2020年山东省青岛市高三一模数学试题((高清打印版)含答案和解析)
【5月7日山东青岛一模数学】山东省青岛市2020年5月高三年级统一质量检测数学试题含答案
数学答案第1页（共6页）青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1)((()(232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）数学答案第2页（共6页）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则sin()42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以11sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+数学答案第3页（共6页）19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABC D 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则1212sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F数学答案第4页（共6页）20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)(()44256P C ξ===131********(1)((4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)(()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）数学答案第5页（共6页）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为，1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，04r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）数学答案第6页（共6页）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----222ln x x e a e ax a a-=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2020年9月9日。
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题 PDF版
S3
12,
T2
4 3
,
n∈N*.
(1)求{an}, {bn} 的通项公式;
(2)是否存在正整数 k,使得 Sk
6k
且 Tk
13 ？若存在,求出 9
k 的值;若不存在,请说明理由｡
18.(12 分)
在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2b2 (b2 c2 a2 )(1 tan A) .
4.设 a 20.2 , b sin2 , c log2 0.2, 则 a, b,c 的大小关系正确的是
A. a>b> c
B. b>a> c
C. b>c>a
D. c>a>b
3x 9, x 0
5.已知函数
f
(x)
xe
x
,
x
0
(e 2.718... 为自然对数的底数),若 f(x)的零点为 α,极值点为 β,则 α+β=
(1)证明:平面 ABE⊥平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
-3-
20. (12 分) 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表:
的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在 A､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 p､q,记该同学的爸爸和 i)求 X 的分布列及 E(X);
(ii)已知每个订单由 k(k≥2,k∈N* )件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设
p
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．i -B ．1C ．iD ．1-2．（5分）已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{||1|2}B x R x =∈-<，则(A B =I ) A ．(0,3)B ．(1,3)-C ．(0,4)D ．(,3)-∞3．（5分）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.47724．（5分）设0.22a =，sin 2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．（5分）已知函数39,0()( 2.718,0x x x f x e xe x ⎧-==⋯⋯⎨<⎩…为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则(αβ+= ) A ．1-B ．0C ．1D ．26．（5分）已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段PA ，PC 上，且//EF 底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．（5分）在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为()A ．2B CD ．18．（5分）某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率()A．112125B．80125C．113125D．124125二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9．（5分）已知向量(1,1),(3,1),(1,1)a b a b c+=-=-=r rr r r，设,a brr的夹角为θ，则() A．||||a b=rrB．a c⊥r rC．//b cr rD．135θ=︒10．（5分）已知函数22()sin23sin cos cosf x x x x x=+-，x R∈，则() A．2()2f x-剟B．()f x在区间(0,)π上只有1个零点C．()f x的最小正周期为πD．3xπ=为()f x图象的一条对称轴11．（5分）已知数列{}na的前n项和为nS，11a=，121n n nS S a+=++，数列12{}nn na a+g的前n 项和为*,nT n N∈，则下列选项正确的为()A．数列{1}na+是等差数列B．数列{1}na+是等比数列C．数列{}na的通项公式为21nna=-D．1nT<12．（5分）已知四棱台1111ABCD A B C D-的上下底面均为正方形，其中22AB=，111112,2A B AA BB CC====，则下述正确的是()A ．该四棱合的高为3B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若(0,)x ∀∈+∞，14x x a -+…恒成立，则实数a 的取值范围为 ．14．（5分）已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(0)1f =，则f （2）= ． 15．（5分）已知a N ∈，二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 个．16．（5分）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为 ； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n N ∈． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--． （1）求角C ；。
山东省青岛市2020年4月高三统一质量检测(一模)数学试卷(含答案)
青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分｡在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的已知♓是虚数单位 复数12,iz i-=则 的共轭复数 的虚部为 ✌ ♓ ♓ 已知集合2{|log 2}A x R x =∈< 集合 ⌧∈ ⌧ ❝ 则✌✆ ✌ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆已知某市居民在 年用于手机支付的个人消费额ξ☎单位 元✆服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在☎ ✆内的概率为✌ 附 随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则 ☎↗⇔↘↗⇔✆ (22)0.9544P μσξμσ-<<+= ☎↗ ⇔↘↗ ⇔✆ 设0.22,a b ==♦♓⏹2,log 0.2,c =则♋ ♌♍的大小关系正确的是 ✌ ♋♌ ♍ ♌♋ ♍ ♌♍♋ ♍♋♌已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数✆若♐☎⌧✆的零点为↑极值点为↓则↑↓✌ 已知四棱锥 ✌的所有棱长均相等 点☜☞分别在线段 ✌ 上 且☜☞底面✌则异面直线☜☞与 所成角的大小为✌ 在同一直角坐标系下 已知双曲线 22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线 点✌分别在双曲线 的下支和曲线 上 则线段✌长度的最小值为✌.3B .2C 某单位举行诗词大会比赛 给每位参赛者设计了❽保留题型❾ ､❽升级题型❾ ､❽创新题型❾三类题型 每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分｡在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求｡全部选对的得 分 部分选对的得 分 有选错的得 分｡已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=设,a b 的夹角为→则.||||A a b = .B a c ⊥ .//C b c → 已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-⌧∈ 则 ✌ ♎♐☎⌧✆♎ ♐☎⌧✆ 在区间☎⇨✆上只有 个零点 ♐☎⌧✆ 的最小正周期为⇨.3D x π=为♐☎⌧✆图象的一条对称轴 已知数列{}n a 的前⏹项和为 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前⏹项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为✌数列{1}n a +是等差数列数列{1}n a +是等比数列数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形 其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是✌该四棱合的高为311.B AA CC ⊥该四棱台的表面积为 该四棱合外接球的表面积为 ⇨三､填空题 本题共 个小题 每小题 分 共 分｡ 若 ⌧1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立 则实数♋的取值范围为♉♉♉♉ 已知函数♐☎⌧✆的定义域为 ♐☎⌧ ✆为奇函数 ♐☎✆ 则♐☎✆♉♉♉♉ 已知♋∈☠二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于 记♋的取值集合为✌则由集合✌中元素构成的无重复数字的三位数共有♉♉♉♉♉♉个 年是中国传统的农历❽鼠年❾有人用 个圆构成❽卡通鼠❾的形象 如图 ✈☎ ✆是圆✈的圆心 圆✈过坐标原点 点☹､ 均在⌧轴上 圆☹与圆 的半径都等于 圆 ､圆☹均与圆✈外切｡已知直线●过点 ☎ ✆ 若直线●与圆☹､圆 均相切 则●截圆✈所得弦长为♉♉♉♉ ☎✆若直线●截圆☹､圆 ､圆✈所得弦长均等于♎则♎♉♉♉♉ ☎本题第一个空 分 第二个空 分✆四､解答题 本题共 小题 共 分｡解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤｡ ☎ 分✆设等差数列{}n a 的前⏹项和为,n S 等比数列{}n b 的前⏹项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =⏹∈☠✉ ☎ ✆求{},{}n n a b 的通项公式☎✆是否存在正整数 使得6k S k <且139k T >？若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由｡ ☎ 分✆在△✌中 ♋ ♌ ♍分别为内角✌ 的对边 22222()(1tan )b b c a A =+-- ☎ ✆求角 ☎✆若210,c= 为 中点 在下列两个条件中任选一个 求✌的长度｡条件① △✌ 的面积 且 ✌条件②25 cos.5B=注 如果选择两个条件分别解答 按第一个解答计分｡ ☎ 分✆在如图所示的四棱锥☜✌中 四边形✌为平行四边形 △ ☜为边长为 的等边三角形 ✌✌☜点☞分别为✌ ☜的中点 ☞是异面直线✌和 的公垂线｡☎ ✆证明 平面✌☜⊥平面 ☜☎✆记 ☜的重心为☝求直线✌☝与平面✌所成角的正弦值 ☎ 分✆某网络购物平台每年 月 日举行❽双十一❾购物节 当天有多项优惠活动 深受广大消费者喜爱｡☎ ✆已知该网络购物平台近 年❽双十❾购物节当天成交额如下表年份成交额（百亿元） 求成交额✆的线性回归方程 并预测 年该平台❽双十一❾购物节当天的成交额☎百亿元✆ ☎✆在 年❽双十一❾购物节前 某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台 上分别参加✌､ 两店各一个订单的❽秒杀❾抢购 若该同学的爸爸､妈妈在✌､ 两店订单❽秒杀❾成功的概率分别为☐､❑记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为✠ ☎ ♓✆求✠的分布列及☜☎✠✆☎♓♓✆已知每个订单由 ☎♏∈☠✉ ✆件商品 构成 记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 总数量为✡假设27sinsin,44k k p q k k kπππ=-= 求☜☎✡✆取最大值时正整数 的值附 回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑☎ 分✆已知 为坐标原点 椭圆 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左 右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线2:4y x =的焦点 以12F F 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点☎ ✆求椭圆 的标准方程☎✆ 若直线●与 相交于✌两点 记点✌到直线⌧ 的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线●与 相交于☜☞两点 记△ ✌△ ☜☞ 的面积分别为12,.S S☎♓✆证明 1EFF ∆的周长为定值 ☎♓♓✆求21S S 的最大值 ☎ 分✆已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点☎ ✆处的切线方程为⍓ ☎ ✆当⌧∈☎✆时 证明 ♐☎⌧✆☎✆设函数♑☎⌧✆⌧♐☎⌧✆当⌧∈☎ ✆时 证明 ♑☎⌧✆ ☎ ✆若数列{}n a 满足 *11(),01,n n a f a a n N +=<<∈ 证明1ln 0.ni ia=<∑。
山东省青岛市2020届高三4月统一质量检测(一模)试题(数学解析)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A. i - B. 1C. iD. 1-答案：B 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 解：解：12(12)2i i i z i i i i---===---，则z 的共轭复数2z i =-+的虚部为1． 故选：B ．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{}|12B x R x =∈-<，则A B =（ ）A. (0,3)B. (1,3)-C. (0,4)D. (,3)-∞答案：A 【分析】先求出集合A ，集合B ，由此能求出A B ．解：解：集合2{|log 2}{|04}A x R x x x =∈<=<<，集合{||1|2}{|13}B x R x x x =∈-<=-<<，{|03}(0,3)A B x x ∴=<<=．故选：A ．点评：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布2(2000,100)N ，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为（ ）附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A. 0.9759B. 0.84C. 0.8185D. 0.4772答案：C 【分析】由已知可得2000μ=，100σ=，然后结合σ与2σ原则求解． 解：解：ξ服从正态分布(2000N ，2100)，2000μ∴=，100σ=，则[]1(19002200)()(22)()2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+ 10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选：C ．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、σ与2σ原则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设0.22a =，sin 2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c >> B. b a c >>C. b c a >>D. c a b >>答案：A 【分析】把它们和0，1比较，可得出结果．解：解：0.221a =>，0sin21b <=<，2log 0.20c =<， 则a b c >>， 故选：A ．点评：本题考查指数，对数比较大小，属于基础题．5.已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2答案：C 【分析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．解：解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩，当0x 时，()0f x =，即390x -=，解得2x =； 当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x 时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)+∞上无极值点；当0x <时，()xf x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．6.已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段PA ，PC 上，且//EF 底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为（ ） A. 30 B. 45︒C. 60︒D. 90︒答案：D 【分析】连接AC ，BD ，设ACBD O =，由线面平行的性质定理推得//EF AC ，运用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角． 解：解：连接AC ，BD ，设AC BD O =，则EF ⊂平面PAC ，平面PAC平面ABCD AC =，由//EF 底面ABCD ，可得//EF AC ， 由四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥， 由O 为AC 的中点，PA PC =，可得PO AC ⊥， 又BDOP O =，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 则AC PB ⊥，又//EF AC ，可得EF PB ⊥，即异面直线EF 与PB 所成角的大小为90︒． 故选：D ．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7.在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A. 2 32D. 1答案：D 【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a ，b ．再画出曲线D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C 方程为22221(0)y x a a a-=>所以2c a =，故焦点(0,2)a ，渐近线y x =±，取2)a 到0x y -=的距离为2222211a =+，解得2ab ==．所以双曲线方程为22144-=y x ．函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D 的方程为：sin[2()]sin(2)cos2362y x x x πππ=-+=-=-．同一坐标系做出曲线C 、D 的图象：由图可知，当B 点为cos2x y =-与y 轴的交点(0,1)-，A 点为双曲线的下顶点(0,2)-时，||AB 最小为1． 故选：D ．点评：本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解决问题的能力．属于中档题．8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A.112125B.80125C.113125D.124125答案：A 【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．解：解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立， 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ．点评：本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知向量(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，(1,1)c =，设,a b 的夹角为θ，则（ ） A ||||a b = B. a c ⊥ C. //b cD. 135θ=︒答案：BD 【分析】根据题意，求出,a b 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．解：根据题意，(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，则(1,1)a =-，(2,0)b =， 依次分析选项：对于A ，2a ||=，||2b =，则||||a b =不成立，A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(1,1)c =，则0a c =，即a c ⊥，B 正确； 对于C ，(2,0)b =，(1,1)c =，//b c 不成立，C 错误；对于D ，(1,1)a =-，(2,0)b =，则2a b =-，2a ||=，||2b =，则cosθ==，则135θ=︒，D 正确；故选：BD ．点评：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．10.已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A. 2()2f x -≤≤ B. ()f x 在区间(0,)π上只有1个零点 C. ()f x 的最小正周期为πD. 3x π=为()f x 图象的一条对称轴答案：ACD 【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．解：解：已知函数22()sin cos cos 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-=-=-，x ∈R ，则A 、2()2f x -正确，B 、当26x k ππ-=，k Z ∈，即212k x ππ=+，k Z ∈，()f x 在区间(0,)π上只有2个零点，则()f x 在区间(0,)π上只有1个零点错误，C 、()f x 的最小正周期为π，正确D 、当3x π=时，函数()2sin(2)6f x x π=-，x ∈R ，2sin 22336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3x π=为()f x 图象的一条对称轴，正确．故选：ACD ．点评：本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题．11.已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A. 数列{}1n a +是等差数列B. 数列{}1n a +是等比数列C. 数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D. 1n T <答案：BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 解：解：由121n n n S S a +=++即1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ．点评：本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A. 3B. 11AA CC ⊥C. 该四棱台的表面积为26D. 该四棱台外接球的表面积为16π答案：AD 【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断． 解：解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于22AB =112A B =11SA B 与SAB ∆相似比为1:2；则124SA AA ==，2AO =，则3SO =13OO 3A 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为2221484412672S S S S =++=++⨯=+侧上底下底C 错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，在平面11B BOO 上中，由于13OO =，111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等，则2r OB ==，该四棱台外接球的表面积为16π，D 对，故选：AD ．点评：本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题． 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案：(],4-∞ 【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论． 解：解：因为(0,)x ∀∈+∞，11144244x x x x x x -+=+=，当且仅当14x x =，即12x =时取等号，又(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立；4a ∴；故答案为：(],4-∞．点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 14.已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()01f =，则()2f =__________．答案：1- 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，据此可得()()20f f =-，即可得答案．解：解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(1,0)对称， 则有()(2)f x f x =--，又由(0)1f =，则()()201f f =-=-； 故答案为：1-．点评：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析()f x 的对称性，属于基础题．15.已知a ∈N ，二项式61a x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含有2x 项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有__________个． 答案：18 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，根据题意求得r 的值，可得A ，再利用排列组合的知识求出结果． 解：解：二项式61()a x x++展开式的通项公式为6216(1)rr r r T C a x -+=+， 令622r -=，求得2r，可得展开式中含有2x 项的系数为2226(1)15(1)C a a +=+．再根据含有2x 项的系数不大于240，可得215(1)240a +，求得4141a ---． 再根据a N ∈，可得0a =，1，2，3，即{0A =，1，2，3 }，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共123333218A A =⨯⨯=， 故答案为：18．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题．16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．答案： (1). 3 (2). 125【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离121d k =+，221d k =+，321d k =+，结合弦长公式求得k ，m 即可解：解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则22421421k mk k m k -+=++=+，解得3k =±，0m =，故公切线方程为33y x =±，则Q 到直线l 的距离33d =， 故l 截圆Q 的弦长223323()32=-=； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： 121d k =+221d k =+，321d k =+，则22221234(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-， 即有2222((11k k =++，①22224(9(11k k -=-++，②解①得0m =，代入②得2421k =， 则2416144214(4)425121d ⨯=-=+，即125d =，故答案为：3；125． 点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 答案：（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论．解：解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为111131313112322313k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k =点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--．（1）求角C ；（2）若c =D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：ABC 的面积4S =且B A >；条件②：cos 5B =． 答案：（1）34C π=；（2）选择条件②，AD = 【分析】（1）22222()(1tan )b b c a A =+--．利用余弦定理可得；222cos (1tan )b bc A A =-．化为(cos sin )b c A A =-，再利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）选择条件②，cos B =，可得sin 5B =．利用诱导公式可得sin sin()A BC =+，由正弦定理可得：sin sin c Aa C=．在ABD ∆中，由余弦定理可得AD ． 解：解：（1）在ABC 中，由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=， 所以222cos (1tan )b bc A A =-，所以(cos sin )b c A A =- 又由正弦定理知：sin sin b Bc C=，得sin sin (cos sin )B C A A =- 所以sin()sin (cos sin )A C C A A +=-即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=-所以sin cos sin sin A C C A =-因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tan 1=-C 又因为0C π<<，所以34C π=（2）选择条件②：25cos 5B =因为25cos 5B =，所以5sin 5B = 因为10sin sin()sin cos sin cos 10A B C B C C B =+=+=由正弦定理知：sin sin c a C A =，所以sin 22sin c Aa C== 在ABD △中，由余弦定理知：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 解得：26AD =点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.在如图所示的四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE 为边长为2的等边三角形，AB AE =，点F ，O 分别为AB ，BE 的中点，OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线．（1）证明：平面ABE ⊥平面BCE ；（2）记OCDE 的重心为G ，求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值． 答案：（1）详见解析；（2105【分析】（1）O 为BE 的中点，利用等边三角形的性质可得OC BE ⊥，根据OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OC OF ⊥．可得OC ⊥平面ABE ．进而得出：平面ABE ⊥平面BCE ．（2）根据F ，O 为中点，可得//OF AE ，又OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OF AB ⊥，AE AB ⊥可得：OA ⊥平面BCE ．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面ABCD 的一个法向量为(),,n x y z =，可得0n BA n BC ==，由C ，E ，D 的坐标可得CED ∆的重心G ．设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则sin |cos AG θ=<，|||||||n AG n n AG >=．解：解：（1）证明：因为O 为BE 的中点，所以在等边BCE 中，OC BE ⊥ 又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以OC OF ⊥又因为OF BE O ⋂=，OF BE ⊂、平面ABE ，所以OC ⊥平面ABE 因为OC ⊂平面BCE ，所以平面ABE ⊥平面BCE（2）因为F 、O 为中点，所以//OF AE ，又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线， 所以OF AB ⊥，AE AB ⊥，所以ABE △为等腰直角三角形 连接AO ，2AB AE ==，1OA =因为OA BE ⊥，OA ⊂平面ABE ，平面ABE ⊥平面BCE 且平面ABE 平面BCE BE =所以OA ⊥平面BCE因此，以O 为原点，分别以OE 、OC 、OA 所在的直线为x 、y 、z 轴建系如图所示：则(0,0,1)A ，(1,0,0)B -，3,0)C ，(1,0,0)E 因为四边形ABCD 为平行四边形，设()000,,D x y z 因为BC AD =，所以()000(13,0),,1x y z =- 所以3,1)D设面ABCD 的一个法向量为(,,)n x y z =(1,0,1)BA =，(1,3,0)BC =由00030x z n BA n BC x ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩令1y =-，则3x =3z =(3,1,3)n =-因为C ，(1,0,0)E，D ，所以CDE △的重心为G的坐标为21,333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,333AG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则3sin |cos ,|||||AG AG AG n n n θ⋅=<>===⋅点评：本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡ （1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：求成交额y （百亿元）与时间变量x （记2015年为1x =，2016年为2x =，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X ． （i ）求X 的分布列及()E X ；（ii ）已知每个订单由*2,()k k k ≥∈N 件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ，假设27sin4k p k k ππ=-，sin4k q kπ=，求()E Y 取最大值时正整数k 的值．附：回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211())ˆ()nni iiii i nniii i x ynx yx x yy bxnx x x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆa y bx=-．答案：（1）ˆ 4.5 3.7y x =+；30.7百亿元；（2）（i ）分布列详见解析，()E X p q =+；（ii ）3．【分析】（1）计算x 、y ，求出系数b 和a ，写出线性回归方程，利用方程计算6x =时y 的值即可； （2）()i 由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值； ()ii 根据题意求出()E Y 的解析式，利用换元法和求导法计算()E Y 取最大值时正整数k 的值．解：解：（1）由已知可得：1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑所以515222153035317.245ˆ 4.55553105i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑所以ˆ17.2 4.53 3.7a y bx=-=-⨯= 所以ˆˆ 4.5 3.7ybx a x =+=+ 当6x =时， 4.56 3.730.7y =⨯+=（百亿元）所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元） （2）（ⅰ）由题知，X 的可能取值为：0，1，2(0)(1)(1)P X p q ==-- (1)(1)(1)P X p q q p ==-+- (2)P X pq ==所以X 的分布列为：()0(1)(1)(2)2E X p q p q pq pq p q =⨯--++-+=+（ⅱ）因为Y kX =所以27sin sin ()()()2sin 44k k E Y kE X k p q k kk k k k πππππ⎛⎫ ⎪==+=-+=⎪⎪⎝⎭令110,2t k ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2sin f t t t ππ=-，则()()E Y f t = 因为1()2cos 2cos 2f t t t πππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，且0,2t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以，当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '>，所以()f t 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当11,32t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f t '<，所以()f t 在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 所以，当13t =即3k =时，1()33f t f π⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭（百亿元）所以()E Y 取最大值时k 的值为3点评：本题主要考查了概率与随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，属于中档题．21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ． （ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值；（ⅱ）求21S S 的最大值． 答案：（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii）4．【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值． 解：解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为1y =． （1）当()0,2x ∈时，证明：0()2 f x <<；（2）设函数()()g x xf x =，当(0,1)x ∈时，证明：0()1g x <<；（3）若数列{}n a 满足：1()n n a f a +=，101a <<，*n ∈N ．证明：1ln 0nii a=<∑．答案：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析． 【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可求a ，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围； （2）先对()g x 求导，结合导数及（1）的结论可求函数()g x 的范围，即可证； （3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证．解：解：（1）由题知：()(ln 1)2f x a x x '=+-，(1)20f a '=-= 所以2a =，2()2ln 2f x x x x =-+所以()2(ln 1)f x x x '=+-，令()ln 1h x x x =+-，则11()1xh x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 在区间(0,1)上单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 在区间(1,2)上单调递减； 所以()(1)0h x h ≤=，即()0f x '≤ 所以()f x 在区间(0,2)上单调递减，所以2()(2)4ln 22ln16ln 0f x f e >=-=-> 又因为()ln 10h x x x =+-≤，所以ln 1x x ≤-，所以2222()2ln 22(1)222(1)12f x x x x x x x x x x =-+≤--+=-+=-+< 综上知：当(0,2)x ∈时，0()2f x <<（2）由题意，因为2()()()4ln 322g x f x xf x x x x x ''=+=-++所以()()()222()22ln 2222()22g x x x x x x f x x x '=-++-+-=+-+- 由（1）知：()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()(1)1f x f >=， 又因为当(0,1)x ∈时，222(2,1)x x -+-∈--所以()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=由（1）可知：()0f x >，又(0,1)x ∈，∴()()0g x xf x => 综上可知：0()1g x << （3）由（1）（2）知：若(0,1)x ∈，1(1)()2f f x =<<，若(1,2)x ∈，0(2)()(1)1f f x f <<<= 因为1(0,1)a ∈，∴()21(1,2)a f a =∈，()32(0,1)a f a =∈，()43(1,2)a f a =∈ 所以21(0,1)k a -∈，2(1,2)k a ∈，*k ∈N 当2n k =时，()()()()()()12312342213211n k k k a a a a a a a a a a g a g a g a ++⨯⨯⨯⨯==<………当21n k =-时，()()()()()()12312342322211323211n k k k k k a a a a a a a a a a a g a g a g a a -----⨯⨯⨯⨯==<………所以1231n a a a a ⨯⨯⨯⨯<…，从而()121ln ln 0ni n i a a a a ==⨯⨯⨯<∑…点评：本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于难题．。
山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.5．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ． 6．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为y x =或y =.A 选项渐近线为y x =，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得2e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.9．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.10．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩…函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,1)(0,)-∞-+∞U D ．(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解. 【详解】()()g x f x kx =+有1个零点等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点．记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->，则过原点作()h x 的切线， 设切点为00(,)x y ，则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-， 又切线过原点，即000()()h x h x x '=， 将0000()13,()()h x x x x =---，02003()38x h x x '-+=-代入解得02x =．所以切线斜率为2(2)328231h '=-⨯+⨯-=， 所以1k <-或0k >． 故选：C 【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820xx ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．12．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由b a >可得e >由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则TF b =≥,进而求解.【详解】b a >Q ,所以离心率c e a ==>,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有TF ,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以TF b =≥,即ba所以c e a ==,所以双曲线M 的离心率的取值范围是. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准
青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1(()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则2sin(42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以1122sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)((44256P C ξ===131********(1)(()4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)()()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，304r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----22x x e a e ax -=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
青岛市高三一模试题及答案(数学理)
青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科） 2020.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =I A ．(]1,∞- B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=1cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2B. 1C ．22+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为 A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．69．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0( 11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若n xx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ； 14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值. 18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？ 19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a aa ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较nn T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)A B C M S N侧视图俯视图4已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e a ex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =u u u r u u u u r, 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（理科）答案 2020.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分 所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………8分 (),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分 所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分 19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,,所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -. (4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-u u u r u u r.).2,0,1(),0,3,3(-==MN CM …………6分 设=),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x yx ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a CN m b a CB m ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分 所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++nn n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分 当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分 又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xe x g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g ea ex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2Λx x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ；所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122122=+b y a c ,解得a b y 21= 所以ab y PF 212== 根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分 2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以112122222-+=-==λa b a c e ……………6分 显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4k±=所以直线l的方程为04=+4+yx……………14分+44=-yx或0。
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题
青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数12,i zi -=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –i B.1C. iD. -1 2.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B=A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772 附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b 5.已知函数39,0()( 2.718...,0x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2 .B .C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 112.125A 80.125B 113.125C 124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b r r 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin23sin cos cos ,fx x x x x =+-x ∈R,则A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π .3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21n n a =-.1n D T < 12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.该四棱合的高为311.B AA CC ⊥ C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡13.若∀x 1(0,),4x x a -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ;(2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.(本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡17.(10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139kT >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--.(1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡条件①:△ABC 的面积S=4且B> A;条件②:25cos .5B = 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡(1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k (k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sinsin ,44k k p q k k k πππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值. 附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx xnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值;(ii)求21S S 的最大值.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1.(1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ;(3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.n i i a=<∑。
2020届山东省青岛市第五十八中高三一模模拟考试数学试题（解析版）
2020届山东省青岛市第五十八中高三一模模拟考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==，得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16 B ．25C ．28D ．33【答案】C【解析】依次递推求出6a 得解. 【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．使得()3nx n N+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x n rr C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．6．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ） A ．7S 或8S B ．12SC ．13SD ．14S【答案】C【解析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令 554051n-<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的.【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=.令554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N∈中最小的是13S.故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.7．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】联立方程解得M (3，，根据MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y (x －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M (3，，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF 的距离为4= 故选：C . 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．42()3ab a b ab >+> B ．42()3ab a b ab <+< C ．23()4ab a b ab <+< D ．23()4ab a b ab >+>【答案】B【解析】由对数的换底公式可以得出113,22a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b +的不等关系. 【详解】因为0.1log 2a =，30log 2b =，所以0ab <，222113log 0.1log 30log 3,22a b ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭所以31122a b<+<，所以()423ab a b ab <+<，所以选B. 【点睛】本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题.二、多选题9．已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 是周期为π的偶函数 B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．若函数()f x 的定义域为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,则值域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．函数()f x 的图像与2()sin 23g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像重合 【答案】BD【解析】根据余弦函数的性质一一验证即可得解. 【详解】 解：()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A 错，函数()f x 是周期为π的函数，但不是偶函数；B 正确，当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,220,[0,]63x πππ⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；C 错，若函数()f x 的定义域为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，其值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦； D 正确，2()sin 2sin 2sin 2cos 2326266g x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BD 【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.10．已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】当1x >时,利用均值定理可知()min 4f x a =+,当1x ≤时,若(1)f 为最小值,需使得对称轴满足1x a =≥,且由分段函数,(1)4f a ≤+,进而求解即可 【详解】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小, 则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD 【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值 11．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A ．平均数3x ≤B ．平均数3x ≤且标准差2s ≤C ．平均数3x ≤且极差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4 【答案】CD【解析】通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项． 【详解】解：A 错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数23x =，不符合指标. B 错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数3x =，且标准差1827s =，不符合指标C 对，若极差等于0或1，在3x ≤的条件下，显然符合指标；若极差等于2且3x ≤，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标D 对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：CD . 【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点,则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【解析】A ．利用线面垂直的定义进行分析； B ．作出辅助线利用面面平行判断；C ．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；D ．通过等体积法进行判断. 【详解】A ．若1D D AF ⊥，又因为1D D AE ⊥且AE AF A ⋂=，所以1DD ⊥平面AEF ， 所以1DD EF ⊥，所以1CC EF ⊥，显然不成立，故结论错误；B ．如图所示，取11BC 的中点Q ，连接1,A Q GQ ，由条件可知：//GQ EF ，1//A Q AE ，且1,CQ AQ Q EF AE E ==，所以平面1//A GQ 平面AEF ，又因为1AG ⊂平面1A GQ ，所以1//AG 平面AEF ，故结论正确； C ．如图所示，连接11,D F D A ，延长1,D F AE 交于点S ，因为,E F 为1,C C BC 的中点，所以1//EF A D ，所以1,,,A E F D 四点共面， 所以截面即为梯形1AEFD ，又因为2214225D S AS ==+=122A D =，所以()1221222225622AD SS⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以139=6=42AEFD S ⨯梯形，故结论正确；D ．记点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为12,h h ， 因为11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⋅=，又因为21112223323G AEF AEF A GEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⋅=， 所以12h h ≠，故结论错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查空间立体几何的直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，难度一般.三、填空题13．已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 . 【答案】60︒ 【解析】【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==14．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且3||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2【解析】求出焦点到渐近线的距离就可得到,,a b c 的等式，从而可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， ∴ 22bcFD b b a ==+，由3|||FD OF =得3b =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于,,a b c 的等式．15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．【详解】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩, ∴0.7p = 故答案为：0.7 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．16．如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单调增区间是____；最大值为____.【答案】6](或写成6)18【解析】试题分析：设AB x =，取AB 中点M ，则,CM AB DM AB ⊥⊥,因此AB CDM ⊥面,所以111()1332CDM F x x S x x ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=∈，因为23,(0,3)y t t t =-∈在3(0,)2单调递增，最大值为9,4所以()F x 单调增区间是，最大值为18【考点】函数最值，函数单调区间四、解答题17．cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin 2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4ac +=，求ABC ∆的面积.【答案】【解析】无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积． 【详解】在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 422ABCSac B ==⨯=在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 2B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =. 所以1sin 2ABC S ac B =△1342=⨯⨯3=. 【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 见解析;(2)38AF AP =. 【解析】试题分析：(1)连AC 交BD 于E 可得E 是AC 中点，再根据PA 面MBD 可得,PA ME 进而根据中位线定理可得结果；(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出面MBD 的一个法向量n ，用λ表示面FBD 的一个法向量m ，由·0n m =可得结果.试题解析：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=得：()1,0,3F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,,33n ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为21,,33m λ⎛=- ⎪⎝⎭，由·0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N ，都有Tn＜564. 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】【详解】 （1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.20．某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X 和Y ，求X 和Y 的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.【答案】（1）X 分布列见解析，Y 分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【解析】（1）X 的可能取值为10000，11000，12000，Y 的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；（2）计算期望，得到()()10800E X E Y ==，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，η，计算分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（1）X 的可能取值为10000，11000，120005103(10000)5010P X +===，303(11000)505P X ===，51(12000)5010P X === 因此X 的分布如下Y 的可能取值为9000，10000，11000，1200051(9000)5010P Y ===，153(10000)5010P Y ===，153(11000)5010P Y ===，153(12000)5010P Y ===因此Y 的分布列为如下（2）331()1000011000120001080010510E X =⨯+⨯+⨯= 1333()90001000011000120001080010101010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，ηξ的可能取值为2，3，4，551(2)5010P ξ===，101(3)505P ξ===，303(4)505P ξ===，51(5)5010P ξ=== 则ξ的分布列为1131()2345 3.7105510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= η的可能取值为3，4，5，651(3)5010P η===，153(4)5010P η===，153(5)5010P η===，153(6)5010P η===则η的分布列为1333()3456 4.810101010E η=⨯+⨯+⨯+⨯= 由于()()E X E Y =，()()E E ξη<，因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．已知椭圆22: 14x W y +=的右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C D .若ODC △与CMF 的面积相等,求直线l 的斜率k 【答案】（1）证明见解析（2）4±【解析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；（2）根据线段AB 的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF 的面积，由ODC 与CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．【详解】（1）由题意，得F，直线(l y k x =-：（0k ≠） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，显然>0∆，12x x +=则点M的横坐标122M x x x +=，因为0M x =>，所以点M 在y 轴的右侧．（2）由（1）得点M的纵坐标(M M y k x ==即222(,)4141M k k -++．所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k =--．令0x =，得D ；令0y =，得C ．所以ODC 的面积222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+，CMF 的面积22213(1)||||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为ODC 与CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±．所以当ODC 与CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性； （3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n n n a +-<-<(2)n ≥. 【答案】（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12xh x f x x=-+(0)x >为增函数. （3）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，求出切线方程，令0x =得切线的纵截距，可得a （必须利用函数的单调性求解）；（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；（3）不等式152122n n n a +-<-变形为25nn a <，由()g x 递减，得()(0)0g x g >=(0x >)，即()2f x x <，即11(21)2n n n a f a a --=+<，依次放缩，2112122225nn n n n a a a a ---<<<<=． 不等式120n a -<，2()()21x h x f x x =-+递增得()(0)h x h >(0x >)，2()021x f x x >>+,111()2f x x <+,11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,先证2111220()a f a -=-<，然后同样放缩得出结论． 【详解】解：（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+， 即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+. 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a aϕ=+-+(0)a >， 求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21xh x x x =+-+(0)x >， 因为24()202121xg x x x '=-=-<++， 所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=-++240(21)xx =>+， 所以2()()12xh x f x x =-+(0)x >为增函数.（3）证明：由12,5a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >.15212225n nn n n a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数. 因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <.令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<.因此，当2n ≥时，21121222n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25n=. 所以152122n n na +-<-成立. 下面证明：120na -<. 由（2）可知，2()()21x h x f x x =-+2ln(21)21x x x =+-+在(0,)+∞上为增函数. 因此，当0x >时，()(0)0h x h >=， 即2()021x f x x >>+. 因此111()2f x x<+， 即11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭. 令1(2)n x a n -=≥，得()11111222n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即1111222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭. 当2n =时，21122n a a -=-()112f a =-1225f =-⎛⎫ ⎪⎝⎭12ln1.8=-.因为1ln1.8ln 2>>=， 所以120ln1.8-<，所以2120a -<. 所以，当3n ≥时，22122111111122220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<⋅⋅⋅<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，当2n ≥时，120na -<成立. 综上所述，当2n ≥时，1521202n n na +-<-<成立. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：12n n a a -<，11112(2)2n n a a --<-(2)n ≥．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．。
青岛市高三一模试题及答案数学理(20201028171739)
f ( x)
俯视图
1 x 2 2ex , g( x) 2
3e2 ln x b （其中 e为常数， e 2.71828 ） ,
,且在该点处的切线相同 .
(Ⅱ )当 x
1 ,e 时 , 2( f (x)
e
2ex)
a 6e2 ( 2g( x)
e2 )
(a
2) x 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .
22.( 本题满分 14 分 )
OA, OB,OC 满
足 OC a1OA a2010 OB ，三点 A, B , C 共线且该直线不过 O 点，则 S2010 等于
A． 1005
B ． 1006
C． 2010
D ． 2012
12 ．平面 外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 m1 和直线 n1 ，给出下列四个命
2 21 3 33
33 11
3
所以 二面角 M NC
20.( 本题满分 12 分 )
B 的余弦值为
33
. ………… 12 分
11
解 :( Ⅰ )因为
a
2 n
1
2
a
2 n
anan 1 , 即 (an 1
an )( 2an
an 1)
0
又 a n 0 , 所以有 2a n a n 1 0 ,所以 2a n a n 1
13 ． 若 ( x 1 )n 展 开 式 中 第 2 项 与 第 6 项 的 系 数 相 同 ， 那 么 展 开 式 的 中 间 一 项 的 系 数 x
为
；
14 ．已知区域
{( x, y) | x y 10, x 0, y 0}, A {( x, y) | x y 0, x 5, y 0} ，若向区域 上随
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题
青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β= A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=rrrrr设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r.B a c ⊥r r.//C b c r rD. θ=135°10.已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡ 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____. (本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:5cos 5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. (12 分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:年份2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元）912172127求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k(k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.22. (12 分)已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑- 11 -。
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题
青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin23sin cos cos ,fx x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.该四棱合的高为3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡ 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.(本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:25cos .5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k (k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑- 11 -。