第十二章动能定理

第一节 力与力偶的功
4、作用于转动刚体的力及力偶的功
设刚体绕z轴转动，力F 作 用于刚体上M点，若刚体转动
角度为 d，则M点的微小位
移 ds r。d于是，刚体在定轴转
动中仅有力F 的切向分量Ft做 功，故其元功为
WFtd sFtr d
第一节 力与力偶的功
力F 对于z轴的矩用Mｚ表示，则
WMzd
但Pizi PC z，其中PPi是整个质点系的重量，z C
是质点系重心Ｃ的纵坐标。于是
W P (zC 1zC 2)P h (12-5)
即：质点系所受重力的功，等于质点系的重量 与其重心的高度差之乘积。
上式表明：重力的功等于质点的重量与其起始 位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路 径无关。
第一节 力与力偶的功
当转动刚体在力F 作用下由 1位置运动到 2位
置，则力F的总功为
W
M d 2
1
Z
(12-8)
若有矩为m的力偶作用于刚体上，且力偶作用面
垂直于z轴，则有Mz=m，于是，力偶所作的功为
W 2 md 1
(12-9)
若M= 常量, 则 W 12 M (21)
当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶 所做的功，可同样计算。
第一节 力与力偶的功
5、摩擦力的功
当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦 力是做功的。一般情况下摩擦力方向与其作 用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功， 其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。
如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静 滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。
(1) 动滑动摩擦力的功 WM 1M 2Ftd sM 1M 2 f'FNds
力在单位时间内所作的功，称为功率。以P表示。
设力在Δt 时间内作的功为ΔW，则在这段时间内
的平均功率为
P W t
当Δt趋近于零时的瞬时功率（简称功率）为
P lt i0m W t F d d r tF d d 源自文库 tF v F tv (12-10)
功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方 向上的投影与速度之乘积。
第十二章 动 能 定 理
第一节 第二节 第三节 第四节
第五节
力与力偶的功
质点系的动能 动能定理 势力场和势能 机械能守恒定律 普遍定理的综合应用
第一节 力与力偶的功
第一节 力与力偶的功
设质点M在变力F的作用下作曲线运动，在某微
小时段dt 内产生的位移为dr，路程为ds 。由于 非dr常
微小，可以认为其大小与ds 的大小相等，且方向与速 度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，F在ds上所 做的元功为
Fk(rl0)
图12-4 弹性力的功
第一节 力与力偶的功
弹簧伸长时，弹性力 F指向固定点O。以固定点为 原点，取矢径r，则
F
k(
r
l0
)
r r
于是，弹性力F的元功为
W F d r k ( r l 0 ) r r d r k （ r l 0 ） r r d k ( r r l 0 ) dr
从 r 到r1 r积分r上2 式，
即得质点由M 1 运动M 2到时弹性力F所做的功
第一节 力与力偶的功
Wk 2[r(2l0)2(r1l0)2]
为了简便，命 1 及r1 l0 分2别代r2表质l0 点在第一位置
及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则上式成为
Wk2(12 22)
(12-7)
可见，弹性力所做的功也只与质点的起始及 终了位置有关，而与质点运动的路径无关。
r2 r
利用rdr1d(rr)，1d 从2rr到dr
2
2
积r 分 上r1
r r2
式，即得质点由M１运动到M２时引力F所做的功
WGm1m(r12
1) r1
(12-6)
牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了 位置有关，而与质点运动的路径无关。
第一节 力与力偶的功
3、弹性力的功
设有一弹簧，一端固定于 O点，另一端系一质点M，如 图所示。质点运动时，弹簧将 伸长或缩短，因而对质点作用 一力F，称为弹性力。在弹性 极限内，根据虎克定律，弹性 力F的大小是
2、牛顿引力的功
设位于固定中心O而质量
为m１的物体对于质量为m的 质点M作用有引力F（图12-
3），而F 服从牛顿万有引力
定律，即
F
G
m1m r2
图12-3 牛顿引力的功
其中r是质点Ｍ与引力中心点O的距离；G是引
力常数。
第一节 力与力偶的功
以O为原点，取矢径r，则
F
G
m1m r2
(
r r
)
于是
WFdrGm 1m(rdr)
几种常见力的功的计算公式
１、重力的功
取直角坐标系Oxyz的z轴铅直向上，则质点系中 任一质点 M所i 受的重力 P在i 各坐标轴上的投影为Fix＝0，
Fiy＝0，Fiz＝－Pi。
第一节 力与力偶的功
当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系 重力P所做的功等于
W z z i i1 2 P id i zP i(z i1 z i2 ) ( P iz i) 1 ( P iz i)2
W Ft ds
F d r cos(F,v)
F d r (12-1)
第一节 力与力偶的功
而力F在由 M
至
1
M的2 一段路程中所做的功为
W M2 Fdr M1
(12-2)
设质点同时受n个力F１、F２、…、Fn作用，这n个
力的合力是F，则当质点由Ｍ１运动到Ｍ２时，合力
F所做的功为
W M M 1 2 F d r M M 1 2 F 1 d r M M 1 2 F 2 d r M M 1 2 F n d r W 1 W 2 W nW i
即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在 同一段路程中做的功之和。
第一节 力与力偶的功
取直角坐标系Oxyz，则力F 的元功又可表示为
W F d r F xd x F yd y F zd z
而在由 M1(x1,至y1,z1) M2(x2,y2,z2)
一段路程中力F的总功为：
WM 2 M 1
(F xd xFyd yF zd)z
FN=常量时, W= –f´FN S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力F N ，摩擦力F S 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
drvCdt0
δW F d rF vC d t0
(3) 滚动摩擦阻力偶M的功
若M = 常量则 WMMs
R
第一节 力与力偶的功
6、 功率
第一节 力与力偶的功
当作用于定轴转动刚体上的力矩为Mz时，