高考数学复习《总体特征数的估计》
[精品]新高三高考数学一轮复习18.3 总体特征数的估计优质课教案
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18、统计18．3 总体特征数的估计【知识网络】1． 会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差）的方法。
2． 理解样本数据平均数的意义和作用；会计算样本数据平均数；能用样本数据平均数估计总体平均数。
3． 理解样本数据标准差的意义和作用；会计算样本标准差；能用样本标准差估计总体标准差。
4． 初步体会样本频率分布和数字特征的随机性；了解样本信息与总体信息存在一定的差异；理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，能解决一些简单的实际问题；了解统计思维与确定性思维的差异；会对数据处理过程进行初步评价。
【典型例题】[例1]（1）在方差计算公式])20()20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示（）A ．数据的个数和方差B ．平均数和数据的个数C．数据的个数和平均数D．数据组的方差和平均数（2）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中的数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业B。
建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D。
营销行业比贸易行业紧张（3）从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是（）A．300克B．360千克C．36千克D．30千克（4）某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个.在西瓜上市时随机摘了10个成熟的西瓜，称重如下：则这10个西瓜的平均质量是_________千克，这亩地西瓜产量约是_________千克.（5）校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据下表得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达１５０个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是__________（填序号）。
5.1 总体特征数的估计(均值、方差、标准差)
复习 目标
掌握总体平均数和方差的概念. 掌握总体平均数和方差的计算 公式及其在实际问题中的 应用功能. 能较熟练地应用样本的算术平 均数和样本的方差估计总体平 均数和方差，并能结合实际问 题对数据进行分析.
总体平均数
概念 总体中所有数值的总和除以 个体总数所得的商称为总体平均数. 即“总体平均数”为“总体的算术平均值”! 功能 总体平均数能反映总体分 布中大量数据向某一数值集中的情况， 利用总体平均数可以对两个总体的差异 进行比较.
解:根据以上数据，得 甲的平均速度是 x甲 ＝ 2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1 ＝3.3，
乙的平均速度是 x 乙 ＝ ∴甲、乙的平均速度一样大．
2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8 6
6
＝3.3，
分析：他们的平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更稳定．
总体方差的估计
概念
总体方差的计算，在其个体较少时，易算； 但在其个体较多或无限时，难以计算.这时常通 过抽取样本，用样本的方差来推断总体方差， 这种方法称为对“总体方差的估计”.
一般在两组数据较多时，采用如下方 法比较其稳定性： (1)分别抽取样本； (2)计算出两个样本的方差； (3)比较样本方差； (4)推断总体方差，并比较两组数据的优劣.
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 408.1 x乙 408.1 2 2 s 甲 357.49 s 乙 508.49 甲更优秀
思考
有甲、乙两名运动员，上一赛季教 练给他们的打分是：
甲 乙 101 101 109 98 103 98 105 101 108 115 90 85 75 115 110 102
分组计算算术平均数应注意
苏教版高三数学复习课件9.2 总体特征数的估计
________．
3．已知一组数据：20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数、 众数的大小
关系是________．
解析：平均数＝ ＝50，按由小
到大排列可知，
中位数是50，众数也是50.
答案：众数＝中位数＝平均数
4．(江苏南通模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，
形中点的横坐标．(5)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的
直线与横轴交点的横坐标．
【例1】 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. 寿命(h) [100,200) 个 数 20
[200,300) 30
[300,400) 80
[400,500) 40
[500,600] 30
(1)列出频率分布表；
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数
是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.
因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
变式2：(南通市高三调研)如图是某兴趣小组的学生在一次数学测验中
的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是
第2课时
总体分布的估计、总体特征数的估计
了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方 图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点/理解样本数据标 准差的意义和作用，会计算数据标准差/能从样本数据中提取基本的数
字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释/会用样本的频率分布
估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，
高三第一轮复习总体分布、总体特征数的估计
总体分布、总体特征数的估计【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）一：本讲主要讲解分布的意义和作用，体会用样本估计总体的思想。
二：总体特征数：1.数据方差和标准差的意义和作用，会计算数据的方差和标准差．2.数据的中位数，众数，平均数的意义和作用，会计算数据的中位数，众数，平均数。
3.了解用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．利用已有的数据对一般的分布进行估计。
主干知识归纳1.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数在一组数据中出现次数 最多 的数据叫做这组数据的众数； 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在 中间位置 上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数．2.平均数与方差 如果这n 个数据是x 1，x 2，…，x n ，那么，叫做这n 个数据的平均数； 如果这n 个数据是x 1，x 2，…，x n ，那么 ，叫做这n 个数据的方差；同时 ，叫做这n 个数据的标准差．方法规律小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征，要理解以下概念： 即众数，中位数，平均数，标准差．（1）平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
（2）样本的方差和标准差反映数据的离散或波动的情况。
（3）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。
【指点迷津】【类型一】总体特征数的定义及常规计算【例1】数据70,71,72,73的标准差是______________。
【解析】：根据标准差公式可得标准差为1.12. 答案：1.12.【例2】用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．总体容量越大，估计越精确B ．总体容量越小，估计越精确C ．样本容量越大，估计越精确D ．样本容量越小，估计越精确 【解析】:样本容量越大，当然越能反映总体的某个性质，因此答案为C. 答案：C.【例3】在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( )A ．9.4,0.484B ．9.4,0.016C ．9.5,0.04D ．9.5,0.016 【解析】：根据平均值和方差公式可得平均值和方差分别为9.5,0.016. 答案：D ．【类型二】总体特征数及其应用。
高中数学总体特征数的估计苏教版必修3
总体特征数的估计教学目标：1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。
初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。
感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。
2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。
3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。
教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。
教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。
教学过程：课堂引入：在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。
从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。
我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用“平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。
初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。
学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。
定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？新课讲授§2.3.1平均数及其估计课本P50页引例：我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气温为30.02度。
学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。
注意以下两点：（1）n 个实数a1，a2，a3，……，an 的和简记为∑=ni ia1；（2）n a a a a n+++=......21称为这n 个实数a1，a2，a3，……，an 的平均数或均值。
高考数学专题复习：用样本估计总体数字特征
高考数学专题复习：用样本估计总体数字特征一、单选题1．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是13，那么另一组数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是（ ）A ．13B ．23C ．43D ．832．已知样本9，x ，10，y ，11的平均数是10，标准差是2，则xy 的值为（ ） A ．96B ．97C ．91D ．873．给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第25百分位数是（ ） A ．3.0B ．3.2C ．4.4D ．5.34．若样本1x ，2x ，…n x ，的平均数．方差分别为x 、2s ，则样本135x +，235x +，35n x +，的平均数．方差分别为（ ） A ．x 、2s B ．35x +、2s C ．35x +、29sD ．35x +、()235s +5．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.766．下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．则该队员得分的40百分位数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）A ．平均数为4，中位数为5B ．平均数为5，方差为2.4C ．中位数为4，众数为5D ．中位数为4，方差为2.88．已知一组数据如下：1,2,5,6,11，则该组数据的方差为（ ） A ．12.4B ．12.3C ．12.2D ．12.19．已知一组数据的平均数是3,方差是4,且这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，则这组数据的个数是（ ） A ．10B ．13C ．15D ．1610．小明和小红5次考试数学成绩统计如下：则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（ ） A ．110B ．108C ．22D ．411．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则估计该组数据的平均数为（ ）A ．64B ．65C ．66D ．6712．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为（ ） A ．87 B ．87.5 C ．89 D ．91二、填空题13．数据35124a a a a a ，，，，的方差22222123450.8)20(s a a a a a =++-++，则样本数据121a +，221a +，345212121a a a +++，，的平均数为________. 14．甲､乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是________.15．在某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其身高平均数170x =，抽取了女生20人，其身高平均数160y =．据此估计高一年级全体学生身高的值为________．16．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为________． 三、解答题17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值； （2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18．某校对高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的均值；（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．19．某种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并按照质量指标值m 划分等级如下：现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m ，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值).（1）求第75百分位数(精确到0.1)；（2）在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少；（3）将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品，所获利润是多少元.20．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)90,100．50,60，[)80,90，[]60,70，[)70,80，[)（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数．参考答案1．C 【分析】利用方差的性质求解. 【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是13，由方差的性质知，数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是214233⨯=.故选：C. 2．C 【分析】由平均数得20x y +=，由标准差得()()22101018x y -+-=，联立可得xy . 【详解】 依题意得91011105x y++++=，则20x y +=①.()()()()()()()222222221129101010111010102101055x y x y ⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+-=+-+-⎣⎦⎣⎦，则()()22101018x y -+-=②.由①②得22218x y +=，所以()()2224002189122x y x y xy +-+-===. 故选：C. 3．B 【分析】根据1025% 2.5⨯=，判断该组数据的第25百分位数即可. 【详解】这组数据是从小到大排序的，共10个数，而1025% 2.5⨯=，所以这组数据的第25百分位数是第3个数据，即3.2. 故选：B. 4．C【分析】由样本数据由i x 变为35i x +，结合平均数、方差的性质，即求新样本中的平均数、方差. 【详解】由题意，12...n x x x x n-+++=，2211()n i i s x x n -==-∑，∴样本135x +，235x +，35n x +的平均数135x x --=+，而2219s s =. 故选：C 5．D 【分析】利用均值的计算公式以及方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，总体的均值为4006007.577.210001000⨯+⨯=， 根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：22400600[1(7.57.2)][0.5(7.27)]0.4360.4240.7610001000⨯+-+⨯+-=+=. 故选：D. 6．C 【分析】按所给数据求出各得分的频率，然后根据百分位数定义计算． 【详解】由所给数据，总数为212311111++++++=， 得分3,6,7,10,11,13,30的频率分别为2123111,,,,,,11111111111111， 前3个得分频率和为540%11>，前2个得分的频率和为340%11<，因此40百分位数应该是第三个频率211对应的得分为7分． 故选：C ． 7．B 【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可． 【详解】解：对于选项A ，1，2，5，6，6符合条件，故A 错，对于选项B ，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为22(15)4(65)45-+⨯-=，故B 对，对于选项C ，1，2，4，5，5符合条件，故C 错， 对于选项D ，1，4，4，5，6，平均数为()11445645++++=，方差()()()2221145464 2.85⎡⎤-+-+-=⎣⎦，符合条件，故D 错， 故选：B ． 8．A 【分析】先求出平均数，再根据平均数计算即可求得方差. 【详解】 ()112561155x =++++=，()()()()()2222221621525556511512.455s ⎡⎤=-+-+-+-+-==⎣⎦ 故选：A 9．B 【分析】设这组数据分别为12,,.,n x x x ⋯，根据平均数公式及方差公式即可得的12.3n x x x n ++⋯+=，()()()2221233.34n x x x n -+-+⋯+-=，从而得到22212.n x x x ++⋯+，再依题意得到方程，解得即可； 【详解】解：设这组数据分别为12,,.,n x x x ⋯，则12.3n x x x n ++⋯+=，()()()2221233.34,n x x x n -+-+⋯+-=所以()()()2222221212.6.33.34,n n x x x x x x n ++⋯+-++⋯++++⋯+=所以()22212.1894,n x x x n n n ++⋯+-+=从而22212.13n x x x n ++⋯+=.因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，所以()2211339n n n ⨯==，解得13n =或0n =（舍去）. 故选：B 10．D 【分析】依次求得两位同学的成绩的平均数，再根据结果求得两位同学成绩的方差即可得出结果. 【详解】小明数学成绩的平均值为11(107111110109113)1105x =++++=，所以成绩的方差为22122221(107110)(111110)(110110)(109110)(113110)45s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 小红数学成绩的平均值为21(99110111108112)1085x =++++=，所以成绩的方差为22222221(99108)(110108)(111108)(108108)(112108)225s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 因为2212s s <，所以小明同学的成绩更稳定,方差为21=4s .故选：D 11．D 【分析】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：(550.03650.04750.015850.01950.005)1067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 故选：D. 12．C 【分析】根据一组数的百分位数的定义直接计算即可. 【详解】该组数据从小到大排序为85，87，88，90，92，共5个数据，而560%3⨯=， 所以这组数据的第60百分位数为8890892+=. 故选：C.13．9或7- 【分析】设样本数据35124a a a a a ，，，，的平均数为a ，推出2580a =，解得4a =±，由此即可求出结果. 【详解】 由题意知，222222123450.2(80)s a a a a a =++++-，设样本数据35124a a a a a ，，，，的平均数为a ，则222222123450.2[()()()()()]s a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-22222212345123450.2[2()5]a a a a a a a a a a a a =++++-+++++ 222222123450.2(5)a a a a a a =++++-，所以2580a =，解得4a =±，又12345222221a a a a a ++1，+1，+1，+1，的平均数为21a +， 当4a =时，21=9a +； 当4a =-时，21=-7a +. 故答案为：9或-7 14．①③④ 【分析】根据茎叶图中的数据，对题目中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：根据茎叶图中数据知，对于①，甲同学成绩的中位数是1(8082)812⨯+=，乙同学成绩的中位数是1(8788)87.52⨯+=，所以甲的中位数小于乙的中位数，①正确；对于②，甲同学的平均分为1(727680828690)816⨯+++++=， 乙同学的平均分为1(697887889296)856⨯+++++=， 所以甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错误； 对于③，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，③正确；对于④，计算甲的方差为2222221107[(9)(5)(1)159]63⨯-+-+-+++=， 乙的方差为2222221244[(16)(7)23711]63⨯-+-++++=， 所以甲的方差小于乙的方差，④正确．所以正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．15．166【分析】根据平均数的计算公式即可求出结果.【详解】 估计高一年级全体学生身高的值为301702016016650⨯+⨯=， 故答案为：16616．18【分析】利用方差的性质求解即可.【详解】样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为22S =， 所以样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为：23218⨯=.故答案为：1817．（1）0.0075；（2）中位数是224；（3）5户.【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1即可求x 的值；（2）根据中位数左右两侧小矩形面积等于0.5可得中位数；（3）先计算每个区间抽取的户数，再计算抽样比例，即可求解.【详解】（1）由直方图的性质得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=， 解得：0.0075x =；（2）因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+-=，解得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽样比为112515105+++＝15， 所以月平均用电量在[)220,240的用户抽取12555⨯=户． 18．（1）93分；（2）115分.【分析】（1）由每组数据中点值乘以频率相加可得均值；（2）计算出110分以下的频率和为0.75，因此80%分位数在[)110130，，还需频率0.05，区间[)110130，的频率是0.2，还需通过计算可得结论． 【详解】解：（1）数学成绩在：[)3050，频率0.0050200.1⨯=， [)5070，频率0.0050200.1⨯=， [)7090，频率0.0075200.15⨯=， [)90110，频率0.0200200.4⨯=， [)110130，频率0.0100200.2⨯=， []130150，频率0.0025200.05⨯=，样本均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分.（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=在130分以下所占比例为0.750.20.95+=因此，80%分位数一定位于[)110130，内，由 0.80.75110201150.950.75-+⨯=-， 可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分19．（1）109.8；（2）3；（3）4500(元).【分析】(1)先利用频率分布直方图的性质求出0.030x =，由第75百分位数在图中表现为该数的左侧频率为0.75，根据这一点可求第75百分位数；(2)先根据频率分布直方图以及等级划分规则算出三种等级的频率，从而得样本中各等级的件数，再利用分层随机抽样的按比例抽取求解；(3)根据(2)中算出的频率求利润的估计值.【详解】(1)由题得，()0.00250.00900.01000.02000.02600.0025101x ++++++⨯=，解得0.030x =.又[65,105)的频率为0.625，[105,115)的频率为0.26，所以第75百分位数在[105,115)内第75百分位数为0.750.62510510109.80.26-+⨯≈. (2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.00250.0100)100.125+⨯=，(0.02000.0300)100.5+⨯=，(0.02600.00900.0025)100.375++⨯=.所以在200件样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75，所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品， 则应抽取的一等品的件数分别为7583200⨯=. (3)由(2)知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625.故该企业销售600件这种产品，所获利润约为6000.375106000.62564500⨯⨯+⨯⨯=(元) 20．（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为2153. 【分析】（1）根据概率之和等于1，即所以小矩形的面积之和等于1，即可求解；（2）根据平均分，众数，中位数的概念结合频率分布直方图即可求出平均分，众数，中位数.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：()1020.020.030.041a ⨯+++=，∴0.005a =．（2）平均分550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=＋（分） 众数为60702+=65分． 中位数为()0.50.005100.0410215700.033-⨯+⨯+=（分）．。
总体特征数的估计
核密度估计基于核函数，通过加权平均的方式对数据进行平滑处理，以获得未知 密度函数的估计。常用的核函数包括高斯核、多项式核等。核密度估计具有稳健 性和适应性，能够处理复杂的数据分布。
最近邻估计
总结词
最近邻估计是一种非参数回归估计方法，通过找到与观测点 最近的训练点来估计未知的函数值。
详细描述
依据。
THANKS
感谢观看
通过估计总体特征数，可以预测未来的趋势。例如，通过分析过去几年的销售数据，可 以估计未来几年的销售趋势。
总体特征数估计的常见方法
点估计
用样本统计量直接作为总体特征 数的估计值，如用样本均值估计 总体均值。
区间估计
用样本统计量来估计一个区间， 该区间包含了真实的总体特征数。 例如，通过样本方差来估计总体 方差的一个置信区间。
详细描述
分位数估计基于分位数概念，通过找到与观测点相同分位数的训练点来估计未知的函数值。这种方法 能够处理各种分位数回归问题，尤其适用于数据分布不均匀的情况。分位数估计具有稳健性和适应性 ，能够处理异常值和离群点。
04
估计方法的比较与选择
估计方法的比较
样本大小
不同的估计方法对样本大小的要求不同，有些方法需要大样本才能获 得准确估计，而有些方法在小样本下也能有较好的表现。
机器学习模型评估
总结词
机器学习模型评估中，总体特征数的估计用于衡量模型的性能和预测能力。
详细描述
在机器学习中，模型的性能通常通过一些指标来评估，如准确率、召回率、F1分数等。 这些指标的计算需要基于总体特征数的估计。通过估计训练集和测试集中的正负样本数 量、混淆矩阵等数据，可以全面了解模型的性能和预测能力，为模型的优化和改进提供
特点
总体特征数的估计
总体特征数的估计
一般来说，总体特征数的估计可以分为两种情况：离散型总体和连续型总体。
对于离散型总体，可以采用频数估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的个数，然后将这个统计结果与总体中的样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，且样本中特征的个数的平均值为5个，那么总体特征数的估计值就是100*5=500个。
对于连续型总体，可以采用面积估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的平均值和标准差，然后根据正态分布的性质，将样本平均值加减几个标准差得到置信区间，将置信区间的面积与总体样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，样本中特征的平均值为50，标准差为10，选择95%的置信度，那么置信区间的宽度为2*1.96*10=39.2，总体特征数的估计值就是100*50±39.2=5060。
需要注意的是，总体特征数的估计只是一个预估值，其准确度受到样本容量和抽样方法的影响。
当样本容量越大、抽样方法越随机时，估计值越接近真实值。
另外，不同的估计方法也会有不同的精度和置信度，需要根据实际情况选择适合的方法。
数学《总体特征数的估计》课件(苏教必修)
点估计的分类
总结词
点估计可以分为矩估计和极大似然估计两大类。
详细描述
矩估计是根据样本矩来估计总体矩的方法，其优点是简单易行，但需要知道总体分布的类型；极大似然估计是通 过最大化样本的似然函数来估计总体参数的方法，其优点是具有优良的统计性质，尤其是在样本容量较大时更为 有效。
04
总体特征数的区间估计
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量 的值。
提出假设
根据研究目的和数据特点，提 出一个或多个关于总体特征的 假设。
确定显著性水平
显著性水平是用于判断假设是 否成立的临界值，通常取0.05 或0.01。
做出决策
将样本统计量与临界值进行比 较，判断假设是否成立。
假设检验的分类
单侧检验
只关注总体参数的一个方向， 例如只关注平均数是否大于某
总结词
点估计是一种数学方法，用于估计总 体参数的数值。
详细描述
点估计是一种数学方法，通过样本数 据来估计未知的总体参数。它是以一 个具体的数值来估计总体参数，这个 数值称为估计值或点估计量。
点估计的性质
总结词
点估计量应具备无偏性、有效性和一致性。
详细描述
无偏性是指点估计量的期望值应等于被估计的总体参数的真实值；有效性是指点 估计量在所有无偏估计量中应该有最小的方差；一致性是指随着样本容量的增加 ，点估计量的值应逐渐接近被估计的总体参数的真实值。
总体特征数
01
02
03
总体均值
描述总体“中心”位置的 数值，计算公式为 $overline{x} = frac{sum x}{n}$。
总体方差
描述总体数据离散程度的 数值，计算公式为 $s^2 = frac{sum (x overline{x})^2}{n}$。
高中数学总体特征数的估计和线性回归方程
总体特征数的估计和线性回归方程思考过程在统计学中，我们想了解某个总体的某些特征量，比如今年某省高考的数学平均成绩，根据近些年某地区的1月份的平均气温来估计今年1月份的平均气温等问题，这里的“数学平均成绩”“平均气温”就是我们所要了解的总体特征量，通常我们是从总体中先抽取一个样本，通过样本的特征量来反映总体的相应特征量，即用样本来估计总体，这是统计学的一个基本思想.所谓的总体特征量就是能反映总体某些特征的量.如总体平均数、方差、标准差等.对数据的刻画，一般从两个方面：一种是数据的集中趋势，如数据的平均数、中位数、众数等统计量；另一种是数据的离散性度量，如数据的极差、方差及标准差等统计量.根据实际问题的需求合理地选取一个样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、方差等），并能作出合理的解释，这是学习统计的基本目标之一.在本节中，我们要学会从所抽取的样本数据中提取数据信息的能力，即会求数据的平均数、方差、标准差等，还要会用这些数据特征量去估计总体的相应的特征量.1.平均数： 若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，则平均数x =n1∑=n i 1x i （i =1，2，3，…，n ），通常用样本平均数来估计总体平均数.2.平均数的性质： （1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ；（2）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的平均数为a x +b ；（3）若给定的一组数据x 1，x 2，…，x n 较大，直接求平均数较为烦琐时，可以将每个数据都减去常数a ，得到一组新数据x ′1，x ′2，…，x ′n ，计算出新数据组的平均数为x '，则原数据组的平均数为x '+a .3.方差：若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，则n1∑=n i 1（x i －x ）2称作样本方差，记作s 2，它的算术平方根称作标准差，记作s ，即s =21)(1x x n i ni -∑=. 4.方差的性质：（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a =1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响.5.线性回归（1）统计相关 变量之间虽然存在着密切的关系，但从一个变量的每一个确定的值，不能求出另一个变量的确定的值，可是在大量的试验中，这种确定的联系，具有统计规律性，这种联系称作统计相关性.（2）线性回归方程 通过收集现实生活中两个有关联的变量的数据作出散点图，如果所有的散点分布成或近似成一条直线，我们说这两个变量有线性关系（否则就说两个变量不具有线性关系），然后运用最小二乘法的思想，用一条直线来拟合两个变量之间的关系：y =a +bx . 要求所有点相对于该直线的偏差的平方和尽可能达到最小.我们把y =a +bx 称作线性回归方程，其中b =x b y a x xn y x y x ni n i i n i ini i n i i i n i -=--∑∑∑∑∑=====，22121111)())((.（*） 求线性回归方程的一般步骤： ①根据两组数据计算x ，y ，∑=n i 1x i ，∑=n i 1y i ，∑=n i 1x i 2，∑=n i 1x i y i ； ②代入（*）计算得a ，b 的值； ③代入y =a +bx .。
高一数学总体特征数的估计
周工资
2200
250
220
200
100
人数
1
6
5
10
1
23
合计
2200
1500
1100
2000
100
6900
（加权平均数） 分析：众数为200，中位数为220，平均数为300。 因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.
(其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？
我们常用算术平均数
、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
总体特征数的估计(1)
某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)： 9.62 9.5 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
1
2
频率分布直方图如下：
月均用水量/t
频率 组距
高二数学总体特征数的估计复习1.doc
第6课时：总体特征数的估计（一）【目标引领】 1．学习目标：理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。
初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性。
感受统计不仅是列表，画图的低层次工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的科学。
2．学法指导：在初中，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平。
对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数：)(1321n x x x x nx ++++=-- 对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。
【教师在线】 1．解析视屏：①．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小；②．数据n 21a ,,a ,a 的平均数或均值，一般记为∑==n1i ian1a ；③．若取值为n 21x ,,x ,x 的频率分别为n 21p ,p ,p ，则其平均数为n n 2211p x p x p x x +++=④．在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平，但有时需要去掉极端值（极大值或极小值），再去计算平均数则更能反映平均水平。
2．经典回放：例1：一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了称得它们的质量如下：(单位：KG)1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16计算样本平均数，并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少？解：样本平均数为 1.1715,根据样本平均数估计水库里所有这种鱼的总质量约是1.1715100000⨯=117150KG 。
例2：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到n a a a .......,21共几个数据，我们规定所测量的物理量的“量佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值的比较，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从n a a a .......,21推出的a ＝分析：最佳近似值a 是使22221).....()()(n a a a a a a -+-+-最小时的自变量的取值。
高中数学总体特征数的估计苏教版必修三
总体特征数的估计在上节我们学习了通过对样本数据的相关处理，用样本的频率分布表、频率分布直方图和茎叶图来估计总体的分布状态，这主要侧重于从“形”的角度来进行判断，从过程的处理来看还是比较烦琐的.另一方面，既然样本是从总体中抽取的，用样本估计总体是统计的基本思想，那么能不能直接通过对样本的数据的处理，从“数”的角度，用样本的特征数来对总体的分布特征进行估计呢？这就是本节要学习的内容——总体特征数的估计.学法建议本节主要学习两个方面的内容，即平均数及其估计、方差与标准差.通过本节的学习一是要掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法；二是要理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并通过具体的处理过程，掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想.此外还应注意以下两点：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.总之，对本节的学习一是要理解相应的理论背景，二是要动手实际操作.一、知识网络均则为除法，就是求差、方的平均值，这也是“方差”的由来.②方差的单位是已知数据的平方单位. 二、知识归纳 1．总体特征数在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数.2．平均数设容量为n 的样本的数据值为n a a a ,,21，则称数na a a n+++ 21为这n 个数据n a a a ,,21的平均数或均值，一般记为na a a a n+++=21.可以证明平均数与实验数据之间的偏差（离差）最小，是与实验数据最接近、最理想的近似值. 证明过程如下：考察函数22221)()()(n x x x x x x y -++-+-= ，将其改写为22221212)(2nn a a a x a a a nx y +++++++-= ，所以当nx x x x n+++=21时，y 值最小.正因为如此，我们可以通过计算样本的平均数来衡量这组数据的水平，进而估计总体的水平.但由于样本抽取的随机性，有时用平均水平来衡量总体还有失偏颇.尽管如此，对总体而言，特征数既有随机性的一面，操作时又是以一个确定的样本为依据的. 3．方差与标准差 （1）极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.极差较大，则数据点比较分散；极差较小，则数据点比较集中.因此有时也可以用极差的大小比较来判断两个（或多个）样本数据的稳定性，从而判定相应总体的稳定程度.（2）方差与标准差当两组数据的集中程度差异不大时，我们可以用方差或标准差来刻画数据的稳定程度.一般地，设一组样本数据n x x x ,,21，其平均数为x ，则称∑=-=n i i x x n s 122)(1为这个样本的方差，其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差. 样本方差和样本标准差都是通过每一个数据与平均数的离差程度的平方和来刻画的，因此其值越小，波动越小，样本数据越稳定. 4．关于公式的补充说明 （1）平均数的三个公式计算平均数的三个公式：)(121n x x x nx +++= ；a x x +='，a 是接近这组数据的平均数的一个常数；nf x f x f x x nn +++=2211叫做加权平均数，i f 是数据i x 出现的频数，n f ni i =∑=1.（2）方差的三个公式计算方差的三个公式：公式①∑=-=ni i x x n s 122)(1；公式②⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑=21221n i i xn x n s ，公式②以使计算过程较为简单，当x 不是整数时尤为简单；公式③⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=ni i x n x n s 122'21，其中n n n x x x a x x a x x a x x ,,,,,,21'2'21'1-=-=-=是n 个已知的原数据，a 是接近这组数据的平均数的一个常数.由于''2'1,,,n x x x 比原数据n x x x ,,,21 都小，因此用公式③计算方差比较简便. 三、图解重点总体特征的两个方面的估计思路分析按平均数和方差计算公式处理 [解答] ：3)63321(51=++++=x ， []222222)36()33()33()32()31(51-+-+-+-+-=s []8.291451=++=答：样本的平均数和方差分别是3、2.8 .依据相应的公式进行推理 [解答]：由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++=, ① 22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ②将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=, 解得33x =.解题规律 在方差的计算中，由于波动是在平均数上下波动，所以首先要计算平均数，另外，方差的定义要理解着记忆，不能搞错公式的结构.当然在计算过程中要小心谨慎，避免不必要的错误发生. 你也可以用平均数的另外两个公式处理一下，也可以算是熟悉一下公式，再去比较一下结果. 解题规律 本题的解题过程实际上是解方程，紧扣 x 与这十个样本数据)10,2,1( =i x i 的关系是解题的关键所在.此外有个地方需要提醒读者的是样本平均数并不一定总是正数，它也可以是负数，只不过通常所研究的样本数据都是些正数罢了.因此在解题时不能随意地把另外一个值给舍弃掉.10,x 的方差是210(3)x +-=思路分析由于数据的复杂性，故可考虑用⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=n i i x n x n s 122'21计算比较简单.[解答] 因为样本数据在20.0上下波动，故取a ＝20.0，列表如下所以02.200.20102.0,02.200.20102.0=+==+=乙甲x x ；解题规律 选择合适的解题公式是处理样本数据时值得关注的一个问题.若公式选择不当，则会对解题带来极大的麻烦.尽管最终结果都出来了，但你所花的时间和精力却是不可比较的.此外本题引入表格的处理方法也是应该引起注意的.思维诊断应该指出，当我们用样本去估计总体时，是有可能发生偏差、甚至错误的，这与确定性数学中通过逻辑推理得到肯定正确结论的情况有所不同，如在本例中，如果另取样本，也可能得出甲-x <乙-x ．为了尽可能减少错误的发生，考虑到一般地容量越大的样本对总体的代表就越大，应在条件许可的情况下适当增加样本容量，并力求使抽样更加合理以提高样本的代表性．知识拓展[例3] 甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm ）： 甲：19.9,19.7,19.8,20.0,19.9,20.2,20.1,20.3,20.2,20.1 ；乙：20.0,20.2,19.8,19.9,19.7,20.2,20.1,19.7,20.2,20.4)(0336.0)102.0(1034.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=甲， )(0516.0)102.0(1052.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=乙，显然甲工人加工零件的质量比较稳定.亲爱的读者，你能不能从极差这个角度来对甲乙两个工人所加工的零件的质量给出一个判断呢？这提醒我们要多角度地思考问题.体验探究一、科海拾贝如何阅读《统计公报》？阅读《统计公报》，首先应将几个部分联系起来，不能割裂地单看某一个部分，否则就不能从总体上把握国民经济和社会发展的面貌.其次，要弄清公报中一些概念和术语含义.如什么是第一产业？什么是第二产业？国内生产总值（GDP ）到底代表什么含义？等等.第三，最好是将每一年的公报连续对照起来看，从历年数量变化的轨迹中找到规律性的东西，将定量分析与定性分性结合起来，从而在更高层上观察、分析、把握社会经济形势.第四，可以对公报中有关数据进行必要的加工处理，从而了解社会经济生活的种种特色.如可从中计算出全国每天生产多少煤、电，每天完成多少基本建设项目、新建多少公路，每个人每天创造多少收入，每天每时出生多少人口等等，这不仅使得枯燥的数字可以生动化、生活化，也可增添您对生活的量化概念.二、合作探究[解答] 根据相关的公式不难算得： (1) 995)1550406506035020(40011=⨯++⨯+⨯=x ， (2)同样可算得 10402=x , 9090022=s(3)1004)15505512501009502506507035025(50012=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x85284])10041550(55)1004650(70)1004350(25[50012222=-⨯++-⨯+-⨯=s现在的问题是你怎么理解上述数据结果的实际意义呢？请你结合教材64页的实例来思考一下.理解：其实公司所说的并没有错，只不过公司偷换了概念，公司平均周工资是300元是不错，但那是总体的平均数，并不是工人的工资的平均数.一般地，经理和管理人员以及高级技工的工资要高出工人工资许多，实际上工人的周平均工资是达不到300元的.这正如关于人均GDP 的统计一样，并不是每个人都有那么多，它只是总体的一个平均数而已.这种偷换概念的事情在实际生活中还会遇到很多，因此不管是现在还是将来，一定要学习统计知识.只有这样，你才会对相关情况有个理性的认识.三、智慧列车思路分析将相关的数据直接带入公式即可.[解答] 84605340,53257085Z =+⨯==-=T ，故 T=84[评注] 本题实际上说明了一个容易使人困惑的一个问题，那就是对任意两个班级来说，每次考试仅仅比较班级的平均分行吗？应该转化成标准分进行判断才合理，同时也有助于形成客观公正的评价机制.当然评价方法有多种多样，但不管怎样，都涉及到一个问题，那就是评价方法的合理性，因此需要我们在实践过程中不断摸索，使评价机制日臻完善！思路分析应设法寻找班级成绩与各组成绩之间的关系.[解答] 设第一组20名学生成绩为,20)1,2,(i x i ⋅⋅⋅=，学生成绩的标准差为1S ，第二组20名学生的成绩为,20)1,2,(i Y i ⋅⋅⋅=，学习成绩的标准差为2S . 所以有：90)(2012021=+⋅⋅⋅++x x x ， 80)(2012021=+⋅⋅⋅++y y y ， 从而全班平均成绩为85)20802090(401=⨯+⨯=z . 又因为 6,90),20(20112220222121==-+⋅⋅⋅++=S x x x x x S ； 4,80),y 20(20122220222122==-+⋅⋅⋅++=S y y y y S ， 所以51)40(401222022212202221=-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=z y y y x x x S 即所求的平均成绩和标准差分别为85，51.[评注] 本题的解题过程实际上也体现了局部与整体的关系.思路分析平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反[例7] 不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差映一组数据与其平均值的离散程度.本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小.[解答] 从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等.（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等,且图（2）中后几个数据不影响平均值）.图（1）的标准差比图（2）的标准差大.（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小.因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）.）[评注]要学会从图表中挖掘信息.思路分析这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握的统计知识：平均数、众数、中位数、放差、标准差、极差等方面进行分析.[解答] ：（1）用众数进行分析：甲班成绩的众数是90，乙班成绩的众数是70.所以用众数比较，甲班的成绩好于乙班.（2）用方差进行分析：25617222==乙甲，s s ，所以22S S 乙甲<，考虑成绩的稳定性：甲班好于乙班.（3）用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，甲班在中位数以上（包括80分）的学生共33人；乙班在中位数以上（包括80分）的学生共26人.所以甲班成绩好于乙班.（4）甲班学生高于90分（包括90分）的学生共20人，乙班学生高于90分（包括90分）的学生共24人；从满分成绩来看，甲班比乙班少6人.从“优等生”角度看乙班成绩好于甲班.[评注]从不同的角度看待同样的问题，可能会产生不同的认识.。
【精编】高考数学一轮复习第78课总体特征数的估计
第78课 总体特征数的估计1. 会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数据特征(如平均数、方差、标准差)的方法.2. 理解统计中的常用术语：总体、个体、样本、平均数、方差、中位数、众数.3. 体会用样本估计总体的统计思想，解决简单的实际问题；会通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，体会统计思维与确定性思维的差异，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.1. 阅读：必修5第65～78页.2. 解悟：①∑ni ＝1a i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ；②哪些量可以估计总体的特征？③标准差是样本数据到平均数的一种平均距离；④方差和标准差的公式.3. 践习：在教材空白处，完成第72～73页习题第4、5、6、7题.基础诊断1. 若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 2 . 解析：由题意知15×(9＋8＋x ＋10＋11)＝10，解得x ＝12，所以该组样本数据的方差为s 2＝15×[(9－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2]＝2.2. 若数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，3的平均数是3，则数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是 3 Ｗ.解析：由题意得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋3＝3×6，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝15，所以x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数为(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)÷5＝15÷5＝3.3. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的.解析：因为数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为2，所以2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为22×2＝8，所以其标准差为2 2.4. 如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是 甲 .解析：x 甲＝(87＋89＋90＋91＋93)÷5＝90，s 2甲＝15×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4；x乙＝(78＋88＋89＋96＋99)÷5＝90，s 2乙＝15×[(78－90)2＋(88－90)2＋(89－90)2＋(96－90)2＋(99－90)2]＝53.2.因为s 2甲<s 2乙，所以成绩比较稳定的运动员是甲.范例导航考向❶ 算术平均数例1 如图是一次摄影大赛上七位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是 1 .解析：若x>4，则去掉一个最高分90＋x 和一个最低分86后，平均分为15×(89＋91＋92＋92＋94)＝91.6(分)，不符合题意，故x ≤4，最高分是94.去掉一个最高分94和一个最低分86后，平均分是15×(89＋92＋90＋x ＋91＋92)＝91，解得x ＝1.已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8解析：由题意得15×(6＋7＋8＋9＋m)＝8，解得m ＝10，所以该数据的方差s 2＝15×[(8－6)2＋(8－7)2＋(8－8)2＋(8－9)2＋(8－10)2]＝2，所以s ＝ 2. 考向❷ 方差例2 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1) 分别计算两组数据的平均数； (2) 分别计算两组数据的方差；(3) 根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些.解析：(1) x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环).(2) 由方差公式s 2＝1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2]可求得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2. (3) 由x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当.因为s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击水平波动大，所以乙战士比甲战士射击水平更稳定.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：则甲、乙两位选手中成绩比较稳定的选手的方差是 0.02 . 解析：x甲＝(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)÷5＝10，s 2甲＝15×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02；x 乙＝(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)÷5＝10，s 2乙＝15×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，所以甲、乙两位选手中成绩比较稳定的选手的方差为0.02. 考向❸ 标准差例3 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用x n 表示编号为n(n ＝1，2， (6)(1) 求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2) 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学的成绩在区间(68，75)上的概率.解析：(1) 因为这6位同学的平均成绩为75分，所以16×(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90.这6位同学成绩的方差：s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s ＝7.(2) 从前5位同学中，随机地选取2位同学的成绩有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有： (70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，所以所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学的成绩在区间(68，75)上的概率为0.4.自测反馈1. 样本数据 8，6，6，5，10 的方差s 2＝ 3.2 .解析：x ＝(8＋6＋6＋5＋10)÷5＝7，s 2＝15×[(8－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(10－7)2]＝3.2.2. 若数据2，x ，2，2的方差为0，则x ＝ 2 .解析：设数据的平均数为x ，则14×[3(2－x)2＋(x －x)2]＝0，解得x ＝x ＝2，故x 的值为2.3. 若一组样本2 015，2 017，x ，2 018，2 016的平均数是2 017，则该组样本数据的方差是 2 .解析：由题意得15×(2 015＋2 017＋x ＋2 018＋2 016)＝2 017，解得x ＝2 019，所以样本数据的方差s 2＝15×[(2 015－2 017)2＋(2 017－2 017)2＋(2 019－2 017)2＋(2 018－2 017)2＋(2 016－2 017)2]＝2.4. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为143.解析：x 甲＝13×(88＋92＋96)＝92，s 2甲＝13×[(92－88)2＋(92－92)2＋(92－96)2]＝323；x 乙＝13×(90＋91＋95)＝92，s 22＝13×[(92－90)2＋(92－91)2＋(92－95)2]＝143，所以方差较小的那组同学成绩的方差为143.1. 要能够体会用样本估计总体的方法，体会统计思维与确定性思维的不同，理解统计学的实际意义.2. 掌握样本特征数的方法，主要是平均数、方差和标准差的公式.3. 你还有哪些体悟，写下来：。
高考数学一轮复习18.3总体特征数的估计
求全班的平均成绩与标准差。
统计量
组
平均
标准差
别
10．为了缓解 峰的压力，某
第一组
90
6
道路交通高 市政府采取
了错时上下 表是新华路
第二组
80
4
班的措施．下
在采取措施
前后每 30min 通过的汽车量：
时间段
6∶30~ 7∶00~ 7∶30~ 8∶00~ 8∶30~ 9∶00~ 7∶00 7∶30 8∶00 8∶30 9∶00 9∶30
20) 2
( x10
20)2 ] 中，数字
10
和
20
分别表示
（）
A．数据的个数和方差
B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数
D．数据组的方差和平均数
（2）某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：
行业名称 计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数 215830 200250 154676
①甲、 生
甲： 乙：
５５ ５５
１３５ １３５
１４７ １５１
１９１ １１０
乙两班学 的平均水
平相同；
②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达１５０个以上为优秀）；
③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．
上述结论正确的是__________（填序号）。
[例 2] 已知一组数据 x1，x2，…，x10 的方差是 2，且(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380，求 x ．
。
6． 已知一个样本 1，3，2，5，X。若它的平均数是 3，则这个样本的标准差为____________。
高二数学总体特征数的估计标准版文档
所谓“平均(píngjūn)距离”，其含义可作如下理 为了对两人的生产质量进行评比(píngbǐ),从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
课后作业(zuòyè)：
考察样本(yàngběn)数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．
解： 问题(wèntí)引入：
离散(lísàn)程度越大；
第十页，共20页。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散(lísàn)程度越大；反 之，数据的离散(lísàn)程 度越小。
数学(shùxué)应 用：
例1、已知有一个样本的数据(shùjù)为1，2， 3，4，5，求平均数，方差，标准差。
解：平均数x 3,
方 S 2 1 ( 差 1 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( 4 3 ) 2 ( 5 3 ) 2 5 2.
环数
为此，我们还 需要从另外一 个角度去考察 这2组数据！
4 5 6 7 8 9 10
(乙)
环数
第六页，共20页。
直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩 相对集中(如图示)．因此，我们还需要从另外的角度来考察这 两组数据．例如：在作统计图，表时提到过的极差．
甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.
25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48
25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47
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总体特征数的估计
【考点导读】
理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想. 【基础练习】
1．已知数据12n x x x L ，，，的平均数为5x =，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为 22 .
2．若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是
MX NY M N
++
3．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2
，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为 4σ2
.
4
法正确的是 ④ .
①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小 【范例解析】
例1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.试分析一下该班级学习情况.
男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97. 解：17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68.
20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73，80和82. 从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.
例2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了10次测验，测得他们的环数如下：
试根据以上数据，判断他们谁更优秀.
解：甲x =8,乙x =8, 2
甲S =3.4,2
乙S =2, 所以乙更优秀
例3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品， 称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）这种抽样方法是哪一种方法？
（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）采用的方法是：系统抽样； （2）1
102101999810398991007
x =++++++=甲
（）； 11101159085751151101007
x =++++++=乙（）；
214114941 3.428577S =++++++=甲（）；
21100225100225625225100228.577
S =++++++=乙（）
∴
22S S <乙甲 故甲车间产品比较稳定．
点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践. 【反馈演练】
1. 下列说法中，正确的是 ④ .
① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率 ②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
③数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半 ④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
2．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12
= 13.2，S 22
=26．26，
则 ① .
①甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 ②乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 ③甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
④不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
3 ．已知样本为101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为
4 .某班45人，一次数学考试，班级均分72分.已知不及格人数为5人，他们的平均成绩是52分，则及格学生的平均分为 74 .5分 .
5．高三年级1000名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了100名学生的试卷（满分为150分），
解：638410515615735889310
100
x
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=6.77
222221
[6(3)8(4)10(5)15(6)60
s x x x x =
⨯-+⨯-+⨯-+⨯-
222215(7)35(8)8(9)3(10)]x x x x +⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=3.1171
6．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件
要求.
解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为2
11x s 、；机床乙的平均数、方差分别为2
22x s 、.
1109.81010.2104x +++=
=，210.1109.910
104
x +++==
∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：
2222211
[(1010)(9.810)(1010)(10.210)]0.024s =-+-+-+-=
2
222221[(1010)(10.110)(1010)(9.910)]0.0054
s =-+-+-+-=
∵2
21
2s s >，∴机床乙的零件质量更符合要求.。