2-8高数闭区间上连续函数的性质
高数辅导之专题八：闭区间上连续函数的性质
专题八基础知识闭区间上连续函数的几大定理：定理1（最值定理）若函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，则（1）在],[b a 上至少存在一点1ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(1x f f ≥ξ。
（2）在],[b a 上至少存在一点2ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(2x f f ≤ξ。
)(1ξf 和)(2ξf 为函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值和最小值。
定理2（有界定理）闭区间上的连续函数必有界。
定理3（介值定理）若)(x f 在],[b a 上连续，则它在),(b a 内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数。
定理4（零点定理）若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a c ∈，使得0)(=c f 。
例题1. 设函数)(x f 在),(b a 内连续，b x x a <<<21，01>t ，02>t ，试证在),(b a 内至少存在一点c ，使得)()()()(212211c f t t x f t x f t +=+。
证明：令212211)()(t t x f t x f t T ++=，下面分两种情形说明： （1）)()(21x f x f =时，)()(21x f x f T ==，可取1x c =（或2x ）),(b a ∈，得证。
（2）)()(21x f x f ≠时，不妨假设)()(21x f x f <，则有)()(2111x f t x f t <，)()(2212x f t x f t < 0(1>t ，)02>t故212221212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++<++=)()()(221221x f t t x f t t =++= 211211212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++>++= )()()(121121x f t t x f t t =++=亦即)()(21x f T x f <<由题设，函数)(x f 在],[21x x 上连续，)()(21x f T x f <<，从而由闭区间上连续函数的介值定理知存在),(),(21b a x x c ⊂∈，使得T c f =)(。
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
高数——函数的连续性和连续函数
只需考虑f (x)在分段点x = 0处的连续性.
因 f (0− ) = lim f (x) = lim ae−x = a = f (0)
x→0−
x→0−
而 f (0+ ) = lim f (x) = lim 2 + cos x = 3
x→0+
x→0+
故若f (x)在x = 0点连续，只需f (0− ) = f (0+ )，即a = 3.
cos
⎛ ⎜⎝
x
+
Δx 2
⎞ ⎟⎠
由于 sin Δx 2
≤
Δx ，故当Δx 2
→
0时，而
cos
⎛ ⎜⎝
x
+
Δx 2
⎞ ⎟⎠
≤ 1，
利用无穷小的性质，有
lim Δy = 0
Δx→0
所以sin x在x点连续，即sin x是R上的连续函数.
例 3 证明余弦函数y = cos x是R上的连续函数.
证
设x0是任一实数，作变换u
x3
sin
x
=
lim
x→0
sin
x(1− cos x3 cos x
x)
=
lim
x→0
1 cos
x
⋅
sin x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
lim 1 ⋅ x→0 cos x
x⋅ x
1 x2 2 x2
=
1 2
如将分子中的tan x和sin x都代以等价的x，则有
lim tan x − sin x = lim x − x = 0
lim (x2 + 2) sin x = lim (x2 + 2)x lim(x2 + 2) = 2
高数闭区间上连续函数的性质教案
高数闭区间上连续函数的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解闭区间上连续函数的概念。
2. 让学生掌握闭区间上连续函数的基本性质。
3. 让学生能够运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
二、教学内容：1. 闭区间上连续函数的定义。
2. 闭区间上连续函数的基本性质。
3. 闭区间上连续函数的例子。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：闭区间上连续函数的定义及其基本性质。
2. 教学难点：闭区间上连续函数的证明及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，系统地介绍闭区间上连续函数的概念和性质。
2. 采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解闭区间上连续函数的性质。
3. 采用问题驱动法，引导学生运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
五、教学安排：1. 第一课时：介绍闭区间上连续函数的定义。
2. 第二课时：介绍闭区间上连续函数的基本性质。
3. 第三课时：介绍闭区间上连续函数的例子。
4. 第四课时：讲解闭区间上连续函数的证明方法。
5. 第五课时：运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
六、教学内容：1. 闭区间上连续函数的介值定理（Bolzano定理）。
2. 闭区间上连续函数的极值存在定理。
七、教学重点与难点：1. 教学重点：介值定理和极值存在定理的证明及其应用。
2. 教学难点：介值定理和极值存在定理的证明过程中的逻辑推理。
八、教学方法：1. 采用证明法，详细讲解介值定理和极值存在定理的证明过程。
2. 采用实例分析法，通过具体的例子让学生理解介值定理和极值存在定理的应用。
3. 采用互动讨论法，引导学生探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。
九、教学安排：1. 第六课时：介绍闭区间上连续函数的介值定理，讲解定理的证明及应用。
2. 第七课时：介绍闭区间上连续函数的极值存在定理，讲解定理的证明及应用。
3. 第八课时：通过实例分析，让学生更好地理解介值定理和极值存在定理的实际应用。
4. 第九课时：开展小组讨论，探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。
大一高数前三章知识点归纳
大一高数前三章知识点归纳导言：大一高数是理工科学生必修的一门重要课程。
在大一的学期里，学生通常会学习高等数学的前三章内容，这些内容为以后更深入的学习打下了基础。
本文将对大一高数前三章的主要知识点进行归纳，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 函数的极限极限的定义和性质无穷小与无穷大自变量趋于无穷时的极限两个重要极限：正弦函数与指数函数2. 连续函数连续函数的定义和性质间断点与可去间断点第一类和第二类间断点闭区间上的连续函数二、导数与微分1. 导数的定义和几何意义导数的定义与极限的关系导数的几何意义函数的可导性与连续性的关系2. 基本导数公式常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数复合函数的导数乘积、商法则3. 高阶导数高阶导数的定义和性质可导函数的泰勒展开式凹凸性与函数的导数之间的关系三、不定积分与定积分1. 不定积分不定积分的定义和性质基本不定积分公式三角函数的不定积分分部积分法、换元积分法2. 定积分定积分的定义和性质牛顿-莱布尼兹公式反常积分计算定积分的方法结语：大一高数前三章是建立数学基础的重要阶段，学生要理解和掌握好这些知识点。
通过本文对这些知识点的归纳，相信可以帮助大家更好地学习和应用高等数学。
除了掌握基本概念和方法外，同学们还应注重实际应用和解题技巧的训练，同时也要注意形成系统的思维方式和数学思维习惯。
希望本文能给大家带来帮助，祝愿大家在高等数学的学习中取得好成绩！。
高数闭区间上连续函数的性质教案
高数闭区间上连续函数的性质教案教案章节一：引言与预备知识1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的概念，掌握一些基本的预备知识，如集合、函数、极限等。
2. 教学内容：(1) 集合的基本概念，如集合的表示方法、集合的运算等。
(2) 函数的基本概念，如函数的定义、函数的表示方法、函数的性质等。
(3) 极限的基本概念，如极限的定义、极限的性质、极限的计算等。
3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。
4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。
教案章节二：闭区间上连续函数的定义1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的定义，并能运用该定义判断函数的连续性。
2. 教学内容：(1) 闭区间上连续函数的定义。
(2) 连续函数的性质，如单调性、周期性等。
3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。
4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。
教案章节三：闭区间上连续函数的图像1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的图像特征，并能运用这些特征分析函数的性质。
2. 教学内容：(1) 连续函数的图像特征，如连续函数的单调区间、极值点等。
(2) 连续函数的图像绘制方法，如解析法、数值法等。
3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。
4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。
教案章节四：闭区间上连续函数的极限1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的极限概念，并能运用极限的性质计算极限。
2. 教学内容：(1) 闭区间上连续函数的极限定义。
(2) 极限的性质，如极限的存在性、唯一性、保号性等。
(3) 极限的计算方法，如直接计算法、夹逼定理法、单调有界定理法等。
3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。
4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。
教案章节五：闭区间上连续函数的连续性1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的连续性概念，并能运用连续性的性质判断函数的连续性。
闭区间上连续函数基本性质——介值性和根的存在定理(老黄学高数第126讲)
存在ξ∈[x’,x”](或[x”,x’])⊆[a,b]，使f(ξ)= A.
.
2、证明：若f在[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]，
f(x)≠0，则f在[a,b]上恒正或恒负.
证：若f在[a,b]上不恒正也不恒负，则
必存在x1,x2∈[a,b]，使f(x1)>0，f(x2)<0， 又f在[a,b]上连续，由根的存在性定理知，
.
1、设f在[a,b]上连续，x1,x2,…xn∈[a,b].
证明：存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=
证：记A=
.
∵f在[a,b]上连续，∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
任给的x∈[a,b] ，有m≤f(x)≤M， ∴m≤ A ≤M， 设x’,x”∈[a,b], 使f(x’)=M, f(x”)=m，由介值性定理知
∴必有x∈(x1,x2)⊂[a,b]，使f(x)=0与题设矛盾. ∴f在[a,b]上恒正或恒负.
3、证明：任一实系数奇次方程至少有一实根.
.
证：设a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1=0 (a0≠0) 为实系数奇次方程. 记f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1，则f在R上连续. 当a0>0时， f(x)=+∞， f(x)=-∞，
又f(x)= xn在[0,a]上连续，并有f(0)<r<f(a)， 由介值性定理知，至少有一点x0∈(0,a)，使f(x0)=x0n=r. 设正数x1使得x1n=r，则有 x0n– x1n =(x0– x1)(x0n-1 + x0n-2x1+…+ x1n-1)=0， ∴x0=x1. 原命题得证.
2023考研数学高数必背定理：函数与极限
2023考研数学高数必背定理：函数与极限1500字函数与极限是数学高等教育中的重点内容，也是考研数学高数部分经常出现的题型。
为了帮助考生巩固相关知识，我将为大家介绍一些必背的函数与极限定理，希望对大家的备考有所帮助。
1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - A| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。
这个定义表达了函数在某点的极限值是指函数逼近某个常数。
2. 函数极限的性质：a. 唯一性：如果函数在某点的极限存在，那么它一定唯一；b. 保号性：若lim(x→x0)f(x) = A > 0，则存在x0的一个去心邻域，使得当x在该去心邻域内时，f(x) > 0。
3. 无穷大与无穷小：a. 无穷小定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)f(x) = 0，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷小。
b. 无穷大定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)|f(x)| = ∞，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷大。
4. 函数连续性定理：a. 第一类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间上的每一个点x0处都满足lim(x→x0)f(x) = f(x0)，那么称函数在区间[a, b]上连续；b. 第二类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且函数在x0的某一去心邻域内有定义，那么函数在点x0处连续的充分必要条件是函数在点x0的左右极限lim(x→x0-)f(x)和lim(x→x0+)f(x)存在且相等。
5. 闭区间上连续函数的性质：a. 有界性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有的x∈[a, b]成立；b. 最值性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
高数课件第一章第十节 闭区间连续函数的性质
证: 设
由定理 1 可知有 (有界性定理 )
M
?
max
x? [a, b ]
f
(x)
,m
?
min
x? [a , b]
f
(x)
y
M y ? f (x)
取 K ? max{ m , M }, 有 f (x) ? K .
上有界 .
m
o a?1 ?2 b x
若 x0使f (x0 ) ? 0, 则称 x0 为 f (x) 的零点 .
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
一、最值定理
定义：设 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在
x0 ? I, 使得 ? x ? I,都有
f (x) ? f (x0 ) (或 f (x) ? f (x0 ) )
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
提示：
?? 1, x ? 0
? g(x) ? 1? x2 f ( x ) ? sgn x ? ??0, x ? 0
??1, x ? 0
? f [g(x)] ? sgn(1? x2 ) ? 1
f [g( x )] 在(?? ,?? )上处处连续
g[
f
(x)]
?
1?
?sgn
x?2?
? 2, ??1,
x?0 x?0
在[0, ? ? )上的最大值为1, 最小值为0.
而在(0, ? ? )上的最大值和最小值都为1.
? 最大值和最小值与所考虑的区间有关。
再如 y ? x ?1 , I ? (0 , 1)
y 2
在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值 ? 函数在一个区间上不一定有
高数二知识点总结
高数二知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 无穷小与无穷大2. 极限的性质- 唯一性、有界性- 四则运算法则- 夹逼定理3. 极限的计算- 极限的四则运算- 链式法则、导数的定义- 洛必达法则4. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 闭区间上连续函数的性质二、导数与微分1. 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义2. 导数的计算- 基本导数公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 隐函数求导3. 高阶导数- 高阶导数的定义- 常见函数的高阶导数4. 微分的概念- 微分的定义- 微分与导数的关系三、中值定理与泰勒公式1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒公式- 泰勒公式的定义- 泰勒级数展开- 近似计算四、函数的极值与最值1. 极值的概念- 极值的定义- 极值存在的条件2. 极值的求解- 一阶导数测试- 二阶导数测试- 函数的单调性3. 最值问题- 闭区间上函数的最值 - 应用问题五、一元函数积分学1. 不定积分- 基本积分表- 换元法- 分部积分法2. 定积分的概念- 定积分的定义- 微积分基本定理3. 定积分的计算- 定积分的性质- 定积分的计算方法4. 积分应用- 几何应用- 物理应用- 微分方程的解法六、空间解析几何1. 向量代数- 向量的运算- 向量的坐标表示2. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程3. 曲线与曲面- 空间曲线的方程 - 常见曲面的方程七、多元函数微分学1. 偏导数- 偏导数的定义 - 高阶偏导数2. 全微分- 全微分的定义 - 全微分的计算3. 多元函数的极值 - 极值条件- 拉格朗日乘数法八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义- 三重积分的计算方法3. 重积分的应用- 计算体积- 计算重心与惯性矩请根据以上结构在Word文档中进行编辑和扩展，确保每个部分都有详细的解释和示例。
闭区间上连续函数基本性质——最值定理和有界性定理(老黄学高数第125讲)
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
若M<A+ε0且m>A-ε0，则M>A-ε0且m<A+ε0， 取εM =M-(A-ε0)=M-A+ε0>0，有正数c，使x>c时，有 |f(x)-A|<εM，即A-(M-A+ε0)<f(x)<A+(M-A+ε0)=M+ε0. 由ε0的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N， 取xM=max(M,N)，则xM为f在[a,+∞)上的最大值；
A+ε0
A
A-ε0
ab
且f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若M≥A+ε0，则M为f在[a,+∞)上的最大值；
M
A+ε0
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若m≤A-ε0，则m为f在[a,+∞)上的最小值；
A
A-ε0
m
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
证：定义函数F(x)=
大一高数函数的连续知识点
大一高数函数的连续知识点一、函数的连续性概念在大一高数中，我们学习了函数的概念和性质。
函数的连续性是其中一个重要的性质之一。
当我们讨论函数的连续性时，我们关注的是函数在某一点或某一区间内的表现。
二、函数的连续性定义我们首先来看函数在某一点的连续性定义。
设函数f(x)在a点附近有定义，若满足以下条件：1. f(a)存在，2. 函数f(x)在a点的极限存在，3. 函数f(x)在a点的极限等于f(a)，则称函数f(x)在点a处连续。
三、连续函数的性质1. 连续函数代数和复合运算的性质：- 两个连续函数的和、差、积仍然是连续函数；- 两个连续函数的商在除数不为0的点上仍然是连续函数；- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
2. 连续函数的介值性：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且f(a)≠f(b)，则对于区间[f(a), f(b)]中的任意数y，总存在一个点c∈(a, b)，使得f(c)=y。
四、连续函数的常用类型1. 多项式函数：多项式函数是连续函数的典型例子。
对于任意正整数n，多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀在整个实数域上都是连续函数。
2. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数也是连续函数的重要类型。
例如，f(x)=aˣ和g(x)=logₐx，其中a>0且a≠1，都是连续函数。
3. 三角函数：三角函数sinx、cosx和tanx在其定义域内都是连续函数。
五、间断点和间断性在函数连续性的讨论中，我们也需要关注间断点和间断性。
间断点是指函数在该点不连续的点，其中包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：若函数在某一点a的左右极限存在且相等，但不等于函数在该点的值f(a)，则称点a为函数的可去间断点。
2. 跳跃间断点：若函数在某一点a的左右极限存在，但左右极限不相等，则称点a为函数的跳跃间断点。
3. 无穷间断点：若函数在某一点a的左或右极限为正无穷大或负无穷大，则称点a为函数的无穷间断点。
医学专题医用高数第一章函数及极限第三节函数的连续性
一、连续函数的概念(gàiniàn) 二、初等(chūděng)函数的连续 三性、闭区间(qū jiān)上连续函数的性 质
第一页，共二十六页。
如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学 范畴里，很多变量的变化都是连续不断的．函数(hánshù)的连续性 正是客观世界中事物连续变化现象的反映．
最小值．
1 [a,b], f (1) f (x)
2 [a,b], f (2 ) f (x)
a
1
2 b
推论（有界性定理） 若函数 y f (x)闭区间 [a, b] 上连续，则 y f (x) 在闭区间 [a, b] 上必有界．
第二十一页，共二十六页。
定理1-4（介值定理） 若函数 y f (闭x)区间 [a,上b连]
y
y f (x)
y
x
0
x0
x0 x x
第三页，共二十六页。
2．函数(hánshù)连续性的定义
定义1-9 设函数(hányshù) f (x)
果 x 0时,也有 y 0,即
在点x0
及其附近有定义,如
lim y
x0
lim[
x0
f
( x0
x0 )
f
(x0 )]
0
则称函数(hyánshù) f (x) 在点x0 处连续,称x0 为 f (x)的连续点.
第二十六页，共二十六页。
x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在;
x x0
(3) lim f ( x) f x x0
例1-29 讨论函数
( x0 ).
f (x)
x
sin
1 x
大一高数连续知识点
大一高数连续知识点高等数学是大学本科数学的重要课程之一，它的学习内容很多，其中连续函数是一个非常重要的知识点。
本文将介绍大一高数中与连续函数相关的一些基本概念和性质。
一、函数的定义与性质函数是两个数集之间的一种特殊关系。
设A、B是两个非空数集，如果按照某种规则，对于A中的每一个元素a，都有唯一确定的元素b与之对应，那么就说在A和B之间建立了一个函数。
通常用f来表示函数，表示为f:A→B。
在谈到连续函数之前，我们首先要了解函数的性质。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
对于连续函数来说，最为重要的性质是连续性。
二、连续函数的定义在数学上，连续函数是指函数在其定义域上的每一个点都具有相应的极限，并且函数值与极限值相等。
具体来说，函数f在点x=a处连续的条件如下：1. 函数f在点x=a上定义；2. 函数f在点x=a的左极限f(a-)与右极限f(a+)存在；3. 函数f(a-)、f(a+)和f(a)相等。
三、连续函数的性质连续函数具有一系列重要的性质，下面列举其中几个常用的性质：1. 连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数；2. 连续函数的复合函数仍然是连续函数；3. 连续函数的反函数不一定是连续的；4. 连续函数在闭区间上一定达到最大值和最小值；5. 连续函数在闭区间上一定满足介值定理。
四、连续函数的判定方法在实际问题中，我们常常需要判断给定的函数是否连续。
下面介绍几种判定连续函数的方法：1. 函数在有限个点处连续的充分条件是函数在这些点的左极限和右极限存在且相等；2. 函数的初等函数运算结果均是连续函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等；3. 连续函数的反函数不一定是连续的，但是反函数在连续函数的值域上是连续的；4. 封闭区间上的连续函数必定具有最大值和最小值，利用这个性质可以判断连续函数的连续性。
五、连续函数的应用连续函数在科学研究和实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动学问题，例如自由落体问题、抛体运动问题等；2. 经济学中的市场需求和供给分析；3. 工程学中的控制系统分析和设计；4. 计算机科学中的图像处理和模式识别等。
高数闭区间上连续函数的性质教案
第17、18课时：【教学目的】1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、 熟练掌握零点定理及其应用。
【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。
【教学难点】介值性定理及其应用§1. 10 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==21 31 110 1)(x x x x x x f y .定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.二、零点定理与介值定理零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f (a )=A 及f (b )=B ,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C (a<ξ<b).定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.。
高数上 连续函数的运算与性质
解 因为
3
(1 2 x)sin x
(1 2 x)21xsin1 x6 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以
3
lim(1 2 x)sin x
x0
lim
x0
(1
2
x
)
1 2x
x sin
x6
e6 .
初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的;
指数函数 y a x (a 0,a 1)在(,)内单调
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续;
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
1
x)x
lnlxim0 (1
1
x)x
ln e 1 .
例 2 求 lim cos( x 1 x) . x
解 lim cos( x 1 x) x
coslxim (
x 1 x)( x 1 x1 x
x)
coslxim
1 x1
x
cos0 1 .
3
例 3 求 lim(1 2 x)sin x . x0
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章函数与极限(一) 函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f (x) 在x0连续x lim x f (x) f (x0)x x0第一类：左右极限均存在。
间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二) 极限1、定义1) 数列极限lim x n a 0, N , n N, x n an2) 函数极限lim f (x) A 0, 0, x, 当0 x x0 时， f (x) A x x0左极限： f(x 0 ) lim f (x)右极限： f (x 0 ) lim f (x)x x 0x x 0lim f (x) A 存在f (x 0 ) f (x 0 )x x 02 、 极限存在准则 1 ) 夹逼准则： 1) y n x n z n ( n n 0 )2)lim y n lim z n ann2 ) 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3 、 无穷小(大)量1) 定义：若lim则称为无穷小量；若 lim则称为无穷大量2 ) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 Th1 ~ o( );Th2 ~ , ~ ,lim 存在，则 lim lim (无穷小代换)5) 无穷小代换：( x 0)lim x n a1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：sinxlim x01b) l x im 0(1 x)xlim (1 1)xe xx4 、 求极限的方法 a1a) x ~sinx~ tanx~ arcsinx ~ arctanx第二章 导数与微分 一) 导数函数 f (x)在 x 0点可导 f (x 0) f (x 0)几何意义： f (x 0)为曲线 y f (x)在点 x 0, f (x 0) 处的切线的斜率。
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即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
定理 4(介值定理)
a o
y f ( x)
1 2
3
b x
设函数 f ( x )在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x )与水平
直线 y C至少有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0在区间(0,1)内
3 2
至少有一根.
证 令 f ( x ) x 3 4 x 2 1, 则f ( x )在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0,
f (1) 2 0,
由零点定理,
(a, b), 使 f ( ) 0,
3 2
即 3 4 2 1 0,
方程x 4 x 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
思考题
假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上 山，晚上6点到达山顶，第二天上午8点从山顶 沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者 在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？ 为什么？
思考题解答
会.
不妨设山高为h, 登山者头天登山的高度函数 为f 1 ( x )，第二天登山的高度函数为f 2 ( x ).则 f 1 ( x )、f 2 ( x )在[8,18]上连续，且 f 1 (8) 0, f 1 (18) h; f 2 (8) h, f 2 (18) 0. 设f ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ), 则f ( x )在[8， ]上连续， 18 且f (8) h 0, f (18) h 0.由零点定理知 存在一点 8， ），使f ( ) 0.亦即证明 （ 18 结论。
f (a ) A 及 f (b) B ,
那末，对于 A与 B 之间的任意一个数C ，在开区间
a, b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C
(a b) .
证 设 ( x ) f ( x ) C ,
则 ( x )在[a, b]上连续,
y
M B y f ( x) C a o x1 1 A m
例如, y 1 sin x , 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
三、小结 思考题
三个定理
有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理.
注意条件 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a
2
1 b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
练 习 题
一、 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至 少有一个正根，并且它不超过 a b . 二、若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，
a x1 x 2 x n b
则在 [ x 1 , x n ] 上必有
三、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b ,试证 [ c , d ] 明：对任意正数 p和q ；至少有一点 ,使 pf ( x ) qf ( x ) ( p q ) f ( ) .
y
y f ( x)
1
y
y f ( x)
o
2
x
o
12xFra bibliotek二、零点定理与介值定理
定义: 如果 x0 使 f ( x 0 ) 0 , 则 x 0 称为函数
f ( x ) 的零点 .
定理 2(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上 连续，且 f (a ) 与 f (b) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ),那末 在开区间a, b 内至少有函数 f ( x ) 的一个零点,即至 少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 .
，使 f ( x ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ...... f ( x n ) . n
第八节 闭区间上连续 函数的性质
一、最大值最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 三、小结 思考题
一、最大值和最小值定理与有界性
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
且 (a ) f (a ) C A C, (b) f (b) C B C ,
2 3 x2 b
x
(a ) (b) 0, 由零点定理,
(a, b), 使
( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C .