匀速圆周运动学案正式版

匀速圆周运动学案（一）描述圆周运动的物理量1. 线速度v（1）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧在该点的切线方向。

（2）大小：t /s v =。

（s 是t 时间内通过的弧长）【说明】线速度就是物体做圆周运动的即时速度，描述质点沿圆周运动的快慢。

2. 角速度ω（1）大小：s /rad tϕ=ω，ϕ是连接质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度。

（2）角速度描述质点绕圆心转动的快慢。

3. 周期T ，频率f做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

做圆周运动的物体单位时间内绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。

实际生活中所说的转数是指做匀速圆周运动的物体每分钟转过的圈数，用n 表示。

4. v 、ω、T 、f 的关系f l T =，f 2T 2π=π=ω，ω=π=π=r rf 2Tr 2v 【说明】T 、f 、ω三个量中任一个确定，其余两个也随之确定，但v 还与半径r 有关。

5. 向心加速度（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

（2）大小：22r rv a ω== （3）方向：总是指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻发生变化（二）匀速圆周运动1. 定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。

2. 运动学特征：线速度大小不变，周期不变，角速度不变，向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变加速运动。

（三）圆周运动的向心力1. 向心力（1）大小：222222f 4mr T4mr mv mr r v m ma F π=π=ω=ω=== （2）作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向来维持物体的圆周运动。

（3）向心力来源：向心力是根据效果命名的力，它可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，它实际上就是物体沿半径方向受到的合外力。

2. 圆周运动的向心力特点（1）匀速圆周运动：合外力就等于向心力，产生向心加速度，改变速度的方向：向向合ma F F ==。

（2）变速圆周运动：合外力并不（始终）指向圆心。

沿半径方向（或沿法线方向）的合外力等于向心力，产生向心加速度，改变速度的方向，向向法ma F F ==，沿切线方向的合外力，产生切向加速度，改变速度的大小，切切ma F =。

【典型例题】1. 匀速圆周运动的解题方法处理圆周运动的动力学问题时，首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向；然后分析向心力的来源；最后利用牛顿第二定律列出方程，其中，向心力的确定是解决问题的关键。

例1. 如图所示，在半径为R 的转盘的边缘固定有一竖直杆，在杆的上端点用长为L 的细线悬挂一小球，当转盘旋转稳定后，细绳与竖直方向的夹角为θ，则小球转动周期为多大？解析：小球随圆盘一起旋转，所以小球与圆盘的角速度相同，小球做圆周运动的向心力垂直指向杆，向心力由重力和绳子拉力的合力提供。

小球在水平面内做匀速圆周运动的半径：θ+=sin L R r ①重力G 和绳拉力F 的合力提供向心力， 由牛顿第二定律得：22T4mr sin F π=θ② 竖直方向：0mg cos F =-θ③ 联立①②③解得：θθ+π=tan g sin L R 2T ， 答案：θθ+π=tan g sin L R 2T 2. 竖直平面内圆周运动分析在一定束缚条件下竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界问题。

（1）如图所示，用绳子拴住或紧贴圆弧内侧轨道的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况①临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。

即rv m mg 2临界=。

上式中的临界v 是小球通过最高点的最小速度，通常叫做临界速度，rg v =临界。

②能过最高点的条件：临界v v ≥③不能过最高点的条件：临界v v <（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）。

（2）如图所示，用杆或圆形管道束缚住的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0v =临界。

②如图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N F ，其大小等于小球的重力，即mg F N =。

当rg v 0<<时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值值范围是：0F mg N >> 当rg v =时，0F N =。

当rg v >时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大③如图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：当0v =时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力N F ，其大小等于小球的重力，即mg F N =。

当rg v 0<<时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力N F ，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：0F mg N >>。

当rg v =时，0F N =。

当rg v >时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。

说明：圆周运动中的临界问题的分析与求解方法，不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题，对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况，从而建立方程求解。

例2. 如图所示，轻杆长1m ，其两端各连接质量为1kg 的小球，杆可绕距B 端0.2m 处的轴O 在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A 球在最低点时的速度为s /m 4，g 取2s /m 10，求：（1）A 小球此时对杆的作用力大小及方向。

（2）B 小球此时对杆的作用力大小及方向。

解析：在最低点时杆对球一定是拉力，在最高点杆对球可能是拉力，也可能是支持力，由具体情况决定： （1）在最低点时A 球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得：Rv m mg F 2A =-① 代入数据解得：F=30N ②由牛顿第三定律可知球对杆的拉力F ′=30N ，方向向下。

（2）同一根杆上转动的角速度相等，设OB ′=r=0.2m 。

rv R v B A =③ 对B 受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得：rmv F mg 2B B =-④ 联立③④代入数据解得：N 5F B =，由牛顿第三定律可知B 球对杆的压力N 5F B ='，方向向下。

答案：（1）30N ，方向向下（2）5N 方向向下例3. 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m 的小物体A 、B ，它们到转轴的距离分别为cm 20r A =，cm 30r B =，A 、B 与盘面间最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度0ω。

（2）当A 开始滑动时，圆盘的角速度ω。

（3）当A 即将滑动时，烧断细线，A 、B 运动状态如何？（g 取2s /m 10）解析：最初圆盘转动角速度较小，A 、B 随圆盘做圆周运动所需向心力较小，可由A 、B 与盘面间静摩擦力提供。

由于A B r r >，由公式r m F 2ω=可知，B 所需向心力较大；当B 与盘面间静摩擦力达到最大值时（此时A 与盘面间静摩擦力还没有达到最大），若继续增大转速，则B 将做离心运动，而拉紧细线，使细线上出现张力，转速越大，细线上张力越大，使得A 与盘面间静摩擦力增大，当A 与盘面间静摩擦力也达到最大时，A 将开始滑动。

（1）对B ：B 20r m kmg ω=①代入数据得：s /rad 65.30=ω。

（2）分析A 开始滑动时A 、B 受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有：对A ：A 2T fm r m F F ω=-②对B ：B 2T fm r m F F ω=+③其中kmg F fm =④联立②③④解得：s /rad 4=ω。

（3）烧断细线，T F 消失，A 与盘面间静摩擦力足以提供向心力而使A 继续随圆盘做圆周运动，而B 由于fm F 不足以提供向心力而做离心运动。

答案：（1）s /rad 65.3（2）s /rad 4（3）A 继续做圆周运动，B 做离心运动。

一点通：（1）单独一个物体随转盘转动时，其向心力完全由静摩擦力提供；当物体刚好不发生相对滑动时，静摩擦力达到最大值。

（2）本题中A 、B 间若没有细绳连接，则当转速增大到B 可开始滑动时，A 并不滑动，这时A 、B 间距离增大，故若A 、B 间有绳连接，当B 即将滑动（f F 达到fm F ）时绳才有张力，且之后直到A 即将滑动前，B 所受的摩擦力都为最大静摩擦力。

例4. 在质量为M 的电动机上，装有质量为m 的偏心轮，偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大？在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大？解析：设偏心轮的重心距转轴r ，偏心轮等效为用一长为r 的细杆固定质量为m （轮的质量）的质点，绕转轴转动，如图所示，轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即：Mg F =①根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为Mg F =，其向心力为： r m mg F 2ω=+②由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：()()2m /g m M r ω+=③ 当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大。

对偏心轮有：r m mg F 2ω=-'④对电动机，设它所受支持力为N F ，则Mg F F N +'=⑤由③、④、⑤解得()g m M 2F N +=。

由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为()g m M 2+。

答案：偏心轮重心到转轴距离为()2m g m M ω+；在转动过程中，电动机对地面的最大压力为()g m M 2+一点通：本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰：先以电动机为研究对象，再以偏心轮为研究对象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找出最高点和最低点这两个临界状态。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆动的精彩场面，目测体重为G 的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为︒30，重力加速度为g ，估算该女运动员A. 受到的拉力为G 3B. 受到的拉力为2GC. 向心加速度为g 3D. 向心加速度为g 22. 如图所示，半径为r 的圆形转筒，绕其竖直中心轴OO ′转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度ω至少为A. r g μB. g μC. r g μD. rg 3. 如图所示，一小物块在开口向上的半圆形曲面内以某一速率开始下滑，曲面内各处动摩擦因数不同，此摩擦作用使物块下滑时速率保持不变，则下列说法正确的是A. 因物块速率保持不变，故加速度为零B. 物块所受合外力大小不变，方向在变C. 在滑到最低点以前，物块对曲面的压力越来越大D. 在滑到最低点以前，物块受到的摩擦力越来越小4. 滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以s /m 7的初速度从曲面的A 点下滑，运动到B 点速度仍为s /m 7，若他以s /m 6的初速度仍由A 点下滑，则他运动到B 点时的速度A. 大于s /m 6B. 等于s /m 6C. 小于s /m 6D. 条件不足，无法计算5.旋转秋千是一组悬挂在中心大转轮上且绳长约为7m 的秋千，如图所示，当转轮不转动时，秋千沿竖直方向静止，当转轮开始旋转时，秋千开始偏离竖直方向，坐在秋千里的乘客在转椅作用下做圆周运动，当转轮的转速高到一定程度，秋千几乎能够到达水平方向。