表示15=sin 3h AB h A =，故 1111153453()2333AB B C C D h h h h h h ++=+-+=+，因此总建设费用为：()222133910002100031000(6)2W S S ah h a a h h h h ⎛⎫=-⋅⋅++⋅⋅=++ ⎪⎝⎭，令2393()6(0)22f h h h h h =++<<，则()()22231339'()36h h h f h h h h -++=+-=，当01h <<时，'()0f h <，当312h <<时，'()0f h >，故()f h 在1h =处取得极小值33(1)2f =，故总建设费用最小为min 1000(1)W af =，即渠深h 为1m 时，可使总建设费最少.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.19.己知数列{}{},n n a b 的首项均为1,各项均为正数，对任意的不小于2的正整数n ，总有2211n n n n a a a a ---=+，211n n n b b b +-=成立，22b = （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，求所有使得等式2 S 36=T m m l a +-成立的正整数m , l 的值.【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）9m =，6l =.【解析】【分析】(1)通过因式分解可判断{}n a 为等差数列，于是可得通项，通过等比中项性质可知{}n b 为等比数列，于是可求通项；（2）计算出前n 项和，化简式子，通过分解因式找出因子，然后利用正整数解可求得9m =，6l =.【详解】(1)由于 2211n n n n a a a a ---=+，整理得()()111n n n n n n a a a a a a ---+-=+，而10n n a a -+≠，故11n n a a --=，所以{}n a 为等差数列，所以n a n =；由于211n n n b b b +-=，可知{}n b 为等比数列，121,2b b ==，所以12n nb -=；（2）由（1）可得(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--，所以2 S +a -36=T m m l 转化为(+1+3621l m m m -=-），整理即(5)(+72lm m -=），要m , l 都为正整数，则(5)(+7m m -，）都分别是2的倍数，且(+7)(5)12m m --=，故2的幂指数中，只有4与16相差12，故(5)4m -=，故9m =，此时6l =.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，前n 项和的计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.20.已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值；（2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点；（3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）极小值为1a e-+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导，利用导数判断出函数()f x 的单调性，利用极值定义求出函数()f x 的极值；（2）利用导数可求出函数()g x 的单调性和最大值，然后分类讨论在不同单调区间上函数存在零点，最后能证明出函数()g x 有2个不同的零点；（3）构造新函数()()()h x f x g x =+，利用导数，求出()h x 的值域，然后能求出实数a 的最大值.【详解】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，函数()g x 是递增函数，所以函数()g x 的最大值为： max 1111()()ln ln 1g x g a a a a a==-⋅=-，因为10a e<<，所以11ln 1e a a >⇒>，因此有max ()0g x >，因为1e a >，所以(1)0g a =-<，因此当10x a<<时，函数()g x 有唯一零点；因为10a e <<，所以211a a >，22211111()ln 0g a a a a a =-<-<，故函数()g x 在1x a>时，必有唯一的零点，因此函数()g x 有2个不同的零点；（3）设()()()ln ln h x f x g x x x a x ax =+=++-，(1)0h =，'1()ln 1h x x a x =++-，因为211()0h x x x''=->，所以函数()h x '在1x >时单调递增，即'((2)1)h h a x '>=-当20a -≥时，即2a ≤，1x >时，'()0h x >，函数()h x 在1x >时单调递增，因此有()(1)0h x h >=，即当1x >时，()()0f x g x +>恒成立；当2a >时，''1(1)20,()10,aah a h e e=-<=+>所以存在0(1,)ax e ∈，使得'0()0h x =，即当0(1,)x x ∈时，函数()h x 单调递减，所以此时0()()(1)0h x h x h <<=，显然对于当1x >时，()()0f x g x +>不恒成立，综上所述，2a ≤，所以实数a 的最大值为2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点，考查了不等式恒成立问题.。

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6a ； 12
12． (2, 1 ) ； 2
13． 2 ；
8．必要不充分； 9．126；
6a ； 12
11．； 12
12．3； 13． 2 ； 14． (1, 1) ．
二、解答题：（文理科 15）解：（1）（法一）如图 1，设 BC 的中点为 H ，连结 NH ， HC1 ．在 △ABC 中，因为 N 为 AB 的中点， 1 所以 NH // AC ，且 NH AC ， ……… 2 分 2 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，因为 AC // A1C1 ，且 AC A1C1 ， M 为 A1C1 的中点， 1 所以 MC1 // AC ，且 MC1 AC ， ……… 4 分 2 所以 NH // MC1 ，且 NH MC1 ，所以四边形 MC1 HN 为平行四边形，所以 MN // C1 H ．又 MN 平面 BCC1 B1 ， C1 H 平面 BCC1 B1 ，所以 MN // 平面 BCC1 B1 ．（法二）如图 2，在侧面 ACC1 A1 中，连结 AM 并延长交直线 CC1 于点 Q ，连结 BQ . 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1∥CC1 ， AM 所以 AM 1 ， MQ MC1 又因为 N 为 AB 中点，所以 MN ∥BQ ，又 MN 面 BCC1 B1 ， BQ 面 BCC1 B1 ，所以 MN // 平面 BCC1 B1 ．（法三）如图 3，取 A1 B1 的中点 O，连结 OM 、 ON .
高二数学参考答案第 4 页共 10 页
所以 Tn 1 Tn ．因为对任意 n N ，都有 Tn ≥ a 恒成立，所以 a ≤(Tn )min ，即 a ≤ T1 ，
5 所以实数 a 的取值范围是 a ≤ 2 ．
……… 14 分
（文理科 18）解：（法一）（1）如图，过 P 分别作 l1 、 l2 的垂线，垂足分别为 M 、 N ．因为小城 P 位于小城 O 的东北方向，且 OP 5 2 ，所以 PM PN 5 ， ……… 2 分在 RT Rt△PMA 和 Rt△PNB 中，易得 MA 5 ， AP 5 ， ……… 4 分 tan sin ……… 6 分 BN 5 tan ， BP 5 . cos 所以 L( ) OA MA AP PB +BN ON 5 tan 5 5 5 10 (0 ) ． tan sin cos 2 5 5 5 10 （2） L( ) 5 tan tan sin cos 5sin 5cos 5 5 10 cos sin sin cos sin 1 cos 1) 10 ， 5( cos sin cos 2 (sin 1)sin sin 2 (cos 1) cos L( ) 5[ ] cos 2 sin 2 1 cos ) 5(1 sin cos 2 sin 2 1 ) 5( 1 1 sin 1 cos 5(sin cos ) ． (1 sin )(1 cos ) 当 0 时， L( ) 0 ， L( ) 单调递减； 4 当时， L( ) 0 ， L( ) 单调递增. 4 2 所以时， L( ) 取得最小值． 4 此时， OA=5+ 5 10 ， OB =5+5 tan 10 . 4 tan 4 △AOB 的面积 S△AOB 1 OA OB 1 10 10 50 (km 2 ) ． 2 2 答：开发区域 △AOB 的面积为 50 km 2 . （法二）（1）在 △AOP 中，
高二数学参考答案第 1 页共 10 页
A 1 A
A 1
M
C1 B1
C N
B
H
（第 16 题图 1）
……… 6 分 ……… 8 分
Q
M
C1 B1
……… 2 分
因为 M 为 A1C1 的中点，所以 M 为 AQ 中点. ……… 4 分 ……… 6 分
A
C N
B
……… 8 分
（第 16 题图 2）
3 4 1 3 4 3 3 . 2 5 2 5 10 BC AB 在 △ABC 中，， sin A sin C
……… 2 分 ……… 4 分 ……… 6 分
……… 8 分
……… 10 分 ……… 12 分 ……… 14 分
所以
BC 3 2
4 3 4 3ຫໍສະໝຸດ 10，得 BC 5 .
2017~2018 学年（下）高二期末质量监测数学参考答案及评分建议
一、填空题：（文科） 1． 27 ； 2． [0, ) ； 9．； 12 （理科） 1． 1,0 ； 2． 5 ； 3． 3 ； 4 10． 4． 3 ； 5． 25 ； 6． 21 ； 7． y 2 2 x ； 10． 3． 3 ； 4． 2 ； 3 4 11． 1 ； 3 5． 25 ； 6． 21 ； 7． 2 ； 8．必要不充分； 14． (1, 1) ．
即 sin 2 3 sin cos 1 ，所以 3 sin cos cos 2 ． ……… 10 分
π ) ，所以 cos 0 ，因为 (0 ， 2
3 所以 tan ， 3
所以． 6 （文科 17）解：（1）因为 P 为圆 O 的弦 BC 的中点，所以 OP BC ． 1 因为 P 为 OA 的中点，所以 OP OA 1 ， 2 在 Rt△BPO 中， OP 1 ， OB 2 ，所以 BOP 60 ，所以 BOC 120 ， 1 所以 OB OC OB OC cos BOC 2 2 ( ) 2 . 2 （2）① 因为 BP 2 PC ，所以 OP OB 2OC 2OP ，
S 知数列 n 为等差数列，且公差为 1 ． 2 n
……… 14 分
……… 2 分
……… 4 分
因为 b1 1 ，所以所以
S1 1， 1
Sn 1 (n 1) 1 1 n 1 ， n 2 2 2
……… 6 分
所以 Sn 1 n( n 1) ． 2 当 n ≥ 2 时， bn Sn Sn 1 1 n(n 1) 1 (n 1)n n ， 2 2 当 n 1 时， b1 S1 1 ，符合上式，所以 bn n （ n N ）．（2）由（1）知， cn n 1 n 2 1 1 ． n n 1 n n 1 所以 Tn c1 c2 cn
在 △A1 B1C1 中，因为 O、M 分别为 A1 B1 、 A1C1 的中点，所以 OM ∥B1C1 .
因为 OM 面 BCC1 B1 ， B1C1 面 BCC1 B1 ，所以 OM // 平面 BCC1 B1 . ……… 2 分在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， A1 B1∥AB 且 A1 B1 AB ，又因为 O、N 分别为 A1 B1 、 AB 的中点，所以 OB1∥NB ， OB1 NB ，所以四边形 OB1 BN 为平行四边形，所以 ON // B1 B ，
（文科 16）解：（1）因为 3 sin A cos A 1 ， 1 所以 2sin( A ) 1 ，即 sin( A ) . 6 6 2 5 因为 0 A ，所以 A ， 6 6 6 所以 A ，所以 A . 6 6 3 4 （2）因为 sin 2 B cos 2 B 1 ， cos B ， B (0, ) ， 5 2 3 所以 sin B 1 cos 2 B ， 5 所以 sin C sin( A B) sin A cos B cos A sin B
1 2 所以 OP OB OC ， 3 3 又 OP OB OC ，且 OB 与 OC 不共线，
……… 12 分 ……… 14 分
……… 2 分 ……… 4 分
……… 6 分
1 2 ， . 3 3 1 2 ② 因为 OP OB OC ， 3 3 2 2 2 1 （ OB OC ），所以 OP 3 3
3 从而 tan ． 5
……… 4 分
……… 6 分
2sin ) ， b (sin( π ) ， 1) ，且 a ∥ b ，（2）因为 a (1 ， 3
所以 sin( π ) (2sin ) 1 ． 3 ……… 8 分
3 cos ) sin 1 所以 ( 1 sin ， 2 2 2
A
A 1
M
C1 B1
O
C N
B
又 ON 面 BCC1 B1 ， B1 B 面 BCC1 B1 ，（第 16 题图 3）所以 ON // 面 BCC1 B1 . ……… 4 分因为 OM // 面 BCC1 B1 ， ON // 面 BCC1 B1 ， OM ON O , OM 面 OMN ， ON 面 OMN ，所以面 OMN ∥ 面 BCC1 B1 ，又 MN 面 OMN ，所以 MN // 平面 BCC1 B1 . （2）因为 A1 B1 B1C1 ，M 为 A1C1 的中点，所以 B1 M⊥A1C1 . 因为面 ACC1 A1 面 A1 B1C1 ，面 ACC1 A1 面 A1 B1C1 = A1C1 ， B1 M 面 A1 B1C1 ，所以 B1 M⊥面 ACC1 A1 . 又 B1 M 面 B1 MN ，所以面 B1 MN 面 ACC1 A1 . ……… 12 分 ……… 14 分 ……… 6 分 ……… 8 分 ……… 10 分