高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第8课时 诱导公式五、六 含解析
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 诱导公式五、六
【例 2】 求证:
3π
1-2cos2 (+ 2 )
=
tan(9π+)+1
.
tan(π+)-1
3π-)(-sin)-1 -2sin[π+(π-)](-sin)-1
2
2
=
-2sin(
证明∵左边=
π
2
1-2sin2
-2sincos-1
(sin+cos)2
= 2
= 2
2
2
sin +cos -2sin sin -cos2
2 π
sin(π-α)-cos(π+α)=
3 2
(1)sin α-cos α;
(2)sin
3
π
−
2
+cos
3
π
+
2
.
< < π ,求下列各式的值:
解由
2
sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ,得
sin α+cos
将①两边同时平方,得 1+2sin αcos
故 2sin αcos
∵
2
α=9,
2.(例 2 对点题)求证:
cos(π-)
3π
cos[sin( 2 -)-1]
+
cos(2π-)
π
3π
cos(π+)sin(2+)-sin( 2 +)
-cos
cos
证明左边=
+
cos(-cos-1)
-coscos+cos
2
1-cos2
=
2
=右边.故原等式成立.
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.3三角函数的诱导公式(一).docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.3 三角函数的诱导公式(一)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．tan 690°的值为 A.-√33B.√33 C.√3 D.-√32．若cos(75°+α)=13，180°＜α＜270°，则cos(105°−α)+sin(α−105°)=A.1+2√23B.1−2√23C.−1−2√23D.−1+2√233．下列三角函数式:①sin(2nπ+3π4);②cos(2nπ−π6);③sin(2nπ+π3); ④cos[(2n +1)π−π6];⑤sin[(2n −1)π−π3](n ∈Z).其中函数值与sin π3的值相同的是 A.①②B.①③④C.②③⑤D.①③⑤4．已知sin(π+α)=−13,则tan(5π−α)= 5．sin 120°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°)+tan 675°= . 6．已知cos(750+α)=13，其中α是第三象限角，则cos(1050−α)+sin(α−1500)=7．化简：sin(540°−x)tan(900°−x)⋅1tan(450°−x)tan(810°−x)⋅cos(360°−x)sin(−x)8．在△ABC 中，已知sin(2π−A)=−√2sin(π−B), √3cosA =−√2cos(π−B),求△ABC 的三个内角·能力提升1．化简：sin(n π−α)cos[(n−1)π−α]sin[(n+1)π+α]cos[n π+α](n ∈Z)．鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2．(1)已知sin α是方程5x 2-7x-6=0的根,求cos(α+2π)cos(4π+α)tan 2(2π+α)tan(6π+α)sin(2π+α)sin(8π+α)的值.(2)已知sin(4π+α)=√2sin β,√3cos (6π+α)=√2cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.3 三角函数的诱导公式(一)【基础过关】 1．A【解析】tan 690°=tan(720°-30°)=-tan 30°=-√33. 2．D【解析】∵cos(75°+α)=13，180°＜α＜270°，∴255°＜α+75°＜345°，∴sin(75°+α)=−2√23，∴cos(105°−α)+sin(α−105°)=cos[180°−(75°+α)]+sin[(75°+α)−180°]=−cos(75°+α)− sin(75°+α)=−13+2√23=−1+2√23.故选D. 3．C【解析】本题考查诱导公式的应用. ①sin(2nπ+3π4)=sin 3π4=sin π4≠sin π3;②cos(2nπ−π6)=cos π6=sin π3;③sin(2nπ+π3)=sin π3;④cos[(2n +1)π−π6]=−cos π6=−sin π3;⑤sin[(2n −1)π−π3]=−sin(−π3)=sin π3.故选C.【备注】应用诱导公式时尤其注意的是符号的判断,通常符号为把α看成锐角时原三角函数值的符号. 4．±√24【解析】本题考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求值. sin(π+α)=−13⇒sinα=13⇒cosα=±2√23⇒tanα=±√24,所以tan(5π−α)=−tanα=±√24. 5．0【解析】原式=sin(180°-60°)·cos(360°-30°)+sin(720°-690°)cos(720°-660°)+tan(675°-720°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°+tan(-45°) =√32×√32+12×12-tan45°=34+14-1=0.6．2√2−13鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷【解析】本题考查诱导公式及同角三角函数间的关系式应用.因为α是第三象限角且cos(750+α)>0,所以750+α是第四象限角,所以sin(750+α)=−√1−cos 2(750+α)=−2√23, cos(1050−α)+sin(α−1500)=cos[1800−(750+α)]+sin[(750+α)−1800] =−cos(750+α)−sin(750+α)=2√2−1.7．原式=sin(180°−x)tan (−x )⋅1tan(90°−x)⋅tan(90°−x)⋅cosxsin (−x )=sinx −tanx ⋅tanx ⋅tanx(−1tanx)=sinx 【解析】利用诱导公式及同角三角函数关系式化简三角函数式. 8．由已知得sin A B A B ==，上式两端分别平方，再相加得22cos 1A =，所以cos A =.若cos A =cos B =， 此时，,A B 均为钝角，不符合题意.所以cos A =，所以cos B A ==所以4A π=，6B π=，7()12C A B ππ=-+=. 【能力提升】1．解：当n =2k(k ∈Z)时， 原式=sin(2k π−α)cos[(2k−1)π−α]sin[(2k+1)π+α]cos(2k π+α)=sin(−α)⋅cos(−π−α)sin(π+α)⋅cosα=−sinα(−cosα)−sinα⋅cosα=−1．当n =2k +1(k ∈Z)时， 原式=sin [(2k+1)π−α]∙cos[(2k+1−1)π−α]sin[(2k+1+1)π+α]∙cos [(2k+1)π+α]=sin(π−α)⋅cosαsinα⋅cos (π+α)=sinα∙cosαsinα(−cosα)=−1．综上，原式=−1．【解析】本题主要考查利用诱导公式对三角函数的化简求值. 2．(1)由于方程5x 2-7x-6=0的两根为2和-35,所以sin α=-35,& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &再由sin 2α+cos 2α=1,得cos α=±√1−sin 2α=±45,所以tan α=±34,所以原式=cosα·cosα·tan 2α·tanαsinα·sinα=tan α=±34.(2)因为sin(4π+α)=√2sin β, 所以sin α=√2sin β ①.因为√3cos(6π+α)=√2cos(2π+β),所以√3cos α=√2cos β ②. ①2+②2,得sin 2 α+3cos 2 α=2(sin 2 β+cos 2 β), 所以cos 2α=12,cos α=±√22.又0<α<π,所以α=π4或α=3π4.当α=π4时,β=π6;当α=3π4时,β=5π6.所以α=π4,β=π6或α=3π4,β=5π6.【解析】本题主要考查利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式求解有关三角函数式的值.解此类题时要注意诱导公式的实质,即同终边的同一三角函数值是相等的,还需要熟悉特殊角的三角函数值,以便解决简单的已知三角函数值求角的问题.。
第一章 诱导公式五、六
)
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1 π 2．若sin(π＋α)＝－3，则cos(2＋α)等于( 1 1 A.3 B．－3 2 2 2 2 C. 3 D．－ 3
)
答案：B
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3π π 3．化简：sin(π＋α)cos( 2 ＋α)＋sin( 2 ＋α)·cos(π＋α)＝ ________.
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知识预览
1．诱导公式五 π π sin2－α＝cosα，cos2－α＝sinα. 2．诱导公式六 π π sin2＋α＝cosα，cos2＋α＝－sinα.
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5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x π 解析：∵cosx＝sin(2kπ＋2－x)(k∈Z)，
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利用诱导公式五、六化简 【例2】 已知α是第三象限角，且f(α)＝ 3 sin(π－α)cos(2π－α)sin(－α＋2π) 7 cos(－α－π)·cos(－α＋2π) (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cos(α－ 2 )＝5，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)．
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第2课时 诱导公式五、六
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高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
人教版数学高一-人教A版必修4习题 1.3.2 诱导公式五、六
[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A .1－m 2mB ．1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2解析：选B ．sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°(－tan 31°) ＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2.3．在△ABC 中，已知sin A 2＝45，则cos B ＋C 2的值为( )A .35 B ．－35C .45D ．－45解析：选C .因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C 2＝π2－A2，所以cosB ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝sin A 2＝45. 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－2a3B ．－3a 2C .2a 3D .3a 2解析：选B ．由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3a 2.5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D .32解析：选A .f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14. 答案：147．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos(π＋α)＝________． 解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1. 答案：－18．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则 sin （π－α）＋cos （π＋α）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 所以sin α＝2cos α. 原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案：179．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝3. [B 能力提升]1．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A .13B ．23C ．－13D ．－23解析：选D .sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－23.2．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9123．求证：对任意的整数k ，sin ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π－αcos ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π＋αsin ⎝⎛⎭⎫2k ＋32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫2k －12π－α＝－1.证明：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2－αcos ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫k π＋3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫k π－π2－α.①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝cos α（－sin α）－cos α（－sin α）＝－1.②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，同理可得左边＝－1.综上，可知原等式成立． 4．(选做题)已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， 所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π， 故cos β＝±32.。
人教A版高中数学必修四1.3 三角函数的诱导公式(二)
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α，
sin32π＋α＝－cos α，cos32π＋α＝sin α. 答 sin32π－α＝sinπ＋π2－α ＝－sinπ2－α＝－cos α； cos32π－α＝cosπ＋π2－α
＝－cosπ2－α＝－sin α； sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α； cos32π＋α＝cosπ＋π2＋α＝－cosπ2＋α＝sin α.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关 系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
A＋B－C A－B＋C 跟踪训练 3 在△ABC 中，sin 2 ＝sin 2 ，试判断
△ABC 的形状.
解 ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
A＋B－C A－B＋C 又∵sin 2 ＝sin 2 ，
π－2C π－2B ∴sin 2 ＝sin 2 ，
∴sin(π2－C)＝sin(π2－B)，∴cos C＝cos B.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α 与π3－α， π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.
人教版高中数学-必修4课时作业6 诱导公式一、二、三、四
5. 点A(sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：sin2 014°＝sin214°＝－sin34°＜0，cos2 014°＝cos214°＝－cos34°＜0，故选C.
答案：C
6. tan300°＋ 的值是()
答案：C
3. 若sinA＝ ，则sin(6π－A)的值为()
A. B．－
C．－ D.
解析：sin(6π－A)＝sin(2π－A)＝－sinA＝－ ，故选B.
答案：B
4. 若cos(2π－α)＝ 且α∈ ，则sin(π－α)＝()
A．－ B．－
C．－ D．±
解析：由已知，得cosα＝ .∵α∈ ，
∴sin(π－α)＝sinα＝－ ＝－ ＝－ ，故选B.
1＋2cos2A＝2,2cos2A＝1，cosA＝± .
若cosA＝－ ，则cosB＝－ ，此时，A，B均为钝角，不可能，
∴cosA＝ ，故A＝ ，cosB＝ cosA＝ ，
∴B＝ ，C＝π－(A＋B)＝ .
14．已知函数f(x)＝ ，且f(m)＝2，试求f(－mຫໍສະໝຸດ 的值．解析：因为f(x)＝
＝ ，
又因为f(－x)＝
解析：①sin ＝
②cos ＝cos ＝sin ；
③sin ＝sin ；
④cos ＝cos π＝－sin ；
⑤sin ＝sin ，
故②③⑤正确，故选C.
答案：C
12．已知集合M＝{x|x＝－2cos ，n∈Z}，集合N＝{x|x＝2sin π，n∈Z}，那么M与N之间的关系是()
A．MNB．NM
C．M∩N＝∅D．M＝N
高中数学 第8课时 诱导公式五、六练习 新人教A版必修4(2021年整理)
第8课时诱导公式五、六课时目标1.理解公式五、六的推导．2．运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明．公式五:sin错误!＝cosα,cos错误!＝sinα；公式六：sin错误!＝cosα,cos错误!＝－sinα.一、选择题1．已知cos x＝错误!,且x是第四象限角,那么cos错误!＝( ）A.错误!B．－错误!C．－错误! D。
错误!答案:D解析:∵x是第四象限角，cos x＝错误!，∴sin x＝－错误!＝－错误!。
∴cos错误!＝－sin x ＝错误!。
2．已知sin40°＝a，则cos50°等于（）A．±a B．－aC．a D.错误!答案:C3．下面诱导公式使用正确的是（）A．sin错误!＝cosθB．cos错误!＝－sinθC．sin错误!＝－cosθD．cos错误!＝－sinθ答案：C4．若sin（错误!＋α)＋cos错误!＝错误!，则sin错误!＋cos错误!等于（）A．－35B。
错误!C．－错误! D.错误!答案：C解析:由已知得cosα＋sinα＝错误!，∴sin错误!＋cos错误!＝－cosα－sinα＝－错误!。
5．若错误!＝2,则sin（θ－5π)sin错误!等于( ）A。
错误! B．±错误!C。
错误! D．－错误!答案:C解析：由错误!＝2,可得tanθ＝3，∴sin(θ－5π）sin错误!＝(－sinθ)(－cosθ)＝错误!＝错误!＝错误!.6．已知cos错误!＝错误!，且|φ|〈错误!，则tanφ等于（）A．－33B。
错误!C．－错误! D。
错误!答案:C解析：由cos错误!＝－sinφ＝错误!，得sinφ＝－错误!.又|φ｜〈错误!,∴φ＝－π3，∴tanφ＝－3。
二、填空题7．sin（－1200°）cos1290°＋cos(－1020°）sin（－1050°）＋tan945°＝________.答案：2解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°）－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°）＝－sin（120°＋3×360°）cos210°－cos（－60°＋3×360°）sin(－30°＋3×360°）＋tan225°＝－sin(180°－60°)cos（180°＋30°）－cos(－60°）sin(－30°)＋tan（180°＋45°)＝－错误!错误!－错误!错误!＋1＝2。
人教A版高中数学必修4课时作业7诱导公式五、六 Word版含答案
课时作业7.诱导公式五、六时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．sin165°等于(..) A ．－sin15° B ．cos15° C ．sin75°D ．cos75°解析：sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(90°－75°)＝cos75°. 答案：D2．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是(..)A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 答案：B3．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是(..) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f (x －π2)＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ， f (2π－x )＝sin(2π－x )＝－sin x ，f (x －π2)＝sin(x －π2)＝－sin(π2－x )＝－cos x ，f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C. 答案：C4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(..)A ．－2a 3B ．－3a 2 C.2a 3D.3a 2解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2. cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a . 答案：B5．角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，tan γ＝1，β＝α＋90°，则sin β＝(..)A.22 B ．－22 C.12D ．－12解析：由题意，tan α＝tan γ＝1，由⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝1，sin 2α＋cos 2α＝1，又α是第一象限角，解得⎩⎨⎧sin α＝22，cos α＝22，所以sin β＝sin(α＋90°)＝cos α＝22.故选A.答案：A6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是(..)A ．cos(A ＋B )＝cosC B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos(A2＋C )＝sin B D ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C . 所以A ，B 都不正确；同理，B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A2. 因此D 是正确的． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，则f (θ－5π12)＝________.解析：f (θ－5π12)＝2cos(θ－5π12－π12) ＝2cos(θ－π2)＝2cos(π2－θ) ＝2sin θ，由已知可得θ为第四象限角，所以sin θ<0， 故sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，f (θ－5π12)＝2sin θ＝2×(－45)＝－425. 答案：－425三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)，求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)．解：(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，两边平方整理得2sin αcos α＝－79， 又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1＋79＝43.(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α) ＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α) ＝－43×(1－718)＝－2227.11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2(2π－α)·tan (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：∵5x 2－7x －6＝0的两根x ＝2或x ＝－35， ∴sin α＝－35.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴tan α＝34.∴原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34.12．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β和3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解：已知条件可化为⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝2sin β3cos α＝2cos β.....①②两式平方相加可得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＝12，∵0<α<π，∴sin α＝22，∴α＝π4或α＝3π4， 当α＝π4时，代入②可求得cos β＝32， 又因为0<β<π，所以β＝π6.当α＝3π4时，代入②可求得cos β＝－32， 又因为0<β<π，所以β＝5π6. 综上，⎩⎪⎨⎪⎧α＝π4，β＝π6，或⎩⎪⎨⎪⎧α＝3π4，β＝5π6.。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第9课时 诱导公式的组合运用 含解析
第9课时 诱导公式的组合运用课时目标综合应用诱导公式求任意角的三角函数值，化简三角函数式、证明三角恒等式．识记强化 1．α＋k ·2π(k ∈Z 把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式的记忆，可归纳为“奇变偶不变，符号看象限”． 课时作业一、选择题1．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：A解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝sin ⎝⎛⎭⎫－196π＋4π＝sin 5π6＝ sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12. 2．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53C ．±53D ．－23答案：B解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 3.1＋2sin1250°·cos1250°＝( )A ．sin10°－cos10°B ．cos10°－sin10°C ．sin10°＋cos10°D ．－sin10°－cos10°答案：B解析：∵1250°＝1080°＋170°，∴1＋2sin1250°·cos1250°＝1＋2sin170°·cos170°＝1－2sin10°·cos10°＝(sin10°－cos10°)2.∴原式＝|sin10°－cos10°|＝cos10°－sin10°.4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 009)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5答案：C解析：∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.5．已知f (sin x )＝cos3x ，则f (cos10°)的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：A解析：f (cos10°)＝f (sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C ．－13 D ．－23答案：D解析：sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.二、填空题7.sin20°＋cos200°sin340°－cos160°＋tan19°＋cos341°tan161°＋cos161°＝________.答案：－2解析：原式＝sin20°－cos20°－sin20°＋cos20°＋tan19°＋cos19°－tan19°－cos19°＝－2.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝a ，则sin ⎝⎛⎭⎫15π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫6π7－α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝________.答案：a ＋3a ＋1解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝a ，∴tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＝a .∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π7＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π7＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π7＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋1＝a ＋3a ＋1. 9．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－254π，则a 、b 、c 的大小关系是________． 答案：b ＞a ＞c解析：a ＝－tan(π＋π6)＝－tan π6＝－33，b ＝cos(6π－π4)＝cos π4＝22，c ＝－sin(8π＋π3)＝－32，而22＞－33＞－32，∴b ＞a ＞c . 三、解答题10．已知sin(3π＋θ)＝14，求：cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)的值． 解：sin(3π＋θ)＝sin(π＋θ)＝－sin θ＝14∴sin θ＝－14∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝2116＝32. 11．设f (a )＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α (1＋2sin α≠0)．(1)化简f (α)；(2)求f (1°)·f (2°)·f (3°)……f (89°)的值．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 2α， ∴f (α)＝cos α(2sin α＋1)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝cos α(2sin α＋1)2sin 2α＋sin α＝cos (2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α. (2)f (1°)·f (2°)·f (3°)·…·f (89°)＝cos1°sin1°·cos2°sin2°·…·cos45°sin45°·…·cos88°sin88°·cos89°sin89°＝⎝⎛⎭⎫cos1°sin1°·cos89°sin89°)·(cos2°sin2°·cos88°sin88°·…·cos45°sin45°＝⎝⎛⎭⎫cos1°sin1°·sin1°cos1°·⎝⎛⎭⎫cos2°sin2°·sin2°cos2°·…·cos45°sin45°＝1.能力提升12．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫34π－α的值为________． 答案：32解析：sin ⎝⎛⎭⎫34π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32.13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α(k ∈Z )．解：当k 为奇数时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝0.当k 为偶数时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝0.综上，原式＝0.。
2020版人教A版高中数学必修四导练课时作业：1.3 第一课时 三角函数的诱导公式一～四 Word版含解析
1.3 三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式一～四选题明细表基础巩固1.sin(-1 560°)的值是( A )(A)- (B)-(C) (D)解析:sin(-1 560°)=-sin 1 560°=-sin(4×360°+120°)= -sin 120°=-.2.cos(-)+sin(-)的值为( C )(A)-(B)(C) (D)解析:原式=cos -sin =cos -sin =-cos +sin =.3.若n为整数,则代数式的化简结果是( C )(A)tan nα(B)-tan nα(C)tan α(D)-tan α解析:若n为偶数,则原式==tan α;若n为奇数,则原式== tan α.4.已知cos (3π-α)=-,α是第四象限角,则sin(-α-π)的值为( B )(A) (B)-(C)± (D)±解析:因为cos (3π-α)=-,所以cos α=.因为α是第四象限角,所以sin α=-.所以sin(-α-π)=sin α=-.5.若sin(π-α)=log 8,且α∈(-,0),则cos (π+α)的值为( B )(A) (B)-(C)±(D)以上都不对解析:因为sin(π-α)=sin α=log81-log84=0-log822=0-2log82=-,所以cos (π+α)=-cos α=-=-=-.6.若sin(-θ)=,则sin(-θ)= . 解析:因为sin(-θ)=,所以sin(π-θ) =sin[π+(-θ)]=-sin(-θ) =-.答案:-7.的值等于.解析:原式=====-2.答案:-28.已知tan(π+α)=-,求下列各式的值.(1);(2)sin(α-7π)·cos (α+5π).解:tan(π+α)=-,则tan α=-.(1)原式=====-.(2)原式=sin(-6π+α-π)·cos (4π+α+π) =sin(α-π)·cos (α+π)=-sin α(-cos α)=sin αcos α===-.能力提升9.(2018·福州市期中)已知角α终边过点P(3,-4),则sin(π+α)的值为( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:因为角α终边过点P(3,-4),所以x=3,y=-4,r=|OP|==5,所以sin α==-,所以sin(π+α)=-sin α=,故选C.10.(2018·长清区期末)在△ABC中,已知cos A=-a(a>0),则tan(π-A)的值等于( C )(A)a (B)-a(C)(D)-解析:在△ABC中,由cos A=-a(a>0),得sin A==,所以tan(π-A)=-tan A=-=-=.故选C.11.(2018·齐齐哈尔市期末)若cos(π+α)=,α为第二象限角,则tan(π-α)= .解析:因为cos(π+α)=-cos α=,所以cos α=-,又α为第二象限角,所以sin α==,所以tan(π-α)=-tan α=-=.答案:12.已知<α<,cos(α+)=m(m≠0),求tan(-α)的值.解:因为-α=π-(α+),所以cos(-α)=cos[π-(α+)]=-cos(α+)=-m.由于<α<,所以0<-α<.于是sin(-α)==.所以tan(-α) ==-.探究创新13.化简:cos[+α]+cos[-α](n∈Z).解:原式=cos[nπ+(+α)]+cos[nπ-(+α)].当n为偶数时,即n=2k(k∈Z)时,原式=cos(+α)+cos[-(+α)]=2cos(+α);当n为奇数时,即n=2k+1(k∈Z)时,原式=cos[2kπ+π+(+α)]+cos[2kπ+π-(+α)]=cos[π+(+α)]+cos[π-(+α)]=-cos(+α)-cos(+α)=-2cos(+α).综上可知,原式=。
2019高中数学 第一章 第2课时 诱导公式五、六学案 新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin BD ．sinB ＋C2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ， cos A ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α的值是( )A.－35B.35C.45D.－45解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝35， 所以选B. 答案：B 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________． 解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 答案：2657.已知cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)＝__________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan (π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.答案：898．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________． 解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10.(1)已知sin α＝14，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值. 解：(1)由sin β＝1得β＝π2＋2k π(k ∈Ｚ[HZ]Z ＺＸ)，所以Ｔcos (α＋β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2k π＝－sin α＝－14. (2)因为π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，所以π4＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sinx ；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 答案：C2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝_________ 解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝34. 答案：343．设tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a . 求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边， 所以等式成立．。
人教A版数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第9课时 诱导公式的组合运用 Word版含解析
精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .第9课时 诱导公式的组合运用课时目标综合应用诱导公式求任意角的三角函数值 ,化简三角函数式、证明三角恒等式．识记强化1．α＋k ·2π(k ∈Z ) ,－α ,π±α的三角函数值 ,等于α的同名三角函数值 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值 ,分别等于α的异名函数值 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式的记忆 ,可归纳为 "奇变偶不变 ,符号看象限〞．课时作业一、选择题1．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：A解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝sin ⎝⎛⎭⎫－196π＋4π＝sin 5π6＝ sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12. 2．假设sin(π－α)＝log 814 ,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2 0 ,那么cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53C ．±53D ．－23答案：B解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23 ,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2 0 ,∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 3.1＋2sin1250°·cos1250°＝( )A ．sin10°－cos10°B ．cos10°－sin10°C ．sin10°＋cos10°D ．－sin10°－cos10°答案：B解析：∵1250°＝1080°＋170° ,∴1＋2sin1250°·cos1250°＝1＋2sin170°·cos170°＝1－2sin10°·cos10°＝(sin10°－cos10°)2.∴原式＝|sin10°－cos10°|＝cos10°－sin10°.4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b co s(πx ＋β) ,其中a ,b ,α ,β∈R ,假设f (2 009)＝5 ,那么f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5答案：C解析：∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5 ,∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.5．f (sin x )＝cos3x ,那么f (cos10°)的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：A解析：f (cos10°)＝f (sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12. 6．cos(75°＋α)＝13,那么sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23C ．－13D ．－23答案：D解析：sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 二、填空题7.sin20°＋cos200°sin340°－cos160°＋tan19°＋cos341°tan161°＋cos161°＝________. 答案：－2解析：原式＝sin20°－cos20°－sin20°＋cos20°＋tan19°＋cos19°－tan19°－cos19°＝－2. 8．tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝a , 那么sin ⎝⎛⎭⎫15π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫6π7－α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝________. 答案：a ＋3a ＋1解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝a ,∴tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＝a .∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π7＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π7＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π7＋α ＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋1＝a ＋3a ＋1. 9．a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6 ,b ＝cos 23π4,c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－254π ,那么a 、b 、c 的大小关系是________． 答案：b ＞a ＞c解析：a ＝－tan(π＋π6)＝－tan π6＝－33 ,b ＝cos(6π－π4)＝cos π4＝22 ,c ＝－sin(8π＋π3)＝－32 ,而22＞－33＞－32,∴b ＞a ＞c . 三、解答题10．sin(3π＋θ)＝14 ,求：cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)的值． 解：sin(3π＋θ)＝sin(π＋θ)＝－sin θ＝14∴sin θ＝－14∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝2116＝32. 11．设f (a )＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α (1＋2sin α≠0)．(1)化简f (α)；(2)求f (1°)·f (2°)·f (3°)……f (89°)的值．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α ,sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 2α , ∴f (α)＝cos α(2sin α＋1)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝cos α(2sin α＋1)2sin 2α＋sin α＝cos (2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α. (2)f (1°)·f (2°)·f (3°)·…·f (89°)＝cos1°sin1°·cos2°sin2°·…·cos45°sin45°·…·cos88°sin88°·cos89°sin89°＝⎝⎛⎭⎫cos1°sin1°·cos89°sin89°)·(cos2°sin2°·cos88°sin88°·…·cos45°sin45°＝⎝⎛⎭⎫cos1°sin1°·sin1°cos1°·⎝⎛⎭⎫cos2°sin2°·sin2°cos2°·…·cos45°sin45°＝1.能力提升12．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32 ,那么sin ⎝⎛⎭⎫34π－α的值为________． 答案：32解析：sin ⎝⎛⎭⎫34π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α(k ∈Z )． 解：当k 为奇数时 ,原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝0.当k 为偶数时 ,原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝0.综上 ,原式＝0.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .。
人教版高中数学必修四练习1.3诱导公式五、六(第2课时)
基础达标1．(山东临沂高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )．A ．－2 2B ．2 2C ．－24D ．24解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案 A2．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )． A ．－12 B ．12 C ．－32D ．32解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )．A ．－23m B ．－32m C.23mD ．32m解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案 B4．计算cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________．解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝－cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°) ＝－2222＋12＝2－2.答案2－25．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152 ＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 答案2656．(2012·菏泽高一检测)化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析 原式＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αcos α＝－sin 2α－cos 2α＝－1.答案 －17．(2012·南昌期末)已知sin(π＋α)＝－13. 计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α)．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13. (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝223， ∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.能力提升8．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )． A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ， 故A ，B 错；∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错；∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确．答案 D9．(2012·池州高一检测)已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－cos 3，cos α＝sin 3，∵3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限． ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π2.又∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2.答案 3－π210．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6时，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6， 代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
2022-2021年《金版学案》数学人教A版必修4习题：第一章1.3第2课时诱导公式五、六
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固 一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．其次象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在其次象限．答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：A4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中肯定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：由于A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ， cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A2.答案：D5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－23m B.23m C ．－32m D.32m解析：由于sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，所以sin α＝m2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＋2sin(－α)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2sin α＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：由于cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)由于cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920.10．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan （435°－α）＋sin （α－165°）cos （195°＋α）·sin （105°＋α）的值．解：原式＝tan （360°＋75°－α）－sin （α＋15°）cos （180°＋15°＋α）·sin[180°＋（α－75°）]＝tan （75°－α）－sin （α＋15°）－cos （15°＋α）·[－sin （α－75°）]＝－1cos （15°＋α）·sin （15°＋α）＋sin （α＋15°）cos （15°＋α）·cos （15°＋α） 由于α为锐角，所以15°<α＋15°<105°.又cos(15°＋α)＝35，所以sin(15°＋α)＝45，故原式＝－135×45＋4535×35＝536.B 级 力量提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：由于－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223，由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223. 答案：－2233．已知f (α)＝sin （π－α）cos （－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos （π＋α）sin （－α）.(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解：(1)f (α)＝sin αcos αcos α（－cos α）（－sin α）＝cos α.(2)由(1)知，cos A ＝35，由于A 是△ABC 的内角，所以0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.。
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第8课时 诱导公式五、六
课时目标
1.理解公式五、六的推导．
2 识记强化 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α； 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α＝－sin α.
课时作业
一、选择题
1．已知cos x ＝15
，且x 是第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝( ) A.55 B ．－15
C ．－45 D.2 65
答案：D
解析：∵x 是第四象限角，cos x ＝15，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－2 65
.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝－sin x ＝2 65
. 2．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( )
A ．±a
B ．－a
C ．a D.1－a 2
答案：C
3．下面诱导公式使用正确的是( )
A ．sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π2＝cos θ B ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝－sin θ
C ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝－cos θ
D ．cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π2＝－sin θ 答案：C
4．若sin(π2
＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝75，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2等于( ) A ．－35 B.45
C ．－75 D.75
答案：C
解析：由已知得cos α＋sin α＝75，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－cos α－sin α＝－75
. 5．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( ) A.43 B ．±310
C.310 D ．－310
答案：C
解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，可得tan θ＝3，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝(－sin θ)(－cos θ) ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ
＝tan θtan 2θ＋1
＝310
. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2
，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33
C ．－ 3 D. 3
答案：C
解析：由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3
，∴tan φ＝－ 3. 二、填空题
7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________.
答案：2
解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°) ＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°)
sin(－30°＋3×360°)＋tan225°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°)
sin(－30°)＋tan(180°＋45°) ＝－32⎝⎛⎭⎫－32－12⎝⎛⎭
⎫－12＋1＝2. 8．已知tan(3π＋α)＝2，则
sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________. 答案：2
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α
＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1
＝2. 9．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2a sin πx 2
，若f (3)＝6，则a ＝________. 答案：152
解析：f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－6，即f (－3)＝9－2a sin －3π2＝9＋2a sin 3π2
＝9－2a ＝－6，∴a ＝152.
三、解答题
10．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋π)
－tan (－α－π)sin (－π－α).
(1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．
解：(1)f (α)＝sin αcos α(－tan α)
tan αsin α＝－cos α.
(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15.
又α是第三象限角，∴cos α＝－52－125＝－26
5，
∴f (α)＝26
5.
11．(1)设f (α)
＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭
⎫π2＋α，
求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值．
(2)化简：sin ⎝⎛⎭⎫n π＋2
3π·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋4
3π(n ∈Z )．
解：(1)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝2sin αcos α＋cos α
2sin 2α＋sin α
＝cos α(1＋2sin α)
sin α(1＋2sin α) ＝1
tan α，
∴f ⎝⎛⎭⎫－23π
6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π
6＝1tan π
6
＝ 3.
(2)当n ＝2k (k ∈Z )时，
原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2
3π·cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋4
3π
＝sin 23π·cos 4
3π
＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π3
＝32×⎝⎛⎭⎫－1
2
＝－3
4.
当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2k ＋1)π＋2
3π·
cos ⎣
⎡⎦⎤(2k ＋1)π＋43π ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋23π·cos ⎝⎛⎭
⎫π＋43π ＝－sin 23π·cos π3
＝－sin π3·cos π3
＝－32×12
＝－34
. 综上，原式＝－
34
.
能力提升
12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )等于( )
A ．3－cos2x
B ．3－sin2x
C ．3＋cos2x
D ．3＋sin2x
答案：C
解析：f (cos x )＝f ⎣⎡⎦
⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos2⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x .
13．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：cos ⎝⎛⎭⎫π4－A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A 2＝cos π4－B ＋C 2
. 证明：cos ⎝⎛⎭⎫π4－A 2＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π4－A 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A 2. 又因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，
所以A 2＝π2－B ＋C 2，所以B ＋C 2＝π2－A 2. 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4
－B ＋C 2＝cos ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π2－A 2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋A 2＝cos ⎝⎛⎭
⎫π4－A 2. 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4
－B ＋C 2.。