高二数学上册期中考试试题
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案
2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线3(2)20x a y ---=与直线80x ay ++=互相垂直，则a =（）A ．1B ．3-C ．1-或3D ．3-或12．已知椭圆22:1x C y m+=，则“2m =”是“椭圆C ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c -++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+- 4．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．22169x y +=D ．221169x y +=5．若21x -=22x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．146．若实数,x y 满足22(2)1x y -+=，则下列结论错误的是（）A ．24x y +≤B ．()122x y -≤C ．y x ≤D ．25x y -≤7．已知12,F F 分别是双曲线22:1412x yE -=的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 为坐标原点，则||ON =（）A ．4B ．2C ．3D ．18．从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b +=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．关于曲线22:1E mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若曲线E 表示两条直线，则0,0m n =>或0,0n m =>B ．若曲线E 表示圆，则0m n =>C ．若曲线E 表示焦点在x 轴上的椭圆，则0m n >>D ．若曲线E 表示双曲线，则0mn <10．已知圆22:4O x y +=，则（）A ．圆O 与直线10mx y m +--=必有两个交点B ．圆O 上存在4个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．若圆O 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．已知动点P 在直线40x y +-=上，过点P 向圆O 引两条切线，A ，B 为切点，则||||OP AB 的最小值为811．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12FQ F Q ⊥，则Q C ∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <三、填空题12．设12,F F 是双曲线C :2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且120PF PF ⋅= ，则12PF F 面积为.13．已知,A B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的左右顶点，设点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若椭圆离心率为2，则12k k ⋅为．14．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在正方形11CC D D 及其内部上运动，若tan 2tan PAD PBC ∠∠=，则点P 的轨迹的长度为.四、解答题15．已知圆22:4O x y +=．(1)若线段AB 端点B 的坐标是(4,2)，端点A 在圆O 上运动，求线段AB 的中点D 的轨迹方程；(2)若,EF GH 为圆22:4O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，求四边形EGFH 的面积S 的最大值．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.(1)求证：PB PD ⊥；(2)当PC PD =时，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.17．给定椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b，称圆心在原点O C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为)F ，其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 和其“准圆”的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点，P 是椭圆C 上的一个动点，求AP BP ⋅的取值范围．18．已知O 为坐标原点，圆O ：221x y +=，直线l ：y x m =+（01m ≤<），如图，直线l 与圆O 相交于A （A 在x 轴的上方），B 两点，圆O 与x 轴交于,M N 两点（M 在N 的左侧），将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AMN ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面BMN ）互相垂直，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴正半轴，原y 轴正半轴所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)若0m =．（ⅰ）求三棱锥A BMN -的体积；（ⅱ）求二面角A BN M --的余弦值．(2)是否存在m ，使得AB 折叠后的长度与折叠前的长度之比为6？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为按上述方法折纸.以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线4x =于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q .直线AP 、AQ 的斜率分别为AP k 、AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ⋅为定值；（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.。
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（）A ．12，3B ．12，3-C ．12-，3D ．12-，3-【正确答案】B【分析】由230x y -+=可得322x y =+，据此可得答案.【详解】323022x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为12，又令0y =，则30322x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-.故选：B2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（）A B ．5CD ．【正确答案】A【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，因此，BC =.故选：A.3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】C【分析】根据平行线的距离公式d .【详解】d =故选:C.4．已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．8B ．4C ．D ．【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，所以OA ==，2OB =，1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB -+⨯== ，所以sin ,2OA OB = ，以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（）A ．AB =r B ．AB 4=，rC ．AB =2r =D ．AB 4=，2r =【正确答案】C【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.【详解】圆N 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1N易知点N 在直线AB 上，所以，AB =因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，点M 到直线AB 的距离为d ==2r ∴==.故选：C.6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （）A ．5-B ．5C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值.【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为()2,1-，由题意可知，直线2l 过点()2,1-，则2210a ⨯++=，解得5a =-.故选：A.7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A ．2B CD ．【正确答案】B【分析】将MN 用AB、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==故选：B.8．已知P 是圆()22:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（）A ．22MA MO +为定值B ．22MA MC +为定值C ．22MO MC +为定值D ．222MA MO MC ++为定值【正确答案】B【分析】设点()00,P x y ，可得220001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.【详解】设点()00,P x y ，则()220054x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭.圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.对于A 选项，()22222200000022022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=+++=⎝+ ⎪⎭()0002102121224144x x x -++-==不是定值，A 错；对于B 选项，222222000002021110611524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=++-+=⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭0010211061202x x --+==，B 对；对于C 选项，()()2222220000020020022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7924x -=不是定值，C 错；对于D 选项，()222222222220000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0003102120122105944x x x --++==不是定值，D 错.故选：B.二、多选题9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC uuu r的为（）A ．1AB AD AA ++B ．11111AA A B A D ++C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++ 【正确答案】ABC【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对；对于B 选项，1111111A C A B B A B C C A A D =+++=+，B 对；对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错.故选：ABC.10．直线:310l x ++=，则（）A ．点(3-在l 上B ．l 的倾斜角为5π6C ．l 的图象不过第一象限D ．l 的方向向量为)3,1【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22310-++≠ ，所以，点(3-不在l 上，A 错；对于B 选项，直线l 的斜率为33k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（）A ．MN PQ=B ．直线MN 与直线BQ 相交C ．点Q 到直线MND ．点D 到平面MNP 的距离为11【正确答案】AC【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.【详解】A 选项：MN PQ =，故A 正确；B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；C 选项：连接,MQ QN，则MQ =，QN =MN =MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 3424+=，1524HPN S == ，又点D 到平面HPN 的距离为2，所以1552346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，又D MPN V -=M DPN V -，MP =PN =MN =1222PMN S ==，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有15326h ⨯⨯=，所以11h =，故D 错误.故选：AC12．已知()1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（）A ．PAB S 的最大值为3B ．PA PB +的最大值为9C ．A 到直线PB 距离的最大值为43D ．2PB PA=【正确答案】ABD【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB S 的最大值为1232AB ⨯⨯=，A 对；对于C 选项，如下图所示：点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，连接OP ，则OP PB ⊥，则122OP OB ==，故30PBA ∠=o ，因此，点A 到直线PB 的距离为33sin 302=，C 错；对于D 选项，设点()00,P x y ，则22004x y +=，所以，2PB =2PA ===，D 对；对于B 选项，()33369222PA PB PB PO OB +=≤+=⨯=，当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，所以，PA PB +的最大值为9，B 对.故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2,1a =- ，()2,,1b k =，()()a b a b +⊥- ，则k =__________．【正确答案】1±【分析】分析可得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥- ，则()()()222650a b a b a b k +⋅-=-=-+= ，解得1k =±.故答案为.1±14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________．【正确答案】2【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =，当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意.故2．15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ的最小值.【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--，所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-= ，CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面，又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点，由已知PO ⊥平面ABC ，所以PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以PO =，所以PQ16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．【正确答案】4]【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，由010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ，圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =，由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，||CP ==，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB =AB 的最大值即为圆的直径，∴AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故⎡⎤⎣⎦．四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)BC 边上的高所在直线的方程；(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程．【正确答案】(1)52180x y +-=(2)5220x y --=(3)2x =【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程.【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为421442y x --=---，整理可得52180x y +-=.（2）解：132195BC k +==--- ，则BC 边上的高所在直线的斜率为52，所以BC 边上的高所在直线的方程为()5422y x -=-，整理可得5220x y --=.（3）解：41121AB k -==+ ，43129AC k +==--，所以0AB AC k k +=，所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．(1)若1MN B N ⊥，求a ；(2)若MN 平面1A BD ，求a ．【正确答案】(1)32a =(2)12a =【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅= ，即可列式解出答案；（2）得出MN 与1A B uuu r 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解得出答案.【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，所以(),3,3MN a =-- ，()12,1,0B N =- ，1MN B N ⊥ ，10MN B N ∴⋅= ，即230a -=，解得32a =；（2）由（1）得(),3,3MN a =-- ，()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =- ，设平面1A BD 的法向量为n，则100BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅= ，解得12a =.19．在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，AA 1=M 为BB 1的中点．(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．【正确答案】4(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =- ，()2,0,0AC =- ，(1,3,3AM =- 设平面MAC 的法向量为n，则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1n =- 所以()36cos 4,22AB n ==⨯ 故AB 与平面MAC 64（2）解：由（1）得A 1(1，0，23，C 1(-1，0，23，则()(1112,0,01,3,3A C A M =-=-- 设平面11MA C 的法向量为m ，则11100A C m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1m = 所以0m n ⋅= ，即m n ⊥ ，故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．【正确答案】(1)9m =(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()223425x y m -+-=-，25m <．所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R 因为两圆相外切，所以1OC R =+，5OC ==,4=，解得9m =（2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-=①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t=依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x -②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，依题意14⎧=⎪⎪=，所以344k b b +-=当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，解得724k =，即2524b =-所以此时l 的方程为7252424y x =-当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()2243251k k -=+，解得34k =-即54b =所以此时l 的方程为3544y x =-+故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．(1)求直线AD 与BP 所成角；(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 23【正确答案】(1)60 (2)12PE EB =【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；（2）设PE PB λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O = ，则O 为BD 的中点，由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠= ，因此AO OP ⊥，因为AO BD O = ，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，()1,1,0AD =-- ，()0,1,1BP =- ，所以1cos ,222AD BP AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅ ，故直线AD 与BP 所成角为60 ．（2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AB =-uu u r ，()1,0,1AP =- ，则111100m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=-- ，()1,1,0AD =-- ，设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z = ，则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+ ，由题意可得cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅ ，因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB = ，故12PE EB =，因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23.22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(1，P 4(1，中恰有三点在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ．①求k 的取值范围；②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．【正确答案】(1)224x y +=(2)①413k -<<-或10k -≤<；②证明见解析【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围.②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1，4P (1，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩．所以圆C 的方程为224x y +=．（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．()()()2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<，又1k ≠-，所以413k -<<-或10k -≤<，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，212216161k k x x k +⋅=+，2112P A y k x -=，2222P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-，所以()()22121221244244144P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+，圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
高二上学期数学期中考试试题
阶段性测试2一、单选题 1．已知两直线1:260l x y -+=与2:3690l x y -+-=，则1l 与2l 间的距离为（ ）AB C D 2．已知点(1,2)A 与(3,3)B 关于直线0ax y b ++=对称，则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，132-B ．－2，72-C ．－2，32D ．2，1323．已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-4．求与直线0x y +-=平行且将圆2220x x y -+=的周长平分的直线方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y ++= C ．10x y +-=D ．10x y -+=5．若点（1，1）在圆()225x a y -+=的外部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．()2,2-C ．()(),13,-∞-⋃+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A B ．5 C D ．1637．若直线:420l kx y k -++=与曲线y =k 的取值范围是（ ） A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<8．已知F 为双曲线22:149x y C -=的左焦点，,P Q 为双曲线C 同一支上的两点．若12PQ =，点A 在线段PO 上，则PQF △的周长为（ ）A ．25B ．16C ．32D ．40二、多选题 9．已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若l αβ=，m α∥，m β∥，则m l ∥ D ．若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥10．已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在 C ．直线l 可能过点()2,1D ．直线l 的横、纵截距可能相等11．已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线，则实数a 的取值可能是（ ）A ．－4B ．－2C ．D ．312．已知椭圆C ：22142x y +=内一点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点M是线段AB 的中点，则（ ） A ．椭圆C 的焦点坐标为()2,0，()2,0- B ．椭圆C 的长轴长为4 C ．直线l 的方程为2230x y +-=D ．AB =三、填空题13．已知()()()2,1,3,1,4,2,5,6,AB AC AD λ=-=--=-，若,,,A B C D 四点共面，则实数λ为_______.14．已知抛物线C ：24y x =，C 的焦点为F ，点M 在C 上，且6FM =，则点M 的横坐标是______．15．已知点P （m ，n ）在圆()()22:229C x y -+-=上运动，则()()2221m n +++的最大值为______．16．过双曲线22221x y a b -=（,0a b >）的右焦点2F 且与x 轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P ，1F 为左焦点，直线1F P 的倾斜角为6π，则双曲线的离心率e 为_______.四、解答题 17．已知ABC 的顶点(4,2)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.求 （1）顶点C 的坐标； （2）求点B 到直线AC 的距离. 18．已知圆22:(1)4C x y -+=.(1)若直线l 经过点(1,3)A -，且与圆C 相切，求直线l 的方程； (2)若圆2221:2280C x y mx y m +--+-=与圆C 相切，求实数m 的值. 19．在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．(1)求点C 的轨迹方程；(2)(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．20．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 与双曲线22:13x E y -=的一个焦点重合.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AB =，求线段AB 的中点M 到准线的距离.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，3BAD π∠=，4,1,,AB BC AD PD M ==⊥是AB 的中点，点N 满足12CN NP =.(1)证明：平面PDM ⊥平面ABCD ；(2)若,3PM MD PC ⊥=，求二面角A DM N --的余弦值.22．已知点(1,0)A -，圆B ：22(1)8x y -+=，点P 是圆B 上的动点，PA 的垂直平分线与PB 交于点Q ，记Q 的轨迹为C ． (1)求C 的方程；(2)设经过点E 的直线l 与C 交于M ，N 两点，求证：OM ON ⋅为定值，并求出该定值．参考答案：1．D【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】直线2l 的方程可化为230x y -+=（使用两条平行直线间的距离公式时，x ，y 的系数要对应相等），显然12l l ∥，所以1l 与2l 间的距离为d =故选:D ． 2．A【分析】点(1,2)A 与(3,3)B 关于直线0ax y b ++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，列式求解即可. 【详解】易知12AB k =，则直线0ax y b ++=的斜率为-2， 所以2a -=-，即2a =．又AB 的中点坐标为52,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入20x y b ++=，得132b =-.故选：A. 3．A【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a -，根据图象可知1a -的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A4．C【分析】由题易知，直线过圆2220x x y -+=的圆心，又因为与直线0x y +-平行即斜率相等，所以利用点斜式方程即可得出答案. 【详解】解：圆2220x x y -+=的圆心坐标(1,0)， 所求直线将圆2220x x y -+=平分， 则直线过圆2220x x y -+=的圆心，又因为与直线0x y +-=平行，则所求直线的斜率为1k =-， 利用点斜式得到直线方程为()11y x =-⨯-，整理成一般式为10x y +-= 故选：C 5．C【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知()22115a -+>，解得1a <-或a ＞3， 则实数a 的取值范围是()(),13,-∞-⋃+∞， 故选：C. 6．A【分析】先找出B 关于直线的对称点C 再连接AC 即为“将军饮马”的最短路程. 【详解】如图所示，设点()2,0B -关于直线23x y +=的对称点为()11,C x y ，在直线23x y +=上取点P ，连接PC ，则PB PC =．由题意可得1111112222322y x x y ⎧⎛⎫⋅-=- ⎪⎪+⎪⎝⎭⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得1104x y =⎧⎨=⎩，即点()0,4C，所以PA PB PA PC AC +=+≥=，当且仅当A ，P ，C 三点共线时等号成立，所以“将军饮马” 故选：A ． 7．C【分析】根据直线l 和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，y 可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离2d ==，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线y =314k -≤<-. 故选：C. 8．C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，224,9a b ==，所以24913c =+=，解得c =所以双曲线22:149x y C -=的左焦点(F ，所以点A 是双曲线C 的右焦点．作出双曲线C ，如图所示．由双曲线的定义，知24PF PA a ==-①，||||24QF QA a -==②， 由①②，得8PF QF PQ +=+， 又12PQ PA QA =+=，所以PQF △的周长为8232PF QF PQ PQ ++=+=． 故选：C. 9．BC【分析】利用面面垂直的性质判断选项A ；利用线面垂直的性质判断选项B ；利用线面平行的性质判断选项C ；利用线面垂直判定定理判断选项D. 【详解】选项A ：若αβ⊥，m α⊂，n β⊂， 则m n ∥或m n 、相交或m n 、互为异面直线.判断错误； 选项B ：若m α⊥，n α⊥，则m n ∥.判断正确； 选项C ：设平面a αδ=，m δ⊂，又m α∥，则m a ∥ 设平面b βγ=，m γ⊂，又m β∥，则m b ∥，则a b ∥，又b β⊂，a β⊄，则a β∥， 又a α⊂，l αβ=，则a l ∥，则m l ∥.判断正确；选项D ：若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β、的位置关系为相交，当且仅当αβ⊥时m β⊥.判断错误. 故选：BC10．BD【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案. 【详解】解：因为直线:10l x my m -+-=， 若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确； 若0m ≠，则直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误； 将点()2,1代入直线方程得2110m m -+-=≠，故C 错误； 令1m =，则直线方程为0x y -=，横纵截距均为0，故D 正确． 故选：BD 11．AD【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解． 【详解】圆心()10,C a ，半径13r =，圆心()2,0C a ，半径21r =．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距d =31>+，解得a <-或a > 故选：AD ． 12．BCD【分析】根据椭圆方程，求出a 、c ，即可判断A 、B ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求出直线l 的斜率，即可得到直线方程，从而判断C ，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，即可判断D ；【详解】解：由椭圆方程22142x y +=，所以24a =，22b =，所以2222c a b =-=，故c =所以椭圆C的焦点坐标为)，()，故A 错误；因为2a =，所以椭圆C 的长轴长为24a =，故B 正确；设点()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()2222212120x x y y -+-=， 整理得2121212112y y y y x x x x -+⋅=--+，因为点M 是线段AB 的中点，且11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以212112y y x x +=+，所以21211y y x x -=--，所以直线l 的方程为1(1)2y x -=--，即2230x y +-=，故C 正确；由221422230x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得261210x x -+=， 所以122x x +=，1216x x =，所以AB =D 正确．故选：BCD 13．8【分析】根据空间中四点共面可得向量共面，进而可求解. 【详解】,,,A B C D 四点共面，∴存在实数,m n ，使得AD mAB nAC =+，254632m n m n m n λ-=⎧⎪∴-+=-⎨⎪-=⎩，解得218m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 故答案为：8 14．5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设点M 的横坐标为0x ，则有016x +=，所以05x =． 故答案为：5 15．64【分析】()()2221m n +++表示圆C 上的点P 到点()2,1M --的距离的平方，利用数形结合分析即得解.【详解】解：由题得圆心C （2，2），半径r ＝3．()()2221m n +++表示圆C 上的点P 到点()2,1M --的距离的平方，因为5CM =，所以max 538PM =+=，即()()2221m n +++的最大值为64．故答案为：6416【分析】依题意表示出焦点坐标与渐近线方程，令x c =，即可得到P 点坐标，再根据两点斜率公式得到b a =. 【详解】解：依题意右焦点()2,0F c ，双曲线的渐近线为by x a =，令x c =可得bc y a=，即,bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又左焦点()1,0F c -，所以1tan 622F Pb kcb ac a π====，所以b a =所以离心率c e a =.17．（1）(3,0)；（2【分析】（1）已知AC 边上的高BH 所在直线方程，可得AC 所在直线的斜率，联立AC 和CM 的直线方程即可求出点C 的坐标.（2）CM 所在直线方程是AB 边上的中线所在直线方程，则AB 、的中点坐标满足此直线方程，与求得B 点所在直线方程联立直线方程求出102,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据（1）解得直线AC 方程，根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】解：（1）设(,)C m n ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.3021142m n n m --=⎧⎪∴-⎨⎛⎫⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得30m n =⎧⎨=⎩(3,0)C ∴.（2）设(,)B a b ， 则220423022a b a b +-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得10323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，102,33B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭∴直线AC 的方程为260x y --=∴点B 到直线AC的距离d =18．(1)1x =-或512310x y +-=(2)1m =±或1m =【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.（1）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =-，与圆C 相切，符合题意.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(1)y k x -=+，即30kx y k -++=2=，解得512k =-，所以直线l 的方程为512310x y +-=.综上，直线l 的方程为1x =-或512310x y +-=.（2）圆1C 的方程可化为22()(1)9x m y -+-=.若圆1C 与圆C5，解得1m =±.若圆1C 与圆C 内切，1=，解得1m =.综上，1m =±或1m =.19．(1)221(2)4x y x +=≠±(2)()22241(0)x y y -+=≠【分析】（1）设点C 坐标，根据题意直接列方程可得； （2）由相关点法可得. (1)设点C 坐标为(,)x y ，由题知1224AC BC y y k k x x ⋅=⨯=-+- 整理得点C 的轨迹方程为221(2)4x y x +=≠±(2)设点M 坐标为(,)x y ，点C 坐标为00(,)x y 由中点坐标公式得00422y x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩ 将00242x x y y =-⎧⎨=⎩代入221(2)4x y x +=≠±得点M 的轨迹方程为：()()222421(0)4x y y -+=≠，即()22241(0)x y y -+=≠20．(1)28y x = (2)3【分析】(1)先由双曲线的焦点，可得22p=，解出4p =即可求解; (2)根据抛物线的定义可得12AB AF BF x x p =+=++，从而可得点M 的横坐标，再根据抛物线的定义可求解. (1)∵双曲线22:13x E y -=的焦点坐标为()2,0±，又抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴22p=，即4p =.∴抛物线C 的方程为28y x =. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义， 知1212124622p pAB AF BF x x x x p x x =+=+++=++=++=， ∴122x x +=，于是线段AB 的中点M 的横坐标是1， 又准线方程是2x =-，∴点M 到准线的距离等于123+=. 21．(1)证明见解析；(2)二面角A DM N --的余弦值为【分析】（1）证明AD ⊥平面PDM ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出PM ⊥平面ABCD ，以D 为原点，分别以DA 、DM 、MP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求得二面角A DMN --的余弦值.（1）由题意得122AM AB ==，3BAD π∠=，1AD =，在ADM △中，由余弦定理可得2222cos33DM AD AM AD AM π=+-⋅=，222AD DM AM +=，则AD DM ⊥，AD PD ⊥，PD DM D ⋂=，,PD DM ⊂平面PDM ，AD ∴⊥平面PDM ，AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDM ⊥平面ABCD .（2）由（1）知AD ⊥平面PDM ，PM ⊂平面PDM ，AD PM ∴⊥，又PM MD ⊥，AD MD D =，AD MD ⊂，平面ABCD ，所以PM ⊥平面ABCD ，以D 为原点，分别以DA 、DM 、MP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，连接MC ，在平行四边形ABCD 中，由余弦定理可得2222cos73MC BC BM BM BC π=+-⋅=，在直角三角形PMC 中，222PM PC MC =-=，于是()0,3,0M 、()0,3,2P 、()2,23,0C -，由12CN NP =得124532,,33333DN DP DC ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DMN 的法向量(),,n x y z =，则300453200333y n DM n DN x y z ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩，取1x =得，()1,0,22n =，易知平面ADM 的一个法向量()0,0,1m =，则22cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，由图可知，二面角A DM N --的平面角为钝角，所以，二面角A DM N --的余弦值为223-. 22．(1)2212x y += (2)证明见解析，定值为1-【分析】（1）根据点Q 在PA 的垂直平分线上，得QP QA =，从而可得2QA QB QP QB BP AB +=+===，则有Q 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，即可得解；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设l ：=y kx ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，再证明1212x x y y +为定值即可.(1)解：圆B 的圆心为(1,0)B ，半径BP = 由点Q 在PA 的垂直平分线上，得QP QA =，所以2QA QB QP QB BP AB +=+==>=，所以Q 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，2a =22c =，所以a =1c =，1b =， 所以C 的方程为2212x y +=； (2)证明：①当直线l 的斜率不存在时，易知(0,1)(0,1)1OM ON ⋅=⋅-=-，②当直线l 的斜率存在时，设l ：=y kx 11(,)M x y ，22(,)N x y ，则把=y kx 2212x y +=得223(21)40k x ++-=，显然0∆>，有12x x +=12243(21)x x k =-+，1212(y y kx kx =+212121()3k x x x x =++22613(21)k k -+=+， 所以21212224613(21)3(21)k OM ON x x y y k k -+⋅=+=-+++226313(21)k k --==-+， 综上所述，OM ON ⋅为定值1-．。
高二上学期期中考试数学试卷
卷（I）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.已知集合A={Z|}，B={－2，－1），那么A B等于( )A. {－2，－1，0，1}B. {－2，－1，0}C. {－2，－1}D. {－1}【答案】B【解析】由得，结合可知，故选B.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.已知数列{）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是( )A. 2B. 40C. 56D. 90【答案】B【解析】【分析】分别令选项中的数等于，解得n值不是正整数的即为答案．【详解】由题意令可得n=2为正整数，即2是{a n}的项；同理令,可得n不为正整数，即40不是{a n}的项；令，可得n=8为正整数，即56是{a n}的项；令，可得n=10是正整数，即90是{a n}的项．故选：B．【点睛】本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n必须是正整数．3.等差数列的前项和，若，则( )A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.【此处有视频，请去附件查看】4.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是( )A. ac>bcB. ab>bcC. ab<bcD. ac<bc【答案】D【解析】【分析】由条件可得a＞0，c＜0，再利用不等式的基本性质可得结论．【详解】∵a＞b＞c，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，b不确定，∴ac<bc,故选：D．【点睛】本题考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，判断 a＞0，c＜0，是解题的关键.5.若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为( )A. 3B. 3或－1C. －3D. 3或－3【答案】A【解析】【分析】由题意列关于a，b的方程组，求得a，b后可得等差数列的公差．【详解】∵1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则，解得或,∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+50,即，∴舍去，即∴等差数列的公差为b-a=3．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题.6.设函数，若，则的取值范围为( )A. （－1，1）B. （－1，+）C. （－，9）D. （－，－1）（9，+）【答案】D【解析】【分析】由分段函数可得或，运用二次函数图像和对数函数的单调性，即可得到解集．【详解】若f（）＞1，则或，即或解得<-1或>9．故选：D．【点睛】本题考查二次不等式和对数不等式的解法，考查对数函数单调性的运用，解对数不等式将式子化为同底的对数，再由单调性列出不等式即可得到结果.7.数列{}中，“（n∈N*）”是“数列{}为等比数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若数列{a n}是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当a n=0，此式也成立，但数列{a n}不是等比数列，∴“”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.当x>1时，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. （－，2]B. [2，+）C. （－，3]D. [3，+）【答案】D【解析】试题分析：设，因为，所以，则，所以，因此要使不等式恒成立，则，所以实数的取值范围是，故选D.考点：均值不等式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.命题“R，”的否定为_______【答案】，【解析】试题分析：本小题给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题“，”.考点：本小题主要考查含有一个量词的命题的否定.点评：对于此类问题，要主要特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题. 10.等差数列{}中，=_______【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质进行化简即可得到结果.【详解】数列∴==故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列的性质（其中p+q=m+n）的应用.11.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是【答案】【解析】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得【此处有视频，请去附件查看】12.数列{}是公比为2的等比数列，其前n项和为。
【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（ ） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−， 所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−， 所以z 的虚部为3−， 故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =， 因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =， 所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ， 所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点， 所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（ ）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解， 所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5， 故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（ ）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（ ）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ， 过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ， 因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠， 由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合， 设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO， 根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义， 设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，， 因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =， 因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ， 又因为20304y ，所以267174434y ， 所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个， 故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=， 即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤， 故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =， 所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确； 故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确； 若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确； 故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形， 又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确； 对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确； 对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确； 对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号， 所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________． 【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =， 圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =， 所以，圆锥的高为223h l r =−=， 因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点， 由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−， 当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−． 故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−， 则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−， 即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ． 【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积 【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差． 【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解； （3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下： 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =， 男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==； 【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−， 又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥； （2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==， 因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==， 又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=， 同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥， 因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ， 因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ， 过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ， 因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点， 则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=， 因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==， 则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥， 因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ， 则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅， 因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+； 【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩， 当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程． 【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>， 又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。
2023_2024学年天津市高二上册期中考试数学检测试题(附答案)
14．直线l ：42mx y m --+=15．已知抛物线C ：的焦点为24x y =在抛物线C 上，且，则2AF =三、解答题（共5题，满分75(1)求证：平面；//MN BDE (2)求直线与平面所成角的正弦值；CE BDE (3)已知点H 在棱上，且直线PA NH 19．设椭圆（22221x y a b +=0a b >>11．23故514．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过结合图象求解出的取值范围.m 【详解】即为24x y =-22x y +圆与坐标轴交于，且直线的斜率为()()()0,2,0,2,2,0-当直线经过时，此时()0,2-242m -+当直线与圆相切时，，解得24221m m -+=+16．(1)()()22129x y -+-=(2)或2x =-4350x y ++=(3)25【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC （2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直（3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求H ,NH BE 解出的长度.AH 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：AB F ,MF NF因为为中点，所以，,M F ,AD AB //MF BD 又因为平面，平面，所以平面，MF ⊄BDE BD ⊂BDE //MF BDE 因为为中点，为中点，,N F ,AB CB ,D E ,PA PC 所以，所以，//,//NF AC DE AC //NF DE 又因为平面，平面，所以平面，NF ⊄BDE DE ⊂BDE //NF BDE 又因为，平面，所以平面平面，NF MF F ⋂=NF MF ⊂,FMN //FMN BDE 又因为平面，所以平面.MN ⊂FMN //MN BDE （2）建立如下图所示的空间直角坐标系，又，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2B C D E因为四边形与三角形的面积之比为OPQA OPB 所以三角形与三角形的面积比为ABQ OPB 所以，所以，152122QPAB y OB y ⨯⨯=⨯⨯54Q P y y =显然直线的斜率不为，设直线的方程为BP 0BP 2x my =+⎧。
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
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高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
山东省淄博市张店区淄博实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
山东省淄博市张店区淄博实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．若向量)a = 是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．设正四面体A BCD -的棱长为2，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（）A ．1BC ．2D ．43．已知圆221:210()C x y x my m +-++=∈R 的面积被直线210x y ++=平分，圆222:(2)(3)25C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切4．已知点()4,2A --，()4,2B -，()2,2C -，则ABC V 外接圆的方程是（）．A ．22(3)20x y +-=B ．22(3)5x y ++=C ．22(3)5x y ++=D ．22(3)20x y -+=5．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-6．若直线320kx y k --+=与直线210x ky k +--=交于点P ，则P 到坐标原点距离的最大值为（）A ．B ．1+C ．D ．17．下列命题中，正确命题的个数为（）①若直线l 的一个方向向量是()2,1,3a =，平面α的一个法向量是()2,1,1n =- ，则l α∥②若向量a ，b 满足3a = ，且6a b ⋅=- ，则b 在a 方向上的投影向量为23a-③若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角④已知正四面体OABC 的棱长为1，则()()1OA OB CA CB +⋅+=A ．4B ．3C ．2D ．18．已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足12MF MF ⊥的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,2⎛ ⎝⎭C ．1,22⎛ ⎝⎭D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知椭圆2221(03)9x y b b+=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（）AB ．22AF BF +的最大值为8C ．离心率为2D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=10．已知实数x ，y 满足方程x =）A ．22(2)x y -+的取值范围是[]1,5B ．21y x ++的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2x y -的取值范围是[D ．|5|x y +-的取值范围是2⎡-⎢⎣11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP xBA yBC zBB =++，则下列说法正确的有（）A ．当0x =，1z =，y ∈R 时，对任意的点P ，都有三棱锥1P A BC -的体积为定值B ．当0x =，0y >，0z >时，存在点P ，使得PBC PBA ∠>∠C ．当0x =，12y =，0z >时，存在唯一点P ，使得1A P BP ⊥D ．当1x y z ++=时，BP 的最小值是2三、填空题12．已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是.13．已知直线l 过点()1,1P ，且与直线230x y +-=垂直，则直线l 在y 轴上的截距为.14．如图所示，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 两点在椭圆上，且四边形OFAB为菱形，则该椭圆的离心率为．四、解答题15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线右支（且不在坐标轴上），(1)若双曲线C 与椭圆2214x y +=有共同的焦点，且双曲线C 过点()2,1Q ，求该双曲线的标准方程；(2)若1b =，12π3F PF ∠=，求12F PF 的面积．16．在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的顶点A 的坐标为()4,2-，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为10x y -+=，B ∠的角平分线所在的直线方程为220x y +-=.（1）求点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程.17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，2PD DC AD ===，M 为BC 的中点.(1)求证：AM ⊥平面PBD ；(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值；(3)求D 到平面APM 的距离.18．如图，已知椭圆G22+22=1>>0过点()3,1P ，焦距为；斜率为13-的直线l与椭圆C 相交于异于点P 的M ，N 两点，且直线PM ，PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN =MN 的方程；(3)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明：12k k 为定值.△为底面圆O的19．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABDE在母线PC上，且AE=1CE=．(1)求证：PO∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面ABD(3)若点M为线段PO上的动点．当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离．。
高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版
2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
高二第一学期期中考试数学试题
高二第一学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分）1.已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )A 、22a b < B 、22a b ab < C 、2211ab a b< D 、b a a b < 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，若714S =，则35a a +的值为（ ）A ．2B ．4C ．7D ．83.∆ABC 的三个内角ABC 所对的边分别为a,b,c 设向量(,),(,),p a c b q b a c a p =+=--若∥q,则角C 的大小为( )2....6323A B C D ππππ 4.数列{}n a 中，411=a ，3a =1，nn n a a a 122++=，则8a =（ ）A 16B 32 Ｃ±３２ Ｄ ±２5.向量 OA , OB , OC 的终点A,B,C 在一条直线上,且3AC CB =- ,设 OA = ｐ, O Ｂ= ｑ, O Ｃ=ｒ则下列等式成立的是( )A. 122=-+３ｒｐｑ B. ｒ=- ｐ+2 ｑ C. 122=- ３ｒｐｑ D. ｒ=- ｑ+2 ｐ6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. . 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象 A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位8. 在函数y=－2cosx ,y=|sin2x|, y=sin(x+4π), y=cos2x ,y=|sinx| 中，既是以π为最小正周期，又在[0，2π]上单调递增的偶函数的个数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知tan α=12,tan(αβ-)=25,那么tan(2βα-)的值为 3199 (41288)A B C D ---１０.已知y x y x 222log log )(log +=+，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞１１.若O 为∆ABC 所在平面内的一点,满足)2)((-+-=0,∆ABC 的形状为A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.ABC 都不正确 12. 等比数列{a n }中，a 1=512，公比q=12-，用Ⅱn 表示它的前n 项之积：Ⅱn =a 1²a 2…a n则Ⅱ1，Ⅱ2，…，中最大的是（ ）A ．Ⅱ11B ．Ⅱ10C ．Ⅱ9D ．Ⅱ8二、填空题13. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数n=______________14.已知34,,,,,4a b m a b n a b a b m n πλλ===+=+⊥=与的夹角为则____ 15. 数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+且,则这个数列前30项的绝对值之和为_________16. 关于函数f(x)=4sin(2x+3π)(x ∈R),有下列命题,其中正确的命题的序号为________ (1)y=f(x)的表达式可以改写为y=4cos(2x-6π);(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;(3)y=f(x)的图象关于点(-6π,0)对称;(4)y=f(x)的图象关于直线x=-6π对称;三、解答题17. （本小题12分）如图，隔河看两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求两目标A 、B 之间的距离．18. （本小题12分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据 该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？19. （本小题12分）已知函数22cos 2cos sin 2)(2+--=x x x x f ⑴求函数()f x 的最小正周期⑵用列表描点连线的方法在给定的坐标系中画出函数()y f x =在区间[]π,0上的图像；20. （本小题12分） 已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ. ⑴求函数f (x )的单调递增区间；⑵求出f (x )在[0，π]上的值域.21. （本小题12分）已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ． ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵若数列}{n b 满足n an b )21(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n < 对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．22. （本小题14分）已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ,且S n =n 2a n , (1)、求通项公式a n⑵、数列b n =nnp na ,求数列{b n }的前n 项和T n ;参考答案一、选择题（每小题5分）CBBCA DAABD CC二、填空题（每小题4分）13. 13 14.23- 15. 765 16. ⑴⑶17.在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=3. ……………………3分在△BDC中，∠CBD=180°－（45°+75°）=60°，……………………5分由正弦定理，得BC=︒︒sin60sin753=226+，……………………7分由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC²BC²cos∠BCA=2+2⎝⎭－23³226+cos75°=5.∴AB=5．∴两目标A、B之间的距离为5km．……………………12分18. 解：设搭载产品A x件，产品B y件，预计总收益z＝80x＋60y. ……………………1分则2030300105110,x yx yx N y N+⎧⎪+⎨⎪∈∈⎩≤≤……………………4分作出可行域，如图. (7)分作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330,222x y x y +=⎧⎨+=⎩解得9,4x y =⎧⎨=⎩，即M (9,4). ……………………10分所以z max ＝80³9＋60³4＝960(万元).答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元.………………12分 19.解：⑴2222cos 122sin 22)(++--=x x x f =)2cos 2(sin 22x x +-=)42sin(π+-x …………………4分∴f(x)的最小正周期为π …………………6分⑵当x ∈[]π,0时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+49,442πππx…………9分 图像略 …………………12分20.解：⑴)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ--++=⋅=x x x x x f21tantan 122)2221tan 1tan 222sin cos 2cos 1222x xx x x x x x +-=+⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x . …………………6分令≤-22ππk 4π+x 22ππ+≤k 得：≤-432ππk x 42ππ+≤k (k ∈Z) ∴f (x )的单调递增区间为[，432ππ-k 42ππ+k ],(k ∈Z) …………………8分⑵∵x ∈[0，π] ∴4π+x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡454ππ， )4sin(π+x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22-)4sin(2π+x ∈[]2,1-即f (x )在[0，π]上的值域为[]2,1- …………………12分21. 解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，∵ 11-=a ,18612=S ， ∴ d a S 2111212112⨯+=，即 d 6612186+-=. ∴3=d . ………………3分所以数列}{n a 的通项公式433)1(1-=⨯-+-=n n a n . ………………5分（Ⅱ）∵ n a n b )21(=，43-=n a n ,∴ 43)21(-=n n b . ………………7分∵ 当n ≥2时，81)21(31==-n n b b , ∴ 数列}{n b 是等比数列，首项2)21(11==-b ，公比81=q ． (9)分∴ ])81(1[716811])81(1[2n n n T -⨯=--=． ………………11分∵ *)(716])81(1[716N n n ∈<-⨯，∴ m ≥716. ………………12分22、2211221122111111(2)1n nn n n n n n n n n n n S n a S n a S S n a n a a n a n a a n n a ------=∴=----≥ （）两式相减得：－＝－（）即：＝－（）整理得：＝n ＋ …………………2分 122321231......1n n n n a n a a n a a a -----∴-＝n＝n-＝3各式相乘得：12(2)1)n a n a ≥＝n(n ＋ …………………4分11*12(2)1)12)1)n n a a n a a n N =∴=≥==∈ n(n ＋而也适合上式，从而（n(n ＋ …………………6分（2）、b n =nnp na ＝21)12n n n p n p +=⨯n(n ＋ …………………7分①当p=0时，b n =0，此时T n =0; …………………8分②当p=1时，b n =12n +，此时T n =231(3) (22224)n n n n ++++++= (9)分③当p 0,1p ≠≠时，2312341 (22222)n n n n n p p p p p T -=++++++ ∴pT n = 23412341 (22222)n n n n p p p p p +++++++ …………………10分两式相减得：23111(1)(...)22n n n n p T p p p p p ++-=++++-2111(1)2112n n p p p n p p -+-=+⨯--+ (12)分整理得：1222122(1)2(1)2((1))1n n n p p T p p n p p p ++-=--+--- …………………14分。
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2010-2011学年度第一学期
高二级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准
4
一、1A 、∅2．直线m 则p 是q A C 3．如图13
32
AA '=
4．函数()sin()2
f x x π
π=-
－1是（ ）
A 、周期为2的偶函数
B 、周期为1的偶函数
C 、周期为2的非奇非偶函数
D 、周期为1的非奇非偶函数 5．设42
33Z x y =
-，式中变量x 和y 满足300x y x y +-≥⎧⎨
-≥⎩
，则Z 的最小值为（ ）
A 、1
B 、－1
C 、3
D 、－3 6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A =｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65， P(B)=0.2 ， P(C)=0.1。
则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A 、0.7
B 、 0.65
C 、 0.35
D 、 0.3 7．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为 （ ） A 、01=-+y x B 、03=-+y x C 、01=--y x D 、03=--y x
8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取
A 、24 C 、16
a b <，9．又知a ，m y 成等比A 、m <（文）已知b 成等比A 、m <10．设函数()f x x
-A 、1
11．下列说法中正确的有___ ____
①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响； ②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型.
12．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两个数之和小于
6
5
的概率是 .
13．如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =________.
14
(11,P 则向量如果k P P 21+ (用k
15．
16．m ，n ，求事件“||10m n ->”概率.
17．（本小题满分14分）如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。
（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.
18．
（理）时，x +
值范围
立 .
19．（圆
21:C x 1（Ⅱ）设圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，
PB 交y 轴于M ，N 两点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请
证明你的结论.
20．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >
，n b =（*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （Ⅰ）证明：22n n a a q +=；
（Ⅱ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列； （Ⅲ）
（理科做，文科不做）若q =12342121234212n n
n n
c c c c c c ---+-++-
.
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高二级数学科期中试题答案
一、选择题：DBDAA CBCBC
二、填空题：11、③ ； 12、1725； 13、12； 14、（2，10）、122
(,
)23
k k +-。
三、解答题：
15．解：（Ⅰ）∵ π()C A B =-+，
∴
又 （Ⅱ）由16 （设成绩为x 、y ……………………5分
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ， ………………6分 若[),50,60,m n xy ∈时只有一种情况， ………………7分 若,[90,100]m n ∈时,有ab,bc,ac 三种情况， ………………8分 若[),50,60[90,100]m n 分别在和内时，有
共有事件“||10m n ->”所包含的基本事件个数有6种 ………………10分
63
(||10).105
P m n ∴->=
= ………………12分
17．解：∴∴∴MD 又已知∴AP ∴BC ∴又∴∆S 又MD =∴V D-BCM
18．0a =时，满足题设；
0a ≠时，要使2680ax ax -+≥在R 上恒成立，必须2
036320a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得809a <<.， 综上8
09a ≤<
. 若q 是真命题，则111x x a +
>-恒成立 ，所以min 11()1
x a x <+- 111121311x x x x +=-++≥+=-- ，当且仅当1
11
x x -=-，即2x =时取等号。
13a ∴<， 13
a ∴> 若命题“p q ∨”是真命题，“p q ∧”是假命题，则命题p 和q 一真一假
所以a 的取值范围是18
[0,][,)39
+∞ 。
（文）若p 是真命题，x R ∃∈，2
108
x ax a -+<，
所以2
102a a ∆=->，解得0a <，或12
a >，
若q 是真命题，则111x x a +
>-恒成立 ，所以min 11()1
x a x <+- 11x x +-
13a ∴<，若命题“p 所以a
19． （12r = 所以圆（2）由（所以直线因为PA ⊥2)k
- 所以MN )k 2k
所以以M ，N 为直径的圆方程为2
2211(3)(3)x y k k k k
+-+=+
化简得222(6)120x y k y k +-+-=，即22
212(6)x y k y k
+-=+
令221200x y y ⎧+-=⎨=⎩
，解得0x y ⎧=±⎪⎨=⎪⎩
经检验不在圆2
2
(4)4x y ++=内，(-在圆2
2
(4)4x y ++=内
所以当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 经过圆1C 内一定点(-。
20．（I ）证：由
1
n n b q b +=
n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*．
（II ）证：22n n a q q -= ，
22221231n n n a a q a q ---∴=== ，222222n n n a a q a q --=== ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．
{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列． （III
11n S c =
① 所以
15n S。