结构力学第九章渐近法
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第9章渐进法
M 图 （ kN.m ）
§9.2用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
上节通过单结点的连续梁说明了力矩分配法的基本思路，对于多 结点的连续梁或无结点线位移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上 述基本运算，就可以求出最终杆端弯矩。下面举例说明其计算过程。
例2 如图示连续梁，作M图。 解：在B、C结点引入刚臂 求出固端弯矩
-42.3/ i
-17.94
7.7/ i
5.15
例4 如图示对称结构，用力矩分配法作M图（EI=常数）。
解：此结构和荷载均为双对称
因此仅取 ¼ 结构即可。 固端弯矩
F 2 M AG 1 qlAg 22.5kN.m 3
q=30kN/m
A B C
3m
F
E D
M
F GA
ql
1 6
1 12
2 Ag
如图所示，对于BK杆根据转角位移方程得
F M BK 4i BK B 2i BK K M BK F M KB 2i BK B 4i BK K M KB
K B J
iBK
iBJ
上式中消去K， 得 1
B
M BK
2
M KB
1 1 M KB M BJ M JB 2 2 i BK i BJ
杆端 AB BA 0.4 0 0 BC 0.6 -300
Fp=400kN q=40 kN/m
A i=2 6m B i=3 3m 3m C i=4 6m D
如：
CB 0.5 300 分配系数 固端弯矩 0.5
图(a)
CD DC
SAB
1
2 传递系数C
传递系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远 端（B端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。
结构力学李廉锟 第9章_渐近法
F BA
100kN.m
M
F BC
M
F CB
0
§9-2 力矩分配法的基本原理
M
F BA
u MB
B
F M BC
u F F MB MBA MBC 100 kN .m
放松状态: 需借助分配系数,
传递系数等概念求解
B
u MB
A
B
C
§9-2 力矩分配法的基本原理
20 kN / m 40 kN .m
M B ( M BA M BC ) ( S BA S BC ) B
§9-2 力矩分配法的基本原理
转角为:
MB MB B S BA S BC S ( B )
∑ S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。 MB S BA MB 近端弯矩MBA、MBC为 M BA S BA S( B ) S( B )
0 0 0
-1/4 1/4 1/8
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
M
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁
例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。
9 kN/m
A B
80 kN
4．不平衡力矩
固定状态:
固端弯矩---荷载引起
q 12kN / m
B
A
EI
B
EI
C
10 m
q 12kN / m
10 m
u MB
的单跨梁两端的杆 端弯矩，绕杆端顺 时针为正。
01-结构力学 渐进法知识点小结
第9章 渐近法（知识点小结）一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。
转动刚度与该杆远端支承、近端支承情况及杆件的线刚度有关。
传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表9-1所示。
二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：AjAj Aj S Sμ=∑ 同一结点各杆分配系数之间存在下列关系： 1Aj μ=∑ 这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。
三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点 在刚结点上加上附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。
计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担；（2）放松结点取消刚臂，让结点转动。
这相当于在结点上又加入了一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
此反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。
同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。
（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，就可以得到各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。
四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、将所有刚结点固定，计算各杆端的固端弯矩；2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。
对每个结点轮流放松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。
一般进行2-3个循环就可获得足够精度。
3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩及历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。
五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。
结构力学 第9章 渐近法
代数和。
19
4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传 递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为 分配系数及传递系数<1。
2/3 5.图示结构µ =_______。EI=常数。 CB
µ =4i1/(4i1+3i2)=2/3 CB
i1=EI/4
i2=EI/6
20
6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:
AB 1 / 2 AD 1 / 8
1.几个概念 （1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加 的杆端力矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
——杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：
S AB 4i i A B 0 S AB 3i B A i
S AB 3i A i B
S AB i A i B
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
结点1分配传递 +75 结点2分配传递 结点1分配传递 +16 结点2分配传递 结点1分配传递 +1 结点2分配传递
25kN/m 400kN 25kN/m
1
EI 12m EI 6m 6m
2
EI
12m
3
0.5 0.5 -300 +300 -600 +150 +150 -64 +32 +32 -5 +2 +3
19
4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传 递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为 分配系数及传递系数<1。
2/3 5.图示结构µ =_______。EI=常数。 CB
µ =4i1/(4i1+3i2)=2/3 CB
i1=EI/4
i2=EI/6
20
6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:
AB 1 / 2 AD 1 / 8
1.几个概念 （1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加 的杆端力矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
——杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：
S AB 4i i A B 0 S AB 3i B A i
S AB 3i A i B
S AB i A i B
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
结点1分配传递 +75 结点2分配传递 结点1分配传递 +16 结点2分配传递 结点1分配传递 +1 结点2分配传递
25kN/m 400kN 25kN/m
1
EI 12m EI 6m 6m
2
EI
12m
3
0.5 0.5 -300 +300 -600 +150 +150 -64 +32 +32 -5 +2 +3
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
结构力学 第九章07 渐近法
j =1
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
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计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
结构力学第9章渐进法
9 kN/m
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
第九章渐近法6
绘出MP图（图b), 可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的不平衡力矩。
8
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14
= S12+S13+S14
= ∑S1j
三、力矩分配法的基本原理（分配系数、不平衡力矩）
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
q
P
2
1
4
3
(a)
M
F 21
2
M1F2 M1F4
4
1
M
F 41
3 MP图
(b)
1
M1F2
M1F3
M
F 14
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0
得出上述规律后，便可不必图绘，也M不P 、必列出
典型方程和求解，而直接按以上结论计算各杆端弯矩，其过程 分为两步：
(1)固定结点
即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有
不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。
(2)放松结点
即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加
入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结
3
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数）：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 杆端发生单位转动时，杆端（近端）产生的弯矩。
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
lv_9渐进法及超静定结构影响线解析
结 构 力 学
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
9 Eng 第九章 渐近法
Section 2 Basic concepts and principles of successive approximation methods
I. Sign convention（符号规定） Sign convention adopted in this chapter is the same as that adopted for the displacement method： clockwise member end moments are considered positive; counterclockwise member end moments are negative.
所谓力矩分配过程就是将结点固定时出现在结点处的不平衡力矩加反号相对于放松结点并按照汇交于该结点的各杆的分配系数分配
结构力学讲稿
Course of Structural Mechanics 第九章 渐近法 Chapter 9 Method of successive approximation method
Table 9.1 Bending stiffness 抗弯刚度
Fraend restraint conditions远端支撑条件
Models 模型图
Bending stiffness抗弯 刚度
The farend is fixed 远端为固定
S AB
S AB
EI 4 4i l
EI 3 3i l
2、 And at the same time the nearend moments will be carryovered to the farends of the members, the carryovered moment of the farends is named farend bending moment, which equals to the multiplication of the nearend moment and the carryover factor. This method of analysis is called moment distribution method. 同时近端弯矩将会传到远端，称为远端弯矩， 大小为近端弯矩乘以传递系数。这种方法称为 力矩分配法。
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M A E = S A E A S A E S M 0 = A E M 0 = 1 6 2 i iM 0 = 1 2 M 0 A E S A E S 1 2
M A C 0
A C S A C S 0
结构力学第九章渐近法
由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ 的比 例分配给各杆端。系数μ 称为分配系数，某杆 的分配系数μ 等于该杆的转动刚度S与交于同
D
5) 讨论
C M图（ kN.m ）
若结点力矩为逆时针方向，则：
M B 1 0 (9 8 ) 1 1 kN .m MB 10kN.m
MB11kN.m
结构力学第九章渐近法
回代求杆端弯矩：
M A B S A B A = S A B S M 0 = A B M 0 = 1 4 2 i iM 0 = 1 3 M 0 A B S A B S 1 3 M A D S A D A = S A D S M 0 = A D M 0 = 1 2 2 i iM 0 = 1 6 M 0 A D S A D S 1 6
分配力矩为：
MB9kN.m
结构力学第九章渐近法
3) 运算格式
A
0 0
BA BC BD
0.231 0.462 0.307
9
-8
2.08 4.16 2.76
D 8
1.38
11.08 4.16 -5.24 9.38
0C
结构力学第九章渐近法
4) 作弯矩图
11.08
9.38
5.24
A 6.46 4.16 B 4.69
一结点的各杆转动刚度之和 S 的比值，即 i Si / S。
对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
1316121
结构力学第九章渐近法
三、传递系数
当近端有转角时（无线位移），远端弯矩
与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
MAB 4iA MBA 2iA
A
i
B
A
MAB 3iA
A
i
A
MAB iA
A
MB60kN.m
A
BB
C c)
其次放松结点B，即在结点B加 －MB，这 是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩
分配法进行计算，见图 c）。
结构力学第九章渐近法
解： i E I
6
1）求分配系数 SBA 4i
SBC 3i
2）求固端弯矩
BA
4 7
0.57 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
平衡方程为：
MA 0
MAE MAB A
M0 MAD
M A B M A C M A D M A E M 0 MAC
(S A B S A C S A D S A E )A M 0
ASABSAC M 0SADSAEM 0 S
S S A B S A C S A D S A E 1 2 i
结构力学第九章渐近法
二、分配系数
用位移法求解右图示 结构，未知量为θA 。
杆端弯矩表达式：
E
2i
B
M0 D
i A 2i i
C
MAB 4iA SABA MAC 0 =SACA MAD 2iA=SADA MAE 6iA=SAEA
SAB 4i SAC 0 SAD 2i SAC 6i
结构力学第九章渐近法
i
M BA 0
B
MBA iA B
A
CAB
M BA M AB
1 2
CAB
M BA M AB
0
CAB
M BA M AB
1
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯
矩乘传递系数，即 M BACABM 。AB
结构力学第九章渐近法
四、单结点力矩分配
MB=60kN.m
200kN
A
EI
20kN/m
B EI C
3m
结构力学第九章渐近法
A SAB i
A 1
A SAB i
A 1
SAB A
i
A 1
B
b) SAB=3i，远端为滚轴
支座或铰支座。
B c) SAB=i，远端为滑动支 座。
B d) SAB=0，远端为滚轴 支座，沿杆轴布置。
当A端产生单位转角时，A端无线位移。转
动刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线 刚度。
3m
6m
a)
200kN MB60kN.m 20kN/m
B
A
B
150kN.m -90kN.m 150kN.m 150kN.m 90kN.m C
b)
用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上 附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的 反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图 b)。
结构力学第九章渐近法
115.74 -115.74
C
0 0
4）作弯矩图
167.13
115.74
A
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
结构力学第九章渐近法
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的 刚架。
结构力学第九章渐近法
一、转动刚度
下面讨论等截面直杆的转动刚度。
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数 值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时 所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。
施力端为近端 ，另一端为远端。
A SAB i
B
A 1
a) SAB=4i，远端为固端
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
M B(1 5 09 0 )6 0 k 结N 构力.m 学第九章渐近法 MB60kN.m
3）运算格式
分配系数 固端弯矩 分配传递
A
-150
-17.13
杆端弯矩 -167.13
BA BC
0.571 0.429
150 -90 -34.26 -25.74
第九章 渐近法
§９-1 力矩分配法基本概念 §９-2 多结点力矩分配 §９-3 无剪力分配法
结构力学第九章渐近法
§９-1 力矩分配法基本概念
力矩分配法源自位移法，不必求解方程组，只 需按表格进行计算，计算方便、快捷。
力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配） 精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
0.462
BD
4 13
0.307
结构力学第九章渐近法
2) 求固端弯矩
MB FA1361249kN.m MB FD1126168kN.m MD FB1126168kN.m
10kN.m MB
9 B -8
结点约束力矩为： M B 1 0 (9 8 ) 9 k N .m