全国卷理科数学高三一轮复习资料、强化训练、复习补习资料-107【提高】高考冲刺：不等式

高考冲刺：不等式【高考展望】1.在选择题填空题中常考查比较大小，解不等式等，并且时常与函数、方程、三角等知识结合出题.2.在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题.3.时常与函数、方程、数列、应用题、解几等知识综合，突出渗透数学思想和方法的考查.4.均值定理单独考查的可能性比较小，更多的是在考查相关知识时辅助考查.5.不等式证明中的综合法、比较法、分析法等重要证明方法的灵活运用.6.在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题，特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。

6.绝对值不等式、柯西不等式在不等式证明中的应用. 【知识升华】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高分析问题、解决问题的能力以及计算能力． 2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．7. 了解绝对值不等式、柯西不等式的几种不同形式，并会应用. 【典型例题】 类型一、解不等式例1.解关于x 的不等式22(1)20()kx k x k k R --++>∈ 【思路分析】这是一个二次型不等式，需要先从讨论k 是否等于0开始. 【解析】当0k =时，原不等式即220x +>，解得1x >-0k ≠时，4(14)k ∆=-当0∆<时14k >，解原不等式得x R ∈ 当0∆=时14k =，解原不等式得3x ≠-当00k >⎧⎨∆>⎩时104k <<，解原不等式得x <或x >当00k <⎧⎨∆>⎩时0k <，解原不等式得x <综上，当0k <时，不等式解集为{x <当0k =时，不等式解集为{1}x x >-当104k <<时，不等式解集为{x x x <>当14k =时，不等式解集为{3}x x ≠- 当14k >时，不等式解集为x R ∈举一反三：【变式1】设集合{|1xA x x =-＜0},{|03}B x x =<<,那么“m A ∈”是“m B ∈”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】∵{|1xA x x =-＜0}={x|0<x<1}， ∴m ∈{x|0<x<1}{|03}m x x ∈<<，（如图），故“m A ∈”是“m B ∈”充分而不必要条件.【变式2】记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．【解析】（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 例2.已知x 满足：03log 7)(log 221221≤++x x ，求)4(log )2(log )(22xx x f ⋅=的最大值和最小值．.【解析】先求得3log 212≤≤x ．把f （x ）整理，得： 41)23(log )(22--=x x f ，23log )()(2max ===x x f x f ，4123log )()(2min -===x x f x f ．举一反三：【变式1】二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 对一切∈x R 都有)2()2(x f x f -=+，解不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)852(log )21(log 221221x x f x x f【解析】∵241)21(l o g )21(l o g 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x x x ，121)41(2log )852(log 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-x x x ，又f （x ）在-∞(，2]上递增，由原不等式，得：)852(log )21(log 221221+-<++x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+->++>+->++⇔852210852*******x x x x x x x x 41414141+<<-⇔x类型二、线性规划中的不等式例3（2018 重庆高考）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．D ．3【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为三角形，由，得，即A （2，0），则A （2，0）在直线x ﹣y+2m=0的下方，即2+2m ＞0， 则m ＞﹣1， 则A （2，0），D （﹣2m ，0），由，解得，即B （1﹣m ，1+m ），由，解得，即C （，）．则三角形ABC 的面积S △ABC=S △ADB ﹣S △ADC =|AD||yB ﹣yC| =（2+2m ）（1+m ﹣） =（1+m ）（1+m ﹣）=，即（1+m ）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B举一反三：【变式1】（2018 嘉峪关校级三模）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A． B．C． D．2【解析】画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意M（2，3），N（），P（0，﹣1），Q（0，1）不等式组所表示的平面区域的面积为：=故选B．【变式2】不等式组0101x yx yxy->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy平面上的解的集合为（）A ．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集 【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,=+y x∴交集为三角形内部，选B 。

类型三、不等式知识的综合应用例4.已知A(1x ,1y )，B(2x ,2y )是函数21,122()11,2x x x f x x ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩的图象上的任意两点（可以重合），点M 在直线12x =上，且AM =MB . （Ⅰ）求1x +2x 的值及1y +2y 的值（Ⅱ）已知1S =0，当n≥2时，n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n -+，求n S ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设n a =2n S ，n T 为数列{n a }的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式21c T c T 1m m <--+成立，求c 和m 的值.【解析】（Ⅰ）∵点M 在直线x=21上，设M M 1(,)2y .又AM ＝MB ， 即111AM (,)2M x y y =--，221MB (,)2M x y y =--，∴1x +2x =1. ①当1x =21时，2x=21，1y +2y =12()()112f x f x +=--=-； ②当1x ≠21时，2x≠21，1y +2y =11212x x -+22212x x -=1221122(12)2(12)(12)(12)x x x x x x -+--- =121212122()812()4x x x x x x x x +--++=12122(14)241x x x x -=--；综合①②得，1y +22y =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x +2x =1时, 1y +22y =-.∴()()2k n kf f n n -+=-，k=1n ,,3,2,1- . n≥2时， n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n -+ ， ①n S =1231()()()()n n n f f f f n n nn ---++++ ， ②①＋②得，2n S =-2(n-1),则n S =1-n. n=1时，1S =0满足n S =1-n. ∴n S =1-n.（Ⅲ）n a =n S 2=n 12-，n T=1+21+1n )21(-+ =n 222-. 21c T c T 1m m <--+⇔0)c T (2)c T ()c T (21m 1m m <----++⇔0T c )T T 2(c 1m 1m m <---++. 1m T +=2-m 21，1m m T T 2+-=m 244--2+m 21=2-m 23， ∴122≤-312222m m c <<-<，c 、m 为正整数，∴c=1，当c=1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<-12121232m m ，∴1<m2<3，∴m=1.举一反三：【变式1】设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x =-+++．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．【解析】（Ⅰ）221ln 11ln ()(1)(1)1(1)x xf x x x x x x x '=--+=-++++．故当(01)x ∈，时，()0f x '>，(1)x ∈+，∞时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，单调递增，在(1)+，∞单调递减． 由此知()f x 在(0)+，∞的极大值为(1)ln 2f =，没有极小值． （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时，由于[]ln(1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ()011x x x x x x x x f x x x +++-++-==>++，故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞． （ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x =+++知ln 21(2)ln(1)122n nn nf =+++，其中n 为正整数，且有22211ln(1)1log (1)222n nn n a e n e +<⇔<-⇔>--．又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)12n n n n n n n n =<=-+++-， 且2ln 24ln 2112a n n n <⇔>+-．取整数n 满足202log (1)nn e >--，04ln 21n a >+，且02n ≥，则0000ln 21(2)ln(1)12222n n n n a af a =++<+=+，即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0)+，∞． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞， 且a 的取值范围为(]0-∞，.【变式2】用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【解析】设长方体的宽为()x m ，则长为2()x m ，高为181234.53() (0).42x h x m x -==-<<故长方体的体积为22333()2(4.53)96() (0).2V x x x x x m x =-=-<< 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=- 令()0V x =,解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =.当01x <<时()0V x '>；当312x <<时()0V x '<，故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值.从而最大体积233(1)91613()V V m ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m .答：当长体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m .【变式3】（Ⅰ）设证明，（Ⅱ），证明.证明： (Ⅰ)由于，，所以．1,1,x y ≥≥;111xy y x xy y x ++≤++c b a ≤≤<1log log log log log log a b c b c a b c a a b c++≤++1≥x 1≥y xy y x xy y x ++≤++111()()21xy x y y x xy ++≤++⇔将上式中的右式减左式，得．既然，，所以，从而所要证明的不等式成立．(Ⅱ)设，，由对数的换底公式得1log c a xy =，，，． 于是，所要证明的不等式即为．其中，．故由(Ⅰ)立知所要证明的不等式成立．类型四、绝对值不等式、柯西不等式问题例5.已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-。