第十二章动能定理
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第十二章---动能定理
又 Mz(F) = Mz(Ft) = Ft R = Mz
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
第十二章 动能定理1
(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
2. 弹性力的功
F k(r l0 ) er
W12
A2
F
d
r
A1
A2 A1
k
(r
l0
)
er
d
r
erd r
r
d
r
r
1
d(r r)
2r
dr2 2r
dr
W12
r2 r1
k
(r
l0
)dr
k 2
[(r1
l0
)2
理论力学--第十二章 动能定理
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
第12章动能定理(删——新)
P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
12第十二章动能定理
J P J C Md 2
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
第十二章 第三节 动能定理
例(P263例12-4) 绞车，已知力偶M、重物质量m；主动轴I和从 动轴II的转动惯量J1和J2，传动比i12=w1/w2；鼓轮半径R。。绞 车初始时静止，试求当重物上升距离h时的速度v及加速度a。 M 解 (1)整个质点系 I (2)运动分析 Ek1=0
1 1 m 2 2 2 Ek 2 J1w1 J 2w2 v 2 2 2 w1 iw 2 iv / R w2 v / R
将作用力分成外力和内力 注意：内力作功的和一般不等于零。
A rA
O FA BA rB FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
FA的元功FA · A； dr FB的元功FB · B。 dr 元功之和 d'W = FA · A + FB · B dr dr = FA · A - FA · B dr dr = FA · A-rB) d(r = FA · d(BA) = - FA d(BA)
第三节 动能定理
一、质点的动能定理 M1
M
a
F
M2
质点动能定理的微分形式：质点动能的微分，等于作用在质 点上的力的元功。
ma=F mat=Ft mdv/dt=Ft (mdv/dt) ds=Ftds mvdv=Ftds d(mv2/2) = d'W dEk = d'W
dEk = M Ftds
v2 v1
当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等 于零。 可变质点系： BA可变化，内力功之和不等于零 刚 体： BA不可变(刚体上任意两点的距离保持不变) 内力功之和等于零
内力作功举例： (1)汽车发动机的气缸内气体压力 (膨胀气体对活塞、气缸的作用力) ——内力功使汽车的动能增加 (2)机器中轴与轴承间的摩擦力，它们作负功，总和为负。 (3)人体活动 三、理想约束 理想约束：约束反力作功等于零的约束。 光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索、光滑铰 链、二力杆、不可伸长的细绳等 滑动摩擦力：摩擦力作负功，不是理想约束，但可将摩擦力作 为主动力，仍能应用动能定理 纯滚动：接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，滑动摩 擦力不作功。 ——纯滚动的接触点是理想约束。 在理想约束条件下应用动能定理求解速度、加速度非常方便。
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
第十二章动能定理
2
1
( k ) d
1 2
k ( 1 2 )
2 2
Part A 动能和功
8 作用在平移刚体上的力做功
W
FR
F dr
2
M
M1
i
C
M
2
M1
F R d rC
力系的主矢
Part A 动能和功
9 作用在定轴转动刚体上的力做功
z
F
d ' W F d s F r d
Байду номын сангаас
M
2
M1
( F1 F 2 F n ) d r
W1 W 2 W n
汇交力系合力作功等于各个分力的功的代数和。
Part A 动能和功
6 重力做功
z
F x 0 F y 0 F z mg
M1
W
M2
z2
z1
Fz dz
z2
( mg ) d z
第十二章 动能定理
PART B 动能定理
Part B 动能定理
1 质点的动能定理 质点的动能定理建立起了质点的动能和作用力之间的关系
v M a M1 F
ma F
m dv dt F
ma F
ds vdt
mv d v F d s
得到
1 2 d E k d mv d W 2
Part A 动能和功
10 平面运动刚体上力系的功
Fi
d W i F i d r F i d rC F i d riC F i d riC Fi cos q M i C d M C F i d
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
第12章动能定理
二．势能 在势力场中，任选一点M0令其势能为零，称为零势能点。 则质点从点M 运动到点M0过程中有势力所作的功称为质点在 点M的势能，用Ep 表示。即
Ep
具有相对性。
M0 __
M
F d r ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M
__
M0
显然，势能只取决于质点的位置M和零势能点M0的选取，势能 下面计算几种常见的势能。 1. 重力场中的势能 质点： Ep mg( z z0 ) 质点系： Ep mg( zC zC 0 ) z0 − 零势能点的 z 坐标 zC0 −质点系零势能位置质心
作用在转动刚体上的力的功率为：
δW d P Mz Mz dt dt
上式表明：作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴 的矩与角速度的乘积。
功率的单位：瓦特（W）或 千瓦（kW），1W = 1 J/s 。
二．功率方程 将质点系动能定理的微分形式 dT δWi的两边同除以dt 得 Wi dE k Pi dt dt 上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于
§12-4
一．功率
功率 · 功率方程 · 机械效率
单位时间内力所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的
一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。
δW P dt
注意到 δW F d r ，则
δW F d r P F v Ft v dt dt
上式表明：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
z
1
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
第12章 动能定理
图12-2
1.2 变力的功
这时可将路程 s 分为无限多个微段 ds，则微段路程 ds 可以近似为直线，且力 F 在位移 dr 中
可视为常力，dr 可视为沿点 M 的切线。力 F 在该微小路径上所做的功称为元功，用W 表示，且
有
W F dr
（12-3）
质点 M 沿曲线由 M1 运动到 M2 的过程中，变力 F 做的功为
迹无关。
1.4 几种常见力的功
3．摩擦力的功
如图 12-6 所示，由于质点受到的滑动摩擦力 F μFN 的方向总是与质点运动的方向相反，所 以滑动摩擦力做功恒为负，且有
W M2 Fds M1
M2 M1
μFNds
（12-10）
式（12-10）为曲线积分，因此，滑动摩擦力的功，不仅与起止位置有关，还与路径有关。
图12-6
02
质点和质点系的动能
质点的动能 质点系的动能 刚体的动能
2.1 质点的动能
动能是指物体由于本身的运动而具有的能量。实践表明，物体动能的大小与物体的质量及 运动速度有关。一切做机械运动的物体，质量越大，运动速度越快，其动能也就越大。因此， 动能是度量物体机械运动强度的物理量。
研究表明，质点的动能等于它的质量 m 与速度 v 平方的乘积的一半，即质点的动能为 mv2 /2 。 动能是一个恒为正值的标量。在国际单位制中，动能的单位与功的单位相同，都为 J。
的单位来决定。在国际单位制中，功的单位是 J。
如果路程用矢量 s 表示，则力 F 的功可以写成
W Fs
（12-2）
图12-1
1.2 变力的功
如图 12-2 所示，设质点 M 在变力 F 作用下，沿曲线从位置 M1 运动到位置 M2 ，现求力 F 在 路径 M1M 2 上做的功。由于从 M1 运动到 M2 的过程中，力 F 的大小和方向在不断变化，因此，力 F 的功不能直接用式（12-1）来计算。
1.2 变力的功
这时可将路程 s 分为无限多个微段 ds，则微段路程 ds 可以近似为直线，且力 F 在位移 dr 中
可视为常力，dr 可视为沿点 M 的切线。力 F 在该微小路径上所做的功称为元功，用W 表示，且
有
W F dr
（12-3）
质点 M 沿曲线由 M1 运动到 M2 的过程中，变力 F 做的功为
迹无关。
1.4 几种常见力的功
3．摩擦力的功
如图 12-6 所示，由于质点受到的滑动摩擦力 F μFN 的方向总是与质点运动的方向相反，所 以滑动摩擦力做功恒为负，且有
W M2 Fds M1
M2 M1
μFNds
（12-10）
式（12-10）为曲线积分，因此，滑动摩擦力的功，不仅与起止位置有关，还与路径有关。
图12-6
02
质点和质点系的动能
质点的动能 质点系的动能 刚体的动能
2.1 质点的动能
动能是指物体由于本身的运动而具有的能量。实践表明，物体动能的大小与物体的质量及 运动速度有关。一切做机械运动的物体，质量越大，运动速度越快，其动能也就越大。因此， 动能是度量物体机械运动强度的物理量。
研究表明，质点的动能等于它的质量 m 与速度 v 平方的乘积的一半，即质点的动能为 mv2 /2 。 动能是一个恒为正值的标量。在国际单位制中，动能的单位与功的单位相同，都为 J。
的单位来决定。在国际单位制中，功的单位是 J。
如果路程用矢量 s 表示，则力 F 的功可以写成
W Fs
（12-2）
图12-1
1.2 变力的功
如图 12-2 所示，设质点 M 在变力 F 作用下，沿曲线从位置 M1 运动到位置 M2 ，现求力 F 在 路径 M1M 2 上做的功。由于从 M1 运动到 M2 的过程中，力 F 的大小和方向在不断变化，因此，力 F 的功不能直接用式（12-1）来计算。
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第一节 力与力偶的功
5、摩擦力的功
当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦 力是做功的。一般情况下摩擦力方向与其作 用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功， 其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。
如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静 滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。
(1) 动滑动摩擦力的功 WM 1M 2Ftd sM 1M 2 f'FNds
即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在 同一段路程中做的功之和。
第一节 力与力偶的功
取直角坐标系Oxyz，则力F 的元功又可表示为
W F d r F xd x F yd y F zd z
而在由 M1(x1,至y1,z1) M2(x2,y2,z2)
一段路程中力F的总功为：
WM 2 M 1
(F xd xFyd yF zd)z
FN=常量时, W= –f´FN S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力F N ，摩擦力F S 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
drvCdt0
δW F d rF vC d t0
(3) 滚动摩擦阻力偶M的功
若M = 常量则 WMMs
R
第一节 力与力偶的功
6、 功率
Fk(rl0)
图12-4 弹性力的功
第一节 力与力偶的功
弹簧伸长时，弹性力 F指向固定点O。以固定点为 原点，取矢径r，则
F
k(
r
l0
)
r r
于是，弹性力F的元功为
W F d r k ( r l 0 ) r r d r k （ r l 0 ） r r d k ( r r l 0 ) dr
W Ft ds
F d r cos(F,v)
F d r (12-1)
第一节 力与力偶的功
而力F在由 M
至
1
M的2 一段路程中所做的功为
W M2 Fdr M1
(12-2)
设质点同时受n个力F１、F２、…、Fn作用，这n个
力的合力是F，则当质点由Ｍ１运动到Ｍ２时，合力
F所做的功为
W M M 1 2 F d r M M 1 2 F 1 d r M M 1 2 F 2 d r M M 1 2 F n d r W 1 W 2 W nW i
力在单位时间内所作的功，称为功率。以P表示。
设力在Δt 时间内作的功为ΔW，则在这段时间内ຫໍສະໝຸດ 的平均功率为P W t
当Δt趋近于零时的瞬时功率（简称功率）为
P lt i0m W t F d d r tF d d r tF v F tv (12-10)
功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方 向上的投影与速度之乘积。
第一节 力与力偶的功
当作用于定轴转动刚体上的力矩为Mz时，
从 r 到r1 r积分r上2 式，
即得质点由M 1 运动M 2到时弹性力F所做的功
第一节 力与力偶的功
Wk 2[r(2l0)2(r1l0)2]
为了简便，命 1 及r1 l0 分2别代r2表质l0 点在第一位置
及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则上式成为
Wk2(12 22)
(12-7)
可见，弹性力所做的功也只与质点的起始及 终了位置有关，而与质点运动的路径无关。
但Pizi PC z，其中PPi是整个质点系的重量，z C
是质点系重心Ｃ的纵坐标。于是
W P (zC 1zC 2)P h (12-5)
即：质点系所受重力的功，等于质点系的重量 与其重心的高度差之乘积。
上式表明：重力的功等于质点的重量与其起始 位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路 径无关。
第一节 力与力偶的功
几种常见力的功的计算公式
１、重力的功
取直角坐标系Oxyz的z轴铅直向上，则质点系中 任一质点 M所i 受的重力 P在i 各坐标轴上的投影为Fix＝0，
Fiy＝0，Fiz＝－Pi。
第一节 力与力偶的功
当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系 重力P所做的功等于
W z z i i1 2 P id i zP i(z i1 z i2 ) ( P iz i) 1 ( P iz i)2
第十二章 动 能 定 理
第一节 第二节 第三节 第四节
第五节
力与力偶的功
质点系的动能 动能定理 势力场和势能 机械能守恒定律 普遍定理的综合应用
第一节 力与力偶的功
第一节 力与力偶的功
设质点M在变力F的作用下作曲线运动，在某微
小时段dt 内产生的位移为dr，路程为ds 。由于 非dr常
微小，可以认为其大小与ds 的大小相等，且方向与速 度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，F在ds上所 做的元功为
r2 r
利用rdr1d(rr)，1d 从2rr到dr
2
2
积r 分 上r1
r r2
式，即得质点由M１运动到M２时引力F所做的功
WGm1m(r12
1) r1
(12-6)
牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了 位置有关，而与质点运动的路径无关。
第一节 力与力偶的功
3、弹性力的功
设有一弹簧，一端固定于 O点，另一端系一质点M，如 图所示。质点运动时，弹簧将 伸长或缩短，因而对质点作用 一力F，称为弹性力。在弹性 极限内，根据虎克定律，弹性 力F的大小是
当转动刚体在力F 作用下由 1位置运动到 2位
置，则力F的总功为
W
M d 2
1
Z
(12-8)
若有矩为m的力偶作用于刚体上，且力偶作用面
垂直于z轴，则有Mz=m，于是，力偶所作的功为
W 2 md 1
(12-9)
若M= 常量, 则 W 12 M (21)
当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶 所做的功，可同样计算。
第一节 力与力偶的功
4、作用于转动刚体的力及力偶的功
设刚体绕z轴转动，力F 作 用于刚体上M点，若刚体转动
角度为 d，则M点的微小位
移 ds r。d于是，刚体在定轴转
动中仅有力F 的切向分量Ft做 功，故其元功为
WFtd sFtr d
第一节 力与力偶的功
力F 对于z轴的矩用Mｚ表示，则
WMzd
2、牛顿引力的功
设位于固定中心O而质量
为m１的物体对于质量为m的 质点M作用有引力F（图12-
3），而F 服从牛顿万有引力
定律，即
F
G
m1m r2
图12-3 牛顿引力的功
其中r是质点Ｍ与引力中心点O的距离；G是引
力常数。
第一节 力与力偶的功
以O为原点，取矢径r，则
F
G
m1m r2
(
r r
)
于是
WFdrGm 1m(rdr)