初二二次函数
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是一种常见的数学函数，其关键特点是含有二次项（x²）的多项式函数。
以下是关于二次函数的最全知识点总结。
一、基本定义与性质：1. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
2.二次函数的图像是一个平滑的开口向上或向下的抛物线。
3.抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
5. 若D=b²-4ac>0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；若D=0，则抛物线与x轴有一个不同的交点；若D<0，则抛物线与x轴没有交点。
6.轴对称线的方程为x=-b/2a。
7.当a>0时，二次函数的值域为[f(-b/2a),+∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞,f(-b/2a)]。
二、顶点相关问题：1. 顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0得到。
即f'(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，带入二次函数得到顶点坐标。
2.顶点为函数的最值点，当开口向上时，顶点为最小值点；当开口向下时，顶点为最大值点。
3.当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
4.顶点在数轴上的位置对应了函数的增减性质。
三、对称性与坐标轴交点：1.二次函数是轴对称的，其轴对称线为x=-b/2a。
2.函数与轴对称线的交点为（0，c）。
3.函数与y轴的交点为（0，c），其中c为常数项。
4.函数与x轴的交点取决于D的值，若D>0，则存在两个不同的交点；若D=0，则存在一个交点；若D<0，则不存在交点。
四、图像的变换与性质：1.若在二次函数的一般形式中，a改变为-k（k为常数，k≠0），则图像沿x轴翻转，开口方向不变。
2.若在二次函数的一般形式中，c改变为+k（k为常数），则图像上下平移，平移量为+k。
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
八年级数学学习二次函数与二次方程的解法
八年级数学学习二次函数与二次方程的解法二次函数与二次方程是八年级数学学习的重点内容，本文将对二次函数与二次方程的解法进行详细的介绍和讲解。
1. 二次函数二次函数是一个经典的函数形式，表达式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线。
1.1 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其横坐标为 -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。
顶点是抛物线的对称轴的最高点或最低点。
1.2 二次函数的开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
1.3 二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与 x 轴相交的点。
要求函数的值为 0，即 f(x) = 0。
可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解二次函数的零点。
2. 二次方程的解法二次方程是一个含有未知数的二次项、一次项和常数的方程，一般表达式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为已知数，a ≠ 0。
解二次方程的关键是求出未知数 x 的值。
2.1 因式分解法对于可以因式分解的二次方程，可以通过分解成两个一次因式的形式求解。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0，可以分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，则得到两个一次方程 x + 2 = 0 和 x + 3 = 0，解得 x = -2 和 x = -3。
2.2 配方法对于不能直接因式分解的二次方程，可以通过配方法将其转化为可因式分解的形式。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0，可以通过令 x^2 + 5x + 6 = (x + a)(x + b) 来求解。
根据展开等式，得到 a + b = 5，ab = 6。
解得 a = 2，b = 3，因此原方程可写为 (x + 2)(x + 3) = 0，解得 x = -2 和 x = -3。
初中代数二次函数公式定理
初中代数二次函数公式定理1.二次函数及其图像1.二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数2.函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点3.函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a〉0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a 处取得y最小=4ac-b²/4a当a〈0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a 处取得y最大=4ac-b²/4a2.根据已知条件求二次函数1.根据已知条件确定二次函数2.二次函数的最大值或最小值3.一元二次方程的图像解法直角三角形概述定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
初中二次函数知识点总结(全面)
二次函数知识点二次函数概念:1. 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c（是常数, a≠0）的函数, 叫做二次函数。
这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数a≠0, 而可以为零. 二次函数的定义域是全体实数。
<＜＞≤≥2.二次函数y=ax2+bx+c的性质1）当a＞0时, 抛物线开口向上, 对称轴为, 顶点坐标为.当时, 随的增大而减小；当时, 随的增大而增大；当时, 有最小值..2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式: （, , 为常数, ）；2.顶点式: （, , 为常数, ）；3.两根式: （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点, 即时, 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中, 属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(). A.(1, -4.. B.(-1, 2...C.(1, 2... D.(0, 3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在..)A.第一象....B.第二象...C.x轴....D.y轴上4.抛物... 的对称轴是.. )9、 A.x=-....B.x=.... C.x=-.....D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列结论中, 正确的是(.)A.ab>0, c>0B.ab>0, c<0C.ab<0, c>0D.ab<0, c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则点在第_.象限()A.一B.二C.三D.四7.如图所示, 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4, 图象交x轴于点A(m, 0)和点B, 且m>4, 则AB的长是()A.4+.B.mC.2m-8D.8-2m10、8.若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是.)11、 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A.直线B.直线C.直线D.直线10.把抛物线的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.二、填空题1、下列函数中, 哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+=（4）322-+=x x y 2.二次函数的图象开口方向, 顶点坐标是, 对称轴是； 3.当k 为何值时, 函数为二次函数？ 画出其函数的图象.3.函数, 当为时, 函数的最大值是；4、二次函数, 当时, ;且随的增大而减小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式, 则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A.B 两点, 则AB 的长为_________..8.抛物线y=x2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数的对称轴是.10二次函数的图象的顶点是, 当x 时, y 随x 的增大而减小.11抛物线的顶点横坐标是-2, 则=.12、抛物线的顶点是, 则、c 的值是多少？（１） 13. 已知抛物线y=﹣x －３x －（２） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（３） 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（４） 画出草图观察草图, 指出x 为何值时, y ＞0,y ＝0,y ＜0.14.（2010年宁波市）如图, 已知二次函数的图象经过A（2, 0）、B（0, －6）两点。
八年级数学二次函数知识点
八年级数学二次函数知识点二次函数是初中数学中比较重要的一章，主要研究形如y=ax²+bx+c（a≠ 0）这样的函数。
下面我们来了解一下八年级数学二次函数的知识点。
一、二次函数的图像二次函数的图像通常为一条抛物线，开口方向由二次函数的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的轴对称线二次函数的图像是对称的，称为轴对称。
轴对称线是图像上的一条直线，将图像分成两个完全相同的部分。
轴对称线的方程为x=-b/2a。
三、二次函数的零点二次函数与x轴的交点称为零点，也可称为根。
一般地，二次函数有两个零点，可用求根公式(-b±√(b²-4ac))/2a来计算。
若b²-4ac<0，则二次函数没有实数根，也就是没有与x轴相交的点。
四、二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a) = c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a) = c-b²/4a 。
此时的x=-b/2a称为二次函数的顶点。
五、二次函数的基本变形除了y=ax²+bx+c的二次函数外，还有一些变形，如y=a(x-h)²+k的标准式，y=a(x-p)(x-q)的因式分解式等。
需要根据题目的要求，进行不同形式之间的转化。
六、二次函数的应用二次函数在不同领域有广泛的应用，如物理学中的抛体运动，金融学中的股票指数走势预测等。
在运用中需合理选择二次函数的形式，适用于不同的实际问题。
通过学习八年级数学二次函数的知识点，我们可以更好地理解二次函数的概念，掌握求零点、最值等基本技能，为以后更深入的学习打下坚实的基础。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的函数，其形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
在这个表达式中，x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴是对称的。
五、根的判别式二次函数的根（解）可以通过求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定。
根的情况由判别式Δ = b^2 - 4ac 决定：- 如果Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；- 如果Δ = 0，则方程有两个相等的实根（一个实根）；- 如果Δ < 0，则方程没有实根。
六、求根公式二次函数的根可以通过以下公式求得：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a七、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次方程转化为完全平方的形式来简化求解过程。
八、二次函数的性质- 二次函数的图像是连续的；- 如果 a > 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递减；当 x > -b/2a 时，f(x) 递增；- 如果 a < 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递增；当 x > -b/2a 时，f(x) 递减；- 二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点，与 y 轴的交点可以通过将 x 设为 0 来求得。
九、实际应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，如物理中的速度和加速度问题、经济学中的最优化问题等。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)^2；+k[抛物线的顶点P（h，k）]。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线]。
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a。
三、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。
当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
初中数学二次函数知识点
初中数学二次函数知识点
一、二次函数的基本定义
二次函数是指形如 y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，x、y 是自变量和函数值。
二、二次函数的图像及其性质
1.二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2.常数 a 决定了抛物线的开口方向和开口程度，a > 0 时抛物线向上开口，a < 0 时抛物线向下开口。
3.横轴交点是二次函数的零点，也即方程 ax^2+bx+c=0 的解。
4.顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac 是二次函数的判别式，用来判断二次函数的零点和开口方向。
5.二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于横轴的直线。
6.当二次函数在对称轴两侧的函数值相等时，对称轴上的 x 坐标为二次函数的平衡点。
三、二次函数的应用
1.二次函数可以用来表示抛物线的形状，常用于建模和数学分析。
2.二次函数可以用于解决问题，如求最值、交点等。
3.二次函数还经常用于物理学、工程学和经济学等多个领域的建模和分析。
以上就是初中数学中二次函数的知识点，包括基本定义、图像及其性质以及应用等内容。
了解和掌握这些知识点，有助于提高对二次函数的理解和应用能力。
八年级二次函数知识点讲解
八年级二次函数知识点讲解二次函数是数学中的一个重要知识点，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、地理、工程学等等。
在初中数学阶段，八年级正是学习二次函数的重要时期。
下面，我们来深入了解八年级二次函数的相关知识点。
一、概念二次函数是函数的一种类型，它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a,b,c为实数，a ≠ 0。
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二、图像二次函数的图像是开口朝上或者朝下的抛物线。
如果a>0，则图像开口朝上，如果a<0，则开口朝下。
当a的绝对值越大，抛物线开口越宽。
三、顶点坐标二次函数的顶点坐标为(x,y)，其中x的坐标为-b/2a，y的坐标为f(x)。
如果a>0，则f(x)取最小值，即顶点的函数值最小。
如果a<0，则f(x)取最大值，即顶点的函数值最大。
四、零点二次函数的零点是它与x轴的交点。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可用公式：x = (-b±√(b²-4ac))/2a 求得。
其中，若b²-4ac>0，则解为两个实根，也就是函数与x轴交于两个点；若b²-4ac=0，则解为一个实根，也就是函数与x轴在一个点上相切；若b²-4ac<0，则解为两个虚根，也就是函数与x轴没有交点。
五、对称轴二次函数的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的一条直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
六、关于直线的位置关系如果一条直线与二次函数有交点，则交点有且仅有一个、两个或者没有。
若二次函数与直线有且仅有一个交点，则该直线称为切线，交点为切点；若有两个交点，则该直线与二次函数相交；若没有交点，则该直线与二次函数平行或相离。
七、变形对二次函数的变形主要有平移、伸缩和翻折三种变形方式。
平移是指将抛物线整体上下或左右移动；伸缩是指将抛物线纵向或横向拉长或缩短；翻折是指将抛物线上下或左右翻折。
初中二次函数的所有知识点
初中二次函数的所有知识点二次函数是二次多项式的图象,用来描述一些变化的规律。
它的标准形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的知识点主要包括：1. 定义：二次函数是一种以二次多项式表达的函数，可以表达为f(x) = ax² + bx + c。
2.零点：二次函数的零点是函数图象与x轴相交的点，通常是解二次方程f(x)=0得到的。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与函数图象呈对称关系的一条线。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值即在定义域内的最大值或最小值。
若抛物线开口向上，最小值为函数的最值；若抛物线开口向下，最大值为函数的最值。
5.图象：二次函数的图象是一个抛物线。
抛物线的开口方向和平移方向是由二次函数的系数a的正负决定的。
6.纵轴截距：二次函数的纵轴截距是函数图象与y轴相交的点，可以通过求解f(0)得到。
7.顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，即函数的最值点。
顶点的纵坐标可以通过代入对称轴的x值得到。
8.开口：二次函数的开口方向可以根据二次项的系数a的正负判断。
a>0，开口向上；a<0，开口向下。
9. 判别式：二次函数的判别式可以通过b² - 4ac来计算。
判别式的值可以判断二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，有两个相等的实数解；当判别式小于0时，无实数解。
10.平移：二次函数的图象可以通过改变a、b、c来实现平移。
平移的规律是：左右平移是改变h，上下平移是改变k，其中h、k是顶点坐标。
11.更形式的表达：二次函数还可以有其他形式的表达，如顶点、描点和标准式等形式。
不同的表达形式可以方便地求解一些问题。
12. 降幂排列：二次函数的降幂排列是将二次函数按照指数递减的顺序排列，如ax² + bx + c可以降幂为c + bx + ax²。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。
2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。
4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。
a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。
b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。
4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。
5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。
6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。
三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。
2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。
3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。
4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。
初中2次函数知识点
初中2次函数知识点
1.2次函数的定义：y=ax+bx+c，其中a≠0，a,b,c均为实数。
2. 抛物线的性质：抛物线的对称轴为x=-b/2a，开口朝上或朝下取决于a的正负性。
3. 2次函数的图像和解析式之间的关系：根据a的正负性和大小可以确定抛物线的开口方向和大小，根据对称轴可以确定抛物线的位置，根据顶点可以确定抛物线的最值。
4. 2次函数的零点：y=0时的x值即为函数的零点，可以用求解一元2次方程的方法求出。
5. 2次函数的最值：当a>0时，函数最小值为y=c-b/4a，当a<0时，函数最大值为y=c-b/4a。
6. 2次函数的平移：对于y=a(x-h)+k，平移后的函数为y=a(x-h ±m)+k±n，其中m为横向平移量，n为纵向平移量。
7. 2次函数的相关系数r：r=±(b/2a)，表示抛物线的对称轴与x轴的交点与顶点的距离，可以用于判断抛物线的宽度和陡峭程度。
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八年级二次函数的知识点
八年级二次函数的知识点二次函数是初中数学中十分重要的内容之一，它将直线与曲线融合在一起，形成了一种特殊的函数类型。
在学习了初一、初二的函数知识后，学生们逐渐进入到了初中数学的高峰——二次函数的学习中。
本文将从图像、性质、拐点、零点和应用五个方面分别介绍八年级二次函数的知识点。
一、图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其标准式为y=ax²+b。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，则开口向下。
二、性质1、对称性二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
证明如下：设顶点坐标为（h, k），则由二次函数的标准式可得y=a(x-h)²+k。
当x=h±t时，上式中的x分别为h+t和h-t，代入后可得：y-k=a(h+t-h)²=y-k=a(t)²y-k=a(h-t-h)²=y-k=a(-t)²从中可以看出，当t取任意实数时，y-k的值是相等的，因此对于任意的x，都有（x, y）和（2h-x, y）对称。
由此可以得知，二次函数的图像关于直线x=-h对称。
由于二次函数的h坐标为-b/2a，因此可以得知其对称轴方程为x=-b/2a。
2、正负性若a>0，则二次函数是一个上凸的图像，其最低点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
若a<0，则二次函数是一个下凸的图像，其最高点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
其中，△为一元二次方程中的判别式，△=b²-4ac。
三、拐点二次函数的拐点位于抛物线的顶点处，当二次函数极值不存在时，拐点即为最值点。
拐点处，二次函数的导数为0。
证明如下：对y=ax²+b求导可得y'=2ax，令y’=0，可得x=0。
则当a<0时二次函数开口朝下，有极大值；当a>0时，二次函数开口向上，有极小值。
四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点处的横坐标。
初二二次函数知识点总结
初二二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质1.定义：二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a≠0。
2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)。
3.判别式：二次函数的判别式为Δ=b2−4ac，它决定了二次函数的图像与x 轴的交点个数。
4.函数图像：二次函数的图像要么是一个开口朝上的抛物线，要么是一个开口朝下的抛物线。
二、二次函数的图像与性质1. 开口方向和顶点•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，顶点为最小值点。
•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，顶点为最大值点。
2. 对称轴•对称轴是二次函数图像的中心线，它通过顶点。
•对称轴的方程为x=−b2a。
3. 最值和最值点•当a>0时，二次函数的最小值为4ac−b24a，对应的点为顶点。
•当a<0时，二次函数的最大值为4ac−b24a，对应的点为顶点。
4. x 轴的交点•当Δ>0时，二次函数与 x 轴有两个交点。
•当Δ=0时，二次函数与 x 轴有一个交点，此时二次函数与 x 轴有一个切点。
•当Δ<0时，二次函数与 x 轴没有交点。
5. 单调性和区间•当a>0时，二次函数在对称轴的左侧单调递增，在对称轴的右侧单调递减。
•当a<0时，二次函数在对称轴的左侧单调递减，在对称轴的右侧单调递增。
三、二次函数的图像的平移1. 水平平移•若将二次函数y=f(x)的自变量 x 替换为x−ℎ，则函数图像将左右平移 h 个单位。
2. 垂直平移•若将二次函数y=f(x)的因变量 y 替换为y+k，则函数图像将上下平移 k 个单位。
3. 平移后的顶点坐标•对于二次函数y=a(x−ℎ)2+k，平移后的顶点坐标为(ℎ,k)。
四、二次函数的解法和应用问题1. 二次方程的解法•利用一元二次方程的求根公式可以解关于 x 的二次方程ax2+bx+c=0，其中Δ=b2−4ac。
2. 二次函数的应用问题•二次函数可以用来描述许多实际问题，如抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、汽车的油耗等。
初中二次函数知识点汇总
初中二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的重要内容之一，涉及到二次函数的定义、图像、最值、零点等多个方面的知识点。
下面是二次函数知识点的汇总：1.二次函数的定义：二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
a代表抛物线的开口方向和大小，b代表抛物线的位置，c代表抛物线与y轴的位置关系。
2.二次函数的图像：抛物线的开口方向由a的正负决定，若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为:(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。
抛物线对称轴的方程为：x=-b/2a。
3.二次函数的最值：当抛物线开口向上时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4.二次函数的零点：二次函数的零点即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
判断方程是否有实根的判别式为：Δ = b^2 - 4ac。
若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。
5.二次函数的解析式与图像的关系：根据二次函数的解析式可以确定抛物线的开口方向、位置、顶点坐标等信息；根据抛物线的图像可以确定二次函数的解析式，通过抛物线的开口方向、位置、顶点坐标等信息确定解析式中的参数。
6.二次函数的平移：设二次函数的解析式为f(x)，则f(x-h)表示沿x轴方向平移h个单位；f(x)+k表示沿y轴方向平移k个单位。
7.二次函数的应用：二次函数在解决抛物线运动问题、建模问题等方面有广泛的应用。
8.二次函数图像的特点：如果a>0，则抛物线在顶点左右对称；如果a<0，则抛物线在顶点左右不对称。
9.二次函数的最值问题：当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
10.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是指通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
初二二次函数的概念及性质
初二二次函数的概念及性质二次函数是数学中一种重要的函数类型，它的形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
本文将介绍初二二次函数的概念及其性质。
1.概念初二二次函数是指二次函数在初二学段所介绍的内容。
具体而言，二次函数是一个以平方项为最高次幂的多项式函数。
2.标准式和一般式二次函数可以表示为标准式y=ax^2+bx+c或一般式y=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)，通过调整参数a、b、c、h、k的值，可以控制二次函数的形状和位置。
3.二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
开口的大小与参数a的绝对值有关。
4.顶点和轴对称性对于二次函数y=ax^2+bx+c，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。
此外，二次函数的图像具有轴对称性，即以顶点为对称中心。
5.判别式和根判别式D=b^2-4ac可以判断二次函数的根的情况：- 当D>0时，二次函数有两个不相等的实数根；- 当D=0时，二次函数有两个相等的实数根；- 当D<0时，二次函数没有实数根。
6.零点和因式分解二次函数的零点即为其对应的x值，使得函数值为0。
可以通过解二次方程或因式分解的方法求得二次函数的零点。
7.单调性和极值对于二次函数y=ax^2+bx+c（a>0）来说，如果a>0，则函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。
若a<0，则函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
由此可知，二次函数的顶点是函数的极值点。
8.对称轴和对称点二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称点为顶点(-b/2a,f(-b/2a))。
对称轴是抛物线的中线，将抛物线分成两个对称的部分。
9.应用领域二次函数在现实生活中有广泛的应用，例如物体自由落体、抛体运动、汽车行驶等。
八年级数学上册综合算式二次函数的像与性质
八年级数学上册综合算式二次函数的像与性质二次函数是数学中的重要概念，在八年级数学上册综合算式中也有涉及到。
二次函数的像与性质是我们理解和运用二次函数的重要基础。
本文将重点介绍二次函数的定义、性质，以及如何求二次函数的像。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
二、二次函数的性质1. 对称轴及图像的开口方向：a. 二次函数的对称轴是一个与y轴垂直的直线。
对称轴的方程可以通过公式x=-b/2a来求得。
b. 二次函数的开口方向由二次系数a的正负来确定。
当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
2. 零点与轴交点：a. 二次函数的零点即方程ax²+bx+c=0的根，可以通过求判别式Δ=b²-4ac的值来判断二次函数的零点个数和位置。
b. 当Δ>0时，二次函数有两个实数根；当Δ=0时，二次函数有一个实数根；当Δ<0时，二次函数没有实数根。
3. 最值点：a. 当二次函数的开口向上时，函数的最值点为最小值点。
可以通过求二次函数的顶点坐标来确定最值点。
b. 当二次函数的开口向下时，函数的最值点为最大值点。
同样，可以通过求二次函数的顶点坐标来确定最值点。
三、如何求二次函数的像1. 求解零点：a. 首先，将二次函数改写成方程ax²+bx+c=0的形式。
b. 然后，求解方程，即求出方程的根。
可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解，其中Δ=b²-4ac为判别式。
2. 求解顶点坐标：a. 顶点坐标即二次函数的最值点坐标。
b. 通过将二次函数转化成标准形式y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，来求解。
3. 根据二次函数的性质绘制图像：a. 确定对称轴及开口方向。
b. 绘制顶点坐标。
c. 根据对称性，绘制函数图像。
四、应用举例假设有一个二次函数y=x²+2x+1，现在我们来求解它的像。
二次函数初中二年级
二次函数初中二年级二次函数是数学中的一个重要概念，它在解析几何和代数中都有广泛的应用。
在初中二年级，我们将学习关于二次函数的基本概念以及它的图像特征。
本文将介绍二次函数的定义、性质和图像，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a不等于零。
其中的x为自变量，f(x)为因变量，称为二次函数的解析式。
其中，a控制二次项的开口方向和大小，b控制线性项的斜率，c 为常数项。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常为一条弯曲的曲线，也称为抛物线。
具体的图像特征取决于二次函数的系数。
以下是常见的情况：- 当a大于零时，抛物线开口朝上，图像在坐标系的下半部分，对应函数的图像形状向上凸起。
- 当a小于零时，抛物线开口朝下，图像在坐标系的上半部分，对应函数的图像形状向下凸起。
- 当a等于零时，该函数化简为线性函数。
除此之外，二次函数的图像还具有对称性，即关于抛物线的顶点对称。
顶点坐标可通过函数解析式中的一些性质来求得。
3. 二次函数的顶点和轴对称对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可以通过以下公式计算得出：顶点的横坐标：x = -b / (2a)顶点的纵坐标：y = f(-b / (2a))二次函数的轴对称直线为x = -b / (2a)，即该直线将抛物线分成两个完全对称的部分。
4. 二次函数的零点二次函数的零点对应于函数图像与x轴交点的横坐标，也就是使得f(x) = 0成立的x值。
一般情况下，二次函数有两个零点，但特殊情况下也可能只有一个或没有零点。
二次函数的零点可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)当判别式b^2 - 4ac大于零时，函数有两个实数根，抛物线与x轴有两个交点；当判别式等于零时，函数有一个实数根，抛物线与x轴相切；当判别式小于零时，函数没有实数根，抛物线与x轴无交点。
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初二《二次函数》期中复习
一、选择题
1．二次函数()2y x 2x 3<0a a =--的图像一定不经过（ ）
A ．第一象限；
B ．第二象限；
C ．第三象限；
D ．第四象限.
2．将函数522--=x x y 变形为k h x a y +-=2)(的形式，正确的是（ ）
A ．5)1(2--=x y
B ．5)2(2+-=x y
C ．6)1(2--=x y
D ．4)1(2-+=x y
3．将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是
（ ）
A 、25(2)3y x =++
B 、25(2)3y x =+-
C 、25(2)3y x =-+
D 、25(2)3y x =--
4．下列关于抛物线213y x =和213
y x =-的关系说法中，正确的是（ ） A ．它们的形状相同，开口也相同；
B ．它们都关于y 轴对称；
C ．它们的顶点不相同；
D ．点（3-，3）既在抛物线213y x =上也在213
y x =-上 5．小明从图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＜0；②
abc ＞0；③a-b+c ＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b ＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
二、填空题
6．抛物线2y x 1=-关于x 轴对称的抛物线的解析式是 ．
7．若函数221y mx x =++的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是_______
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝221x 经过平移得到抛物线y ＝x x 22
12-，其对
称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．
9．已知二次函数a x x y +-=42,下列说法:①当2<x 时,y 随x 的增大而减小;②若图象
与x 轴有交点,则4≤a ;③当3=a 时,不等式042>+-a x x 的解集是31<<x ;④若将
图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点()2,1-,则3-=a .其中正确的有 ___________________________（填正确答案的序号）.
10．已知集合A 中的数与集合B 中对应的数之间的关系是某个二次函数.若用x 表示集合A
中的数，用y 表示集合B 中的数，由于粗心，小聪算错了集合B 中的一个y 值，请你指出这
个算错的y 值为 ．
11．如图，一条抛物线m x y +=24
1（0<m ）与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若点M 、N 的坐标分别为（0，—2）、（4，0），抛物线与直线MN 始终有交点，线段AB
的长度的最小值为 _______．
三、解答题
12．如图，抛物线y=x 2
+mx+n 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A
的坐标是（1，0），点B 的坐标是（﹣3，0）．
（1）求m 、n 的值；
（2）求直线PC 的解析式．
集合A 集合B
13．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象;
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A（-1，0），对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线．
（1）求点B的坐标
（2）求该二次函数的关系式；
（3）结合图象，解答下列问题：
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴上方？
②当-1＜x＜2时，求函数y的取值范围．
15．如图,已知二次函数y=x 2
－4x+3的图象交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）， 交y 轴于点C.
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 是在直线BC 下方的抛物线上的一个动点，当△BCD 的面积最大时，求D 点坐标.
16．已知关于x 的方程04)14(2=++-x k kx ．
（1）当k 取何值时，方程有两个实数根；
（2）若二次函数4)14(2++-=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k
为正整数，求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（3）若（2）中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．将抛物线向上平移n 个
单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），写出
n 的取值范围．。